指数函数导学案.pdf
《指数函数的概念 》导学案
任务一： 阅读课本111页—113页的内容，回答下列问题探究指数函数的定义问题1： 阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的变化规律。
A 地景区的游客人次近似______，______（填“年增长量”或“年增长率”）是一个常数；B 地景区的游客人次是非线性增长，________ （填“年增长量”或“年增长率”）越来越大，但其__________（填“年增长量”或“年增长率”）都约0.11，是一个常数。
问题2：阅读课本，第111页至112页，分析A 、B 两地景区游客人次y 与年份x 的对应关系。
A 地景区的游客人次年增长量相等，故游客人次自2001年后增加量记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为_________________________，是一个 函数。
B 地景区的游客人次年增长率相等，故游客人次为2001年的倍数记为y ，则y 与年份x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中指数x 是自变量。
问题3：阅读课本，第113页，可知，生物体内碳14含量y 与死亡年数x 的对应关系可表示为__________________________，是一个函数，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量。
如用字母a 代替函数 1.11(0)x y x =≥中的常数1.11与函数y =[(12)15730]x （0x ≥）中的常数(12)15730，以上两个函数的解析式都可以表示为 的形式，其中 （填“指数”、“底数”或“幂”）x 是自变量，底数a 是一个大于0且不等于1的常量。
知识一.指数函数的定义一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域是 。
思考：1.指数函数的结构特征：（1）解析式中x a 的系数为 ;(2)底数 a 是,满足 ; （3）自变量 x 是 且 x. 2.为什么指数函数y ＝a x 的底数规定大于0，且不等于1?提示：(1)如果a ＜0，如y ＝(－4)x ，当x ＝14，12时，函数无意义． (2)如果a ＝0，y ＝0x ，当x ＞0时，,0x =0；当x ≤0时，0x 无意义.(3)如果a ＝1，y ＝1x ＝1，是一个常函数，没有研究的必要．为了避免上述各种情况，所以规定a >0，且a ≠1.任务二：用所学知识解决问题题型一：指数函数的概念例1．下列函数中，哪些是指数函数？(1)y ＝10x ； (2) y ＝2x ＋1 (3)y ＝－4x ； (4)y ＝x α(α是常数).（5）y ＝x 3 （6）y ＝3·2x （7）y ＝3－x (8) y ＝x x (x >0) 练习1.若函数x a y )12(-=是指数函数，则a 的取值范围为______.2.若函数f(x)＝(a 2－3a ＋3)a x 是指数函数，求a 的值。
指数函数的概念导学案
4.2.1 指数函数的概念导学案【学习目标】1.了解指数函数的概念.2.会画出指数函数图象(重点).3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域(重点、难点).【自主学习】一．指数函数的定义一般地，函数 (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是R .【答案】y ＝a x二．指数函数的图象和性质指数函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的图象和性质如下表：a >1 0<a <1图象定义域 R 值域(0，＋∞)性质过定点过定点 ，即x ＝0时，y ＝1函数值的变化 当x >0时， ；当x <0时， 当x >0时， ；当x <0时， 单调性在R 上是在R 上是【答案】【当堂达标基础练】1. 下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C【解析】由指数函数的增长速度及定义，可知C 正确． 2．已知函数1()12xf x =+，则对任意实数x ，有（ ） A ．()()0f x f x B ．()()0f x f x --= C ．()()1f x f x -+= D ．1()()3f x f x --=【答案】C3.函数2(2)x y a a =-是指数函数，则（ ） A ．1a =或3a = B ．1a = C ．3a = D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】由指数函数的定义可得2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，从而可求出a 的值 【详解】由指数函数定义知2(2)1a -=，同时0a >，且1a ≠，所以解得3a =. 故选：C4．若()233xy a a a =-+是指数函数，则有（ ）A ．1a =或2B ．1a =C ．2a =D ．0a >且1a ≠【答案】C【分析】根据指数函数的概念，由所给解析式，可直接求解.【详解】因为()233xy a a a =-+是指数函数，所以233101a aa a ⎧-+=⎪>⎨⎪≠⎩，解得2a =.故选：C ．5．已知函数1(),02()0xx f x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则[(4)]f f =________.故答案为：46.若函数()132xf x a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0a >，且1a ≠）是指数函数，则=a ________．一、选择题1．若函数y ＝(a 2－4a ＋4)a x是指数函数，则a 的值是( ) A ．4 B ．1或3 C ．3 D ．1[答案C【解析】由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a ≠1，a 2－4a ＋4＝1，解得a ＝3，故选C.2．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x(x ≥8)的值域是( ) A ．RB.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1256C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1256 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1256，＋∞【答案】B【解析】因为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在[8，＋∞)上单调递减，所以0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝1256.3．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞) D ．(0，＋∞)【答案】C【解析】由2x－1≥0得2x≥1，即x ≥0，∴函数的定义域为[0，＋∞)，选C. 4．当a >0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)【答案】C 【解析】∵f (－1)＝a－1＋1－1＝a 0－1＝0，∴函数必过点(－1，0)．5．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )A B C D【答案】A【解析】当a >1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a >1，此时两函数的图象大致为选项A.二、填空题6．函数f (x )＝3x －1的定义域为________． 【答案】[1，＋∞)【解析】由x －1≥0得x ≥1，所以函数f (x )＝3x －1的定义域为[1，＋∞)．7．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，且a ≠1)经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为________． 【答案】7【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.8．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，－2－x，x >0，则函数f (x )的值域是________．【答案】(－1,0)∪(0,1)【解析】由x <0，得0<2x<1；由x >0， ∴－x <0,0<2－x<1， ∴－1<－2－x<0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a >0且a ≠1.(1)求a 的值；(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．[解] (1)因为函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12， 所以a2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0<⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2， 所以函数的值域为(0,2]．10．已知f (x )＝9x－2×3x＋4，x ∈[－1,2]． (1)设t ＝3x，x ∈[－1,2]，求t 的最大值与最小值； (2)求f (x )的最大值与最小值．[解] (1)设t ＝3x ，∵x ∈[－1,2]，函数t ＝3x在[－1,2]上是增函数，故有13≤t ≤9，故t 的最大值为9，t 的最小值为13.(2)由f (x )＝9x －2×3x ＋4＝t 2－2t ＋4＝(t －1)2＋3，可得此二次函数的对称轴为t ＝1，且13≤t ≤9，故当t ＝1时，函数f (x )有最小值为3，当t ＝9时，函数f (x )有最大值为67.【当堂达标素养练】1．函数y ＝a－|x |(0<a <1)的图象是( )A B C D【答案】A【解析】y ＝a －|x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a |x |，易知函数为偶函数，∵0<a <1，∴1a>1，故当x >0时，函数为增函数，当x <0时，函数为减函数，当x ＝0时，函数有最小值，最小值为1，且指数函数为凹函数，故选A.2．若a >1，－1<b <0，则函数y ＝a x＋b 的图象一定在( ) A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限【答案】A【解析】∵a >1，且－1<b <0，故其图象如图所示．3．已知函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在[－2，－1]上的最小值是m ，最大值是n ，则m ＋n 的值为________． 【答案】12【解析】∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为减函数，∴m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＝3，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9，故m ＋n ＝12. 4．函数f (x )＝3x3x ＋1的值域是________．【答案】(0,1)【解析】函数y ＝f (x )＝3x3x ＋1，即有3x ＝－y y －1，由于3x＞0，则－y y －1＞0，解得0＜y ＜1，值域为(0,1)．5．已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)．(1)若f (x )的图象如图①所示，求a ，b 的取值范围；(2)若f (x )的图象如图②所示，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围． [解] (1)由f (x )为减函数可知a 的取值范围为(0,1)， 又f (0)＝1＋b <0，所以b 的取值范围为(－∞，－1)． (2)由图②可知，y ＝|f (x )|的图象如图所示．由图象可知使|f (x )|＝m 有且仅有一解的m 值为m ＝0或m ≥3.6．设函数()3x f x =，且(2)18f a +=，函数()34()ax x g x x R =-∈． （1）求()g x 的解析式；（2）若方程()g x －b=0在 [－2，2]上有两个不同的解，求实数b 的取值范围． 【答案】（1）()24x x g x =-，（2）31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【详解】试题分析：（1）；本题求函数解析式只需利用指数的运算性质求出a 的值即可， （2）对于同时含有2,x x a a 的表达式，通常可以令进行换元，但换元的过程中一定要注意新元的取值范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次的关系，从而解决问题．试题解析：解：（1）∵()3x f x =，且(2)18f a += ∴⇒∵∴（2）法一：方程为 令，则144t ≤≤ 且方程为在有两个不同的解．设2211()24y t t t =-=--+ ，y b = 两函数图象在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有两个交点由图知31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，方程有两不同解．法二： 方程为 ，令，则144t ≤≤ ∴方程在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 上有两个不同的解．设21(),,44f t t t b t ⎡⎤=-+-∈⎢⎥⎣⎦解得31,164b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭考点：求函数的解析式，求参数的取值范围【方法点睛】求函数解析式的主要方法有待定系数法，换元法及赋值消元法等；已知函数的类型（如一次函数，二次函数，指数函数等），就可用待定系数法；已知复合函数的解析式，可用换元法，此时要注意自变量的取值范围；求分段函数的解析式时，一定要明确自变量的所属范围，以便于选择与之对应的对应关系，避免出错．。
北师版数学高一-《指数函数》名师导学案
【必修1】第三章 指数函数和对数函数第三节 指数函数（2）学时：1学时 【学习引导】 一、自主学习1. 阅读课本7376P P -．2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？ （2）层次间的联系是什么？（3）指数函数的图像有什么特征？从图像观察它有哪些性质？ 3. 76P 练习 4. 小结. 二、方法指导1. 阅读本节内容时，同学应采用类比讨论函数性质的一般思路，由具体的指数函数性质推广到一般的指数函数，观察图像，数形结合的理解指数函数的性质.2. 阅读本节内容时，同学们应注意分析指数函数的图像随着底数的变化而变化的规律. 【思考引导】 一、提问题1．指数函数具有哪些性质？2. 函数2x y =与1()2x y =的图像有什么关系？2．对比1,22xx y y ⎛⎫== ⎪⎝⎭图像，得出xy a =（0a >且1a ≠）的性质，讨论底数a 对函数图像的影响.3．对比2,3xxy y ==，11,23x xy y ==这四个函数图像，讨论指数函数当底数变化时，图像的变化规律. 二、变题目1. 下列函数表达式中，满足1(1)()2f x f x +=的是 ( ) A.1()(1)2f x x =+ B.1()4f x x =+ C.()2x f x = D.()2xf x -=2. 函数()2()1xf x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．1>a B ．2<a C．a < D．1a <<3. 函数121xy =-的值域是 （ ） A .(),1-∞ B .()(),00,-∞⋃+∞ C .()1,-+∞ D .()(,1)0,-∞-⋃+∞ 4. 已知函数()2xf x =,则(1)f x -的图像大致为 （ ）A B CD5. 利用指数函数性质，比较下列各题中两个数的大小.（1）0.80.75,5； （2） 134411(),()33--； （3）540.8,0.8； （4）4.15.11.2)31(,3,3-.6.已知2134a a >，则a 的取值范围是____________【总结引导】 1. 完成下列图表于1时，图像下降，底数越小，图像向下越靠近与x 轴.简称，0x >时，底大图像高. 【拓展引导】一、课外作业：77P 习题3-3 A 组 4，7 B 组 1，3，5 二、课外思考： 1. 函数11+=-x a y )10(≠>a a 且的图像必经过定点____________． 2. 使不等式33912<-x 成立的x 的集合是___________________.3. 已知c bx x x f +-=2)(,对任意的实数x 均有)1()1(x f x f +=-, 且3)0(=f ,试比较)2(bf 和)2(cf 的大小.撰稿：熊秋艳 审稿：宋庆参考答案【思考引导】 二、变题目1．D 2．D 3．D 4．C 5. （1）0.80.755> （2） 134411()()33--<（3）540.80.8< （4） 1.51.42.113()33-<< 6. (0,1) 【拓展引导】 1.(1,2) 2. 78x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭3. 解:(1)(1)f x f x -=+, ()f x ∴的对称轴是1,22bx b ==∴= (0)3f =, 3c ∴=. 2322228,b c ====4，[]()48(4)(8)f x f f <在区间，单调递增，则即)2(b f <)2(cf。
高中数学《指数函数》导学案导学课件 北师大版必修1
问题3 函数y=ax(a>0且a≠1)中,当a>1和0<a<1时,a的取值对 函数图像的影响有:当a>1时,底数越大,图像 上升 得越 快,在y轴的 右 侧,图像越靠近y轴;当0<a<1时,底数越小 ,图像 下降 得越快,在y轴的 左 侧,图像越靠近y轴.
问题4 指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图像与主要性质:
0.8-0.2;
②3.52.5 < 3.53.2.
【解析】①对于指数函数y=0.8x,在定义域R上是减函数, 又因为-0.1>-0.2,所以0.8-0.1<0.8-0.2.
②对于指数函数y=3.5x,在定义域R上是增函数, 又∵2.5<3.2,∴3.52.5<3.53.2.
指数函数的应用
设函数 f(x)= 4x .
函数值不存在. ③若 a=1,y=1x=1,是一个常量,没有研究的意义,只有
满足 y=ax(a>0,且 a≠1)的形式才能称为指数函数,a 为常
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数,像 y=2-3x,y=������������,y=xx,y=3x+5,y=3x+1 等等,不符合 y=ax(a>0 且 a≠1)的形式,所以不是指数函数.
富兰克林的遗嘱
美国著名的科学家本杰明·富兰克林一生为科学和民主 革命而工作,他死后留下的财产并不可观,大概只有一千英镑 ,令人惊讶的是,他竟留了一份分配几百万英镑财产的遗嘱! 这份有趣的遗嘱是这样写的:“……一千英镑赠给波士顿的 居民,如果他们接受了这一千英镑,那么这笔钱应该托付给一 些挑选出来的公民,他们得把这钱按每年5%的利率借给一些
第3课时 指数函数
1.了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念 和意义.
人教A版高中数学必修一全册导学案指数函数(1)
2.2.2指数函数(1)【自学目标】1. 掌握指数函数的概念、图象和性质；2. 能借助于计算机画指数函数的图象；3. 能由指数函数图象归纳出指数函数的性质。
【知识描述】1．指数函数的定义。
【预习自测】例1．下列函数中是指数函数的是 。
⑴2x y =； ⑵x 3y =；⑶x 4y -=； ⑷x )4(y -=； ⑸x x y =； ⑹x e y =； ⑺1x 3y -=； ⑻x )1a 2(y -=（21a >，1a ≠）例2．已知指数函数)x (f y =的图象经过点（1，π），求下列各个函数值：⑴)0(f ； ⑵)1(f ； ⑶)(f π。
例3．比较大小：⑴5.27.1和37.1； ⑵1.08.0-与2.025.1； ⑶3.07.1与1.39.0。
例4．作出下列函数的图象，并说明它们之间的关系：⑴x 3y =； ⑵1x 3y -=； ⑶1x 3y +=。
【课堂练习】1．在下列六个函数中： ①x a y 2=；②2+=x a y ；③3+=x a y ；④x a y =；⑤x a y )(-=；⑥x ay )1(=。
若0a >，且1a ≠，则其中是指数函数的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 2．函数323+=-x y 恒过定点 。
3．函数x ay )1(=和)1,0(≠>=a a a y x 的图象关于 对称。
4．已知函数x a y =（0a >，1a ≠）在[0，1]上的最大和最小值之和是3，求实数a 的值。
5．设4323)5.0(2--≤x x ，求x 的取值范围。
【归纳反思】1．要根据指数函数的图象特征来熟记和研究指数函数的性质，并根据需要，对底数a 分两种情况加以讨论，体会其中的数形结合和分类讨论思想；2．注意图象的的平移变换的方法和规律，并能正确地运用这一方法和规律解有关函数图象的问题，加深对指数函数的图象和性质的认识和理解。
【巩固提高】1．若集合}R x ,2y |y {A x ∈==，}R x ,x y |y {B 2∈==，则 （ ） A ．A B B ．B A ⊆ C ．B A D ．B A = 2．已知1b ,1a 0-<<<，则函数b a y x +=的图象不经过（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．图中曲线4321,,,C C C C 分别是指数函数x x x x d y c y b y a y ====,,,的图象，则d c b a ,,,与1的大小关系是（ ） A ．d c b a <<<<1 B ．c d b a <<<<1 C ．d c a b <<<<1 D ．c d a b <<<<14．已知0a >，且1a ≠，1a a 3a M ++=，1a a 2a N ++=，则（ ）A ．N M >B ．N M =C ．N M <D ．M 、N 大小关系不确定 5．函数xy -=)41(的值域是 ；6．若指数函数x a y )1(2-=在R 上是减函数，则a 的取值范围是 。
高中数学人教A版必修1高中数学必修一2.1.2《指数函数及其性质》导学案
优质资料---欢迎下载指数函数及其性质（导学案）一、学习目标1. 了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系2. 理解指数函数的概念和意义3. 能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质（重点单调性）教学重点：指数函数的概念的产生过程教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质过程与方法：理解指数函数，能利用指数函数图像和性质比较两个值的大小，利用指数函数的图象，清晰地分析题目，培养数型结合与分类讨论的数学思想.情感态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型二、教学过程：（一）引入1、单位长为1的木棍，每次截取一半，截取x次后，得到的木棍长度y与次数x之间的函数关系是。
2、某种细胞分裂时,第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，······如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与分裂次数x的函数关系是。
思考：上面两个函数关系式有什么共同特征？（二）指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（说明：a是底数，自变量x在幂指数的位置且是单个x）探究1：为什么要规定a>0,且a≠1呢？①若a<0，②若a=0③若a=1为了避免上述各种情况，所以规定a>0且a≠1在规定以后，对于任何x∈R，xa都有意义，且x a>0. 因此指数函数的定义域是R，值域是(0,+∞).探究2：函数x a y ⋅=2，1+=x a y ,1+=x a y 是指数函数吗？ (1)指数函数的解析式y=x a 中，x a 的系数是 (2)自变量x 必须在（三）尝试练习（你一定能完成好！） 1.判断下列函数哪些是指数函数xx xxx x x x x y y a a a y x y y y y y x y y 224)10(2)9();121()12()8(;)7(;4)6(;)5(;)4()4(;4)3(;)2(;4)1(2ππ==≠>-====-=-===且2.若函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值例题示范：已知指数函数()x f x a =（a>0且1a ≠）的图象经过点（3,π）求(0)f ，(1)f ，(3)f -的值（四）指数函数x y a =（a>0且1a ≠）的图象和性质1. 用列表法在坐标系中分别作出函数y=x2，y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛21的图象.y= x2 y=x⎪⎭⎫ ⎝⎛212、指数函数x y a=（a>0且1a ≠）的图象和性质：1a >01a <<图 象定义域值域定点 单调性函数值的范围3、达标练习：指数函数单调性应用（相信你有能力完成好！）当x ＞0时， y当x ＜0时， y当x ＞0时， y当x ＜0时， y1.（P 56例7）比较下列各题中的个值的大小（1）1.72.5 与1.73 （2）0.10.8-与0.20.8-（3）1.70.3 与0.93.1 43)5.0(2)4(-与的取值范围求已知x a a a x x ),1(.275>>+-的取值范围求且：已知变式x a a a a x x),10(175≠>>+-的取值范围为常数，求其中已知变式x a a a a a x x 7252)2()2(.2+-++>++思考题：讨论函数的单调性xx y 22)31(-=（六）总结：（自我总结，你一定会有很大的提高）本节课收获了哪些?（七）作业：P59习题2.1 A组第5、7、8题课后记：。
苏教版数学高一《指数函数》同步导学案
（1）求 的值，使函数 为奇函数
（2）试证明：对于任意 在 为增函数；
分析：此题虽形式较为复杂，但应严格按照单调性、奇偶性的定义进行证明。
（1）∵ ，
由 是奇函数，∴
即 ，∴ .
（2）证明：设 ，则
，
由于指数函数 在 上是增函数，且 ，所以 即 ，
又由 ，得 ， ，
所以， 即 ．
因为此结论与 取值无关，所以对于 取任意实数， 在 为增函数.
（1）已知 ，求实数 的取值范围；（2）已知 ，求实数 的取值范围.
分析：利用指数函数的单调性.
【解】（1） 在 上是增函数，
由 得 ，即实数 的取值范围是 .
（2） 在 上是减函数，
又 ，
由 得 ，即实数 的取值范围是 .
点评:通过函数值的大小关系来寻找出自变量的大小是单调性运用的又一常用方法.
例3：设 是实数，
例4:求函数 的定义域、值域、单调区间．
分析：原函数由函数 与 复合而成，求解时要统筹考虑．
【解】设 ，则 ，由于它们的定义域都是 ，所以函数 的定义域为 ．
因为 ，
所以 ，又 ，
函数 的值域为 ．
函数 在 是增函数，而 在 上是减函数，
所以设 ，则 ，
从而 ，即 ，
函数 在 是增函数，
同理：函数 在 是减函数，函数 的增区间 ，
分析：利用指数函数的单调性．
【解】（1）考虑指数函数 ， ，
在 上是增函数，
∴ ．
（2）考虑指数函数 ， ，
在 上是减函数，
∴ ．
（3） 在 上是增函数， 在 上是减函数，
∴ ，
∴ ．
点评:当底数相同的两个幂比较大小时，要考虑指数函数；当底数不相同的两个幂比较大小时，要寻找第三个值来与之比较．
苏教版数学高一《指数函数》精品导学案
体积
…
…
(1)设想城市垃圾的体积每三年继续加倍,问 年信息,你估计 年前垃圾的体积是多少?
(3)如果 ,这时的 表示什么信息?
(4)写出 与 的函数关系式,并画出函数图象(横轴取 轴);
(5)曲线可能与横轴相交吗?为什么?
【课堂小结】：
【课后反思】：
【迁移应用】
1.（1）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件 个,计划从今年开始的 年内,每年生产此种规格电子元件的产量比上一年增长 ,则此种规格电子元件的年产量 随年数 变化的函数关系式为
_______________
（2）一电子元件厂去年生产某种规格的电子元件的成本是 元/个,计划从今年开始的 年内,每年生产此种规格电子元件的单件成本比上一年下降 ,则此种规格电子元件的单件成本 随年数 变化的函数关系式是
表示.
【互动探究】
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年，这种物质剩留的质量是原来的84%．写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式．
例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为 元，每期利率为 ，设存期是 ，本利和（本金加上利息）为 元．（1）写出本利和 随存期 变化的函数关系式；（2）如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和．
____________________________________．
2. 年 月 日,美国某城市的日报以醒目标题刊登了一条消息:”市政委员会今天宣布:本市垃圾的体积达到 ”,副标题是:”垃圾的体积每三年增加一倍”.如果把三年作为垃圾体积加倍的周期,请你完成下面关于垃圾体积 与垃圾体积的加倍的周期( 年)数 的关系的表格,并回答下列问题:
分析：复利要把本利和作为本金来计算下一年的利息．
高中数学 指数函数(1)导学案 苏教版必修1
<(0.5)
3 x 2 4
,则 x 的取值范围是
a b
6、 若 a、b 为不相等的正数，则 a b 7、 函数 f(x)=a
x 2 2 x 3
a b (填“>、<、 、
b a
、=”)
+m(a>1)恒过点（1，10） ，则 m=
8、 已知 a>0,x=
1 1 n n (a — a n )，求（xห้องสมุดไป่ตู้ 1 x 2 ） 的值. 2
1
学后反思 ______________________________________________________________________________
2 3
2 x 1
1 的定义域为 27
x
=4，那么 x 等于（ ）2.函数 f(x)=(1+a ) a
x
2
（a>0 且 a 1）
(
)
A 是奇函数但不是偶函数 B 是偶函数但不是奇函数 C 既不是奇函数又不是偶函数 D 既是奇函数又是偶函数 2、 若 -1<x<0, 则下列不等式中成立的是（ ） A、5
① 定义：函数 ② 函数图像： 2) 指数函数以 称为指数函数， 为渐近线(当 0 a 1 时，图象向 对称. 无限接近 x 轴，当 a 1 时图象向 无限接近 x
x x 轴)；3)函数 y a 与y a 的图象关于
③ 函数值的变化特征： 姓名
y a x (a 0且a 1) 的图象和性质
师生共用导学案
年级： 高一 学科： 数学 执笔： 焦玉杰 审核： 薛明坤 课时及内容： 指数函数（1） 课型：新授课 使用时间： 10.10.24 学习目标: 1。掌握指数函数的概念。 2．掌握指数函数的图像和性质。 学习重点：指数函数图像和性质的应用。 学习难点：指数函数图像和性质的应用。 一：课前准备:
指数函数的概念 导学案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
4.2.1指数函数的概念[知识目标]1.通过实际问题了解指数函数的实际背景:2.理解指数函数的概念和意义。
[核心素养]1.数学抽象:指数函数的概念:2.逻辑推理:用待定系数法求函数解析式及解析值:3.数学运算:利用指数函数的概念求参数:4.数学建模:通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.[重点难点]重点:理解指数函数的概念和意义:难点:理解指数函数的概念.[学习过程]一、预习导入引例,当生物死亡后，机体内原有的碳14含量每年会按照确定的比率p衰减(称为衰减率)，大约经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为半衰期.按照上述变化规律，生物体内碳14含量y与死亡年数x之间有怎样的关系?分析:如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位,那么死亡1年后，生物体内碳14含量为________死亡2年后，生物体内碳14含量为死亡3年后，生物体内碳14含量为死亡x年后，生物体内碳14含量y=由于碳14半衰期是5730年，所以当x=5730时，y=12该表达式即为，解得p=生物体内碳14含量y与死亡年数x之间的关系式比如:生物死亡10000年后，它体内碳14含量y= ≈0.3如果用字母a代替上述两式中的底数，那么就可以表示为:f(x)=a x1.指数函数的定义一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.2. 指数函数解析式的3个特征(1)底数a为大于0且不等于1的常数.(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)a x的系数是1.3.指数函数和幂函数的区别:[自主探究]题型一 判断一个函数是否为指数函数例1判断下列函数是否为指数函数(1)y=2x+2 (2)y=(-2)x (3)y=-2x (4)y=πx例2 函数y= (a-2)a x 是指数函数,则( )A.a=1或a=3B.a=1C.a=3D.a>0且a ≠1跟踪训练一1.判断下列函数是否为指数函数(1)y=x 2 (2)y=4x2 (3)y=x x (4)y=(a-1)x (a>1,且a ≠2)2.已知函数f(x)=(a 2+a-5)a x 是指数函数.则a=题型二 指数函数的概念例1(1)已指数函数f(x) =a x (a>6且a ≠1)的图象过点(3，π)，求f(0)，f(1), f(-3)的值.(2)已知函数 y=(a 2-3a+3)a x 是指数函数,求a 的值.跟踪训练二1.已知指数函图像经过点P(-1，3)，则f(3)=2.已知函数f(x)=（a 2-2a+2)(a+1)x 为指数函数,则a=3.已知函数f(x)=a x +b (a>0,且a ≠1),其图象像经过点(-1，5)，(0，4),则f(-2)的值为[当堂检测]1.下列函数中，指数函数的个数为（ ）(1)y=(12)x−1 (2)y=a x (a>0，且a ≠1) (3)y=1x (4) y=(12)2x−1 A.0个B.1个C.3个D.4个2.已知函数f(x)是指数函数，且f(-32)=√525，则f(x)=3.若函数 y=(a ²-4a+4)a x 是指数函数,则a 的值是（ ）A.4B.1或3C.3D.14.若点(a ，27)在函数y=(√3)x 的图象上,则√a 的值为（ ）A.√6B.1C.2√2D.05.若指数函数f(x)=a x 的图象经过点(32，8)则底数a 的值是（ ） A.2 B.4 C.12 D.146.函数f(x)=3√x−1的定义域为7.在某个时期,某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长,那么经过10天,该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍?(参考数据:1.062510=1.834)8.某城市房价(均价)经过6年时间从1200元/m 2增加到了4 800元/m 2,则这6年间平均每年的增长率是9.函数f(x)=(a 2-2a+1)(a+1)x 为指数函数,则a=10.据报道,某湖的水量在最近50年内减少了10%,如果按此规律,设2019年的湖水量为m,写出从2019年起经过x 年后湖水量y 与x 之间的函数解析式11.下列各函数中,定义域为R 的函数是（ ）A.y=x 3B.y=5x+1C.y=51x 2+1 D.y=51x12.己知指数函数f(x)的图象过点(12，√22)则f(x)= ，[f(2)]2的值为13.已知f(x)=2x +2-x ，若f(a)=4，则f(2a) =14.按复利计算利率的储蓄，存入银行2万元，如果年息3％，本利和为人民币（ ）A.2(1+0.3)5万元B.2(1+0. 3)5万元C.2(1+0.3)4万元D.2(1+0.03)4万元。
指数函数导学案(自用经典必下)
指数函数导学案班级： 姓名 学号学习任务：（1）了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；（3）理解指数函数的的概念和意义，能画出指数函数的图像，探索并理解指数函数的单调性和特殊点； （2）在学习的过程中体会研究指数函数及其性质的过程和方法，如具体到一般的过程、数形结合的方法等。
学习过程：知识回顾：指数函数的概念：一般地，函数_____________________叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R .练一练：判断下列函数是不是指数函数，为什么？（1）x y 4= （2）4x y = （3）xy 4-= （4）14+=x y合作探究一：指数函数的图像1、 在同一直角坐标系中用描点法画出函数xy 2=与xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图像列表：2xy =1()2x y =描点、连线：合作探究二：指数函数x a y =的性质3、你能根据指数函数的图像的特征归纳出指数函数的性质吗？请完成下面表格：9 1 2 3 4 5 6 7 0 8 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 xy4．指数函数的应用1 已知指数函数()xx f 5= ，求()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,2,2,0f f f f 的值。
2 比较下列各组数的大小（1）1.72.5 ，1.73 （2）1.70.2 ，0.94（3） 5287,78⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-小结 比较指数幂大小的方法：单调性法：利用函数的单调性，数的特征是底同指不同（包括可以化为同底的）。
中间值法：找一个中间值如“1”来过渡，数的特征是底不同指不同。
练一练 2：比较下列个组数的大小5.03.02.1,2.1258.0,8.0()222,21--⎪⎭⎫ ⎝⎛5432,32⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-\\3若函数是指数函数，则a 的值为多少？4已知y =f (x )是指数函数，且f (2)=4,求函数y =f (x )的解析式5已知函数)(212)(R x a x f x∈+-=是奇函数，求实数a 的值.6若指数函数xa y )12(-=是减函数，则a 的范围是多少？7已知函数)(x f 的定义域是（0,1），那么)2(xf 的定义域是多少？252.1,8.04.035.2,7.2-。
高中数学 指数函数(2)导学案 苏教版必修1
四：巩固提高 1.将函数 y ( ) 图象的左移 2 个单位，再下移 1 个单位所得函数的解析式是
2x
1 3
；
2．函数 y a x2 1 (a 0, a 1) 的图象过定点
．
3.已知 y f ( x) 是定义在 R 上的奇函数，且 x 0 时， f ( x) 1 2 x . （1）求函数 f ( x ) 的解析式； （２）画出函数 f ( x ) 的图象； （３）写出函数 f ( x ) 单调区间及值域； （４） 求使 f ( x) a 恒成立的实数 a 的取值范围．
例 1 当 a＞1 时，判断函数 y=
ax 1 是奇函数. ax 1
例 2 求函数 y=（ 班级
1 x 2 2 x ） 的单调区间。 2
例 3.说明下列函数的图象与指数函数 y 2 的图象的关系，并画出它们的示意图：
x
（1） y 2
x 1
；
（2） y 2
x 2
．
三：当堂检测 1 求函数 y=（
1 复合函数 y=f［g（x） ］是由函数 u=g（x）和 y=f（u）构成的，函数 u=g（x）的值域应是函数 y=f（u） 的定义域的子集.在复合函数 y=f［g（x） ］中，x 是自变量，u 是中间变量.当 u=g（x）和 y=f（u）在给定 区间上增减性相同时，复合函数 y=f［g（x） ］是增函数；增减性相反时，y=f［g（x） ］是减函数. 2 函数的奇偶性定义： 1） ．偶函数 一般地，对于函数 f ( x ) 的定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那么 f ( x ) 就叫做偶 姓名 函数． （学生活动）依照偶函数的定义给出奇函数的定义． 2） ．奇函数 一般地，对于函数 f ( x ) 的定义域的任意一个 x ，都有 f ( x) f ( x) ，那么 f ( x ) 就叫做奇 函数．注意： ①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x ，则 x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） ． 3） ．具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 小组 二：课堂活动
4.1.3指数函数 导学案
课题：指数函数（ ）月（ ）日编者:张建涛 审稿人： 星期 授课类型：新授课 1、学习目标： （1）掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用。
（2）培养学生用数形结合的方法解决问题的能力。
2、重点难点：指数函数的图象与性质、指数函数的图象性质与底数a 的关系。
3、教学方法：讲练结合，小组合作。
课堂内容展示【预备知识】1.=-na 2. =nm a 3. =-nm a一、自学指导：结合下列问题，请你用5分钟的时间独立阅读课本P100—P102页。
1.指数函数的定义 注意： （1）a 前系数必须为 （2）α的范围是 （3）x 的范围是2.指数函数的图象与性质： a ＞1 0＜a ＜1 图 象 定义域 值域 定点单调性 函数 函数 x ≥0时， ； x ＜0时， 。
x ≥0时， ；x ＜0时， 。
总结：函数x y a =与(0,1,)xy a a a x R -=>≠∈ 的图象关于 轴对称。
3、为什么要规定0,a >且1a ≠呢？ 规律总结若0a =，则当0x >时，xa = 。
当0x ≤时，xa 。
若0a <，则对于x 的某些数值，可使xa 无意义，如12(2)2-=-= 。
若1a =，则对于任何,x x R a ∈= ，是一个常量，没有研究的必要性。
【小组讨论】请大家用3分钟的时间交流以上问题的答案。
二、自学检测：（10分钟） 1． 下列函数属于指数函数的是A. 2y x = B. 13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭C. 13xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ D. 3y =2. 写出下列函数的定义域：（1）13;xy = （2）3 1.x y =-3.利用指数函数的单调性，比较下列各题中两个值的大小： （1）0.83和0.73； （2）0.10.75-和0.10.753． 在同一坐标系中画出3xy =和13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭的函数图象。
4.已知函数()2,xf x =计算(0)(1),(2)(1).f f f f ---y ＝1 x y(0,1) Oy ＝1 x y (0,1) O四、当堂检测（15分钟）1、下列函数中属于指数函数的是 。
高中数学必修一：3.1.2 指数函数(一) 导学案
3.1.2 指数函数(一)一、【学习目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.2.掌握指数函数图象的性质.3.会应用指数函数的性质求复合函数的定义域、值域．二、【自学要点】1 指数函数的定义:______________________________________________________________2 指数函数的图象和性质三、【尝试完成】判断下列各题的正误：1．y＝x x(x>0)是指数函数．( )2．y＝a x＋2(a>0且a≠1)是指数函数．( )3．因为a0＝1(a>0且a≠1)，所以y＝a x恒过点(0,1)．( )4．y＝a x(a>0且a≠1)的最小值为0.( )四、【合作探究】1．已知指数函数f(x)的图象过点(3，π)，求函数f(x)的解析式．2. 求下列函数的定义域、值域．(1)y ＝3x 1＋3x ；(2)y ＝4x －2x ＋1. 3. 求函数y ＝ 32x －1－19的定义域、值域．4. 试画出y ＝2x＋1的图象，指出它与y ＝2x 的图象的关系．5. 若直线y ＝2a 与函数y ＝|2x －1|的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．五、【当堂巩固】1．已知指数函数y ＝(2b －3)a x 经过点(1,2)，求a ，b 的值．2．求下列函数的定义域、值域．(1)y (2)y ＝a x －1a x ＋1(a >0，且a ≠1)．3．求下列函数的定义域、值域．(1)y ＝110.3x -；(2)y ＝4. 已知函数f (x )＝4＋a x ＋1的图象经过定点P ，则点P 的坐标是________．5. 试画出函数y ＝a |x |(a >1)的图象．六、【课堂小结】：七、【教学反思】：。
指数函数及其性质导学案
2.1.2 指数函数及其性质（学案）（第1课时）【知识要点】 1.指数函数；2.指数函数的图象；3.指数函数的单调性与特殊点 【学习要求】1.理解指数函数的概念与意义；2.能借助计算器或计算机画出具体的指数函数的图象，并理解指数函数的单调性与特殊点；【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy 073.1=与xy )21(=的特点是 .（2）一般地，函数xa y =（ ）叫做指数函数，其中 是自变量，函数的定义域是 . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象xx y 2=x y )21(=图象x y 2=x y )21(=2-5.1-1- 5.0- 05.01 5.12（2）两个图象的关系函数xy 2=与xy )21(=的图象，都经过定点 ，它们的图象关于 对称.通过图象的上升和下降可以看出， 是定义域上的增函数， 是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数（1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）xy π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x 且. 2.作出xy 3=的图象.3.求下列函数的定义域及值域： （1）3-=x a y ； （2）xxy 223-=；（3）11)21(-=x y4.下列关系中正确的是（ ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.1.函数bx aa a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a （C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与xx g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞ 3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ ）. （A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （D ）Φ=B A I5.函数 xa x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ ）. （A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a 6. 函数13-=-xy 的定义域和值域分别为 . 7.函数)10(2≠>=-a a ay x 且的图象必经过点 .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由.（2）已知2b a =且1>b ，比较aa -与bb2-的大小.10.已知函数b ax f x+=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(.（1）求)(x f 的解析式； （2）画函数)(x f y =的图象；1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？2.1.2 指数函数及其性质（教案）（第1课时）【教学目标】1.使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系.2.理解指数函数的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性和特殊点.3.在学习的过程中体会研究具体函数及其性质的过程和方法，如具体到一般过程、数形结合的方法等.【重点】指数函数的概念和性质.【难点】用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第 54 页～第57页）1.指数函数的概念（1）函数xy 073.1=与xy )21(=的特点是 解析式都可以表示为xa y = 的形式 . （2）一般地，函数xa y =（1,0≠>a a 且）叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R . 2.指数函数的图象与性质 （1）列表、描点、作图象xx y 2=x y )21(=图象x y 2=x y )21(=2- 25.0 4 1- 5.02 5.0- 70711.0 414.1 0 115.0 414.1 70711.0 1 2 5.02 4 25.0（2）两个图象的关系函数xy 2=与xy )21(=的图象，都经过定点 )1,0( ，它们的图象关于y 轴 对称.通过图象的上升和下降可以看出， xy 2=是定义域上的增函数，xy )21(=是定义域上的减函数.（3）类比以上函数的图像，总结函数性质，填写下列表格：10<<a 1>a图象定义域 RR值域 ),0(+∞),0(+∞性质 过定点)1,0(，即0=x 时，1=y在R 上时减函数在R 上时增函数【基础练习】1.指出下列哪些是指数函数 （1）x y 4=；（2）4x y =；（3）x y 4-=；（4）xy )4(-=；（5）x y π=；（6）24x y =；（7）xx y =；（8）)121()12(≠>-=a a a y x且. 解：是指数函数的有（1），（4），（5），（8）. 2.作出xy 3=的图象.解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥==-0,30,33x x y x x x，如图：3.求下列函数的定义域： （1）3-=x ay ； （2）xx y 223-=； （3）11)21(-=x y解：（1）要使式子有意义，则需要03≥-x ，即3≥x ，定义域为),3[+∞. （2）要使式子有意义，则需要x x 22-为实数，因此，定义域为R .（3）要使式子有意义，则需要11-x 有意义，定义域为{}1≠x x . 4.下列关系中正确的是（ D ）.（A ）313232)21()51()21(<< （B ）323231)51()21()21(<<（C ）323132)21()21()51(<< （D ）313232)21()21()51(<<【典型例题】例1 已知指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x且的图象经过点),3(π，求)0(f ，)1(f ，)3(-f 的值.【审题要津】结合以前学过的求函数解析式的方法，本题中只要求出参数a 就可以了.解：因为xa x f =)(得图象经过点),3(π，所以π=)3(f ，即π=3a解得31π=a ，于是3)(x x f π=. 所以，1)0(0==πf ，331)1(ππ==f ，ππ1)3(1==--f .【方法总结】从方程思想来看，求指数函数就是确定底数，即只需要列一个方程即可.向学生渗透方程的思想.例2 比较下列各题中两个值的大小： （1）5.27.1，37.1； （2）1.08.0-，2.08.0-；（3）3.07.1，1.39.0.【审题要津】（1），（2）利用指数函数单调性，（3）要构造中间数 解：（1）5.27.1，37.1可看作函数xy 7.1=的两个函数值.由于底数17.1>，所以指数函数xy 7.1=在R 上是增函数.因为35.2<，所以35.27.17.1<.（2）2.01.08.0,8.0--可看作函数x y 8.0=的两个函数值.由于底数18.00<<，所以指数函数x y 8.0=在R 上是减函数.因为2.01.0->-，所以2.01.08.08.0--<. （1） 由指数函数的性质知 17.17.103.0=> 19.09.001.3=<所以1.33.09.07.1>.【方法总结】比较幂值的大小常常华化为同底数的幂，利用指数函数的单调性比较大小，或者借助幂值的范围利用中间数值过渡，常用的数值可能是0或1±.根据具体情况也可能是其他数值.1.函数b x a a a y +•+-=)33(2是指数函数，则有（ C ）.（A ）1=a 或R ,2∈=b a （B ）0,1==b a（C ）0,2==b a （D ）0,10=≠>b a a 且2.若函数)(x f 与x x g )21()(=得图象关于y 轴对称，则满足1)(>x f 的x 的取值范围是（ C ）.（A ）R （B ）)0,(-∞ （C ）),0(+∞ （D ）),1(+∞3.函数1222-+-=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）}22{≤≤-x x （B ）}21{≤≤x x （C ）}1{≥x x （D ）R 4.若集合R},2{∈==x y y A x ，R},{2∈==x x y y B ，则（ A ）.（A ）B A ⊆ （B ）B A ≠⊃ （C ）B A = （ D ）Φ=B A I 5.函数 x a x f )1()(+=是R 上的减函数，则a 的取值范围是（ B ）.（A ）0<a （B ）01<<-a （C ）10<<a （D ）1-<a6.当]1,1[-∈x 时，函数x x f 3)(=的值域是 ]3,31[ . 7.函数)10(2≠>=-a a a y x 且的图象必经过点 )1,2( .8.某厂从今年起每年计划增产%8，则经过5年，产量能达到现在的 47.1 倍（精确到01.0）.9.（1）比较21)54(与31)109(的大小并说明理由. （2）已知2b a =且1>b ，比较a a-与b b 2-的大小. 解：（1）Θ21)54(与31)109(底数不同，指数也不同， ∴应插入一个中间量进行比较.根据两个数的特征应插入31)54(或21)109(. x y =Θ在+∞,0(）上是增函数 ∴2121)109()54(<，又3121.11090><<，x y )109(=是减函数， 3121)109()109(<∴ 3131)109()54(<∴ （2）2b a =Θ∴只需比较22b b -与b b 2-的大小b b b >∴>2,1Θ，即b b 222-<-又x b y =是增函数，b b b b222--<∴，即b a b a 2--< 10.已知函数b a x f x +=2)(的图象过点)3,21(和)2,0(. (1) 求)(x f 的解析式；(2)画函数)(x f y =的图象；解：（1）由题意知：21)0(,3)21(=+==+=b f b a f ， 解得：⎩⎨⎧==12b a 1412)(2+=+=∴x x x f（2）1.用清水漂洗衣服，若每次能洗去污垢的43，写出存留污垢y 与漂洗次数x 的函数关系式，若要使存留污垢不超过原来的%1，则至少要漂洗几次？解：设未漂洗时衣服上的污垢量为)0(>a a ,经过x 次漂洗后，存留污垢量为y ，则 经过第一次漂洗，41)431(•=-=a a y ， 经过第二次漂洗，2)41()431(41•=-••=a a y …… ……经过第x 次漂洗，x a a y )41(......4141•=••= 若使存留污垢不超过原来的%1，即%1•≤a y ，%1)41(•≤•a a x 1004≥x434256100644=<<=Θ4≥∴x至少要漂洗4次，存留污垢才不会超过原来的%1.。
高中数学 《第19课时-指数函数(4)》导学案 新人教B版
第十九课时 指数函数(4)【学习导航】学习要求：1、巩固指数函数的图象及其性质；2、掌握由指数函数和其他简单函数组成的复合函数性质； 【精典范例】一、 复合函数的定义域与值域例1、求下列函数的定义域与值域。
(1)y=11210-+x x ；(2)y=22)21(x x -；(3)y=91312--x 思维分析：y=a )(x f 的定义域是f(x)的定义域；对于值域，要先求出f(x) 值域再利用指数函数单调性求解。
【解】：（1）令0112≥-+x x ，得011≥+-x x 。
解得x ≥1，或x<－1。
故定义域为 {x │x ≥1，或x<－1}。
由于0112≥-+x x ，且212≠+x x，所以 0112≥-+x x， 1112≠-+x x故函数y=11210-+x x的值域为{y │y ,1≥且y 10≠};(2) 定义域为R ；由于2x －x 2=－(x －1)2+11≤,所以值域为[),21+∞。
（3）令309112≥--x ，所以x 21-≥.所以定义域为[－),21+∞，值域为[),0+∞。
二、利用复合函数单调性来解题例2、求函数y=xx 22)21(+-的单调区间。
【解】： 定义域是R 。
令x x u 22+-=，则u y )21(=。
当]1,(-∞∈x 时函数x x u 22+-=为增函数，u y )21(=是减函数，所以函数y=x x 22)21(+-在]1,(-∞上是减函数；当),1[+∞∈x 时函数x x u 22+-=为减函数，u y )21(=是减函数，所以函数y=x x 22)21(+-在上),1[+∞是增函数。
综上，函数y=xx 22)21(+-的单调增区间是),1[+∞，单调减区间是]1,(-∞。
点评：y=a)(x f 的单调性由a u 和u=f(x)两函数在相应区间上单调性确定的，遵循“同增异减”法则。
三、利用图象的性质比较大小例3、已知函数f(x)=a x (a>0，且a≠1)，根据图象判断21[f(x 1)+f(x 2)]与f(221x x +)的大小，并加以证明。
《2.1指数函数》导学案
《2.1指数函数》导学案【入门向导】指数函数图象诗歌鉴赏多个图象像束花，(0，1)这点把它扎． 撇增捺减无例外，底互倒时纵轴夹． x ＝1为判底线，交点y 标看小大． 重视数形结合法，横轴上面图象察．此诗每行字数相等，且押韵，读起来倍感顺口，内容简洁明了，使读者在无形之中把指数函数图象的特点牢记于心．如图所示的就是上面举的指数函数的图象．不难看出，它们就像一束花．每个指数函数的图象都经过(0，1)这点，所以说“(0，1)这点把它扎”就顺理成章了．对于指数函数的图象来说，“撇增捺减”就绝对是事实．当a >1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是上升的，类似于汉字中的撇，这时，指数函数y ＝a x是增函数；当0<a <1时，从左往右看指数函数y ＝a x 的图象是下降的，类似于汉字的捺，这时，指数函数y ＝a x是减函数．由y ＝2x和y ＝(12)x的图象，可以看出它们是关于y 轴对称的．而底数2与12是倒数，所以自然而然地得到“底互倒时纵轴夹”，这也可以从y ＝3x和y ＝(13)x的图象中得到充分的体现．重点、难点、易考点 解读指数函数图象的应用一、要点扫描学习指数函数要记住图象，理解图象，由图象能说出它的性质．关键在于弄清楚底数a 对于函数值变化的影响，对于a >1与0<a <1时函数值变化的情况不同，不能混淆，为此必须利用图象，数形结合．二、指数函数的图象及性质图三、图象应用 1．比较大小例1 若a <0，则2a，(12)a ，0.2a的大小顺序是________．解析 分别作出函数y ＝2x，y ＝(12)x 和y ＝0.2x的图象，如图所示，从图象可以看出，当a <0时，有0.2a>(12)a >2a .答案 0.2a>(12)a >2a点评 本题涉及三个指数函数图象，因此在作图时，一定要抓住图象的特征点(0，1)或特征线y ＝1及指数函数图象的走向正确作图：当a >1时，底数a 越大图象越陡；当0<a <1时，底数a 越小图象越陡．2．求解方程根的问题例2 确定方程2x＝－x 2＋2的根的个数．解 根据方程的两端分别设函数f (x )＝2x ，g (x )＝－x 2＋2.在同一坐标系中画出函数f (x )＝2x 与g (x )＝－x 2＋2的图象，如图所示．由图可以发现，二者仅有两个交点，所以方程2x ＝－x 2＋2的根的个数为2.点评 利用指数函数的图象确定方程的根的关键是要正确作出方程两端对应的函数的图象，遇到含有参数的方程时，还要注意分类讨论．3．求解参数问题例3 若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|＋1(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则a 的取值范围是________．解析 当a >1时，通过平移变换和翻折变换可得如图1所示的图象，则由图可知1<2a <2， 即12<a <1与a >1矛盾．当0<a <1时，同样通过平移变换和翻折变换可得如图2所示的图象， 则由图可知1<2a <2， 即12<a <1，即为所求． 答案 12<a <1点评 (1)解答此题时要注意底数的不确定性，因此作图时要注意讨论；(2)根据条件确定直线y ＝2a 与函数的图象位置关系，然后由位置关系建立不等式，进而求得结果，其处理的过程体现了数形结合的思想．指数函数定义学习中的两个注意点定义：函数y ＝a x(a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数定义域是R .注意点1：为什么要规定a >0且a ≠1呢？ (1)若a ＝0，则当x >0时，a x＝0； 当x ≤0时，a x无意义．(2)若a <0，则对于x 的某些数值，可使a x无意义．如(－2)x，这时对于x ＝14，x ＝12，…在实数范围内函数值不存在．(3)若a ＝1，则对于任意x ∈R ，a x＝1是一个常量，没有研究的必要性．为了避免上述各种情况，所以规定a >0且a ≠1.在规定以后，对于任意x ∈R ，a x都有意义，且a x>0.因此指数函数的定义域是R ，值域是(0，＋∞)．注意点2：函数y ＝3·(12)x是指数函数吗？根据定义，指数函数的解析式y ＝a x 中，a x的系数是1.有些函数貌似指数函数，实际上却不是，如y ＝ax ＋k(a >0且a ≠1，k ∈Z )；有些函数看起来不像指数函数，实际上却是，如y＝a －x(a >0且a ≠1)，因为它可以化为y ＝(1a )x，其中1a >0，且1a ≠1.学习根式和分数指数幂的运算三注意有关根式和分数指数幂的运算，和我们学过的加、减、乘、除运算一样，是十分重要的，它也是我们继续学习指数函数和对数函数的基础．由于这一部分内容的概念较多，初学时很容易出错，首先要注意以下三点．(1)根式的运算中，有开方和乘方两种情况并存的情况，此时要注意两种运算的顺序是否可换．如当a ≥0时，n a m＝(n a )m ，而当a <0时，则不一定可换，应视m ，n 的情况而定．(2)分数指数幂不能对指数随意约分．(3)对分数指数幂的运算结果不能同时含有根号和分数指数，不能同时含有分母和负指数．错例分析一、有关方根的概念不清与忽视方根的性质致错分析 例4 设f (x )＝x 2－4，且0<a ≤1，求f (a ＋1a )的值．错解 f (a ＋1a )＝ a ＋1a 2－4＝ a －1a 2＝a －1a .剖析 在开方运算中忽视根式的两个重要性质： (1)当n 为奇数时，n a n ＝a ；(2)当n 为偶数时，n an＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.性质(2)在解题中是很容易被忽视的，因为此时的n 为偶数，所以不论a 取怎样的值，n a n总有意义．因此在上面的解答中应有：由0<a ≤1，得1a ≥1， 所以1a －a ≥0，从而 a ＋1a 2－4＝ a －1a 2＝|a －1a |＝1a －a .二、忽视分数指数幂的意义致错分析 例5 下列化简与计算中，正确的个数是( ) (1)(a 3)2＝a 9；(2)a 23·a 32＝a (a >0)；(3)a 610＝a 35；(4)6 －8 2＝(－8)26＝(－8)13＝－2；(5)32×6 －3 2＝32×3－3＝3－6＝－36. A ．0B ．1C ．2D ．3请同学们给出答案后根据基础知识分析致错的原因． 剖析 忽视运算性质致错：(1)应为(a 3)2＝a 6，比如，(23)2＝82≠29；(2)应为a 23·a 32＝a 23＋32＝a 136. 忽视字母的取值范围致错：(3)应为a 610＝|a 35|，比如(－2)610应是一个正数，而(－2)35却是一个负数． 在分数指数幂与根式的化简中致错：(4)显然6 －8 2应是一个正数，这里(－8)26≠(－8)13； (5)显然6 －3 2≠3－3. 故答案为A .教材中，规定了正分数指数幂的意义a m n ＝n a m (a >0，m ，n ∈N *，且mn 为既约分数)，从而指数的概念扩充到了有理数指数，继而又扩充到了实数指数．这时底数、指数的范围发生了变化，这在解题中是很容易被忽视的，由于在后面有关指数函数求定义域的问题中经常用到，这里就不再赘述．三、忽视隐含条件致错例6 化简：(1－x )[(x －1)－2(－x )12]12.错解 (1－x )[(x －1)－2(－x )12]12＝(1－x )(x －1)－1(－x )14＝－(－x )14.剖析 题目中含有(－x )12，要注意考虑－x ≥0这个前提条件，即x ≤0. 正解 由(－x )12可知－x ≥0，即x ≤0， 所以(1－x )[(x －1)－2(－x )12]12＝(1－x )(1－x )－1(－x )14＝(－x )14.点评 在指数运算过程中，一定要注意题目中隐含的一些特殊条件，只有充分挖掘这些隐含的特殊条件，才能为正确解答打下坚实的基础．初学指数函数应当心一、指数函数概念出错例7 已知指数函数y ＝a x的底数a 满足方程a 2＋a －6＝0，求该指数函数．错解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.所以该指数函数为y ＝2x 或y ＝(－3)x.剖析 在解题过程中忽视了指数函数的定义中对底数a 的限定，这个隐含条件对解题往往起到至关重要的作用．正解 由方程a 2＋a －6＝0，解得a ＝2或a ＝－3.由于指数函数y ＝a x的底数a 满足a >0且a ≠1，故取a ＝2.所以该指数函数为y ＝2x .点评 指数函数定义中的底数a 满足a >0且a ≠1这个隐含条件，在解答过程中一定要加以注意．二、指数函数值域出错例8 求函数y ＝21x －1的定义域和值域．错解要使函数y＝21x－1有意义，则x－1≠0，即x≠1.所以函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠1}．因为x≠1，即1x－1≠0，所以21x－1≠1.所以函数y＝21x－1的值域为{y|y≠1}．剖析在解题过程中忽视了指数函数的值域{y|y>0}这个隐含条件，而只是根据题目条件得出y≠1是不全面的．正解要使函数有意义，则x－1≠0，即x≠1.所以函数y＝21x－1的定义域为{x|x≠1}．因为x≠1，即1x－1≠0，所以21x－1≠1.又21x－1>0，所以函数y＝21x－1的值域为{y|y>0，且y≠1}．点评指数函数y＝a f(x)(a>0，且a≠1)的值域只能是R＋的子集，解题时一定要结合具体情况加以分析讨论．三、指数函数图象出错例9根据函数y＝|2x－1|的图象，判断当实数m为何值时，方程|2x－1|＝m无解？有一解？有两解？错解由方程|2x－1|＝m可得2x＝1±m，结合指数函数的图象(如图)可知：当2x＝1±m≤0，即m≤－1或m≥1时，方程|2x－1|＝m无解；当2x＝1±m>0，即－1<m<1时，方程|2x－1|＝m有一解；不存在实数m使方程|2x－1|＝m有两解．剖析不能充分理解函数图象的交点与方程解的关系．没有充分结合指数函数的图象的变换加以解答．可以把这个问题加以转换，将求方程|2x－1|＝m的解的个数转化为求两个函数y＝|2x－1|与y＝m的图象交点个数去理解，而不能结合运算加以分析，这样容易导致错误．正解 函数y ＝|2x －1|的图象可由指数函数y ＝2x的图象先向下平移一个单位长度，然后再作x 轴下方的部分关于x 轴的对称图形，如图所示．函数y ＝m 的图象是与x 轴平行的直线，观察两图象的关系可知：当m <0时，两函数图象没有公共点，此时方程|2x－1|＝m 无解；当m ＝0或m ≥1时，两函数图象只有一个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有一解； 当0<m <1时，两函数图象有两个公共点，此时方程|2x－1|＝m 有两解．点评 由于方程解的个数与它们对应的函数图象交点的个数是相等的，所以对于含字母方程解的个数讨论，往往用数形结合方法加以分析，准确作出相应函数的图象是正确解题的前提和关键.指数运算中的几种变形技巧常见的指数运算问题有：化简、求值、证明等，而分数指数幂的引入为这类问题的解决增加了难度，为帮助大家更好的学习，本文就这类问题的求解方法试作分析．一、逆用公式例1 已知a ＝5，b ＝311，c ＝6123，试比较a ，b ，c 的大小． 解 因为a ＝5＝653＝6125， b ＝311＝6112＝6121，c ＝6123， 而121<123<125，所以a >c >b . 即5>6123>311. 二、妙用公式变形引入负指数及分数指数幂后，平方差、立方差、完全平方公式就有了新的形式，赋予新的活力，如：a ＋b ＝(a 13＋b 13)(a 23－a 13b 13＋b 23)，a －b ＝(a 12＋b 12)(a 12－b 12)等等，运用这些公式新变形，可快速巧妙求解问题．例2 a 43－8a 13b 4b 23＋23ab ＋a 23÷(1－23ba )×3a . 解 原式＝a 13 a －8b 4b 23＋2a 13b 13＋a 23÷a 13－2b 13a 13×a 13.＝a 13{ a 13 3－[ 8b 13]3}4b 23＋2a 13b 13＋a 23×a 13a 13－2b 13×a 13＝a 13 a 13－2b 13 a 23＋2a 13b 13＋4b 23 4b 23＋2a 13b 13＋a 23·a 13a 13－2b 13·a 13＝a 13·a 13·a 13＝a . 三、整体代换在指数运算中，若进行适当的变量代换，将分数指数幂转化为整数指数幂，使指数间的关系比较明显显现出来，易于求解．例3 已知a 2－3a ＋1＝0，求a －12＋a 12的值．分析 若先求出a 的值，再代入计算很繁琐，探寻条件与结论之间的关系，分析条件，把条件转化为与结论有明显关系的式子．解 ∵a 2－3a ＋1＝0，∴a ≠0，∴a ＋1a ＝3.而(a －12＋a 12)2＝a －1＋a ＋2＝3＋2＝5， ∴a －12＋a 12＝ 5. 四、化异为同 例4 计算(3－2)2 008·(3＋2)2 009.分析 注意到两个底数3＋2与3－2互为有理化因式，且它们的指数相差不大，所以互化为同指数计算．解 原式＝(3－2)2 008·(3＋2)2 008·(3＋2)＝[(3－2)·(3＋2)]2 008·(3＋2)＝12 008·(3＋2)＝3＋ 2.五、化负为正例5 化简4x 4＋2＋41－x41－＋2.解 方法一 原式＝4x 4x ＋2＋41－x ·4x41－x ·4x ＋2·4x ＝4x 4x ＋2＋44＋2×4x ＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝4x＋24x ＋2＝1. 方法二 原式＝4x4x ＋2＋4·4－x4·4－x ＋2·4x ·4－x ＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x ＝1.点评 对于式子41－x41－x ＋2，方法一是利用分子分母同时乘4x化简，而方法二是把2写成2·4x ·4－x ，通过约分化简，两种方法都是巧用4x ·4－x ＝1实现化简的．指数函数常见题型解法探究一、指数函数的定义例6 已知指数函数f (x )的图象经过点(2，4)，试求f (－12)的值．解 设指数函数f (x )＝a x(a >0，a ≠1)，由已知得f (2)＝4，即a 2＝4(a >0，a ≠1)，所以a ＝2.故f (－12)＝2－12＝22.二、考查指数的运算性质例7 若f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝e x ＋e －x2，则f (2x )等于( ) A ．2f (x )B ．2g (x )C ．2[f (x )＋g (x )]D ．2f (x )·g (x )解析 f (2x )＝e 2x －e －2x 2＝ e x ＋e －x e x －e －x2 ＝2· e x ＋e －x e x －e －x 4＝2f (x )·g (x )． 故选D . 答案 D三、指数函数的单调性例8 设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝(12)－1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2 解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝(12)－1.5＝21.5.由于指数函数f (x )＝2x 是R 上的增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2，选D .答案 D四、定义域和值域例9 已知函数y ＝f (x )的定义域为(1，2)，则函数y ＝f (2x)的定义域为________．解析 由函数的定义，得1<2x <2⇒0<x <1. 所以应填(0，1)．答案 (0，1)五、图象过定点问题例10 已知不论a 为何正实数，y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点，则这个定点的坐标是________．解析 因为指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象恒过定点(0，1)，而函数y ＝a x ＋1－2的图象可由y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象向左平移1个单位后，再向下平移2个单位而得到，于是，定点(0，1)→(－1，1)→(－1，－1)．所以函数y ＝ax ＋1－2的图象恒过定点(－1，－1)．答案 (－1，－1)六、图象 依据：(1)指数函数y ＝a x(a >0，a ≠1)的图象；(2)函数y ＝f (x )的图象与y ＝f (x ＋a )、y ＝f (x )＋b 、y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝|f (x )|、y ＝f (|x |)的图象之间的关系．例11 利用函数f (x )＝2x 的图象，作出下列各函数的图象：(1)y ＝f (x －1)；(2)y ＝f (|x |)；(3)y ＝f (x )－1；(4)y ＝－f (x )；(5)y ＝|f (x )－1|.解 利用指数函数y ＝2x 的图象及变换作图法可作所要作的函数图象．其图象如图所示：点评 函数y ＝2|x |，y ＝2－|x |，y ＝|2x －1|的值域和单调性如何？七、考查参数的取值范围例12 已知函数y ＝a a 2－2(a x －a －x)(a >0，a ≠1)在(－∞，＋∞)上递增，求a 的取值范围． 解 设任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)<0，即aa 2－2(ax 1－a －x 1)－a a 2－2(ax 2－a －x 2)＝aa 2－2(ax 1－ax 2)(1＋1ax 1＋x 2)<0， 所以(a 2－2)(ax 1－ax 2)<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2>0ax 1－ax 2<0.或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－2<0，ax 1－ax 2>0.解得a >2或0<a <1.异底指数比大小五法一、化同底例13 比较20.6，(12)－0.7，80.3的大小． 解 化同底得20.6，(12)－0.7＝20.7，80.3＝20.9. 因为函数y ＝2x 在R 上是增函数，且0.6<0.7<0.9，所以20.6<20.7<20.9，即20.6<(12)－0.7<80.3.点评 因为化同底后即可运用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底．二、商比法例14 比较下列两个数的大小：1.1－0.2与1.3－0.1.解 因为1.1－0.21.3－0.1＝(1.211.3)－0.1＝(1.31.21)0.1>(1.31.21)0＝1，所以1.1－0.2>1.3－0.1. 点评 不同底但可以化为同指数的两数比较大小，用商比法即可迎刃而解，这时要特别注意分母的正负．三、取中间值例15 下列大小关系正确的是( )A ．0.43<30.4<π0B ．0.43<π0<30.4C ．30.4<0.43<π0D ．π0<30.4<0.43解析 因为π0＝1，0.43<0.40＝1，30.4>30＝1，所以0.43<π0<30.4，故选B .答案 B点评 不同底也不同指数时比较大小，宜先与中间值0或1比较大小，再间接地得出所求解．四、估算法例16 若3a ＝0.618，a ∈[k ，k ＋1]，则k ＝________.解析 因为k ≤a ≤k ＋1，所以3k ≤3a ≤3k ＋1.把3a ＝0.618代入得3k ≤0.618≤3k ＋1.估算得13≤0.618≤1，即3－1≤0.618≤30.解得k ＝－1.答案 －1点评 估算法既可快速达到比较大小的目的，又可培养同学们的估算能力，它是同学们必备的一种技能，在考试中解答填空、选择题时可用．五、图解法例17 已知实数a ，b 满足等式(12)a ＝(13)b ，下列五个关系式：①0<b <a ； ②a <b <0； ③0<a <b ； ④b <a <0； ⑤a ＝b .其中不可能成立的关系式有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 在同一坐标系中，分别画出函数y ＝(12)a ，y ＝(13)b 的图象．由图观察可知，当b <a <0时，等式(12)a ＝(13)b 不可能成立；又当0<a <b 时，等式(12)a ＝(13)b 也不可能成立，故选B .答案 B点评 把所要比较的指数化为指数函数，在同一坐标系中画出它们的图象，可以直观地看出其中的大小关系．指数函数考什么？1．(福建高考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析 由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0，∴f (a )＋2＝0.①当a >0时，f (a )＝2a ，2a ＋2＝0无解；②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3.答案 A2．(全国Ⅰ高考)已知函数f (x )＝a －12x＋1.若f (x )为奇函数，则a ＝________. 解析 ∵定义域为R ，且函数为奇函数，∴f (0)＝0，即a －12＝0，∴a ＝12.答案 123．(全国高考)函数y ＝－e x 的图象( )A ．与y ＝e x 的图象关于y 轴对称B ．与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称C ．与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称D ．与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称解析 函数y ＝－e x 与y ＝e －x 的自变量x 取相反数时，函数值y 也为相反数，所以其图象关于原点对称．答案 D4．(湖北高考)若函数y ＝a x ＋b －1 (a >0且a ≠1)的图象经过第二、三、四象限，则必有( )A ．a >0，b <1B ．0<a <1，b <0C ．0<a <1，b >0D ．a >1，b <0解析 数形结合是解题中常用的方法之一，熟练掌握基本初等函数的图象及性质是利用数形结合法解题的前提．由指数函数y ＝a x 向下平移1－b 个单位，使1－b >1即可得知．答案 B5．(全国高考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x －1 x ≤0 ，x 12 x >0 .若f (x 0)<1，则x 0的取值范围是( )A ．(－1，1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) 解析 当x ≤0时，2－x 0－1<1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0<2，即x 0>－1，当x >0时，x 120<1，得x 0<1.答案 A6．(湖北高考)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( )A ．e x －e －xB .12(e x ＋e －x )C .12(e －x －e x )D .12(e x －e －x ) 解析 ∵f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴f (－x )＝f (x )，g (－x )＝－g (x )．∴f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x.又∵f (x )＋g (x )＝e x ，∴g (x )＝e x －e －x 2. 答案 D。
指数函数的性质导学案
人教A 版 数学必修1 导学案活页 第一章 基本初等函数(1) 高一年级 一（ ）班 2017级高一数学组制小结：由画图可知指数函数xa y =)1(>a 时，a 越大，函数图象越自己画图试一试，可以得出指数函数xa y =)10(<<a 时，a 越大，指数函数练习1．下列一定是指数函数的是( )A ．形如y ＝a x 的函数B ．y ＝x a (a >0且a ≠1)C ．y ＝(|a |＋2)－xD ．y ＝(a －2)a x2．函数f (x )＝x-2的值域是( )A ．(0,1]B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．R3．若指数函数f (x )＝(a －1)x 是R 上的减函数，则a 的取值范围是( ) A ．a >2 B ．a <2 C ．0<a <1 D ．1<a <24．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<+Z x x x ,42211，则M ∩N 等于( )A ．{－1,1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1,0}5．设R x x f x ∈=,)21()(||,那么f (x )是( )A ．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数B ．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C ．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D ．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数 6．函数y ＝15+-x a (a ≠0)的图象必经过点( ) A ．(0,1) B ．(5,1) C ．(5,2) D ．(1,5)7．设y 1＝40.9，y 2＝80.48，y 3＝5.121⎪⎭⎫⎝⎛，则( )A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 28．已知1>n >m >0，则指数函数①y ＝m x ，②y ＝n x 的图象为()9．设函数f (x )定义在实数集上，它的图象关于直线x ＝1对称，且当x ≥1时，f (x )＝3x －1，则有( )A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13二、填空题10．函数y ＝a x －1的定义域是(－∞，0]，则a 的取值范围是________． 11．指数函数y ＝f (x )的图象经过(π，e)，则f (－π)＝____.12.函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为6，则a 的值_____ 三、解答题13．解不等式145-+<x x a a (a >0且a ≠1)．14 求下列函数的定义域与值域． (1)y ＝412-x ； (2)y ＝x-⎪⎭⎫⎝⎛32 (3)23-=x y ；15．设a >0，函数f (x )＝3x a ＋a3x 是定义域为实数集R 的偶函数． (1)求实数a 的值；(2)证明：f (x )在(0，＋∞)上是增函数．指数函数练习答案1. 答案 C解析 ∵y ＝(|a |＋2)－x＝⎝⎛⎭⎫1|a |＋2x ，|a |＋2≥2，∴0<1|a |＋2≤12，符合指数函数定义．2. 答案 A解析 ∵－|x |≤0，∴0<2x ≤1，即函数的值域为(0,1]． 3. 答案 D解析 由题意知0<a －1<1，解得1<a <2.4. 解析 N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<2x ＋1<4，x ∈Z ＝{x |－1<x ＋1<2，x ∈Z }＝{x |－2<x <1，且x ∈Z }＝{－1,0}，∴M ∩N ＝{－1}． 答案 B 5. 答案 A解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|x |＝⎝⎛⎭⎫12x， ∴f (x )在(0，＋∞)上是减函数． 6. 答案 C解析 指数函数的图象必过点(0,1)，即a 0＝1，由此变形得a 5－5＋1＝2， 所以所求函数图象必过点(5,2)． 7. 答案 D解析 y 1＝40.9＝21.8，y 2＝80.48＝21.44，y 3＝⎝⎛⎭⎫12－1.5＝21.5.因为函数y ＝2x在实数集上是增函数，且1.8>1.5>1.44，所以y 1>y 3>y 2. 8. 答案 C解析 由0<m <n <1可知①②应为两条递减曲线，故只可能是选项C 或D ，进而再判断①②与n 和m 的对应关系，判断方法很多，不妨选择特殊点，令x ＝1，则①②对应的函数值分别为m 和n ，由m <n 知选C.解析 当x ≥1时，函数递增，且以x ＝1为对称轴． 所以自变量与1的差值的绝对值越大，函数值越大． 10.答案 B 答案 (0,1)解析 由a x －1≥0，得a x ≥1.根据指数函数的性质知a ∈(0,1)．11. 答案 1e解析 设f (x )＝a x ，则a π＝e ，∴f (－π)＝a －π＝(a π)－1＝e －1＝1e.12. 解 ∵f (x )＝a x在[1,2]上是单调函数，∴f (x )在1或2时取得最值． ∴a ＋a 2＝6，解得a ＝2或a ＝－3，∵a >0，∴a ＝2.13. 解 当a >1时，原不等式可变为x ＋5<4x －1.解得x >2； 当0<a <1时，原不等式可变为x ＋5>4x －1.解得x <2. 故当a >1时，原不等式的解集为(2，＋∞)； 当0<a <1时，原不等式的解集为(－∞，2)． 14. 解 (1)由x －4≠0，得x ≠4.∴定义域为{x |x ∈R 且x ≠4}．∵1x －4≠0，∴412-x ≠1，∴y ＝412-x 的值域为{y |y >0且y ≠1}． (2)定义域为R .∵|x |≥0，∴y ＝x-⎪⎭⎫⎝⎛32的值域为{y |y ≥1}(3)定义域为[2，＋∞)， ∵x －2≥0，∴y ＝23-=x y ≥1，∴值域为[1，＋∞)．15．(1)解 ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )＝f (－x )，即3x a ＋a 3x ＝3－xa ＋a3－x ，即3x ⎝⎛⎭⎫1a －a ＋13x ⎝⎛⎭⎫a －1a ＝0，⎝⎛⎭⎫3x －13x ⎝⎛⎭⎫1a －a ＝0，又根据题意，可得1a－a ＝0，又a >0，所以a ＝1.(2)证明 由(1)知f (x )＝3x ＋13x ，设任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝3x 1＋13x 1－3x 2－13x 2＝(3x 1－3x 2)⎝⎛⎭⎫1－13x 1＋x 2.因为0<x 1<x 2，所以3x 1<3x 2；又x 1＋x 2>0，所以3x 1＋x 2>1，则1－13x 1＋x 2＝3x 1＋x 2－13x 1＋x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． 于是知f (x )在(0，＋∞)上是增函数。
苏教版数学高一《指数函数》 精品导学案 苏教
【学习目标】:
1．熟练掌握指数函数的概念、图象、性质；2．掌握比较同底数幂大小的方法；
3．掌握指数函数及其指数形式的复合函数及其单调性的判别方法及其应用.
【教学过程】：
一、复习引入：
1．指数函数：
2．指数函数图象、性质：
3．下列五个函数：① ；② ；③ ；④ ；⑤ 。其中是指数函数的序号为①④
8．已知函数 是定义域上的减函数，则实数a的取值范围是______________.
9．解下列不等式：
（1） （2）
（3） （4）
10．对于任意的 ，若函数 ，试比较 与 的大小
关系．
【拓展提高】
11．已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是.
12．已知函数 ,当 时, 恒成立,则实数 的取值范围为________.
13．已知函数f(x)= ，(1)判断函,+∞)上的单调性.（3）解不等式
2．下列函数中值域为 的是____________________.
(1) (2) (3) (4)
3．比较下列各题中两个值的大小：
（1） ;（2） ;
（3） ;（4） .
4．若 ；若 ；
若 的大小关系为.
5.函数 的单调增区间是________________.
6.函数 的单调减区间为.
7. 函数 在 上是增函数，则实数 的取值范围是.
4．已知集合M= ， ，则
5．已知指数函数 的图象经过点（3，8），则
6．判断函数 的奇偶性：奇
7．若函数 在R上是减函数，则 的取值范围是 .
二、典例欣赏：
例1．比较下列各题中值的大小：
（1） ； （2） ， ； （3）
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4.1.3 指数函数
【学习目标】
1. 掌握指数函数的定义、图象、性质及其简单的应用．
2. 培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
3. 培养学生勇于发现、勇于创新的精神；培养独立思考等良好的个性品质．
【教学重点】
指数函数的图象与性质．
【教学难点】
指数函数的图象性质与底数 a 的关系．
预习目标
为了避免上述各种情况，所以规定 a＞0 且 a1．
探究 2 指数函数的形式特征。
y
练习 指出下列函数哪些是指数函数： (1) y＝（-4.3）x； (2) y＝x；(3) y＝0.3x；
(4) y＝x3．（5） y = 4x+1 （6） y = 4x +1
2、指数函数的图象和性质 在同一坐标系中分别作出函数 y＝2x 和 y＝(12)x 的图象． (1)列表： (2)描点： (3)连线： 练习 作函数 y＝3x 与 y＝(13)x 的图象．
解：要使函数有意义，则有 3x－3≥0，所以 3x≥3，所以 x≥1．
所以函数的定义域为 [1，＋∞)．
1.72.5＜1.73．
通过构造指 数函数来比 较两值的大 小，并让学 生采用不同 途径来进行 检验
效果检测 1.判断是否为指数函数
体会求定义域的 方法
（1）y = x (2) y = 0.3x2 (3) y = ( 1 )x + 1 44
a＞1
y
0＜a＜1
y
图
象
y＝1 (0,1)
(0,1) y＝1
O
x
O
x
定
义
域
值域定点源自单 （ ）函数（ ）函数
调 x≥0 时，y≥ ； X≥0 时，0＜y≤1； 性 x＜0 时，0＜y＜1 x＜0 时，y＞1
1.本节课的重点和 难点，引导学生积 极主动的思考，小 组讨论，由同学们 自己归纳总结出函 数的性质，以便更 好的记忆和使用 2.内容表格化，更 清晰明了
语言的转化能力
；
(3)“图象都经过点(0，1)”揭示了“当 x＝0 时，ax＝ ”；
(4) “a＝2 或 a＝3 时，从左向右看图象逐渐上升；
a＝12 或 a＝13 时，从左向右看图象逐渐下降”揭示了“当
时，指数函数是增函数；
当
时，指数函数是减函数”．
表 4-1 指数函数的图象与性质
备注
95
一寸光阴不可轻
学情反馈
若函数 f(x)＝(a＋1)x 是减函数，则 a 的取值范围是
．
精讲点拨
例 1 用指数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小：
(1) 1.72.5 和 1.73；
解 (1) 考察函数 y＝1.7x，它在实数集上是增函数．因为 2.5＜3，所以
(2) 0.8−0.1 和 0.8−0.2
例 2 求函数 y＝ 3x－3 的定义域．
复习描点画
图，体验合作
交流。利用多
媒体，给予学
x
生直观认识。
探究 3 观察 y＝2x，y＝(12)x，y＝3x 与 y＝(13)x 的图象，找出图像特征．..
采用小组合作的形式 为得到指数函数性质， 引导学生观察四个函
(1) 图象向左右无限延伸；
(2) 图象在 x 轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于 x 轴；
9 8 7 6 5 4 3
2 1
－3 －2 －1O
1 23
备注
导入： 设疑激趣，在学生动 手操作的 过程中激 发学生学习热情和探 索新知的欲望。
对 a 的范围的具体分 析，有利于学生对指数 函数一般形式的掌握， 同时为后面研究函数 的图象和性质埋下了 伏笔。
打破学生对定义 的轻视并使学生头 脑中不断完善对定 义理解
B 求函数的定义域． 附：
4.1.3 指数函数
复习
96
一寸光阴不可轻
一，定义
y= ax （ a >0 且 a 1, x R ）
注 1.底数
2.指数
3 系数
二， y= 2x 与y = 1 x 三，指数函数性质 2
图像 y
0
x
教学反思
97
(3) 图象都经过点
；
(4) a＝2 或 a＝3 时，从左向右看图象逐渐
；
a＝12 或 a＝13 时，从左向右看图象逐渐
．
数的图像特征，从而顺 利成章得到指数函数 的性质，遵循有特殊到 一般的规律。可以锻炼 学生的口头表达能力
探究 4
以及自然语言与数学
(1)“图象向左右无限延伸”揭示了“函数的定义域为 ”； (2)“图象在 x 轴上方，向上无限延伸，向下无限接近于 x 轴”揭示了“函数的值域为
一．导入
二．新课
1、指数函数的定义
一般地，函数
叫做指数函数．其中 x 是自变量
探究 1 为什么要规定 a＞0，且 a≠1 呢？
(1) 若 a＝0， 则当 x＞0 时，ax ＝
；当 x≤0 时，ax 无意义．
(2) 若 a＜0， 则对于 x 的某些数值，可使 ax 无意义．例如（
）
(3) 若 a＝1，则对于任何 xR，
2 比较下列各题中两个值的大小： (1) 0.70.8 0.70.7；(2) 1.1－2.1
1.1－2
3 如果 2n＜2m，则 n m． 4 求函数 y＝ 2x－4 的定义域
简洁明了概括本节课 的重要知识，学生易于 理解记忆
总结 （1）指数函数的定义；（2）指数函数的图象与性质（3）应用：A 比较大小：