数列新定义选择题(2)
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1．已知数列{}n a 的通项为()()
*1log 2n n a n n N +=+∈，我们把使乘积123n a a a a 为整数
的n 叫做“优数”，则在(]1,2010内的所有“优数”的和为（ ） A ．1024 B ．2003 C ．2026 D ．2048 答案：C 解答：
因为数列{}n a 的通项为()()
*1log 2n n a n n N +=+∈， 所以()()123
23412log 3log 4log 5log 2log 2n n a a a a n n +=⋅⋅+=+，
又因为102=1024，112=2048，
所以在(]1,2010内最大的“优数”为21024n +=，即102-2n =， 在(]1,2010内的所有“优数”的和为
10-2++2-2=
2．定义
12n
n p p p ++
+为n
个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项
1011
1
b b ++
= ） A
B
C
D 答案： C
解答：
由定义可知2215......n a a a n =+++，2
12115......）（+=+++++n a a a a n n ，
可求得5101+=+n a n ，所以510-=n a n ，则12-=n b n ，又
1
b b ++
1 所以本题正确选项为C.
3．已知数列{}n a 的通项()()1log 2n n a n +=+（n *∈N ），我们把使123n a a a a ⋅⋅⋅为整数的n 叫做优数，则在(]0,2015内所有优数的和为（ ） A ．1024 B ．2012 C ．2026 D ．2036 答案： C
解答：
由换底公式：log log log c a c b
b a
=
，
12323(1)log 3log 4
log (2)n n a a a a n +\鬃?+
lg3lg 4
lg(2)
lg 2lg3
lg(1)
n n +=
⋅⋅⋅
+
2lg(2)
log (2)lg 2
n n +=
=+，
2log (2)n +为整数，
*22,m n m N ∴+=∈，
n 分别可取222-，322-，422-，最大值222004m -≤，m 最大可取10，
故和为234
102222182026+++
+-=．
故选C ．
4．有穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中的每一项都是011-，，这三个数中的某一个数，若1
a +2a +3a +…+2015425a =，且21)1(+a +22)1(+a +23)1(+a +…+2
2015(17)380a +=，则有
穷数列1a ，2a ，3a ，…，2015a 中值为0的项数是（ ）
A ．1000
B ．1010
C ．1015
D ．1030 答案：B 解答：
21)1(+a +22)1(+a +23)1(+a +…+22015)1(+a =3870展开得
()()222
122015122015220153870a
a a a a a ++
++++
++=，
22
2
1220151005a a a ∴+++=，所以1-，1共有1005项，所以值为0
的项数是1010项.
5．
n
p +
+为n 个正数12,,
,n p p p 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项
12231011
111
b b b b b b +++
=( ) A
B
C
D 答案：C 解答：
因为数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为 2n
a =
+
+即12(21)n a a a n
n +++=+，
所以13a =，当2n ≥时，()()(21)121141n a n n n n n =+---+=-⎡⎤⎣⎦， 111
110
1223
101111
b b ++
=+++
=⨯⨯⨯，故选C ．
6． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12n
n S S S T n
++
+=，称n T 为数列12,,,n a a a 的“理想数”，已知数列12500,,
,a a a 的“理想数”为2004，那么数列8，12500,,
,a a a 的
“理想数”为（ ） A ．2008 B ．2009 C ．2010 D ．2011 答案： A
解答：
由已知可得数列中500200450021⨯=+++S S S ， 数列8，的“理想数”
501125008(8)(8)(8)
S S S S +++++++
++=
2008501
==，答案选A ．
7．对于一个有限数列12(,,,)n p p p p =⋅⋅⋅，p 的蔡查罗和（蔡查罗是一位数学家）定义为
，其中12(1,)k k S p p p k n k N =++⋅⋅⋅+∈≤≤．若一个99项的数列（1299,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为1000，那么100项数列1299(9,,,,)p p p ⋅⋅⋅的蔡查罗和为 A ．991 B ．992 C ．993 D ．999 答案： D
解答：
由“蔡查罗和”定义可知，1299{,,,}p p p 的“蔡查罗和”为
99
100099
S +
=
所以129999000S S S ++
=，则100项的数列1299{9,,,,}p p p 的“蔡查罗和”为
99(9S +
++ D.
8．若数列{}n a 满足
111
n n
d a a --=(,n N d ∈*为常数) ，则称数列{}n a 为“调和数列”， 若正项数列1
{
}n
b 为“调和数列”，且12990b b b +++=，则46b b ×的最大值是（ ）
A ．10
B ．100
C ．200
50021,...,a a a 50021,...,a a a