探索勾股定理(公开课课件)
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2、你能用这四个直角三角形拼成一个正方形 吗？ 拼一拼试试看
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
学生可能会拼出下面两种组合图形
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
图一
图二 赵爽弦图
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
解：由勾股定理，可得:
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
225
5、判 断 正 误
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，
则第三边长一定为10cm.(× )
6 8
68
6、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b; (3)已知: a = 3 ,b= 4 , 求 c;
即：X=√52+122
=15
=13
2、求出下列直角三角形中未知边的长度。
X 6
8
24 x
25
3、（口答）求下列图形中未知正方形的 面积或未知边的长度：
100
225
?
x
17
15
4、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
A =625
225
400
81
B =144
动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm,则它的斜边长是多少?（5cm）
动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系?
32 42 52
动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗?
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角 三角形的两条直角边分别为a，b, 斜边为c）；
b
∵
(a
b)
2
4
ab 2
c
2
(ab)2 a2 2ab b2
c a
b
c a
b
a b c ∴ 2 2 2
证明3：
D
A
你能只用两个直角三角
c
形说明a2 b2 c2 吗？ a
c
b
S （a+b） a b 1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来
B
梯形ABCD
1 2
b
a
E
C
2 1 ( 2 2ab 2)
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
勾股定理
学习目标：
一、知识要求： 1、掌握勾股定理的内容； 2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用； 3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历”观察—猜 想—归纳—验证“的数学思想，了解勾股定理的各种探 究方法，及其内在联系，进一步发展学生的推理能力；
二、能力训练要求： 1、观察、实践、探索的过程中，发现勾股定理； 2、通过探索勾股定理，培养学生简单的推理能力和逻 辑思维能力。
（1）求梯子上端A到墙
符号语言： a2+b2=c2
B
在Rt△ABC中 ∵ ∠C=90°（已知）
c a
∴a2+b2=c2（勾股定理）
Cb A
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边 的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
例1 在Ｒt △ABC中，已知∠Ｂ＝ 90°， AB=6, BC=8,求AC.
40 A
90
C
160
B 40
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
B
A
C D
7cm
算一算
1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
2
S S S S ，人们为了纪念 又Q
他对勾股定理直
梯形ABCD
ABE
DEC
AED
观、简捷、易懂 、明了的证明，
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
1 2
(2ab
c2)
就把这一证法称 为“总统证法”
比较两式可知：a2+b2=c2
．
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c
股b
a2+b2=c2
勾a
A
C
B
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
46
58
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
弦 勾
勾股
股
文字语言：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
1 2
agb
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c 也可以表示为 4 ab 2 2
c a
b
c a
3、你拼的正方形中是否含有以斜边c为边的正 方形？
4、你能否就你拼出的图说明a2+b2=c2？
c a
b
学生可能会拼出下面两种组合图形
c a
b
c a
b
c a
b
c a
b
图一
图二 赵爽弦图
证明1：
该图2002年8月在北京召开的国际数学家大会的会标示意 图，取材于我国古代数学著作《勾股圆方图》。
解：由勾股定理，可得:
AB２+BC２ =AC２
∴ AC= √ AB２+BC２
= √ 62 + 82=10
1、求下列直角三角形中未知边的长:
8
17
12 5
x
x
解：在直角三角形中， 解：在直角三角形中， 由勾股定理可得： 由勾股定理可得：
82+ X2=172
52+ 122= X2
即：X=√172-82
推广:一般的直角三角形,上述结论成立吗？
1 a
2b c
3
a2 b2？ c2
猜想:两直角边a、b与斜边c 之间的关系？
转换结论
C Aac
b
B
由正方形的面积公式得： SA=a2 , SB=b2 , SC =c2 SA＋SB=SC
a2+b2=c2
动手做：用尺规做直角三角形ABC，使 ∠C=90°， AC=3cm BC=4cm．
225
5、判 断 正 误
若直角三角形的两条边长为6cm、8cm，
则第三边长一定为10cm.(× )
6 8
68
6、已知△ABC中, ∠C= Rt∠,BC= a ,AC= b ,AB=c
(1)已知: a=1, b=2, 求 c;
(2)已知: a =15 , c =17, 求 b; (3)已知: a = 3 ,b= 4 , 求 c;
即：X=√52+122
=15
=13
2、求出下列直角三角形中未知边的长度。
X 6
8
24 x
25
3、（口答）求下列图形中未知正方形的 面积或未知边的长度：
100
225
?
x
17
15
4、下图中的三角形是直角三角形,其余是正 方形,求下列图中字母所表示的正方形的面 积.
A =625
225
400
81
B =144
动手量:如果一个直角三角形的两直角边的长分别 是3cm和4cm,则它的斜边长是多少?（5cm）
动手算: 3、4、5各自的平方有什么关系?
32 42 52
动脑猜：任意直角三角形两直角边的平方和都等于 斜边的平方吗?
1、拿出准备好的四个全等的直角三角形（设直角 三角形的两条直角边分别为a，b, 斜边为c）；
b
∵
(a
b)
2
4
ab 2
c
2
(ab)2 a2 2ab b2
c a
b
c a
b
a b c ∴ 2 2 2
证明3：
D
A
你能只用两个直角三角
c
形说明a2 b2 c2 吗？ a
c
b
S （a+b） a b 1881年，伽菲尔 德就任美国第二 十任总统.后来
B
梯形ABCD
1 2
b
a
E
C
2 1 ( 2 2ab 2)
55
考 一 考:
1 求下列图中表示的未知数x、y、z的值.
2X25 81
144
5
3
5
144
169
4z
①
②
③
2 直角三角形的两直角边为5、12，则三角形
的周长为 30 .
3 在△ABC中,∠C=90°,如果c=10, a=6，
那么△ABC的面积是 24 .
例2、 如图所示是一个长方形零件的 平面图,尺寸如图所示, 求两孔中心A, B 之间的距离.(单位:毫米)
勾股定理
学习目标：
一、知识要求： 1、掌握勾股定理的内容； 2、会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用； 3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历”观察—猜 想—归纳—验证“的数学思想，了解勾股定理的各种探 究方法，及其内在联系，进一步发展学生的推理能力；
二、能力训练要求： 1、观察、实践、探索的过程中，发现勾股定理； 2、通过探索勾股定理，培养学生简单的推理能力和逻 辑思维能力。
（1）求梯子上端A到墙
符号语言： a2+b2=c2
B
在Rt△ABC中 ∵ ∠C=90°（已知）
c a
∴a2+b2=c2（勾股定理）
Cb A
结论变形
直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边 的平方；
c2=a2 + b2
c a2 b2
a2=c2 － b2
a c2 b2
c
b
b2 =c2 －a2
b c2 a2
a
例1 在Ｒt △ABC中，已知∠Ｂ＝ 90°， AB=6, BC=8,求AC.
40 A
90
C
160
B 40
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
B
A
C D
7cm
算一算
1. 一高为2.5米的木梯,架在高为2.4米的墙上 (如图),这时梯脚与墙的距离是多少?
2
S S S S ，人们为了纪念 又Q
他对勾股定理直
梯形ABCD
ABE
DEC
AED
观、简捷、易懂 、明了的证明，
Hale Waihona Puke Baidu
1 2
ab
1 2
ab
1 2
c2
1 2
(2ab
c2)
就把这一证法称 为“总统证法”
比较两式可知：a2+b2=c2
．
直角三角形两直角边的平方 和等于斜边的平方.
弦c
股b
a2+b2=c2
勾a
A
C
B
小明的妈妈买了一部29英寸（74厘 米）的电视机。小明量了电视机的屏 幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘 米宽，他觉得一定是售货员搞错了。 你能解释这是为什么吗？
46
58
∵ 582 462 5480 742 5476
荧屏对角线大约为74厘米 ∴售货员没搞错
如图，将长为10米的梯子AC斜靠 在墙上，BC长为6米。
我国早在三千多年就知道了这个定理,人们 把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下 半部分称为“股”，我国古代学者把直角三角形 较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为 “股”，斜边称为“弦”.因此就把这一定理称 为勾股定理.
弦 勾
勾股
股
文字语言：直角三角形两直角边
的平方和等于斜边的平方.
对于任意的直角三角形，如果它的两条直 角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有
大正方形的面积可以表示为 c2
也可以表示为 (ba)2 4 1 agb
2
c a
b
∵
c2=
(ba)2
4
1 2
agb
=b2-2ab+a2+ 2ab
=a2+b2
c a
b
c a
b
c a
b
∴a2+b2=c2
证明2：
大正方形的面积可以表示为 (a+b)2 ；
c 也可以表示为 4 ab 2 2
c a
b
c a