平面向量的数量积及向量的应用教案

第4章 第3节平面向量的数量积及向量的应用

一、选择题

1．(文)(2012·哈师大附中联考)已知|a |＝6，|b |＝3，a ·b ＝－12，则向量a 在向量b 方向上的投影是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2 D ．2

[答案] A[解析] a 在b 方向上的投影为a ·b

|b |

＝－4.

(理)(2012·浙江绍兴调研)设a ·b ＝4，若a 在b 方向上的投影为2，且b 在a 方向上的投影为1，则a 与b 的夹角等于( )A.π6B.π3C.2π3D.π3或2π3

[答案] B[解析] 由条件知，a ·b |b |＝2，a ·b

|a |＝1，a ·b ＝4，∴|a |＝4，|b |＝2，

∴cos 〈a ，b 〉＝

a ·

b |a |·|b |＝44×2＝12，∴〈a ，b 〉＝π

3

. 2．(文)(2012·山东东营质检)已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角60°，则|a －3b |等于( ) A.7B.10C.13D ．4

[答案] A[解析] 由条件知，a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝1

2，∴|a －3b |2＝|a |2＋9|b |2－6a ·b ＝7，∴|a －3b |＝7.

(理)若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．12

[答案] C[解析] ∵a ·b ＝|a |·|b |·cos60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b ＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.

3．(文)已知向量a ＝(1,2)，向量b ＝(x ，－2)，且a ⊥(a －b )，则实数x 等于( )

A ．9

B ．4

C ．0

D ．－4

[答案] A[解析] a －b ＝(1－x,4)，∵a ⊥(a －b )，∴a ·(a －b )＝(1,2)·(1－x,4)＝1－x ＋8＝0，∴x ＝9. (理)(2012·湖南考试院)如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，且O 是△ABC 的外心，则OC →·CA →＝( ) A ．6 B ．－6 C ．8 D ．－8

[答案] D[解析] ∵AB 2＝AC 2＋BC 2，∴∠ACB 为直角，∵O 为△ABC 外心， ∴OC →·CA →＝－CO →·CA →＝－12(CA →＋CB →)·CA →＝－12|CA →|2－12

CB →·CA →＝－8.

4．已知OA →＝(3,1)，OB →＝(2,4)，|BC →|＝1，点C 在直线OA 上的射影为点D ，则|OD →

|的最大值为( ) A ．10＋10B ．10－10C.10＋1 D.10－1

[答案] C[解析] ∵|BC →

|＝1，∴C 在以B 为圆心，1为半径的圆上，设C (cos α＋2，sin α＋4)．

又∵|OD →|＝|OC →·

OA →||OA →|＝|3(cos α＋2)＋sin α＋4|10＝|10sin(α＋φ)＋10|10≤10＋1010＝10＋1.

5．(文)(2012·甘肃省质检)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角是( ) A.π2B.π3C.π4D.π

6

[答案] B[解析] ∵a ·(b －a )＝2，∴a ·b －|a |2＝2，∴1×6cos 〈a ，b 〉－1＝2，∴cos 〈a ，b 〉＝1

2，

∵〈a ，b 〉∈(0，π)，∴〈a ，b 〉＝π

3

.

(理)(2012·广东罗湖区调研)在边长为1的等边△ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →

＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝( ) A ．－32B ．0 C.3

2

D ．3

[答案] A[解析] |a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝120°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1×1×cos120°＝－12，∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32

.

6．(文)(2012·安徽合肥市质检)在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，∠B ＝45°，AB ＝2CD ＝2，M 为腰BC 的中点，则MA →·MD →

＝( )

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

[答案] B[解析] 由条件知AB ＝2，CD ＝1，BC ＝2，

∴MB ＝MC ＝

22，∴MC →·BA →＝|MC →|·|BA →

|·cos45°＝22×2×22

＝1， MB →·CD →＝|MB →|·|CD →

|·cos135°＝22×1×⎝⎛⎭

⎫－22＝－12，

∴MA →·MD →＝(MB →＋BA →)·(MC →＋CD →)＝MB →·MC →＋MB →·CD →＋BA →·MC →＋BA →·CD →

＝－⎝⎛⎭⎫222＋⎝⎛

⎭⎫－12＋1＋2×1＝2，故选B.

(理)如图，△ABC 的外接圆的圆心为O ，AB ＝2，AC ＝3，BC ＝7，则AO →·BC →

等于( ) A.32B.5

2

C ．2

D ．3

[答案] B[解析] AO →·BC →＝AO →·(AC →－AB →)＝AO →·AC →－AO →·AB →，因为OA ＝OB .所以AO →在AB →

上的投影为12|AB →|，所以AO →·AB →＝12|AB →|·|AB →|＝2，同理AO →·AC →＝12|AC →|·|AC →|＝92，故AO →·BC →＝92－2

＝5

2

. 7．(文)(09·全国Ⅰ)设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝( )