(仅供参考)理论力学(周衍柏第二版)思考题习题答案第五章答案

(5.3.14 ) ？
5.6 平衡位置附近的小振动的性质，由什么来决定？为什么 2 s2 个常数只有 2 s 个是独立的？
5.7 什么叫简正坐标？怎样去找？它的数目和力学体系的自由度之间有何关系又每一简正坐标 将作怎样的运动？ 5.8 多自由度力学体系如果还有阻尼力，那么它们在平衡位置附近的运动和无阻尼时有何不 同？能否列出它们的微分方程？
考虑到非惯性系中惯性力的虚功，利用虚功原理还可解决动力学问题，这是刚体力学的平衡条
件无法比拟的；另外，利用虚功原理解理想约束下的质点系的平衡问题时，由于约束反力自动
消去，可简便地球的平衡条件；最后又有广义坐标和广义力的引入得到广义虚位移原理，使之
在非纯力学体系也能应用，增加了其普适性及使用过程中的灵活性 .由于虚功方程中不含约束反
第五章 分析力学
第五章思考题
5.1 虚功原理中的“虚功”二字作何解释？用虚功原理理解平衡问题，有何优点和缺点？
5.2 为什么在拉格朗日方程中， θa 不包含约束反作用力？又广义坐标与广义力的含义如何？我
们根据什么关系由一个量的量纲定出另一个量的量纲?
5.3 广义动量 pa 和广义速度 q̇a 是不是只相差一个乘数 m ？为什么 pa 比 q̇a 更富有意义？
= δW
知，θαδqα 有功的量纲，据此关系已知其中一个量的量纲则可
得到另一个量的量纲.若 qα 是长度，则θα 一定是力，若 θα 是力矩，则 qα 一定是角度，若 qα 是体
积，则θα 一定是压强等. 5.3 答 pα 与 q̇α 不一定只相差一个常数 m ，这要由问题的性质、坐标系的选取形式及广义坐
T = 1 m( ẋ 2 + ẏ 2 + ż 2 )
标的选用而定。直角坐标系中质点的运动动能 2
，若取 y 为广义坐标，则
qy
=
ẏ ，而
py
=
∂t ∂y
=
mẏ
=
mq̇ y ，相差一常数 m，如定轴转动的刚体的动能 T
=
1 2
Iθ̇ 2
，取
广义坐标 qα
= θ ，而 Pθ
=
∂t ∂θ̇
=̇
Iθ̇,
∑ δW =
�� Fi ⋅ δ ri
真实的功完全是两回事.从
i
可知：虚功与选用的坐标系无关，这正是虚功与过
程无关的反映；虚功对各虚位移中的功是线性迭加，虚功对应于虚位移的一次变分.在虚功的计
算中应注意：在任意虚过程中假定隔离保持不变，这是虚位移无限小性的结果.
虚功原理给出受约束质点系的平衡条件，比静力学给出的刚体平衡条件有更普遍的意义 ；再者，
力.故不能求出约束反力 ，这是虚功原理的缺点.但利用虚功原理并不是不能求出约束反力，一般
如下两种方法：当刚体受到的主动力为已知时，解除某约束或某一方向的约束代之以约束反力；
再者，利用拉格朗日方程未定乘数法，景观比较麻烦，但能同时求出平衡条件和约束反力.
5.2 答 因拉格朗日方程是从虚功原理推出的，而徐公原理只适用于具有理想约束的力学体系
∂T 5.4 既然 ∂q̇a
是广义动量，那么根据动量定理，
d dt
⎛ ⎜⎜ ⎝
∂T ∂q̇ α
⎞
⎟⎟ ⎠
是否应等于广义力
θ
a
？为什么在拉
பைடு நூலகம்
∂T
格朗日方程 (5.3.14) 式中多出了 ∂qa 项？你能说出它的物理意义和所代表的物理量吗？
5.5 为什么在拉格朗日方程只适用于完整系？如为不完整系，能否由式 (5.3.13) 得出式
5.13 哈密顿原理是用什么方法运动规律的？为什么变分符号δ 可置于积分号内也可移到积分
号外？又全变分符号 ∆ 能否这样？ 5.14 正则变换的目的及功用何在？又正则变换的关键何在？ 5.15 哈密顿-雅可比理论的目的何在？试简述次理论解题时所应用的步骤.
5.16 正则方程 (5.5.15)与 (5.10.10)及 (5.10.11) 之间关系如何？我们能否用一正则变换由前者
∂L ∂L 5.9 dL 和 dL 有何区别？ ∂qa 和 ∂qa 有何区别？
5.10 哈密顿正则方程能适用于不完整系吗？为什么？能适用于非保守系吗？为什么？ 5.11 哈密顿函数在什么情况下是整数？在什么情况下是总能量？试祥加讨论，有无是总能量而 不为常数的情况？
5.12 何谓泊松括号与泊松定理？泊松定理在实际上的功用如何？
广义坐标数等于力学体系的自由度数；广义力明威力实际上不一定有力的量纲可以是力也可以
是力矩或其他物理量，如压强、场强等等，广义力还可以理解为；若让广义力对应的广义坐标
作单位值的改变 ，且其余广义坐标不变，则广义力 的数值等于外力的功由
∑ ∑ n � �
s
Fi ⋅ δ ri
i =1
= θαδqα
α =1
不对应有独立的广义坐标，故θα 不含约束反作用力.这里讨论的是完整系的拉格朗日方程，对受
有几何约束的力学体系既非完整系，则必须借助拉格朗日未定乘数法对拉格朗日方程进行修正.
广义坐标市确定质点或质点系完整的独立坐标，它不一定是长度，可以是角度或其他物理
量，如面积、体积、电极化强度、磁化强度等.显然广义坐标不一定是长度的量纲 .在完整约束下，
pθ 与 q̇θ 相差一常数——转动惯量 I
，又如极坐标系表示质
T
点的运动动能
=
1 m(ṙ 2 2
+ r 2θ̇ 2 ) ，若取 qα
=θ
，有 q̇θ
= θ̇ ，而 pθ
=
∂t ∂θ̇
= mr 2θ̇
，二者相
差一变数 mr 2 ；若取 qα
=
r 有 q̇r
= ṙ ，而
pr
=
∂T ∂ṙ
= mṙ ,二者相差一变数 m .在自然坐标系中
虚功方程中不含约束反力，故拉格朗日方程也只适用于具有理想约束下的力学体系， θα 不含约
束力；再者拉格朗日方程是从力学体系动能改变的观点讨论体系的运动，而约束反作用力不能
改变体系的动能，故θα 不含约束反作用力，最后，几何约束下的力学体系其广义坐标数等于体
系的自由度数，而几何约束限制力学体系的自由运动，使其自由度减小，这表明约束反作用力
得出后者？ 5.17 在研究机械运动的力学中，刘维定理能否发挥作用？何故？ 5.18 分析力学学完后，请把本章中的方程和原理与牛顿运动定律相比较，并加以评价.
第五章思考题解答
5.1 答：作.用于质点上的力在任意虚位移中做的功即为虚功，而虚位移是假想的、符合约束的、
无限小的.即时位置变更 ，故虚功也是假想的、符合约束的、无限小的.且与过程无关的功，它与