九年级数学因式分解复习PPT教学课件
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人教版九年级数学上册《用因式分解法解一元二次方程》课件(共16张PPT)
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
解下列方程
参考答案：
12..xx1114;32x;2x2 175.. 34 ..xx113 ;23x2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5.x10 ;x24.
6 .x (2 )22x 3 2;
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 7 .x 1 1 ,x26 .
8.x252x80.
8 .x142;x22 .
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
例1、解下列方程
1、 2x26 3x0 2、(x+3)(x－1)=5
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
You made my day!
我们，还在路上……
方法归纳 ☞
分解因式法解一元二次方程的步骤是: 1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解; 3. 根据“至少有一个因式为 零”,转化为两个一元一次方程. 4. 分别解两个一元一次方程， 它们的根就是原方程的根.
右化零 两因式
简记歌诀： 左分解 各求解
例题欣赏 ☞
例2 解下列方程:
（ 1）x（x2） x20；
因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示了 “二次”转化为“一次”的过程.
独立 作业
1 .4 x 1 (5 x 7 ) 0 ; 2 .3 x x 1 2 2 x ;
3.2 (x3)24(2x3); 4.2(x3)2x29;
解下列方程
参考答案：
12..xx1114;32x;2x2 175.. 34 ..xx113 ;23x2 ;x 29 .12.
5.5(x2x)3(x2x); 5.x10 ;x24.
6 .x (2 )22x 3 2;
6.x1
5;x2
1. 3
7 .x ( 2 )x 3 1;2 7 .x 1 1 ,x26 .
8.x252x80.
8 .x142;x22 .
下课了!
结束寄语
• 配方法和公式法是解一元二次方程重 要方法,要作为一种基本技能来掌握. 而某些方程可以用分解因式法简便快 捷地求解.
例1、解下列方程
1、 2x26 3x0 2、(x+3)(x－1)=5
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
(1)x(x2)0 x10,x22
(2)y (2)y (3)0y12,y23
(3 )3 (x2 )2 (x 1 )0x1
初中数学人教版九年级上册 21.2.3 因式分解法教学课件(29张PPT)
即
10x－4.9x2＝0.
①
请你试着用配方法或公式法解方程①.
配方法解方程 10x - 4.9x2 = 0
解： x2 100 x 0， 49
x2
100 49
x
50 49
2
0
50 49
2
x
50 49
2
50 49
2
，
x 50 50，
49 49
x1
100 ， 49
x2 0.
概 念 将方程左边因式分解，右边= 0.
因
式 分 依据
如果 a ·b = 0，那么 a = 0 或 b = 0.
解
法
步 骤 1．移项；2．分解；3．转化；4．求解
谢谢各位同学的观看
基本思路
解 直接开平方
一
法
元
二 配方法
次 方 公式法
程
的 方
因式分解法
法
将二次方程化为一次方程，即降次
用平方根的意义直接进行降次
适用于部分一 元二次方程先配方，再用直接开平方法降次适用于全部一
直接利用求根公式
元二次方程
先使方程一边化为两个一次因
式乘积的形式，另一边为0， 适用于部分一
根据“若 ab = 0，
4
x1
4
3 2
2
，
x2
4
3 2
2 .
练习 7 以下是圆圆解方程 (x 3)2 2(x 3) 的具体过程： 方程两边同时除以 (x 3) ，得 x 3 2，移项，得 x 5，问 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解 答过程.
解：圆圆的解答过程有错误. 正确的解答过程：移项，得 (x 3)2 2(x 3) 0 ， (x 3)(x 3 2) 0 ， x3 0或 x5 0， x1 3 ， x2 5 .
人教版数学九年级上册《 因式分解法》课件
分析：设物体经过 x s落回地面， 这时它离地面的高度为0 m ，即
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
10x-4.9x2 =0 ①
配方法解方程10x-4.9x2=0. 公式法解方程10x-4.9x2=0.
解： x2 100 x 0，
49
x2 100x 502 0 49 49
解：方程可化为4.9x2-10x=0.
5 40 92，∴∵
解得x1=
1 2
，x2=3.
新知二 灵活选用方法解方程
例2 用适当的方法解方程：
(1) 3x(x + 5)= 5(x + 5)；
(2) (5x + 1)2 = 1；
分析：该式左右两边可以提取公因式， 所以用因式分解法解答较快.
分析：方程一边以平方形式出现， 另一边是常数，可用直接开平方法.
解：化简 (3x -5) (x + 5) = 0. 解：开平方,得
1
x7x6x ②交叉相乘，积相加
③检验确定，横写因式
解：因式分解得 (x+7)(x-1)=0. ∴x+7=0,或x-1=0. ∴x1=-7,x2=1.
简记口诀： 首尾分解， 交叉相乘， 求和凑中.
练一练 解下列方程：
(1)x2-5x+6=0； 解：分解因式， 得(x-2)(x-3)=0， 解得x1=2，x2=3.
则(x+1)(x-4)=0， ∴x+1=0，或x-4=0， ∴x1=4，x2=-1．
∴-x+2=0，或3x-8=0，
x1=2，x2=
8 3
.
拓展提升 十字相乘法
整式的乘法
两个一次二项式相乘的积
一个二次三项式
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
数学九年级上册21.2.3因式分解法(共15张PPT)
本思路是：将二次方程化为一次方程，即降次.
返回
练一练
教材第14页，练习
请同学练一练，并展示结果。
1.解下列方程：
(1) 2 + =0;
(2) 2 − 2 3x=0;
(4)4 2 − 121=0;
(5)3x(2x+1)=4x+2;
（3)3 2 − 6 = −3
(6)( − 4)2 = (5 − 2)2
二 探索新知
思一思
活动1：请同学们思考:除配方法或公式法以外，
能否找到更简单的方法解方程①？
返回
方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如
果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，
如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
所以
x=0，或10-4.9x=0.
②
所以，方程①的两个根是
100
=0, = ≈2.04
49
这两个根中， ≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而 =0表示物
体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度0m.
返回
议一议
活动2：请同学们讨论:解方程①时，二次方程是如何
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m
得到大圆形场地，场地面积扩大了一
倍.求小圆形场地的半径.
返回
2.（2022年杭州中考）某网络学习平台2019年的新
注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为
169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0
），则x＝
30% （ 用百分数表示）．
返回
练一练
教材第14页，练习
请同学练一练，并展示结果。
1.解下列方程：
(1) 2 + =0;
(2) 2 − 2 3x=0;
(4)4 2 − 121=0;
(5)3x(2x+1)=4x+2;
（3)3 2 − 6 = −3
(6)( − 4)2 = (5 − 2)2
二 探索新知
思一思
活动1：请同学们思考:除配方法或公式法以外，
能否找到更简单的方法解方程①？
返回
方程①的右边为0，左边可以因式分解，得
x(10-4.9x)=0.
这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0.我们知道，如
果两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，
如果两个因式中任何一个为0，那么它们的积也等于0.
所以
x=0，或10-4.9x=0.
②
所以，方程①的两个根是
100
=0, = ≈2.04
49
这两个根中， ≈2.04表示物体约在2.04s时落回地面，而 =0表示物
体被上抛离开地面的时刻，即在0s时物体被抛出，此刻物体的高度0m.
返回
议一议
活动2：请同学们讨论:解方程①时，二次方程是如何
2.如图，把小圆形场地的半径增加5m
得到大圆形场地，场地面积扩大了一
倍.求小圆形场地的半径.
返回
2.（2022年杭州中考）某网络学习平台2019年的新
注册用户数为100万，2021年的新注册用户数为
169万，设新注册用户数的年平均增长率为x（x＞0
），则x＝
30% （ 用百分数表示）．
人教版九年级中考数学总复习课件第4课时 因式分解(共23张PPT)
【考点4】多步因式分解 ①如果多项式各项含有公因式,那么第一步是提取这个
公因式； ②如果多项式各项没有公因式,那么第一步考虑用公式
分解因式； ③第一步分解因式以后,所含的多项式若还可以继续分
解,则需要进一步分解因式,直到每个多项式因式都不 能分解为止.
12.[教材原题]分解因式:
(1) (a b)2 4ab a b)2
(6) p(a2 b2 ) q(a2 b2 ) ( p q)(a2 b2 ).
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/142021/9/142021/9/149/14/2021 4:31:16 AM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/142021/9/142021/9/14Sep-2114-Sep-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/142021/9/142021/9/14Tuesday, September 14, 2021
解:原式 (102 92)(102 92)
194 10
1 940 ；
(2) 39.82 2 39.8 49.8 49.82 .
解:原式 (39.8 49.8)2
(10)2
100 .
点悟: 运用公式法分解因式的关键是要弄清两个公式的形式 和特点,两个公式中的字母可以表示任何数、单项式 或多项式.
【考点 3】公式法因式分解
详细版人教版九年级数学上册课件21.2.4《因式分解法》课件课件共35张PPTppt.ppt
x－1 = 0 或 2x－1 = 0
∴ x1 = x2 = 1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
.精品课件.
18
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
.精品课件.
31
选用适当的方法解一元二次方程
1.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法 ②直接开平方法 ③公式法 ④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解） （ ( )2=C C≥0 ） (化方程为一般式） （二次项系数为1，而一次项系为偶数）
2.引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0
4
4
可以试用
多种方法解 本例中的两 个方程 .
解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
4x2 1 0.
于是得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
.精品课件.
x1
1 2
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
3x 1 5 0 或 3x 1 5 0
∴
x1
1 3
5 ，x2
1 3
5
.精品课件.
20
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
∴ x1 = x2 = 1
分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法: am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法: a2-b2=(a+b)(a-b), a2±2ab+b2=(a±b)2.
.精品课件.
18
（2） 3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得 3x(x 2) 5(x 2) 0
.精品课件.
31
选用适当的方法解一元二次方程
1.解一元二次方程的方法有：
①因式分解法 ②直接开平方法 ③公式法 ④配方法
（方程一边是0，另一边整式容易因式分解） （ ( )2=C C≥0 ） (化方程为一般式） （二次项系数为1，而一次项系为偶数）
2.引例：给下列方程选择较简便的方法
⑴ 5x2-3 2 x=0
4
4
可以试用
多种方法解 本例中的两 个方程 .
解：（1）因式分解，得 (2)移项、合并同类项，得
(x－2)(x＋1)=0.
4x2 1 0.
于是得
因式分解，得 ( 2x＋1)( 2x－1 )=0.
x－2＝0或x＋1=0, x1=2，x2=－1.
2x＋1=0或2x－1=0,
于是得
.精品课件.
x1
1 2
解：因式分解，得
3x 1 5 3x 1 5 = 0
3x 1 5 0 或 3x 1 5 0
∴
x1
1 3
5 ，x2
1 3
5
.精品课件.
20
你学过一元二次方程的哪些解法?
开平方法
配方法
公式法
因式分解法
你能说出每一种解法的特点吗?
因式分解ppt(共22张PPT)
3．（随堂练习p3１、２）
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
规律总结
• 对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变 形.
• 整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，
特征是向着积化和差的形式发展；
• 多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的
形式，特征是向着和差化积的形式发展.
• 因式分解要注意以下几点: 1.分解的对象必须是多项式.
• 把一个多项式化成几个整式的积的形式,这 种变形叫做因式分解。
• 因式分解也可称为分解因式。
因分解的结果要以积的形式表示
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数 都要低于原多项式的次数。
3.必须分解到每个多项式不能分解为止（具 体由所在的数集决定）。
想一想: 因式分解与整式乘法有什么联系?
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
2：计算
(1) 8728713 (2) 1012992
=87（87+13） =8700
=(101+99)(101-99) =200×2 =400
3.若 x101,y99则 x22xyy2_ 4_
动脑筋
n2+n是奇数还是偶数？
2517－532能被120整除吗? 若n是整数,证明 (2n+1)2-(2n-1)2是8的倍数.
多项式的因式分解与整式乘法是方向相反的恒等式.
整式乘法
3x(x-1)= _____
(3).(5a-1) =25a -10a+1 解: ab-ac=a(b-c)
a(a+1)(a-1) a3-a=a(a+1)(a-1)
2
2
整式乘法
答: 由a(a+1)(a-1)得到a3-a的变形是整式乘法，由a3-a得到a(a+1)(a-1)的变形是把一个多项式化成几个整式的积的形式.
北师大版初中九年级上册数学课件-《用因式分解法求解一元二次方程》一元二次方程PPT教学课件精选全文
(2x＋1)(2x－1)＝0. 于是得
2x＋1＝0，或2x－1＝0，
x1
1 2
,
x2
1 2
Hale Waihona Puke 知2－讲总结知2－讲
1. 采用因式分解法解一元二次方程的技巧为： 2. 右化零，左分解，两因式，各求解. 3. 2. 用因式分解法解一元二次方程时，不能将“或” 4. 写成“且”，因为降次后两个一元一次方程并 5. 没有同时成立，只要其中之一成立了就可以了
知2－讲
原来的一元二次函 数转化成了两个一 元一次方程.
（来自教材）
例3解下列方程：
（1）x(x－2)＋x－2＝0；
（2）
5x2 2x 1 x2 2x 3 .
4
4
解：（1）因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
知2－讲
（2）移项、合并同类项，得 4x2－1＝0. 因式分解，得
例2解下列方程：
(1)5x2＝4x； (2)x(x－2)＝x－2.
解：(1)原方程可变形为
5x2－4x＝0，
x(5x－4)＝0.
x＝0，或5x－4＝0.
∴x1＝0，x2＝
4.
5 (2)原方程可变形为
x(x－2)－(x－2)＝0，
(x－2)(x－1)＝0.
x－2＝0，或x－1＝0.
∴x1＝2，x2＝1.
将此方程化为3x(x－2)＝0，从而得到两个一元一次方程 3x＝0或x－2＝0，进而得到原方程的解为x1＝0，x2＝2. 这种解法体现的数学思想是( ) A．转化思想B．函数思想 C．数形结合思想D．公理化思想
2 用因式分解法解方程，下列过程正确的是( )
人教版九年级数学上册第21章第2节《因式分解法》优质课件
解下列方程： (x-2)·(x-3)=0； 解： 由题可得
x-2=0或x-3=0 x1=2, x2=3
4x2－11x=0.
解： 分解因式，得
4
x
x
11 4
0
故x=0或 x 11 0
4
x1=0,x2
11 4
你能归纳出用因式分解法解方一元二次程的一般步骤吗？
第一步，把方程变形为x2+px+q=0的形式； 第二步，把方程变形为(x-x1)(x-x2)=0的形式； 第三步，把方程降次为两个一次方程x-x1=0或x-x2=0的形式； 第四步，解两个一次方程，求出方程的根.
推进新课
知识点1 用因式分解法解一元二次方程
你能用配方法或公式法解方程10x-4.9x2=0吗？ 是否还有更简单的方法呢？
分解因式：左边提公因式，得x(10-4.9x)=0， 降次：把方程化为两个一次方程，得x=0或10-4.9x=0， 求解：解这两个一次方程，得x1=0, x2=14090 .
思考：解方程10x-4.9x2=0时，二次方程是如何降 为一次的？
5x2－2x－1 x2 2x 3
4
4
解： 移项、合并同类项得
4x2-1=0
(2x-1)(2x+1)=0
即2x-1 =0或2x+1 =0,
x1=1 , x2= 1
ห้องสมุดไป่ตู้
2
2
思考：将一个多项式进行因式分解，通常有哪几 种方法？
提公因式法，公式法，十字相乘法 用因式分解法解一元二次方程的依据是：
如果ab=0，则a=0或b=0.
随堂演练
1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（D ）
人教版数学九年级上册第二十一章《因式分解法》课件
分解.
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0 的方程，
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般情势，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
(2) 3x(x-1)＝2(x-1).
2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了 一倍，求小圆形场地的半径.
3.解方程：2(x-3)=3x(x-3).
4.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5；
(2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0.
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；能根据具体一元 二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法， 体会解决问题方法的多样性。
3.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数 学思想。
解：(1)移项，得 (x-5) (x-6)- (x-5) =0， 因式分解，得 (x-5) (x-6-1)=0， 所以 x-5=0 或 x-6-1=0， 所以 x1=5，x2=7.
5.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5；
(2) 16(x-3)2-25(2 3 )＝0， 于是得x＝0，或x－2 3 ＝0， 解得x1＝0，x2＝2 3. (3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0， 因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，即x1＝x2＝1.
解一元二次方程的方法：
直接开平方法： 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 x m2 nn 0 的方程，
其解为 x n m. 配方法： 把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的
一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是 常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解. 公式法： 把一元二次方程化成一般情势，然后计算判别式 Δ=b2-4ac
(2) 3x(x-1)＝2(x-1).
2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了 一倍，求小圆形场地的半径.
3.解方程：2(x-3)=3x(x-3).
4.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5；
(2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0.
人教版数学九年级上册
第二十一章 二元一次方程
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；能根据具体一元 二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法， 体会解决问题方法的多样性。
3.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数 学思想。
解：(1)移项，得 (x-5) (x-6)- (x-5) =0， 因式分解，得 (x-5) (x-6-1)=0， 所以 x-5=0 或 x-6-1=0， 所以 x1=5，x2=7.
5.用因式分解法解下列方程： (1) (x-5) (x-6)=x-5；
(2) 16(x-3)2-25(2 3 )＝0， 于是得x＝0，或x－2 3 ＝0， 解得x1＝0，x2＝2 3. (3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0， 因式分解，得(x－1)2＝0， 于是得x－1＝0，即x1＝x2＝1.
因式分解法 初中九年级数学教学课件PPT 人教版
3、根据“至少有一 个因式为零”,得到 两个一元一次方程
2、将方程左 边因式分解
4、两个一元一 次方程的根就 是原方程的根
PART FOUR 课 堂 小 结
因式分解的方法,突出 了转化的思想方法—— “降次”， 鲜明地显示了“二次” 转化为“一次”的过程
谢谢观看！
2020
可以发现，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先 因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形 式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
PART TWO
合作探究
归纳： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解
成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法.
COMPANY FOR THE RELEVANT REQUIREMENTS, AND PROPOSAL INFORMATION, THIS PAPER DISCUSSES THE SPECIFIC REQUIREMENTS
PART TWO 合 作 探 究
如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么 经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X2 你能根 据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
(x 2)(x 1) 0
4x2 1 0
x 2 0,或x 1 0
(2x 1)(2x 1) 0
x1 2, x2 1Biblioteka 2x 1 0或2x 1 0
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
1 2
，x2
1 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
2、将方程左 边因式分解
4、两个一元一 次方程的根就 是原方程的根
PART FOUR 课 堂 小 结
因式分解的方法,突出 了转化的思想方法—— “降次”， 鲜明地显示了“二次” 转化为“一次”的过程
谢谢观看！
2020
可以发现，由①到②的过程，不是用开方降次，而是先 因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形 式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 这种解法叫做因式分解法．
PART TWO
合作探究
归纳： 当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解
成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因 式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程 的方法称为因式分解法.
COMPANY FOR THE RELEVANT REQUIREMENTS, AND PROPOSAL INFORMATION, THIS PAPER DISCUSSES THE SPECIFIC REQUIREMENTS
PART TWO 合 作 探 究
如果把一个物体从地面以10m/s秒的速度竖直上抛，那么 经过X秒物体离地高度（单位：米）为10X-4.9X2 你能根 据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？
(x 2)(x 1) 0
4x2 1 0
x 2 0,或x 1 0
(2x 1)(2x 1) 0
x1 2, x2 1Biblioteka 2x 1 0或2x 1 0
分解因式法解一元二次方程的步骤是:
x1
1 2
，x2
1 2
1.化方程为一般形式;
2. 将方程左边因式分解;
3. 根据“至少有一个因式为零”,转化为两个一元一次方程.
第三讲因式分解PPT课件
① x2-5x+6
1
-2
1
-3
解：原式=（x-2)(x-3)
② a2-a-2
1
1
1
-2
解：原式=(a+1)(a-2)
【例 4】 (2011·台湾)下列四个多项式，是 2x2＋5x－3 的因式的只能为
( A)
A．2x－1
B．2x－3
C．x－1
D．x－3
2x²-5x-3
4x²+10x+6
⑷分组分解法： a3 a2 a 1
（1）、提公因式法： 公因式的确定：
ma + mb + mc = m（a+b+c）系数取所有系数的最大公约数，
字母取相同的字母， 指数取最低指数。
练习：把下列各式分解因式
① 6x3y2-9x2y3+3x2y2
）②p（y-x）-2（x-y）
解：原式=3x2y2(2x-3y+1)
解：原式=p(y-x)+2(y-x) =(y-x)(p+2)
综合运用多种方法分解因式
知能迁移 4 (1)分解因式：a5－a (2)分解因式：(x＋2)(x＋4)＋x2－4 (3)(解2012(·x＋临2沂)(x)＋分4解)＋因x式22－：4a－6ab＋9ab2＝ ________＝．x22＋6x＋8＋x22－4 (4)在＝实2x数22＋范6x围＋内4 分解因式：x4－4
（2）运用公式法：
例题精析
【例 1】 (1)(2013·广东湛江)分解因式：x2－4＝___x_2－__4_＝__(_x_＋__2_)(_x_－__2_)____． (2)(2013·江苏苏州)分解因式：a2＋2a＋1＝___a_2＋__2_a_＋__1_＝__(_a_＋__1_)2_____． (3)(2013·山东滨州)分解因式：5x2－20＝__5_x_2_－__2_0_＝__5_(_x_＋__2_)(_x_－__2_)_． (4)(2013·湖南益阳)分解因式：xy2－4x＝___x_y2_－__4_x_＝__x_(_y＋__2_)_(_y_－__2_) __．
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分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到 括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号， 括到括号里的各项都改变符号.
(5)求根公式法 如果有两个根X1，X2，那么
a 2 b x c x a ( x x 1 )x ( x 2 ).
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（ (A)1- x2= (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2 (C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y
第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、 二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一 般步骤。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的 频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、 分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为 多，也有选择题和解答题。
– 1) (D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式 (1)a2－ b2 = (a + b) (a–b ), (2)(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3)Biblioteka x21 y2
=
1
xyxy
(4 )x2 + 1 －2=（ x － 1 )2
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式
x 2 a b x a ( x b a ) x b ( ).
对于二次项系数不是l的二次三项式
a 2 b x c x ( a 1 x c 1 ) a 2 x ( c 2 ).
(4)分组分解法： 把各项适当分组，先使分解因式能分组 进行，再使分解因式在各组之间进行．
x2
x2
从左到是因式分解的个数为（ ） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ） (A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则
m=
,n=
;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个 整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能 再分解为止．
(1)提公因式法
如多项式 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项 式．
(2)运用公式法，即用 a2b2(ab)a (b),
a22ab b2(ab)2,
m=
;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是
;
7．把下列因式因式分解： (1)a3－a2－2a
(2)4m2－9n2－4m+1
(3)3a2+bc－3ac-ab
(4)9－x2+2xy－y2
8．在实数范围内因式分解： (1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2
(5)求根公式法 如果有两个根X1，X2，那么
a 2 b x c x a ( x x 1 )x ( x 2 ).
考查题型：
1．下列因式分解中，正确的是（ (A)1- x2= (x + 2) (x- 2) (B)4x –2 x2 – 2 = - 2(x- 1)2 (C) ( x- y )3 –(y- x) = (x – y) (x – y + 1) ( x –y
第4课 因式分解
〖知识点〗
因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、 二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一 般步骤。
〖考查重点与常见题型〗
考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的 频率很高。重点考查的分式提取公因式、应用公式法、 分组分解法及它们的综合运用。习题类型以填空题为 多，也有选择题和解答题。
– 1) (D) x2 –y2 – x + y = ( x + y) (x – y – 1)
2．下列各等式 (1)a2－ b2 = (a + b) (a–b ), (2)(2) x2–3x +2 = x(x–3) + 2
(3)Biblioteka x21 y2
=
1
xyxy
(4 )x2 + 1 －2=（ x － 1 )2
(3)十字相乘法
对于二次项系数为l的二次三项式
x 2 a b x a ( x b a ) x b ( ).
对于二次项系数不是l的二次三项式
a 2 b x c x ( a 1 x c 1 ) a 2 x ( c 2 ).
(4)分组分解法： 把各项适当分组，先使分解因式能分组 进行，再使分解因式在各组之间进行．
x2
x2
从左到是因式分解的个数为（ ） (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4个
3．若x2＋mx＋25 是一个完全平方式，则m的值是（ ） (A) 20 (B) 10 (C) ± 20 (D) ±10
4．若x2＋mx＋n能分解成( x+2 ) (x – 5)，则
m=
,n=
;
5．若二次三项式2x2+x+5m在实数范围内能因式分解，则
因式分解知识点
多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个 整式的积．分解因式要进行到每一个因式都不能 再分解为止．
(1)提公因式法
如多项式 其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项 式．
(2)运用公式法，即用 a2b2(ab)a (b),
a22ab b2(ab)2,
m=
;
6．若x2+kx－6有一个因式是(x－2)，则k的值是
;
7．把下列因式因式分解： (1)a3－a2－2a
(2)4m2－9n2－4m+1
(3)3a2+bc－3ac-ab
(4)9－x2+2xy－y2
8．在实数范围内因式分解： (1)2x2－3x－1 (2)－2x2+5xy+2y2