两个重要极限(可编辑修改word版)
(完整word版)高等数学经典方法与典型例题归纳
2014年山东省普通高等教育专升本考试2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳—经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务—理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法1．约去零因子求极限例1：求极限11lim 41--→x x x【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。
【解】6)1)(1(lim 1)1)(1)(1(lim2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限13lim 323+-∞→x x x x【说明】∞∞型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。
【解】3131lim 13lim 311323=+-=+-∞→∞→x xx x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；(2) ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=<∞>=++++++----∞→nm b a n m n m b x b x b a x a x a nnm m m m n n n n x 0lim 011011ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞→x x x【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。
【解】13)13)(13(lim)13(lim 22222222+++++++-+=+-++∞→+∞→x x x x x x x x x x0132lim22=+++=+∞→x x x例4：求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→【解】xx x xx x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim3030+-+-=+-+→→ 41sin tan lim 21sin tan limsin 1tan 11lim30300=-=-+++=→→→x x x x x x xx x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→xxx 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→10)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。
(完整word版)高等数学辅导讲义
第一部分函数极限连续历年试题分类统计及考点分布本部分常见的题型1.求分段函数的复合函数。
2.求数列极限和函数极限。
3.讨论函数连续性，并判断间断点类型。
4.确定方程在给定区间上有无实根。
一、 求分段函数的复合函数例1 (1988, 5分) 设2(),[()]1x f x e f x x ϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域。
解: 由2()x f x e =知2()[()]1x f x e x ϕϕ==-,又()0x ϕ≥,则()0x x ϕ=≤.例2 (1990, 3分) 设函数1,1()0,1x f x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩,则[()]f f x =1.练习题: (1)设 1,1,()0,1,(),1,1,x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩求[()]f g x 和[()]g f x , 并作出这两个函数的图形。
(2)设20,0,0,0,()(),,0,,0,x x f x g x x x x x ≤≤⎧⎧==⎨⎨>->⎩⎩求[()],[()],[()],[()]f f x g g x f g x g f x .二、 求数列的极限方法一 利用收敛数列的常用性质一般而言,收敛数列有以下四种常用的性质。
性质1(极限的唯一性) 如果数列{}n x 收敛,那么它的极限唯一。
性质2(收敛数列的有界性)如果数列{}n x 收敛,那么数列{}n x 一定有界。
性质3(收敛数列的保号性) 如果lim n n x a →∞=,且0a >(或0a <),那么存在0n N +∈,使得当0n n >时,都有0n x >(或0n x <).性质4(数列极限的四则运算法则) 如果,,lim lim n n n n x a y b →∞→∞==那么(1)()lim n n n x y a b →∞±=±;(2)lim n n n x y a b →∞•=•;(3)当0()n y n N +≠∈且0b ≠时,limn n n x a y b→∞=.例3 若lim nn xa →∞=,则lim nn xa →∞=.注: 例3的逆命题是不对的, 例如我们取(1)n n x =-, 显然1lim n n x →∞=,但数列(1)n n x =-没有极限。
高等数学教学教案 极限存在准则 两个重要极限(优秀版)word资料
高等数学教学教案极限存在准则两个重要极限（优秀版）word资料§1.6极限存在准则两个重要极限授课次序061 ,, n11 {},{},22 n nb=+⋅⋅⋅+数列单调减少且有下界，零或小于零的任何常数都是其下界。
下界里有个最大的吗？有！数列单调增加且有上界，1或大于1的任何常数都是其上界．上界里有个最小的吗？也有！现在请用一下你的想象力：对于单调增加有上界的数列}nx，它的图像是数轴上的一个点列，点列中的点在数轴上会不停的向前走，但是不可能越过它的最小上界a．由于数列有无穷多项，从某一项之后的所{}lim n n a n N →∞∴∀>单调增加，这意味着所以，§1. 6极限存在准则 两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件:(1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N 1>0, 当n >N 1时, 有|yn -a |<ε ; 又∃N 2>0,当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有 |y n -a |<ε , |zn -a |<ε 同时成立, 即 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 同时成立.又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有|y n -a |<ε 及|z n -a |<ε , 即有 a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有 a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即 |x n -a |<ε . 这就证明了a x n n =∞→lim .准则I ' 如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件:(1) g (x )≤f (x )≤h (x ); (2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数x x sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆,因为 S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD , 所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x . 不等号各边都除以sin x , 就有x x x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2 π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→x x x .简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ). 显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x <备注栏高等数学课程教学设计方案中央电大教务处教学管理科（20XX年04月15日）浏览人次627（修订稿）一、课程概况1. 课程的性质、任务“高等数学”课程是中央广播电视大学水利水电专业的一门必修的重要基础理论课，是为培养学生的基本素质、学习后续课程服务的。
两个重要极限共6页word资料
1.6两个重要极限准则I如果数列{x n }、{y n }及{z n }满足下列条件: (1)y n ≤x n ≤z n (n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), (2)a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim ,那么数列{x n }的极限存在, 且a x n n =∞→lim .证明: 因为a y n n =∞→lim , a z n n =∞→lim , 以根据数列极限的定义, ∀ε >0, ∃N1>0, 当n >N 1时, 有|y n -a |<ε ; 又∃N 2>0, 当n >N 2时, 有|z n -a |<ε . 现取N =max{N 1, N 2}, 则当 n >N 时, 有|y n -a |<ε , |z n -a |<ε同时成立, 即a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε ,同时成立. 又因y n ≤x n ≤z n , 所以当 n >N 时, 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε ,即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .简要证明: 由条件(2), ∀ε >0, ∃N >0, 当n >N 时, 有 |y n -a |<ε 及|z n -a |<ε ,即有a -ε<y n <a +ε , a -ε<z n <a +ε , 由条件(1), 有a -ε<y n ≤x n ≤z n <a +ε , 即|x n -a |<ε .这就证明了a x n n =∞→lim .准则I '如果函数f (x )、g (x )及h (x )满足下列条件: (1) g (x )≤f (x )≤h (x );(2) lim g (x )=A , lim h (x )=A ; 那么lim f (x )存在, 且lim f (x )=A .注 如果上述极限过程是x →x 0, 要求函数在x 0的某一去心邻域内有定义, 上述极限过程是x →∞, 要求函数当|x |>M 时有定义, 准则I 及准则I ' 称为夹逼准则.下面根据准则I '证明第一个重要极限: 1sin lim 0=→xx x .证明 首先注意到, 函数xx sin 对于一切x ≠0都有定义. 参看附图: 图中的圆为单位圆, BC ⊥OA , DA ⊥OA . 圆心角∠AOB =x (0<x <2π). 显然sin x =CB , x =⋂AB , tan x =AD . 因为S ∆AOB <S 扇形AOB <S ∆AOD ,所以21sin x <21x <21tan x , 即sin x <x <tan x .不等号各边都除以sin x , 就有xx x cos 1sin 1<<, 或1sin cos <<xx x .注意此不等式当-2π<x <0时也成立. 而1cos lim 0=→x x , 根据准则I ',1sin lim 0=→xx x . 简要证明: 参看附图, 设圆心角∠AOB =x (20π<<x ).显然 BC < AB <AD , 因此 sin x < x < tan x , 从而 1sin cos <<xx x (此不等式当x <0时也成立).因为1cos lim 0=→x x , 根据准则I ', 1sin lim 0=→xx x .应注意的问题:在极限)()(sin lim x x αα中, 只要α(x )是无穷小, 就有1)()(sin lim =x x αα.这是因为, 令u =α(x ), 则u →0, 于是)()(sin lim x x αα1sin lim 0==→uu u .1sin lim 0=→x x x , 1)()(sin lim =x x αα(α(x )→0). 例1. 求xx x tan lim 0→.解: xx x tan lim 0→x xx x cos 1sin lim 0⋅=→1cos 1lim sin lim 00=⋅=→→xx x x x .例2. 求2cos 1lim xxx -→. 解: 2cos 1lim xx x -→=22022)2(2sinlim 212sin 2lim x x x x x x →→=2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→x x x . 2112122sin lim 21220=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=→xxx . 准则II 单调有界数列必有极限. 如果数列{x n }满足条件x 1≤x 2≤x 3≤ ⋅ ⋅ ⋅ ≤x n ≤x n +1≤ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调增加的; 如果数列{x n }满足条件x 1≥x 2≥x 3≥ ⋅ ⋅ ⋅ ≥x n ≥x n +1≥ ⋅ ⋅ ⋅,就称数列{x n }是单调减少的. 单调增加和单调减少数列统称为单调数列.如果数列{x n }满足条件x n ≤x n +1, n ∈N +,在第三节中曾证明: 收敛的数列一定有界. 但那时也曾指出: 有界的数列不一定收敛. 现在准则II 表明: 如果数列不仅有界, 并且是单调的, 那么这数列的极限必定存在, 也就是这数列一定收敛. 准则II 的几何解释:单调增加数列的点只可能向右一个方向移动, 或者无限向右移动, 或者无限趋近于某一定点A , 而对有界数列只可能后者情况发生. 根据准则II , 可以证明极限n n n)11(lim +∞→存在.设n n nx )11(+=, 现证明数列{x n }是单调有界的.按牛顿二项公式, 有n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x 1!)1( )1( 1!3)2)(1(1!2)1(1!11)11(32⋅+-⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅+⋅--+⋅-+⋅+=+=)11( )21)(11(!1 )21)(11(!31)11(!2111nn n n n n n n --⋅⋅⋅--+⋅⋅⋅+--+-++=,)111( )121)(111(!1 )121)(111(!31)111(!21111+--⋅⋅⋅+-+-+⋅⋅⋅++-+-++-++=+n n n n n n n n x n)11( )121)(111()!1(1+-⋅⋅⋅+-+-++n n n n n . 比较x n , x n +1的展开式, 可以看出除前两项外, x n 的每一项都小于xn +1的对应项,并且x n +1还多了最后一项, 其值大于0, 因此x n < x n +1 ,这就是说数列{x n }是单调有界的.这个数列同时还是有界的. 因为x n 的展开式中各项括号内的数用较大的数1代替, 得3213211211121 212111!1 !31!2111112<-=--+=+⋅⋅⋅++++<⋅⋅⋅++++<--n nn n n x .根据准则II , 数列{x n }必有极限. 这个极限我们用e 来表示. 即e nn n =+∞→)11(lim . 我们还可以证明e xx x =+∞→)11(lim . e 是个无理数, 它的值是e =2. 718281828459045⋅ ⋅ ⋅.指数函数y =e x 以及对数函数y =ln x 中的底e 就是这个常数. 在极限)(1)](1lim[x x αα+中, 只要α(x )是无穷小, 就有e x x =+)(1)](1lim[αα.这是因为, 令)(1x u α=, 则u →∞, 于是)(1)](1lim[x x αα+e u u u =+=∞→)11(lim .e xx x =+∞→)11(lim , e x x =+)(1)](1lim[αα(α(x )→0).例3. 求x x x)11(lim -∞→.解: 令t =-x , 则x →∞时, t →∞. 于是x x x )11(lim -∞→t t t -∞→+=)11(lim e tt t 1)11(1lim =+=∞→. 或)1()11(lim )11(lim --∞→∞→-+=-x x x x xx11])11(lim [---∞→=-+=e xx x .。
【知识】微积分知识点概要
【关键字】知识微积分 (知识点概要)第一章函数、极限与连续1．1函数定义与符号1．2极限概念与运算法则1．3求极限的方法1．4函数的连续性1．1函数的定义（P1）1函数的定义1．若变量x、y之间存在着确定的对应关系，即当x的值给定时，唯一y值随之也就确定，则称y是x的函数，记为y=f(x)。
2．确定函数有两个要素：函数的定义域和对应关系。
例如：y=lgx2 与y =2lgx 就不是相同的函数，因为它们的定义域不同。
2函数记号一旦在问题中设定函数y=f(x)，记号“f”就是表示确定的对应规则，f（3）就是表示按此对应规则在x=3时所对应的函数值y等。
3初等函数（P6）称幂函数xk（k为常数），指数函数ax ，对数函数logax （a为常数，a﹥0，a≠1）三角函数及反三角函数为基本初等函数。
凡由基本初等函数经有限次加、减、乘、除及有限次复合且能用一个式子表达的函数，称为初等函数。
4函数的简单性质（1）有界性：（P5）对于函数f(x)，若存在常数M、m对定义域内所有xf(x)≤M 称f(x)有上界f(x)≥m 称f(x)有下界，既有上界又有下界简称有界。
（2）奇偶性：（P3）若函数f(x)的定义域关于x=0的对称区间，又对于定义域内的任意x均有f(-x)=f(x) 则称f(x)为偶函数。
f(-x)=-f(x) 则称f(x)为奇函数。
（3）单调性：（P4）若函数f(x)在[a、b]上有定义对∀x∊[a、b]x1﹤x2 时f(x1)≤f(x2) f(x) 在[a、b]上↗f(x1)≥f(x2) f(x) 在[a、b]上↘（4）周期性:(P5)若存在常数a(a≠0)，使对任意x且有f(x)= f(x+a)则称f(x)为周期函数，称常数a 为f(x)的周期。
1．2极限概念与运算法则1极限的直观定义（P11）当一个变量f(x)在x→a的变化过程中变化趋势是无限地接近于一个常数b，则称变量f(x)在x→a的过程中极限存在。
(完整word版)高等数学D
高等数学D(一)一、内容第一章函数与极限第一节：函数要求：理解函数的概念、会求函数的定义域和函数值。
了解函数的几种特性。
了解反函数、分段函数、复合函数和初等函数的概念，会求反函数。
掌握16个函数及一些常见函数的图形。
第二节：数列的极限第三节：函数的极限要求：理解数列与函数极限的概念。
理解左、右极限的概念、以及极限存在与左右极限之间的关系。
第四节：无穷小与无穷大要求：理解无穷小与无穷大的概念及两者的关系，理解无穷小的性质。
第五节：极限运算法则要求：掌握极限的四则运算法则。
了解复合函数的极限运算法则。
第六节：极限存在准则，两个重要极限要求：会用两个重要极限求极限。
第七节：无穷小的比较要求：了解无穷小的阶的概念，会用等价无穷小求极限。
第八节：函数的连续性第九节：闭区间上连续函数的性质要求：理解函数在点x0处连续与间断点的概念。
了解初等函数的连续性。
理解闭区间上连续函数的性质（最值定理、零点定理）。
第二章导数与微分第一节：导数概念要求：理解可导与导数的概念及导数的表达式。
理解左导数与右导数的概念。
掌握导数的几何意义（含曲线的切线方程与法线方程）。
掌握函数可导性与连续性的关系。
第二节：函数的和、积、商的求导法则要求：记16个函数的求导公式及函数的和、差、积、商的求导法则。
第三节：反函数和复合函数的求导法则要求：掌握复合函数的求导法则。
第四节：高阶导数要求：会求高阶导数。
第五节：隐含数的导数及由参数方程所确定的函数的导数要求：会求隐函数及由参数方程所确定的函数的一阶导数。
第六节：函数的微分要求：了解可微与微分的概念。
掌握函数的一阶微分。
第三章中值定理与导数的应用第一节：中值定理要求：熟悉罗尔定理、拉格朗日中值定理的内容。
第二节：洛必达法则要求：会用洛必达法则求未定式的极限。
第四节：函数的单调性与曲线的凹凸性要求：掌握用导数判定函数的单调性及曲线的凹凸性的方法。
会求曲线的拐点。
会用函数的单调性证明简单的不等式。
(完整word版)高数公式大全
高等数学公式·平方关系:sin^2（α)+cos^2(α）=1tan^2(α）+1=sec^2(α）cot^2(α)+1=csc^2（α)·积的关系：sinα=tanα*cosαcosα=cotα*sinαtanα=sinα*secαcotα=cosα＊cscαsecα=tanα＊cscαcscα=secα＊cotα·倒数关系：tanα·cotα=1sinα·cscα=1cosα·secα=1直角三角形ABC中,角A的正弦值就等于角A的对边比斜边，余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边，·三角函数恒等变形公式·两角和与差的三角函数:cos(α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=（tanα+tanβ)/（1—tanα·tanβ）tan(α-β）=(tanα—tanβ）/(1+tanα·tanβ)·三角和的三角函数：sin（α+β+γ）=s inα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ—sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ)=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1—tanα·tanβ-tanβ·tanγ—tanγ·tanα）·辅助角公式:Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^(1/2）sin(α+t)，其中sint=B/（A^2+B^2）^(1/2)cost=A/（A^2+B^2）^(1/2)tant=B/AAsinα+Bcosα=（A^2+B^2)^（1/2)cos(α-t)，tant=A/B·倍角公式：·三倍角公式:sin（2α)=2sinα·cosα=2/（tanα+cotα) sin(3α）=3sinα—4sin^3(α）cos(2α）=cos^2(α)—sin^2（α)=2cos^2（α）-1=1—2sin^2(α）cos(3α）=4cos^3（α)-3cosαtan（2α）=2tanα/[1-tan^2(α)］·半角公式：sin（α/2）=±√（(1—cosα）/2）cos(α/2）=±√(（1+cosα）/2）tan(α/2)=±√（（1-cosα)/(1+cosα))=sinα/（1+cosα)=（1-cosα)/sinα·降幂公式sin^2（α）=（1-cos(2α）)/2=versin（2α）/2cos^2（α）=(1+cos(2α)）/2=covers（2α）/2tan^2（α)=(1-cos（2α))/(1+cos(2α))·万能公式：sinα=2tan（α/2)/［1+tan^2(α/2)]cosα=［1-tan^2(α/2)］/[1+tan^2（α/2）]tanα=2tan(α/2)/［1-tan^2(α/2)］·积化和差公式：sinα·cosβ=（1/2)[sin（α+β）+sin（α-β）]cosα·sinβ=(1/2）[sin（α+β）—sin(α—β)]cosα·cosβ=（1/2）［cos（α+β)+cos（α-β）］sinα·sinβ=—（1/2）［cos(α+β）-cos(α—β)］·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[（α+β)/2]cos［（α—β)/2］sinα—sinβ=2cos[（α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[（α+β）/2]cos［（α-β）/2]cosα—cosβ=—2sin[(α+β)/2］sin[(α—β）/2]·推导公式tanα+cotα=2/sin2αtanα—cotα=—2cot2α1+cos2α=2cos^2α1-cos2α=2sin^2α1+sinα=（sinα/2+cosα/2)^2·其他：sinα+sin(α+2π/n）+sin(α+2π＊2/n）+sin（α+2π＊3/n)+……+sin[α+2π＊(n-1）/n］=0cosα+cos（α+2π/n)+cos（α+2π*2/n）+cos(α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n—1）/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3）+sin^2(α+2π/3）=3/2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan(A+B）=0三角函数的角度换算［编辑本段]公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：sin(2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：设α为任意角,π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot(π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系：sin(－α）＝－sinαcos(－α)＝cosαtan（－α）＝－tanαcot(－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot(π－α)＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α)＝－sinαcos(2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α)＝－cotα公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：sin(π/2＋α)＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α)＝－tanαsin（π/2－α)＝cosαcos（π/2－α)＝sinαtan（π/2－α)＝cotαcot(π/2－α)＝tanαsin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan(3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α)＝－tanαsin(3π/2－α)＝－cosαcos(3π/2－α)＝－sinαtan（3π/2－α)＝cotαcot（3π/2－α)＝tanα(以上k∈Z）部分高等内容［编辑本段］·高等代数中三角函数的指数表示（由泰勒级数易得)：sinx=［e^（ix)—e^(-ix)]/(2i) cosx=[e^（ix）+e^（—ix)］/2 tanx=[e^（ix)-e^（-ix）]/［ie^(ix)+ie^(—ix）］泰勒展开有无穷级数，e^z=exp（z）＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3!＋z^4/4！＋…＋z^n/n!＋…此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
(完整word版)四川专升本高等数学公式(内容有删减)
四川专升本高等数学公式内容有删减导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：函数 角A sincostancot-α -sinα cosα -tan α -cot α 90°-α cosα sinαcot αtan α90°+α cosα -sinα -cot α -tan α 180°-α sinα-cosα -tan α -cot α180°+α -sinα -cosα tan α cot α 270°-α -cosα -sinα cot α tan α270°+α -cosα sinα -cot α -tan α 360°-α -sinα cosα -tan α -cot α 360°+αsinαcosαtan αcot α·和差角公式： ·和差化积公式：·倍角公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( αααααααααα23333133cos 3cos 43cos sin 4sin 33sin tg tg tg tg --=-=-=αααααααααααααα222222122212sin cos sin 211cos 22cos cos sin 22sin tg tg tg ctg ctg ctg -=-=-=-=-==·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ万能公式高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
全部高等数学计算公式word版本
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yxr)()()(1,1,1sin),,(sin),,(),,(sinsincossinsincossin),sin,cos(),,(,),,(),,(,sincos222222200),(0222， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标：
函数
A sin cos tg ctg
α -
cosα -tgα -ctgα
-α cosα sinα ctgα tgα
+α cosα -
-ctgα -tgα
-α sinα -
-tgα -ctgα
+α -
-cosα tgα ctgα
-α -
-sinα ctgα tgα
+α -
00000000000000000000000000000000000000000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzzzyxFyyzyxFxxzyxFzyxFzyxFzyxFnzyxMzyxFGGFFGGFFGGFFTzyxGzyxFzztyytxxtMtzztyytxxzyxMtztytxzyxzyxzyxyxyxxzxzzyzy、过此点的法线方程：：、过此点的切平面方程、过此点的法向量：，则：上一点曲面则切向量若空间曲线方程为：处的法平面方程：在点处的切线方程：在点空间曲线
调和级数：等差数列：等比数列：
nnnqqqqqnn1312112)1(32111112
存在，则收敛；否则发、定义法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：、比值审敛法：时，不确定时，级数发散时，级数收敛，则设：别法）：—根植审敛法（柯西判—、正项级数的审敛法
(完整word版)考研314数学(农)大纲
数学 (农)纲领一、函数、极限、连续函数的观点及表示法函数的有界性、单一性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的成立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限及其关系无量小量的性质及无量小量的比较极限的四则运算有界准则和夹逼准则两个重要极限:无量小量和无量大批的观点极限存在的两个准则:单一函数连续的观点函数中断点的种类初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质1.理解函数的观点 ,掌握函数的表示法 ,会成立应用问题的函数关系。
2.认识函数的有界性、单一性、周期性和奇偶性。
3.理解复合函数及分段函数的观点,认识反函数及隐函数的观点。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形,认识初等函数的观点。
5.认识数列极限和函数极限 (包含左极限和右极限 )的观点。
6 认识极限的性质与极限存在的两个准则 ,掌握极限的四则运算法例 ,掌握利用两个重要极限求极限的方法。
7 理解无量小量的观点和基天性质 ,掌握无量小量的比较方法 ,认识无量大批的观点及其与无量小量的关系。
8.理解函数连续性的观点 (含左连续与右连续 ),会判断函数中断点的种类。
9. 认识连续函数的性质和初等函数的连续性,理解闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理 ),并会应用这些性质。
二、一元函数微分学导数和微分的观点导数的几何意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线和法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数和隐函数的微分法高阶导数微分中值定理洛必达 (L ’Hospital)法例函数单一性的鉴别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数的最大值与最小值1. 理解导数的观点及可导性与连续性之间的关系,认识导数的几何意义,会求平面曲线的切线方程和法线方程。
2. 掌握基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法例及复合函数的求导法例,会求分段函数的导数 ,会求隐函数的导数。
(完整word版)大一上学期高数复习要点
大一上学期高数复习要点同志们，马上就要考试了，考虑到这是你们上大学后的第一个春节，为了不影响阖家团圆的气氛，营造以人文本，积极向上，相互理解的师生关系，减轻大家学习负担，以下帮大家梳理本学期知识脉络，抓住复习重点；1.主要以教材为主，看教材时，先把教材看完一节就做一节的练习，看完一章后，通过看小结对整一章的内容进行总复习。
2.掌握重点的知识，对于没有要求的部分可以少花时间或放弃，重点掌握要求的内容，大胆放弃老师不做要求的内容。
3.复习自然离不开大量的练习，熟悉公式然后才能熟练任用。
结合课后习题要清楚每一道题用了哪些公式。
没有用到公式的要死抓定义定理！一.函数与极限二.导数与微分三.微分中值定理与导数的应用四.不定积分浏览目录了解真正不熟悉的章节然后有针对的复习。
一函数与极限熟悉差集对偶律（最好掌握证明过程）邻域（去心邻域）函数有界性的表示方法数列极限与函数极限的区别收敛与函数存在极限等价无穷小与无穷大的转换夹逼准则（重新推导证明过程）熟练运用两个重要极限第二准则会运用等价无穷小快速化简计算了解间断点的分类零点定理本章公式：两个重要极限：二.导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 .②洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止.③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等.曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）对原函数的理解原函数与不定积分1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质最后达到的效果是会三算两证（求极限，求导数，求积分）（极限和中值定理的证明），一定会取得满意的成绩！高数高频易错点1.求极限请注意自变量趋向什么。
两个重要极限、无穷小的比较精选全文
可编辑修改精选全文完整版经济数学【教学过程】 一、两个重要极限 1.重要极限Ⅰ0sin lim1x xx→=说明：（1）这个重要极限主要解决含有三角函数的型极限． (2）为了强调其一般形式,我们把它形象地写成0sin lim 1→=口口口(方框□代表同一变量)．（3）0lim 1sin x xx →=例1 求 0sin 3lim sin 5x xx →解：0000sin 33sin 353sin 353lim lim lim lim sin 553sin 553sin 55x x x x x x x x x x x x x x →→→→===例2 求 0tan 3lim x xx →解：000tan 3sin 31sin 33lim lim()lim()cos33cos3x x x x x x x x x x x→→→==00sin 31lim 3lim 13133cos3x x x xx →→==⨯⨯=例3 求201cos lim x xx →-解：22220002sin sin1cos 11122lim lim lim 12222x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎢⎥-===⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2.重要极限Ⅱ1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭说明：（1）此极限主要解决 1∞型幂指函数的极限．（2）它可形象地表示为 1lim1e →∞+=口口（）口(方框□代表同一变量)． （3）在上式中，令1z x=，可得 10lim(1) e.z z z →+=例4 求 2lim(1)xx x→∞+解：所求极限的类型是1∞型，令2xu =，则2x u =222221lim(1)lim(1)lim 12ux ux u u e xu u →∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫+=+=+=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦例5 求()10lim 12xx x →-解：所求极限是1∞型()()()21120lim 12lim 12x xx x x x --→→⎡⎤-=+-⎢⎥⎣⎦()()212220lim 12x x x e ----→⎡⎤=+-=⎢⎥⎣⎦例6 求 lim()1xx x x →∞+解：111lim()lim 111(1)lim(1)x x x x x x x x ex x→∞→∞→∞===+++例7 求 3lim 1xx x x →∞+⎛⎫⎪-⎝⎭解：所求极限是1∞型，令3111x x u+=+-，解得41x u =+，当x →∞时， u →∞，于是41443111lim lim(1)lim(1)lim(1)1xu u x u u u x e x u u u +→∞→∞→∞→∞+⎛⎫=+=++= ⎪-⎝⎭ 小结：（1）利用1sin lim0=→x x x 求极限时，函数的特点是0型，满足)()(sin lim0)(x u x u x u →的形式，其中()x u 为同一变量； （2）用x x x)11(lim +∞→求极限时，函数的特点∞1型幂指函数，其形式为[])(1)(1x x αα+型,()x α为无穷小量，而指数为无穷大，两者恰好互为倒数；（3）用两个重要极限公式求极限时，往往用三角公式或代数公式进行 恒等变形或作变量代换，使之成为重要极限的标准形式。
word版,侯风波版《高等数学》练习答案
第一章函数班级学号姓名第一章函数习题函数一、填空题：略 .二、略.三、图略.四、图略；0，2， 6.五、1.函数f(x)与g(x)不同样；2.函数f(x)与g(x)是同一个函数.六、ylog a(2t)3.七、1.y log au,usinv,v2w,w1；2.y arcsinu,u v,v lgw,w x1；3.y cosu,u v2,v e x1；4.y u2,ucosv,v lnw,w x22x 1.第二章极限与连续习题一极限的观点一、判断题：略.二、图略；lim()=0. x0f x三、(1)f(x)无定义,g(1)2,h(1)3；(2 )lim f()2；lim()2；lim() 2. x1xxg xx1hx1四、左极限lim()0；右极限lim()1；函数在x0处的极限不存在.x0f x x0f x五、（1）lim()2；lim()1；lim()不存在；x1f x x1f x x1f x（2）lim f(x)lim f(x)9；lim f(x)9；x3x34x34222（3lim()4；lim()8；li()不存在.）mx2f x x2f x x2f x 习题二极限的四则运算一、求以下极限1.30；2.17；3.40；4.1．4二、10x2x；1．1第一章函数 班级 学号 姓名三、求以下极限1.12； 2.0； 3.4；4.1．6四、求以下极限1.2；2.2．331五、． 六、1．习题三两个重要极限一、求以下极限 1.1；2.16；3.1；4.1；5.1；6.8．24二、求以下极限1. e 3；2.e 2；3.e 9；4. 12．e习题四 无量小与无量大一、1. x ；2.x0 ．二、1. x1及x；2.x．三、1.x 1；2. x 1 ．四、求以下极限 0；2.0．五、sin 3x 是比4x 2高阶的无量小．六、提示：由极限运算及等价无量小定义．习题五函数的连续与中断一、选择题：略. 二、a2.三、1. 可去中断点是x 1；2. x7 为函数的第二类中断点； x 1为函数的跳跃中断点.四、求以下极限1.0；2. 1；3.1；4.4.22五、1,4 为函数的定义区间，即为函数的连续区间.2第一章函数 班级 学号 姓名第三章 导数与微分 习题一 导数的定义一、1.f(1)2；2.f(2)3.4二、y a .三、f(0) 0.四、左导数f(0)1，右导数为f _(0)0，函数在x 0处的导数不存在.五、在（1，1）点处切线平行于直线.习题二 导数的四则运算 一、填空题：略．二、求以下函数的导数1.y5x 43 ；xln22. ye x (sinxcosx)；3 2 3. y1 x2 5x 3；34.y1 [(2xlnx1 x)cosx(1x 2)lnxsinx]；cos 2 xx21x 25. y 3sec x1 x 2；6.y2xarctanx1x 2．三、①定义域R 即为函数的连续区间；dy2x 32② 5sinxx 5 cosx ；dx5③由定义，f(0)0；32④f(x)2x 5 sinxx 5cosx ．5习题三 复合函数求导3一、填空题：略 .二、求以下函数的导数1.ysin2x sinx 22xsin 2 xcosx 2；sin2x21112. y e [sec x (x 2)2cos2xtan x ]；3.y200(1 x) 99(1x)101 ；yxcos 11sin 1]；4. ex[cos 1xxx5.y1 3sin3xx cos3x ；6. y1.2xlnxln(lnx)三、v(t) wsin2(wt )；a(t)2w 2cos2(wt).四、ye f(x)[f(e x )e xf(e x )f(x)].习题四隐函数对数函数求导高阶导数一、是非题：略．二、求以下方程所确立的隐函数y f(x)的导数1. yy1e xsinx ；2. yy e x y ．e xxe x y x三、用对数求导法求以下函数的导数1. y14(x1)(x1)3(23 4x)(13 4 11)4 (x2)(x3)x1x1234xx2x32.dy x 2x (2lnx2)．dx四、切线方程为y0．五、求以下函数的二阶导数 1. y10x 3(9x 54)；42.y12e2x2cosx；x23.y360(12x)8；4.y6400sin2x．习题五微分一、填空题：略.二、求以下函数的微分1.dy2(1xcosx)1sinxdx；2.dy e2x(2sin3x3cos3x)dx；3.dy12lnxdx；x33e3x14.dy1e6x2dx.三、求方程所确立的隐函数y f(x)的微分dy1.dye x2xydx； 2.dyb2xx2cosy a2dx.y四、利用微分计算以下各数的近似值1.3；2.e.五、球的体积扩大概为3 1800πcm.第四章微分学的应用习题一洛必达法例一、是非题：略.二、求以下各式的极限1.0；2.1；3.1；4.0.三、求以下各式的极限1.0；2.0.四、求以下极限11.0；2.1；3.1；4.e2；5.3；6.0.5第一章函数 班级 学号 姓名习题二 函数的单一性一、单项选择题：略． 二、求以下函数的单一区间1. 单增区间( ,0) (2,)，单减区间(0,2)；2. 单增区间( ,0) ，单减区间(0,)；3. 单增区间(1,)，单减区间(0,1)；224.单增区间(, 1) (0,)，单减区间(1,0)．三、提示：利用函数单一性证明．四、单一递加区间( 1 , )，单一递减区间(, 1 ).22习题三 函数的极值一、单项选择题：略．二、1.f(x)；2. f(x)；3.极小值；4. f(1) 3．三、最大值为f( 1) 10，最小值为f(3)22．四、极大值为f(0)0，极小值为f(2 ) f( 2)1 ．224五、当直径2r 与高h 之比为1∶1时，所用的资料最少．习题四 曲线的凹凸性与拐点一、填空题：略 ．二、曲线在(,23)及( 2 3 , )内上凹,在(2 3 , 23 )内下凹，拐点为(23 , 10 )和33 3 33 9(23,10)．396第一章函数 班级 学号 姓名三、函数在(0,2)上的极大值为1 23 1；最大值为f(2)1，最小值为f()，极小值为f(1)327f(1) 1；拐点为(2，25).327四、表示图:第五章 不定积分习题一 不定积分的观点与基本公式一、填空题：略 . 二、选择题：略 .三、计算以下不定积分3 131.x 3 C ；132. 3x3x C ；5xln353. 13sinx 2lnxC ；xcosx2arcsinx πxC .四、求解以下各题1.f(x)dx2e 2xC ；2. f(x)e xsec 2 x ；所求函数为yx 33x2.习题二 不定积分的换元积分法7第一章函数 班级 学号 姓名一、填空题：略． 二、选择题：略．三、多步填空题：略． 四、计算以下不定积分1. 1 x 2 C ；2.1arcsinx 2C ；23.1ln(1 x 4)arctanx 2C ；414. tanxtan 3x C ；2335.x 221xC；133arccos36. x 29 C ．x习题三 分部积分法 简单有理函数的积分一、填空题：略 .二、多步填空题：略 . 三、求以下不定积分1. 1 xx 1 C ；2e12. (x 2x)lnxx 2xC ；243. (x22x2)e xC ；14. xarcsinx (1x 2)2C ； 5. 2 xcos x2sinx C ；6. (x2)2C .lnx3四、e 2x f(e x )dx e x f(e x )f(e x )C ．第六章 定积分习题一 定积分的观点 微积分基本公式8第一章函数 班级 学号 姓名一、选择题：略 .二、求以下定积分1.3343；2.424；3. 2；4.1 π 4；6. 1.；5.4346三、解答以下各题1. f(x)sinx 4 2x ；x f(t)dt3；2.lim2x0 x2723.f(x)dx.16习题二 定积分的换元积分法与分部积分法一、填空题：略.二、求以下定积分21(e 2 31. 2(2e)；2.π；3.1)；4. π1；32412 25. ln 9 ；6.2 ；7.1(e 21)；8.ln2 1 .4 a222 3习题三 定积分的应用2一、S.3二、Vπr 2h .32三、（1）S2π；（2）V.2四、两部分面积比为 (2π4):(8π2π4)=(6π4):(18π4).33五、Wπr 4.49第一章函数班级学号姓名1.六、P 18g.2.3.4.5.6.习题四失常积分7.一、填空题：略．8.9.二、选择题：略．10.11.三、计算以下广义积分12.1；2.π．22四、x dx发散．x21第七章常微分方程习题一常微分方程的基本观点与分别变量法一、判断正误：略.二、填空题：略.三、多步填空题：略.四、求解以下各题1.1y21C（此中C C1为随意常数）；3x2.冷却规律为T(t)2030e kt.习题二一阶线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．2三、通解为y 1Ce x（此中C为随意常数）．习题三二阶常系数齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、求以下微分方程的通解1.y C1e6x C2e x；10第一章函数班级学号姓名2.y(C1C2x)e5x；1x333.y e2(C1cos xC2sinx)；224.y Ce25x．四、f(x)y2e x1．习题四二阶常系数非齐次线性微分方程一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、y513e4x(4x 8)e x．43639四、求以下微分方程知足初始条件的特解（1）y(xx2)e2x；（2）y sinx．第八章空间分析几何习题一空间直角坐标系与向量的观点一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.3AB2AC2ij3k；2.dAB14；3.3,3,3和3,3,3；9999994.C(2,0,0)．习题二向量的点积与叉积一、是非题：略．二、填空题：略．11第一章函数班级学号姓名三、选择题：略．三、求解以下各题5371.,,；83 8383b12,6,4；S ABC321．习题三平面和直线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.4x 3y z5；zy2；3.x 1 y 2 z1；1124.①p5；②p7．习题四曲面与空间曲线一、填空题：略．二、选择题：略．三、求解以下问题1.方程为y2z24x，是旋转抛物面；2.y2z5,投影方程为0;x3.x22z40,投影方程为y0．第九章多元函数微分学12习题一多元函数及其极限一、填空题：略．y(x,y)1x 2y 2二、函数的定义域为 4；草图三、lim2xy41．Oxx0xy4y0四、表面积Sπr 2 2πrh ，体积Vπr 2h ．五、f(x,y)f(0,0)(x)(y)=(x)2 (y)2．习题二 偏导数及高阶偏导数 一、是非题：略．二、填空题：略． 三、解以下各题1. z4x ，z9y 2；xy2. z4xy 3，z6x 2y 2；x y3. z2xlny ，z0x1x ，xyy y2z2zx 2z1；x 22，y 2，yy 2yx4. fyarctanz ，fxarctanz ，fxy ．xyz1z 2四、略．习题三 全微分一、填空题：略． 二、解答以下各题1. dz y(lnx 1)dx xlnxdy ；2. duyx y1dx(x y lnxsinz)dyycoszdz ；3.z ；13dz．三、sin0.01cos0.03 ．四、对角线变化约为．五、所需水泥的近似值为3．习题四复合函数的偏导数一、填空题：略．二、多步填空题：略．三、解以下各题1.dz1；dt2.z z，z z(x y)；x y y y23.z xycos2y(2sinx xcosx)，zx2sinx(cos2yysin2y)．x y 习题五偏导数的几何应用一、填空题：略．二、求解以下各题1.2.切线方程为3.4.切平面方程为x1y1z1和x3y9z27；12312272(x 1) 4(y 1) (z3)=0；3.切线方程为x1y1z1，1691法平面方程为16(x1)9(y1)1(z1)0．习题六多元函数的极值一、判断题：略．二、选择题：略．三、计算以下各题1.函数在(2,1)点获得极小值24；当端面半径与半圆柱高知足r:h1:2时，所用资料最省．第十章多元函数积分学14第一章函数 班级 学号 姓名习题一 二重积分及其在直角坐标系下的计算一、判断题：略．二、填空题：略． 三、计算以下各题 1. I 0；①I2 2x 2dy2. dx0y1 y 2xIe ydx3.dy 032；②Idy y y 2dx32 ；423 0231 ．2习题二 极坐标下二重积分的计算及二重积分的应用一、填空题：略． 二、多步填空题提示：(x 2y2)xyr 22 θ 1r 2edderdd θdredrrDD2d θ11r 22)2 1 1 1ed(r(1)d θπ(1)．0 022ee三、求解以下各题1.cos(x22 )dxdy2 ；（提示：化为极坐标下的二重积分） ； y πD22.V32π；3. 薄片的质量为1．12第十一章 级数习题一 数项级数一、判断题：略． 二、选择题：略．三、判断以下级数的敛散性(1)n 发散；n111 11 发散；2.4 62n23.1 当x0或x2时收敛，当2x0时发散；(1 x)nn 14.1 收敛；n22nn 1155.( 1)n 1n 收敛；n12n 6.2 ( 1)n收敛．3nn1习题二 幂级数一、填空题：略． 二、求解以下各题1. 级数2n x n 的收敛半径为R 1 ；2n2n 12. 级数2nx 2n1 的收敛半径为R202n；n123. 级数(x 1)n 的收敛域为[1,3)；n0n2n4. 级数nx n 1的和函数为S(x)(1 1 ；n 01x)2x 3x 2n 1的和函数为S(x)ln(1 15. 级数xx)2．32n 11 x习题三 函数的幂级数睁开 一、填空题：略 .二、求解以下各题x (x )2(x )3(x )n11. 睁开为ln(2x)22 ( 1) n2 ，收敛域为x(2,2]；ln223(n1)22.睁开为sin 2x(2x)2 (2x)4 ( 1)n1 (2x)2n，收敛域为x(,)；2 2!24!2(2n)!3.2x =1x2x ln2(ln2)22x x 2(ln2)32x x 3(ln2)n 2xx n，收敛区间为2! 3!n!x( , )；164.睁开式为21(1)n x n1(1)n(x)n，收敛区间为(1,1).x3x2n02n0217。
(完整版)高等数学笔记(可编辑修改word版)
⑷若 lim ,则称β是比α较低阶的无穷小量
2
lim 1
定理：若：1 ~ 1， 2 ~ 2；则：
2
lim
1 2
㈢两面夹定理
1． 数列极限存在的判定准则：
设： yn xn zn （n=1、2、3…）
且：
lim
n
yn
lim
n
zn
a
则：
lim
n
xn
a
2． 函数极限存在的判定准则：
设：对于点 x0 的某个邻域内的一切点 （点 x0 除外）有：
第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数
一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D
定义域: D(f), 值域: Z(f).
2.分段函数:
y
f (x) g( x)
x D1 x D2
3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y)
x x0
㈡无穷大量和无穷小量
1． 无穷大量： lim f (x)
称在该变化过程中 f (x) 为无穷大量。
X 再某个变化过程是指：
x , x , x , x x0, x x0 , x x0
2． 无穷小量： lim f (x) 0 称在该变化过程中 f (x) 为无穷小量。 3． 无穷大量与无穷小量的关系：
g(x) f (x) h(x) 且： lim g(x) lim h(x) A 则： lim f (x) A
x x0
x x0
x x0
㈣极限的运算规则
若： lim u(x) A, lim v(x) B
则：① lim[u(x) v(x)] limu(x) lim v(x) A B
301数学一(可编辑修改word版)
301 数学一考试内容与考试要求3高等数学函数极限连续1. 理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2. 了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性．3. 理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4. 掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5. 理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念以及函数极限存在与左极限、右极限之间的关系．6. 掌握极限的性质及四则运算法则．7. 掌握极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法．8. 理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较方法，会用等价无穷小量求极限．9. 理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．10. 了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质．一元函数微分学1. 理解导数和微分的概念，理解导数与微分的关系，理解导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的关系.2. 掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，掌握基本初等函数的导数公式.了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分.3. 了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数.4. 会求分段函数的导数，会求隐函数和由参数方程所确定的函数以及反函数的导数.5. 理解并会用罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理和泰勒(Taylor)定理，了解并会用柯西(Cauchy)中值定理.6. 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法.7. 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用.8. 会用导数判断函数图形的凹凸性(注：在区间内，设函数具有二阶导数。
1极限存在准则-两个重要极限(可编辑修改word版)
n 2 + i∑∑n n n n n n第一章第六节极限存在准则 两个重要极限【教学目的】1、了解函数和数列的极限存在准则；2、掌握两个常用的不等式；3、会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、夹逼准则；2、单调有界准则；3、两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（3 分钟）。
首先给出极限存在准则（10 分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5 分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（10 分钟）；课堂练习（5 分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限 1000 11、limn →∞i =11000 个 0 相加，极限等于 0。
n 2、limn →∞i =11 无穷多个“0”相加，极限不能确定。
3、lim x ，其中 x = n →∞， x 1 = ，极限不能确定。
对于 2、3 就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则：一、极限存在准则1. 夹逼准则准则Ⅰ 如果数列 x n , y n 及 z n 满足下列条件:(1) y n ≤ x n ≤ z n (2) lim y = a , n →∞(n = 1,2,3 )lim z = a , n →∞那么数列 x 的极限存在, 且lim x = a . n →∞证： y n → a ,z n → a , ∀> 0, ∃N 1 > 0, N 2 > 0, 上 上上 n > N 1 上上上y n - a < , 上 n > N 2上上上z n - a < ,n 2+ i 3 + x n - 1 3n2+ 1 n2+ 2 n2+ nn2+ 1 n2+ n11+1n11+1n2nn取N = max{N1 , N2}, 上两式同时成立, 上a-<y n<a+,a-<z n<a+,当n > N 时，恒有a-<y n≤x n≤z n<a+,上x n -a <上上, ∴lim x =a.n→∞ 上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则Ⅰ′ 如果当x ∈U (x0,) (或x>M)时,有(1) g(x) ≤ f (x) ≤h(x),(2) lim g(x) =A,x→x0( x→∞) lim h(x) =A, x→x0( x→∞)那么limx→x0( x→∞)f (x) 存在, 且等于A .准则I和准则I' 称为夹逼准则。
两个重要极限
(11)[x](11 )x(11)[x] 1
[x] 1
x [x]
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29
思考题
计算lxi m
2 3
x x
x2
解 因为 2x3x ( 1 ) 11.
3x 3x
x 3
所以令 u = x - 3 ，当 x 时 u ，因此
lim 2xxlim 11u5 x 3x u u
lim 11u115e1e. u u u
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30
第一章 作业2
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31
两个重要极限的证明
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32
两个重要极限的证明
例 证 明limsinx1. x0 x
证 AOB 面积 < 扇形AOB 面积 < AOC 面积, 即
R2sin xR2xR2taxn,
2
22
各式同除以 R2正 sinx值 ,得 2
1 x 1 , sinx coxs
BC
R
x O
A
即coxs sinx1. x
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33
下 面 我 们l来 imc证 oxs 明 1. x0
因为
0≤ 1coxs2si2nx 2sixnsixn≤ 21xx,
2
22 2
且lim x0,所以由 6推 定得 l理 i(1 m co x ) s 0 ，
x0
x 0
可 li知 c m o x 1 s,又l因 i1 m 1 ,为 所以再次
解 lim (x1)3xlim (11)3x
x x
x x
lxim（ 1
1 )x x
3
e3
精选可编辑ppt
23
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案
（完整word版）数学分析—极限练习题及详细答案⼀、选择题1.若0()lim1sin x x xφ→=，则当x 0→时，函数(x)φ与（）是等价⽆穷⼩。
A.sin ||xB.ln(1)x -C.11.【答案】D 。
2.设f(x)在x=0处存在3阶导数，且0()lim 1tan sin x f x x x→=-则'''f (0)=（）A.5B.3C.1D.0 2.【答案】B.解析由洛必达法得30002()'()''()limlimlim1tan sin 2cos sin sin cos cos x x x f x f x f x x x x x xx x -→→→==-+-42200''()''()lim lim 16cos sin 2cos cos 21x x f x f x x x x x --→→===-++++可得'''f (0)3= 3.当x 0→时，与1x 133-+为同阶⽆穷⼩的是（） A.3x B.34x C.32xD.x3.【答案】A.解析.12233312332000311(1)1133lim lim (1)3313x x x x x x x ---→→→-+?==+=选A 。
4.函数2sin f ()lim 1(2)nn xx x π→∞=+的间断点有（）个A.4B.34.【答案】C.解析.当0.5x >时，分母→∞时()0f x =，故20.5sin 12lim1(2(0.5))2n x π→--=-+?-， 20.5sin12lim1(20.5)2n x π→=+?，故，有两个跳跃间断点，选C 。
5.已知()bx xf x a e=-在（-∞，+∞）内连续，且lim ()0x f x →∞=，则常数a ，b 应满⾜的充要条件是（）A.a>0，b>0B.a ≤0，b>0C.a ≤0，b<0D.a>0，b<05.【答案】B 。
考研数学公式(word版)
考研数学公式（word版）高等数学公式导数公式：(tgx)??sec2x(ctgx)???csc2x(secx)??secx?t gx(cscx)???cscx?ctgx(ax)??axlna1(logax)? ?xlna基本积分表：(arcsinx)??11?x21(arccosx)???1?x21(arctg x)??1?x21(arcctgx)???1?x2?tgxdx??lncosx ?C?ctgxdx?lnsinx?C?secxdx?lnsecx?tgx? C?cscxdx?lncscx?ctgx?Cdx1x?arctg?C?a2 ?x2aadx1x?a?ln?x2?a22ax?a?Cdx1a?x??a 2?x22alna?x?Cdxx?arcsin?C?a2?x2a?2nd x2?sec2?cosx?xdx?tgx?Cdx2?csc?sin2x?x dx??ctgx?C?secx?tgxdx?secx?C?cscx?ctg xdx??cscx?Cax?adx?lna?Cx?shxdx?chx?C ?chxdx?shx?C?dxx2?a2?ln(x?x2?a2)?C?2I n??sinxdx??cosnxdx?00n?1In?2n???x2a22 x?adx?x?a?ln(x?x2?a2)?C22x2a2222x?ad x?x?a?lnx?x2?a2?C22x2a2x222a?xdx?a?x ?arcsin?C22a22三角函数的有理式积分：2u1?u2x2dusinx?，cosx?，u?tg，dx? 21?u21?u21?u2 一些初等函数：两个重要极限：ex?e?x双曲正弦:shx?2ex?e?x双曲余弦:chx?2shxex?e?x双曲正切:thx??chxex?e?xarshx?ln(x?x2?1）archx??ln(x?x2?1)11?xarthx?ln21?x三角函数公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α sin limsinx?1x?0x1lim(1?)x?e???xcos tg -tgα ctgα ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα -sinα cosα cosα cosα sinα sinα -sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα -sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα cosα -tgα tgα -ctgα -tgα ·和差角公式：·和差化积公式：sin(???)?sin?cos??cos?sin?cos(???)?cos?c os??sin?sin?tg(???)?tg??tg?1?tg??tg?ctg?? ctg??1ctg(???)?ctg??ctg?sin??sin??2sin??? 22??????sin??sin??2cossin22??????cos??c os??2coscos22??????cos??cos??2sinsin22cos??? ·倍角公式：sin2??2sin?cos?cos2??2cos2??1?1?2sin2? ?cos2??sin2?ctg2??1ctg2??2ctg?2tg?tg2?? 1?tg2? ·半角公式：sin3??3sin??4sin3?cos3??4cos3??3cos?3tg ??tg3?tg3??1?3tg2?sintg?2????1?cos??1?c os?cos??2221?cos?1?cos?sin??1?cos?1?cos?s in???ctg????1?cos?sin?1?cos?21?cos?sin?1?cos ?abc???2R·余弦定理：c2?a2?b2?2abcosCsinAsinBsinC?2 ·正弦定理：·反三角函数性质：arcsinx??2?arccosxarctgx??2?arcctgx 高阶导数公式——莱布尼兹公式：(uv)(n)k(n?k)(k)??Cnuvk?0n?u(n)v?nu(n?1)v??n(n?1)(n?2)n(n?1)?(n?k?1)(n?k)(k)u v?????uv???uv(n)2!k! 中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f(b)?f(a)?f?(?)(b?a)f(b)?f(a)f?(?)柯西中值定理：?F(b)?F(a)F?(?)曲率：当F(x)?x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。
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2.5.1 两个重要极限（第一课时）
——新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 复习该章的重点内容。
2. 理解重要极限公式。
3. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入
（1）极限存在性定理： lim f (x ) = A ⇔ x → x
lim x → x 0+
f (x ) =
lim x → x 0-
f (x ) = A
（ 2） 无 穷 大 量 与 无 穷 小 量 互 为 倒 数 ， 若 f (x ) → ∞（x → x 0）， 则
1
f (x )
→ （0 x → x 0）
（3） 极限的四则运算：
lim [ f (x ) ± g (x )] = lim f (x ) ± lim g (x ) lim [ f (x ) ⋅ g (x )] = lim f (x ) ⋅ lim g (x ) lim
f (x ) =
lim f (x )
(lim g (x ) ≠ 0)
g (x ) lim g (x )
（4） lim [cf (x )] = c lim f (x ) （加法推论）
（5） lim [ f (x )]k = [lim f (x )]k （乘法推论）
（6） lim [无穷小量⨯ 有界变量] = 0 （无穷小量的性质）
eg: lim
sin x = lim
⎛ 1 ⋅ sin x ⎫
= 0
x →∞
x
⎪ x →∞⎝ x ⎭
lim ⎪
=
lim ⎪
⋅ 那么， lim
sin x = ？呢，这是我们本节课要学的重要极限
x →0
x
2、掌握重要极限公式
lim sin x
= 1 x →0 x 公式的特征：（1） 0 型极限；
（2） 分子是正弦函数；
（3） sin 后面的变量与分母的变量相同。
3、典型例题 【例 1】 求
lim
sin x
(k ≠ 0)
x →0 kx
解： lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 kx
k x →0 x k k 【例 2】 求 lim tan x
x →0 x
解： lim tan x = ⎛
sin x 1 ⎫ = lim sin x ⋅ lim 1
= 1⨯1 = 1 x →0 x x →0 ⎝ x
cos x ⎭ x →0 x x →0 cos x （推导公式： lim tan x
= 1 ）
x →0 x
【例 3】 求 lim sin 5x
x →0 x
解： lim sin 5x = lim 5 ⋅ sin 5x = 5 ⋅ lim sin 5x
= 5 ⋅1 = 5
x →0 x x →0 5x
x →0 5x 4、强化练习
（1） lim
sin x
（2） lim
sin kx
(k ≠ 0)（3） lim
sin 5x
(4)
lim tan 2x
x →0
3x x →0 x
x →0 3x x →0 x
解：（1） lim sin x = 1 lim sin x = 1 ⨯1 = 1
x →0 3x
3 x →0 x 3 3 （2） lim sin kx = lim k ⋅ sin kx = k ⋅ lim sin kx
= k ⋅1 = k
x →0 x x →0 kx x →0 kx （3） lim sin 5x = ⎛ sin 5x 5 ⎫ lim ⎪ 5 ⋅ l im sin 5x = 5 ⋅1 = 5 x →0 3x x →0 ⎝ 5x 3 ⎭ 3 x →0 5x
3 3 （4） lim tan 2x = ⎛ sin 2x 1 ⎫ = 2 ⋅ lim sin 2x ⋅ lim 1
= 2 ⨯1⨯1 = 1 x →0
x
x →0
⎝ x
cos 2x ⎭
x →0
2x
x →0
cos 2x
四、小结:
本节课我们学习了一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
在运用这个公式时，要注意两点：一是分子中的三角函数转换为正弦函数，二是分子 sin 后面的变量与分母的变量相同。
五、布置作业:
（1）lim sin x （2）lim sin 3x（3）lim sin 5x(4) lim tan 3x
x→0 5x x→0 x x→0 2x x→0 x
2.5.2 两个重要极限（第二课时）
————新浪微博：月牙 LHZ
一、教学目标
1. 理解重要极限公式。
2. 运用重要极限公式求解函数的极限。
二、教学重点和难点 重点：公式的熟记与理解。
难点：多种变形的应用。
三、教学过程 1、复习导入：
本节课我们学习一个重要的极限公式。
首先我们一起复习一下指数运算。
(1) (a b )n = a n b n
(2)
(3) a n +m = a n ⋅ a m
a nm = (a n )
m
2、掌握重要极限公式
lim(1 + 1
) x = e x →∞ x
3、典型例题 【例 1】 lim(1 + 2
) x
x →∞
x
2 1 x 1 x
解： lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 2 ]2 = [lim(1 + x x →∞ 2
) 2 ]2 = e 2 （构造法）
x 2
1
【例 2】lim(1 + x ) x
x →0
1 z ⎛ 2
x x 1 z = 1
解： lim(1 + x ) x
x = lim(1 + )
= e （换元法） x →0
z →∞
z
1 （推导公式： lim(1 + x ) x
x →0
= e ）
【例 3】 lim(1 - 1
) x
x →∞
x 解： lim(1 - 1 ) x = lim[(1 + 1 )-x ]-1 = [lim(1 + 1 )-x ]-1 = e -1 = 1
（构造法）
x →∞
【例 4】 x lim(
x →∞ x →∞ - x x ) x x + 1 x →∞ - x e
解： lim( x ) x = lim( 1 ) x = lim
1 = 1
（构造法） x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
x →∞ ⎛ 1 ⎫ x e 1 + ⎪ x ⎝ ⎭
4、强化练习
（1） lim(1 + 5 ) x （2） lim(1 + x ) x （3） lim(1 - 2) x (4) lim(
2x
) x
x →∞
x
5 x →0
1 x x →∞
x
1 x x →∞ x + 1
解：（1） lim(1 + x →∞ ) x = lim[(1 + x
x →∞ ) 5 ]5 = [lim(1
+ x x →∞ 5 ) 5 ]5 = e 5 x 5
2
⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2 ⎡ 1 ⎤ 2
（2） lim(1 + x ) x = lim ⎢(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + x ) x ⎥ = ⎢lim(1 + ) z ⎥ = e 2
x →0
2 x →0 ⎣ ⎦ 1 - x ⎣
x →0 ⎦ ⎣z →∞ z ⎦ 1 - x 1 (3) lim(1
- x →∞ ) x = lim[(1 + ) x
x →∞ - x 2 2
]-2 = [lim(1 + ) x →∞ - x 2
2 ]-2 = e -2 = e 2
(4)
lim( x + 2) x
= lim(
1 + 2
x ) x
lim 1 + = x →∞⎝ 2 ⎫ x
⎪ ⎭
lim[(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
[lim(1 + x →∞ = 1
) 2 ]2
x 2
= e 2
= x →∞ x + 1 x →∞ 1 + 1
⎛ 1 ⎫ x
e e e lim 1 + ⎪
x x →∞⎝ ⎭
四、小结:
本节课我们学习了另一个重要的极限，并运用这个公式求解一些函数的极限。
学会巧妙地运用换元法和构造法把它转化为公式的形式，从
x x e
x
1
而求得极限。
五、布置作业:
（1） lim(1 + 3 ) x （2） lim(1 + 2x ) x （3） lim(1 - 1 )2 x (4)
lim( x + 3) x
x →∞
x
x →0 x →∞
x
x →∞
x + 1。