陈文登考研高数中的微分算子法的推导

陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导
撰写
1.定义 引进记号
因此，n 阶常系数线性非齐次方程
令111()n n n n F D D a D a D a --=++++，
则： 方程 *1()()()()
F D y f x y f x F D ⇒=⇒= 注意：D 表示求导，1D 表示积分，如2111,cos sin 2x x x x D D
==，不用带常数。

2.1()
F D 性质 性质1 11,()0()()
kx kx e e F k F D F k =≠，若k 为()F k 的m 重根，则： 性质2
2211sin sin ()()ax ax F D F a =- 若2()0F a -=，不妨设2()a -为2()0F a -=的m 重根，则
性质3 11()()()()
kx kx e f x e f x F D F D k =+ 性质4
1111111()()()()p p p p p p p p x b x b x b Q D x b x b x b F D ----++++=++++ 其中()Q x 为1除以()F D ，按升幂排列1()n n n a a D D -+++所得商式，其最高次数为p 。

3.推导：关于性质1、2、3的推导详看我在豆丁上传的微分算子法
下面主要看性质4
性质4 我们用例题来说明它到底是什么意思
例 求26535x y y y e x '''-+=-+
解 显然12()()()y x y x y x =+
其中1211()(3)(3)65(1)(5)
x x y x e e D D D D =-=--+-- 今有 1111131313()(3)
(3)1151154144
x x x x x y x e e e e xe D D D D D =-=-===----- 最后得 注：2()y x 用上面蓝色的解法当然是很好的一种方法。

但有更一般的解法，即是性质4 令 2201221()(5)65
g x x a x a x a D D ==++-+(注意x 的最高次幂要相同) 则 2222012(65)(())(65)()5
D D g x D D a x a x a x -+=-+++= 根据同幂系数相等的原则有
方程组0102
10151205620a a a a a a =⎧⎪-=⎨⎪-+=⎩
解得： 1011251205
a a a -=⇒= 即：2222012211262()()(5)65525
y x g x x a x a x a x x D D ===++=++-+ 以后所有高次的多项式都可以应用此法进行求解了。

以前性质4怎么也没有弄懂，现在终于是知道为什么这样了。