行程问题的画图方法与技巧
小学思维数学：行程问题之发车间隔问题-带详解
发车间隔教学目标1、熟练运用柳卡解题方法解多次相遇和追及问题2、通过左图体会发车间隔问题重点——发车间隔不变（路程不变）3、能够熟练应用三个公式解间隔问题知识精讲发车问题要注意的是两车之间的距离是不变的。
可以用线等距离连一些小物体来体会进车队的等距离前进。
还要理解参照物的概念有助于解题。
接送问题关键注意每队行走的总时间和总路程，是寻找比例和解题的关键。
一、常见发车问题解题方法间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。
（一）、在班车里——即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。
如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。
（二）、在班车外——联立3个基本公式好使（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔（三）、三个公式并理解汽车间距=相对速度×时间间隔二、综上总结发车问题可以总结为如下技巧（1）、一般间隔发车问题。
用3个公式迅速作答；（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。
标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。
（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡【例1】每天中午有一条轮船从哈佛开往纽约，且每天同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛．轮船在途中均要航行七天七夜．试问：某条从哈佛开出的轮船在到达纽约前（途中）能遇上几艘从纽约开来的轮船？【考点】行程问题之发车间隔【难度】2星【题型】解答【解析】这就是著名的柳卡问题．下面介绍的法国数学家柳卡·斯图姆给出的一个非常直观巧妙的解法．他先画了如下一幅图：这是一张运行图．在平面上画两条平行线，以一条直线表示哈佛，另一条直线表示纽约．那么，从哈佛或纽约开出的轮船，就可用图中的两组平行线簇来表示．图中的每条线段分别表示每条船的运行情况．粗线表示从哈佛驶出的轮船在海上的航行，它与其他线段的交点即为与对方开来轮船相遇的情况．从图中可以看出，某天中午从哈佛开出的一条轮船（图中用实线表示）会与从纽约开出的15艘轮船相遇（图中用虚线表示）．而且在这相遇的15艘船中，有1艘是在出发时遇到（从纽约刚到达哈佛），1艘是到达纽约时遇到（刚好从纽约开出），剩下13艘则在海上相遇；另外，还可从图中看到，轮船相遇的时间是每天中午和子夜．如果不仔细思考，可能认为仅遇到7艘轮船．这个错误，主要是只考虑以后开出的轮船而忽略了已在海上的轮船．【答案】15艘【例2】甲、乙两站从上午6时开始每隔8分同时相向发出一辆公共汽车，汽车单程运行需45分。
六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧
六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧六年级奥数行程问题专题：走走停停的要点及解题技巧一、行程问题里走走停停的题目应该怎么做1。
画出速度和路程的图。
2。
要学会读图。
3。
每一个加速减速、匀速要分清楚,这有利于你的解题思路。
4。
要注意每一个行程之间的联系。
二、学好行程问题的要诀行程问题可以说是难度最大的奥数专题。
类型多：行程分类细,变化多,工程抓住工作效率和比例关系,而行程每个类型重点不一,因此没有一个关键点可以抓题目难：理解题目、动态演绎推理——静态知识容易学,动态分析需要较高的理解能力、逻辑分析和概括能力跨度大：从三年级到六年级都要学行程——四年的跨度,需要不断的复习巩固来加深理解、夯实基础那么想要学好行程问题,需要掌握哪些要诀呢？要诀一：大部分题目有规律可依,要诀是"学透"基本公式要诀二：无规律的题目有"攻略",一画（画图法）二抓（比例法、方程法）竞赛考试中的行程题涉及到很多中数学方法和思想（比如：假设法、比例、方程）等的熟练运用,而这些方法和思想,都是小学奥数中最为经典并能考察孩子思维的专项。
奥数行程：走走停停的例题及答案（一）例1。
甲乙两人同时从一条800环形跑道同向行驶,甲100米/分,乙80米/分,两人每跑200米休息1分钟,甲需多久第一次追上乙？【解答】这样的题有三种情况：在乙休息结束时被追上、在休息过程中被追上和在行进中被追上。
很显然首先考虑在休息结束时的时间最少,如果不行再考虑在休息过程中被追上,最后考虑行进中被追上。
其中在休息结束时或者休息过程中被追上的情况必须考虑是否是在休息点追上的。
由此首先考虑休息800÷200－1＝3分钟的情况。
甲就要比乙多休息3分钟,就相当于甲要追乙800＋80×3＝1040米,需要1040÷（100－80）＝52分钟,52分钟甲行了52×100＝5200米,刚好是在休息点追上的满足条件。
行程问题解题技巧(相遇问题)
行程问题解题技巧行程问题在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系,求第三种量的问题，叫做“行程问题”。
此类问题一般分为四类:一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题;四、过桥问题等。
行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。
相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题,如果他们的运动方向相同，则为追及问题.相遇问题两个运动物体作相向运动,或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展,必然面对面地相遇。
这类问题即为相遇问题。
相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇,实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A，B两地的路程＝（甲的速度＋乙的速度)×相遇时间＝速度和×相遇时间基本公式有：两地距离=速度和×相遇时间相遇时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇,相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇.则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍.相遇问题的核心是“速度和”问题。
利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。
相离问题两个运动着的动体,从同一地点相背而行。
若干时间后,间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。
它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。
解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离(速度和)。
基本公式有:两地距离=速度和×相离时间相离时间=两地距离÷速度和速度和=两地距离÷相离时间相遇(相离）问题的基本数量关系：速度和×相遇(相离）时间＝相遇(相离）路程在相遇（相离）问题和追及问题中,必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。
第27讲 画图解行程问题(一)
第27讲画图解行程问题（一）【培训提示】1.画线段图分析解答行程问题。
2.理解行程问题中的数量关系，拓展解题思路。
行程问题是小学数学学习的重要内容，也是数学竞赛中争相涉及的内容。
这不仅因为行程问题本省所含内容丰富、变化多端，而且它还与很多相关知识关系密切，所以单独设立章节，供大家学习研讨。
这一讲“画线段图解行程问题”着重介绍如何画线段图帮助理解题意，怎样通过线段图来模拟问题情景，在分析与解答的过程中，又怎样结合线段图使隐蔽的数量关系显现，使抽象的内在联系形象具体，以作为化难为易的一种辅助手段。
希望大家在学习研讨时，将例题示意图仅作参考，启发你画出更利与分析解答的线段图来。
【培训示例】例1甲车速度是每小时60千米，乙车速度是每小时40千米，两车虽然都从A地出发同路驶向B地，但因乙车提前出发，所以能使两车同时到达。
甲车是在乙车出发后行驶到全程的什么位置时才出发的？例2甲、乙二人分别从A、B两地同时出发，相向而行，乙的速度是甲的2。
二人相3遇后继续前进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回。
已知二人第二次相遇的地点相距第一次相遇的地点20千米，求A、B两地相距多少千米？例3A、B、C三人都要从甲地到乙地，如果步行，每人的速度都是每小时5千米，如果骑自行车，速度都是每小时20千米。
现在只有一辆自行车，要求三人同时出发又要用最短的时间同时到达，请设计行进方案。
如果已知甲、乙两地相距12千米，那么，从甲地到乙地他们用了多少时间？例4A、B两船同时从甲、乙两港相对开出，第一次在距乙港48千米处相遇；相遇后两船继续航行，各自到达甲、乙两港后，立即由原道返回，第二次在距乙港16千米处相遇。
甲、乙两港相距多少千米？例5甲、乙二人分别从A、B两地同时出发。
已知甲的速度比乙快，8小时后二人在途中C点处相遇。
如果二人的速度每小时都增加2千米，那么相遇时间即可缩短2小时，且相遇点D距离C点3千米。
甲每小时行多少千米？例6甲。
巧用图形法解决行程相关问题
数形结合是数学里非常重要的思想方法。
将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，通过对图形的定性分析、数形转化，可以对复杂问题，尤其是行程相关问题，进行估算，以提高解题速度。
正如著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事非。
”这里所说的行程相关问题，不止包括我们通常意义上所理解的行程类问题，还包括一些钟表类问题以及年龄问题等。
因为从某种意义上来讲，一些钟表类问题不过是圆周上的相遇追及问题，而年龄问题不过同方向、同速度的行程问题。
下面就通过几个例子讲一下如何使用图形法来解决行程相关类问题。
例1：小明8点8分从家里出发，走了8分钟后，爸爸去追他。
走了4千米追上小明。
爸爸返回家中再次去追小明，走了8千米再次追上小明。
问现在几点了?A.8点16分B.8点24分C.8点32分D.8点40分【编者分析】题目中出现多次追及和多个相遇地点，数量关系比较多，将数据和数量关系对应起来有一定的困难，可以考虑使用作图法，使这些复杂的关系清晰明了。
【解题思路】根据题意，可做图如下，其中C点、D点是小明和爸爸第一次、第二次相遇点。
爸爸返回家中并再次追上小明，所走路程为CA+AD=4+8=12千米，这段时间小明所走的路程为CD=4千米，故爸爸的速度为小明的3倍。
小明走4千米，比爸爸走4千米多用时8分钟，为爸爸用时的3倍，故爸爸走4千米用时4分钟，小明走8千米用时24分钟，现在的时间是8点32分。
例2：两个游泳运动员在长为30米的游泳池内来回游泳，甲的速度为1米/秒，乙为0.6米/秒，他们分别从两端出发，来回共游了5分钟。
转身时间不计，这段时间内他们相遇多少次?A.8B.9C.10D.11【编者分析】这段时间内，甲乙所做的运动既有相遇又有追及，过程比较复杂，考虑使用作图法。
【解题思路】根据题意，甲一个来回要60秒，乙要100秒，在5分钟内，甲乙在泳池中的路线如图所示，共相遇10次，因此，选C。
行程-图示解法(柳卡图)
行程问题中的图示解法一、S-T图竖轴表示路程，一般为出发后的每一时刻离出发的距离，出发时此距离为0。
横轴表示时间，一般从出发开始计时，出发点处时间为0。
图形中的每个点均表示在某一时刻时的位置。
如下图，小明从家出发去上学，家和学校的距离为2千米。
规定竖轴为离家的距离，横轴为出发的时间。
其中A点表示出发5分钟后小明在离家1千米的位置，B点表示出发10分钟后小明在离家2千米的位置，即到达学校。
可以看到B点之后，随着时间的改变小明的位置并未发生改变，即这个阶段小明均在学校里，距离家都是2千米。
在S-T图中，每个点的路程数值和时间数值的比值即为速度。
图中OB为一条直线，由三角形相似的知识我们可以知道，此直线上的任意一点的路程与时间的比值都相等，即由O到B这个阶段速度是不变的。
我们可以用OB上任意一点的数据求出速度，如看A点，路程为1千米，时间为5分钟，速度为1÷5=0.2千米/分钟。
二、柳卡图法国数学家柳卡·施斗姆生于瑞士，因数学上的成就，于1836年当选为法国科学院院士。
在十九世纪的一次国际数学会议期间，有一天，正当来自世界各国的许多著名数学家晨宴快要结束的时候，法国数学家柳卡向在场的数学家提出困扰他很久、自认“最困难”的题目：“某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同一时刻也有一艘轮船从纽约开往哈佛。
轮船在途中所花的时间来去都是七昼夜，而且都是匀速航行在同一条航线上。
问今天中午从哈佛开出的轮船，在开往纽约的航行过程中，将会遇到几艘同一公司的轮船从对面开来？”(此即著名的“柳卡趣题”)【分析】法一：推理从哈佛开出的轮船遇到的纽约开来的轮船有两类，一类是该船出发前已从纽约发出且尚未到达哈佛的轮船，即该船出发前7天内纽约发出的轮船，除出发时纽约刚到达伦敦的一艘船外途中共遇到6艘。
另一类是该船出发后从纽约发出的轮船，即该船出发后7天内纽约发出的轮船，除到达伦敦时刚发出的船外途中共遇到7艘。
有关行程问题的图象信息题的解法课件
行程问题在生活中的应用
交通工具的运动
如汽车、火车、飞机的行 驶，涉及到速度、时间和 距离的计算。
体育比赛
如田径、游泳、球类比赛 等，需要计算运动员的运 动成绩。
日常生活
如走路、骑自行车等，涉 及到速度和时间的计算。
02
行程问题图象信息解析
图像信息在行程问题中的作用
直观呈现问题情境
图像
THANKS
感谢观看
行程问题涉及的是物体在空间中 的移动，通过已知条件计算出物 体的运动距离、速度和时间。
行程问题的分类
01
02
03
直线行程问题
物体在直线上运动，涉及 匀速运动和匀加速运动。
曲线行程问题
物体在曲线或折线上运动 ，涉及匀速圆周运动和变 速运动。
综合行程问题
涉及多种运动形式和力的 作用，如重力、摩擦力等 。
03
行程问题图象信息题解 法
匀速直线运动问题
总结词
速度恒定，方向不变，路程与时间成正比。
详细描述
匀速直线运动是速度保持不变的直线运动，其路程与时间成正比。在图象上， 匀速直线运动的线是一条斜率为常数的直线，表示速度的大小和方向。通过图 象可以直接读出速度、路程和时间等物理量。
匀加速直线运动问题
04
实际应用案例解析
生活中的行程问题解析
总结词：生活实例
详细描述：通过生活中的实际例子，如上学、上班、旅游等场景，展示行程问题 的常见性和实用性。
物理实验中的行程问题解析
总结词：物理实验
详细描述：结合物理实验，如自由落体、匀速圆周运动等，解释行程问题在物理学中的应用和解决方 法。
数学题目中的行程问题解析
详细描述
匀减速直线运动是加速度保持不变的直线运动，其速度随时间均匀减小。在图象上，匀减速直线运动的线是一条 斜率逐渐减小的直线，表示速度随时间的变化规律。通过图象可以直接读出初速度、加速度、路程和时间等物理 量。
行程问题常用思想之图解法、综合分析
张 王
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1
探索
如图可知，小张3点到7点的4个小时比小王3点到4点的 一个小时多走15千米，从出发到2点比小王的1点到2点 也多走15千米，所以出发到2点用4个小时，出发时间是 早晨10点。
【例3】（★★★★★）迎春杯复赛 一条路上有东、西两镇．一天，甲、乙、丙三人同时 出发，甲、乙从东镇向西而行，丙从西镇向东而行， 当甲与丙相遇时，乙距他们20千米，当乙与丙相遇时 ，甲距他们30千米．当甲到达西镇时，丙距东镇还有 20千米，那么当丙到达东镇时，乙距西镇( )千米
加油站
③比例线段图 目的：寻找速度比与路程比的关系 【例4】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地出发，并在A、B两地间 不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米/小时，乙 车的速度是25千米/小时，甲乙两车第三次相遇地点 与第四次相遇地点相差100千米，求A、B两地的距离 是多少千米？
【例5】（★★★） 甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，在A、B两地 之间不断往返行驶.甲、乙两车的速度比为3：7，并 且甲、乙两车第1996次相遇的地点和第1997次相遇的 地点恰好相距120千米(注：当甲、乙两车同向时，乙 车追上甲车不算作相遇)。那么，A、B两地之间的距 离是多少千米？
行程问题常用思想 之图解法、综合分析
加油站
加油站
画图技巧： ①不同人，分开画 ②时间点，要标清 ③不同速，不同型
①一般线段图 主要目的：寻找路程和或差的关系 小升初热点应用题盘点—复杂工程、比例应用题
【例1】（★★★） 小王、小李二人往返于甲、乙两地，小王从甲地、小李从乙地同时出发， 相向而行，两人第一次在距甲地3千米处相遇，第二次在距甲地6千米处相 遇(追上也算作相遇)，则甲、乙两地的距离为_______千米。
2016大学生村官考试行测答题技巧画图巧解行程问题
2016大学生村官考试行测答题技巧:画图巧解行程问题作为数量关系的传统题型之一，行程问题总是“让人欢喜让人忧”：让人欢喜的是行程问题中的基础模型简单易懂，公式好记好用;忧愁的是行程问题变化多端，有时连分析对象的运动过程都显得尤为复杂，就更别提解题了。
想要转忧为喜，突破行程问题，不会画图怎么行?今天，就传授各位备考者几招画图的技巧，为破解行程问题打下好基础。
【例题】A、B两地位于同一条河上，B地在A地下游100千米处，甲船从A地、乙船从B地同时出发，相向而行，甲船到达B地、乙船到达A地后，都立即按原路线返航，水速为2米/秒，且两船在静水中的速度相同，如果两船两次相遇的地点相距20千米，那么两船在静水中的速度是多少米/秒?A.25/7B.10C.36D.20画图技巧之一：循文画图一般而言，行程问题的图线都是在水平方向呈现。
但是，在涉及行程问题之行船问题时，水流方向对于分析题意有重要影响。
选择竖直方向作图比水平方向作图更能形象地体现运动过程。
由甲船从A地(上游)，乙船从B地(下游)出发，确定两个对象与起点(见图一)。
画图技巧之二：线有虚实在行程问题中，通常会涉及两个对象的运动轨迹，如果都用相同的直线表示很可能造成混淆不利于分析。
因此，我们可以很好地利用实线与虚线的差别来体现不同对象的运动轨迹，这样能达到更为直观的效果。
同时，如果将在AB两地之间的往返运动分别在不同的空间来标示出来，既避免了重复，又利于厘清不同对象运动路线。
本题中，实线表示甲船，虚线表示乙船甲、乙两船在A、B两地间直线往返，将每次往返单独呈现(见图二)。
画图技巧之三：“箭”有所指在复杂的行程问题中，涉及的运动过程往往不止一个，如果从头到尾都是一条线，无疑不利于我们分析阶段性运动。
因此，在画图的过程中根据题意将运动分为不同的阶段，每一个阶段都用带箭头的线段来标示，更有助于我们将文字转化为图表。
进一步完善本题图形，箭头相触的P点为第一次相遇点，箭头相触的Q点为第二次相遇地点。
五年级奥数-用比例解行程问题(含答案解析)
1. 理解行程问题中正比例和反比例关系．2. 用比例和份数思想解行程问题．本讲是在秋季所学的火车过桥和流水行船的行程问题基础上，讲解运用比例性质解多次相遇追及行程问题．体会比例解决问题的优势．距离、速度、时间这三个数量之间的关系，可以用下面的公式来表示：距离=速度⨯时间．显然，知道其中的两个量，就可以求出第三个量，这是我们在小学课堂中经常解决的问题．同时对于三者之间的关系，我们还可以发现：当时间相同时，路程和速度成正比；当速度相同时，路程和时间成正比；当路程相同时，速度和时间成反比．也就是说：设甲、乙两个人，所走的路程分别为S 甲、S 乙；速度分别为V 甲、V 乙；所用时间分别为T 甲、T 乙时，由于S V T =⨯甲甲甲，S V T =⨯乙乙乙，有如下关系：⑴当时间相同即T T =乙甲时，有::S S V V =乙乙甲甲； ⑵当速度相同即V V =乙甲时，::S S T T =乙乙甲甲； ⑶当路程相同即S S =乙甲时，::V V T T =乙乙甲甲．【例 1】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时相向而行，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲到B 地、乙到A 地后立即返回．已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．用比例解行程问题用比例解多次相遇问题乙21BA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此:30:203:2S V V ===乙乙甲甲:S ，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了3个全程，一个全程甲走3份，3个全程甲共走339⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［铺垫］ 甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度3米/秒，乙的速度2米/秒．如果他们同时分别从直路的两端出发，当他们跑了10分钟后，共相遇多少次？［分析］ (方法一)10分钟两人共跑了(3+2)⨯60⨯10=3000 米 3000÷100=30个全程．我们知道两人同时从两地相向而行，他们总是在奇数个全程时相遇(不包括追上)1，3，5，7，，29共15次． (方法二)第一次两个人相遇需要100÷(3+2)=20(秒),从第一次开始到第二次相遇要走两个全程需要：200÷(3+2)=40(秒)所以一个相遇：(10⨯60-20)÷40+1=15.5(次)，即为15次．［拓展］ 老师可以把【例 1】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2-1=5(个全程)，甲走了：3⨯5=15(份)在B 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2-1=7(个全程)，甲走了：3⨯7=21(份)在D 点,已知BD 是20千米，所以AB 的长度是20÷4⨯(2+3)=25(千米)．【例 2】 甲、乙二人同时从A 地出发同向而行去往B 地，甲的速度是每小时30千米，乙的速度是每小时20千米，二人相遇后继续行进，甲、乙到B 地后立即返回A 地．已知二人第三次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米(两人相遇指迎面相遇)，那么，A 、B 两地相距＿＿＿千米．FE乙甲21DCBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此::30:203:2S S V V ===乙乙甲甲，设全程为5份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了2份，第一次相遇，甲、乙一共行了两个全程，一个全程甲走3份，2个全程甲共走了326⨯=(份)所以C 是第一次相遇地点，第一次相遇到第二次相遇，甲、乙共走2个AB ，因此从开始到第二次相遇，甲、乙共走了4个全程，一个全程甲走3份，4个全程甲共走3412⨯=份，所以D 是第二次相遇地点，由图看出DC 是2份．但已知DC 是20千米，所以AB 的长度是20÷2⨯(2+3)=50(千米)．(也可以用乙进行计算)［拓展］ 老师可以把【例 2】的问题改为：已知两个人第四次相遇的地点距离第三次相遇的地点20千米，那么A 、B 两地相距多少千米？［分析］ 由此推出,第三次相遇甲乙共走：3⨯2=6(个全程)，甲走了：3⨯6=18(份)在第D 点，第四次相遇甲乙共走：4⨯2=8(个全程)，甲走了：3⨯8=24(份)在F 点,已知DF 是20千米，所以AB 的长度是20⨯(2+3)=100(千米)．［总结］ 设一个全程中甲走的路程为M ,乙走的路程为N⑴甲乙二人从两端出发的直线型多次相遇问题： ⑵ 同一出发点的直线型多次相遇问题【例 3】 甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发相向而行，在A 、B 两地之间不断往返行驶．甲车速度是乙车速度的37，并且甲、乙两车第2008次相遇的地点和第2009次相遇的地点恰好相距120千米(注:当甲、乙两车同向时,乙车追上甲车不算作相遇)，那么，A 、B 两地之间的距离是多少千米？ 20092008甲DBA【分析】 因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此3:7S V V ==乙乙甲甲：S ：，设全程为10份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了7份，通过总结的规律分析第2008次相遇时，甲走：(2008⨯2-1)⨯3=12045(份)，120451012045÷=，所以第2008次相遇地点是在从A 地向右数5份的C 点，第2009次相遇时甲走：(2009⨯2-1)3⨯=12051(份)，120511012051÷=，所以第2009次相遇地点在从B 点向左数1份的D 点，由图看出CD 间距离为4份，A 、B 两地之间的距离是120410300÷⨯=(千米)．［总结］ 对于份数比较大找相遇地点时，用甲走的总份数除以全程份数，得到商和余数，当商为偶数时，从甲的出发点向终点数余数的份数即为相遇地点，当商为奇数时，从终点向甲的起点数余数的份数即为相遇地点［巩固］ 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，往返跑步．甲每分跑180米，乙每分跑240米．如果他们的第100次相遇点与第101次相遇点的距离是160米，求A 、B 两点间的距离为多少米？101100乙甲A相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 1 M N2 3 3M 3N3 5 5M 5N… … … …n 21n - (21)n M - (21)n N - 相遇次数 甲乙共走的路程和 甲共走的路程 乙共走的路程1 2 M N 2 4 4M 4N 3 6 6M 6N … … … … n2n 2nM 2nN［分析］因为甲乙同时出发，同时相遇，所以甲、乙相遇时间相同，因此180:2403:4S V V====乙乙甲甲：S：，设全程为7份，则一个全程中，甲走了3份，乙走了4份，通过总结的规律分析第100次相遇时，甲走：(100⨯2-1)⨯3=597(份)，5977852÷=，所以第100次相遇地点是在从B地向左数2份的C点，第101次相遇时甲走：(101⨯2-1)3⨯=603(份)，6037861÷=，所以第101次相遇地点在从A点向右数1份的D点，由图看出CD间距离为4份，A、B两地之间的距离是16047280÷⨯=(米)．【例 4】小张与小王分别从甲、乙两村同时出发，在两村之间往返行走(到达另一村后就马上返回)，他们在离甲村3.5千米处第一次相遇，在离乙村2千米处第二次相遇.问他们两人第六次相遇的地点离乙村多远(相遇指迎面相遇)？【分析】画示意图如下.2123.5乙甲第二次相遇两人已共同走了甲、乙两村距离的3倍，因此张走了3.5⨯3=10.5(千米).从图上可看出，第二次相遇处离乙村2千米.因此，甲、乙两村距离是10.5-2=8.5(千米).第六次相遇时，两人已共同走了两村距离26111⨯-=倍的行程.其中张走了3.51138.5⨯=(千米)，38.58.54 4.5÷=，就知道第六次相遇处，离乙村4.5千米.［巩固］甲、乙二人以均匀的速度分别从A、B两地同时出发，相向而行，他们第一次相遇地点离A地4千米，相遇后二人继续前进，走到对方出发点后立即返回，在距B地3千米处第二次相遇，求两次相遇地点之间的距离.［分析］第二次相遇两人总共走了3个全程，所以甲一个全程里走了4千米，三个全程里应该走4⨯3=12千米，通过画图，我们发现甲走了一个全程多了回来那一段，就是距B地的3千米，所以全程是12-3=9千米，所以两次相遇点相距9-(3+4)=2千米．【例 5】A、B两地相距2400米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B间往返长跑．甲每分钟跑300米，乙每分钟跑240米，在30分钟后停止运动．甲、乙两人在第几次相遇时距A地最近？最近距离是多少米？【分析】(300240)302400 6.75+⨯÷=(个)，即甲乙共行了6.75个全程，共相遇了3次，甲乙两人的速度比是300:2405:4=，设全程为9份，第一次相遇甲行5份，乙行4份，所以第一次相遇地点距A地是全程的59，第二次相遇时两人共行了３个全程，甲行的距A地9(359)3-⨯-=份，所以第二次相遇地点距A地是全程的13，第三次相遇时两人共行了5个全程，55927⨯÷=甲行的距A地7份，所以第三次相遇地点距A地是全程的79，所以第二次相遇距A地最近，最近距离是124008003⨯=(米)【例 6】A、B是一圈形道路的一条直径的两个端点，现有甲、乙两人分别从A、B两点同时沿相反方向绕道匀速跑步(甲、乙两人的速度未必相同)，假设当乙跑完100米时，甲、乙两人第一次相遇，当甲差60米跑完一圈时，甲、乙两人第二次相遇，那么当甲、乙两人第二十一次相遇时，甲跑完几圈又几米？【分析】 甲、乙第一次相遇时共跑0.5圈，乙跑了100米；第二次相遇时，甲、乙共跑1.5圈，则乙跑了1003300⨯=米，此时甲差60米跑一圈，则可得0.5圈是30060240-=米，一圈是480米． 第一次相遇时甲跑了240100140-=米，以后每次相遇甲又跑了1402280⨯=米，所以第二十一次相遇时甲共跑了：140280(211)5740+⨯-=(米)，574048011460÷=．即跑完11圈又460米．［铺垫］ 甲和乙两人分别从圆形场地的直径两端点同时开始以匀速按相反的方向绕此圆形路线运动，当乙走了100米以后，他们第一次相遇，在甲走完一周前60米处又第二次相遇．求此圆形场地的周长？［分析］ 第一次相遇，两人共走了0.5圈；第二次相遇，两人共走了1.5圈．所以第二次相遇时，乙一共走了BAD 1003300=⨯=(米)，又知到AD 60=(米)，所以圆形场地的半周长为30060240-=(米)，那么，周长为2402480⨯=米．【例 7】 A 、B 两地相距13.5千米，甲、乙两人分别由A 、B 两地同时相向而行，往返一次，甲比乙早返回原地，途中两人第一次相遇于C 点，第二次相遇于点D ，CD 相距３千米，则甲．乙两人的速度比是为多少？【分析】 方法一：根据题意画图如下乙甲21DB设甲、乙第一次相遇时分别走的路程为x 千米，y 千米，依题意列方程组得，3313.53313.5x y y x --=⎧⎨+-=⎩解得7.56x y =⎧⎨=⎩，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==方法二：用甲、乙代表两个人第一次相遇走的路程，可以整体的分析从开始到第二次相遇甲走的路程为：3⨯甲，乙走的路程为：3⨯乙，甲乙二人的路程差为：3⨯(甲-乙)；分开考虑甲一共走的路程为：一个全程+乙+3，乙一共走的路程为：一个全程+甲-3，两个人的路程差为：(一个全程+乙+3)－(一个全程+甲-3)=乙-甲+6.综合列式为：3(甲-乙)=乙-甲+6，得到：甲-乙=1.5，由于，甲+乙=13.5，所以甲=7.5(千米)，乙=6(千米)，所以甲乙的速度比，即为甲乙路程比7.5:65:4==．【例 8】 两辆电动小汽车在周长为360米的圆形道上不断行驶，甲车每分行驶20米．甲、乙两车同时分别从相距90米的A ，B 两点相背而行，相遇后乙车立即返回，甲车不改变方向，当乙车到达B 点时，甲车过B 点后恰好又回到A 点．此时甲车立即返回(乙车过B 点继续行驶)，再过多少分与乙车相遇？DC 甲B A乙甲ABC乙甲AB【分析】 设右图中C 表示甲、乙第一次相遇地点．因为乙从B 到C 又返回B 时，甲恰好转一圈回到A ，所以甲、乙第一次相遇时，甲刚好走了半圈，因此C 点距B 点809090-=(米)．因此相同时间内，甲乙所行路程比为180:902:1=，所以甲乙二人的速度比为2:1，因此乙每分行驶20210÷=(米)，甲、乙第二次相遇，即分别同时从A ，B 出发相向而行相遇需要90(1020)3÷+=(分)．［拓展］ 如图所示，某单位沿着围墙外面的小路形成一个边长300米的正方形．甲、乙两人分别从两个对角处沿逆时针方向同时出发．如果甲每分走90米，乙每分走70米，那么经过多少时间甲才能看到乙？乙甲［分析］ 甲看到乙的时候，甲和乙在同一条边上，甲乙两人之间的距离最多有300米长，当甲追上乙一条边(300米)需300(9070)15÷-=(分)，此时甲走了9015300 4.5⨯÷=(条)边，甲、乙不在同一条边上，甲看不到乙．甲再走0.5条边就可以看到乙了，即甲走5条边后可看到乙，共需2300590163⨯÷=分钟，即16分40秒．【例 9】 甲、乙二人分别从A 、B 两地同时出发，如果两人同向而行，甲26分钟赶上乙；如果两人相向而行，6分钟可相遇，又已知乙每分钟行50米，求A 、B 两地的距离．【分析】 先画图如下：C262666乙甲BA方法一: 若设甲、乙二人相遇地点为C ，甲追及乙的地点为D ，则由题意可知甲从A 到C 用6分钟.而从A 到D 则用26分钟，因此甲从C 走到D 之间的路程时，所用时间应为：26620-=(分)．用比例解其他行程问题同理乙从C走到D之间的路程时，所用时间应为：26632+=(分)，所以相同路程内甲乙所用时间比为20:325:8=，因此甲、乙二人的速度比为8:5，所以甲的速度为505880÷⨯=(米/分)，A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)方法二：设甲的速度是x米/分钟那么有(50)26(50)6x x-⨯=+⨯解得80x=A、B两地的距离为(8050)6780+⨯=(米)，或(8050)26780-⨯=(米)［拓展］甲、乙两人分别从Ａ、B两地同时相向出发．相遇后，甲继续向B地走，乙马上返回，往Ｂ地走．甲从Ａ地到达B地．比乙返回Ｂ地迟0.5小时．已知甲的速度是乙的34．甲从Ａ地到达地Ｂ共用了多少小时?［分析］相遇时，甲、乙两人所用时间相同．由题意知，甲乙二人速度比为3:4，所以甲乙二人所行的路程比为3:4，从相遇到返回B地，甲乙所行路程相同，所以返回所用时间比为4:3，又知甲从Ａ地到达B地比乙返回B地迟0.5小时，即从相遇点到B地这同一段路程中，甲比乙多用0.5小时．可求出从相遇点到B地甲用了0.542⨯=(小时)，相遇时，甲乙二人所行的路程比为3:4，甲用时为243 1.5÷⨯=(小时)甲从Ａ地到达地Ｂ共用2 1.5 3.5+=(小时)【例10】一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20％，可以提前1小时到达．如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30％，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？【分析】设原速度是1. 后来速度为(120%) 1.2+=，速度比值：1:(120%)5:6+=这是具体地反映：距离固定，时间与速度成反比.时间比值6:5这样可以把原来时间看成6份，后来就是5份，这样就节省1份，节省1个小时．原来时间就是1⨯6=6小时．同样道理，车速提高30％，速度比值：1:(130%)10:13+=时间比值：13:10这样节省了3份，节省1小时，可以推出行驶一段时间后那段路程的原时间为13 3所以前后的时间比值为(6-133):1335:13=．所以总共行驶了全程的5135=+518.［巩固］(第三届走美试题)从上海开车去南京，原计划中午11：30到达．但出发后车速提高了17，11点钟就到了．第二天返回，同一时间从南京出发．按原速行驶了120千米后，再将车速提高16，到达上海时恰好11：10．上海、南京两市的路程是千米．［分析］由题意设原来速度和车速提高了17后速度比为7:8，则所用时间比为8:7，设原计划用时8份，提速后用时7份，差的一份正好是30分钟，,则原计划用时为240分钟,返回时间缩短20分钟，是由于车速提高16，原来计划速度与返回提速后速度比为6:7，则返回提速后这段路程内所用时间比为7:6，设这段路程原计划用时7份，提速后用时为6份，差的一份正好是20分钟，所以返回提速后用时120分钟，原计划用时140分钟，则原速行驶120千米用时240140100-=(分钟)，上海、南京两市的路程是120100240288÷⨯=(千米)【例11】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，出发时他们的速度之比是3:2,他们第一次相遇后甲的速度提高了20﹪，乙的速度提高了30﹪，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有14千米，那么A、B两地的距离是多少千米？【分析】 因为他们第一次相遇时所行的时间相同，所以第一次相遇时甲、乙两人行的路程之比也为3:2，设第一次相遇时甲、乙两人行的路程分别是3份，2份相遇后，甲、乙两人的速度比为[][]3(120%):2(130%)18:13⨯+⨯+=，到达B 地时，即甲又行了2份的路程，这时乙行的路程和甲行的路程比是13:18，即乙的路程为21318⨯=419．乙从相遇后到达A 还要行3份的路程，还剩下4531199-=(份)，正好还剩下14千米，所以1份这样的路程是514199÷=(千米)．A 、B 两地有这样的325+=(份)，因此A 、B 两地的总路程为：9545⨯=(千米)【例12】 (第五届走美决赛试题)小王8点骑摩托车从甲地出发前往乙地，8点15追上一个骑车人．小李开大客车8点15从甲地出发前往乙地，8点半追上这个骑车人．小张8点多也从甲地开小轿车出发前往乙地，速度是小李的1.25倍．当他追上骑车人后，速度提高了20％．结果小王、小李、小张三人一同于9点整到达乙地．小王、小李、骑车人的速度始终不变．骑车人从甲地出发时是 点 分，小张从甲地出发时是8点 分 秒．【分析】9：009：009：009：00骑车人小张小李8：15小王8：00乙地15分15分由题意知小王与小李从甲地到乙地所用时间分别是60分、45分，因此小王与小李的速度比是3:4，又小张速度是小李的1.25倍，因此小王、小李、小张的速度比为3:4:5，设小王、小李、小张的速度分别为3、4、5.由上图可以看小李比小王15分钟多行的路程恰是骑车人15分钟的路程，因此骑车人的速度为(43)15151-⨯÷=，即小王的速度是骑车人的3倍，而小王追上骑车人要15分钟，所以骑车人行这段路程要45分钟，因此骑车人是8点30分出发的．小王从甲地到乙地要1小时，可知全程为603180⨯=，因此骑车人到乙地要3小时，骑车人在9点时恰好行了全程的一半，由题意小张追上骑车人后速度变为6，从追上骑车人到到达乙地小张比骑车人多行了180290÷=，因此小张以速度6行驶路程所用时间为90(61)18÷-=(分)，所行路程为186108⨯=，则追赶骑车人所用时间为(180108)514.4-÷=(分)，因此小张从甲地到乙地共用时间为1814.432.4+=(分)=32分24秒，即小张从甲地出发时是8点27分36秒［巩固］ 甲从A 出发步行向B ．同时，乙、丙两人从B 地驾车出发，向A 行驶．甲乙两人相遇在离A 地3千米的C 地，乙到A 地后立即调头，与丙在C 地相遇．若开始出发时甲就跑步，速度提高到步行速度的2.5倍，则甲、丙相遇地点距A 地7.5千米．求AB 两地距离． ［分析］ 设BC 间的路程为S ，甲的速度为v 甲，乙的速度为v 乙，丙的速度为v 丙，由题意知，3v v S=甲乙，6v S v S +=乙丙,则36)v S v S S ⨯+=⨯甲丙（，甲提速后速度变为2.5v 甲．则2.57.5(7.53)v v S =--甲丙，即34.5v v S =-甲丙，所以36)34.5S S S S ⨯+=⨯-（，解得18S =，所以AB 两地间路程为18321+=(千米)1.甲、乙两车同时分别从相距55千米的AB 两地相向开出，甲行驶了23千米后跟乙相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立刻返回．问：⑴ 第2次相遇点距B 地多少千米？⑵第6次相遇点距A 地多少千米？【分析】 通过分析，我们可以发现：一个全程里甲走23千米，⑴ 第2次相遇共3全程，故甲走了23⨯3=69(千米)，甲走了一个全程多了一点，故距离B 地就是69-55=14(千米)．⑵第6次相遇总共是11个全程，故甲走了23⨯11=253(千米)，25355433÷=，甲走了4个全程多点，多的那部分就是我们要求的距A 的距离为：33千米．2. 甲、乙两列车同时从A 、B 两地相对开出，第一次在离A 地75千米处相遇．相遇后继续前进，到达对方出发地后都又立刻返回，第二次相遇在离B 地55千米处，求A 、B 两地相距多远．【分析】 通过画图找出行程之间的关系．第一次相遇就相当于甲车和乙车一共走了一个全程，根据总结：第2次相遇总共走了3个全程，则甲就走了3个75千米，3⨯75=225千米，画图可以知道甲走了一个全程多了那55千米，所以全程为225-55=170千米．3. 甲、乙两车分别从A 、B 两地出发，并在A 、B 两地间不断往返行驶，已知甲车的速度是15千米／小时，乙车的速度是25千米／小时，甲乙两车第三次相遇地点与第四次相遇的地点相差100千米，求A 、B 两地的距离是多少千米？【分析】 甲、乙两车的速度比为：15:253:5=，所以可以把全程分成8份，每走一个全程甲走3份，乙走5份，第三次相遇甲乙共走：3215⨯-=(个全程)，甲走了：3515⨯=(份)，第四次相遇甲乙共走：4217⨯-=(个全程)，甲走了：3721⨯=(份),画图知到两次相遇点100米是4份，所以AB 的长度是10048200÷⨯=(千米)．4. 甲、乙两车的速度分别为52千米／时和40千米／时．他们同时从A 地出发去B 地，在A 、B 两地间往返而行，从开始走到第三次相遇，共用了6小时．A 、B 两地相距多少千米？【分析】 从开始走到第一次相遇，两车走的路程是两个AB 之长；而到第三次相遇，两车走的路程总共就是6个AB 之长是：(52+40)⨯6=552(千米)，A 、B 两地相距的路程是：552÷6=92(千米)．5. 一列火车从甲地开往乙地，如果将车速提高，可以比原计划提前1小时到达；如果先以原速度行驶240千米后，再将速度提高25％，则可提前40分钟到达.求甲、乙两地之间的距离及火车原来的速度.【分析】 根据题意可知车速提高后与原来速度比为(1+20％) :1=6:5,由于所行路程相同，所以所用时间比为5:6，所差时间是1小时，即1份是1小时，所以原来行完全程需要6小时，同理可求出行完240千米后所用时间为40⨯5=200(分钟)=133(时)，所以行240千米所用时间为6-133=83(时)，火车速度为240÷83=90(千米/时)，甲乙两地间的距离为90⨯6=540(千米)6.一只小船第一次顺流航行65千米，逆流航行21千米，一共用了10小时；第二次顺流航行20千米，逆流航行12千米，用了4小时．那么船在静水中航行64千米需要多长时间？【分析】如果把第二次航行中顺流和逆流的航程增加到2.5倍，显然时间会变成：4 2.510⨯=小时；顺流航行20 2.550⨯=千米；逆流航行12 2.530⨯=千米．而第一次航行也是花了10小时，但是顺流航程和逆流航程分别是65和21千米．通过比较很容易看出第二次航行比第一次少了，655015-=千米的顺流航程，但是多了30219-=千米的逆流航程．顺流走15千米所花的时间和逆流走9千米所花的时间相等，由此可知顺流速度和逆流速度比应该是15:95:3=，因此相同时间内顺水路程和逆水路程比为5:3，逆流航行21千米相当于顺流航行35千米，所以顺水速度为(6535)1010+÷=(千米/时)，逆水速度为10536÷⨯=(千米/时)，静水速度为(106)28+÷=(千米/时)，船在静水中航行64千米需要6488÷=(小时)。
行程问题的解题技巧和方法
行程问题的解题技巧和方法
行程问题是数学中的一类常见问题，它们通常涉及到时间、距离、速度等概念。
解决这类问题需要掌握一些技巧和方法，以下是其中的一些：
1. 画图法
我们可以通过画图的方式将问题模拟出来，明确各个变量的含义和关系。
比如在解决汽车行驶问题时，可以画出车辆行驶的路线图，标明起点、终点、途中的里程数等，以便更好地理解问题和推导答案。
2. 等量代换法
有时候问题中的某些变量可以用其他变量表示出来，这时候可以通过等量代换来简化计算。
比如在解决两车相遇问题时，可以将两车相遇的时间转化为两车之间的距离关系，然后用速度和时间的公式求解。
3. 速度图法
速度图是一种表示车速变化的图形，可以帮助我们更好地理解车辆行驶的过程。
在解决多车同时出发的问题时，可以通过画速度图来分析各车之间的关系，以便更好地推导答案。
4. 追及问题法
追及问题是一类特殊的行程问题，通常涉及到两个物体的相对运动。
在解决这类问题时，可以采用追及问题法，即通过两个物体的相对速度和相对距离来推导它们相遇的时间和地点。
5. 求平均速度
在解决行程问题时，有时需要求出多个车辆或物体的平均速度。
这时候可以通过平均速度的公式来计算，即平均速度=总路程/总时间。
以上是解决行程问题的一些常用技巧和方法，它们可以帮助我们更好地理解问题和推导答案。
当然，还有很多其他的方法和技巧，需要根据具体情况进行选择和应用。
公考图示法解行程问题技巧实例
公考图示法解行程问题技巧实例随着2011年各个省份的招考公告的发布，省公务员考试的紧张备考已经进入冲刺时刻。
在公务员行测考试中，运用图形展示应用在数量关系和思维过程成为近年来行测考试的重要方法。
图示法具有直观、便捷、高效的特点，在此，就图示割补法、转换法和逆向法作介绍，希望能够帮助你顺利通过考试。
例1、A、B 两站之间有一条铁路，甲、乙两列火车分别停在 A 站和 B 站，甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程。
乙火车上午8 时整从B 站开往A站，开出一段时问后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9时整两列火车相遇。
相遇地点离A、。
B两站的距离比是15：16.那么。
甲火车在( ) 从 A 站出发开往 B 站。
(2007年国家公务员考试真题)A.8时12 分B.8时15 分C. 8 时 24 分D.8 时 30 分解析：本题属于比例行程问题，由“甲火车4分钟走的路程等于乙火车5分钟走的路程”这句话可得：路程不变，时间和速度成反比，则，v甲：v乙=5：4。
可作下图：“开出一段时问后，甲火车从 A 站出发开往 B 站，上午 9时整两列火车相遇”表明甲乙两人不是同时出发，则假设甲乙是同时出发，可通过“补”的方法完善图形：即假设甲从M、乙从B于上午8点同时出发出发，则可得出MC=20份，AM=5份。
再由AM：AC=1：3，根据速度不变，路程和时间成正比，得甲走完MA和AC的路程所用时间之比为1：3，即甲到达A点的时刻为：8时15 分。
答案选B。
例2、甲车从A 地，乙车从B地以不同的速度匀速相向开出。
两车相遇后分别掉头，并以对方的速率进行。
甲车返回A地后又一次掉头以同样的速率沿公路向B地开动。
最后甲、乙两车同时到达B地。
如果最开始时甲车的速度为 x ，则最开始时乙车的速率为( )。
(2006年国家公务员考试真题)A.4xB.2xC. 0.5xD.无法判断解析：该题的难点有二：其一甲乙相遇后各自回头，而没有继续向前走;其二是甲乙相遇后速度改变，并以对方的速度行驶。
画图法解行程问题
画图法解相遇问题
某人沿公路前进,迎面来了一辆车,他问司机后面有骑车的人吗.司机说10分钟前我超过一个.这人继续走了10分钟,遇到骑车的那个人。
如果骑车的速度是步行速度的3倍，那么，汽车速度是步行速度的多少倍？
蓝色是自行车，黑色是汽车。
先看图：在A点汽车遇到自行车，在C点人和汽车遇到，汽车遇到人时自行车在M点。
分析：汽车从A到C用了10分钟（这是司机说的），在这10分钟里面，自行车从A到达M。
之后，人从C步行了10分钟到达B遇到自行车，在这10分钟里面，自行车是从M到达B。
也就是说，自行车从A到B用了20分钟，既然已知自行车是步行速度的3倍，那么可以知道，人从B到A要用60分钟。
好吧，答案马上揭晓，人从C到B用了10分钟，从B到A用60分钟，那么从C到A应该要用70分钟。
答案揭晓：汽车从A到C用10分钟，人用70分钟，汽车速度是步行速度的7倍呀。
画图巧解行程问题
画图巧解行程问题［题目］甲、乙两列火车从两地相对开出，5小时后在距离中点40千米处相遇。
已知快车每小时行60千米，慢车每小时行多少千米？［分析与解］此题的一般思路是先求出两地的路程，然后求出速度和，最后求慢车的速度。
但是快车越过了中点40千米，很容易理解错误!可是如果画图可能解答方法就会很容易，大家试着把题意用线段图表示出来。
（答案两天后公布，请先想想，也可展示自己的巧思妙解）答案:［一般解法］已知两车5小时相遇和快车每小时行60千米，则相遇时快车行驶的路程是：60×5＝300（千米）；又知相遇点距中点40千米，肯定是快车越过了中点40千米，因此可以求出全程的长度是：（300－40）×2＝5 20（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：520÷5－60＝44（千米）。
综合算式是：（300－40）×2÷5－60＝44（千米）。
［巧妙解法］根据题意可画图如下：观察上图，用粗线表示慢车所行的路程，用细线表示快车所行的路程，由“在距离中点40千米处相遇”可知，相遇时快车比慢车多行了（40×2）80千米，由此就可以求出快车每小时比慢车多行驶的路程是：80÷5＝16（千米），由此可知慢车每小时行驶的路程是：60－16＝44（千米）。
综合算式是：60－40×2÷5＝44（千米）。
行程问题万能解法：“三个量，三个关系”行程问题是小学奥数中变化最多的一个专题，不论在奥数竞赛中还是在“小升初”的升学考试中，都拥有非常重要的地位。
行程问题中包括：火车过桥、流水行船、沿途数车、猎狗追兔、环形行程、多人行程，等等。
每一类问题都有自己的特点，解决方法也有所不同，但是，行程问题无论怎么变化，都离不开“三个量，三个关系”：这三个量是：路程(s)、速度(v)、时间(t)三个关系：1. 简单行程：路程 = 速度×时间2. 相遇问题：路程和 = 速度和×时间3. 追击问题：路程差 = 速度差×时间牢牢把握住这三个量以及它们之间的三种关系，就会发现解决行程问题还是有很多方法可循的。
经典行程问题
几大经典行程问题汇总及技巧介绍这些题是我今天晚上翻阅资料里面遇到的，觉得很多题都不错，发出来和大家一起复习和学习1、甲乙两人相约见面，并约定第一人到达后，等15分钟不见第二人来就可以离去。
假如他们都在10至1 0点半的任意时间来到见面地点，则两人能见面的概率有多大？------------------------------------卡卡西解析：在坐标第一象限，画一个正方形（两边贴着坐标轴），画两条线x-y<15,y-x<15,求围成图形/正方形面积2、张王两人相约见面，并约定张到达后等15分钟、王到达后等30分钟，如果时间到了仍不见另一人到可以自行离开. 请问，张王两人在6点到7点之间见面的概率是多大？------------------------------------同理，两条线分别是x-y<15,y-x<30相信话这个图大家没问题吧3、某公交线路共有15站。
假设一辆公交车从起点站出发，从起点站起，每一站都会有都到前方每一站下车的乘客各一名上车，那么站第九站和第十站之间，车上有多少人？A. 48B. 54C. 56D. 60-----------------------------------一般解题方法：站台：1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6，7，8，9，10上车：14，13，12，11，10，9，8，7，6，5下车：0 ，1 ，2 ，3 ，4 ，5，6，7，8，9第9到第10之间是：（14+13+12+……+6）-（0+1+2+3+……8）=54方法二：1到9是9站，9到15是6站，即前9站每一站上车的乘客都还剩下6个人，6X9=544、有甲、乙两汽车站，从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔6分同时各发车一辆，且都是1小时到达目的地。
问某旅客乘车从甲站到乙站，在途中可看到几辆从乙站开往甲站的汽车？（）A. 18B. 21C. 20D. 19-----------------------------------解析：从甲站到乙站与从乙站到甲站每隔6分同时各发车一辆，则从甲站到乙站的过程中每6\2=3分钟就可以看到一辆车（可以理解为，一辆车要走6分钟，两辆车相向而行只需要6/2=3分钟），所以最多可看到60\3+1=21辆车，在途中可以看到21-2=19辆车“+1”表示到站的时候看到的正准备出发的车，“-2”表示他出发的时候遇到的车和他到站时候遇到的车（题目问的是途中，所以起点遇到和终点遇到不算）5、从甲、乙两车站相对同时开出公车，此后两站每隔8分钟再开出一辆，依次类推，已知每辆车的车速相同且匀速，每辆车到达对方站都需45分钟，现有一乘客坐甲站开出的第一辆车去乙站，问他在路上会遇到几辆从乙站开出的公共汽车？-------------------------------------速度相同，第一辆车走了S/2时遇到迎面而来的第一辆车。
六年级小升初数学行程问题
六年级（小升初）总复习行程问题行程问题常用的解题方法有⑴公式法 S=V*T ⑵图示法⑶比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值．更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；⑷分段法⑸方程法模块一、时间相同速度比等于路程比【例1】甲、乙二人分别从 A、 B 两地同时出发，相向而行，甲、乙的速度之比是 4 : 3，二人相遇后继续行进，甲到达 B 地和乙到达 A地后都立即沿原路返回，已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点 30千米，则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】两个人同时出发相向而行，相遇时时间相等，路程比等于速度之比，即两个人相遇时所走过的路程比为 4 : 3．第一次相遇时甲走了全程的4/7；第二次相遇时甲、乙两个人共走了 3个全程，三个全程中甲走了453177⨯=个全程，与第一次相遇地点的距离为542(1)777--=个全程．所以 A、 B两地相距2301057÷= (千米)．【例2】B地在A，C两地之间．甲从B地到A地去送信，甲出发10分后，乙从B地出发到C地去送另一封信，乙出发后10分，丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了，于是他从B地出发骑车去追赶甲和乙，以便把信调过来．已知甲、乙的速度相等，丙的速度是甲、乙速度的3倍，丙从出发到把信调过来后返回B地至少要用多少时间。
【解析】根据题意当丙发现甲、乙刚好把两封信拿颠倒了此时甲、乙位置如下：因为丙的速度是甲、乙的3倍，分步讨论如下：（1）若丙先去追及乙，因时间相同丙的速度是乙的3倍，比乙多走两倍乙走需要10分钟，所以丙用时间为：10÷（3－1）=5（分钟）此时拿上乙拿错的信5分钟5分钟10分钟当丙再回到B点用5分钟，此时甲已经距B地有10＋10＋5＋5＝30（分钟），同理丙追及时间为30÷（3－1）=15（分钟），此时给甲应该送的信，换回乙应该送的信在给乙送信，此时乙已经距B地：10＋5＋5＋15＋15=50（分钟），此时追及乙需要：50÷（3－1）=25（分钟），返回B地需要25分钟所以共需要时间为5＋5＋15＋15＋25＋25=90（分钟）（2）同理先追及甲需要时间为120分钟【例 3】 (“圆明杯”数学邀请赛) 甲、乙两人同时从A 、B 两点出发，甲每分钟行80米，乙每分钟行60米，出发一段时间后，两人在距中点的C 处相遇；如果甲出发后在途中某地停留了7分钟，两人将在距中点的D 处相遇，且中点距C 、D 距离相等，问A 、B 两点相距多少米？【分析】 甲、乙两人速度比为80:604:3=，相遇的时候时间相等，路程比等于速度之比，相遇时甲走了全程的47，乙走了全程的37．第二次甲停留，乙没有停留，且前后两次相遇地点距离中点相等，所以第二次乙行了全程的47，甲行了全程的37．由于甲、乙速度比为4:3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以甲行走期间乙走了3374⨯，所以甲停留期间乙行了43317744-⨯=，所以A 、B 两点的距离为1607=16804⨯÷(米)．【例 4】 甲、乙两车分别从 A 、 B 两地同时出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度之比是 5 : 4，相遇后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%．这样当甲到达 B 地时，乙离 A 地还有 10 千米．那么 A 、B 两地相距多少千米？【解析】 两车相遇时甲走了全程的59，乙走了全程的49，之后甲的速度减少 20%，乙的速度增加 20%，此时甲、乙的速度比为5(120%):4(120%)5:6⨯-⨯+= ，所以甲到达 B 地时，乙又走了4689515⨯=，距离 A 地58191545-=，所以 A 、 B 两地的距离为11045045÷= (千米)．【例 5】 早晨，小张骑车从甲地出发去乙地．下午 1 点，小王开车也从甲地出发，前往乙地．下午 2 点时两人之间的距离是 15 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米．下午 4 点时小王到达乙地，晚上 7 点小张到达乙地．小张是早晨几点出发？【解析】 从题中可以看出小王的速度比小张块．下午 2 点时两人之间的距离是 l5 千米．下午 3 点时，两人之间的距离还是 l5 千米，所以下午 2 点时小王距小张 15 千米，下午 3 点时小王超过小张 15千米，可知两人的速度差是每小时 30 千米．由下午 3 点开始计算，小王再有 1 小时就可走完全程，在这 1 小时当中，小王比小张多走 30 千米，那小张 3 小时走了15 30 45= + 千米，故小张的速度是 45 ÷3 =15千米/时，小王的速度是15 ＋30 =45千米/时．全程是 45 ×3 =135千米，小张走完全程用了135 ＋15= 9小时，所以他是上午 10 点出发的。
行测行程问题解题方法
行测行程问题解题方法
行测中的行程问题通常都是与时间、距离、速度等相关的运动问题，常见类型有相向出发、相遇、交错等。
针对这些问题，以下是一些解题方法：
1. 画图法
在解题时可以根据题目要求，绘制出相应的图形，以便更好地理解和解决问题。
比如相向而行问题，可以画出两人相向而行的图形，标上相对速度，根据两人之间的距离和时间来计算出两人相遇的时间点；而对于相遇问题，则需要画出两人的运动轨迹，通过交点来确定两人相遇的时间和位置。
2. 路程、速度、时间图
在解题时可以采用路程、速度、时间图的方法，将三者之间的关系用图形表现出来。
比如相向出发问题，可以将两人行程的路程距离、速度和时间用图表来表示，将两者之间的距离表示为一条线段，两人相遇的点为交点，从而计算出两人相遇的时间。
交错问题也可以用同样的方法解决。
3. 解方程法
对于一些比较复杂的行程问题，可以采用解方程的方法来求解。
首先需要根据问题中所给的条件列方程，然后化简、代入、消元，在数学上求解出问题的答案。
这种方法需要一定的数学基础和运算能力，但对于一些比较复杂的问题，是一种有效的解题方法。
综上所述，行测中的行程问题需要注意细节问题，例如要注意两人相遇的时间点还是距离、速度在题目中是否有单位等。
无论采用哪种方法解答，都需要对题目中所给出的条件进行仔细分析，清晰表达，逐步推导出正确的答案。
同时，练习过程中建议多做一些类似题目，加强理解和运算能力，提高解题效率。
行程问题的画图方法与技巧
⾏程问题的画图⽅法与技巧⾏程问题画图分析的⽅法与技巧————向量构图法列⽅程解应⽤题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式是解题的关键，然⽽较复杂的⾏程应⽤题的等量关系式是很难⼀下⼦找出来的，这就需要我们在“审题”的基础上认真分析，通过不断地把未知量⽤含未知数的代数式表⽰出来，即不断地扩⼤已知，使等量关系“⽔到渠成”。
在解⾏程应⽤题时，采取画图分析的⽅法不仅能有利的协调学⽣左、右脑（科学⽤脑），锻炼学⽣分析问题的能⼒，⽽且能激发学⽣的学习兴趣，培养学⽣的创新能⼒。
此外，通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现，也为学⽣不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:⾏程问题都与物体的位移有着直接的关系，⽽速度是既有⼤⼩，⼜有⽅向的量，所以图的主要构成是向量。
此外，⼀幅完整的图还应包括图标、数据、⽂字、注解等，其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜⾊的变化。
⒉绘图原则：{在画图过程中应坚持的原则有：⑴要坚持认真审题。
审题是解答应⽤题的第⼀步，能否顺利、准确的分析，审清题⽬的已知条件和问题是基础。
⑵在认真审题基础上，“边读边画，兼顾协调”的原则。
即：在审清题⽬的已知条件和问题后，边读边画，并兼顾题中数据的⽐例关系、前后联系及隐含条件等，展开联想，合理安排。
⑶画图⼒求简洁和清晰明了，防⽌混淆不清。
在画图时要坚持画彩⾊图并利⽤有向线段的粗细和虚实等合理区分，防⽌混淆不清。
⑷根据题⽬的特点，灵活创新。
⒊绘图技巧#⑴“速度、路程（数值型）”分别标在对应向量的“上、下”。
⼀般情况下，含未知数的代数式所表⽰的路程标在它们中间。
⑵⽤同种颜⾊表达同⼀事物及变化。
⑶⽤“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体，⽤较粗的有向线段来表⽰。
⑷⽤虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
4.实例分析：⑴巧⽤粗细及虚实的分析举例：例1：有AB两城相距30千⽶，甲骑⾃⾏车从A往B，出发1⼩时30分钟后，—⼄骑摩托车也从A到B，已知⼄的速度是甲的倍，且⼄⽐甲早到1⼩时，求甲的速度。
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行程问题画图分析的方法与技巧
————向量构图法
列方程解应用题可简单概括为“审、析、列、算、查”五个步骤。
即“审题、分析、列式、计算、检查”。
其中找等量关系式就是解题的关键,然而较复杂的行程应用题的等量关系式就是很难一下子找出来的,这就需要我们在“审题”的基础上认真分析,通过不断地把未知量用含未知数的代数式表示出来,即不断地扩大已知,使等量关系“水到渠成”。
在解行程应用题时,采取画图分析的方法不仅能有利的协调学生左、右脑(科学用脑),锻炼学生分析问题的能力,而且能激发学生的学习兴趣,培养学生的创新能力。
此外,通过对物体运动、联系、发展、变化的分析与再现,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下良好的基础。
⒈图的构成:
行程问题都与物体的位移有着直接的关系,而速度就是既有大小,又有方向的量,所以图的主要构成就是向量。
此外,一幅完整的图还应包括图标、数据、文字、注解等,其中构成向量的有向线段有虚实、粗细及不同颜色的变化。
⒉绘图原则:
在画图过程中应坚持的原则有:
⑴要坚持认真审题。
审题就是解答应用题的第一步,能否顺利、准确的分析,审清题目的已知条件与问题就是基础。
⑵在认真审题基础上,“边读边画,兼顾协调”的原则。
即:在审清题目的已知条件与问题后,边读边画,并兼顾题中数据的比例关系、前后联系及隐含条件等,展开联想,合理安排。
⑶画图力求简洁与清晰明了,防止混淆不清。
在画图时要坚持画彩色图并利用有向线段的粗细与虚实等合理区分,防止混淆不清。
⑷根据题目的特点,灵活创新。
⒊绘图技巧
⑴“速度、路程(数值型)”分别标在对应向量的“上、下”。
一般情况下,含未知数的代数式所表示的路程标在它们中间。
⑵用同种颜色表达同一事物及变化。
⑶用“粗细”搭配来区分物体的“同时性”与否。
同时运动的物体,用较粗的有向线段来表示。
⑷用虚、实来区分物体的“假设运动”与“真实运动”等。
1.5·V 甲 千米 1·V
甲千米 2、5 V 甲千米/时
30千米
说明:通过运用相同较粗的有向线段表示同时性,不仅表达出了题目中的隐含条件
(同时的路程),而且有利于我们联想出“相同时间内,路程比=速度比”,为
解答此题提供依据。
“虚”向量准确表达了“乙比甲早到1小时”的含义
即:当乙到达B 地后,假设甲继续前进,还需走1小时才能到达。
显然,
合理利用向量的“粗细”、“虚实”等使问题更加一目了然,便于分析。
能几乎为零。
而且清晰可辨的数据等能帮助学生顺利地列出含有未知数的
代数式,扩宽了学生发现“相等关系”的空间。
的相遇及离开过程,观察“一红一绿”两个车尾轱辘可以发现,此题实际就是在描述两个尾轱辘从相距两个车长到相遇的过程,两车身长即总路程。
抽象图“以点带面”的简化了运动的实质,显示了“向量构图法”简洁、明了等优势。
因此,在这样灵活的处理下,学生会真正理解运动的全过程及实质。
在实际教学中,“向量构图法”发挥了明显的优势,尤其在解数量关系较复杂的行程应用题时,借助分析图互相探讨,变抽象为具体,促进了良好的学习氛围的形成,大大地提高了学生们分析问题的能力。
显然向量构图法的优势在于:有利地开发了学生的右脑,激发了学生的学习兴趣,为提高学生分析问题的能力与创新能力提供帮助。
同时,也为学生不断形成辩证唯物主义世界观打下了良好的基础。
练习题:
1.甲、乙两辆汽车的速度分别为每小时52千米与40千米,它们同时出发到乙地去,出发后6小时,甲车遇到一辆迎面开来的卡车,又过一小时后,乙车也遇到了这辆卡车,求这辆卡车的速度。
2.甲、乙二人都以每分钟60千米的速度同时、同地、同向步行出发,走15分钟后,甲返回出发地取东西,乙继续前进。
在出发地甲耽误了5分钟时间后,改骑自行车,以每分钟360米的速度追乙,骑车多少分钟才能追上乙。
3.甲、乙两车从A地同时相背而行,甲速40km/h,乙速30km/h,一段时间后,甲到
达C地并休息15分,后立即追乙,结果在距A地300千米的B地追上乙,求B、C 两地路程？。