全国4月高等教育自学考试线性代数试题及答案解析历年试卷及答案解析
2011年1月-2012年4月自考04184线性代数(经管类)历年真题试题及答案
全国2012年4月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题 课程代码：04184说明：在本卷中,A T表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式，r (A)表示矩阵A 的秩. 一、 单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设行列式111213212223313233a a a a a a a a a =2,则111213212223313233232323a a a a a a a a a ------=( )A.-12B.-6C.6D.122.设矩阵A =120120003⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A *中位于第1行第2列的元素是()A.-6B.-3C.3D.63.设A 为3阶矩阵，且|A |=3，则1()A --=( )A.-3B.13-C.13D.34.已知4⨯3矩阵A 的列向量组线性无关，则A T 的秩等于( ) A.1B.2C.3D.45.设A 为3阶矩阵,P =100210001⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则用P 左乘A ，相当于将A ( )A.第1行的2倍加到第2行B.第1列的2倍加到第2列C.第2行的2倍加到第1行D.第2列的2倍加到第1列 6.齐次线性方程组123234230+= 0x x x x x x ++=⎧⎨--⎩的基础解系所含解向量的个数为( )A.1B.2C.3D.47.设4阶矩阵A 的秩为3，12ηη，为非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，c 为任意常数，则该方程组的通解为( ) A.1212cηηη-+ B.1212c ηηη-+ C.1212cηηη++ D.1212c ηηη++8.设A 是n 阶方阵，且|5A +3E |=0，则A 必有一个特征值为( ) A.53-B.35-C.35D.539.若矩阵A 与对角矩阵D =100010001-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭相似，则A 3=( )A.EB.DC.AD.-E10.二次型f 123(,,)x x x =22212332x x x +-是( ) A.正定的B.负定的C.半正定的D.不定的二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国2017年4月高等教育自学线性代数(经管类)试题与详细答案
线性代数(经管类)试题与详细答案
课程代码：04184
说明：在本卷中，AT 表示矩阵 A 的转置矩阵，A*表示矩阵 A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵， |A|表示方阵 A 的行列式，r(A)表示矩阵 A 的秩. 一、单项选择题(本大题共 5 小题，每小题 1 分，共 5 分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题纸” 的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1. 已知 2 阶行列式 A． 6
所以 r 1 , 2 , 3 2 。 11. 设 3 元非齐次线性方程组 Ax=b 满足 r（A）=2，1 1,2,0 ， 2 1,3,1 为其两个
T T
解，则其导出组 Ax=0 的通解为
.
解答：使用非齐次线性方程组解的性质。由于 A1 b ， A 2 b ，因此 A1 2 0 ， 即 1 2 是 Ax=0 的解，从而 x 1 2 2,1,1 ，即有
6. 行列式
2 0 0 3 1 3 2 5 0 2 0 7
.
解答：使用行列式按行（列）展开法。因为
2 0 0 按第二行展开 2 0 0 3 按第一行展开 3 2 1 4 1 1 1 3 2 111 1 2 8 1 3 2 5 2 0 0 2 0 0 2 0 7
A． 2 B． 1
1 答案整理：郭慧敏 广州大学松田学院
C． 1
D． 2
解答：齐次线性方程组有非零解的 是系数行列式等于零，因此有
2017 年 4 月 线性代数（经管类）
2 k
1 1
1 10
1 1 1
又因为
2 k
2022年04月04184线性代数真题及答案
2022年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设f(x)=|−110x02−321|=ax−2，则a=（）A.-2B.-1C.1D.2【答案】B 【解析】2.设A=(a11a12a21a22)，A ij为元素a ij(i,j=1,2)的代数余子式，若A11=1，A12=2，A21=3，A22=4，A=（）A.(4−3−21)B.(4−2−31)C.(42 31)D.(43 21)【答案】A【解析】∵A=(a11a12 a21a22)∴A11=a22−1A12=−a21=2∴a21=−2A21=−a12=3∴a12=−3 A22=a11=4∴A=(4−3−21)3.对于向量组α1=(α11,α21)T，α2=(α12,α22)T与向量组β1=(α11,α21,α31)T，β2=(α12,α22,α32)T，下列结论中正确的是（）A.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性无关B.若α1,α2线性相关，则β1,β2线性相关C.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性无关D.若β1,β2线性相关，则α1,α2线性相关【答案】D【解析】若线性相关，则存在不为零的，满足：β1=λβ2∴(α11,α21,α31)=λ(α12,α22,α32)∴(α11,α12)=λ(α12,α22)即α1=λα2故α1,α2线性相关.4.设2阶矩阵A与B相似，若B的特征值λ1=−2，λ2=3，则A−E的迹为（）A.-6B.-1C.1D.6【答案】B【解析】A、B相似，特征值相同，故A的特征值也为λ1=−2，λ2=3，∴A−E的特征值为−2−1=−3，3−1=2∴A−E的迹为：−3+2=−15.设矩阵A=(001010100)，下列矩阵中与A合同的是（）A.(100 010 001)B.(100 0−10 00−1)C.(100 010 00−1)D.(−100 0−10 00−1)【答案】C【解析】都为对称矩阵，故合同⇔ 正，负特征值数量一样A =(001010100)，特征值1，1，-1（两正一负） 选项A ：单位矩阵，特征为1，选项B ：单位矩阵，特征为1，-1，-1（两负一正） 选项C ：单位矩阵，特征为1，-1，1（为两正一负） 选项D ：同A 为-E ，特征值皆为-1第二部分 非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
历年自考优选线性代数试题真题及答案分析解答
A . PAB. APC. QAD. AQ全国2010年度4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题答案1.已知2阶行列式a ? m， b 1 b 2n ,则b 1 b 2(B )b 1 b 2C 2a 〔a ?C 2A . m n B. n mC. m nD. (m n)2 .设 A , B , C 均为 n 阶方阵，AB BA , AC CA ，则 ABC ( D )ABC (AB)C (BA)C B(AC) B(CA) BCA .3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵，且|A| 1 , |B| 2，则行列式||B|A|之值为（A ）A.8B. 2C. 2D. 8||B|A| | 2A| ( 2)3|A|8 .a 11a 12a 13a 113a 〔2 a 131 0 0 1 0 04 . Aa 21a 22 a 23， Ba 21 3a ?2a 23， P3 0，Q 3 1 0，则B (B)a 31a 32a 33a 313a 32a 330 0 10 0 1一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分） b ib 2b 1 b 2a 1a 2A . ACBB. CABC. CBAD. BCAC 2m n n m .an a 12 a 131 0 0 an 3a 12 a 13AP a 21a 22a 230 3 0 a 213a 22 a 23Ba 31a 32a 330 0 1a 313a 32 a 335.已知A 是一个3 4矩阵，下列命题中正确的是（ C ）A .若矩阵A 中所有3阶子式都为0,则秩（A ）=2B. 若A 中存在2阶子式不为0,则秩（A ）=2相关相关的一个极大无关组.C. 若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0D. 若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为 6. F 列命题中错误的是（C ）A . 只含有1个零向量的向量组线性相关B .由3个2维向量组成的向量组线性C. 由1个非零向量组成的向量组线性相关D. 2个成比例的向量组成的向量组线性7.已知向量组3线性无关,线性相关，则（D ）A . 1必能由2，3，线性表出 B.2必能由1, 3,线性表出C.3必能由1, 2,线性表出D.必能由3线性表出注:8.设A 为m n 矩阵，m n ，则方程组Ax =O 只有零解的充分必要条件是 A 的秩（D ）注：方程组Ax =O 有n 个未知量.9.设A 为可逆矩阵，则与 A 必有相同特征值的矩阵为（ A ）A . A T B. A 2 C. A 1 D. A| E A T | |（ E A ）T | | E A|，所以A 与A T 有相同的特征值.10 •二次型f （X 1,X 2,X 3） X 12 X ；近2X 1X 2的正惯性指数为（ C)A . 0B. 1C. 2D. 3f （X i ,X 2,X 3）（X i X 2）2 x f y i 2 y f ，正惯性指数为 2.二、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）11 .行列式2007 2008的值为2009 2010--------------------------12.设矩阵 A 2 011, B 01，则A T B -------------------------------------------------------A .小于 mB.等于 mC.小于nD.等于n2007 2008 2009 20102000 2000 2000 20007 8 9 1013 •设 (3, 1,0,2)T ,(3,1, 1,4)T ，若向量 满足 2 3，贝V ____________3 2 (9,3, 3,12)T (6, 2,0,4)T(3,5, 3,8)T •14 .设A 为n 阶可逆矩阵，且| A| 1,则| | A 1 | _______________________n|A 11|A|15 .设A 为n 阶矩阵，B 为n 阶非零矩阵，若B 的每一个列向量都是齐次线性方程 组Ax =o 的解，贝y |A | _______________ .n 个方程、n 个未知量的Ax =0有非零解，则| A| 0.16.齐次线性方程组X1 X2 X3 0的基础解系所含解向量的个数为2x 1 x 2 3X 3基础解系所含解向量的个数为 nr 3 2 1 .117•设n 阶可逆矩阵A 的一个特征值是3，则矩阵尹必有一个特征值为2 2x 0的特征值为4,1, 2，则数x由 1x0412，得 x 2.a 1/,2 019 .已知A 1/" b 0是正交矩阵，则a b _______________________________0 0 120 .二次型 f (x 1, x 2, x 3) 4x 1x 2 2x 1x 3 6x 2x 3 的矩阵是三、计算题（本大题共 6小题，每小题9分，共54 分）18.设矩阵Aab ca b c1 1 1 解：D2ab 22c2 ab 22cabc abc3..333.332.22a ab bc ca b ca b cabc(b a)(c a)1 b a1 c aabc(b a)(c a)(c b).22. 已知矩阵B (2,1,3) , C(1,2,3)，求( 1) A B T C ;(2) A 2 .22 4 6解: (1) AB TC1 (1,2,3) 123 ；33 6 92(2)注意到 CB T (1,2,3) 113，所以32 4 6 A 2 (B T C)(B T C) B T (CB T )C 13B T C 13A 13 1 2 3 . 21.计算行列式Da 2 a a 3b cb 2c 2的值.b b 3c c 32 11 1解：A (1, 2 ,3, 4)1 2 1 1 3 0 3 11 111 1 0 1 1 1 0 10 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0 0 0 10 0 0 1 0 0 0 01 1 0 1 1 1 0 1 12 1 1 0 1 1 03 0 3 1 0 3 32 2 11 11 111 0 1 10 0 1 0 1 0 0 1 ， 向量组的秩为 3， 1 , 2,4是一个0 0 0 0极大无关组,3 1 212 31 424．已知矩阵 A 01 2， B2 5 ．（1）求 A 1； （ 2）解矩阵方程 AX B00 11 31231 0 0 1 20 10 3解： （ 1 ）(A,E) 01 20 1 0 0 10 01 200100 10 01 0011 0012 112 10 1001 2，A 10 1 20 0100 10 01121 1 4 4 9（2） X A 1B0 1 2 2 5 0 11 ．0 011313、 1x 12x 2 3x 3425．问 a 为何值线性方程组2x 2 ax 32 有惟一 解？有无穷多解？并在有解2x 12x 23x 36时求出其解（在有无穷多解时，要求用一个特解和导出组的基础解系表示全部解）．1 23 4 12 341 234解：( A,b) 02a 2 0 2 a 2 0 2a 2 ．2 23623 20 0a 3012 a 3时， r(A,b) r(A) 2 n ，有无穷多解，此时 (A,b) 0 2 00a 3时， r （A,b ） r （A ） 3 ，有惟一解，此时1( A,b)0 0 34 a2 10 12 02 0010 02 00 02 02 10 10 01 0002 0 1 ， 10x 1x 2 x 32 1； 343200数. 1 0 0 21 00 2 3 2 0 1 3/2 0 0 0 0 0 0 02x 1 22 1， X 2 1 ?X 3，通解为12X 3 X 3k 3/2 ,其中k 为任意常26 .设矩阵A 2 0 00 3a 的三个特征值分别为1,2,5，求正的常数a 的值及可逆矩阵P,0 a 3 1 0 0 使 P 1AP 0 2 0 0 0 52 0 0解：由 |A|0 3a 0 a 32 3 a 2(9 a 2) 1 2 5，a 3得 a 2 4，对于 1 1,解(E A)x 0 :X 1 X2X 3X 3对于 2 2，解（E A ）x 0 :0 1 0 x 1 x 1 0 0 1 ， x 2 0，取 p 2X 3 0对于 3 5，解（E A ）x 0 :3 0 0 1 0 0 X1 0 0E A 0 2 2 0 1 1 , X2 x3，取p3 1 .0 2 2 0 0 0 X3 X3 10 1 0 1 0 0令P (P1, P2 ,P3) 1 0 1 则P是可逆矩阵，使P 1AP 0 2 0 .1 0 1 0 0 5四、证明题(本题6分)27 .设A, B, A B均为n阶正交矩阵，证明(A B) 1 A 1 B 1.证：A, B, A B均为n阶正交阵，则A A 1, B T B1, (A B)T(A B) 1，所以(A B) 1 (A B)T A T B T A 1 B 1.全国2010年7月高等教育自学考试线性代数(经管类)试题答案一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 1 .设3阶方阵A ( 1，2，3),其中i ( i 1,2,3)为A的列向量，若|B| |( 1 2 2, 2, 3)| 6，则|A| ( C )|A| 1( 1, 2, 3)l 1( 1 2 2, 2, 3)1 6 .A. 12B. 6C. 6D. 122•计算行列式3 0 2 0 2 10 5 0 0 0 2 0 2 3 2 3A. 180B. 120C. 120D. 1803.若A 为3阶方阵且|A 1| 2，则|2A| ( C )A.1B. 2C. 4D. 821 31 |A| -, |2A|2 |A| 8 三 4 .224. 设1, 2, 3, 4都是3维向量，则必有(B )A . 1，2, 3，4线性无关 B.1，2, 3，4线性相关C.1可由2, 3, 4线性表示 D.1不可由2, 3, 4线性表示5.若A 为6阶方阵，齐次方程组Ax =0基础解系中解向量的个数为2,则r(A) ( C )A. 2B. 3C. 4D. 5由 6 r(A) 2，得 r(A) 4 .6 .设A B 为同阶方阵，且r(A) r(B)，则(C ) 3 0 2 03 0 22 10 53 032 10 53 ( 2)2 02 1022 3 2 33(2) 30A . A 与B 相似B. |A| |B|C. A 与B 等价D. A 与B 合同注：A与B有相同的等价标准形.7.设A为3阶方阵，其特征值分别为2,1,0，则|A 2E| ( D )A. 0B. 2C. 3D. 24A 2E的特征值分别为4,3,2，所以| A 2E | 4 3 2 24 .8 .若A B相似，贝y下列说法错误.的是(B )A. A与B等价B. A与B合同C. |A| |B|D. A与B有相同特征值注：只有正交相似才是合同的.9 .若向量(1, 2,1)与(2,3,t)正交，则t ( D )A. 2B. 0C. 2D. 4由内积2 6 t 0 ,得t 4.10 .设3阶实对称矩阵A的特征值分别为2,1,0，则(B )A. A正定B. A半正定C. A负定 D . A半负定对应的规范型2z2 z；0 zj 0，是半正定的.、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20 分）3211 •设 A 01 , B2 1 1，则 AB0 1 0243 2 2 1 1 AB 0 1 0 1 02412 .设A 为3阶方阵，且|A| 3 , 则I3A 1] _______________________13 1 31 31|3A 1 3 |A 1 3|A|33 9 •13 .三元方程 x 1 x 2 x 3 1的通解是 _____________________14 .设 （1,2,2），则与 反方向的单位向量是 ___________________15.设A 为5阶方阵，且r （A ） 3，则线性空间W {x|Ax 0}的维数是 _____________________1 II II13（1,2,2）.1W {x|Ax 0}的维数等于Ax 0基础解系所含向量的个数：n r 5 3 2 .16.17 .若A B 为5阶方阵，且Ax 0只有零解，且r(B) 3，则r(AB) __________________________Ax 0只有零解，所以A 可逆，从而r(AB) r(B) 3 .2 1 018.实对称矩阵 1 0 1所对应的二次型 仁咅飞入) _________________________ .0 1 11 119 .设3元非齐次线性方程组 Ax b 有解1 2 ， 22，且r(A) 2，则Ax b 的 33通解是 _______________ .1 1 1(1 2) 0是Ax 0的基础解系，Ax b 的通解是2 k 0 032f （X 「X 2,X 3）2 X32x 1 x 2 2x 2X 3.120 •设2，则A T的非零特征值是 ________________31由T (1,2,3) 2 14，可得A2( T ) T 14 T 14A，设A的非零特征值3是，则2 14 ，14 •三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54 分）21 .计算5阶行列式D 2 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 2 0 00 0 0 2 01 0 0 0 2解：连续3次按第2行展幵2 0 0 10 2 0 0 D 2 0 0 2 010 0 22 0 0 1 0 0 1 4 322.设矩阵X满足方程0 1 0 X 0 0 1 2 0 1 ,求X.0 0 2 0 1 0 1 2 02 0 0 1 0 0 1 4 3解:记A 0 1 0， B 0 0 1 C 2 0 1 ，贝yAXB C0 0 2 0 1 0 1 2 01/2 0 0 1 0 0A 10 1 0 ，B 10 0 10 0 1/2 0 1 08 3 24 .4 3 10 0x 2 3x 3 x 4 123 .求非齐次线性方程组 3x 1 x 2 3x 3 4x 44 的通解. X 1 5X 2 9X 3 8X 41 1 3 1 1 1 1 3 1 1 解：(A,b) 3 1 3 4 4 0 4 6 7 11 598 04671 4 4 12 44 1 0 3/2 0 1 3/2 00 03/4 5/4 7/4 1/4 ,0 05 3 3 X 1 —X 3X 44 2 4X 21 4 3X 3 2 3 7 X 4，通解为 X 3X 3X4X 45/4 3/2 3/4 1/43/2 7/4k 1k 20 1 0 01k 1, k 2都是任意常数.24 .求向量组 1(1,2, 1,4),2(9,100,10,4),3( 2, 4,2, 8)的秩和一个极大无关组.解: ( T , T , T ) 21004 1 10 24 4 81 92 1502 0410 1 102 0 190 1 1 20 81 92 1 9 2 1 9 2 0 10 0 0 0 0 0 01 02 0 1 0 0 0 0 0 0 0向量组的秩为2,1 , 2是一个极大无关组.25.已知A2 1 25 a 3的一个特征向量(1,1, 1)T ,求a,b 及 所对应的特征值，并写出对应于这个特征值的全部特征向量.解：设所对应的特征值，则A，即，从而1a2 b1 ，可得 a 3，b0，1；对于1，解齐次方程组 E A)x 0：EA 1 1，0x1 x2 x3 x3x3，x3基础解系为属于1的全部特征向量为，k 为任意非零实数．26．，试确定 a 使r( A)2．解：2 2 a2四、27．22，a0时r(A) 2．证明题(本大题共 1 小题，6 分)3是Ax b ( b 0)的线性无关解，证明 3 1 是对应齐次线性方程组Ax0 的线性无关解．证：因为i, 2, 3是Ax b的解，所以 1 是Ax 0的解；k1 k20得k i 0 ，只有零解k i k2 0，所以2 i，3 i线性无关.k20全国2011年1月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明：本卷中，A表示方阵A的逆矩阵，r（A）表示矩阵A的秩，（，）表示向量与的内积，E表示单位矩阵，|A表示方阵A的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）an a12 a13 2an 2a12 2a131.设行列式a21 a 22 a23 =4,则行列式 a21 a22 a 23=（）a31 a32 a33 3a31 3a 32 3a33A.12B.24C.36D.482. 设矩阵A, B, C, X为同阶方阵，且A, B可逆，AXE=C,则矩阵X=( )A. A®B.CAB-1C.^1A-1CD.C B A13. 已知Y+A E=0,则矩阵A-1=( )A. A- EB.- A-E002 4. 设 1, 2, 3 , 4, 5是四维向量，则()A.1, 2, 3, 4,5一定线性无关 B.1, 2 , 3, 4,5一定线性相关C. 5一定可以由1, 2, 3,4线性表示 D. 1一定可以由2, 3, 4,5线性表出5.设A 是n 阶方阵，若对任意的n 维向量x 均满足Ax =0,则()B. A =EC.r (A )=n D.0<r ( A )<( n )6. 设A 为n 阶方阵，r ( A )< n ,下列关于齐次线性方程组 Ax =0的叙述正确的 是()A.Ax =0 只有零解B.Ax =0 的基础解系含 r (A ) 个解向量C.Ax =O 的基础解系含n -r (A )个解向量D.Ax =O 没有解7. 设 1, 2是非齐次线性方程组 Ax =b 的两个不同的解，则( )A. i 2是Ax =b 的解B. i 2是Ax =b 的解C. 3 1 2 2是 Ax =b 的解D. 2 1 3 2是 Ax =b 的解3908. 设 1， 2， 3为矩阵 A = 0 4 5 的三个特征值，则 1 2 3=( )A.A =0A.20B.24002C.28D.309.设P为正交矩阵，向量,的内积为（，）=2，贝y（P ,P）=（A. 1B.12C. 3D.2210.二次型f (X1, X2, X3)= x-X2X22x1X2 2x1X3 2x2X3 的秩为( ) 2A.1B.2C.3D.4二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20 分）请在每小题的空格中填上正确答案。
4月全国线性代数自考试题及答案解析
全国2019年4月高等教育自学考试线性代数试题课题代码：02198试卷说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式。
第一部分 选择题 （共20分）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．对任意n 阶方阵A 、B 总有（ ）A.AB =BAB.|AB |=|BA |C.(AB )T =A T B TD.(AB )2=A 2B 22．在下列矩阵中，可逆的是（ ）A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100010000B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100022011C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛121110011D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101111001 3．设A 是3阶方阵，且|A |=-2，则|A -1|等于（ ）A.-2B.21-C.21 D.2 4．设A 是n m ⨯矩阵，则齐次线性方程组Ax =0仅有零解的充分必要条件是（ ）A.A 的行向量组线性无关B.A 的行向量组线性相关C.A 的列向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关5．设有m 维向量组(I)：n 21,,,ααα⋅⋅⋅，则（ ）A.当m <n 时，(I)一定线性相关B.当m>n 时，(I)一定线性相关C.当m <n 时，(I)一定线性无关D.当m >n 时，(I)一定线性相关6．已知1β、2β是非齐次线性方程组Ax =b 的两个不同的解，1α、2α是其导出组Ax =0的一个基础解系，k 1、k 2为任意常数，则方程组Ax=b 的通解可表成（ ） A.2)(2121211ββββα-+++k k B.2)(2121211ββββα++++k k C.2212211ββαα-++k kD.2212211ββαα+++k k 7．设n 阶可逆矩阵A 有一个特征值为2，对应的特征向量为x ，则下列等式中不正确．．．的是（ ）A.Ax =2xB.A -1x =21x C.A -1x =2x D. A 2x =4x 8．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+λ132121111的秩为2，则λ=（ ）A.2B.1C.0D.-19．二次型322123222132110643),,(x x x x x x x x x x f ++-+=的矩阵是（ ） A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-405033531B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4001030061C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-450533031D.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-41001036061 10．二次型2323223213212)()(),,(x x x x x x x x x f +++--=是（ ）A.正定的B.半正定的C.负定的D.不定的第二部分 非选择题 （共80分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
最新4月全国自学考试线性代数试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数试题课程代码：02198说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 表示单位矩阵，A 表示方阵A 的行列式，r (A )表示矩阵A 的秩。
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．3阶行列式011101110---=ij a 中元素a 21的代数余子式A 21=（ ） A ．-2B ．-1C ．-1D ．22．设n 阶可逆矩阵A 、B 、C 满足ABC =E ，则B -1=（ ）A ．A -1C -1B ．C -1A -1 C ．ACD ．CA3．设3阶矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000100010，则A 2的秩为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 4．设矩阵A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22211211a a a a ，B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++121112221121a a a a a a ，P 1=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110，P 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1101，则必有（ ） A ．P 1P 2A =BB ．P 2P 1A =BC ．AP 1P 2=BD ．AP 2P 1=B5．设向量组α1, α2, α3, α4线性相关，则向量组中（ ）A ．必有一个向量可以表为其余向量的线性组合B ．必有两个向量可以表为其余向量的线性组合C ．必有三个向量可以表为其余向量的线性组合D ．每一个向量都可以表为其余向量的线性组合6．设α1, α2, α3, α4是一个4维向量组，若已知α4可以表为α1, α2, α3,的线性组合，且表示法惟一，2则向量组α1, α2, α3, α4的秩为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．47．设α1, α2, α3是齐次线性方程组Ax =0的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是（ ）A ．α1, α2, α1+α2B ．α1, α2, α1-α2C ．α1+α2, α2+α3, α3+α1D ．α1-α2，α2-α3，α3-α18．设A 为3阶矩阵，且E A 32-=0，则A 必有一个特征值为（ ）A ．-23 B ．-32 C ．32 D ．23 9．设实对称矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--120240002，则3元二次型f (x 1,x 2,x 3)=x T Ax 的规范形为（ ）A ．21z +22z +23zB ．21z +22z -23zC ．21z +22zD ．21z -22z10．设2元二次型f (x 1,x 2)=x T Ax 正定，则矩阵A 可取为（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2112 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1221 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1221 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
4月全国自考线性代数(经管类)试题及答案解析
1全国2018年4月自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184一、单项选择题(本大题共20小题，每小题1分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.已知2阶行列式2211b a b a =m ,2211c b c b =n ,则222111c a b c a b ++=( )A.m-nB.n-mC.m+nD.-(m+n )2.设A , B , C 均为n 阶方阵，AB=BA ，AC=CA ，则ABC=（ ） A.ACB B.CAB C.CBAD.BCA3.设A 为3阶方阵，B 为4阶方阵,且行列式|A |=1，|B |=-2，则行列式||B |A |之值为( ) A.-8 B.-2 C.2D.84.已知A=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a ，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333231232221131211333a a a a a a a a a ，P =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100030001，Q =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100013001，则B =（ ）A.P AB.APC.QAD.AQ5.已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A.若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B.若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C.若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D.若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为06.下列命题中错误．．的是（ ） A.只含有一个零向量的向量组线性相关2B.由3个2维向量组成的向量组线性相关C.由一个非零向量组成的向量组线性相关D.两个成比例的向量组成的向量组线性相关7.已知向量组α1,α2,α3线性无关，α1,α2,α3，β线性相关，则（ ） A.α1必能由α2,α3，β线性表出 B.α2必能由α1,α3，β线性表出 C.α3必能由α1,α2，β线性表出D.β必能由α1,α2,α3线性表出 8.设A 为m ×n 矩阵，m ≠n ,则齐次线性方程组Ax =0只有零解的充分必要条件是A 的秩（ ）A.小于mB.等于mC.小于nD.等于n9.设A 为可逆矩阵，则与A 必有相同特征值的矩阵为（ ） A.A T B.A 2 C.A -1D.A *10.二次型f (x 1,x 2,x 3)=212322212x x x x x +++的正惯性指数为（ ） A.0 B.1 C.2D.3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国高等教育自学考试线性代数(经管类)(04184)2019年4月历年真题及答案
2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数(经管类) 试卷(课程代码04184)注意事项：1.本试卷分为两部分，第一部分为选择题，第二部分为非选择题2.应考者必须按试题顺序在答题卡（纸）指定位置上作答，答在试卷上无效3.涂写部分，画图部分必须使用2B铅笔，书写部分必须使用黑色字迹签字表说明：在本卷中，表示矩阵么的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩。
第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出。
1.行列式，则A.-2B.-1C.1D.22.设A为2阶矩阵，将A的第1行与第2行互换得到矩阵B，再将B的第2行加到第1行得到矩阵C，则满足PA=C 的可逆矩阵P=3.设向量可由向量组线性表出，则数a,b满足关系式A.a-b=4B.a-b=0C.a+b=4D. a+b=04.设齐次线性方程组有非零解，则数k=A.-2B.-1C.1D.25.设3阶实对称矩阵A的秩为2，则A的特征值λ=0的重数为A.0B.1C.2D.3第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.设某3阶行列式第2行元素分别为1，-2,3，对应的余子式为3,2，-2，则该行列式的值为7.已知行列式8.9.设n阶矩阵A满足10.设向量组的秩为2，则数a=11.与向量正交的单位向量12.设4元非齐次线性方程组Ax=b的增广矩阵经初等行变换化为若该线性方程组有惟一解，，则数a的取值应满足13.设A为n阶矩阵，若非齐次线性方程组Ax=b有无穷多解，则14.设A为n阶矩阵，且满足则A必有一个特征值为15.二次型的矩阵A=三、计算题：本大题共7小题，每小题9分，共63分16.计算4阶行列式17.设向量18.设矩阵A，B满足关系式X=XA+B，其中，求矩阵X19.求矩阵的秩和列向量组的一个极大无关组，并将其余列向量由该极大无关组线性表出20.设线性方程组确定数a,b为何值时，方程组有无穷多解，并求出其通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）21.设矩阵判定A是否可对角化，若可以，求可逆矩阵P和对角矩阵A，22.求正交换x=Qy，将二次型化为标准形四、证明题：本题7分23.已知向量β可由向量组线性表出，证明：如果表示法惟一，则线性无关24.25.。
线性代数自考试题及答案
线性代数自考试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列矩阵中，哪个不是方阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [1, 2]C. [1, 2; 3, 4; 5, 6]D. [1, 2; 3, 4; 5, 6; 7, 8]答案：B2. 对于向量空间中的向量组，线性相关的定义是什么？A. 向量组中的任意向量都可以用其他向量表示B. 向量组中存在非零向量可以表示为零向量C. 向量组中的向量线性组合为零向量D. 向量组中所有向量都是零向量答案：A3. 矩阵的特征值是什么？A. 矩阵对角线上的元素B. 使得方程Ax = λx 成立的标量λC. 矩阵的行数D. 矩阵的列数答案：B4. 对于矩阵 A，下列哪个矩阵是 A 的伴随矩阵？A. A^TB. A^(-1)C. adj(A)D. det(A)答案：C5. 如果一个向量是另一个向量的标量倍，这两个向量是什么关系？A. 线性无关B. 线性相关C. 正交D. 单位向量答案：B二、填空题（每题3分，共15分）6. 矩阵的秩是指_________。
答案：矩阵中线性无关的行（或列）的最大数目7. 向量空间的基是指一组_________的向量，它们能生成整个向量空间。
答案：线性无关8. 对于任意矩阵 A，|A| 表示_________。
答案：矩阵 A 的行列式9. 如果矩阵 A 可逆，那么 A 的逆矩阵记作_________。
答案：A^(-1)10. 线性变换 T: R^n → R^m 的标准矩阵是指_________。
答案：线性变换 T 对标准基的坐标表示矩阵三、解答题（共75分）11. （15分）设 A 是一个3×3 的实对称矩阵，证明其特征值都是实数。
答案：略12. （20分）给定两个向量 v1 = [1, 2, 3]^T 和 v2 = [4, 5, 6]^T，求它们的叉积v3 = v1 × v2，并证明 v3 与 v1, v2 都正交。
全国自考 线性代数 历年考试真题与答案
全国高等教育 线性代数〔经管类〕 自学考试 历年〔2021年07月——2021年04月〕考试真题及答案全国2021年7月自考线性代数〔经管类〕试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。
错选、多项选择或未选均无分。
1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.〔A +B 〕T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.=3，那么=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.假设矩阵A 可逆，那么以下等式成立的是( ) A.A =B.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A AA =，B =，C =，那么以下矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A TA ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，那么( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.假设四阶方阵的秩为3，那么( ) A.AAx =0有非零解 Ax =0Ax =b 必有解A 为m×n 矩阵，那么n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关B.A 的列向量组线性相关C.A 的行向量组线性无关D.A 的列向量组线性无关( ) A. B.21C.D.正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( )A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =正定，那么( ) A.k>0 B.k ≥0 C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每题2分，共20分)请在每题的空格中填上正确答案。
自考线性代数2022年4月真题试题及(02198)_1
自考线性代数2022年4月真题试题及(02198)自考线性代数2022年4月真题解析(02198)1.[单选题] 多项式的常数项是()A.-14B.-7C.7D.142.[单选题] 将3阶矩阵A的第3行乘以-1/2得到单位矩阵E，则|A|=()A.-2B.-1/2C.1/2D.23.[单选题] 设A为3阶矩阵，且|A|=a≠0，将A按列分块为A=(α1, α2, α3)。
若矩阵B =(α1+α2, 2α2, α3)，则|B|=()A.0B.aC.2aD.3a4.[单选题] 设向量组α1, α2,…, αs(s≥2)线性相关，则α1, α2,…, αs中()A.必有一个零向量B.必有两个向量对应元素成比例C.存在一个向量可由其余向量线性表出D.每个向量均可由其余向量线性表出5.[单选题] 设3阶矩阵A的特征值为-3/2,-2/3,2/3，则下列矩阵中可逆的是()A.2E-3AB.3E-2AC.3E+2AD.2E+3A6.[案例题] 行列式________。
7.[案例题] 若行列式_________。
8.[案例题] 设矩阵，则ABT =_______。
9.[案例题] 设矩阵，则(A-E)-1 =_______。
10.[案例题] 设矩阵，则A*=________。
11.[案例题] 设向量组α1=(3,1,2)T，α2=(2,1 ,0)T，α3=(1,0, a)T线性无关，则数a的取值应满足________。
12.[案例题] 设3阶矩阵A的所有元素均为1,则3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系中解向量的个数为_________。
13.[案例题] 设A为3阶矩阵，αi为3维非零向量，且满足Aαi=iαi，则r(A)=_________。
14.[案例题] 设λ0=-2是n阶矩阵A的一个特征值，则A2+E的一个特征值是_________。
15.[案例题] 若实对称矩阵A与矩阵合同，则二次型xTAx的规范形为________。
2014年4月全国自考公共课线性代数(经管类)真题试卷(题后含答案及解析)
2014年4月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设行列式( )A．一15B．一6C．6D．15正确答案：C解析：2．设A，B为4阶非零矩阵，且AB=0，若r(A)=3，则r(B)= ( ) A．1B．2C．3D．4正确答案：C解析：因AB=0，r(A)=3，则矩阵B应与A有相同的阶数，所以r(B)=3．3．设向量组α1=(1，0，0)T，α2=(0，1，0)T，则下列向量中可由α1，α2线性表出的是( )A．(0，一1，2)TB．(一1，2，0)TC．(一1，0，2)TD．(1，2，一1)T正确答案：B解析：B选项中(一1，2，0)T=一1α1+2α2，A、C、D选项均不可由α1，α2表示．4．设A为3阶矩阵，且r(A)=2，若α1，α2为齐次线性方程组Ax=0的两个不同的解．k为任意常数，则方程组Ax=0的通解为( ) A．kα1B．kα2C．D．正确答案：D解析：α1与α2为Ax=0的两个不同解，是r(A)=2，A的阶数为3，则有1个基础解，故其通解为5．二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x22+x32一2x1x2+4x1x3-2x2x3的矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：二次型f(x1，x2，x3)的矩阵为填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．3阶行列式第2行元素的代数余子式之和A21+A22+A23=________．正确答案：0解析：A21+A22+A23==0．7．设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|A*|=_______．正确答案：4解析：|A*|=|A|n-1=22=4．8．设矩阵，则ABT=_____．正确答案：解析：9．设A为2阶矩阵，且，则|(一3A)-1|=________．正确答案：解析：10．若向量组α1=(1，一2，2)T，α2=(2，0，1)T，α3=(3，k，3)T线性相关，则数k=______．正确答案：一10解析：行列式即k=一10时，线性方程组有非零解，则α1，α2，α3线性相关．11．与向量(3，一4)正交的一个单位向量为_______．正确答案：解析：设向量(x．y)与(3，一4)正交，则3x一4y=0，，则所求单位向量为12．齐次线性方程组的基础解系所含解向量个数为_______．正确答案：1解析：系数矩阵为，同解方程组为即所以基础解系有1个解向量．13．设3阶矩阵A的秩为2，α1，α2为非齐次线性方程组Ax=b的两个不同解，则方程组Ax=b的通解为_______．正确答案：(k+1)α1一kα2，k为任意常数解析：α1,α2为Ax=b的解，则α1一α2是Ax=0的解，所以Ax=b的通解为α1+k(α1一α2)=(k+1)α1一kα2．14．设A为n阶矩阵，且满足|E+2A|=0，则A必有一个特征值为_________．正确答案：解析：由|E+2A|=0可得所以必有一个特征值为15．二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+x22+x32的正惯性指数为______．正确答案：2解析：f(x1，x2，x3)的矩阵为其中k=2，所以正惯性指数为2．计算题16．计算行列式的值．正确答案：17．设矩阵求可逆矩阵P，使得PA=B.正确答案：矩阵A，经过初等变换得矩阵B，由A和B的关系知初等矩阵，可使PA=B.18．设矩阵，矩阵X满足XA=B，求X．正确答案：19．求向量组α1=(1，一1，2，1)T，α2=(1，0，1，2)T，α3=(0，2，0，1)T，α4=(一1，0，一3，一1)T，α5=(4，一1，5，7)T的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出．正确答案：A=(α1，α2，α3，α4，α5)=所以向量组的秩为3，其极大线件无关组为{α1，α2，α3}，α4及α5用α1，α2，α3表示出来为：α4=一2α1+α2一α3，α5=α1+3α2．20．求线性方程组的通解．(要求用它的一个特解和导出组的基础解系表示)正确答案：可得原方程组的同解方程组取x3=0得一个特解原方程组导出同解方程组令x3=1可得基础解系于是原方程组通解为η=η*+kξ，k为任意常数．21．已知矩阵的一个特征值为1，求数a，并求正交矩阵Q 和对角矩阵∧，使得Q-1∧Q=A.正确答案：由=(a一2)[(λ一2)(λ—a)一1]=0，因为1是特征值，则代入得2一a=0，a=2，所以矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=3，当λ1=1时，由方程组(E-A)x=0，得λ1=1的特征向量当λ2=2时，由方程组(2E-A)x=0，得λ2=2的特征向量当λ3=3时，由方程组(3E—A)x=0，得λ3=3的特征向量得22．用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+3x22一2x32+4x1x2+2x2x3为标准形，并写出所作的可逆线性变换．正确答案：f(x1，x2，x3)=x12+4x1x2+4x22一x22+2x2x3一x32-x32=(x1+2x2)2一(x2一x3)2-x32，则二次型f(x1，x2，x3)的标准型为f=y12一y22一y32．证明题23．设α1，α2，α3为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，证明2α1+α2+α3，α1+2α2+α3，α1+α2+3α3也是该方程组的基础解系．正确答案：α1，α2，α3为齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系．令β1=2α1+α2+α3，β2=2α1+2α2+α3，β3=2α1+2α2+2α3可表示为可知β1，β2，β3线性无关．Ax=0中任一个解α均可由β1，β2，β3线性表示．所以β1，β2，β3也是Ax=0的基础解系．。
4月自学考试 04184线性代数(经管类)试卷及答案
20XX 年4月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1、设行列式D 1=2211b a b a ，D 2=2221113232a b a a b a --，则D 2= 【 】A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 12、若A=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1x 1021，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛y 24202，且2A =B ，则 【 】A.x=1，y=2B.x=2，y=1C.x=1，y=1D.x=2，y=23、已知A 是3阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A 等价的是 【 】A.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000001B.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000010001C.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100000001D.⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000100014、设2阶实对称矩阵A 的全部特征值味1，-1，-1，则齐次线性方程组（E +A ）x =0的基础 解系所含解向量的个数为 【 】 A.0 B.1 C.2 D.35、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛--3113有一个特征值为 【 】 A.-3 B.-2 C.1 D.2二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6、设A 为3阶矩阵，且A =3，则13-A = .7、设A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛5312，则A *= .8、已知A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1201，B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-211111，若矩阵X 满足AX =B ，则X = . 9、若向量组=1α(1，2，1)T ，=2α(k-1，4，2)T 线性相关，则数k= .10、若齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-+=+-=++030202321321321x x x x x x ax x x 有非零解，则数a = .11、设向量=1α(1，-2，2)T ，=2α(2，0，-1)T ，则内积（21,αα）= . 12、向量空间V ={x=(x 1，x 2，0)T |x 1，x 2R ∈}的维数为 .13、与向量（1，0，1）T 和（1，1，0）T 均正交的一个单位向量为 . 14、矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛3221的两个特征值之积为 . 15、若实二次型f(x1，x2，x3)=2123222212x x x a ax x +++正定，则数a 的取值范围是 .三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16、计算行列式D =5111141111311112的值.17、设2阶矩阵A 的行列式21=A ，求行列式*12)2(A A +-的值.18、设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101111010，B =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--301521，矩阵X 满足X =AX +B ，求X .19、求向量组T T T T )10,1,3(,)6,3,1(,)1,5,2(,)1,2,1(4321-=--===αααα的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表出.20、利用克拉默法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232212322123221333c x c cx x b x b bx x a x a ax x ，其中c b a ,,两两互不相同.21、已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1111311a a A 与⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=b B 00010000相似，求数b a ,的值.22、用正交变换化二次型212121455),(x x x x x x f ++=为标准型，并写出所作的正交变换.四、证明题（本题7分）23、设A ，B 均为n 阶矩阵，且A =B +E ，B 2=B ，证明A 可逆.20XX 年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分类，共10分）1.C2.A3.D4.C5.B 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）6. 97.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--23158.⎪⎪⎭⎫⎝⎛--031111 9. 3 10. -2 11. 0 12. 2 13.()()T T 1,1,1311,1,131---或14. -1 15.a ＞1 三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解 D=40200320115011315111141111121131------=- （5分） =74402032115=-- （9分） 17.解 由于21=A ，所以A 可逆，于是1*-=A A A （3分） 故11*12212)2(---+=+A A A A A （6分） =2923232112111=⎪⎭⎫⎝⎛==+----A A A A （9分）18.解 由B AX X +=，化为()B X A E =-， （4分）而⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-201101011A E 可逆，且()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--110123120311A E （7分）故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=11021335021111012312031X （9分）19.解 由于()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→00007510171101751075103121,,,4321αααα （5分） 所以向量组的秩为2，21,αα是一个极大线性无关组，并且有214213717,511αααααα-=+-= （9分）注：极大线性无关组不唯一。
2016年4月全国自考公共课线性代数(经管类)真题试卷(题后含答案及解析)
2016年4月全国自考公共课线性代数（经管类）真题试卷(题后含答案及解析)题型有：1. 单项选择题 2. 填空题 3. 计算题 4. 证明题单项选择题在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．多项式f(x)=的常数项是( )A．一14B．一7C．7D．14正确答案：D解析：将多项式f(x)的行列式按第一行展开得到f(x)=(一1)(1+1)x．(2×4—3×5)+(一1)(1+2)(一1).[2×4—3×(一2)]=一7x+14．答案为D．2．设A为n阶矩阵，如果A=E，则｜A｜= ( )A．B．C．D．2正确答案：A解析：由于A=．答案为A。
3．设A为3阶矩阵，且｜A｜=a≠0，将A按列分块为A=(α1，α2，α3)，若矩阵B=(α1—α2，2α2，α3)，则｜B｜= ( )A．0B．aC．2aD．3a正确答案：C解析：由行列式性质可知，｜B｜=1(α1，2α2，α3)｜+｜(α2，2α2，α3)｜=2｜(α1，α2，α3)｜=2｜A｜=2a．答案为C。
4．若向量组α1，α2，…，αs可由向量组β1，β2，…，βs线性表出，则必有( )A．s≤tB．s＞tC．秩(α1，α2，…，αs)≤秩(β1，β2，…，βt)D．秩(α1，α2，…，αs)＞秩(β1，β2，…，βt)正确答案：C解析：n维向量组R={α1，α2，…，αr}和S={β1，β2，…，βs}，若S 可由R线性表出，则有r(s)≤r(R)．答案为C。
5．与矩阵A=合同的矩阵是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：对于实对称矩阵A，必有A=P-1AP，P为正交矩阵，PT=P-1．即，特征方程｜λE—A｜=(λ一1)2(λ+1)，λ1=1，λ2=λ3=一1．答案为C。
填空题请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
6．行列式=__________．正确答案：0解析：行列式由第一行展开得：0×(一1)2.[0×0一a.(一a)]+(—c)(一1)3.[c ×0一(—a)．b]+(—b)(一1)4.(a.c一0.b)=0．7．若行列式=__________ ．正确答案：一1解析：8．设矩阵A=，则ABT=__________．正确答案：解析：ABT=．9．设矩阵，则(A—E)-1=__________．正确答案：解析：令B=A—E=．10．设矩阵A=，则A*=__________．正确答案：解析：A*=，A11=0，A12=(一1)3．3=一3，A21=(一1)3×2=一2，A22=0，A*=11．若向量β=(一1，1，k)可由向量α1=(1，0，一1)，α2=(1，一2，一1)线性表示，则数k=__________．正确答案：1解析：可设β=k1α1+k2α2，即12．齐次线性方程组的基础解系中解向量的个数为________．正确答案：2解析：A=，r(A)=2，n=4，基础解系向量个数为n—r=2．13．设A为3阶矩阵，αi为3维非零列向量，且满足Aαi=iαi(i=1，2，3)，则r(A)= __________．正确答案：3解析：Aα=iαi(i=1，2，3)，则A有3个不同特征值，r(A)=3．14．设λ0=一2是n阶矩阵A的一个特征值，则A2+E的一个特征值是__________．正确答案：5解析：Aα=一2α，左乘A得A2α=一2Aα=4α，(A2+E)α=5α，A2+E 的一个特征值为5．15．二次型f(x1，x2，x3)=x12—2x1x3+x2x3的矩阵为__________．正确答案：解析：f(x1，x2，x3)=xTAx，A=(aij)3×3，f(x1，x2，x3)=aijxixj，由f(x1，x2，x3)=x12—x1x3—x2x3的各项系数可得出A=．计算题16．计算行列式D=正确答案：D=a2=(a2b2一c2d2)(a1b1一c1d1)．17．设矩阵A，B，C满足关系式AC=CB，其中B=，求矩阵A与AT。
2007年4月-2013年1月全国高等教育自学考试线性代数(经管类)试题课程代码：04184试卷及答案
全国2007年4月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题课程代码：04184说明在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A ＊表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式.一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1．设A 为3阶方阵，且|A |＝2，则|2A -1|=（ ） A ．-4 B ．-1 C ．1 D ．4 2．设矩阵A ＝（1，2），B ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛4321，C ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛654321，则下列矩阵运算中有意义的是（ ）A ．ACB B ．ABC C ．BAC D ．CBA 3．设A 为任意n 阶矩阵，下列矩阵中为反对称矩阵的是（ ）A ．A ＋A T B ．A －A T C ．AA T D ．A T A 4．设2阶矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a ，则A ＊＝（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b d B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a b c d C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--a c b dD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛--a b c d 5．矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0133的逆矩阵是（ ）A ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3310B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-3130C ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛-13110 D ．⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-01311 6．设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--500043200101，则A 中（ ）A ．所有2阶子式都不为零B ．所有2阶子式都为零C ．所有3阶子式都不为零D ．存在一个3阶子式不为零7．设A 为m×n 矩阵，齐次线性方程组Ax =0有非零解的充分必要条件是（ ） A ．A 的列向量组线性相关B ．A 的列向量组线性无关C ．A 的行向量组线性相关D ．A 的行向量组线性无关8．设3元非齐次线性方程组Ax=b 的两个解为α=（1，0，2）T ，β=（1，-1，3）T ，且系数矩阵A 的秩r(A )=2，则对于任意常数k , k 1, k 2, 方程组的通解可表为（ ） A ．k 1(1,0,2)T +k 2(1,-1,3)T B ．(1,0,2)T +k (1,-1,3)T C ．(1,0,2)T +k (0,1,-1)T D ．(1,0,2)T +k (2,-1,5)T9．矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111111的非零特征值为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．110．4元二次型413121214321222),,,(x x x x x x x x x x x f +++=的秩为（ ）A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。
全国自考 线性代数 历年考试真题与答案
全国高等教育 线性代数（经管类） 自学考试 历年（2009年07月——2013年04月）考试真题与答案全国2009年7月自考线性代数（经管类）试卷课程代码：04184试卷说明：在本卷中，A T 表示矩阵A 的转置矩阵；A *表示A 的伴随矩阵;R (A )表示矩阵A的秩；|A |表示A 的行列式；E 表示单位矩阵。
一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A ,B ,C 为同阶方阵，下面矩阵的运算中不成立．．．的是( ) A.（A +B ）T =A T +B T B.|AB |=|A ||B | C.A (B +C )=BA +CA D.(AB )T =B T A T2.已知333231232221131211a a a a a a a a a =3，那么333231232221131211222222a a a a a a a a a ---=( ) A.-24 B.-12 C.-6D.123.若矩阵A 可逆，则下列等式成立的是( ) A.A =*1A AB.0=AC.2112)()(--=A AD.113)3(--=A A4.若A =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-251213，B =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-131224，C =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--211230，则下列矩阵运算的结果为3×2矩阵的是( ) A.ABC B.AC T B T C.CBAD.C T B T A T5.设有向量组A ：α1，α2，α3，α4，其中α1，α2，α3线性无关，则( ) A.α1，α3线性无关B.α1，α2，α3，α4线性无关C.α1，α2，α3，α4线性相关D.α2，α3，α4线性相关6.若四阶方阵的秩为3，则( ) A.A 为可逆阵B.齐次方程组Ax =0有非零解C.齐次方程组Ax =0只有零解D.非齐次方程组Ax =b 必有解7.设A 为m×n 矩阵，则n 元齐次线性方程Ax=0存在非零解的充要条件是( ) A.A 的行向量组线性相关 B.A 的列向量组线性相关 C.A 的行向量组线性无关 D.A 的列向量组线性无关8.下列矩阵是正交矩阵的是( ) A.⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--100010001B.21⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡110011101C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--θθθθcos sin sin cos D.⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--3361022336603361229.二次型正定的充要条件是为实对称阵)(A Ax x T =f ( ) A.A 可逆B.|A |>0C.A 的特征值之和大于0D.A 的特征值全部大于010.设矩阵A =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--4202000k k 正定，则( )A.k>0B.k ≥0C.k>1D.k ≥1二、填空题(本大题共10小题，每小题2分，共20分)请在每小题的空格中填上正确答案。
2023年04月04184线性代数真题及答案
2023年4月《线性代数》真题说明：在本卷中，A T表示矩阵A的转置矩阵，A∗表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)表示矩阵A的秩.第一部分选择题一、单项选择题：本大题共5小题，每小题2分，共10分。
在每小题列出的备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其选出。
1.设A=(a11a12a21a22)，M ij为元素a ij(i,j=1,2)的余子式，M21=4，M22=5，则A=（）A.(5−4−32)B.(5−3−42)C.(53 42)D.(54 32)【答案】D2.设A=(12−30)，则A∗中位于第1行第2列的元素是（）A.-3B.-2C.2D.3【答案】B3.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则r(A)=（）A.1B.2C.3D.4【答案】C4.设2阶矩阵A满足|2E+3A|=0，|E−4|=0，则|A−1+E|=（）A.-lB.−23C.23D.1【答案】A5.二次型f(x1,x2,x3)=2x12−3x22+5x32的正惯性指数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】C第二部分非选择题二、填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
6.行列式|a1+b1a1+b2a1+b3a2+b1a2+b2a2+b3a3+b1a3+b2a3+b3|=_________。
【答案】07.设矩阵A=(1−4−10)，B=(1024)，则AB=_________。
【答案】(−7−16−10)8.设A为2阶矩阵，若存在矩阵C=(1−201)，使得C T AC=(−1002)，则A=_________。
【答案】(−1−2−2−2)9.设A 为3阶矩阵，且|A |=2，则|−2A −1|=_________。
【答案】-410.已知向量组a 1=(1,k,−3)T ，a 2=(2,4,−6)T ，a 3=(0,0,1)T 的秩为2，则数k =_________。
【答案】211.齐次线性方程组{x 1+2x 2+3x 3 =0x 2−x 3+x 4=0的基础解系所含解向量的个数为__________。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
全国2018年4月高等教育自学考试线性代数试题课程代码：02198试卷说明：A T表示矩阵A的转置矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式。
第一部分选择题(共28分)一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。
错选或未选均无分。
1.设行列式a aa a11122122=m，a aa a13112321=n，则行列式a a aa a a111213212223++等于（）A. m+nB. -(m+n)C. n-mD. m-n2.设矩阵A=100020003⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，则A-1等于（）A.130012001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪B.100120013⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪C.13000100012⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪D.120013001⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪⎪⎪3.设矩阵A=312101214---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）A. –6B. 6C. 2D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）A. A =0B. B≠C时A=0C. A≠0时B=CD. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）A. 1B. 2C. 3D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）A.所有r-1阶子式都不为0B.所有r-1阶子式全为0C.至少有一个r阶子式不等于0D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A.η1+η2是Ax=0的一个解B.12η1+12η2是Ax=b的一个解C.η1-η2是Ax=0的一个解D.2η1-η2是Ax=b的一个解9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)<nB.秩(A)=n-1C.A=0D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）A. k≤3B. k<3C. k=3D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A.|A|2必为1B.|A|必为1C.A-1=A TD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）A.A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）A.2334⎛⎝⎫⎭⎪ B.3426⎛⎝⎫⎭⎪C.100023035--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪D.111120102⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪第二部分非选择题（共72分）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每小题的空格内。
错填或不填均无分。
15.11135692536=.16.设A=111111--⎛⎝⎫⎭⎪，B=112234--⎛⎝⎫⎭⎪.则A+2B= .17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解为.20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(<n)，则齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系中含有解的个数为 .21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= . 22.设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为 .23.设矩阵A =010********---⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，已知α=212-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 .24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 . 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.设A =120340121-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，B =223410--⎛⎝ ⎫⎭⎪.求（1）AB T ；（2）|4A |. 26.试计算行列式3112513420111533------. 27.设矩阵A =423110123-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .28.给定向量组α1=-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪2103，α2=1324-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α3=3021-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪，α4=0149-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。
29.设矩阵A =1212242662102333334-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪. 求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。
30.设矩阵A=022234243----⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化下列二次型为标准形f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 12223212132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。
四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1=E +A +A 2.33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解； （2）η0，η1，η2线性无关。
全国2018年4月高等教育自学考试线性代数试题参考答案课程代码：02198一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D 7.C 8.A 9.A 10.B 11.A 12.B 13.D 14.C二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 6 16. 337137--⎛⎝⎫⎭⎪17. 4 18. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数 20. n -r 21. –5 22. –2 23. 124. z z z z 12223242++-三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）25.解（1）AB T =120340*********-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪--⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪=861810310⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪. （2）|4A |=43|A |=64|A |，而|A |=1203401212-=-.所以|4A |=64·（-2）=-128 26.解31125134201115335111111310010553------=----- =5111111550---- =5116205506255301040---=---=+=.27.解 AB =A +2B 即（A -2E ）B =A ，而（A-2E）-1=2231101211431531641--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-.所以B=(A-2E)-1A=143153164423110123-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪=386 296 2129-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.28.解一----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪2130130102243419053213010112013112−→−--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1035011200880014141035011200110000−→−⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪1002010100110000,所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.解二考虑α4=x1α1+x2α2+x3α3，即-++=-=-+=+-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪230312243491231223123x x xx xx xx x x.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）.29.解对矩阵A施行初等行变换A−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102 00062 03282 09632−→−-----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪−→−----⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪⎪12102032830006200021712102032830003100000=B.（1）秩（B）=3，所以秩（A）=秩（B）=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。
（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征值λ=1的2个线性无关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T，ξ2=（2，0，1）T.经正交标准化，得η1=25555//-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，η2=2515451553///⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.λ=-8的一个特征向量为ξ3=122-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪，经单位化得η3=132323///.-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪所求正交矩阵为T=25521515135545152305323////////--⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.对角矩阵D=100 010 008-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.（也可取T=25521515130532355451523////////---⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪.）31.解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2-2x3）2-2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2-2x3）2-2（x2-x3）2-5x32.设y x x xy x xy x11232233322=+-=-=⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪，即x y yx y yx y112223332=-=+=⎧⎨⎪⎩⎪，因其系数矩阵C=120011001-⎛⎝⎫⎭⎪⎪⎪可逆，故此线性变换满秩。