组合数学：1-2 排列组合的生成
排 列 组 合 公 式 及 排 列 组 合 算 法
排列组合n选m，组合算法——0-1转换算法（巧妙算法）C++实现知识储备排列的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m）表示计算公式：注意：m中取n个数，按照一定顺序排列出来，排列是有顺序的，就算已经出现过一次的几个数。
只要顺序不同，就能得出一个排列的组合，例如1,2,3和1,3,2是两个组合。
组合的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。
用符号 C(n,m) 表示。
计算公式：注意：m中取n个数，将他们组合在一起，并且顺序不用管，1,2,3和1,3,2其实是一个组合。
只要组合里面数不同即可组合算法本算法的思路是开两个数组，一个index[n]数组，其下标0~n-1表示1到n个数，1代表的数被选中，为0则没选中。
value[n]数组表示组合的数值，作为输出之用。
?首先初始化，将index数组前m个元素置1，表示第一个组合为前m 个数,后面的置为0。
?然后从左到右扫描数组元素值的“10”组合，找到第一个“10”组合后将其变为?“01”组合，同时将其左边的所有“1”全部移动到数组的最左端。
一起得到下一个组合（是一起得出，是一起得出，是一起得出）重复1、2步骤，当第一个“1”移动到数组的n-m的位置，即m个“1”全部移动到最右端时；即直到无法找到”10”组合,就得到了最后一个组合。
组合的个数为：例如求5中选3的组合：1 1 1 0 0 --1,2,3?1 1 0 1 0 --1,2,4?1 0 1 1 0 --1,3,4?0 1 1 1 0 --2,3,4?1 1 0 0 1 --1,2,5?1 0 1 0 1 --1,3,5?0 1 1 0 1 --2,3,5?1 0 0 1 1 --1,4,5?0 1 0 1 1 --2,4,5?0 0 1 1 1 --3,4,5代码如下：#include iostreamusing namespace std;void Show(int ,int index[],int value[]);bool judge(int,int ,int index[]);void change(int ,int ,int index[],int value[]);int main()int i,n,m;cout"请输入元素个数：";cout"请输入选多少元素:";int index[n]={0},value[n]; --index务必初始化为0，不然无法知道m个数之后里面是真还是假for(i=0;in;i++)value[i]=i+1;--此处是赋初值,以1,2,3,4,5为例，当然任何数字都可以change(n,m,index,value);return 0;void Show(int n,int index[],int value[])for(i=0;in;i++)if(index[i]) ?coutvalue[i]" ";coutendl;bool judge(int n,int m,int index[])for(i=n-1;i=n-m;i--)if(!index[i]) ?return false;return true;void change(int n,int m,int index[],int value[]) ?--核心算法函数int i,j,num=0;for(i=0;im;i++)index[i]=1;Show(n,index,value); --第一个组合while(!judge(n,m,index)) ?--只要没使1全部移到右边，就继续循环for(i=0;in-1;i++) ?--注意是n-1,因为i=n-1时，i+1是不存在的 --找到10，变成01if(index[i]==1index[i+1]==0)index[i]=0;index[i+1]=1;--将01组合左边的1全部放在数组最左边int count=0;for(j=0;ji;j++)if(index[j])index[j]=0;index[count++]=1;Show(n,index,value); ?--输出cout"共有"num"种"endl;quadquad 当a=b=1a=b=1a=b=1时，(a+b)n=2n=∑i=0nCni(a+b)^n=2^n=sum_{i=0}^nC_n^i(a+b)n=2n=∑i=0n?Cni?；--- param name="n"Int32类型的正整数-paramx = int( (ws-2) - (self.w-2) )#距屏幕左边框的像素点数②n个元素被分成K类，每类的个数分别是n1,n2,…,nk这n个元素的全排列数为n!-(n1!xn2!x…xnk!)。
排列组合的生成
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详细描述
该算法从第一个位置开始，将元素逐个插入到已排序的序列中，每次插入后都重新对整个序列进行排序，直到所 有元素都插入完毕。这种方法简单易懂，但效率较低，时间复杂度为O(n^2)。
递归法
总结词
通过递归调用自身来生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，对于给定的n个元素，先考虑第一个元素，将其与其他元素进行全排列，然后 再考虑第二个元素，将其与剩余的元素进行全排列，以此类推，直到所有元素都被考虑完毕。这种方 法思路简单，但实现起来较为复杂，需要处理递归终止条件和回溯。
密钥管理
在密钥管理中，排列组合可用于生成唯一的密钥， 确保通信双方的安全通信。
加密算法
排列。
数据加密
数据加密标准
排列组合可用于实现数据加密标 准（DES），通过对数据进行一 系列的置换和组合操作，确保数
据的机密性和完整性。
排列组合的生成
目录
• 排列组合的基本概念 • 排列的生成算法 • 组合的生成算法 • 排列组合的应用场景 • 排列组合的优化策略
01
排列组合的基本概念
排列的定义
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素 （0≤m≤n），按照一定的顺序排成 一列，称为从n个不同元素中取出m个 元素的一个排列。
排列的表示
迭代法
总结词
通过迭代的方式生成所有可能的排列。
详细描述
该算法的基本思想是，从第一个元素开始，依次将每个元素放到当前位置，然后对剩余 的元素进行全排列，直到所有元素都被考虑完毕。这种方法需要使用额外的数据结构来
保存中间结果，但时间复杂度较低，为O(n!)。
03
组合的生成算法
排列组合的生成算法
2.组合的生成： 递归 由上一个组合生成下一个组合
program zuhe; const n=6;m=4; var a:array[0..m] of integer; i,j:integer; procedure print; var i:integer; begin for i:=1 to m do write(a[i]); writeln; end; procedure try(dep:integer); var i:integer; begin for i:=a[dep-1]+1 to n-(m-dep) do begin a[dep]:=i; if dep=m then print else try(dep+1); end end; begin a[0]:=0; try(1); end.
字典序法 按照字典序求下一个排列的算法 例字符集{1,2,3},较小的数字较先,这样按字典序生成的 全排列是:123,132,213,231,312,321。 生成给定全排列的下一个排列 所谓一个全排ห้องสมุดไป่ตู้的下一个排列就是这一个排列与下一个排列之间没有其他的排列。 这就要求这一个排列与下一个排列有尽可能长的共同前缀，也即变化限制在尽可能短的后 缀上。 （1）求满足关系式pj-1<pj的j的最大值，设为i，即 i=max{j| pj-1<pj} （2）求满足关系式pi-1<pk的k的最大值，设为j，即 j=max{k| pi-1<pk} （3）将pi-1与pj互换 （4）将互换后的排列，从i开始到n之间的数逆转。
下一个组合的概念 给定集合S={1,2,…,n}，如何找出S的所有k—组合？ 因为组合无顺序，所以对S的任何一个k—组合{a1a2…ak}，我们恒假定a1<a2<…<ak． 在这个假定下恒有ai≤n－k+i，并称n-k+i为ai的最大值． 设{a1a2…ak} 和{b1b2…bk}是S的两个不同的k—组合．如果(a1a2…ak)(b1b2…bk)， 并且不存在异于{a1a2…ak}和{b1b2…bk}的k—组合{c1c2…ck}，使得 (a1a2…ak) (c1c2…ck) (b1b2…bk) 则称{b1b2…bk}为{a1a2…ak} 的下一个组合． 组合生成算法： 步骤1 置{a1a2…ak}={1,2,…,k}； 步骤2 设已有一个k—组合{a1a2…ak}． 置i：=k： ① 若ai<n－k+i,则令 bi=ai+1 bj+1=bj+1，j=i, i+1, …,k-1 并置 {a1a2…ak}:={a1a2…ai-1bibi+1…bk} 返回步骤2； ② 若ai=n-k+i： 如果i>1，置i：=I－1，返回①; 如果i=1，终止． 这样，所有k—组合即可数遍．
123排列组合公式算法
123排列组合公式算法
排列和组合是组合数学中常用的概念，用于计算从给定集合中选择元素的不同方式。
下面是排列和组合的公式和算法示例：
1.排列公式：
-公式：P(n, r) = n! / (n - r)!
-算法示例（Python）：
import math
def permutation(n, r):
return math.factorial(n) / math.factorial(n - r)
2.组合公式：
-公式：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)
-算法示例（Python）：
import math
def combination(n, r):
return math.factorial(n) / (math.factorial(r) * math.factorial(n - r))
在上述算法示例中，使用了 Python 的 math 模块中的 factorial 函数来计算阶乘。
可以根据需要将这些算法适应到其他编程语言中。
需要注意的是，排列和组合的计算可能会面临组合爆炸的问题，当 n 和 r 很大时，计算阶乘可能会导致计算复杂度增加。
在实际应用中，可能需要考虑使用递推算法、动态规划等方法来优化计算过程。
另外，还可以使用递归等方法实现排列和组合的计算，但需要注意处理边界条件和重复计算的问题。
把正整数n分为1和2的组合方式
正整数n可以被分为不同的正整数序列1和2的组合方式。
这是一个经典问题，它可以用来讲解递归函数的应用，也可以用来解释动态规划的思想。
现在，我们就来探讨一下如何把正整数n分为1和2的组合方式。
一、递归函数的应用1.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
1.2 解决思路我们可以定义一个递归函数f(n)，它表示把正整数n分解为1和2的组合方式的个数。
那么，当n大于2时，可以根据最后一个数是1还是2来递归求解。
如果最后一个数是1，则剩下的n-1的组合方式就是f(n-1)；如果最后一个数是2，则剩下的n-2的组合方式就是f(n-2)。
可以得出递归关系式：f(n) = f(n-1) + f(n-2)。
1.3 代码实现根据上述递归关系式，可以很容易地写出代码实现：```pythondef f(n):if n == 1:return 1if n == 2:return 2return f(n-1) + f(n-2)```1.4 时间复杂度分析通过递归函数的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
但是，递归函数的时间复杂度较高，为O(2^n)，因此在n较大时，算法的效率会变得很低。
二、动态规划的思想2.1 问题描述给定一个正整数n，要求把它分解为一系列正整数1和2的组合，求出所有可能的组合方式。
2.2 解决思路我们可以利用动态规划的思想来解决这个问题。
定义一个数组dp，其中dp[i]表示把正整数i分解为1和2的组合方式的个数。
那么，对于任意的i大于2，dp[i]的值可以根据dp[i-1]和dp[i-2]来计算得出。
2.3 代码实现根据上述定义，可以写出动态规划的代码实现：```pythondef partition(n):dp = [0] * (n+1)dp[1] = 1dp[2] = 2for i in range(3, n+1):dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]return dp[n]```2.4 时间复杂度分析通过动态规划的方式，可以求解出把正整数n分为1和2的组合方式的个数。
排列组合公式的推导过程
排列组合公式的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合公式的推导过程，这可有意思啦！你想想看啊，排列组合就像是给一堆东西排排队、分分堆儿。
比如说，有几个不同的数字，咱要看看能有多少种不同的排列方式。
咱先从简单的开始。
就拿三个数字 1、2、3 来说吧，那它们能排出多少种不同的顺序呢？123、132、213、231、312、321，六种对吧！这就是排列。
那怎么来推导这个公式呢？咱可以这么想，第一个位置可以有三种选择，选了一个之后，第二个位置就只剩下两种选择了，到了第三个位置就只有一种选择啦。
这不就像走楼梯，第一步有好多路可以走，第二步就少了一些，第三步就没得选啦。
那这样一来，总共的排列数不就是 3×2×1 嘛。
再复杂一点呢？假如有 n 个不同的元素，那第一个位置就有 n 种选择，第二个位置就有 n-1 种选择，第三个位置就有 n-2 种选择，一直这么下去，到最后一个位置就只有 1 种选择啦。
这不就推导出排列公式A(n,n)=n×(n-1)×(n-2)×……×1 嘛。
那组合呢，又有点不一样啦。
还是那几个数字 1、2、3，咱现在不是要排顺序，而是要选几个出来组成一组。
比如选两个数字组成一组，那有 12、13、23 这几种组合。
组合公式的推导就像是在一堆排列里，把重复的给去掉。
比如说三个数字选两个的排列有 12、21、13、31、23、32 六种，但组合就只有三种，因为 12 和 21 其实是一样的组合呀。
咱可以这么想，先算出排列的数量，然后再除以那些重复的部分。
那组合公式 C(n,m)=A(n,m)/m! 不就出来啦。
你说这是不是挺神奇的？就这么几个简单的道理，就能推导出这么有用的公式。
以后咱遇到什么选东西、排顺序的事儿，都能用得上。
你再想想，生活里不也到处都是排列组合嘛。
比如你今天出门穿哪件衣服，那也是一种排列组合呀。
总之呢，排列组合公式的推导过程就像是一个小小的魔术，把看似复杂的问题变得有条有理。
排列组合的计算方法及过程
排列组合的计算方法及过程排列组合是数学中常用的计算方法，用于确定从一组元素中选择若干个元素的方式。
下面是排列组合的计算方法及过程：1. 排列 (Permutation)：排列是从一组元素中选取若干个元素进行有序排列的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行排列，排列数记为P(n, r)或nPr，计算公式如下：P(n, r) = n! / (n - r)!其中，n! 表示n的阶乘，即n! = n * (n-1) * (n-2) * ... * 2 * 1。
2. 组合 (Combination)：组合是从一组元素中选取若干个元素进行无序组合的方式。
对于给定的n个元素中选取r个元素进行组合，组合数记为C(n, r)或nCr，计算公式如下：C(n, r) = n! / (r! * (n - r)!)下面通过一个具体的例子来说明排列组合的计算过程：例：从A、B、C、D四个元素中选取3个元素进行排列和组合。
1. 排列：a. 计算排列数：P(4, 3) = 4! / (4 - 3)! = 4! / 1! = 4 * 3 * 2 = 24b. 列出所有排列方式：ABC, ABD, ACB, ACD, ADB, ADC,BAC, BAD, BCA, BCD, BDA, BDC,CAB, CAD, CBA, CBD, CDA, CDB,DAB, DAC, DBA, DBC, DCA, DCB2. 组合：a. 计算组合数：C(4, 3) = 4! / (3! * (4 - 3)!) = 4! / (3! * 1!) = 4b. 列出所有组合方式：ABC, ABD, ACD, BCD通过以上例子，可以看到排列和组合的计算方法和过程。
在实际应用中，排列组合常用于统计学、概率论、组合优化等领域，能够帮助解决很多问题。
组合数学之排列组合生成算法
我们可以如下建立序列与排列的对应:
(an-1,an-2, ,a2,a1)满足条件(2.1). 则它所对应的排列为(p)=p1p2pn, 其 中ai 可以看作是排列(p)中数i+1所在位 置后面比i+1小的数的个数. 要说明这种对应的合理性, 必须清楚. 如何由序列产生出它所对应的排列. 我们通过一个具体的例题说明思想方 法.
a3a2a1 200 201 210 211 220 221 300 301 310 311 320 321
p1p2p3p4
1423 2413 1432 2431 3412 3421 4123 4213 4132 4231 4312 4321
14
比如其中的序列(221)所对应的排列:
先由a3=2决定4的位置 再由a2=2决定3的位置 再由a1=1决定2的位置
12
利用序列得到相应排列是关键,
可以设 想为给n个格子中填写1,2,…,n. 如上面 的例题:
4 2 1 3
例2.2 设集合S=1,2,3,4, 用序数法生成S 的全部排列. 解 用序数法, 由各个序列对应生成的排 列, 如表2.1所示.
13
N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
17
例2.3 设有排列(p) =2763541, 按照字典式 排序, 它的下一个排列是谁? (q) =2764135. (1) 2763541 [找最后一个正序35] (2) 2763541 [找3后面比3大的最后一个数] (3) 2764531 [交换3,4的位置] (4) 2764135 [把4后面的531反序排列为 135即得到最后的排列(q)]
3 4
2
1
满足条件(2.1)的n!个序列很容易产生
12个基本排列组合公式
12个基本排列组合公式排列组合是数学中一个挺有意思的部分，咱们今天就来聊聊 12 个基本的排列组合公式。
先来说说排列公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A(n, m) ，公式就是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
比如说，从 5 个不同的水果里选 3 个排成一排，那排法就有 A(5, 3) = 5! / (5 - 3)! = 60 种。
再看组合公式，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作C(n, m) ，公式是 C(n, m) = n! / [m! (n - m)!] 。
就像从 10 个同学里选 4 个参加活动，选法就有 C(10, 4) = 10! / [4! (10 - 4)!] = 210 种。
我记得之前在课堂上，给学生们讲排列组合的时候，发生了一件特别有趣的事儿。
当时我出了一道题：在一个班级里有 8 个男生和 6 个女生，要选 3 个同学去参加比赛，其中至少有一个女生，有多少种选法？同学们开始埋头苦算，有的皱着眉头，有的咬着笔杆。
这时候，有个平时很调皮的男生突然举手说：“老师，这题太难啦，能不能少选几个同学啊？”大家都被他逗笑了。
我笑着说：“别着急，咱们一步步来分析。
”首先，我们可以算出总的选法有 C(14, 3) 种。
然后，算出全是男生的选法有 C(8, 3) 种。
那么至少有一个女生的选法就是总的选法减去全是男生的选法，即 C(14, 3) - C(8, 3) 。
经过一番计算和讲解，同学们终于恍然大悟。
咱们继续说排列组合公式。
还有一些特殊的情况，比如可重复排列，从 n 个不同元素中可重复地选取 m 个元素的排列数，公式是 n^m 。
还有环形排列，n 个不同元素的环形排列数是 (n - 1)! 。
在实际生活中，排列组合的应用可多啦。
比如说抽奖，从一堆号码里抽出中奖号码，这就是组合；而把获奖的人排个名次，这就是排列。
再比如安排座位，教室里有 30 个座位，让 25 个同学去坐，这也是一种排列组合的问题。
排列组合公式及排列组合算法
排列组合公式及排列组合算法排列组合这玩意儿，在数学里可有着不小的分量。
咱先来说说排列组合公式。
比如说，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，就可以用 A(n, m) 来表示，它的公式是 A(n, m) = n! / (n - m)! 。
那啥是“!”呢？这叫阶乘，比如说 5! ，就是 5×4×3×2×1 。
再说说组合数，从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数用 C(n, m) 表示，公式是 C(n, m) = n! / [m!×(n - m)!] 。
我记得有一次，学校组织活动，要从班级里选几个同学去参加比赛。
我们班一共有 30 个同学，老师说要选 5 个人去。
这时候，我就在心里默默算了起来。
按照排列数的算法，从 30 个同学里选 5 个同学进行排列，那就是 A(30, 5) = 30×29×28×27×26 ，这数字可大得吓人。
但老师只是选 5 个人去，不管他们的顺序，这就是组合数 C(30, 5) 啦。
咱们来具体讲讲排列组合算法。
在实际计算的时候，可不能光靠死记硬背公式，还得灵活运用。
比如说，计算 C(10, 3) ，咱就可以一步一步来，10! =10×9×8×7×6×5×4×3×2×1 ，3! = 3×2×1 ，7! = 7×6×5×4×3×2×1 ，然后代入公式 C(10, 3) = 10×9×8÷(3×2×1) ，就能算出结果啦。
还有一种常见的算法是利用递推关系。
比如说，要算 C(n, m) ，如果已经知道了 C(n - 1, m - 1) 和 C(n - 1, m) ，那就可以通过 C(n, m) =C(n - 1, m - 1) + C(n - 1, m) 这个递推公式来算。
《排列组合的生成》课件
通过具体的实例，如排队、物品的排列组合等，深入解析排列的概念，以及其在日常生活和工 作中的应用。
组合实例解析
总结词
通过实例解析组合的概念和应用
详细描述
通过具体的实例，如抽屉原理、彩票中奖概率等，深入解析组合的概念，以及 其在数学和实际生活中的应用。
排列与组合的综合实例解析
总结词
通过实例解析排列与组合的综合 应用
统计推断
排列组合在统计推断中也 有应用，例如在贝叶斯推 断和马尔科夫链蒙特卡洛 方法中。
数据分析
排列组合在数据分析中也 有应用，例如在处理离散 数据和分类数据时。
04
排列组合的数学原理
排列的数学原理
1 2
排列的定义
从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照 一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取 出m个元素的排列。
机器学习和数据挖掘
排列组合在计算机科学的数据结构和 算法中广泛应用，如动态规划、回溯 算法等。
排列组合在机器学习和数据挖掘中也 有应用，例如在特征选择和分类算法 中。
离散概率模型
排列组合可用于构建离散概率模型， 用于模拟和研究随机事件和系统行为 。
统计学中的应用
01
02
03
概率分布
排列组合可用于研究概率 分布，如二项分布、泊松 分布等，以及它们的性质 和计算方法。
排列与组合的联系与区别
01
联系
当m=n时，排列转化为组合，即P(n,n)=C(n,n)。
02
区别
当m<n时，排列与组合的公式不同，排列与组合 的顺序有关，而组合与顺序无关。
02
排列组合的生成方法
排列的生成方法
定义
按照一定顺序取出n个元素所组成的排列 。
排列组合的推导过程
排列组合的推导过程嘿，咱今儿就来聊聊排列组合的推导过程哈！你说这排列组合，就像是个神奇的魔法盒子，打开它就能发现好多奇妙的东西。
咱先想想，啥是排列呀？比如说，从三个不同的数字 1、2、3 中选两个数字组成两位数，那能有几种情况呢？这就是排列问题啦！那咱就一个一个来试试，12、13、21、23、31、32，嘿，六种呢！这就是简单的排列。
那组合又是啥呢？还是这三个数字 1、2、3，咱这次不考虑顺序，就看能选出几个不同的组合，那就是 1 和 2、1 和 3、2 和 3，就三种。
这组合就像是把东西随意地抓在一起，不管先后顺序。
那这排列组合的推导过程是咋来的呢？咱就拿选东西来类比吧。
比如说有 n 个不同的东西，要从中选 m 个。
那第一步，第一个位置有 n 种选法吧；第二步，第二个位置就只有 n1 种选法了，因为第一个位置已经选走一个了呀；第三步，第三个位置就 n2 种选法……这样一直到第 m 个位置。
那总的选法不就是把这些选法都乘起来嘛，这就是排列的推导过程啦！是不是挺有意思的？再想想，要是有重复的情况咋办呢？比如说从 1、1、2 这三个数字中选两个数字组成两位数，那可就不能简单地用刚才的方法啦。
这时候就得考虑重复的情况，把重复的情况去掉，才能得到正确的结果。
哎呀，这排列组合就像个神秘的迷宫，得慢慢探索才能找到出路。
有时候觉得挺难的，可一旦弄明白了，就会特别有成就感！你想想，生活中好多地方都用到排列组合呢。
比如说买彩票，那可不就是个排列组合的问题嘛！还有分东西、安排座位啥的，都和这有关系。
总之呢，排列组合这玩意儿，看似复杂，其实只要咱静下心来，好好琢磨琢磨，就一定能搞懂它。
别害怕困难，就大胆地去探索吧！相信你也能在这排列组合的世界里发现属于自己的精彩！这就是我对排列组合推导过程的理解啦，你觉得咋样呢？。
数学中的排列组合
数学中的排列组合在数学中，排列组合是一种常见的数学概念，它涉及到对对象进行选择、排列和组合的方法。
排列组合在许多领域中都有重要的应用，包括概率论、统计学、组合数学等。
本文将介绍排列组合的基本概念和常见应用。
一、排列的概念和计算方法排列是从给定对象中选择一部分进行排列组成新的序列。
在排列中，对象的顺序是重要的，即不同的顺序会得到不同的结果。
例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行排列，可能得到的结果有(1,2)、(1,3)、(2,1)、(2,3)、(3,1)、(3,2)共6种。
计算排列的数量可以使用阶乘的方法。
假设有n个对象，从中选取r个进行排列，排列的数量可以表示为P(n,r)。
计算公式为：P(n,r) = n! / (n-r)!其中，n!表示n的阶乘，即n! = n*(n-1)*(n-2)*...*2*1。
使用这个公式，可以很方便地计算出排列的数量。
二、组合的概念和计算方法组合是从给定对象中选择一部分进行组合，顺序不重要。
与排列不同，组合中不考虑对象的顺序，即相同的对象组合在一起被视为同一种情况。
例如，从1、2、3这三个数字中选择两个数字进行组合，可能得到的结果有{1,2}、{1,3}、{2,3}共3种。
计算组合的数量可以使用组合数的方法。
假设有n个对象，从中选取r个进行组合，组合的数量可以表示为C(n,r)。
计算公式为：C(n,r) = n! / (r!(n-r)!)其中，n!表示n的阶乘，r!表示r的阶乘。
使用这个公式，可以很方便地计算出组合的数量。
三、排列组合的应用排列组合在概率论、统计学、组合数学等领域有广泛的应用。
下面介绍一些常见的应用场景。
1. 概率计算：在概率计算中，排列组合用于计算事件发生的可能性。
例如，从一副扑克牌中抽取5张牌，计算得到一个指定的牌型的概率，就可以使用排列组合的方法。
2. 组合优化：在组合优化问题中，排列组合用于寻找最佳的组合方式。
例如，在物流配送问题中，通过计算不同城市之间的配送路线的排列组合，可以找到最短路径或最优路径。
排列组合公式排列组合计算公式----高中数学!
排列组合公式/排列组合计算公式公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。
公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。
N-元素的总个数R参与选择的元素个数！-阶乘，如9！＝9*8*7*6*5*4*3*2*1从N倒数r个，表达式应该为n*（n-1)*(n-2)..(n-r+1);因为从n到（n-r+1)个数为n－（n-r+1)＝r举例：Q1:有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数A1: 123和213是两个不同的排列数。
即对排列顺序有要求的，既属于“排列P”计算范畴。
上问题中，任何一个号码只能用一次，显然不会出现988,997之类的组合，我们可以这么看，百位数有9种可能，十位数则应该有9-1种可能，个位数则应该只有9-1-1种可能，最终共有9*8*7个三位数。
计算公式＝P（3，9)＝9*8*7,(从9倒数3个的乘积）Q2: 有从1到9共计9个号码球，请问，如果三个一组，代表“三国联盟”，可以组合成多少个“三国联盟”A2: 213组合和312组合，代表同一个组合，只要有三个号码球在一起即可。
即不要求顺序的，属于“组合C”计算范畴。
上问题中，将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1排列、组合的概念和公式典型例题分析例1设有3名学生和4个课外小组．（1）每名学生都只参加一个课外小组；（2）每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加．各有多少种不同方法解（1）由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个，而不限制每个课外小组的人数，因此共有种不同方法．（2）由于每名学生都只参加一个课外小组，而且每个小组至多有一名学生参加，因此共有种不同方法．点评由于要让3名学生逐个选择课外小组，故两问都用乘法原理进行计算．例2 排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少种解依题意，符合要求的排法可分为第一个排、、中的某一个，共3类，每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出：∴ 符合题意的不同排法共有9种．点评按照分“类”的思路，本题应用了加法原理．为把握不同排法的规律，“树图”是一种具有直观形象的有效做法，也是解决计数问题的一种数学模型．例３判断下列问题是排列问题还是组合问题并计算出结果．（1）高三年级学生会有11人：①每两人互通一封信，共通了多少封信②每两人互握了一次手，共握了多少次手（2）高二年级数学课外小组共10人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法（3）有2，3，5，7，11，13，17，19八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积（4）有8盆花：①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆，有多少种不同的选法②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法分析（1）①由于每人互通一封信，甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信，所以与顺序有关是排列；②由于每两人互握一次手，甲与乙握手，乙与甲握手是同一次握手，与顺序无关，所以是组合问题．其他类似分析．（1）①是排列问题，共用了封信；②是组合问题，共需握手（次）．（2）①是排列问题，共有（种）不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．（3）①是排列问题，共有种不同的商；②是组合问题，共有种不同的积．（4）①是排列问题，共有种不同的选法；②是组合问题，共有种不同的选法．例４证明．证明左式右式．∴ 等式成立．点评这是一个排列数等式的证明问题，选用阶乘之商的形式，并利用阶乘的性质，可使变形过程得以简化．例5 化简．解法一原式解法二原式点评解法一选用了组合数公式的阶乘形式，并利用阶乘的性质；解法二选用了组合数的两个性质，都使变形过程得以简化．例6 解方程：（1）；（2）．解（1）原方程解得．（2）原方程可变为∵ ，，∴ 原方程可化为．即，解得第六章排列组合、二项式定理一、考纲要求1.掌握加法原理及乘法原理，并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单的问题.3.掌握二项式定理和二项式系数的性质，并能用它们计算和论证一些简单问题.二、知识结构三、知识点、能力点提示(一)加法原理乘法原理说明加法原理、乘法原理是学习排列组合的基础，掌握此两原理为处理排列、组合中有关问题提供了理论根据.例15位高中毕业生，准备报考3所高等院校，每人报且只报一所，不同的报名方法共有多少种解：5个学生中每人都可以在3所高等院校中任选一所报名，因而每个学生都有3种不同的报名方法，根据乘法原理，得到不同报名方法总共有3×3×3×3×3=35(种)(二)排列、排列数公式说明排列、排列数公式及解排列的应用题，在中学代数中较为独特，它研究的对象以及研究问题的方法都和前面掌握的知识不同，内容抽象，解题方法比较灵活，历届高考主要考查排列的应用题，都是选择题或填空题考查.例2由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50 000的偶数共有( )个个个个解因为要求是偶数，个位数只能是2或4的排法有P12；小于50 000的五位数，万位只能是1、3或2、4中剩下的一个的排法有P13;在首末两位数排定后，中间3个位数的排法有P33，得P13P33P12＝36(个)由此可知此题应选C.例3将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号与所填的数字均不同的填法有多少种解：将数字1填入第2方格，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法有3种，即214 3，3142，4123；同样将数字1填入第3方格，也对应着3种填法；将数字1填入第4方格，也对应3种填法，因此共有填法为3P13=9(种).例四例五可能有问题，等思考三)组合、组合数公式、组合数的两个性质说明历届高考均有这方面的题目出现，主要考查排列组合的应用题，且基本上都是由选择题或填空题考查.例4从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有( )种种种种解：抽出的3台电视机中甲型1台乙型2台的取法有C14·C25种；甲型2台乙型1台的取法有C24·C15种根据加法原理可得总的取法有C24·C25+C24·C15=40+30=70(种 )可知此题应选C.例5甲、乙、丙、丁四个公司承包8项工程，甲公司承包3项，乙公司承包1 项，丙、丁公司各承包2项，问共有多少种承包方式解：甲公司从8项工程中选出3项工程的方式 C38种；乙公司从甲公司挑选后余下的5项工程中选出1项工程的方式有C15种；丙公司从甲乙两公司挑选后余下的4项工程中选出2项工程的方式有C24种；丁公司从甲、乙、丙三个公司挑选后余下的2项工程中选出2项工程的方式有C22种.根据乘法原理可得承包方式的种数有C38×C15×C24×C22=×1=1680(种).(四)二项式定理、二项展开式的性质说明二项式定理揭示了二项式的正整数次幂的展开法则，在数学中它是常用的基础知识，从1985年至1998年历届高考均有这方面的题目出现，主要考查二项展开式中通项公式等，题型主要为选择题或填空题.例6在(x-)10的展开式中，x6的系数是( )解设(x-)10的展开式中第γ+1项含x6，因Tγ+1=Cγ10x10-γ(-)γ，10-γ=6,γ=4于是展开式中第5项含x 6，第5项系数是C410(-)4=9C410故此题应选D.例7(x-1)-(x-1)2＋(x-1)3-(x-1)+(x-1)５的展开式中的x２的系数等于解：此题可视为首项为x-1，公比为-(x-1)的等比数列的前5项的和，则其和为在(x-1)6中含x3的项是C36x3(-1)3=-20x3，因此展开式中x2的系数是-2 0.(五)综合例题赏析例8若(2x+)4=a0+a1x+a2x 2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为( )解：A.例92名医生和4名护士被分配到2所学校为学生体检，每校分配1名医生和2 名护士，不同的分配方法共有( )种种种种解分医生的方法有P22＝2种，分护士方法有C24=6种，所以共有6×2＝12种不同的分配方法。
排列组合公式排列组合计算公式
排列组合公式排列组合计算公式在我们的日常生活和学习中，经常会遇到需要计算可能性数量的情况，比如抽奖的中奖概率、体育比赛的对阵安排等等。
这时候，排列组合公式和计算公式就派上用场了。
首先，咱们来聊聊什么是排列。
排列指的是从给定的元素集合中，按照一定的顺序选取若干个元素进行排列。
比如说，从数字 1、2、3中选取两个数字进行排列，那么可能的情况有 12、21、13、31、23、32 这六种。
排列的计算公式是：A(n, m) ＝ n! ／（n m)！这里的“！”表示阶乘，比如 5! ＝ 5 × 4 × 3 × 2 × 1 。
在这个公式中，n 表示总元素的数量，m 表示选取的元素数量。
举个例子，从 5 个不同的元素中选取 3 个进行排列，那么排列的数量就是 A(5, 3) ＝ 5! ／（5 3)！＝ 5 × 4 × 3 ＝ 60 种。
接下来，咱们再说说组合。
组合则是从给定的元素集合中，选取若干个元素，不考虑它们的顺序。
比如说，从数字 1、2、3 中选取两个数字的组合，就只有 12、13、23 这三种情况。
组合的计算公式是：C(n, m) ＝ n! ／ m! ×（n m)！同样，n 表示总元素的数量，m 表示选取的元素数量。
比如说，从 6 个不同的元素中选取 4 个元素的组合数量，就是 C(6, 4) ＝ 6! ／（4! ×（6 4)！）＝ 15 种。
为了更好地理解排列组合的概念和公式，咱们来做几道实际的题目。
假设一个班级有 10 名学生，要选出 3 名学生参加比赛。
如果是排列，那么这 3 名学生的出场顺序是有讲究的，可能的排列数就是 A(10, 3) ＝ 10! ／（10 3)！＝ 720 种。
但如果只是组合，也就是不考虑这 3 名学生的出场顺序，那么组合数就是 C(10, 3) ＝ 10! ／ 3! ×（10 3)！＝ 120 种。
生成排列和组合
第四章生成排列和组合4.1 生成排列算法一: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)基本思想是递归地对集合{1,2,…,n-1}的(n-1)!个排列的每一个排列, 通过把n插入到首、尾和任两个数的中间共n个位置，产生集合{1,2,…,n}的n个排列，从而产生n (n-1)!=n!个集合{1,2,…,n}的排列。
算例：排列n=1: 1n=2: 1 22 1n=3: 1 2 31 3 23 1 23 2 12 3 12 1 3n=4:1 2 3 41 2 4 31 42 34 1 2 34 1 3 21 4 3 21 3 4 21 32 43 1 2 43 14 23 4 1 24 3 1 24 3 2 13 4 2 13 24 13 2 1 42 3 1 42 3 4 12 43 14 2 3 14 2 1 32 4 1 32 1 4 32 13 4n=5:、、、算法结束，生成全部排列。
算法二: (生成集合{1,2,…,n}的n!个排列)定义:对任一给定整数k, 其上加一个箭头表示移动方向,k 或k . 对于集合{1,2,…,n}的任一个排列,其中每一个整数都有一个箭头指出其移动方向, 若整数k 的箭头指向与其相邻但比它小的整数, 称k 是活动的.算法:从1 2 3 …n 开始, 当不存在活动的整数时,算法结束.(1) 求出最大的活动整数m;(2) 交换m 和它箭头所指的相邻数;(3) 改变所有满足p>m 的整数p 的方向.算例: (n=4)4.2 排列中的逆序定义：令i 1 i 2 …i n 是集合{1,2,…,n}的一个排列，如果 0≤ k < L ≤n, 且i k >i L , 称数对（i k ，i L ）是排列的一个逆序。
例：31524的逆序定义：令a j表示排列i1 i2…i n中数j的逆序数，称a1, a2,…, a n为排列i1 i2…i n的逆序列。
例：排列31524的逆序列逆序列的性质：(1) 0≤a1≤n-1, 0≤a2≤n-2, …, 0≤a n-1≤1, a n =0。
组合数学之排列组合生成算法共60页文档
组合数学之排列组合生成算法
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26、我们像鹰一样，生来就是自由的在 里面。 ——博 莱索
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27、法律如果不讲道理，即使延续时 间再长 ，也还 是没有 制约力 的。— —爱·科 克
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28、好法律是由坏风俗创造出来的。 ——马 克罗维 乌斯
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29、在一切能够接受法律支配的人类 的状态 中，哪 里没有 法律， 那里就 没有自 由。— —洛克
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30、风俗可以造就法律，也可以废除 法律。 ——塞·约翰逊
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
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对上述过程，一般地，对于i，将前一步所得的每 一排列重复 i 次，然后将 i 由第一排的最后往前移， 至最前列，正好走了 i 次,下一个接着将 i 放在下一 排列的最前面，然后依次往后移，一直下去即得 i 元排列。 下面我们用较正式的语言来说这件事。
对给定的一个整数k，我们赋其一个方向，即在其 上写一个箭头（指向左侧或右侧）
1.2 排列组合生成算法
1. 全排列的生成算法 2. 组合的生成算法
3. 一般排列的生成算法
1. 全排列的生成算法
全排列的生成算法就是对于给定的字符集，用有 效的方法将所有可能的全排列无重复无遗漏地枚 举出来。
这里介绍4种全排列算法： (A) 直接生成法 (B) 序数法 (C) 字典序法 (D) 换位法
n的p进制表示： n a i p i , 0 a i p
i 1
i 1 k
我们来看另一种表示
n!=((n-1)+1)(n-1)!=(n-1)(n-1)!+(n-1)!, (n-1)!=(n-2)(n-2)!+(n-2)!, …, 故 n!= (n-1)(n-1)!+ (n-2)(n-2)!+…+2×2!+2!
3. 一般排列的生成算法
n中取r的排列生成可以由组合生成和全排列生成 结合而得到。
839647521的下一个为839651247。
一般而言，设P是[1,n]的一个全排列。
P=P1P2…Pn=P1P2…Pj-1PjPj+1…Pk-1PkPk+1…Pn
(1) 找出 j=max{ i |Pi<Pi+1}，k=max{ i |Pi>Pj}； (2) 对换 Pj，Pk； (3) 将 Pj+1…Pk-1PjPk+1…Pn翻转， P1P2…Pj-1PkPn…Pk+1PjPk-1…Pj+1即是P的下一个。 该算法的优点是排列清晰，而且保持着字典序。 缺点是算法较繁琐。
k 或者 k
考虑{1,2…n}的一个排列，其上每一个整数都给了一 个方向。 我们称整数k是可移的(Mobile&Active)，如果它的 箭头所指的方向的邻点小于它本身。
例如 263154 中6、3、5都是可移的。
显然1永远不可移； n除了以下两种情形外，它都是可移的： (1) n是第一个数，且其方向指向左侧，
…………….
m n 2 ( n 1) m n 1 a n 2 , m n 1 a n 1 , 0 a n 1 n 1
( a n 1 , a n 2 ,..., a 2 , a1 ) m
下面我们试图将n-1个元素的序列(an-1,…,a1)与n个元 素的排列建立起一一对应关系。 序列(an-1,…,a1)与某一排列p=p1p2…pn之间的对应关 系为： ai 表示排列p中的数i+1所在位置的右边比它小的数 的个数。
即 n ! 1
k k!
k 1
n 1
不难证明，从0到n!-1的任何数m可唯一的表示为
m a n 1 ( n 1)! a n 2 ( n 2)! ... a1 1!
其中
0 a i i , i 1,..., n 1.
所以从0到n!-1的n!个整数与
(an-1,an-2,…a2,a1)
一一对应。
从m计算出an-1,an-2,…a2,a1的算法如下：
m m1 , 0 m n ! 1 0 a1 1 0 a2 2 0 a n2 n 2 m 1 2 m 2 a1 , m 2 3 m3 a2 ,
例如：839647521是1-9的一个排列，求出下一个。 (1-9的排列最前面的是123456789，最后面的是 987654321，从右向左扫描若都是增的，就到了 987654321，也就没有下一个了。) (1) 从右向左扫描找出第一次出现下降的位置。(4) (2) 在4的右边按从左往右的顺序找出最后一个比4 大的数字(5)，交换这两个数字，得到839657421。 (3) 把5后面的数字顺序完全颠倒过来即得到：
例如：p=4213 (a3,a2,a1)= (301)
反过来, 由(a3,a2,a1)= (301)也可以得到排列4213，
由a3=3, 知4放在空格的最左端,
4 2 1 3 _ _ _ _
而a2=0,说明3的右边没有比它更小的，故3放在最 右端， 考虑a1=1,容易得出，2右边还有一个空格放1，于是 得到了排列4213。 这个算法的优点是建立了自然序数和排列之间的一 一对应关系(通过n-1个元素的序列(an-1,…,a1) )。 缺点是这种对应关系需要通过序列转换，即两层对 应关系，多一层计算量。
(2) n是最后一个数，且其方向指向右侧。
于是，我们可由 12......n 按如下算法产生所有排列：
1、开始时：12......n
2、当存在可移数时，
(a) 找最大的可移数m； (b) 将m与其箭头所指的邻数互换位置； (c) 将所得排列中比m大的数p的方向调整，即改 为相反方向。
(A) 直接生成法
递推算法：
假设已经生成n-1个数的所有(n-1)!个全排列， 将n插入到每一个排列的前面、第12之间、第23 之间、。。。 最后，即得到n个数的所有n(n-1)!=n! 个全排列。 优点是生成简便，缺点是速度慢。
(B) 序数法
i n的十进制表示： n a i 10 , 0 a i 10 k
2. 组合的生成算法
设从[1,n]中取r元的一个组合为C1C2…Cr， 不妨设C1＜…＜Cr ,则 i≤Ci≤(n-r+i), i=1,2,…,r。 生成C1C2…Cr的下一个组合的算法如下： (1) 找 j = max{ i |Ci＜n-r+i}； (2) 令 Cj = Cj+1； (3) 令 Ci = Ci-1+1, i=j+1,…,r。 这等于给所有的组合建立了字典序。
1 2 3 13 2 31 2 32 1 2 31 2 1 3
第四步： 1 2 3 4 1 2 4 3 1 4 2 3 41 2 3 3 2 41 1 4 3 2 1 34 2 1 3 2 4 3 1 2 4 3 1 4 2 3 4 1 2 43 1 2
43 2 1 3 42 1 3 24 1 3 2 14 2 3 14 2 34 1 243 1 42 3 1 42 1 3 241 3 2 143 2 1 34
1 2 34 1 24 3 1 4 2 3 4 1 2 3 4 1 3 2 1 4 3 2 1 34 2 1 3 24 3 1 24 3 14 2 3 4 1 2 4 3 1 2
4 3
3 3 3 2 2 2 42 42 2 2 2
2 1 42 1 2 41 2 1 4 3 1 4 3 41 43 1 3 1 1 3 41 3 1 43 1 3 4
(C) 字典序法
字典序：对于两个序列a1…ak和b1…bk ，若存在t， 使得ai=bi, i<t，但at<bt ，则称
a1 ... a k b1 ... bk
例如对于字符集{1,2,3}，较小的数字较先，这样按 字典序生成的全排列是：123,132,213,231,312,321
一个全排列可看做一个字符串，字符串可有前缀、 后缀。关键是如何生成给定全排列的下一个排列。 所谓一个的下一个就是这一个与下一个之间没有其 他的。这就要求这一个与下一个有尽可能长的共同 前缀，也即变化限制在尽可能短的后缀上。
(D) 换位法
基于直接生成法，[n]的全排列可由[n-1]的全排 列生成： 给定[n-1]的一个排列,将n 由最右端依次插入排 列п，即得到n个[n]的排列： p1 p2…pn-1n p1 p2…npn-1
…
np1 p2…pn-1
例如对于 n=4 第一步： 第二步： 第三步： 1 1 2 2 1