人教版高中数学高一培优讲义第1讲集合

第1讲集合

理清双基1、集合的有关概念

（1）、集合的含义与表示：研究对象的全体称为集合。对象为集合的元素。通常用大写字母A 、B 、C 、D 表示。元素与集合的关系∈与∉

（2）、集合元素的特征（三要素）：①确定性：②互异性：③无序性：

【例】1.设R b a ∈,，集合},,

0{},,1{b a

b

a b a =+，则=-a b ________.（3）、集合的分类：①有限集②无限集③空集：∅

（4）、集合的表示方法:①自然语言②列举法③描述法④venne 法【例】2.分析下列集合间的关系

}

1{2+==x y y A }1{2+==x y x B }1),{(2+==x y y x C }

1{2+==x t t D 3.集合}{抛物线=A }{直线=B ，则B A 的元素个数下列说法正确的是（）

一个（B ）二个

（C ）一个、二个或没有（D ）以上都不正确

变式：集合})0(),{(2

≠++==a c bx ax y y x A })0(|),{(≠+==k b kx y y x B ，则B A 的元素个数为（

）

说明：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。2.集合间的关系

（1）子集：（2）相等关系：（3）真子集：

说明：任何一个集合是它本身的子集空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。【例】4.设⎭⎬⎫⎩

⎨⎧∈+=

=Z k k x x M ,412,⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,21

4，则M 与N 的关系正确的是（

）A.N

M = B.N

M ≠

⊂ C.N

M ≠

⊃ D.以上都不对

5.已知集合}.121|{},72|{-<<+=≤≤-=m x m x B x x A 。若A B ⊆，则实数m 的取值范围是(

)A ．4

3≤≤-m B ．43<<-m C ．4

2≤

≤m 3.集合的基本运算（1）交集（2）并集（3）补集全集

【例】6.已知集合}1{2

+==x y y M ，}9{2x y x N -==，则=N M ________

4、集合运算中常用结论（1）等价关系

B A A B A ⊆⇔= A

B A B A ⊆⇔=

【例】7.已知集合}{},1{a x x B x x A ≥=≤=，且R B A = ，则实数a 的取值范围为____（2）反演律（德摩根定律）)

()()(B C A C B A C U U U =)

()()(B C A C B A C U U U =【例】8.设全集}5,4,3,2,1{=U ，集合S 与T 都是U 的子集，满足}2{=T S ，

}4{)(=T S C U ，}5,1{)()(=T C S C U U 则有(

)

A ．T

S ∈∈3,3B ．T

C S U ∈∈3,3C ．T

S C U ∈∈3,3D ．T

C S C U U ∈∈3,39.由)(+∈N n n 个元素组成的集合A 的子集个数：A 的子集有n

2个，非空子集有

)12(-n 个，真子集有)12(-n 个，非空真子集有)22(-n 个

【考点分析】

考点一

集合的基本概念

【例1】1.已知集合},,|),{(},5,4,3,2,1{A y x A y A x y x B A ∈+∈∈==则B 中所含元素的个数为(

)A ．3

B ．6

C ．8

D ．10

2.集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断

3

21

-是不是集合A 中

的元素.

3.数集A 满足条件：若A a ∈，则

)1(11≠∈-+a A a a ．若A ∈3

1

，求集合中的其他元素.4.已知},,2|{R k N x k x x P ∈∈<<=，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值

范围是________.

5.已知集合}023|{2

=+-=x ax x A .

（1）若A 是单元素集合，求集合A ；（2）若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围．

►归纳提升解答集合的概念问题应关注两点

(1)研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性，对于含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合的元素是否满足互异性。

(2)对于集合相等首先要分析已知元素与另一个集合中哪一个元素相等，分几种情况列出方程(组)进行求解，要注意检验是否满足互异性。

强化训练1（1）已知集合}2,1,0{=A ，则集合},|{A y A x y x B ∈∈-=中元素的个数是

()A ．1B ．3C ．5D ．9

（2）已知集合}33,)1(,2{2

2

++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 构成的集合B 的元素个数是(

)

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

考点二

集合间的基本关系

【例2】1.已知集合},50|{},,023|{2

N x x x B R x x x x A ∈<<=∈=+-=则满足条件

B C A ⊆⊆的集合C 的个数为(

)A ．1B ．2C ．3D ．4

►归纳提升

解答集合间的关系问题的关注点

(1)已知两集合的关系求参数时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常要合理利用数轴、Venn 图帮助分析。(2)当题目中有条件B ⊆A 时，不要忽略B ＝∅的情况。

强化训练2（1）已知集合}2|{},020182019|{2

m x x B x x x A <=<+-=，若A B A = ，则整数m 的最小值是(

)A ．0

B ．1

C ．11

D ．12

考点三

集合的基本运算

【例3】1.已知全集}4,3,12,0{=U ，集合}4,2{},3,2,1{==B A 则B A C U )(为()

A ．}

4,2,1{B ．}

4,2,3{C ．}

4,2,0{D ．}43,2,0{，

2.已知集合}3|2||{<+=x x A ，集合}0)2)((|{<--=x m x x B ，且),1(n B A -= ，

则m ＝___，n ＝___。

3.设}04)2(2|{},08|{2

2

2

=-+++==+=a x a x x B x x x A ，其中R a ∈.如果

B B A = ，求实数a 的取值范围.

4．已知集合}019|{2

2=-+-=a ax x x A ，

}082|{},065|{22=-+==+-=x x x C x x x B ，试探求a 取何实数时，≠)(B A ∅

与=)C ( A ∅同时成立.

5．若三个方程022,0)1(,03442

222=-+=+-+=+-+a ax x a x a x a ax x 至少有

一个方程有实数解，试求实数a 的取值范围．