余弦级数

2
π
∫
π
0
x cos nx sin nx π + ]0 x sin xdx = [− 2 n π n
2
2 2 = − cos nx = (−1) n +1 n n
(n=1, 2, 3, · · ·) ．
f(x)的傅里叶级数展开式为
1 1 n+1 1 f(x)=2(sin x− sin 2x+ sin 3x− · · · +(−1) sin nx + · · ·) 2 3 n
1 1 [f(π−0)+f(−π+0)] = [π+(−π)]=0． 2 2 y
π
−3π
−2π
−π
O
π
2π
3π
xபைடு நூலகம்
其次，若不计x=(2k+1)π(k=0, ±1, ±2, · · ·)，则f(x)是周期为2π 的奇函数．于是an =0(n=0, 1, 2, · · ·)，而
2
π
bn=
π
∫
0
f ( x) sin nxdx =
2
π
π
0
π
0
=
2
π
[−
x sin nx cos nx sin nx π + − ]0 2 n n n
0, n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ , 2 = 2 (cos nπ − 1) = 4 nπ − n 2π , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ .
函数的余弦级数展开式为 π 4 1 1 x+1= +1 − (cos x+ 2 cos 3 x + 2 cos 5 x + · · · ) (0≤ x ≤π)． π 2 3 5
∑ b sin nx．
n
∞
n =1
如果f(x)为偶函数，那么它的傅里叶级数是只含有余弦项的 余弦级数
a0 ∞ + ∑ an cos nx． 2 n =1
例1 解
设f(x)是周期为2π的周期函数，它在[−π，π)上的表达式 首先，所给函数满足收敛定理的条件，它在点x=(2k+1)π
为f(x)=x．将f(x)展开成傅里叶级数． (k=0, ±1, ±2, · · ·)不连续，因此f(x)的傅里叶级数在函数的连续点 x≠(2k+1)π收敛于f(x)，在间断点x=(2k+1)π(k=0, ±1, ±2, · · ·)收敛于
§11．7 正弦级数和余弦级数 ．
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
奇函数和偶函数的傅里叶系数 正弦级数和余弦级数
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
奇延拓与偶延拓
一、奇函数和偶函数的傅里叶级数
奇函数和偶函数的傅里叶系数： 定理 设f(x)是周期为2π的函数，在一个周期上可积，则当 an =0 (n=0，1，2，· · ·)， f(x)为奇函数时，它的傅里叶系数为
1 u(t) =E | sin t | 2
展开成傅里叶级数，其中E是正的常数． 解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续， 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)． 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bn =0(n=1, 2, · · ·)，而 2 π 2 π t an = ∫ f(t)cos ntdt = ∫ E sin cos ntdt 2 π 0 π 0 E π 1 1 = ∫ [sin(n + )t − sin(n − )t ]dt π 0 2 2 4E (n=0, 1, 2, · · ·)． =− 2 (4n − 1)π
2 π + 2 π ⋅ n , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , 2 = (1 − π cos nπ − cos nπ ) = nπ − 2 , n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ . n
2
例3 将函数f(x)=x+1(0≤x≤π)分别展开成正弦级数和余弦级数． 解 先求正弦级数．为此对函数f(x)进行奇延拓． 2 π 2 π bn = ∫ f ( x) sin nxdx = ∫ ( x + 1) sin nxdx
(−∞<x<+∞ ，x≠±π, ±3π , · · · )．
例2 将周期函数
1 u(t) =E | sin t | 2
展开成傅里叶级数，其中E是正的常数． 解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续， 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)．
y E −3π −2π −π
O
π
2π
3π
x
例2 将周期函数
再求余弦级数．为此对f(x)进行偶延拓．
y 1 1 −π O
π
x
再求余弦级数．为此对f(x)进行偶延拓．
2 x2 a0 = ∫ ( x + 1)dx = [ + x]π =π+2； 0 π 0 π 2 2 π 2 π an = ∫ f ( x) cos nxdx = ∫ ( x + 1) cos nxdx
2
π
bn =
π
2
∫
0
f(x)sin nxdx
(n=1，2，3，· · ·)．
当f(x)为偶函数时，它的傅里叶系数为
an =
π
∫
π
0
f(x)cos nxdx
(n=0，1，2，3，· · ·)．
bn =0 (n=1，2，· · ·)．
正弦级数和余弦级数： 如果f(x)为奇函数，那么它的傅里叶级数是只含有正弦项的 正弦级数
例2 将周期函数
1 u(t) =E | sin t | 2
展开成傅里叶级数，其中E是正的常数． 解 所给函数满足收敛定理的条件，它在整个数轴上连续， 因此u(t)的傅里叶级数处处收敛于u(t)． 因为u(t)是周期为2π的偶函数，所以bn =0(n=1, 2, · · ·)，而 4E 4E 2 π (n=0, 1, 2, · · ·)． =− an = ∫ f(t)cos ntdt 2 (4n − 1)π π 0 u(t)的傅里叶级数展开式为 4E 1 1 1 1 u(t) = t− cos 2t− cos 3t− ( − cos π 2 3 15 35 1 cos nt− · · ·) (−∞<t<+∞)． − 2 4n − 1
π
0
π
0
2 π + 2 π ⋅ n , n = 1, 3, 5, ⋅ ⋅ ⋅ , = − 2 , n = 2, 4, 6, ⋅ ⋅ ⋅ . n 函数的正弦级数展开式为 2 π 1 π x+1 = [(π+2)sin x− sin 2π+ (π+2)sin 3− sin 4π+ · · · ] π 3 2 4 (0<x<π)． 在端点x=0及x=π处，级数的和显然为零，它不代表原来函数f(x) 的值．
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
奇延拓与偶延拓： 设函数f(x)定义在区间[0，π]上并且满足收敛定理的条件，我 们在开区间(−π，0)内补充函数f(x)的定义，得到定义在(−π，π]上 的函数F(x)，使它在(−π，π)上成为奇函数(偶函数)．按这种方式 拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓)．限制在(0，π]上， 有F(x) = f(x)．
二、函数展开成正弦级数或余弦级数
奇延拓与偶延拓： y f(x)
O 奇延拓 −3π −2π −π y
π
F(x)
x
O y
π
F(x)
2π
3π
x
偶延拓 −3π −2π −π
O
π
2π
3π
x
例3 将函数f(x)=x+1(0≤x≤π)分别展开成正弦级数和余弦级数． 解 先求正弦级数．为此对函数f(x)进行奇延拓．
y
1 −π O
π
x
例3 将函数f(x)=x+1(0≤x≤π)分别展开成正弦级数和余弦级数． 解 先求正弦级数．为此对函数f(x)进行奇延拓． 2 π 2 π bn = ∫ f ( x) sin nxdx = ∫ ( x + 1) sin nxdx
π
0
π
0
x cos nx sin nx cos nx π = [− + − ]0 2 n n π n