量子力学2007级-量子力学试卷B

2009-2010学年第1学期考试试题 （B ）卷

课程名称 《 量子力学 》 任课教师签名 出题教师签名 审题教师签名 考试方式 （闭）卷 适用专业 考试时间 （120 ）分钟

一、填空题（25分）

1、(4分)微粒的粒子性(E 、P

)与波动性(λυ,或),k ω间的关系为E=

和=P

。

2、(3分)按照波函数的统计解释，描述单粒子量子体系的波函数()x ψ常称为概率波，()2x ψ表示概率密度，其意义是()z y x x ∆∆∆2

ψ表示

在r 处的体积元z y x ∆∆∆中找到粒子的 ，()12

=⎰+∞

∞-τψd x 称

为波函数的 ，其物理意义是在全空间找到粒子的 。

3、(2分)设某一原子体系具有n 个定态，对应的能级为E n ，若电子处于

态n 的时间为t ∆，则能级E n 的宽度为 。

4、(4分)哈密顿算符H 在某表象中的矩阵形式为⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛ ωωω25000

2300021

则该表象是 表象；它的本征值谱为 。

5、(2分)若⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=i i A 5，⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛=12i B ，则=A B ；

6、(4分)泡利算符与自旋算符之间的关系满足 ；泡利

算符z y x σσσ

ˆˆˆ＝ ； 7、(3分)粒子的波函数为ikx e ，则其几率流密度为 ； 8、(3分)在一三维函数空间，在某一正交归一的基矢下，体系的哈密顿算符用矩阵⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎣⎡=300021012H 表示。则当测量系统的能量时，能量的可能结果是 。

二、简答题(15分)

1、(7分)扫描隧道显微镜的工作原理是隧道效应，简述什么是隧道效应。

2、(8分) 量子力学如何构造一个力学量的算符？当体系处于波函数

()x ψ所描写的状态时，测量力学量的数值与该力学量本征值有什么关系？

三、证明题(15分)

1、(5分)证明矩阵⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-=33i i F 为厄密矩阵。

2、(10分)证明处于1s 的氢原子的电子在距离原子核的距离为a 0的球

壳上被发现的概率最大。(a 0为玻尔第一轨道半径)

四、计算 (45分)

1、（15分）设体系处在102111Y c Y c +=ψ的状态中，式中c 1和c 2为常数。

（1）将此波函数归一化；（2）求力学量L 2的确定值；（3）求力学量L Z 的可能值和取这些可能值的概率以及L Z 的平均值。

2、(10分) 一粒子在一维势场⎪⎩

⎪

⎨⎧>∞≤≤<∞

=a

x a x x x U 00

)(中运动，求粒子的能级和对应的波函数。

3、（10分）求一维无限深势阱中基态粒子的定态波函数在其能量表

象中的形式。

4、（10分）在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给

出⎥⎥⎥

⎦⎤⎢

⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a a a E E E H 000000000000302010，其中a 为常数且为小量，利用微

扰理论求体系能量至二级修正。