高考广西理科数学试题及答案word解析版

2013年普通高等学校招生全国统一考试（广西卷）

数学（理科）

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）【2013年广西，理1，5分】设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中的元素个数 为（ ）

（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B

【解析】由题意知,,x a b a A b B =+∈∈，则x 的可能取值为5，6，7，8，因此集合M 共有4个元素，故选B ． （2）【2013年广西，理2，5

分】()

3

=（ ）

（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i 【答案】A

【解析】323(1138+=++⨯+=-，故选A ．

（3）【2013年广西，理3，5分】已知向量()1,1m λ=+，()2,2n λ=+r ，若()()

m n m n +⊥-u r r u r r

，则λ=（ ）

（A ）4-

（B ）3- （C ）2- （D ）1

- 【答案】B 【解析】()()

22

22||||0(1)1[(2)4]3m n m n m n λλλ+⊥-⇒-=⇒++-++⇒=-u r r u r r u r r ，故选B ．

（4）【2013年广西，理4，5分】已知函数()f x 的定义域为()1,0-，则函数()21f x -的定义域为（ ）

（A ）()1,1- （B ）11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）()1,0- （D ）1,12⎛⎫

⎪⎝⎭

【答案】B

【解析】由题意可知，1210x -<+<，则1

12x -<<-，故选B ．

（5）【2013年广西，理5，5分】函数()()1=log 10f x x x ⎛⎫

+> ⎪⎝

⎭的反函数()1=f x -（ ）

（A ）()1021x x >- （B ）()1

021

x x ≠- （C ）()21x x R -∈ （D ）()210x x ->

【答案】A

【解析】由题意知1112(0)21y y x y x +=⇒=<-，因此11

()(0)21

x f x x -=>-，故选A ．

（6）【2013年广西，理6，5分】已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，24

3

a =-，则{}n a 的前10项和等于（ ）

（A ）()10

613--- （B ）()10139

-- （C ）()10313-- （D ）()10313-+

【答案】C

【解析】由111303n n n n a a a a +++=⇒=-，故数列{}n a 是以13

-为公比的等比数列，214

43a a =-⇒=Q ，

1010101

4(1())

33(13)113

S ---∴==-+，故选C ． （7）【2013年广西，理7，5分】()()34

11+x y +的展开式中22x y 的系数是（ ） （A ）56 （B ）84 （C ）112 （D ）168 【答案】D

【解析】()31x +的展开式中2x 的系列为2828C =，而()4

1+y 的展开式中2y 的系列为2

4

6C =，故22x y 的系数为286168⨯=，故选D ．

（8）【2013年广西，理8，5分】椭圆22

:146

x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 斜率的

取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是（ ）

（A ）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （B ）33,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （C ）1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ （D ）3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦

【答案】B

【解析】设P 点坐标为00(,)x y ，则21220000

001,,4322

PA PA x y y y k k x x +===-+，于是21

122

2

0022003

3331

44444PA PA PA PA x y k k k x x k -⋅===-⇒=-⋅

--，由2[2,1]PA k ∈--，故133[,]84

PA k ∈，故选B ． （9）【2013年广西，理9，5分】若函数()21=f x x ax x ++

在1,2⎛⎫

+∞ ⎪⎝⎭

是增函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）[]1,0- （B ）[)1,-+∞ （C ）[]0,3 （D ）[)3,+∞

【答案】D

【解析】由条件知21()20f x x a x '=+-

≥在1,2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭上恒成立，即212a x x ≥-在1,2⎛⎫

∞ ⎪⎝⎭

恒成立，

函数212y x x =-在1,2⎛⎫

∞ ⎪⎝⎭上为减函数，max 21123312()2

y a <-⨯=⇒≥，故选D ． （10）【2013年广西，理10，5分】已知正四棱锥1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，则CD 与平面1BDC 所成角

的正弦值等于（ ）

（A

）23

（B ）33 （C ）23 （D ）1

3

【答案】A

【解析】如下图，连接AC 交BD 于点O ，连接1C O ，过C 作1CH C O ⊥于H ，

111111111BD AC CH BD BD ACC A BD AA CH C O CH C BD CH ACC A AC AA A BD C O O ⊥⊥⎫⎫

⊥⎫⎪⎪

⎪⊥⇒⇒⊥⇒⊥⎬⎬⎬⊂⎪⎭⎪⎪⋂=⋂=⎭⎭

Q 平面平面平面

故HDC ∠为CD 与平面1BDC 所成的角．设122AA AB ==，

则1¬2AC OC C O =

====，由等面积法， 得11112

3OC CC C O CH OC CC CH C O ⋅⋅=⋅⇒==，故2sin 3HC HDC DC ∠=

=，故选A ． （11）【2013年广西，理11，5分】已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交

于,A B 两点，若0MA MB ⋅=u u u r u u u r

，则k =（ ）

（A ）

12

（B （C （D ）2

【答案】D

【解析】由题意知抛物线C 的焦点坐标为，则直线AB 的方程为(2)y k x =-，将其代入28y x =，

得2

2

2

2

4(2)40k x k x k -++=设1122(,),(,)A x y B x y ，则212122

4(2)

,4k x x x x k

++=⋅=① 而1212121212()4,(2()4)y y k x x k y y k x x x x +=+-⋅=⋅-++② 由0MA MB =u u u r u u u r

g ，可得1122(2,2)(2,2)0x y x y +-•+-=