分数指数幂的运算

分数指数幂的运算

2.1.1.2 分数指数幂的运算

一、内容及其解析

（一）内容：分数指数幂的运算。

（二）解析：本节课要学的内容有分数指数幂的概念以及运算，理解它关键就是能够利用次方根概念转化到分数指数幂的形式。学生已经学过了根式概念和运算性质，对于转化到分数指数幂的形式难度不大，本节课的内容分数指数幂就是在此基础上的发展。由于它还与有理数指数幂有必要的联系,所以在本学科有着比较重要的地位，是学习后面知识的基础,是本学科的一般内容内容。教学的重点是利用次方根的性质转化成分数指数幂的形式，在利用有理数指数幂的运算性质化简指数幂的算式，所以解决重点的关键是利用分数有理指数幂的运算性质的运算性质，计算、化简有理数指数幂的算式。

二、目标及其解析

（一）教学目标

1．理解分数指数幂的概念；

2．掌握有理指数幂的运算性质；

（二）解析

1．理解分数指数幂的概念就是指通过复习已学过的整

数指数幂的概念和根式的概念，推导出分数指数幂的概念；

2．学会有理指数幂的运算性质，能够化简一般有理指数幂的算式。

三、问题诊断分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是分数指数幂的运算性质，产生这一问题的原因是：学生对根式化简到分数指数幂的形式熟练程度低，对于整数指数幂的运算性质不够熟练，不能很好的结合从特殊到一般的思想。要解决这一问题，就要在在练习中加深理解。

四、教学过程设计

1、导入新课

同学们，我们在初中学习了整数指数幂及其运算性质，那么整数指数幂是否可以推广呢？答案是肯定的.这就是本节的主讲内容，教师板书本节课题—分数指数幂

2、新知探究

提出问题

（1）整数指数幂的运算性质是什么？

（2）观察以下式子，并总结出规律：

①；

②；

③；

④ .

（3）利用（2）的规律，你能表示下列式子吗？

，且n>1)

(4)你能用方根的意义解释（3）的式子吗？（5）你能推广到一般情形吗？

活动：学生回顾初中学习的整数指数幂及运算性质，仔细观察，特别是每题的开始和最后两步的指数之间的关系，教师引导学生体会方根的意义，用方根的意义加以解释，指点启发学生类比（2）的规律表示，借鉴（2）（3），我们把具体推广到一般，对写正确的同学及时表扬，其他同学鼓励提示.

讨论结果：形式变了，本质没变，方根的结果和分数指数幂是相通的.综上我们得到正数的正分数指数幂的意义，教师板书：

规定：正数的正分数指数幂的意义是 .

提出问题

（1）负整数指数幂的意义是怎么规定的？

（2）你能得出负分数指数幂的意义吗？

（3）你认为应该怎样规定零的分数指数幂的意义？

（4）综合上述，如何规定分数指数幂的意义？

（5）分数指数幂的意义中，为什么规定，去掉这个规定会产生什么样的后果？

（6）既然指数的概念从整数指数推广到了有理数指数，

那么整数指数幂的运算性质是否也适用于有理数指数幂呢？

活动：学生回顾初中学习的情形，结合自己的学习体会回答，根据零的整数指数幂的意义和负整数指数幂的意义类比，把正分数指数幂的意义与负分数指数幂的意义融合起，与整数指数幂的运算性质类比可得有理数指数幂的运算性质，教师在黑板上板书，学生合作交流，以具体的实例说明的必要性，教师及时作出评价.

讨论结果：有了人为的规定后指数的概念就从整数推广到了有理数.有理数指数幂的运算性质如下：

对任意的有理数r,s,均有下面的运算性质：

①②③

三．概念的巩固和应用

例1 求值：

点评：本题主要考察幂值运算，要按规定解.要转化为指数运算而不是转化为根式.

例2 用分数指数幂的形式表示下列各式.

点评：利用分数指数幂的意义和有理数指数幂的运算性质进行根式运算时，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再由幂的运算性质运算.对结果不强求统一用什么形式但不能不伦不类.

变式训练

求值：（1）；（2）

拓展提升

已知探究下列各式的值的求法.

（1）

点评:：对“条件求值”问题，一定要弄清已知与未知的联系，然后采取“整体代换”或“求值后代换”两种方法求值

五．小结

（1）分数指数幂的意义就是：正数的正分数指数幂的意义是，正数的负分数指数幂的意义是零的正分数次幂等于零，零的负分数指数幂没有意义.

(2) 规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数.

(3) 有理数指数幂的运算性质：

①②