人教版数学高一教学设计2.5.2向量在物理中的应用举例
教学设计1：2.5.2 向量在物理中的应用举例
2.5.2 向量在物理中的应用举例教学目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.教学重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程导入新课你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.应用示例例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?解:图1不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道|F 1|＝|G |2cos θ2.通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①由于机械能守恒,所以21(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh mm M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh mM 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .知能训练1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )A.215kmB.6 kmC.84kmD.8 km【答案】B2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.图4【答案】41(5,4)。
人教版数学高一学案2.5.2向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的应用举例学习目标 1.经历用向量方法解决某些简单的力学问题与其他一些实际问题的过程.2.体会向量是一种处理物理问题的重要工具.3.培养运用向量知识解决物理问题的能力.知识点一向量的线性运算在物理中的应用思考1向量与力有什么相同点和不同点？思考2向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？梳理(1)用向量解决力的问题，通常把向量的起点平移到同一个作用点上.(2)向量在解决涉及速度、位移等物理量的合成与分解时，实质就是向量的线性运算.知识点二向量的数量积在物理中的应用思考向量的数量积与功有什么联系？梳理物理上力的做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos 〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零.力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积.知识点三向量方法解决物理问题的步骤用向量理论讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤：(1)问题转化，即把物理问题转化为数学问题；(2)建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；(3)求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；(4)回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题.类型一向量的线性运算在物理中的应用例1(1)在重300N的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°，60°(如图)，求重物平衡时，两根绳子拉力的大小.(2)帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20km/h，此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆船的速度与方向.反思与感悟利用向量法解决物理问题有两种思路，第一种是几何法，选取适当的基底，将题中涉及的向量用基底表示，利用向量运算法则，运算律或性质计算.第二种是坐标法，通过建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，转化为代数运算.跟踪训练1河水自西向东流动的速度为10km/h，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h，求小船的实际航行速度.类型二向量的数量积在物理中的应用例2已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0).(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功.反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积.跟踪训练2一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m，其中|F1|＝2N，方向为北偏东30°，|F2|＝4N，方向为北偏东60°，|F3|＝6N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功.1.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10N，则每根绳子的拉力大小为______N.2.已知一个物体在大小为6N的力F的作用下产生的位移s的大小为100m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________J.3.一条河宽为800m，一船从A处出发垂直到达河正对岸的B处，船速为20km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.4.一艘船从南岸出发，向北岸横渡.根据测量，这一天水流速度为3km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以23km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向.用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象.答案精析问题导学知识点一思考1 向量是既有大小又有方向的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，但是力却是既有大小，又有方向且作用于同一作用点的.思考2 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法运算，而运动的叠加也用到向量的合成.知识点二思考 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积.题型探究例1 (1)解 如图，两根绳子的拉力之和OA →＋OB →＝OC →，且|OC →|＝|OG →|＝300N ，∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°.在△OAC 中，∠ACO ＝∠BOC ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠OAC ＝90°，从而|OA →|＝|OC →|·cos30°＝1503(N)，|AC →|＝|OC →|·sin30°＝150(N)，所以|OB →|＝|AC →|＝150(N).答 与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503N ，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150N.(2)解 建立如图所示的平面直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为|v 1|＝20(km /h)，水流的方向为正东，速度为|v 2|＝20(km/h)，设帆船行驶的速度为v ，则v ＝v 1＋v 2.由题意，可得向量v 1＝(20cos60°，20sin60°)＝(10,103)，向量v 2＝(20,0)，则帆船的行驶速度为v ＝v 1＋v 2＝(10,103)＋(20,0)＝(30,103)，所以|v |＝302＋(103)2＝203(km/h).因为tan α＝10330＝33(α为v 和v 2的夹角，且为锐角)， 所以α＝30°，所以帆船向北偏东60°的方向行驶，速度为203km/h.跟踪训练1 小船的实际航行速度为20km/h ，按北偏东30°的方向航行例2 解 (1)AB →＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W 1＝F 1·AB →＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F对质点所做的功为－102.跟踪训练2解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示.则F1＝(1，3)，F2＝(23，2)，F3＝(－3,33)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(23－2,2＋43).又因为位移s＝(42，42)，所以合力F所做的功为W＝F·s＝(23－2)×42＋(2＋43)×42＝42×63＝246(J).即合力F所做的功为246J.当堂训练1.102.3003.34.解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a 的大小是3km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为23km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是3km/h.。
人教版高中数学必修4-2.5《向量在物理中的应用举例》参考教案
2.5.2 向量在物理中的应用举例
一、教学目标：
1．知识与技能：
运用向量的有关知识（向量加减法与向量数量积的运算法则等）解决简单的物理问题.
2．过程与方法：
通过应用举例，让学生理解用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节”和生活中的实际问题，培养学生的探究意识和应用意识，体会向量的工具作用. 3．情感、态度与价值观：
通过本节的学习，让学生体验向量在物理问题中的工具作用，增强学生的积极主动的探究意识，培养创新精神。
二、教学重点难点：
重点：利用向量方法解决与物理相关的实际问题
难点：选择适当的方法，建立以向量为主的数学模型，把物理问题转化为数学问题
三、教学方法
本小节主要是例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
教学中，教师创设问题情境，引导学生发现解题方法，展示思路的形成过程，总结解题规律。
指导学生搞好解题后的反思，从而提高学生综合应用知识分析和解决问题的能力。
教学内容安排：
四、教学内容安排：
怎样变化，为什么？。
高中数学 2.5.2向量在物理中的应用教案人教版必修4
速度：是矢量，但是此时还不涉及其运算问题，只是让学生知道：速度是矢量；
第五节速度变化快慢的描述——加速度
加速度：是矢量，但是此时仍不涉及其运算问题，只是让学生知道：加速度也是矢量；
实例1：从高出地面3m的位置竖直向上抛出一个小球，它上升5m后回落，最后到达地面（如图）。分别以地面和抛出点为原点建立坐标系，方向均以向上为正，填写以下表格。
（4）在探究问题解决方法的过程中，展示学生的思维过程，发展学生的思维能力和解决问题的能力
二、重点难点
（1）教学重点是利用向量方法解决与物理相关的实际问题
（2）教学难点是选择适当的物理题和恰当的方法——建立以向量为主题的数学模型，将物理问题转化为数学问题
三、教学内容安排
1．复习引入，
首先提出下列思考问题：回顾用向量法解决平面几何问题的基本思维过程（三步曲），为学习用向量法解决物理及生活中的问题，奠定理论和方法的基础；
四、教学资源建议
（1）多媒体教学系统（展示相关图片或视频资料）
（2）电脑和几何画板软件（画图并演示物理现象和建模后的几何图形的性质）
（3）引导学生通过联系实际、网络等途径，进一步了解向量在物理方面的应用，加深对向量工具性功能的认识，扩大知识视野
（4）及时与相关学科保持联系，最好选用与其同期的例题。特别是物理，地理，生物等学科。不仅能培养学生应用数学解决问题的意识，使学生体会学以至用的乐趣，更有利于培养成学生自觉应用数学解决问题习惯，也能更好地为今后学好数学树立信心。
0
-3
5m
-8m
-3m
补充问题4：
第四章牛顿运动定律（高一上学期第一学段）
例题：一个滑雪人，质量m=75kg，以v0=2m/s的初速度沿山坡匀加速下滑，山坡的倾角=300，在t=5s时间内滑下的路程为X=60m，求：滑雪人受到的阻力（包括摩擦和空气阻力，重力加速度g的值取10）
数学2.5.2《向量在物理中的应用举例》教案(新人教A必修4).doc1
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：让学生经历用向量方法解决物理问题的过程，体会向量在实际问题中的应 用，培养学习数学的举，发展运算能力和解决实际问题的能力。
教学重点：向量在物理问题中的应用。
教学难点：将物理问题转化为数学问题的建模过程。
教学过程一、复习提问评讲P125 习题1、2二、新课例3、在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大 越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力。
你能从数学的角度解释 这种现象吗？分析：上面的问题可以抽象为如下图所示的数学模型，只要分析清楚F 、G 、θ三 者之间的关系，就得到了问题的数学解释。
解：不妨设｜1F ｜＝｜2F ｜，由向量的平行四边形法则，力的平衡以及直角三角形的知识，可以知道：｜1F ｜＝2cos ||θ 由上面的式子，我们发现当θ由0°－180°逐渐变大时，2ϑ由0°－90°逐渐变大，2cos ϑ的值由大逐渐变小，因此，｜1F ｜由小逐渐变大，即1F ，2F 之间的越大越费力，夹角越小越省力。
探究：（1）θ为何值时，｜1F ｜最小，最小值是多少？（2）｜1F ｜能等于｜｜吗？为什么？ θ例4、一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500m ，一艘船从A 处出发到河对岸， 已知船的速度｜1v ｜＝10km/h ，水流速度｜2v ｜＝2km/h ，问行驶航程最短时，所用 时间是多少？（精确到0.1min ）？分析：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶，就能使行驶行程 最短，所用时间最短。
考虑到水的流速，要使船行驶最短航程，那么船的速度与水 流速度的合速v 必须垂直于对岸。
解：｜v ｜＝96（km/h ）所以，t (min)1.360965.0||≈⨯=v答：行程最短时，所用时间是3.1min 。
作业：P125 3、4 P131 6、7。
数学(2.5.2向量在物理中的应用举例)
向量的表示方法
总结词
向量可以用箭头表示，箭头的长度代 表大小，箭头的指向代表方向。
详细描述
在数学和物理中，向量通常用箭头表 示，箭头的长度代表向量的模长，箭 头的指向代表向量的方向。在坐标系 中，向量也可以用坐标表示。
向量的运算规则
总结词
向量具有加法、减法、数乘等基本运算规则，这些运算规则遵循平行四边形法 则或三角形法则。
04
向量在物理中的重要性
描述物理现象的数学工具
向量是描述物理现象的重要数 学工具，如力、速度、加速度 等物理量都可以用向量表示。
向量具有大小和方向两个要素， 能够准确地描述物理量的变化 和方向。
向量运算（加法、数乘、向量 的模等）能够描述物理量的合 成与分解。
解决物理问题的有效方法
向量在解决物理问题中具有高效性和准确性，通过向量的运算和变换可以简化问题。
向量在解决力学、电磁学、振动与波动等问题中具有广泛的应用，能够提供简洁明 了的解决方案。
向量方法可以避免复杂的解析过程，提高解题效率。
连接数学与物理的桥梁
向量作为数学和物理之间的桥梁，能 够将数学理论应用于实际物理问题。
向量的引入和发展推动了数学和物理 学的发展，促进了科学技术的进步。
通过向量的应用，能够将抽象的数学 概念与具体的物理现象联系起来，促 进数学与物理的相互理解和应用。
详细描述
在物理中，力的合成与分解是常见的运算。例如，当一个物体受到两个力的作用时，可 以通过向量的合成求出这两个力的合力；同样地，当需要将一个力分解为若干个分力时， 也可以通过向量的分解来实现。力的合成与分解在工程、力学等领域有着广泛的应用。
速度与加速度的实例
总结词
速度和加速度是描述物体运动状态的重要物理量，通 过向量运算可以方便地描述它们的方向和大小。
向量在物理中的应用举例教案
向量在物理中的应用举例教案一、教学目标1. 让学生理解向量的概念及其表示方法。
2. 培养学生掌握向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 引导学生了解向量在物理中的应用，提高解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 向量的概念及其表示方法。
2. 向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 向量在物理中的应用举例。
三、教学重点与难点1. 教学重点：向量的概念、表示方法以及向量的运算。
2. 教学难点：向量在物理中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法讲解向量的概念、表示方法和运算。
2. 采用案例分析法讲解向量在物理中的应用。
3. 引导学生通过小组讨论，探讨向量在实际问题中的运用。
五、教学过程1. 引入新课：讲解向量的概念及其表示方法。
2. 讲解向量的加法、减法、数乘和点乘运算。
3. 应用举例：分析向量在物理中的应用，如速度、加速度、力等。
4. 小组讨论：让学生结合生活实际，探讨向量在其他领域中的应用。
5. 总结与反馈：对本次课程的内容进行总结，收集学生的反馈意见。
6. 布置作业：让学生运用所学的向量知识解决实际问题。
六、教学评估1. 课堂讲解评估：观察学生对向量概念、表示方法和运算的理解程度，以及能否熟练运用向量解决物理问题。
2. 小组讨论评估：评估学生在小组讨论中的参与程度，以及他们的创新思维和问题解决能力。
3. 作业评估：检查学生作业中向量知识的应用情况，以及解题的准确性和完整性。
七、教学拓展1. 引入其他物理概念：如动量、角动量等，进一步展示向量在物理中的应用。
2. 探讨向量在其他学科的应用：如数学、工程、计算机科学等。
3. 组织学生进行小研究：深入研究向量在某一领域的应用，如流体力学、电磁学等。
八、教学资源1. 教材：提供相关教材，如《线性代数》、《物理学》等。
2. 多媒体课件：制作并向学生提供包含图像、动画和示例的课件。
3. 网络资源：提供在线学习资源，如学术文章、视频教程等。
九、教学反馈与改进1. 课堂反馈：在每节课结束后，收集学生的反馈意见，了解他们的学习需求和困难。
2.5.2向量在物理中的应用举例学案【人教版】高中数学必修
2.5.2向量在物理中的应用举例教学目的：1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识；2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会数学在现实生活中的作用.教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算. 教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.教学过程：一、复习引入：你能掌握物理中的哪些矢量？向量运算的三角形法则与四边形法则是什么？二、讲解新课：例 3. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？探究1：(1) 为何值时，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等于|G |吗?为什么?探究2:你能总结用向量解决物理问题的一般步骤吗?(1)问题的转化：把物理问题转化为数学问题；(2)模型的建立：建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获得：求出数学模型的有关解——理论参数值；(4)问题的答案：回到问题的初始状态， 解决相关物理现象.例4. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？思考:1. “行驶最短航程”是什么意思？2. 怎样才能使航程最短？.,0|,23|,231),2(,|,|,)2,1(),1,0(),0,1(.30000212102121021的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例t Q P PQ Q P t Q P e e e e Q Q e e e e P P e e ⊥=++--++-== 课堂练习1，在重300N 的物体上系两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹角分别为30°和60°求重物平衡时，两根绳子拉力的大小．2，如图,用两根分别长的绳子将100N 的物体吊在水平屋顶上,平衡后G 点距屋顶的距离恰好为,求A 处受力的大小.3，河水从东向西流，流速为2，一轮船以2垂直于水流方向向北横渡，求轮船实际航行的方向和航速（精确到0 .1）4，某人在静水中游泳,速度为⑴如果他径直游向河对岸,水流速度为,那么他实际上沿什么方向前进?速度大小为多少?⑵他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?5，在很大的湖的岸边（可视湖岸为直线），停放着一艘例 10.在很大的湖岸边（可视湖岸为直线）停放着一只小船，由于缆绳突然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成 角，速度为2.5km/h,同时岸上有一人，从同一地点开始追赶赶小船，已知他在岸上跑的速度为4km/h,在水中游的速度为2km/h ，问此人能否追上小船；若小船速度改变，则小船能被人追上的最大速度是多少？三、课堂小结向量解决物理问题的一般步骤:1, 150N 2, 200N3 sm 22,与水流成45度角 4,8与水流成30度角；与水流成233arcsin π+h km 245, 15度 5210m m 和5m /m s /m s /m s 43km/h 4km/h 43km/h AG。
人教A版高中数学必修4《二章 平面向量 2.5 平面向量应用举例 2.5.2 向量在物理中的应用举例》优质课教案_3
2．5 平面向量应用举例一、教学目标（一）核心素养会用平面向量知识解决几何问题、物理问题，体验向量在解决几何问题、物理问题中的工具作用，培养学生的创新精神和数学应用意识，提高应用数学的能力．（二）学习目标1．运用向量的有关知识解决平面几何中直线或线段的平行、垂直、相等、夹角和距离等问题．2．通过力的合成与分解、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量概念和运算的认识．（三）学习重点理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题．（四）学习难点选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决．二、教学设计（一）课前设计1．预习任务（1）向量方法在几何中的应用：①证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行(共线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．②证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．③求夹角问题，往往利用向量的夹角公式cos θ＝⋅a ba b＝④求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝x2＋y2．（2）向量方法在物理中的应用：①力、速度、加速度、位移都是向量．②力、速度、加速度、位移的合成与分解就是向量的加、减运算，运动的叠加亦用到向量的合成． ③动量m ν是 数乘向量 ．④功即是力F 与所产生位移s 的 数量积 ． 2．预习自测（1）在△ABC 中，已知A (4，1)、B (7，5)、C (－4，7)，则BC 边的中线AD 的长是（ ）A ．2 5B ．52 5C ．3 5D ．72 5【知识点】平面向量的模长公式．【解题过程】BC 中点为D 32（,6），AD →＝5-2（,5），∴|AD →|＝525．【思路点拨】先求出向量AD →的坐标，再求出模长． 【答案】B ．（2）点O 是三角形ABC 所在平面内的一点，满足OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的（ ） A ．三个内角的角平分线的交点 B ．三条边的垂直平分线的交点 C ．三条中线的交点 D ．三条高的交点【知识点】向量的垂直关系，向量的减法运算． 【数学思想】转化思想．【解题过程】∵OA →·OB →＝OB →·OC →．∴(OA →－OC →)·OB →＝0．∴OB →·CA →＝0． ∴OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ，∴O 为垂心．【思路点拨】将关系式OA →·OB →＝OB →·OC →，两边移到同侧，利用向量减法运算，得到OB →·CA →＝0，从而得到OB ⊥AC ．同理OA ⊥BC ，OC ⊥AB ． 【答案】D ．（3）用力F 推动一物体水平运动s m ，设F 与水平面的夹角为θ，则对物体所做的功为（ ）A ．|F |·sB ．F cos θ·sC ．F sin θ·sD ．|F |cos θ·s【知识点】向量的内积，物理中功的定义． 【解题过程】cos cos W s s s =⋅==θθF F F ． 【思路点拨】利用内积公式可求得结果． 【答案】D ．（4）已知作用在点A 的三个力f 1＝(3，4)，f 2＝(2，－5)，f 3＝(3，1)且A (1，1)，则合力f ＝f 1＋f 2＋f 3的终点坐标为（ ） A ．(9，1)B ．(1，9)C ．(9，0)D ．(0，9)【知识点】向量加法的坐标运算．【解题过程】f ＝f 1＋f 2＋f 3＝(3，4)＋(2，－5)＋(3，1)＝(8，0)， 设合力f 的终点为P (x ，y )，则OP→＝OA →＋f ＝(1，1)＋(8，0)＝(9，1)． 【思路点拨】直接采用向量加法的坐标运算求解． 【答案】A ． (二)课堂设计 1．知识回顾（1）平行四边形法则：把这两个向量置于同一起点上，以这两个向量为邻边作平行四边形，从公共顶点出发的对角线所对应的向量就表示这两个向量的和，它适用于不共线的两个向量求和．三角形法则：把两个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点的向量就表示两个向量的和，它适用于任意两个向量作和． （2）平面向量的基本定理：如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a =λ1e 1+λ2e 2．其中不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． （3）a ·b =|a ||b |cos θ，规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·b =0． 2．问题探究（1）水渠横断面是四边形ABCD ，12DC AB =uuu r uu u r，且AD BC =uuu r uu u r ，则这个四边形为等腰梯形．类比几何元素之间的关系，你会想到向量运算之间都有什么关系? （2）两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来．（设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标．）探究一：平面向量解决平面几何中问题的优越性①平行四边形是表示向量加法和减法的几何模型，如图1，你能观察、发现并猜想出平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系吗？图1②你能利用所学知识证明你的猜想吗？能利用所学的向量方法证明吗？试一试可用哪些方法？③你能总结一下利用平面向量解决平面几何问题的基本思路吗？活动：①教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系．利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和．②教师引导学生探究证明方法，并点拨学生对各种方法分析比较，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，在平面几何的学习中，学生得到了它的许多性质，有些性质的得出比较麻烦，有些性质的得出比较简单．让学生体会研究几何可以采取不同的方法，这些方法包括综合方法、解析方法、向量方法．证明：方法一：如图2．图2作CE⊥AB于E，DF⊥AB于F，则Rt△ADF≌Rt△BCE．∴AD＝BC，AF＝BE．由于AC2＝AE2＋CE2＝(AB＋BE)2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BE2＋CE2＝AB2＋2AB·BE＋BC2．BD 2＝BF 2＋DF 2＝(AB －AF )2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AF 2＋DF 2＝AB 2－2AB ·AF ＋AD 2＝AB 2－2AB ·BE ＋BC 2． ∴AC 2＋BD 2＝2(AB 2＋BC 2)． 方法二：如图3．图3以AB 所在直线为x 轴，A 为坐标原点建立直角坐标系． 设B (a ，0)，D (b ，c )，则C (a ＋b ，c )． ∴|AC |2＝(a ＋b )2＋c 2＝a 2＋2ab ＋b 2＋c 2， |BD |2＝(a －b )2＋(－c )2＝a 2－2ab ＋b 2＋c 2． ∴|AC |2＋|BD |2＝2a 2＋2(b 2＋c 2)＝2(|AB |2＋|AD |2)．用向量方法推导了平行四边形的两条对角线与两条邻边之间的关系．在用向量方法解决涉及长度、夹角的问题时，常常考虑用向量的数量积．通过以下推导学生可以发现，由于向量能够运算，因此它在解决某些几何问题时具有优越性，它把一个思辨过程变成了一个算法过程，学生可按一定的程序进行运算操作，从而降低了思考问题的难度，同时也为计算机技术的运用提供了方便．教学时应引导学生体会向量带来的优越性．因为平行四边形对角线平行且相等，考虑到向量关系DB→＝AB →－AD →，AC →＝AB →＋AD →，教师可点拨学生设AB →＝a ，AD→＝b ，其他线段对应向量用它们表示，涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算|AC→|2与|DB →|2．因此有了方法三．方法三：设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝a ＋b ，DB →＝a －b ，|AB →|2＝|a |2，|AD →|2＝|b |2．∴|AC →|2＝AC →·AC →＝(a ＋b )·(a ＋b )＝a·a ＋a·b ＋b·a ＋b·b ＝|a |2＋2a·b ＋|b |2． ① 同理|DB →|2＝|a|2－2a·b ＋|b |2． ② 观察①②两式的特点，我们发现，①＋②得 |AC→|2＋|DB →|2＝2(|a|2＋|b |2)＝2(|AB →|2＋|AD →|2)，即平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．至此，为解决重点问题所作的铺垫已经完成，向前发展可以说水到渠成．教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，讨论认清向量方法的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．由于平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用向量方法解决部分几何问题．解决几何问题时，先用向量表示相应的点、线段、夹角等几何元素．然后通过向量的运算，特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关系．最后再把运算结果“翻译”成几何关系，得到几何问题的结论．这就是用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”，即：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 探究二：平面几何在物理中的应用两个人提一个旅行包，夹角越大越费力．在单杠上做引体向上运动，两臂夹角越小越省力．这些问题是为什么？师：向量在物理中的应用，实际上就是把物理问题转化为向量问题，然后通过向量运算解决向量问题，最后再用所获得的结果解释物理现象．分析：上面的问题可以抽象为如右图所示的数学模型．只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系（其中F 为F 1、F 2的合力），就得到了问题的数学解释．解：不妨设|F 1|=|F 2|， 由向量加法的平行四边形法则，理的平衡原理以及直角三角形的指示，可以得到|F 1|=||2cos2θG ．通过上面的式子我们发现，当θ由0~180逐渐变大时，2θ由0~90逐渐变大，F 1F 2cos2θ的值由大逐渐变小，因此，|F 1|由小逐渐变大，即F 1、F 2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力．师：请同学们结合刚才这个问题，思考θ为何值时，|F 1|最小，最小值是多少？答：θ=0时，|F 1|最小，等于2G ．探究三：应用示例例1．如下图，一条河的两岸平行，河的宽度d =500m ，一艘船从A 处出发到河对岸．已知船的速度|v 1|=10km /h ，水流的速度|v 2|=2km /h ，问行驶航程最短时，所用的时间是多少(精确到0.1min)？【知识点】向量的加法运算． 【数学思想】数形结合． 【解题过程】||v ==u v (km /h )，所以，60 3.1||d t v ==≈u v (min)．【思路点拨】如果水是静止的，则船只要取垂直于对岸的方向行驶，就能使行驶航程最短，所用时间最短．考虑到水的流速，要使船的行驶航程最短，那么船的速度与水流速度的合速度v 必须垂直于对岸．（用《几何画板》演示水流速度对船的实际航行的影响）本例关键在于对“行驶最短航程”的意义的解释，即“分析”中给出的船必须垂直于河岸行驶，这时船的速度与水流速度的合速度应当垂直于河岸，分析清楚这种关系后，本例就容易解决了．【答案】行驶航程最短时，所用的时间是3.1 min ．例2．如图4，Y ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？图4【知识点】平面向量在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想，方程思想． 【解题过程】如图4，设AB→＝a ，AD →＝b ，AR →＝r ，AT →＝t ，则AC →＝a ＋b ． 由于AR→与AC →共线，所以我们设r ＝n (a ＋b )，n ∈R ． 又因为EB →＝AB →－AE →＝a －12b ，ER →与EB →共线， 所以我们设ER→＝mEB →＝m (a －12b )．因为AR→＝AE →＋ER →，所以r ＝12b ＋m (a －12b )． 因此n (a ＋b )＝12b ＋m (a －12b )，即(n －m )a ＋(n ＋m －12)b ＝0．由于向量a 、b 不共线，要使上式为0，必须⎩⎪⎨⎪⎧n －m ＝0，n ＋m －12＝0.解得n ＝m ＝13．所以AR→＝13AC →．同理TC→＝13AC →．于是RT →＝13AC →． 所以AR ＝RT ＝TC ． 【思路点拨】为了培养学生的观察、发现、猜想能力，让学生能动态地发现图形中AR 、RT 、TC 之间的相等关系，教学中可以充分利用多媒体，作出上述图形，测量AR 、RT 、TC 的长度，让学生发现AR ＝RT ＝TC ，拖动平行四边形的顶点，动态观察发现，AR ＝RT ＝TC 这个规律不变，因此猜想AR ＝RT ＝TC ．事实上，由于R 、T 是对角线AC 上的两点，要判断AR 、RT 、TC 之间的关系，只需分别判断AR 、RT 、TC 与AC 的关系即可．又因为AR 、RT 、TC 、AC 共线，所以只需判断AD →，AR→，AT →与AC →之间的关系即可．探究过程对照用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”很容易地可得到结论．第一步，建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；第二步，通过向量运算，研究几何元素之间的关系；第三步，把运算结果“翻译”成几何关系：AR ＝RT ＝TC ．【答案】AR ＝RT ＝TC ．例3．如图所示，在平行四边形ABCD 中，BC ＝2BA ，∠ABC ＝60°，作AE ⊥BD 交BC 于E ，求BEEC 的值．【知识点】平面向量的运算，在平面几何中的应用． 【数学思想】转化思想． 【解题过程】 方法一：(基向量法)设BA→＝a ，BC →＝b ，|a |＝1，|b |＝2． a·b ＝|a||b |cos 60°＝1，BD→＝a ＋b ．设BE→＝λBC →＝λb ，则AE →＝BE →－BA →＝λb －a ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD →＝0．即(λb －a )·(a ＋b )＝0．解得λ＝25，∴225335BE EC ==．方法二：以B 为坐标原点，直线BC 为x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设B (0，0)，C (2，0)，A 12（，D 52（．又设E (m ，0)，则52BD ⎛= ⎝uu u r ，1-2AE m ⎛= ⎝uu u r ． 由AE ⊥BD ，得AE →·BD→＝0．即51-022m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，得m ＝45，∴425635BE EC ==．【思路点拨】利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明． 【答案】BE EC ＝23．同类训练 已知两恒力F 1＝(3，4)，F 2＝(6，－5)，作用于同一质点，使之由点A (20，15)移动到点B (7，0)．(1)求F 1，F 2分别对质点所做的功；(2)求F 1，F 2的合力F 对质点所做的功． 【知识点】平面几何在物理做功问题中的应用． 【解题过程】(1)AB→＝(7，0)－(20，15)＝(－13，－15)， W 1＝F 1·AB →＝(3，4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J )， W 2＝F 2·AB →＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(J )． ∴力F 1，F 2对质点所做的功分别为－99J 和－3J ． (2)W ＝F ·AB →＝(F 1＋F 2)·AB →＝[(3,4)+(6,-5)]·(－13，－15) ＝(9，－1)·(－13，－15) ＝9×(－13)＋(－1)×(－15) ＝－117＋15＝－102(J )．∴合力F 对质点所做的功为－102 J ．【思路点拨】物体在力F 作用下的位移为s ，则W ＝F·s ＝|F|·|s |cos θ．其中θ为F与s的夹角．【答案】（1）力F1，F2对质点所做的功分别为－99 J和－3 J．（2）合力F对质点所做的功为－102 J．3．课堂总结知识梳理（1）用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；②通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；③把运算结果“翻译”成几何关系．（2）利用向量解决物理问题的基本步骤:①问题转化，即把物理问题转化为数学问题；②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型；③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等；④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．重难点归纳用向量知识解决平面几何、物理问题时，要注意数形结合．一般先要作出向量示意图，必要时可建立直角坐标系，再通过解三角形或坐标运算，求有关量的值．（三）课后作业基础型自主突破1．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为（）A．40 N B．10 2 NC．202N D．10 3 N【知识点】向量在力的合成中的应用．【解题过程】|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝102，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10 2 N．【思路点拨】根据平行四边形法则求解．【答案】B．2．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5，1)，则共点力对物体做的功W 为（ ）A ．lg2B ．lg5C ．1D ．2【知识点】向量坐标运算，向量在物理做功问题中的应用．【解题过程】F 1＋F 2＝(1，2lg2)．∴W ＝(F 1＋F 2)·s ＝(1，2lg2)·(2lg5，1)＝2lg5＋2lg2＝2．【思路点拨】运用坐标运算，先求合力，再利用功的公式求解．【答案】D ．3．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB→－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】∵|OB→－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB→＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB→－AC →|＝|AB →＋AC →|， ∴A ，B ，C 是同一矩形的三个顶点，且∠BAC ＝90°．∴△ABC 是直角三角形．【思路点拨】利用向量运算转化条件，并“翻译”为几何结论，判断三角形形状．【答案】B ．4．已知点A (3，1)，B (0，0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC→＝λCE →，其中λ等于（ ） A ．2 B ．12 C ．－3 D ．－13【知识点】平面向量共线．【解题过程】如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC ||CE |＝3，∴BC→＝－3CE →．【思路点拨】先根据题意，画出图形，数形结合．【答案】C ．5．如图所示，两根绳子把重1kg 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW ＝150°，∠BCW ＝120°，求A 和B 处所受力的大小(绳子的重量忽略不计，g ＝10 N /kg)．【知识点】力的合成分解，平面向量在物理中的应用．【解题过程】设A 、B 所受的力分别为f 1、f 2，10N 的重力用f 表示，则f 1＋f 2＝f ，以重力的作用点C 为f 1、f 2、f 的始点，作右图，使CE →＝f 1，CF →＝f 2，CG →＝f ，则∠ECG ＝180°－150°＝30°，∠FCG ＝180°－120°＝60°．∴|CE →|＝|CG →|·cos 30°＝10×32＝53．|CF →|＝|CG →|·cos 60°＝10×12＝5．∴在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．【思路点拨】作出受力分析，结合向量的平行四边形法则求解．【答案】在A 处受力为5 3 N ，在B 处受力为5 N ．6．如图所示，已知矩形ABCD ，AC 是对角线，E 是AC 的中点，过点E 作MN 交AD 于点M ，交BC 于点N ，试运用向量知识证明AM ＝CN ．【知识点】平面向量坐标运算．建立如图所示的直角坐标系，设BC ＝a ，BA ＝b ，则C (a ，0)，A (0，b )，E (a 2，b 2)．又设M (x 2，b )，N (x 1，0)，则AM →＝(x 2，0)，CN →＝(x 1－a ，0)． ∵ME →∥EN →，ME →＝(a 2－x 2，－b 2)，EN →＝(x 1－a 2，－b 2)， ∴(a 2－x 2)×(－b 2)－(x 1－a 2)×(－b 2)＝0．∴x 2＝a －x 1．∴|AM →|＝x 22＝|x 2|＝|a －x 1|＝|x 1－a |． 而|CN →|＝(x 1－a )2＝|x 1－a |， ∴|AM→|＝|CN →|，即AM ＝CN ． 【思路点拨】图形非常规整，考虑先建系，利用向量的坐标运算求解，简化运算过程．【答案】略．能力型 师生共研7．如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________(写出正确的所有序号)．①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．【知识点】平面向量的运算，平面向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．设水的阻力为f ，绳的拉力为F ，F 与水平方向夹角为θ(0<θ<π2)．则|F |cos θ＝|f |，∴|F |＝|f |cos θ．∵θ增大，cos θ减小，∴|F |增大．∵|F |sin θ增大，∴船的浮力减小．【思路点拨】根据受力分析，求出绳的拉力为F 和水的阻力为f 之间的关系式，由此分析浮力的变化情况．【答案】①③．8．如图，已知在等腰△ABC 中，BB ′、CC ′是两腰上的中线，且BB ′⊥CC ′，求顶角A 的余弦值．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】建立如图所示的平面直角坐标系，取A (0，a )，C (c ，0)，则B (－c ，0)， OA→＝(0，a )，BA →＝(c ，a )，OC →＝(c ，0)，BC →＝(2c ，0)． 因为BB ′、CC ′都是中线，所以BB ′→＝12(BC →＋BA →)＝12[(2c ，0)＋(c ，a )]＝(3c 2，a 2)， 同理CC ′→＝(－3c 2，a 2)． 因为BB ′⊥CC ′，所以－94c 2＋a 24＝0，a 2＝9c 2．所以cos A ＝AB AC AB AC⋅⋅uu u r uuu r uu u r uuu r ＝a 2－c 2a 2＋c 2＝9c 2－c 29c 2＋c 2＝45． 【思路点拨】考虑利用向量的坐标运算，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算快捷地解决问题．【答案】45．探究型 多维突破9．已知P 是正方形ABCD 对角线BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA ＝EF 且PA ⊥EF ．【知识点】向量的坐标运算，平面向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】证明：以D 为坐标原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系Oxy (如图所示)，设正方形边长为1，|OP →|＝λ，则A (0，1)，P ，E （1），F ,0），于是PA →＝,1（），EF →＝）．∵|PA →|＝λ2－2λ＋1， 同理|EF→|＝λ2－2λ＋1， ∴|PA→|＝|EF →|，∴PA ＝EF ．PA →·EF →＝（）1-）＋（）（）＝0， ∴PA→⊥EF →．∴PA ⊥EF ． 【思路点拨】根据题意，先作图．分析可知，能很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，然后再利用向量的坐标运算证得结论．【答案】略．10．如图，在Rt △ABC 中，已知BC ＝a ．若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问：PQ →与BC →的夹角θ取何值时，BP →·CQ →的值最大？并求出这个最大值．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】方法一：∵AB →⊥AC →，∴AB →·AC→＝0． ∵AP→＝－AQ →，BP →＝AP →－AB →，CQ →＝AQ →－AC →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)·(AQ→－AC →) ＝AP →·AQ →－AP →·AC →－AB →·AQ →＋AB →·AC→ ＝－a 2－AP →·AC →＋AB →·AP →＝－a 2＋AP →·(AB→－AC →) ＝－a 2＋12PQ →·BC →＝－a 2＋a 2cos θ．当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0． 方法二：如下图，以直角顶点A 为坐标原点，两直角边所在的直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设|AB |＝c ，|AC |＝b ，则A (0，0)，B (c ，0)，C (0，b )，且|PQ |＝2a ，|BC |＝a ．设点P 的坐标为(x ，y )，则Q (－x ，－y )．∴BP→＝(x －c ，y )，CQ →＝(－x ，－y －b )，BC →＝(－c ，b )，PQ →＝(－2x ，－2y )． ∴BP →·CQ→＝(x －c )(－x )＋y (－y －b )＝－(x 2＋y 2)＋cx －by ．∵cos θ＝||||PQ BC PQ BC ⋅uu u r uu u r uu u r uu u r ＝cx －by a 2，∴cx －by ＝a 2cos θ． ∴BP →·CQ→＝－a 2＋a 2cos θ． 当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ →最大，其最大值为0．【思路点拨】利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．【答案】当cos θ＝1，即θ＝0，PQ →与BC →的方向相同时，BP →·CQ→最大，其最大值为0．自助餐1．如图，非零向量OA→＝a ，OB →＝b 且BC ⊥OA ，C 为垂足，若OC →＝λa ，则λ等于（ ）A ．a·b |a|2B ．a·b |a||b|C ．a·b |b |2D ．|a||b|a·b【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】BC→＝OC →－OB →＝λa －b ． ∵BC ⊥OA ，∴BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，即λa 2－a·b ＝0．∴λ＝a·b |a |2． 【思路点拨】由 BC ⊥OA ，得到 BC →·OA →＝(λa －b )·a ＝0，然后转化求解λ．【答案】A ．2．已知平面上三点A 、B 、C 满足|AB →|＝3，|BC →|＝4，|CA →|＝5．则AB →·BC →＋BC →·CA→＋CA →·AB →＝______．【知识点】向量的运算，向量在平面几何中的应用．【解题过程】△ABC 中，B ＝90°，cos A ＝35，cos C ＝45，∴AB →·BC →＝0，BC →·CA →＝4×5×45（-）＝－16； CA →·AB →＝5×3×3()5＝－9． ∴AB →·BC →＋BC →·CA →＋CA →·AB→＝－25． 【思路点拨】根据模长，得出B ＝90°，可得到各向量之间的夹角余弦．【答案】－253．一条河宽为800 m ，一船从A 出发航行垂直到达河正对岸的B 处，船速为20 km /h ．水速为12 km /h ，船到达B 处所需时间为____________．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【解题过程】v 实际＝v 船＋v 水＝v 1＋v 2|v 1|＝20，|v 2|＝12，∴|v |2＝|v 1|2－|v 2|2＝202－122＝16(km /h )．∴所需时间t ＝0.816＝0．05(小时)＝3(分钟)．∴该船到达B 处所需的时间为3分钟．【思路点拨】根据向量运算的平行四边形法则求解．【答案】3分钟．4．在风速为75(6－2) km /h 的西风中，飞机正以150 km /h 的速度向西北方向飞行，求没有风时飞机的飞行速度和航向．【知识点】向量的运算，向量在物理中的应用．【数学思想】数形结合．【解题过程】设风速为v 0，有风时飞机的飞行速度为v a ，无风时飞机的飞行速度为v b ， 则v a ＝v b ＋v 0，且v a ，v b ，v 0可构成三角形(如图所示)，∵|AB →|＝|v a |＝150，|BC →|＝|v 0|＝75(6－2)，|AC →|＝|v b|， 作AD ∥BC ，CD ⊥AD 于D ，BE ⊥AD 于E ，则∠BAD ＝45°，∴|CD→|＝|BE →|＝|EA →|＝752， ∴|DA→|＝|DE →|＋|EA →|＝|CB →|＋|EA →|＝75(6－2)＋752＝756， 从而tan ∠CAD ＝CD DAuu u r uu u r ＝752756＝33，∴∠CAD ＝30°， ∴|AC →|＝1502，∴v b＝150 2 km /h ， ∴没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°． 【思路点拨】速度是向量，速度的合成可以转化为向量的合成问题，合成时要分清各个速度之间的关系．【答案】没有风时飞机的飞行速度为150 2 km /h ，方向为北偏西60°．5．在△ABC 中，A (4，1)，B (7，5)，C (－4，7)，求∠A 的平分线的方程．【知识点】平面向量的坐标运算，直线的方程．【解题过程】AB→＝(3，4)，AC →＝(－8，6)， ∠A 的平分线的一个方向向量为：AB AC AB AC+uu u r uuu r uu u r uuu r ＝34()55，＋43()55-，＝17()55-，． ∵∠A 的平分线过点A ．∴所求直线方程为－75(x －4)－15(y －1)＝0．整理得：7x ＋y －29＝0．【思路点拨】直线Ax ＋By ＋C ＝0的方向向量为v ＝(B ，－A )，法向量n ＝(A ，B )．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．【答案】7x＋y－29＝0．21 / 21。
人教版高一物理 向量在物理中的应用举例 教案
教案教学基本信息课题向量在物理中的应用举例学科数学学段：必修第二册年级高一教材书名：数学必修第二册出版社：人民教育出版社教学目标及教学重点、难点教学目标1.通过对具体问题的讲解，让学生了解用向量方法解决物理问题的“三步曲”；2.通过对具体问题的讲解，让学生体会向量方法在力、位移、速度的合成与分解，功的计算问题中的应用；3．在用向量方法解决物理问题的过程中，让学生体会向量方法的程序化步骤，体会类比思想以及化归转化思想，提升逻辑推理、数学运算、数学建模等核心素养.教学重点用向量方法解决物理问题的“三步曲”.教学难点将物理问题转化为向量问题.教学方法讲授式.教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图回顾回顾用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”：回顾旧知，铺垫新课QM ，因此考虑用向量的减法12(3,1),OP PQ ====s s OQOP PQ +12+s(3,1)(1,2)+ (4,3).B OM ==s A 的位移s QMOM OQ =-B A =-s s(2,6)(4,3)=- (2,3)=-.应用三利用向量进行功的计算例一物体在力F 的作用下，由点A (20,15)移动到点B (7,0).已知F =(4,5)，求F 对该物体所做的功. 分析对功的计算，可以利用公式W =⋅F S .其中F 代表作用在物体上的力，S 代表物体的位移.解设物体在力F 的作用下产生的位移为S ， F 对该物体所做的功为W . 因为A (20,15)，B (7,0). 所以(13,15)AB ==--S . 又因为F =(4,5)-， 所以W =⋅F S4(13)(5)(15)=⨯-+-⨯-23=.即F 对该物体所做的功为23. 应用四速度的分解与合成例如图，一条河的两岸平行，河的宽度d ＝500 m ，一艘船从A 处出发到河对岸.已知船的速度1=v 10 km/h ，水流速度2=v 2 km/h ，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min ）？DCAB思考:1.“行驶最短航程”是什么意思？直线外一点与直线上一点的连线中，垂线段最短； 船的实际航行路线与河岸垂直. 2. 怎样才能使航程最短？船的实际航行方向与船的合速度v 方向一致； 船的合速度v 与河岸垂直，即与水流速度2v 垂直.的大小2'cos()10sin 2πθθ=-=v v .从而小船行驶的时间'd t =v 0.5110sin 20sin θθ==(02πθ<<).综上，小船行驶时间为1(0)20sin t θπθ=<<，所以当2πθ=，即船速2v 与水流速度1v 成直角时，小船行驶时间t 最短，为160=320⨯(min). 进一步我们还知道，小船以最短路径过河时，过河时间不是最短，为3.1min. 过河时间最短时，合速度v 的大小222212210226=+=+=v v v .设小船过河行驶的距离为'd ，则2'd d =v v ，即2500226'10d d ⋅⨯==≈v v 510(m).总结总结知识、 提炼升华.作业 一条东西方向的河流两岸平行，河宽250m ，河水的速度为向东23km /h .一艘小货船准备从河的这一边的码头A 处出发，航行到位于河对岸B （AB 与河的方向垂直）的正西方向并且与B 相距2503m 的码头C 处卸货.若水流的速度与小货船航行的速度的合速度的大小为6km /h ，则当小货船的航程最短时，求合速度的方向，并求此时小货船航行的速度的大小. 布置作业、课堂延申.。
高中数学人教A版必修4教案-2.5.2向量在物理中的应用举例
教学准备
1. 教学目标
1.通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型，掌握利用向量方法研究物理中
相关问题
的步骤，明了向量在物理中应用的基本题型，进一步加深对所学向量的概念和向量运
算的认识；
2.通过对具体问题的探究解决，进一步培养学生的数学应用意识，提高应用数学的能力，体会
数学在现实生活中的作用.
2. 教学重点/难点
教学重点：运用向量的有关知识对物理中的力的作用、速度分解进行相关分析来计算.
教学难点：将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
3. 教学用具
4. 标签
教学过程
例1. 如图，一条河的两岸平行，河的宽度d＝500 m，一艘船从A处出发到河
对岸.已知船的速度|v|＝10 km/h，水流速度|v|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到0.1 min）？
例2. 在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个旅行包，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力. 你能从数学的角度解释这种形象吗？。
《向量在物理中的应用举例》教学设计【高中数学人教A版必修2(新课标)】
《向量在物理中的应用举例》教学设计向量有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等．可以说向量的概念就是由这些物理背景、几何背景中抽象出来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题．所以利用向量计算力沿某方向所做的功，解决很多物理问题，建立学科间的联系是很有必要的．（1）能运用平面向量的知识解决一些简单的物理问题．（2）通过实例，体会如何把物理问题转化为数学问题，即如何将物理量之间的关系抽象成数学模型．（3）利用数学模型的解来解释相应的物理现象，能自如的建立两者的关系．教学重点：运用向量的有关知识解决简单的物理问题．教学难点：用向量解决物理问题的“四步曲”．1．教学问题（1）如何抽象出物理问题中的向量这是第一个问题．学生会觉得这是两种不同的语言，不同的思维．我们先将问题中涉及到的物理量（即力、加速度、速度等物理量）抽象为向量语言就可以解决这个问题了．（2）如何建立以向量为主体的数学模型是我们的第二个问题．这是一种建模的思想，是我们着重要培养的学生能力．（3）如何利用向量的线性运算或数量积运算是我们的第三个问题．向量有很好的运算规律和性质，学生们要在理解的基础上进行计算就可以解决问题了．（4）如何用数学模型中的数据解释物理问题是第四个问题．要将计算的结果翻译为物理语言，解释物理现象也是学生感觉较难的部分．解决问题的着手点依然是理解物理量与向量之间联系．2．支持条件在教学过程中，要正确理解物理量之间的关系，我们可以采用几何画板等技术来支持教学．【问题1】在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，你能从数学的角度来解释这种现象吗？【设计意图】由现实生活中学生熟悉的例子入手，让学生体会可以用向量的语言解释物理现象． 师生活动【师生活动】（1）作图引导学生进行受力分析（注意分析对象）；（2））引导学生由向量的平行四边形法则，力的平衡及解直角三角形等知识，得出：1112cos 22cos 2GG F F θ=⇒= 讨论：当θ逐渐增大时，1F 的大小怎样变化？为什么？当θ为何值时，1F 最小，最小值是多少？当θ为何值时，1F G =？（3）请同学们自行设定1F 与G 的大小，研究1F 与θ的关系？（4）利用结论解释问题1中提出的物理现象【问题2】一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A 处出发航行到河的正对岸B 处船航行的速度h km v /101=，水流速度h km v /42=那么，1v 与2v 的夹角θ（精确到01）多大时，船才能垂直到达对岸B 处? 船行驶多少时间（精确到01min ）?【设计意图】通过这个问题，帮助学生熟悉与运动相关的问题如何利用向量的方法解决．【师生活动】（1）启发学生思考：如果水是静止的，则船只要取垂直于河岸的方向行驶就行了由于水的流动，船被冲向下游，因而水速2ν的方向怎样的呢？（2）再启发学生思考：此问题要求船实际的行进方向是垂直指向对岸的，这是合速度ν的方向还是1ν的方向？为什么？（3）启发学生画出2ν和ν的方向，思考一下向量ν-2ν的方向如何确定？（4）启发学生利用三角形法则作出ν-2ν（即1ν），再把1ν的起点平移到A ，也可直接用平行四边形法则作出1ν（5）让学生完成t ,,θν的计算（注意ν和2ν的方向垂直）||||)90sin(120v v =-θ即||||arcsin 90120v v +=θ0114≈， 2221||v v v -==θsin ||1v h km /2.9≈，||v d t =min 3.3≈【问题3】如何把物理学问题转化为数学问题，进而利用向量方法解决？【设计意图】在两个例题的基础上，引导学生总结利用向量方法解决物理问题的步骤．【师生活动】（1）引导学生归纳总结用向量法解决物理问题的“四步曲”．第一步，将物理问题转化为几何问题第二步、将几何问题中涉及的几何元素转化为向量问题；第三步、通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；第四步、用运算的结果解释物理问题．（3）教师提问：物理中还有哪些矢量？与它们相关的问题也可以用向量方法解决吗？．【习题检测】请完成课后练习，检测学习效果．。
高一数学人教A版必修4课件：2.5.2 向量在物理中的应用举例
例2 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之 由点A(20,15)移动到点B(7,0). (1)求F1，F2分别对质点所做的功；
→ 解 AB＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，
→ W1＝F1·AB＝(3,4)·(－13，－15) ＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(J)，
解析 W＝F·s＝|F||s|cos〈F，s〉 ＝6×100×cos 60°＝300(J).
明目标、知重点
1234
3.一条河宽为800 m，一船从A出发航行垂直到达河正对岸的B处，
船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为__3_
分钟. 解析 ∵v实际＝v船＋v水＝v1＋v2， |v1|＝20，|v2|＝12， ∴|v|＝ |v1|2－|v2|2 ＝ 202－122＝16(km/h). ∴所需时间 t＝01.68＝0.05(小时)＝3(分钟).
思考2 向量的运算与速度、加速度与位移有什么联系？ 答 速度、加速度与位移的合成与分解，实质上是向量的加减法 运算，而运动的叠加也用到向量的合成. 小结 向量有丰富的物理背景.向量源于物理中的力、速度、加速 度、位移等“矢量”；向量在解决涉及上述物理量的合成与分解 时，实质就是向量的线性运算.
明目标、知重点
(2)当|F1|≤2|G|时，求θ角的取值范围. 答 由|F1|＝co|Gs|θ，|F1|≤2|G|，得 cos θ≥12. 又因为0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°.
明目标、知重点
例1 帆船比赛是借助风帆推动船只在规定距离内竞速的一项水上 运动，如果一帆船所受的风力方向为北偏东30°，速度为20 km/h， 此时水的流向是正东，流速为20 km/h.若不考虑其他因素，求帆 船的速度与方向. 解 建立如图所示的直角坐标系，风的方向为北偏东30°，速度为
人教版高中数学教案-向量在物理中的应用举例
2.5.2向量在物理中的應用舉例教學目的：1.通過力的合成與分解模型、速度的合成與分解模型，掌握利用向量方法研究物理中相關問題的步驟，明瞭向量在物理中應用的基本題型，進一步加深對所學向量的概念和向量運算的認識；2.通過對具體問題的探究解決，進一步培養學生的數學應用意識，提高應用數學的能力，體會數學在現實生活中的作用.教學重點：運用向量的有關知識對物理中的力的作用、速度分解進行相關分析來計算.教學難點：將物理中有關向量的問題轉化為數學中向量的問題.教學過程：一、複習引入：1. 講解《習案》作業二十五的第4題.RA点AP已知P直线lRA=-lyx=,是直线2,.2,6:上的一点求点若),,1(的轨迹方程2. 你能掌握物理中的哪些向量？向量運算的三角形法則與四邊形法則是什麼？二、講解新課：例1. 在日常生活中，你是否有這樣的經驗：兩個人共提一個旅行包，夾角越大越費力；在單杠上做引體向上運動，兩臂的夾角越小越省力. 你能從數學的角度解釋這種形象嗎？探究1：(1) 為何值時，|1F |最小，最小值是多少? (2)| 1F |能等於|G |嗎?為什麼?探究2:你能總結用向量解決物理問題的一般步驟嗎?(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態， 解決相關物理現象.例2. 如圖，一條河的兩岸平行，河的寬度d ＝500 m ，一艘船從A 處出發到河對岸.已知船的速度|1v |＝10 km/h ，水流速度|2v |＝2 km/h ，問行駛航程最短時，所用時間是多少（精確到0.1 min ）？思考:1. “行駛最短航程”是什麼意思？2. 怎樣才能使航程最短？. ,|,23|, 231),2(,|,| ,)2,1( ),1,0(),,1(.32 12 1212121的值时，求则当处、秒时分别在在时刻、设速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与从另有一动点速度为相同的方向做匀速运动开始沿着与向量从今有动点有两个向量例tQPPQQPtQPeee eQQeeeePPee⊥=++--++-==三、課堂小結向量解決物理問題的一般步驟:(1)問題的轉化：把物理問題轉化為數學問題；(2)模型的建立：建立以向量為主體的數學模型；(3)參數的獲得：求出數學模型的有關解——理論參數值；(4)問題的答案：回到問題的初始狀態，解決相關物理現象.四、課後作業1. 閱讀教材P.111到P.112;2. 《習案》作業二十六.。
2.5.2向量在物理中的应用举例(使用)
小为 4 km/h，则河水的流速大小为________．
解析：如图，|O→C|＝4， |O→B|＝2 3， 则|O→A|＝ 42－（2 3）2＝2. 答案：2 km/h
3.已知直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ADC ＝90°，AD＝2，BC＝1，P 是腰 DC 上的动 点，则|P→A＋3P→B|的最小值为________．
答案：5
其方向为临界方向 PQ ，设 V合 和 V水 夹角为
θ，则最小划速为： v船 = v水 sinθ
P
sinθ = d
=
60 3
d2 l2
60 2 80 2 5
V船 θ
V水
所以：最小的船速应为： v船 = 5 × sinθ =5 ×53 =3（m/s）
总结：向量有关知识在物理学中应用非常广泛， 它也是解释某些物理现象的重要基础知识。通过 这节课的学习，我们应掌握什么内容？
【总结】 (1)利用向量法来解决解析几何 问题，首先要将线段看成向量，再把坐标 利用向量法则进行运算． (2)要掌握向量的常用知识：①共线;②垂 直;③模；④夹角;⑤向量相等则对应坐标 相等.
向量在物理中的应用
3.已知两恒力F1＝(3，4)，F2＝(6，－5)作 用于同一质点，使之由点A(20，15)移动到点 B(7，0)．试求： (1)力F1，F2分别对质点所做的功； (2)F1，F2的合力对质点所做的功．
如何解决物理中与向量有关的问题：
（1）弄清物理现象中蕴含的物理量间的关系 （数学模型）；
（2）灵活运用数学模型研究有关物理问题；
（3）综合运用有关向量的知识，三角等和物理 知识解决实际问题；
高中数学第二章平面向量2.5.2向量在物理中的应用举例教案新人教A版
2.5.2 向量在物理中的应用举例1.知识与技能通过力的合成与分解模型、速度的合成与分解模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明确向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量概念和向量运算的认识.2.过程与方法(1)经历用向量方法解决某些简单的力学问题及其他一些实际问题的过程.(2)体会向量是一种处理物理问题的工具,提高运算能力和解决实际问题的能力.(3)掌握用向量方法解决实际问题的基本方法.3.情感、态度与价值观通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力,体会数学的应用价值、科学价值.重点:用向量方法解决实际问题的基本方法;难点:实际问题转化为向量问题.物理问题的向量处理方法(1)力学问题的向量处理方法①解决此类问题必须用向量知识将力学问题转化为数学问题,即将力学各量之间的关系抽象成数学模型,再利用建立的数学模型解析或回答相关物理现象.例如:在重300 N的物体上系两根绳子,这两根绳子在铅垂线的两侧,与铅垂线的夹角分别为30°,60°(如图所示),求重物平衡时,两根绳子拉力的大小.分析:注意到两根绳子的夹角为90°,因此可把问题转化为解直角三角形.解:作▱OACB,使∠AOC=30°,∠BOC=60°.在△OAC中,∠ACO=∠BOC=60°,∠OAC=90°,||=||cos 30°=150(N),||=||·sin 30°=150(N),||=||=150(N).答:与铅垂线成30°角的绳子的拉力是150 N,与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150 N.②向量是既有大小又有方向的量,它们可以有共同的作用点,也可以没有共同的作用点,但是力却是既有大小,又有方向且作用于同一作用点的.用向量知识解决力的问题,往往是把向量平移到同一作用点上.例如:如图所示,用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具,如图,已知灯具的重量10 N,则每根绳子的拉力大小是.解析:因绳子等长,所以每根绳子上的拉力和合力所成的角都相等,且等于60°,故每根绳子的拉力都是10 N.答案:10 N(2)速度、位移问题的向量处理方法①解决速度、位移问题常用的合成、分解其实就是向量的加减法,运动的叠加亦用到向量的合成.例如:一艘船以5 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,航船实际航行方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解:如图所示,表示水流速度,表示船向垂直于对岸行驶的速度,表示船实际速度,∠AOC=30°,||=5 km/h.∵四边形OACB为矩形,||==5(km/h)≈8.66(km/h).||==10(km/h).∴水流速度为8.66 km/h,船实际速度为10 km/h.②速度、加速度与位移的合成和分解,实质就是向量的加减法运算,而运动的叠加也用到向量的合成.a.向量在速度、加速度上的应用,实质是通过向量的线性运算解决向量问题,最后再获得物理结果.b.用向量解决速度、加速度和位移等问题,用的知识主要是向量的加法、减法以及数量乘法,有时也可借助坐标来求解.(3)向量与功、动量物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移距离的乘积,它的实质是向量的数量积.①力的做功涉及两个向量及这两个向量的夹角θ,即W=|F||s|cos θ.功是一个实数,它可正,也可负.②在解决问题时要注意数形结合.。
2022年高中数学新人教版A版精品教案《2.5.2 向量在物理中的应用举例》
向量在物理中的应用举例益阳市第一中学肖桂宏教学目标1、能用数学模型解释物理现象；2、将物理问题转化为向量问题；3、通过向量运算解决物理问题过程与方法培养学生将物理问题转化为数学问题的建模能力，体会向量工具的作用，体验数学的广泛应用和解决实际问题的威力重点难点重点：应用向量方法解决物理中的一些问题难点：应用向量方法把物理问题转化为数学问题教学过程一问题导入两个人共提一桶水，或在单杆上做引体向上运动，根据生活经验，两只手臂的夹角大小与所耗力气的大小有什么关系？二问题提出在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力，如何从数学的角度解释这种现象呢？三问题探究解：如下图，不妨设，由向量的平行四边形法那么，力的平衡及直角三角形知识知，，，是关于的增函数，之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力四变式探究〔1〕当为何值时，最小，最小值是多少？，〔2〕能等于吗？为什么？，五问题延伸如图，在细绳处用水平力缓慢拉起所受重力为的物体，绳子与垂直方向的夹角为，绳子所受的拉力为〔1〕求、随变化而变化的情况；〔2〕当时，求的取值范围六反思小结向量解决物理问题的一般步骤：七自我检测1 河宽60m，水流速度3m/，小船在静水中速度6m/，那么〔1〕小船渡河的最短时间是多少？〔2〕小船渡河的最短航程是多少？思考：假设将题干条件改为“6m/，3m/〞呢？2 一物体受到同一平面内三个力的作用，沿北偏东移动了8m，，方向北偏东，，方向东偏北，，方向西偏北，求这三个力的合力所做的功八课堂小结1、向量解决物理问题的一般步骤：2、表达的数学思想方法：〔1〕转化与化归思想〔2〕数形结合思想九作业布置P113 A组T3,T4B组T1, T2十教学反思向量中的许多概念、方法、运算源于物理学科，力、位移等矢量的合成就形成了数学中向量的加减法，其正交分解就形成了平面向量的根本定理；力对物体做的功就是数学中向量的数量积运算对于物理问题，如何培养学生运用数学知识建立数学模型，解决问题的能力值得大家探究深思。
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2.5.2向量在物理中的应用举例
教学目标
1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.
2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.
教学重点难点
教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.
2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.
教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.
教学过程
导入新课
你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.
应用示例
例1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?
解:
图1
不妨设|F1|=|F2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道
|F 1|＝|G |
2cos θ2.
通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力. 例2.如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h .设子弹和砂箱的质量分别为m 和M ,求子弹的速度v 的大小.
图3
解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m |v |=(M +m )|v 0|. ①
由于机械能守恒,所以
2
1(M +m )v 02=(M +m )gh . ② 联立①②解得|v |=.2gh m
m M + 又因为m 相对于M 很小,所以|v |≈gh m
M 2, 即子弹的速度大小约为gh m M 2. 课堂小结
1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.
①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;
②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;
③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;
④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.
2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.
①力、速度、加速度、位移都是向量;
②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;
③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;
④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .
知能训练
1.一艘船以4 km/h的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( )
A.215km
B.6 km
C.84km
D.8 km
【答案】B
2.如图4,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F,则F=___________.
图4
【答案】41(5,4)。