参数方程学案
高中数学必修4《直线的参数方程》导学案
§2．3 直线的参数方程1,了解直线参数方程的条件及参数的意义2,能根据直线的几何条件,写出直线的参数方程及参数的意义 3,通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
【重点、难点】\教学重点：曲线参数方程的定义及方法教学难点：选择适当的参数写出曲线的参数方程. 二、学习过程 【情景创设】1．写出圆方程的标准式和对应的参数方程。
圆222r y x =+参数方程⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x （θ为参数）（2）圆22020)\()(r y y x x =+-参数方程为：⎩⎨⎧+=+=θθsin cos 00r y y r x x （θ为参数）2．写出椭圆参数方程.3．复习方向向量的概念.提出问题:已知直线的一个点和倾斜角,如何表示直线的参 【导入新课】1、问题的提出：一条直线L 的倾斜角是030，并且经过点P （2，3），如何描述直线L 上任意点的位置呢？如果已知直线L 经过两个 定点Q （1，1），P （4，3）， 那么又如何描述直线L 上任意点的 位置呢？2、教师引导学生推导直线的参数方程： （1）过定点),(00y x P 倾斜角为α的直线的参数方程 ⎩⎨⎧+=+=ααsin cos 00t y y t x x （t 为参数）三 、典例分析 1、直线)(sin cos 为参数θθθ⎩⎨⎧==t y t x 与圆)(sin 2cos 24为参数ϕϕϕ⎩⎨⎧=+=y x 相切，那么直线的倾斜角为（A ）A ．6π或65πB ．4π或43πC ．3π或32πD ．6π-或65π-2、(2009广东理)（坐标系与参数方程选做题）若直线112,:()2.x t l t y kt =-⎧⎨=+⎩为参数与直线2,:12.x s l y s =⎧⎨=-⎩（s 为参数）垂直，则k = ．【变式拓展】(2009天津理)设直线1l 的参数方程为113x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），直线2l 的方程为y=3x+4则1l 与2l 的距离为_______四、总结反思1,参数方程化为普通方程的过程就是消参过程常见方法有三种： （1） 代入法：利用解方程的技巧求出参数t ，然后代入消去参数 （2） 三角法：利用三角恒等式消去参数（3） 整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。
参数方程学案(张东玲)
选修系列4-4参数方程导学案设计人：张东玲1.了解直线的参数方程以及参数t 的几何的意义．2. 熟练掌握参数方程和普通方程的互化．3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题．4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题.一、课前学案基础盘点： 1、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x ，y 的 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． 2、圆的参数方程圆心在坐标原点半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2 的参数方程为： ． 3、椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的标准方程 (a ＞b ＞0)．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数)，其中参数φ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 (a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φy ＝asin φ(φ为参数)，其中参数φ为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 4、直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的普通方程是y－y 0＝tan α(x －x 0)，它的参数方程为 ．直线的参数方程中参数t 的几何意义： 二．课堂探究考点突破考点一. 参数方程化普通方程。
【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）考点二.直线参数方程的有关应用【例2】已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角6πα=。
参数方程》教案(新人教选修
“参数方程》教案(新人教选修)”一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点。
2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程。
3. 能够解参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 掌握参数方程在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 参数方程的定义和特点引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
分析参数方程与直角坐标方程的关系。
2. 参数方程的转换教授如何将直角坐标方程转换为参数方程。
练习将给定的直角坐标方程转换为参数方程。
3. 解参数方程讲解参数方程的解法步骤。
练习解给定的参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 参数方程的应用通过实际问题引入参数方程的应用。
练习解决实际问题，运用参数方程。
三、教学方法1. 讲授法：讲解参数方程的定义、特点和转换方法。
2. 练习法：通过练习题让学生巩固参数方程的转换和解法。
3. 问题解决法：通过实际问题引导学生运用参数方程解决实际问题。
四、教学准备1. 教学PPT：制作参数方程的相关PPT课件。
2. 练习题：准备一些参数方程的练习题供学生练习。
3. 实际问题：准备一些实际问题供学生解决。
五、教学过程1. 引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
2. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程，并进行练习。
3. 讲解参数方程的解法步骤，并进行练习。
4. 通过实际问题引入参数方程的应用，并进行练习。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，观察学生对参数方程的理解程度和应用能力。
根据学生的反馈情况进行调整教学方法和教学内容，以便更好地达到教学目标。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对参数方程的理解程度。
2. 练习题：布置一些参数方程的练习题，评估学生的掌握情况。
3. 实际问题解决：让学生解决一些实际问题，观察他们运用参数方程的能力。
七、拓展与延伸1. 讲解参数方程在实际应用中的更深入例子，如工程、物理等领域。
2. 介绍参数方程与其他数学概念的联系，如极坐标方程。
3. 引导学生进行参数方程的相关研究项目，加深对参数方程的理解。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数在方程中的作用。
举例说明参数方程的常见形式，如直线参数方程和圆参数方程。
1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数图和参数曲线。
讲解如何从参数方程中得出曲线或图形的几何性质。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何求解参数方程中的参数值，重点讲解代数方法和解的存在性。
举例说明求解参数方程的步骤和技巧。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法，如参数替换和变量替换。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程，并解释其几何意义。
第三章：参数方程的应用3.1 物体的运动方程讲解参数方程在物体运动中的应用，如匀速直线运动和圆周运动。
举例说明如何根据物体的运动特点建立参数方程。
3.2 优化问题的参数方程解决方法介绍参数方程在优化问题中的应用，如最短路径问题和最大值问题。
讲解如何利用参数方程来解决优化问题，并给出实例。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为直角坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的注意事项和转换方法。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为极坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的关键点和转换方法。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何问题中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如求解曲线的长度、面积和角度等。
举例说明如何利用参数方程解决几何问题。
5.2 参数方程在实际问题中的应用介绍参数方程在实际问题中的应用，如电子束聚焦和运动规划。
讲解如何将实际问题转化为参数方程问题，并给出解决方法。
第六章：参数方程在物理问题中的应用6.1 经典力学中的参数方程讲解参数方程在经典力学中的应用，如在描述抛体运动、圆周运动等问题。
举例说明如何根据物理定律建立参数方程，并分析其物理意义。
参数方程的概念学案
参数方程的概念学案引言：参数方程是数学中一个重要的概念，它让我们能够用一组参数来描述曲线或曲面。
参数方程在几何学、物理学和工程学等领域中具有广泛的应用。
本文将介绍参数方程的定义、性质和应用，并提供一些例题进行讲解。
一、参数方程的定义参数方程是一种用一组参数来表示曲线或曲面的方程。
一般而言，一个参数方程会包含多个参数，并结合参数的取值范围描述了曲线或曲面的具体形状。
参数方程与其他常见的方程形式（如直角坐标方程和极坐标方程）相比，更加灵活和直观。
二、参数方程的性质1. 参数方程的定义域：参数方程中参数的取值范围称为参数方程的定义域。
定义域可以是一个区间、多个区间的并集、有限集或无限集。
2. 参数方程的解析式：在某些情况下，可以通过求解参数方程，将其转化为相应的解析式表示。
3. 参数方程的方向：参数方程中参数的增加方向对应着曲线或曲面上的运动方向。
参数方程的方向与参数的取值范围有关，需要根据实际情况进行判断。
三、参数方程的应用1. 几何学中的参数方程：参数方程可以描述各种曲线和曲面的形状，如直线、圆、椭圆、抛物线和双曲线等。
通过调整参数的取值范围，可以得到不同形状的曲线或曲面。
2. 物理学中的参数方程：在物理学中，往往需要描述有关运动的曲线或轨迹。
参数方程可以方便地描述物体在空间中的运动轨迹，如抛体运动、行星运动等。
3. 工程学中的参数方程：在工程学中，参数方程常用于描述曲面形状，如船体曲线、飞机机翼曲线等。
通过参数方程，可以方便地设计和制造相关工程结构。
例题讲解：1. 圆的参数方程：圆的参数方程如下：x = r * cos(t)y = r * sin(t)其中，r表示圆的半径，t表示参数，参数范围一般为[0, 2π]或[-π, π]。
参数方程中的t可以认为是圆上一点在圆周上的位置。
2. 抛物线的参数方程：抛物线的参数方程如下：x = ty = t^2其中，参数方程表示了抛物线上的每个点的坐标。
通过改变参数t的取值范围，可以绘制出不同位置和形状的抛物线。
参数方程的概念学案
参数方程的概念学案导语：参数方程是描述曲线或曲面上各点坐标的一种方式。
它通过引入新的参数变量，将曲线或曲面的坐标表示为参数的函数形式。
本文将介绍参数方程的概念及应用，并通过具体的例子来解释其原理和用途。
一、什么是参数方程参数方程是数学中用来描述曲线或曲面的一种方式。
其主要思想是将曲线或曲面上的点的坐标表示为一个或多个参数的函数形式。
常见的参数方程有二维参数方程和三维参数方程。
1. 二维参数方程二维参数方程是将平面上的点的坐标表示为一个参数的函数形式。
通常情况下，我们用t来表示参数。
例如，对于平面上的一条曲线，我们可以用参数方程表示为x = f(t)，y = g(t)，其中f(t)和g(t)是关于t的函数。
2. 三维参数方程三维参数方程是将空间中的点的坐标表示为多个参数的函数形式。
同样，我们用t1、t2等来表示参数。
例如，对于三维空间中的一个曲面，我们可以用参数方程表示为x = f(t1, t2)，y = g(t1, t2)，z= h(t1, t2)，其中f(t1, t2)、g(t1, t2)和h(t1, t2)是关于t1和t2的函数。
二、参数方程的原理参数方程的原理是利用参数来表示曲线或曲面上的各个点的坐标。
通过改变参数的取值范围，我们可以获得曲线或曲面上的不同点。
参数方程可以将复杂的曲线或曲面分解为简单的参数函数，从而方便进行计算和分析。
三、参数方程的应用参数方程在数学中有着广泛的应用，特别是在几何学、物理学和工程学等领域。
1. 几何学中的参数方程在几何学中，参数方程常被用来描述曲线和曲面的形状和性质。
例如，通过参数方程，我们可以得到圆、椭圆、抛物线和双曲线等曲线的方程，从而进一步研究它们的几何性质。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义与形式引导学生了解参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程、直线的参数方程等。
1.2 参数方程的应用场景通过实际问题引入参数方程的应用，如物体的运动轨迹、几何图形的构造等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的优势。
第二章：参数方程的求解方法2.1 参数方程的求解步骤介绍参数方程求解的一般步骤，如确定参数的范围、求解参数的值等。
通过具体例子演示参数方程的求解过程。
2.2 参数方程的图像分析引导学生了解参数方程的图像特征，如曲线的变化趋势、交点等。
通过绘制参数方程的图像，帮助学生直观理解参数方程的性质。
第三章：常见参数方程的类型及解法3.1 三角函数型参数方程介绍三角函数型参数方程的特点和解法，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过例题讲解三角函数型参数方程的求解方法。
3.2 反比例函数型参数方程介绍反比例函数型参数方程的特点和解法，如双曲线等。
通过例题讲解反比例函数型参数方程的求解方法。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化引导学生了解参数方程与直角坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与直角坐标方程的互化过程。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化引导学生了解参数方程与极坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与极坐标方程的互化过程。
第五章：参数方程在实际问题中的应用5.1 参数方程在物理学中的应用通过实际问题引入参数方程在物理学中的应用，如抛物线运动、电磁波等。
引导学生理解参数方程在物理学中的重要作用。
5.2 参数方程在工程中的应用通过实际问题引入参数方程在工程中的应用，如优化问题、设计问题等。
引导学生理解参数方程在工程中的实际意义。
第六章：参数方程的优化问题6.1 参数方程优化问题的定义与特点引导学生了解参数方程优化问题的定义，理解优化问题的实际意义。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
参数方程教案
参数方程教案教案名称：参数方程教学案教学目标：1. 了解参数方程的概念和基本性质。
2. 掌握参数方程与直角坐标系之间的转换。
3. 学习如何绘制和分析参数方程描述的曲线。
教学重点：1. 参数方程的定义和表示。
2. 参数方程与直角坐标系之间的转换方法。
3. 使用参数方程绘制和分析曲线的技巧。
教学难点：1. 参数方程与直角坐标系之间的转换。
2. 如何使用参数方程绘制和分析曲线。
教学准备：1. 教师准备示例题和练习题，以及相应的教学材料。
2. 学生准备笔记本和作业本，以及绘图工具。
教学过程：Step 1：导入引导学生回顾直角坐标系中的函数和曲线方程的概念，并提问是否存在其他表示方式。
Step 2：引入参数方程概念1. 向学生解释参数方程的定义和含义：参数方程是一组用参数表示的方程，参数的变化会导致曲线的形状和位置改变。
2. 提供示例方程，比如x = cos(t)，y = sin(t)，引导学生理解参数t的作用。
Step 3：参数方程与直角坐标系的转换1. 介绍如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程：通过消元参数的方法，将参数方程中的参数表示为变量和常数的关系。
2. 通过示例方程，如x = 2t，y = t + 1，演示如何将参数方程转换为直角坐标系中的函数方程。
Step 4：使用参数方程绘制曲线1. 要求学生在笔记本上记录示例方程，并按照给定的参数范围，计算对应的坐标点。
2. 使用计算的坐标点，绘制曲线，并分析曲线的形状和特点。
Step 5：练习与巩固1. 发放练习题，让学生自主练习，提醒他们注意平面几何的知识，在绘制曲线时进行相应的分析。
2. 教师对学生的练习结果进行讲评，解答疑惑。
Step 6：拓展与应用1. 介绍参数方程在物理学和工程学中的应用，如描述运动轨迹和曲线造型等。
2. 提供更复杂的参数方程练习题，让学生进行拓展和应用。
Step 7：总结与归纳1. 教师对参数方程的概念和性质进行总结，并与学生一起归纳常见的参数方程形式。
圆的参数方程学案
圆的参数方程学案一、参数方程的定义参数方程是通过引入参数t来表示曲线上各点的坐标。
对于平面上的点P，其坐标可以表示为(x(t),y(t))，其中x(t)和y(t)都是关于参数t 的函数。
通过改变参数t的取值范围，可以得到曲线上不同的点的坐标。
二、圆的参数方程的推导对于一个圆，我们可以确定其圆心坐标和半径来描述它。
假设圆的圆心坐标为(h,k)，半径为r，则我们可以通过参数方程来表示圆上任意一点的坐标。
1.圆的参数方程的x坐标对于圆上的任意一点P(x,y)，可以得到如下关系：-圆心到点P的距离等于半径r，即√((x-h)²+(y-k)²)=r根据该关系，我们可以得到：(x-h)²+(y-k)²=r²展开后得到：x² - 2hx + h² + y² - 2ky + k² = r²再整理一下，得到：x² - 2hx + y² - 2ky = r² - h² - k²2.圆的参数方程的y坐标根据关系式(x-h)²+(y-k)²=r²，同样展开并整理，可以得到：y² - 2ky + k² + x² - 2hx = r² - h² - k²再整理一下，得到：y² - 2ky + x² - 2hx = r² - h² - k²因此，我们可以得到圆的参数方程：x = rcos(t) + hy = rsin(t) + k其中，t为参数，h为圆心的横坐标，k为圆心的纵坐标，r为半径。
三、参数方程的应用1.参数方程可以方便地描述复杂的曲线，如椭圆、抛物线和双曲线等。
通过引入参数t，可以将曲线表达为简单的函数关系，便于进行分析和计算。
2.参数方程可以用于描述运动的轨迹。
参数方程的概念》教案(新人教选修
《参数方程的概念》教案（新人教选修）一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点；2. 掌握参数方程的表示方法和求解方法；3. 能够将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
二、教学重难点1. 参数方程的定义和表示方法；2. 参数方程的求解方法；3. 将实际问题转化为参数方程。
三、教学准备1. 教师准备PPT，包括参数方程的定义、表示方法和求解方法的讲解；2. 准备一些实际问题，用于引导学生将问题转化为参数方程。
四、教学过程1. 引入：通过讲解PPT，引导学生了解参数方程的定义和表示方法；2. 讲解：通过PPT，详细讲解参数方程的求解方法，包括求解步骤和注意事项；3. 练习：让学生独立完成一些参数方程的求解练习题；4. 应用：引导学生将实际问题转化为参数方程，并解决实际问题。
五、课后作业1. 完成PPT上的练习题；2. 选择一个实际问题，将其转化为参数方程，并解决。
教学反思：在课后，教师应认真反思本节课的教学效果，包括学生的参与度、理解程度和应用能力。
根据学生的反馈，及时调整教学方法和策略，提高教学质量。
六、教学评估1. 课堂练习：观察学生在课堂练习中的表现，了解他们对参数方程的理解程度和应用能力；2. 课后作业：检查学生的课后作业，评估他们对参数方程的掌握情况；3. 学生反馈：收集学生的反馈意见，了解他们对本节课的教学内容和教学方法的满意度。
七、教学拓展1. 介绍其他相关的数学概念，如普通方程和函数方程等，让学生了解参数方程在数学中的地位和作用；2. 引导学生探索参数方程在实际问题中的应用，如物理、工程和经济学等领域。
八、教学计划1. 下一节课内容：介绍参数方程的进一步应用，如优化问题和动态系统等；2. 教学方法：采用案例教学法，结合实际问题，引导学生深入理解参数方程的应用；3. 教学目标：使学生能够灵活运用参数方程解决实际问题，提高他们的数学应用能力。
九、教学资源1. PPT：制作参数方程的进一步应用的PPT，包括案例分析和练习题；2. 实际问题案例：收集一些与参数方程应用相关的实际问题案例，用于课堂讲解和练习。
学案 参数方程
学案77 参数方程一．考点解读1、参数方程的概念；2、参数方程与普通方程的互化；二．重点难点：参数方程与普通方程的互化。
三．知识要点1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程．2．常见曲线的参数方程和普通方程四．考点分析考点一 参数方程与普通方程的互化例1在平面直角坐标系中，已知直线l的参数方程为(s为参数)，曲线C的参数方程为(t为参数)，若l与C相交于A，B两点，求|AB|的长． 求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数．考点二 参数方程的应用例2 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数)．(1)求直线l和圆C的普通方程；(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围．例3 (2015·课标全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，曲线C3：ρ＝2cos θ.(1)求C2与C3交点的直角坐标；(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．思维提升:五、当堂检测A组1．求直线(t为参数)被曲线(θ为参数)所截得的弦长．2．直线(t为参数)与圆(θ为参数)相切，求切线的倾斜角．B组(2016·全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义介绍参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
1.2 基本形式的参数方程介绍直线、圆、椭圆、双曲线等基本图形的参数方程形式。
通过图形直观地理解参数方程的含义和作用。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何从参数方程中求解出坐标值。
练习求解直线、圆等基本图形的参数方程。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程。
第三章：参数方程的应用3.1 动点轨迹的参数方程讲解如何利用参数方程描述动点的轨迹。
举例说明参数方程在描述物体运动轨迹中的应用。
3.2 优化问题的参数方程求解介绍如何利用参数方程求解优化问题。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 直线、圆的参数方程与普通方程互化讲解如何将直线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
讲解如何将圆的参数方程转化为普通方程，以及反之。
4.2 椭圆、双曲线的参数方程与普通方程互化讲解如何将椭圆、双曲线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如计算图形的面积、体积等。
5.2 参数方程在物理中的应用举例说明参数方程在物理问题中的应用，如描述波动、运动轨迹等。
第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念介绍极坐标系的定义和极坐标方程的概念。
理解极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。
6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法讲解如何将参数方程转换为极坐标方程。
举例说明并练习参数方程与极坐标方程之间的转换。
第七章：参数方程在实际问题中的应用7.1 参数方程在工程中的应用讲解参数方程在工程问题中的应用，如优化设计、路径规划等。
举例说明参数方程在工程问题中的具体应用。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义引入参数方程的概念，让学生理解参数方程是一种描述曲线运动的数学工具。
通过实际例子，让学生了解参数方程在现实中的应用。
1.2 参数方程的基本形式介绍参数方程的两种基本形式：圆锥曲线的参数方程和直线的参数方程。
通过图形和实例，让学生理解参数方程与普通方程之间的关系。
第二章：参数方程的图像与性质2.1 参数方程的图像利用图形软件，绘制常见参数方程的图像，让学生直观地了解参数方程的特点。
引导学生观察图像，探讨参数方程与坐标轴之间的关系。
2.2 参数方程的性质引导学生研究参数方程的单调性、周期性和奇偶性等性质。
通过实例，让学生了解参数方程的性质在实际问题中的应用。
第三章：参数方程的变换与化简3.1 参数方程的变换介绍参数方程的基本变换，如平移、旋转和缩放等。
通过实例，让学生学会如何对参数方程进行变换。
3.2 参数方程的化简引导学生利用数学方法对参数方程进行化简，使其形式更加简洁。
通过实例，让学生了解参数方程化简的意义和应用。
第四章：参数方程的应用4.1 参数方程在物理中的应用以机械运动为例，介绍参数方程在描述物体运动中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际物理问题。
4.2 参数方程在工程中的应用以电子电路为例，介绍参数方程在描述系统动态行为中的应用。
引导学生利用参数方程解决实际工程问题。
第五章：参数方程的综合练习5.1 参数方程的解题技巧通过实例，让学生学会如何运用不同的技巧解决参数方程问题。
5.2 综合练习题提供一系列与参数方程相关的综合练习题，让学生巩固所学知识。
对练习题进行讲解和解析，帮助学生提高解题能力。
第六章：参数方程在圆锥曲线中的应用6.1 圆锥曲线的参数方程复习圆锥曲线的普通方程，并引入其参数方程。
通过图形和实例，让学生了解圆锥曲线的参数方程表示方法。
6.2 圆锥曲线的参数性质引导学生研究圆锥曲线的参数性质，如渐近线、焦点、顶点等。
参数方程的概念(教案)
参数方程的概念(教案)第一章：参数方程的引入1.1 参数方程的定义与意义解释参数方程的概念强调参数方程在描述曲线上的重要性1.2 参数方程与普通方程的对比举例说明参数方程与普通方程的区别和联系强调参数方程在解决特定问题上的优势第二章：参数方程的基本形式2.1 参数方程的通用形式介绍参数方程的通用形式：\(x = f(t)\), \(y = g(t)\)解释参数\(t\) 的作用和意义2.2 参数方程的简化形式介绍参数方程的简化形式：参数\(t\) 的取值范围、参数\(t\) 的速度和加速度强调简化形式在实际问题中的应用和重要性第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在物理问题中的应用以物体运动为例，解释参数方程在描述物体位置和速度上的应用强调参数方程在物理问题中的重要性3.2 参数方程在几何问题中的应用以圆的参数方程为例，解释参数方程在描述几何形状上的应用强调参数方程在几何问题中的优势和灵活性第四章：参数方程的图像与分析4.1 参数方程的图像绘制介绍如何绘制参数方程的图像强调参数方程图像的特点和规律4.2 参数方程的分析与变换介绍如何分析参数方程的图像和性质介绍参数方程的变换方法，如平移、旋转等第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用以实际问题为例，综合运用参数方程进行问题解决强调参数方程在实际问题中的应用能力和灵活性5.2 参数方程的进一步探索引导学生在参数方程的基础上进行进一步的探索和创新鼓励学生发现参数方程在更多领域中的应用和价值第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念回顾极坐标方程的定义和基本形式解释极坐标方程与直角坐标系的关系6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为极坐标方程强调转换方法在解决特定问题上的应用和重要性第七章：参数方程与普通方程的转换7.1 普通方程的基本形式回顾普通方程的定义和常见形式强调普通方程在解决问题中的基本作用7.2 参数方程与普通方程的转换方法介绍如何将参数方程转换为普通方程强调转换方法在问题解决中的灵活应用第八章：参数方程的综合应用案例分析8.1 参数方程在工程问题中的应用案例分析一个工程问题，如桥梁设计、电路模拟等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在工程问题中的重要作用8.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析一个科学研究问题，如天体运动、生物种群动态等，展示参数方程的应用过程强调参数方程在科学研究中的重要性和灵活性第九章：参数方程的教学实践与反思9.1 参数方程的教学实践分享教学参数方程的经验和做法强调教学实践中的重点和难点9.2 参数方程的教学反思反思教学过程中的优点和不足提出改进教学方法和策略的建议第十章：参数方程的扩展与深化10.1 参数方程的扩展介绍参数方程在其他领域的应用，如计算机图形学、控制理论等强调参数方程在不同领域中的广泛应用和潜力10.2 参数方程的深化研究引导学生在参数方程的基础上进行深入研究，如研究更复杂的参数方程、探索参数方程的新性质等鼓励学生发挥创新精神，发现参数方程的更多价值和意义重点和难点解析重点环节一：参数方程的定义与意义重点关注学生对参数方程概念的理解，以及参数方程与普通方程的区别和联系。
数学参数方程教学教案
数学参数方程教学教案一、教学目标1. 理解参数方程的概念和基本性质；2. 能够将函数用参数方程的形式表示，并能相互转化；3. 熟练掌握参数方程在几何图形的表示和分析中的应用；4. 培养数学建模能力，能够利用参数方程解决实际问题。
二、教学重点1. 参数方程的基本概念及性质；2. 参数方程与函数表达式的转化。
三、教学难点1. 参数方程在几何图形的表示和分析中的应用；2. 利用参数方程解决实际问题的能力培养。
四、教学过程导入：引入参数方程的概念，将平面直角坐标系中的一条曲线分别用笛卡尔坐标方程和参数方程表示，并讲解两种表示方法的区别和联系。
主体：1. 参数方程的定义与基本性质介绍参数方程的定义：将变量 x 和 y 表示为另外两个参数 t 和 u 的函数形式，即 x = f(t)、y = g(u)，并解释参数 t 和 u 在参数方程中的作用。
讲解参数方程的基本性质：包括唯一性、方程的定义域与值域、参数方程中的自变量和因变量的交换等。
2. 参数方程与函数表达式的转化讲解如何从函数表达式转化为参数方程：- 对于直角坐标方程 y = f(x)，可通过选取合适的参数 t，用 x = t 表示，并将 y = f(t) 作为 y 的参数方程；- 对于其他形式的直角坐标方程，可根据函数表达式的特点找到合适的参数方程表示。
示例演练，让学生通过具体的例子来巩固转化的方法和技巧。
3. 参数方程在几何图形的表示和分析中的应用讲解如何利用参数方程准确地描述和分析平面曲线以及空间曲线，引导学生通过调整参数 t 和 u 的范围来观察曲线的运动和形态的变化。
以常见的数学曲线如圆、椭圆、抛物线等为例，演示如何通过参数方程得到这些图形，并讨论参数方程在描述这些图形时的优势和特点。
4. 利用参数方程解决实际问题通过实际问题的讲解，培养学生利用参数方程解决实际问题的能力。
如通过给定条件，建立适当的参数方程模型，解决与运动、几何形状相关的问题。
圆的参数方程(学案)
圆的参数方程班级：_______ 姓名：_______小组：__________ 评价：__________【学习目标】1掌握圆的参数方程，能根据圆心坐标和半径熟练地求出圆的参数方程； 2掌握圆的普通方程与参数方程的互化。
3能初步利用圆的参数方程解决解析几何中的一些简单的问题。
【学习重点】圆的参数方程的推导和结论 【学习难点】利用圆的参数方程解决几何问题 【课堂六环节】一、导——教师导入新课。
（2-3分钟） 1．圆的标准方程：以),(b a 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：222)()(r b y a x =-+-2．圆的一般方程：0F 22=++++Ey Dx y x )04(22>-+F E D二、思——自主学习。
学生结合课本自主学习，完成下列相关内容。
(13分钟) 问题一：圆心在（a ,b ）、半径为r 的圆的参数方程为？ 【探究1】圆心在原点、半径为r 的圆的参数方程:【探究2】圆心在（a ,b ）、半径为r 的圆的参数方程:例1、写出下列圆的参数方程（1） 圆心在原点，半径为3；（2）圆心在（-2，-3），半径为1.例2、写出下列圆的圆心和半径（1）⎩⎨⎧+-=+=;sin 42,cos 41θθy x (2)⎩⎨⎧+=+=θθsin 2,cos 2y x问题二：怎样把圆的普通方程和参数方程互化?⎩⎨⎧==⇔=+θθsin cos 222r y r x r y x⎩⎨⎧+=+=⇔=-+-θθsin cos )()(222r b y r a x r b y a x例3、已知圆的一般方程0124622=+--+y x y x ，将它化为参数方程.例4、已知圆的参数方程⎩⎨⎧+=+=θθ2sin 512cos 52y x ，将它化为普通方程.三、议——学生起立讨论。
根据以上学习的内容进行小组集体讨论。
（9分钟） 四、展——学生激情展示。
小组代表或教师随机指定学生展示。
（8分钟） 五、评——教师点评，教师总结规律，点评共性问题，或拓展延伸。
参数方程》教案(新人教选修
参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义举例说明参数方程的应用场景1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法展示不同类型的参数方程示例1.3 参数方程的解法介绍参数方程的解法方法演示解题过程，并提供练习题第二章：简单参数方程的求解2.1 线性参数方程的求解解释线性参数方程的定义展示线性参数方程的求解方法2.2 非线性参数方程的求解解释非线性参数方程的定义展示非线性参数方程的求解方法2.3 参数方程的图像解释参数方程的图像表示绘制不同参数方程的图像，并进行分析第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用介绍参数方程在几何中的应用展示参数方程在几何问题求解中的例子3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理中的应用展示参数方程在物理问题求解中的例子3.3 参数方程在工程中的应用介绍参数方程在工程中的应用展示参数方程在工程问题求解中的例子第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的线性变换解释参数方程的线性变换展示参数方程的线性变换方法4.2 参数方程的非线性变换解释参数方程的非线性变换展示参数方程的非线性变换方法4.3 参数方程的合成解释参数方程的合成概念展示参数方程的合成方法第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在曲线设计中的应用介绍参数方程在曲线设计中的应用展示参数方程在曲线设计中的例子5.2 参数方程在优化问题中的应用介绍参数方程在优化问题中的应用展示参数方程在优化问题求解中的例子5.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念解释极坐标方程的定义展示极坐标方程的表示方法6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍参数方程与极坐标方程的转换方法展示参数方程转换为极坐标方程的示例6.3 极坐标方程的应用介绍极坐标方程在几何中的应用展示极坐标方程在几何问题求解中的例子第七章：参数方程与直角坐标系的转换7.1 直角坐标系的基本概念解释直角坐标系的定义和表示方法展示直角坐标系的特点和应用7.2 参数方程与直角坐标系的转换方法介绍参数方程与直角坐标系的转换方法展示参数方程转换为直角坐标系的示例7.3 直角坐标系中的应用介绍参数方程在直角坐标系中的应用展示参数方程在直角坐标系问题求解中的例子第八章：参数方程与函数的关系8.1 函数的基本概念解释函数的定义和表示方法展示函数的特点和应用8.2 参数方程与函数的关系介绍参数方程与函数的关系展示参数方程表示的函数示例8.3 函数图像是参数方程的应用介绍函数图像是参数方程的应用展示函数图像是参数方程的示例第九章：参数方程在实际问题中的应用9.1 参数方程在物理学中的应用介绍参数方程在物理学中的应用展示参数方程在物理学问题求解中的例子9.2 参数方程在工程学中的应用介绍参数方程在工程学中的应用展示参数方程在工程学问题求解中的例子9.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第十章：参数方程的综合案例分析10.1 参数方程的综合案例介绍一个综合性的参数方程案例分析并解决该案例中的问题10.2 参数方程的解题策略介绍解决参数方程问题的策略和方法提供一些建议和技巧以提高解题效率10.3 参数方程的练习题和解答提供一些关于参数方程的综合练习题给出详细的解答和解释重点和难点解析重点一：参数方程的概念与表示方法重点关注参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
参数方程的概念
参数方程的概念学案教学目标:一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。
2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。
二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。
教学难点：由参数方程解有关的量.。
三、教学方法：启发诱导，探究归纳重点:参数方程的概念及对参数的理解.难点:由参数方程解有关的量.四、教学过程:①探究: 如图，一架救援飞机在离灾区地面500m 高处以100m/s 的速度作水平直线飞行。
为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？提示：即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：（1）沿ox 作初速为100m/s 的匀速直线运动；（2）沿oy 反方向作自由落体运动1、参数方程的概念：一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数)2()()(⎩⎨⎧== t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由方程组（2）所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程（2）就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。
参数是联系变数x,y 的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。
例1: 已知曲线C 的参数方程是（1）判断点M1（0，1），M2（5，4）与曲线C 的位置关系；（2）已知点M3（6，a ）在曲线C 上，求a 的值。
练习1 1、曲线 与x 轴的交点坐标是( B )A 、（1，4）；B 、C 、 (1,-3)D 、2、方程 所表示的曲线上一点的坐标是（ C ） A 、（2，7）；B 、 C 、 D 、（1，0）习题2： 1.已知曲线C 的参数方程是 点M(5,4)在该 曲线上. （1）求常数a;（2）求曲线C 的普通方程.思考题：1.动点M 作等速直线运动，它在x 轴和y 轴方向的速度分别为5和12，运动开始时位于点P （1，2），求点M 的轨迹参数方程。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义与形式引入参数的概念，解释参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程。
1.2 参数方程的图像利用图形展示参数方程所表示的曲线。
引导学生观察参数变化时，曲线的变化情况。
1.3 参数方程的应用结合实际问题，介绍参数方程的应用，如物体的运动轨迹。
引导学生理解参数方程在实际问题中的作用。
第二章：参数方程的变换2.1 参数变换的概念引入参数变换的概念，解释参数变换的作用。
举例说明参数变换的形式，如从直角坐标系到极坐标系的变换。
2.2 参数变换的方法引导学生掌握参数变换的方法，如代数变换、三角变换等。
利用实例演示参数变换的过程。
2.3 参数变换的应用结合实际问题，介绍参数变换的应用，如解三角方程。
引导学生理解参数变换在实际问题中的作用。
第三章：参数方程的求解3.1 参数方程的求解概念引入参数方程的求解概念，解释求解的目的。
举例说明参数方程的求解方法，如代数方法、图形方法等。
3.2 参数方程的求解方法引导学生掌握参数方程的求解方法，如代数求解、图形求解等。
利用实例演示参数方程的求解过程。
3.3 参数方程的求解应用结合实际问题，介绍参数方程的求解应用，如求解物理问题。
引导学生理解参数方程的求解在实际问题中的作用。
第四章：参数方程的综合应用4.1 参数方程与普通方程的转换引导学生理解参数方程与普通方程之间的转换关系。
利用实例演示参数方程与普通方程的转换过程。
4.2 参数方程在实际问题中的应用结合实际问题，介绍参数方程在实际问题中的应用，如工程问题、物理问题等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的重要性。
4.3 参数方程的综合实例分析提供综合实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
引导学生进行讨论和思考，提高学生解决问题的能力。
第五章：参数方程的进一步研究5.1 参数方程的性质研究引导学生研究参数方程的性质，如对称性、周期性等。
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选修系列4-4参数方程导学案
心学习目标
1.了解直线的参数方程以及参数t的几何的意义.
2.熟练掌握参数方程和普通方程的互化.
3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题.
4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题
一、课前学案基础盘点: 1、参数方程的概念
般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标X,
y都是某个变数t的函数［x —f t)①，并且对于t的每一个允许值,
L y —g(t)
由方程组①所确定的点M(x , y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做
这条曲线的,联系变数x, y的叫做参变数，简,相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫
2、圆的参数方程
圆心在坐标原点半径为r的圆x2+y2=r2的参数方程为
f x= rcos 0
i . A ( 0为参数).圆心为(a, b),半径为r的圆l y= rsin 0
(x —a)2+ (y —b)2= r2的参数方程为：_ .
3、椭圆的参数方程
以坐标原点0为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程的标准
f x = acos 6
（a >b >0）
）其参数方程为l y ^bsin 6
（ 6
为参数），其中
f x = bcos 6
b >0）
，其参数方程为b^asin 6（ 6
为参数）
，其中参数6
为离心角, 通常规定参数©的范围为©€ [0,2 n.）
4、直线的参数方程
方程中参数t 的几何意义: 二. 课堂探究考点突破
考点一.参数方程化普通方程。
【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线: （X = 5cos®
〔X = 1 - 3t
叫y = 4sin®严参数）；叫y=4t
考点二.直线参数方程的有关应用
【例2】已知直线I 经过点P （1,1），倾斜角a
（1）写出直线I 的参数方程;
（2）设l
与圆X 2 +y 2
=4相交于两点A 、B ,求〔AB]
r
1
X = 1 + — t ,
2 （t 为参数），曲线
V 3 + X 2 t .
方程
参数©称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是
（a >
经过点M （x 0, y o ），倾斜角为 I 的普通方程是y
—y o = tan
— x o ），它的参数方程为 .直线的参数
（t 为参数）
【例2的变式训练】：已知直线G : <
[x = 2cos 日
G ： ； y = si n 日(日为参数).
(I)化C i , C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线; L 与G 相交于A,B 两点，求
|AB| ；
判断点P 与直线I 的位置关系;
(II )设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线I 的距离的最小值.
三. 课后演练知能检测 1.将下列参数方程化为普通方程，并说明方程表
示的曲线.
(n)设
考点三 P
曲线参数方程的应用
【例3】. x
2
在平面直角坐标系xOy 中，设P(x , y)是椭圆一+ y 2= 1上
的一个动点，求S = x + y 的最大值
【例3变式训练】：在直接坐标系
x = ^/5Cos 曲线C 的参数方程为W = sin
(I )已知在极坐标(与直角坐标系 xOy 中，直线I 的方程为x-y+4=0， a
(a 为参数)
点0为极点，以x 轴正半轴为极轴)
xOy 取相同的长度单位，且以原 中，点p 的极坐标为(4
, I ),
f x= 1 + 4cost 〔X - 5 C°s®
⑴[y— 2 + 4sint （t为参数0=t^力⑵I厂4sin® （。
为参数）
2.已知P（x, y）是圆x2+ y2—2y= 0上的动点.
⑴求2x+ y的取值范围；（2）若x + y+ c> 0恒成立，求实数c的取值范围.
3.已知曲线C的极坐标方程为尸4C0SB,直线l的参数方程是
（x= —^/5+乎t,
{ 厂（t为参数）.（1）求曲线C的直角坐标方程，直线
l y Y +爭
1
l的普通方程；（2）将曲线C横坐标缩短为原来的2,再向左平移1个单位，得到曲线C i,求曲线C i上的点到直线I距离的最小值.
4. （2012新课标文理）选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C i的参数方程是丿X二2c os：（甲是参数）,以坐标原点为极
[y =3si n W
点,X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：的极坐标方程是P=2,正方形ABCD勺顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的
极坐标为（2, -）•
3
（I ）求点A,B,C,D的直角坐标；
（n ）设P为G上任意一点，求|PA|2+|P B|2+1 PCI2+1 PD|2的取值范
围.。