参数方程学案

选修系列4-4参数方程导学案

心学习目标

1.了解直线的参数方程以及参数t的几何的意义.

2.熟练掌握参数方程和普通方程的互化.

3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题.

4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题

一、课前学案基础盘点: 1、参数方程的概念

般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X,

y都是某个变数t的函数［x —f t)①，并且对于t的每一个允许值,

L y —g(t)

由方程组①所确定的点M(x , y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做

这条曲线的,联系变数x, y的叫做参变数，简,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫

2、圆的参数方程

圆心在坐标原点半径为r的圆x2+y2=r2的参数方程为

f x= rcos 0

i . A ( 0为参数).圆心为(a, b),半径为r的圆l y= rsin 0

(x —a)2+ (y —b)2= r2的参数方程为：_ .

3、椭圆的参数方程

以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程的标准

f x = acos 6

（a >b >0）

）其参数方程为l y ^bsin 6

（ 6

为参数），其中

f x = bcos 6

b >0）

，其参数方程为b^asin 6（ 6

为参数）

，其中参数6

为离心角, 通常规定参数©的范围为©€ [0,2 n.）

4、直线的参数方程

方程中参数t 的几何意义: 二. 课堂探究考点突破

考点一.参数方程化普通方程。

【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线: （X = 5cos®

〔X = 1 - 3t

叫y = 4sin®严参数）；叫y=4t

考点二.直线参数方程的有关应用

【例2】已知直线I 经过点P （1,1），倾斜角a

（1）写出直线I 的参数方程;

（2）设l

与圆X 2 +y 2

=4相交于两点A 、B ,求〔AB]

r

1

X = 1 + — t ,

2 （t 为参数），曲线

V 3 + X 2 t .

方程

参数©称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是

（a >

经过点M （x 0, y o ），倾斜角为 I 的普通方程是y

—y o = tan

— x o ），它的参数方程为 .直线的参数

（t 为参数）

【例2的变式训练】：已知直线G : <

[x = 2cos 日

G ： ； y = si n 日(日为参数).

(I)化C i , C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; L 与G 相交于A,B 两点，求

|AB| ；

判断点P 与直线I 的位置关系;

(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.

三. 课后演练知能检测 1.将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表

示的曲线.

(n)设

考点三 P

曲线参数方程的应用

【例3】. x

2

在平面直角坐标系xOy 中，设P(x , y)是椭圆一+ y 2= 1上

的一个动点，求S = x + y 的最大值

【例3变式训练】：在直接坐标系

x = ^/5Cos 曲线C 的参数方程为W = sin

(I )已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 中，直线I 的方程为x-y+4=0， a

(a 为参数)

点0为极点，以x 轴正半轴为极轴)

xOy 取相同的长度单位，且以原 中，点p 的极坐标为(4

, I ),

f x= 1 + 4cost 〔X - 5 C°s®

⑴[y— 2 + 4sint （t为参数0=t^力⑵I厂4sin® （。为参数）

2.已知P（x, y）是圆x2+ y2—2y= 0上的动点.

⑴求2x+ y的取值范围；（2）若x + y+ c> 0恒成立，求实数c的取值范围.

3.已知曲线C的极坐标方程为尸4C0SB,直线l的参数方程是

（x= —^/5+乎t,

{ 厂（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程，直线

l y Y +爭

1

l的普通方程；（2）将曲线C横坐标缩短为原来的2,再向左平移1个单位，得到曲线C i,求曲线C i上的点到直线I距离的最小值.

4. （2012新课标文理）选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C i的参数方程是丿X二2c os：（甲是参数）,以坐标原点为极

[y =3si n W

点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：的极坐标方程是P=2,正方形ABCD勺顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的

极坐标为（2, -）•

3

（I ）求点A,B,C,D的直角坐标；

（n ）设P为G上任意一点，求|PA|2+|P B|2+1 PCI2+1 PD|2的取值范

围.