人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合
高一数学-高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义 精品
⊂⊂⊂高一数学第一章集合与简易逻辑辅导讲义第一讲集合【辅导内容】 1、集合2、子集、全集、补集3、交集、并集 【学习内容】 一、集合的概念1、常用数集及其记法。
φ空集 N 非负整数集，自然数集 N +或N +正整数集 Z 整数集Q 有理数集 R 实数集 C 复数集 2、集合中元素的特征确定性；互异性；无序性， 会判断一组对象是否组成集合 3、集合的表示方法 ①列举法②描述法{x| p(x)} 4、集合的分类空集，有限集，无限集 二、子集，全集，补集1、掌握子集，真子集，全集，补集的概念及表示方法2、掌握子集，补集的性质①A ⊆B B ⊆C 则A ⊆C A ≠B B ≠C 则A ≠C②A ⊆BB ⊆A则A=B③Cu(CuA)=A ；CuU=φ，Cu φ=U ，CuA ⊆U ④φ⊆A ，A ⊆A三、交集、并集1、掌握交集、并集的概念及表示方法2、结合文氏图，掌握交集并集的性质①A ∩A=A ，A ∩φ=φA ∪A=A ，A ∪φ=A ②(A ∩B)⊆A ，(A ∩B)⊆B(A ∪B)⊇A ，(A ∪B)⊇B③A ∩B=B ∩A A ∪B=B ∪A ④若A ⊆B 则A ∩B=A 反之也其 若A ⊆B 则A ∪B=B 反之也其 ⑤(A ∩B) ⊆(A ∪B)当且仅当A=B 时，A ∩B= A ∪B⊂⊂3、结合文氏图及数轴会求两集合的交集，并集，补集四、1、理解奇数、偶数的定义，会用集合语言表示奇数集，偶数集、整数集之间的关系2、注意a 与{a}的区别，以及φ，0，{0}的区别。
【例题选讲】例1、已知集合A={x|ax 2+2x+1=0,a ∈R}（1）若A 只有一个元素，试求a 的值，并求出这个元素； （2）若A 是空集，求a 的取值范围；（3）若A 中至多有一个元素，求a 取值范围 分析：（1）集合只有一个元素时有两种情形： ①a=0，方程为2x+1=0，只有一个根为21-=x ②当a ≠0时，△=0，即4-4a=0，∴a=1，这时方程有两个相同的实数根x 1=x 2=-1 由①②可知，当a=0或a=1时，A 中只有一个元素，分别为21-或-1 （2）若A 为空集，则必须有⎩⎨⎧<-=∆≠0440a a ，解得a>1。
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第1章 集合与常用逻辑术语 1.3 第1课
第十五页，编辑于星期六：二十三点 十四分。
(2)对于集合 B，Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)． ∵A∪B＝A，∴B⊆A. 当 Δ<0，即 a<－3 时，B＝∅，满足条件； 当 Δ＝0，即 a＝－3 时，B＝{2}，满足条件； 当 Δ>0，即 a>－3 时，B＝A＝{1,2}才能满足条件，
答案 A 解析 ∵A＝{x|－5<x<2}，B＝{x|－3<x<3}， ∴A∩B＝{x|－3<x<2}．故选 A.
答案 解析
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4．满足 M⊆{a1，a2，a3，a4}，且 M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合 M 的个数是( )
A．1
B．2
C．3
D．4
2a＋1≥3，
所以3a－5≤22， 2a＋1≤3a－5，
解得 6≤a≤9.
答案
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2．设集合 A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋(a2－5)＝0}． (1)若 A∩B＝{2}，求实数 a 的值； (2)若 A∪B＝A，求实数 a 的取值范围． 解 由 x2－3x＋2＝0 得 x＝1 或 x＝2， 故集合 A＝{1,2}． (1)∵A∩B＝{2}，∴2∈B，将 x＝2 代入 B 中的方程，得 a2＋4a＋3＝0 ⇒a＝－1 或 a＝－3. 当 a＝－1 时，B＝{x|x2－4＝0}＝{－2,2}，满足条件； 当 a＝－3 时，B＝{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，满足条件． 综上，a 的值为－1 或－3.
答案
第十二页，编辑于星期六：二十三点 十四分。
B 级：“四能”提升训练 1．已知非空集合 A＝{x|2a＋1≤x≤3a－5}，B＝{x|3≤x≤22}． (1)当 a＝10 时，求 A∩B，A∪B； (2)求能使 A⊆(A∩B)成立的 a 的取值范围．
人教版高中数学必修第一册同步讲义第一章 1.1 集合
第一章集合与简易逻辑第一单元集合单元知识要点点击本单元是“集合”.在初中数集(整数的集合、有理数的集合)、点集(直线、圆)等基础上,给出集合与集合元素的概念,并介绍其表示方法.从讨论集合与集合之间包含与相等关系入手,给出了子集的概念,与子集相联系的全集与补集的概念,属于集合运算的交集、并集的初步知识.考虑到集合知识的运用与巩固及下一章的函数的定义域与值域的需要,介绍了含绝对值不等式和一元二次不等式的解法.1.1 集合①课文三点专讲重点:(1)集合的含义集合的概念是数学中最原始的、不加定义的概念，它只是通过一些实例，描述性地说明其含义.(2)集合中元素的特征给定的集合，它的元素必须是确定的，互异的，并且集合与其中元素的排列次序无关，即集合中元素的三个性质：确定性、互异性、无序性.只要构成集合的元素是一样的，这两个集合就是相等的.(3)元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作：a A.难点：运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法，正确表示一些简单的集合(1)集合的表示——列举法列举法表示集合就是把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来.(2)集合的表示——描述法有些集合的元素无法用列举法一一列举出来的，我们可以用描述法表示，即在花括号“{ }”内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.考点:(1)集合元素的特性:考察集合元素的确定性、互异性、无序性,是高考中常考的内容之一.(2)集合的表示方法:考察集合的列举法和描述法两种表示方法,常用的还有图示法,要分清几种方法能间的相互转化及其关系.②练功篇典型试题分析例1.已知23{3,21,1}a a a -∈--+, 求实数a 的值.分析: -3的值可能有三种可能取值情况,必须分别代入求解,但要注意最后必须要验证所得结果的正确性. 实质上对于集合2{3,21,1}a a a --+均可能是-3 , 考虑集合元素的互异性, 在求得0a =或1a =-后,重新代入集合验证是必要的, 因为求得的值很可能会出现集合中有两个元素相同 , 此时对应的a 的值要舍去.解析: 由23{3,21,1}a a a -∈--+,可得33a -=-,即0a =; 或213a -=-,即1a =-; 或213a +=-(此方程无解). 当0a =时2{3,21,1}{3,1,1}a a a --+=-- ; 当1a =-时, 2{3,21,1}{4,3,2}a a a --+=-- . 所以0a =或1a =- . 例2.用列举法表示下列集合: (1)6{|,}2x Z x Z x ∈∈-; (2)*{|,,,||2,3}a x x a Z a b N b b=∈<∈≤且;(3) {(,)|2,14}x y y x x N x =-∈≤<且; (4) {|}x y x N ∈.分析:上述几题均是用描述法表示集合,列举其元素时一定要注意各自集合中的代表元素.寻找集合中的元素时,先要将其满足条件的集合中的相关数一一列举出来,其关键在于抓住集合中元素的特征,在列举元素时,要注意充分考虑集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性,如(2)集合中的元素个数只能有7个.解析:(1)∵6,2Z x Z x∈∈- , ∴|2|x -是6的因数 , 即|2|x -的值应取1或2或3或6, 分别解得1,3,4,0,1,5,4,8x =-- , ∴6{|,}{1,3,4,0,1,5,4,8}2x Z x Z x∈∈=--- . (2)由,||2a Z a ∈<知1,0,1a =-; 由*3b N b ∈≤且知1,2,3b = . ∴a b 的值分别为101101101,,,,,,,,111222333--- , 考虑到集合中元素的互异性,故原集合可用列举法表示为:1111{1,0,1,,,,}2233--- . (3)由14x N x ∈≤<且知1,2,3x =, 其对应的y 的值分别为1,0,1y =-, 故原集合用列举法可表示为:{(1,1),(2,0),(3,1)}- .(4) 由已知条件可得20x x N -≥∈且, 即2x x N ≤∈且 , ∴0,1,2x = ,∴{|}{0,1,2}x y x N ∈= .基础知识巩固1.用列举法表示下列集合：(1)｛y ｜y ＝－x 2－2x ＋3，x ∈R ，y ∈N ｝．(2)｛20以内的质数｝．(3)｛(x ，y )｜x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N ｝．2.用描述法表示下列集合：(1)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合.(2)平面直角坐标系中第Ⅱ、Ⅲ象限点的集合．(3)方程组⎩⎨⎧=-=+11y x y x 的解的集合.(4)能被3整除的整数.3.用列举法表示下列集合:(1) {|}y y x N =∈;(2) {(,)|}x y y x N =∈4.方程组⎩⎨⎧=+-=++03062y x y x 的解集是 ( ). A .{(-3,0)} B .{-3,0} C .(-3,0) D .{(0,-3)}5.下列各题中M 与P 表示同一集合的是 ( )A .)},3,1{(-=M )}1,3{(-=PB .}0{,=∅=P MC .22{|1,},{(,)|1,}M y y x x R P x y y x x R ==+∈==+∈D .22{|1,},{|(1)1,}M y y x x R P t t y y R ==+∈==-+∈6.下列四个关系中，正确的是 ( )A .}{a ∈∅B .}0{=∅C .},{}{b a a ∈D .}}{},{{}{b a a ∈7.已知A ＝｛－2，－1，0，1｝，B ＝｛x ｜x ＝｜y ｜y ∈A ｝，求B ．8..将方程组⎩⎨⎧=-=+273223y x y x 的解集用列举法、描述法分别表示． 9..设集合A ＝｛x ｜x ＝2k ，k ∈Z ｝，B ＝｛x ｜x ＝2k ＋1，k ∈Z ｝，C ＝｛x ｜x ＝4k ＋1，k ∈Z ｝，又有a ∈A ，b ∈B ，判断元素a ＋b 与集合A 、B 和C 的关系．10.已知2{|}A x x px q x =++=,2{|(1)(1)1}B x x p x q x =-+-+=+,当{2}A =时,求集合B .③升级篇典型试题分析例3：已知集合{0,2,4}M =，定义集合{|,,}P x x ab a M b M ==∈∈，求集合P . 分析：求集合P ，根据集合P 的定义，集合P 中的代表元素x 满足,,x ab a M b M =∈∈，所以分别取,a M b M ∈∈，求出ab 的所有可能值，用列举法一一列举出来，即得集合P .解析：∵,a M b M ∈∈，∴a =0,2,4, b =0,2,4,a 或b 至少有一个为0时，0x ab ==，a =2且b =2时, 4x ab ==， a =2且b =4时, 8x ab ==，a =4且b =2时, 8x ab ==， a =4且b =4时, 16x ab ==，根据集合中元素的互异性知{0,4,8,16}P =.例4.2008年第29届奥运会将在北京召开，现有三个实数的集合，既可以表示为{a ，a b ，1}，也可表示为{a 2，a ＋b ，0}，请求a 2008＋b 2008的值 ．分析：根据集合中元素的确定性，我们不难得到两集合的元素是相同的，这样需要列方程组分类讨论，显然复杂又烦琐．这时若能发现0这个特殊元素，和ab 中的a 不为0的隐含信息，就能得到如下解法.解析: 由已知得ab ＝0，及a ≠0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性a ＝1应舍去，因而a ＝－1，故a 2008＋b 2008＝(-1) 2008＝1． 知识应用与提升11.已知x 、y 、z 为非零实数，代数式xyzxyz z z y y x x ＋＋＋的值所组成的集合是M ，则下列判断正确的是 （ ）A ．0∉MB ．2∈MC ．－4∉MD ．4∈M12.集合{0,1,2,3,5}A =，当x A ∈时，若1x A -∉，且1x A +∉，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为 .13.关于x 的方程0=+b ax ，当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是有限集；当实数b a ,满足条件 时，方程的解集是无限集.14.若一数集中的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该集合为“可倒数集”，试写出一个含三个元素的可倒数集_____.15.已知},,0,1{2x x ∈ 求实数x 的值.16.已知集合12,6A x x N N x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭用列举法表示集合A 为 ④闯关篇典型试题分析例5：集合M 由正整数的平方组成，即{}1,4,9,16,25,...M =，若对某集合中的任意两个元素进行某种运算，运算结果仍在此集合中，则称此集合对该运算是封闭的. M 对下列运算封闭的是（ ）A. 加法B. 减法C. 乘法D. 除法分析：本题定义了集合的封闭运算，要探求集合对哪种运算封闭，一种思路是直接根据定义去探求这种运算，对于选择题，再一种思路就是排除不符合定义的运算，从而得到符合定义的运算.解析：设a b 、表示任意两个正整数，则22a b 、的和不一定是属于M ，如22125M =∉+；22a b 、的差也不一定是属于M ，如22123M =-∉-；22a b 、的商也不一定是属于M ，如2211M 24=∉；因为a b 、表示任意两个正整数， 222()a b ab ⋅= ，ab 为正整数，所以2()ab 属于M ，即22a b 、的积属于M .故选C.例6. 已知集合A ＝{x |x ＝m ＋n 2，m ，n ∈Z}．（1）证明任何整数都是A 的元素；（2）设x 1，x 2∈A ，求证：x 1·x 2∈A ．分析: 转换思维模式可将复杂问题具体化、简略化,本题的实质是证明任意两个A 集合中的元素的乘积运算仍在A 集合中,它反映了集合元素运算封闭性.证明：（1）设a ∈Z ，则a ＝a ＋02 ．∵a ，0∈Z ，∴ a ＝a ＋02∈A ．故任何整数都是A 的元素 ．（2）∵x 1，x 2∈A ，可设x 1＝m 1＋n 12，x 2＝m 2＋n 22，（其中m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ）. ∴x 1x 2＝（m 1＋n 12）（m 2＋n 22）＝（m 1m 2＋2n 1n 2）＋（m 1n 2＋m 2n 1）2． ∵m 1，n 1，m 2，n 2∈Z ，∴（m 1m 2＋2n 1n 2）∈Z ，（m 1n 2＋m 2n 1）∈Z ．当m 1n 2＋m 2n 1＝0时，x 1·x 2＝（m 1m 2＋2m 1n 2）∈Z ， ∴x 1·x 2∈A ．知识拔高与创新17.已知A={1，2，3}， B={2，4}，定义集合A 、B 间的运算A*B={|}x x A x B ∈∈且，则集合A*B=（ ）A. {1，2，3}B. {2，4}C. {1，2，3，4}D. {2}18. 已知集合241x A a x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭有惟一解，又列举法表示集合A 为 19.求集合2160{|}3a a Z Z a∈∈-且中所有元素的和. 20.已知集合A ＝{x |x ＝m 2－n 2,m ∈Z ,n ∈Z}求证：（1）3∈A ； （2）偶数4k —2 (k ∈Z)不属于A.⑤行侠篇高考试题点击21.（2005高考湖北）设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q=},5,2,0{},,|{=∈∈+P Q b P a b a 若}6,2,1{=Q ，则P+Q 中元素的个数是 （ ）A ．9B ．8C ．7D ．622.（2004高考湖南）若集合{}(,)|20A x y x y m =-+>，{}(,)|0B x y x y n =+-≤，若点P （2，3）∈A 且P （2，3）∉B ，则（ ）A. 15m n >-<,B. 15m n <-<,C. 15m n >->,D. 15m n <->,⑥娱乐广场开阔视野、趣味学习为数学而疯的人集合论的创立者是德国数学家康托尔.1845年3月3日，乔治·康托生于俄国的一个丹麦—犹太血统的家庭.1856年康托尔和他的父母一起迁到德国的法兰克福.他在中学阶段就表现出一种对数学的特殊敏感，并不时得出令人惊奇的结论.进入了柏林大学后，康托尔受了外尔斯特拉斯的影响而转到纯粹的数学.他在1869年取得在哈勒大学任教的资格，不久后就升为副教授，并在1879年被升为正教授.由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都应这样看起来，1厘米长的线段内的点“一样多”.后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论，轰动了当时数学界. 康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂，有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”，康托尔一直在逆境中拼搏着，以致不到40岁就患了神经衰弱和精神抑郁症，就这样他还在奋斗着.真金不怕火炼， 1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1月6日，康托尔在哈勒大学附属精神病院去世.1.2子集、全集、补集①课文三点专讲重点:(1)子集、全集、补集的概念.集合之间包含与相等的含义,识别给定集合的子集; 在具体情境中,了解全集与空集的含义(2)注意区别区分}0{},{,∅∅间的关系.}{∅表示以空集,∅为元素的单元素集合,当把∅视为集合时, }{∅⊆∅成立;当把∅视为元素时,}{∅∈∅也成立.0表示元素,}0{表示以0为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.难点：(1)弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.区分∈与⊆符号: ∈表示元素与集合之间的关系,如:N N ∉-∈1,1; ⊆表示集合与集合之间的关系,如R R N ⊆∅⊆,等.(2) 有限集合的子集个数:n 个元素的集合有n 2个子集;有12-n个非空子集;有12-n 个真子集;有22-n 个非空真子集.考点:(1)求集合的所有子集或子集的个数.此类问题有两种类型:其一是无条件地写出已知集合的所有子集或所有真子集,其解题关键是正确地进行分类,分别写出含有1个元素,2个元素,……,n 个元素的子集;其二是有条件地写出适合某条件的所有子集.(2)集合与集合之间的关系考察.此类问题常以两个集合间元素的属性及它们属性间的共同点及不同的点,来判断元素与集合间的从属关系,然后由子集定义得出其间的包含关系.几何图形可以直观形象地提示集合间的包含关系.(3)补集的求解问题.此类问题需要弄清全集U 及集合A 的元素构成,掌握补集的性质及应用,如(),,.U U U U A A U U ==∅∅=痧痧②练功篇典型试题分析例1.满足∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的集合A 是什么?共有多少个?分析: ∅⊂≠A ⊆},,,{d c b a 的意义是集合A 为非空集合,且{,,,}A a b c d ≠.解析:由∅⊂≠A 可知,集合A 必为非空集合;又由A ⊆},,,{d c b a 可知,此题即为求集合},,,{d c b a 的所有非空子集。
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1
高一数学集合与函数概念讲义新人教A版必修1讲义一： 集合的含义与表示（Ⅰ）、基本概念及知识体系：1、了解集合的含义、领会集合中元素与集合的∈、∉关系；元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；2、能准确把握集合语言的描述与意义：列举法和描述法：注意以下表示的集合之区别：｛y=x 2+1｝；｛x 2-x-2=0｝，｛x| x 2-x-2=0｝,｛x|y=x 2+1｝；｛t|y=t 2+1｝；｛y|y=x 2+1｝；｛(x,y)|y=x 2+1｝；∅；｛∅｝,｛0｝3、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；（Ⅱ）、典例剖析与课堂讲授过程：一、集合的概念以及元素与集合的关系：1、 元素：用小写的字母a,b,c,…表示；元素之间用逗号隔开。
集合：用大写字母A ，B ，C ，…表示；元素与集合的关系：∈、∉②、特殊的集合：N 、Z 、Q 、R ；N*、∅；③、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性：★【例题1】、已知集合A=｛a-2,2a 2+5a,10｝,又-3∈A ，求出a 之值。
●解析：分类讨论思想；a=-1(舍去），a=-32▲★课堂练习：1、已知集合A=｛1，0，x ｝,又x 2∈A ，求出x 之值。
(解：x=-1)2、已知集合A=｛a+2,（a+1）2，a 2+3a+3｝,又1∈A ，求出a 之值。
（解：a=0)二、集合的表示---------列举法和描述法★【例题3】、已知下列集合：（1）、1A =｛n|n=2k+1,k ∈N,k ≤5｝；（2）、2A =｛x|x=2k,k ∈N,k ≤3｝；（3）、3A =｛x|x=4k ＋1,或x=4k －1,k ,N ∈k ≤3｝；问：（Ⅰ）、用列举法表示上述各集合；（Ⅱ）、对集合1A ，2A ，3A ，如果使k ∈Z,那么1A ，2A ，3A 所表示的集合分别是什么？并说明3A 与1A 的关系。
高一数学辅导课 第一课
(3)空集只有一个子集,即它自身;
(4)对于集合A,B,C,由A⊆B,B⊆C可得 A⊆C ;
(5)对于集合A,B,C,由A⫋B,B⫋C可得 A⫋C .
名师点析 1.∈与⊆、a与{a}、{0}与⌀的区别
(1)∈与⊆的区别:∈表示元素与集合之间的关系,因此,有
(3)左、右端点值a,b都能取到的叫闭区间;左、右端点值a,b有一端能取到,
另一端不能取到的叫半开半闭区间;左、右端点值a,b都不能取到的叫开区
间.
(4)几何表示时,用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括
在区间内的端点.
微思考
(1)如图,如何把满足数轴上的数的集合表示出来?
提示 A={x|-3<x≤2}
有一个为空集,也可能这两个集合都是非空的,
如:A={1,3,5,7,9},B={2,4,6,8,10},此时A∩B=⌀.
名师点析 1.对交集概念的理解
(1)对于“A∩B={x|x∈A,且x∈B}”,包含以下两层意思:①A∩B中的任一元素都是A
与B的公共元素;②A与B的公共元素都属于A∩B,这就是文字定义中“所有”二字
C.4
)
D.3
答案 A
解析 (方法一)列举法:满足条件{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5}的集合A有
{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5},共8个.
(方法二)计数法:因为集合A满足{1,2}⊆A⊆{1,2,3,4,5},所以,集合A一定含有
不属于A
名师点析
概念
概念上的区别
符号上的区别
人教版高中数学必修第一册第一章1.1集合的概念课时1集合的概念【课件】
知识要点及教学要求
4. 能使用Venn图表达集合的基本关系并进行集合的基本运算，
体会数形结合的数学思想．
5. 通过对典型数学命题的梳理，帮助学生理解必要条件、充分条
件、充要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系、判定定
理与充分条件的关系、数学定义与充要条件的关系．
(3) 所有等边三角形；
(4) 方程 = 的实数解；
(5) 不等式x＋2>0的所有实数解．
思路点拨：判断一组对象能否构成集合，关键是看这组对象是否确定．
【解】“高一（1）班个子高的男生”无确定的标准，因此(1)不能构成
集合．(2)(3)(4)(5)的元素有点、图形、实数等，虽然不尽相同，但它
怎么表示一个集合和集合中的元素?
【问题3】结合问题1,你能说出集合中的元素应具
有怎样的特征吗?
【活动2】理解元素与集合的关系，熟悉常用数集的
表示方法
【问题4】某中学2021级高一年级的20个班构成一个集合，
则高一(1)班是这个集合中的元素吗？高二(2)班呢？
【问题5】结合问题4,你能说出集合与元素之间 具有怎
(3)(4)中的元素表示出来．
【问题9】从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一
个集合.除此之外,还可以用什么方式表示集合呢?
【问题10】什么是列举法?什么是描述法?怎样用列举法和
描述法表示集合?
典例精析
【例1】（教材改编题）下列元素的全体能否构成一个集合？
(1) 高一（1）班个子高的男生；
(2) 平面上到原点的距离等于1的所有点；
3. 在呈现方式上，以选择题、填空题为主．
学法指导
用观察、比较法研究典型的数学实例、回顾旧知，
高一数学培优拔高讲义第一讲
高一数学同步辅导 培优拔高讲义 第一讲 集合【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集、真子集、集合相等；空集的概念与性质；交集与并集、全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质、并集性质、补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；简单的分式不等式5.一元二次方程：根与系数关系；配方法；简单的二次方程根的分布。
【题型策略导航】1.若集合2{|210}A x ax x =++=是单元素集合，则a = 。
变式：已知集合2{|320,}A x ax x a R =-+=∈中至多一个元素，则a 的取值集合是 。
2.集合6{|}6A x N N x =∈∈=- ; 变式：8{|}6A x Z Z x=∈∈=- 3.集合2{|6,}A y N y x x N =∈=-+∈的非空真子集的个数是________________变式：1.若集合{(,)|25,,}A x y x y x N y N =+=∈∈,则A 的非空真子集的个数为__________2.若{2,4,10}{2,4,6,8,10,12}M ⊆⊆，则集合M 的个数为 。
4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，(){2,8},()(){1,2,3,4,5,6,7,8}U U U A C B C A C B ==，则A = 。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求()U C A B =_________5. 已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 取值范围。
高一数学必修①第一章 集合 与函数概念讲义
（2） ； 0 {0}； {0}； N {0}.
【例2】设集合，则下列图形能表示A与B关系的是（ ）.
B
A．
B．
C．
D．
【例3】若集合，且，求实数的值.
【例4】已知集合A={a,a+b,a+2b}，B={a,ax,ax2}. 若A=B，求实数x 的值.
第2练 §1.1.2 集合间的基本关系
※基础达标
（一）
2.指数函数
同步练习 九
2.1指数函数 1.指数函数性质 同步练习
（二）
2.评讲习题
十
2.2对数函数 （一）
1.对数与对数运 同步练习
算
十一
2.对数函数
2.2对数函数 （二）
1.对数函数的性 月考模拟
质
测试题
2.幂函数
3.1函数与方 程
1.方程的根与函 同步练习
数的零点
十二
2.二分法求方程
的近似解
数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会
求一些简单函数的定义域和值域. ¤知识要点： 1. 设A、B是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集
合A中的任意一个数，在集合B中都有唯一确定的数和它对应，那么就 称：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作=，．其 中，x叫自变量，x的取值范围A叫作定义域（domain），与x的值对应的 y值叫函数值，函数值的集合叫值域（range）.
并集
交集
补集
概 念
由所有属于集合A 或属于集合B的元 素所组成的集 合，称为集合A 与B的并集 （union set）
由属于集合A且属 于集合B的元素所 组成的集合，称为 集合A与B的交集 （intersection set）
高中数学培优讲义 第一讲 集合
提示：未知数很多，乍看之下有些无从下手。首先应当注意所有的未知元素都是自然数，这一点十分重要。其次我们可以看到有许多条件都是围绕a1和a4的。因此我们可以先考虑求出a1和a4.仔细观察分析，可知B集合中的元素都是完全平方数。从这一点出发即可得出a1和a4.接下来从A∪B的元素和为224能列出怎样的等式呢？还有3个未知数，怎样讨论为好？都是需要大家去分析和考虑的问题。
例七称{1,2,3,….,9}的某非空子集为奇子集；如果其中所有数之和为奇数，则共有几个奇子集？
提示：此题是13年北大保送生考试题。如果想简便的解决它，需要一点“对应”的思想。在很多和计数有关的问题中，这是一种很重要的想法。具体到这道题，大家不妨去考虑一下，所谓的奇子集和非奇子集之间，是否存在某些联系。
提示：题目要求比较的“琐碎”，直接去做似乎较为麻烦，容易顾此失彼。这时候运用韦恩图比较合适。在图中画出各个集合，然后根据题中要求把每个元素填进相应的区域中即可。
例四(1)已知A = { x | x=2n+1,n∈Z },B = { y | y=4m±1，m∈Z } 求证：A=B
（2）已知A={ x | x=14m+36n，m，n∈Z}，B={ x | x=2k，k∈Z}，求证：A=B
第一讲 集合
集合是一个很重要的概念。在我们高中数学课内的知识中，有关集合的内容是比较简单的。但实际上，朴素的概念里也能蕴涵深刻的问题。围绕集合是有许许多多富有挑战性的问题的。这类问题的常常有这样的特点：需要的知识很少，但是却不容易找到思路解决。这种集合题在高考中极为少见，但却是自主招生和竞赛的常客，属于组合方面的内容。
高一数学培优拔高讲义第一讲
精心整理【知识方法导航】1.元素与集合：集合的含义；元素的特征；集合的表示方法；常见数集的表示；元素与集合的关系；集合的分类。
2.集合的基本关系和基本运算：子集；集合相等；真子集；交集与并集；全集与补集。
3.集合的性质：子集性质；交集性质；并集性质；补集性质；有限子集的相关性质。
4.简单的不等式：一元一次不等式；简单的绝对值不等式；简单的一元二次不等式；5.1.变式：2.集合变式：3.集合.A 6.B 7变式：{0,1,2,3,4}{0,2,4,8}2.若5,,x N =∈ .C ６3.若4.已知全集{|8}U x N x +=∈≤，{2,8},{1,2,3,4,5,6,7,8}A B A B ==，则A =。
变式：已知全集{|4}U x x =≤，集合{|23}A x x =-<<，集合{|33}B x x =-<≤,求①、A ，②、A B ，③、A B ，④、A B ，⑤、A B 。
5.若2{1,2}{1,3,}a a +⊆-，则a =。
变式：1.已知集合}045|{2≤+-=x x x P ,}02)2(|{2≤++-=b x b x x Q 且有Q P ⊇，求实数b 的取值范围。
2.已知集合},8,2{a A =,}43,2{2+-=a a B ,又B A ⊇，求实数a 的值。
3.已知集合}132|{2+-==x x y x A ,}32|{2--==x x y y B ,则B A =。
4.已知集合{}1≤-=a x x A ，{}0452≥+-=x x x B ，若A B =∅，则实数a 的取值范围是。
6.已知集合}43|{≤≤-=x x A ，}112|{+≤≤-=m x m x B ,当A B A = 时，求出m 之取值范围。
合。
1.全集A B =（）2.A B =（）3.，若A B ⊆，则实数,a b4.6.1k x k <<+B ≠∅，则是（）7.{0,1,2,4,16}A B =的值为（）8.20112011a -=9.{3}B =，则实数10.}x n ≤≤，且b a -的长度，那么集合M N 的长度的最小值是。
人教 高中数学必修第一册第一章《1.1集合的概念》课件(共17张ppt)
(4). Venn图
我们常常画一条封闭的曲线，用 它的内部表示一个集合．
例如，图1-1表示一个集合AA 图1-1
元素，称为空集，记为；
（4） 两个集合的元素若一样，则称它们相等。
4．几个常用数集：
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集
(2) N＋* : 正整数集(不含0) (3) Z：整数集 (4) Q：有理数集 (5) R：实数集
5．集合的几种表示法
(1).自然语言法
(2).列举法：适用对象：有限、有规律
取值范围．a≠-2 (互异性应用）
知识点2 元素与集合的关系
1. 用符号“∈”或“ ”填空
(1) 3.14 Q (2)
Q
(3) 0 N+ (4) (-2)0 N+ (5) 2 3 Q (6) 2 3 R
书本P5:1
温馨提示：分类讨论+检验
3.已知x2∈{1, 0，x}，求实数x的值．
(3)无序性：集合中的元素是无
先后顺序的．
3．集合与元素的关系：
（1） 如果a是集合A的元素，就说a属于集 合A，记作a ∈ A；
如果a不是集合A的元素，就说a不属
于集合A，记作a A．
（2） 集合中的元素可以是数，点，式， 图，人，物……；
（3） 集合中的元素个数如果有限，称为有 限集；如果个数无限，称为无限集；如果没有
(5)小于10的所有自然数组成的集合； (6)1~20以内的所有素数组成的集合；
2、用描述法表示下列集合： (1)正偶数集； (2)被3除余2的正整数集合； (3)直角坐标平面内坐标轴上的点集．
高中数学必修一培优精品讲义
学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第01讲---集合授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解集合的含义、元素与集合的属于关系；②理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；③理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；④理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；⑤能使用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运算。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂知识概念（一）元素与集合(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于关系，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．（二）集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言集合间的基本关系相等集合A与集合B中的所有元素都相同A＝B 子集A中任意一个元素均为B中的元素A⊆B真子集A中任意一个元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素不是A中的元素A B 空集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集体系搭建（三）集合间的基本运算集合的并集 集合的交集 集合的补集图形 语言符号 语言A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B } A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }（四）集合的运算性质并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ．交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ．补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ．考点一：集合的含义与表示例1、设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x|x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B}，则M 中的元素个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6例2、设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，ba ，b ，则b －a ＝________.例3、现有三个实数的集合，既可以表示为{,,1}b a a，也可以表示为2{,,0}a a b +，则20142014a b +=________例4、设非空集合{|}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈.给出如下三个命题：①若1m =，则{1}S =；②若12m =-，则114l ≤≤；③若12l =，则202m -≤≤.其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3典例分析考点二：集合间的基本关系例1、已知集合A ＝{x|y ＝ln(x ＋3)}，B ＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A ．A ＝B B ．A∩B＝∅ C ．A ⊆B D ．B ⊆A例2、若{1},{1}P x x Q x x =<>-，则（ ）A. P Q ⊆B. Q P ⊆C. Q P C R ⊆D. P C Q R ⊆考点三：集合的运算例1、角度1 50名同学参加跳远和铅球测验，测验成绩及格的分别为40人和31人，2项测验成绩均不及格的有4人，2项测验成绩都及格的人数是 （ ）A ．35B ．25C ．28D ．15例2、若全集{1,2,3,4,5,6},{2,3},{1,4}U M N ===,则集合{5,6}等于（ ）A. MN B. MN C. )()(N C M C U U ⋃ D. )()(N C M C U U ⋂例3、已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，集合A ＝{2,3,5,6}，集合B ＝{1,3,4,6,7}，则集合A ∩(∁UB)等于( ) A ．{2,5} B ．{3,6} C ．{2,5,6} D ．{2,3,5,6,8}考点四：补集思想的应用例1、已知集合2{|20},{|49},A x x x a B x a x a =++≤=≤≤-若,A B 中至少有一个不是空集，则a 的取值范围是__________考点五：集合创新问题的探究例1、设数集31{|},{|},43M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤且,M N 都是集合{|01}Q x x =≤≤的子集，如果把b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的“长度”，那么集合M N 的“长度”的最小值是（ ）A ．13B ．23 C ．112 D ．512考点六：忽视空集例1、设{|26},{|23},A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆，则实数a 的取值范围是_________ 易失分提示：由B A ⊆可知，有B =∅和B ≠∅两种情况，容易忽略空集的情况.考点七：忽视集合中元素的三特性 例1、设数集2{1,3,},{,1},A x B x ==且{1,3,}AB x =，则x 的不同取值的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5P (Practice-Oriented)——实战演练➢ 课堂狙击1、已知集合A={1，2，3，4}，B={y|y=3x ﹣2，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1} B ．{4} C ．{1，3} D ．{1，4}实战演练2、已知集合P={n|n=2k ﹣1，k ∈N +，k ≤50}，Q={2，3，5}，则集合T={xy|x ∈P ，y ∈Q}中元素的个数为（ ） A ．147 B ．140 C ．130 D ．1173、已知全集U=R ，A=，B={x|lnx ＜0}，则A∪B=（ ）A ．{x|﹣1≤x ≤2}B ．{x|﹣1≤x ＜2}C ．{x|x ＜﹣1或x ≥2}D ．{x|0＜x ＜2} 4、若集合，B={1，m}，若A ⊆B ，则m 的值为（ ）A ．2B ．﹣1C ．﹣1或2D ．2或5、已知集合A={1，2}，B={x|ax ﹣1=0}，若A∩B=B，则实数a 的取值个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．36、已知全集U ＝{－2，－1,0,1,2}，集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＝2n －1，x ，n ∈Z ，则∁UA ＝________.7、已知有限集A={a 1，a 2，a 3…，a n }（n ≥2）．如果A 中元素a i （i=1，2，3，…，n ）满足a 1a 2…a n =a 1+a 2+…+a n ，就称A 为“复活集”，给出下列结论： ①集合{，}是“复活集”；②若a 1，a 2∈R ，且{a 1，a 2}是“复活集”，则a 1a 2＞4； ③若a 1，a 2∈N *则{a 1，a 2}不可能是“复活集”； ④若a i ∈N *，则“复合集”A 有且只有一个，且n=3．其中正确的结论是 ．（填上你认为所有正确的结论序号）➢ 课后反击1、已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．52、已知集合A={1，2，3}，B={y|y=2x ﹣1，x ∈A}，则A∩B=（ ） A ．{1，3} B ．{1，2}C ．{2，3}D ．{1，2，3}3、设集合P={x|0≤x ≤}，m=，则下列关系中正确的是（ ）A ．m ⊆PB ．m ⊈PC ．m ∈PD ．m ∉P4、设集合A ＝{x|21－x >1，x ∈R}，B ＝{x|y ＝1－x2}，则(∁RA)∩B 等于( )A ．{x|－1≤x≤1}B ．{x|－1<x<1}C ．{－1,1}D ．{1}5、用C （A ）表示非空集合A 中的元素个数，定义A*B=，若A={x|x 2﹣ax﹣2=0，a ∈R}，B={x||x 2+bx+2|=2，b ∈R}，且A*B=2，则b 的取值范围（ ） A ．b ≥2或b ≤﹣2B ．b ＞2或b ＜﹣2C ．b ≥4或b ≤﹣4D ．b ＞4或b ＜﹣46、已知集合A ＝{x|1≤x<5}，C ＝{x|－a<x≤a＋3}．若C∩A＝C ，则a 的取值范围是________．7、设M 是一个非空集合，#是它的一种运算，如果满足以下条件： （Ⅰ）对M 中任意元素a ，b ，c 都有（a#b ）#c=a#（b#c ）； （Ⅱ）对M 中任意两个元素a ，b ，满足a#b ∈M ． 则称M 对运算#封闭．下列集合对加法运算和乘法运算都封闭的为 ． ①{﹣2，﹣1，1，2} ②{1，﹣1，0} ③Z ④Q．集合新定义题解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质．1、【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB = （ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭战术指导直击高考2、【2016年高考四川理数】设集合{|22}A x x =-≤≤，Z 为整数集，则AZ 中元素的个数是（ ）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）63、【2016高考新课标2理数】已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ）（A ）{1} （B ）{12}， （C ）{0123}，，， （D ）{10123}-，，，，4、【2016高考浙江理数】已知集合{}{}213,4,P x x Q x x =∈≤≤=∈≥R R 则()P Q ⋃=R （ ）A ．[2,3]B ．( -2,3 ]C ．[1,2)D ．(,2][1,)-∞-⋃+∞5、【2015高考浙江，理1】已知集合2{20}P x x x =-≥，{12}Q x x =<≤，则()R P Q =（ ）A.[0,1)B. (0,2]C. (1,2)D. [1,2]S (Summary-Embedded)——归纳总结考点一：集合的含义与表示 考点二：集合间的基本关系 考点三：集合的运算 考点四：补集思想的应用 考点五：集合创新问题的探究 考点六：忽视空集考点七：忽视集合中元素的三特性重点回顾名师点拨集合题目的方法总结：一： (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系．常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．二：(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．三：一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．学霸经验➢本节课我学到了➢我需要努力的地方是学科教师辅导讲义学员编号：年级：高一课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲---函数的基本概念授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标了解构成函数的要素，会求函数的定义域和值域。
高中数学讲义 第一讲 集合 新人教A版必修1
广东省佛山市升高中数学讲义第一讲集合新人教A版必修1【知识要点】二、要点分析1、集合的含义与表示：（1）集合的含义：把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）。
（2）集合中元素的特性：①性：给定的集合，它的元素是确定的。
②性：一个给定集合中的元素是互不相同的。
③性：集合与其中元素的排列次序无关。
（3）集合的表示：①列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法。
②描述法：用集合所含元素的表示集合的方法。
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
③韦恩图法：为了形象地表示集合，常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合。
2、集合间的关系（1）子集：对于两个集合A、B，如果集合A中都是集合B中的元素，则这两个集合有关系，称集合A是集合B的，记。
（2）集合相等：若A⊆B，B⊆A，则集合A与集合B相等，记作。
（3）真子集：若A⊆B，但存在元素x∈B，且，则称A是B的，记作。
（4）性质：①任何一个集合A都是它本身的子集，即A⊆A。
②空集是任何集合的，是任何非空集合的。
③n 个元素的集合有 个子集，有 个真子集。
3、集合的运算（1）并集：由所有属于集合A 集合B 的元素所组成的集合，称为集合A 与B 的 ，记作 ，即A∪B＝{x | }。
（2）交集：由所有属于集合A 属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的 ，记作 ，即A∩B＝{x | }。
（3）补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为A 相对于全集U 的 ，简称A 的补集，记作 ，即C u A ＝{x | }。
（4）重要性质：A∩B＝A ⇒A ⊆B ；A∪B＝A ⇒B ⊆A三、方法指导【学法指导】1、在进行集合运算时，不能忘了∅。
2、在进行集合运算时，要确定好集合属于哪一类集合（数集、点集或图形等）。
新培优高中数学必修一课件第一章全集与补集
补集定义及表示方法
补集定义
对于某一集合A，由全集中所有不属于A的元素组成的集合称为A的补集，记作 $complement_UA$（或$overline{A}$）。
表示方法
补集通常用特定的符号来表示，如上述的$complement_UA$或$overline{A}$ ，其中U表示全集，A表示原集合。
集合的元素。
表示方法
集合通常用大写字母表示，如A、 B、C等。元素通常用小写字母表 示，如a、b、c等。集合的元素可 以列举出来，放在一对大括号{}内 。
举例
如A = {1, 2, 3}，表示集合A由元素 1、2、3组成。
元素与集合关系判断
01
02
03
属于关系
如果元素a是集合A的元素 ，就说a属于A，记作a ∈ A。
表示方法
全集通常用符号$U$来表示。
全集性质探讨
唯一性
在一个特定的讨论范围内，全集是唯 一的。
包含性
边界性
全集没有明确的“边界”或“外部” ，因为它包含了所有可能的元素。
全集包含该范围内所有研究的集合。
示例分析与解题技巧
示例分析
通过具体例子展示如何确定一个 讨论范围内的全集，并解释全集 与子集之间的关系。
练习题与答案解析
练习题
提供一些针对补集概念和运算规则的练习题，以帮助学生巩固所学知识。
答案解析
对练习题进行详细的答案解析，包括解题思路、步骤和最终答案等，以便学生自我检查和纠正错误。
04
交集、并集和差集运算
交集、并集定义及表示方法
交集定义
两个集合A和B的交集是由所有既属于A又属 于B的元素所组成的集合，记作A∩B。
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第1章 集合与常用逻辑术语 1.3 第2课
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第一页，编辑于星期六：二十三点 十四分。
A 级：“四基”巩固训练
一、选择题
1．设集合 U＝{1,2,3,4,5,6}，A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，则∁U(A∪B)＝( )
A．{2,6}
B．{3,6}
C．{1,3,4,5} D．{1,2,4,6}
答案 A
解析 因为 A＝{1,3,5}，B＝{3,4,5}，所以 A∪B＝{1,3,4,5}，因为 U＝ {1,2,3,4,5,6}，则∁U(A∪B)＝{2,6}，故选 A.
第九页，编辑于星期六：二十三点 十四分。
7．设全集 U＝{2,4，－(a－3)2}，集合 A＝{2，a2－a＋2}，若∁UA＝{－ 1}，则实数 a 的值为________．
答案 2 解析 由已知可得－ a2答案 解析
第十页，编辑于星期六：二十三点 十四分。
答案
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②若 B＝{－2}，则应有－(m＋1)＝(－2)＋(－2)＝－4，且 m＝(－2)× (－2)＝4，这两式不能同时成立，
∴B≠{－2}； ③若 B＝{－1，－2}，则应有－(m＋1)＝(－1)＋(－2)＝－3，且 m＝ (－1)×(－2)＝2，由这两式得 m＝2.经检验知 m＝1 或 m＝2 符合条件． 综上可得 m＝1 或 m＝2.
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3．已知 U 为全集，集合 M，N⊆U，若 M∩N＝N，则( )
A.∁UN⊆∁UM C.∁UM⊆∁UN
B．M⊆∁UN D.∁UN⊆M
答案 C
解析 根据 M，N⊆U，M∩N＝N，画出 Venn 图，如图所示，
由图可知∁UM⊆∁UN，故选 C.
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第1章 集合与常用逻辑术语 1.5 1.5
课后课时精练
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本课结束
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(1)改变量词：把存在量词换为恰当的全称量词． (2)否定结论：原命题中的“有”“存在”等更改为“没有”“不存在” 等．
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2．存在量词命题否定后的真假判断 存在量词命题的否定是全称量词命题，其真假性与存在量词命题相反； 要说明一个存在量词命题是真命题，只需要找到一个实例即可．
(1)存在量词命题的否定是 □01 全称量词 命题． (2)对于存在量词命题：∃x∈M，p(x)，它的否定为 □02 ∀x∈M，綈 p(x)．
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【新知拓展】 1．对全称量词命题的否定及其特点的理解 (1)全称量词命题的否定是一个存在量词命题，给出全称量词命题的否定 时既要改变全称量词，又要否定结论，所以找出全称量词，明确命题所提供 的结论是对全称量词命题否定的关键． (2)对于省去了全称量词的全称量词命题的否定，一般要先改写为含有全 称量词的命题，再写出命题的否定．
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[跟踪训练1] 写出下列全称量词命题的否定，并判断真假． (1)所有的矩形都是平行四边形； (2)∀x∈R，|x|≥x； (3)∀x∈N＋， x为正数． 解 (1)原命题的否定为“存在一个矩形不是平行四边形”，这个命题是 假命题． (2)原命题的否定为“∃x∈R，|x|<x”，这个命题是假命题． (3)原命题的否定为“∃x∈N＋， x≤0”，这个命题是假命题．
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[跟踪训练2] 写出下列存在量词命题的否定，并判断真假． (1)有的素数是偶数； (2)∃x∈R，x2＋x＋14≠0； (3)至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0.
2019-2020学年人教A版数学必修第一册培优教程课件：第1章 集合与常用逻辑术语 1.3 第2课
知识点二
补集
自然语言：对于一个集合 A，由全集 U 中 □01 不属于集合 A 的所有元素
组成的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集(complementary set)，简称为集合
A 的补集，记作∁UA.
符号语言：∁UA＝ □02 {x|x∈U，且 x∉A}．
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题型二 探究补集的一些运算律 例 2 试探究∁U(A∩B)与(∁UA)∪(∁UB)之间的关系． [解] 先通过具体例子探究它们之间的关系． 不妨令 U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A＝{1,2,4,7}，B＝{1,3,7,8}． 易知 A∩B＝{1,7}，∁U(A∩B)＝{2,3,4,5,6,8}． ∁UA＝{3,5,6,8}，∁UB＝{2,4,5,6}， (∁UA)∪(∁UB)＝{2,3,4,5,6,8}， 显然有∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)．
第2课时 补集
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(教师独具内容) 课程标准：1.在具体情境中，了解全集的含义，理解补集的含义，能求 给定(全集的)子集的补集.2.能用 Venn 图表达集合的补集． 教学重点：1.补集的含义(自然语言、符号语言、图形语言).2.会求集合的 补集.3.能进行简单的“并”“交”“补”混合运算． 教学难点：1.求补集及补集思想的应用.2.“子”“并”“交”“补”的 综合问题.
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核心概念掌握
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【知识导学】 知识点一 全集 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这 个集合为全集(universe set)，通常记作 U. 注意：可以认为是将要研究的问题限定在一个范围内进行，这个范围以 外的问题不在我们研究的范围以内，这时就有理由将所研究的这个范围视为 全集．全集不是固定不变的，是相对于研究的问题而言的，如在整数范围内 研究问题，Z 是全集；在实数范围内研究问题，R 是全集；若只讨论大于 0 小于 5 的实数，可选{x|0<x<5}为全集．通常也把给定的集合作为全集．
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第1讲集合理清双基1、集合的有关概念（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。
对象为集合的元素。
通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。
元素与集合的关系∈与∉（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：【例】1.设R b a ∈,，集合},,0{},,1{b aba b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系}1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）一个（B ）二个（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确变式：集合})0(),{(2≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（）说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
2.集合间的关系（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
【例】4.设⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,412,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则M 与N 的关系正确的是（）A.NM = B.NM ≠⊂ C.NM ≠⊃ D.以上都不对5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。
若A B ⊆，则实数m 的取值范围是()A ．43≤≤-m B ．43<<-m C ．42≤<m D ．4≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集【例】6.已知集合}1{2+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________4、集合运算中常用结论（1）等价关系B A A B A ⊆⇔= AB A B A ⊆⇔=【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有()A ．TS ∈∈3,3B ．TC S U ∈∈3,3C ．TS C U ∈∈3,3D ．TC S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n2个，非空子集有)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为()A ．3B ．6C ．8D ．102.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断321-是不是集合A 中的元素.3.数集A 满足条件：若A a ∈，则)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈31，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.5.已知集合}023|{2=+-=x ax x A .（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。
(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性。
强化训练1（1）已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是()A ．1B ．3C ．5D ．9（2）已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 构成的集合B 的元素个数是()A ．0B ．1C ．2D ．3考点二集合间的基本关系【例2】1.已知集合},50|{},,023|{2N x x x B R x x x x A ∈<<=∈=+-=则满足条件B C A ⊆⊆的集合C 的个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4►归纳提升解答集合间的关系问题的关注点(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析。
(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况。
强化训练2（1）已知集合}2|{},020182019|{2m x x B x x x A <=<+-=，若A B A = ，则整数m 的最小值是()A ．0B ．1C ．11D ．12考点三集合的基本运算【例3】1.已知全集}4,3,12,0{=U ，集合}4,2{},3,2,1{==B A 则B A C U )(为()A ．}4,2,1{B ．}4,2,3{C ．}4,2,0{D ．}43,2,0{，2.已知集合}3|2||{<+=x x A ，集合}0)2)((|{<--=x m x x B ，且),1(n B A -= ，则m ＝___，n ＝___。
3.设}04)2(2|{},08|{222=-+++==+=a x a x x B x x x A ，其中R a ∈.如果B B A = ，求实数a 的取值范围.4．已知集合}019|{22=-+-=a ax x x A ，}082|{},065|{22=-+==+-=x x x C x x x B ，试探求a 取何实数时，≠)(B A ∅与=)C ( A ∅同时成立.5．若三个方程022,0)1(,03442222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围．►归纳提升集合运算问题的常见类型及解题策略（1）离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn 图求解。
（2）连续型数集的运算，常借助数轴求解。
（3）已知集合的运算结果求集合，借助数轴或Venn 图求解。
（4）根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解。
强化训练3（1）已知集合}5,4,3,2,1{},3{},3,2,1{===A B A B A ，则集合B 的子集的个数为()A ．6B ．7C ．8D ．9（2）设集合}043|{},2|{2≤-+=->=x x x T x x S ，则=T S C R )(()A ．]1,2(-B ．]4,(--∞C ．]1,(-∞D ．),1[+∞考点四集合中的新定义问题【例4】1.给定集合A ，若对于任意A b a ∈,，有A b a ∈+，且A b a ∈-，则称集合A 为闭集合，给出如下三个结论：①集合4}202-{-4，，，，=A 为闭集合；②集合},3|{Z k k n n A ∈==为闭集合；③若集合21A A ，为闭集合，则21A A 为闭集合。
其中正确结论的序号是__________。
►归纳提升集合中新定义问题的求解策略（1）准确转化：解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义，结合题目的要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆。
（2）方法选取：对于新定义问题，可恰当选用特例法、筛选法、一般逻辑推理等方法，并结合集合的相关性质求解。
强化训练（1）．若一数集的任一元素的倒数仍在该集合中，则称该数集为“可倒数集”.①判断集合}2,1,1{-=A }是否为可倒数集；②试写出一个含3个元素的可倒数集．（2）．设U 为全集，对集合Y X ,定义运算“*”，)(Y X C Y X U =*，对于任意集合Z Y X ,,则=**Z Y X )(()A ．ZC Y X U )(B ．ZC Y X U )(C ．ZY C X C U U )(D ．ZY C X C U U )(【反馈训练】1．已知集合}02|{},2,1{=-==ax x B A ，若A B ⊆，则a 的值不可能是()A ．0B ．1C ．2D ．32．已知集合}3,2{-=A ，集合B 满足B A B = ，那么符合条件的集合B 的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．43．集合}7,6{},5,4,3{==Q P ，定义},|),{(Q b P a b a Q P ∈∈=*，则Q P *的子集个数为()A ．7B ．12C ．32D ．644．当A x ∈时，若A x A x ∉+∉-1,1，则称x 为A 的一个“孤立元素”，由A 的所有孤立元素组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合}3,1,0{=M 的孤星集为M '，集合}4,3,0{=N 的孤星集为N '，则N M '' ＝()A ．{0,1,3,4}B ．{1,4}C ．{1,3}D ．{0,3}5.已知集合A B m B m A ⊆==},,1{},,2,1{3，则m ＝________.6．若集合},2{},,4,2{2x B x A ==}，且},4,2{x B A = ，则x ＝________.7．已知集合}02|{2=++=a x ax x A ，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________．8．集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A （1）若A B ⊆，求实数m 的取值范围；（2）当A 中的元素Z x ∈时，求A 的非空真子集的个数；（3）当R x ∈时，若φ=B A ，求实数m 的取值范围．9．已知集合}242|{},31|{-≥-=≤≤-=x x x B x x A .(1)求B A ；(2)若集合}02|{>+=a x x C ，满足C C B = ，求实数a 的取值范围．10．已知集合},312|{},,61|{Z n n x x N Z m m x x M ∈-==∈+==，},612|{Z p p x x P ∈+==，试确定P N M ,,之间的关系.11．设数集}43|{+≤≤=m x m x M ，}31|{n x n x N ≤≤-=，且N M ,都是集合}10|{≤≤x x 的子集，如果把a b -叫做集合}|{b x a x ≤≤的“长度”，那么集合N M 的“长度”的最小值是________.12．设B A ,是两个非空集合，定义A 与B 的差集},|{B x A x x B A ∈∈=-.(1)试举出两个数集，求它们的差集；(2)差集B A -与A B -是否一定相等？说明理由；(3)已知}66|{},4|{<<-=>=x x B x x A ，求)(B A A --和)(A B B --．参考答案【例】1.2；【例】2.略；3.D ；变式：C ；【例】4.B.； 5.D ．；【例】6.]3,1[；【例】7.1≤a ；【例】8.B ；【考点分析】考点一集合的基本概念【例1】1.D ；2.是；3.集合中的其他元素为21,3,2--；4.]6,5(∈k ；5.（1）解：当0=a 时，32=x 符合题意。