刚体转动和流体运动
第三章刚体和流体的运动(3)
M
o
m r u
解 分析可知,以棒和小球组成 的系统的角动量守恒。 由于碰撞前棒处于静止状态，所以 碰撞前系统的角动量就是小球的角 动 lmu ;
l
l
由于碰撞后小球以速度v 回跳，棒获得的角速度为 ，所以碰撞后系统的角 ω 动量为
1 2 lmv + Ml ω 3
由角动量守恒定律得
1 2 lmu = lmv + Ml ω 3
AG环 = 6mgR
Jω 2 AG = 2 AG杆 = 2mgR
mL2 4mR 2 转动惯量： 转动惯量： J 杆 = = 3 3 mR 2 19mR 2 2 平行轴定理： 平行轴定理： J 环 = + m ⋅ (3R) = 2 2
J = J杆 + J环
代入数据，可解得：
ω = 9.82rad / s
要保证小球回跳v
< 0，则必须保证 M > 3m。
北京师范大学珠海分校 工程技术学院
3 流体的运动
在公寓楼里养的猫常喜 欢在窗台上睡觉。 欢在窗台上睡觉。如果一只 猫不慎从七层或八层楼以上 掉到人行道上， 掉到人行道上，那它受伤的 程度是随着高度的增加而减 小的。（甚至有一只猫从32 。（甚至有一只猫从 小的。（甚至有一只猫从32 层高楼上落下只有胸部和一 颗牙受点轻伤的记录） 颗牙受点轻伤的记录） 危险是如何随着高度增 加而减小的呢？ 加而减小的呢？
一个高度为H的圆筒形烟囱由于基部损坏而倒下。烟囱可以当做细杆处理，令烟 囱与竖直方向成角度θ，重力加速度为g。求（1）烟囱的角速率，（2）烟囱顶 端的径向加速度和切向加速度。 定轴转动定律（ 解：定轴转动定律（转动中的牛顿第二定律） 定轴转动定律 转动中的牛顿第二定律）
第五章连续体力学
m(
L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J mi ri2
转轴的位置 刚体的质量
刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
o
C
两轴平行；
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
a r 2 4
线速度与角速度之间的矢量关系为:
v r
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
所以
1 Mlv J
12 v
4
7l
[例5]一棒长l，质量m,其质量密度分布与到O点的距离成正比，
将细棒放在粗糙的水平面上，棒可绕O点转动，如图，棒的初始
角速度为ω0 ，棒与桌面的摩擦系数为μ。 求: (1)细棒对O点的转动惯量。
(2)细棒绕O点的摩擦力矩。 (3)细棒从以ω0 开始转动到停止所经历的时间。
dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
dm ds 2rdr
流体力学课件 第3章流体运动的基本原理
u u (x, y,z, t )
17
二、流场描述
1、迹线：某一质点在某一时段内的运动轨迹曲线。
例： 烟火、火箭、流星、子弹等轨迹线。。。。。
（1）拉格朗日法迹线方程
x x（a，b，c，t） y y（a，b，c，t）
z z（a，b，c，t）
消去参数t并给定（a，b，c）即得相应质点的迹线方 程。
说明：
*（a,b,c）=const, t为变数，可得某个指定质点在任意时刻
所处的位臵，上式即迹线方程； *（a,b,c）为变数,对应时刻 t可以得出某一瞬间不同质点 在空间的分布情况。
3、拉格朗日法的速度与加速度方程
（ 1） 流速方 程
x ux ； t y uy ； t z uz t 均为（a，b，c，t）的函数。
第三章 流体运动的基本原理
静止只是流体的一种特殊的存在形态，运动 或流动是流体更为普遍的存在形态，也更能反映 流体的本质特征。 本章主要讨论流体的运动特征（速度、加速 度等）和流体运动的描述方法，流体连续性方程、 动量守恒及能量守恒方程是研究流体运动的基础。
1
第一节、流体运动的描述方法
一、拉格朗日法（lj）
18
（2）欧拉法迹线方程 若质点P在时间dt内从A点运
Z
A
B
动到B点，则质点移动速度为：
u dr dt
O
Y
得迹线方程:
dx dy dz dt ux uy uz
2、流线
表示某一瞬时流体各点流动 趋势的曲线，其上任一点的切线 方向与该点流速方向重合。即同 一时刻不同质点的速度方向线。
根据行列式的性质，有：
22
流线微分方程
dx dy dz u x u y uz
刚体与流体
第三章 刚体和流体P.1§3-1刚体及其运动规律刚体：物体上任意两点 之间的距离保持不变 在力的作用下不发生形 变的物体。
P.23-1-1 刚体的运动平动： 刚体在运动过程 中，其上任意两点的 连线始终保持平行。
注：可以用质点动力学的方法来处理刚体的平 动问题。
P.3转动：刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。
这种运动称为刚体的转动。
这条直线称为转轴。
定轴转动： 转轴固定不动的转动。
定点转动： 转轴上一点相对于参考系 静止，转轴方向随时间不 断变化。
例如陀螺和雷达天线。
P.4P.53-1-2刚体对定轴的角动量zv viv质元：组成物体的微颗粒元质元对O点的角动量为ωv v v Li = Ri × (mi vi )Li = mi Ri v iv Li 沿转轴Oz的投影为Liz = Li cos(v Lixv riγOmiv Riyπ2− γ ) = mi Ri vi sin γ = mi ri vi = mi ri 2ωP.6刚体对Oz轴的角动量为Lz = ∑ Liz = ∑ mi ri 2ω = (∑ mi ri 2 )ωi i i令J z = ∑mi rii2kg⋅ m2J z 为刚体对 Oz 轴的转动惯量比较：Lz = J z ωp = mvP.7转动惯量的定义式：J = ∑ mi rii2连续体的转动惯量：J = ∫ r dm2 V转动惯量的物理意义：反映刚体转动惯性的量度 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
P.8转动惯量的计算J ＝ ∑ m i ri 2i若质量连续分布 J = r 2 dm∫在（SI）中，J 的单位：kgm2dm为质量元，简称质元。
其计算方法如下：质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布dm = λ dlλ为质量的线密度。
σ为质量的面密度。
ρ为质量的体密度。
dm = σ dsdm = ρ dV面分布线分布体分布P.9对于质量连续分布的刚体：J = ∫ r dm = ∫ r ρdV2 2 V V（体质量分布） （面质量分布） （线质量分布）J = ∫ r dm = ∫ r σdS2 2 S SJ = ∫ r dm = ∫ r λdl2 2 L LP.10例的细棒绕一端的转动惯量。
刚体和流体
y
角动量的方向: 位矢和动量的矢积方向. 特例: 如果质点绕参考点O作圆周运动
v p
O
L = r p = mv r
注意: 1.角动量与所取的惯性系有关. 2.角动量与参考点O的位置有关.
v r
第三章 刚体力学基础
质点对定轴的角动量
v v v v v L = r × p = r × mv
L = mvr = mr 2ω = Jω
(原点O在棒的左端点)
第三章 刚体力学基础
例题2: 一质量为m, 半径为R的均匀圆盘, 求通过盘中心并与 盘面垂直的轴的转动惯量. 解: dm = σdS = σ 2 π rdr
J = ∫ r dm = 2 πσ ∫ r dr
2
3
J = 2πσ ∫ r dr
3
R
R
r O
dr
πσ R 1 2 = = mR 2 2
v v v 加速度: 合外力矩: M z = ∑ ri × Fi v v v v v M z = ∑ ∆mi ri × aiτ + ∑ ∆mi ri × ain
v第三章v刚体力学基础 v ai = aiτ + ain
v 2 v v v v v 其中: ri × ain = 0 ri × aiτ = ri aiτ sin 90°k = ri β k v v 2 M z = ∑ ∆mi ri β 转动惯量 J v v 转动定律: M z = Jβ
θ ( rad) 角位移: ∆θ , dθ dθ −1 ( rad ⋅ s ) 方向右旋 ω= dt v
第三章 刚体力学基础
线速度与角速度之间的关系
r v v v dv d ω v v dr a= = ×r +ω× dt dt dt v 2 v = β reτ + ω ren
第五章刚体与流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在§1-3 中我们曾经把角速度的大小定义为
ω=dq /dt
（5-1）
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
的 标亦运实像
坐 来会动并转
标 标非称不动
。 示常为固中
例 天缓岁定的
如 体慢差。陀
公 的地。而螺
元 位移所是一
26000 2000 0
平动和转动是刚体运动的最基本的形式。
刚体和流体
第五章刚体和流体
一般的运动可以分解为平动和转动的叠加。
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
刚体和流体
第五章刚体和流体
在刚体运动过程中，如果刚体上的任意一条直线始终保持 平行，这种运动就称为平动（translation）。根据这个定义 可以得出，既然刚体上的任意一条直线在刚体平动过程中 始终保持平行，那么直线上所有的点应有完全相同的位移、 速度和加速度。又因为这条直线是任意的，故可断定，在 平动过程中， 刚体上所有的点的运动是完全相同的，它们 具有相同的位移、速度和加速度。既然如此， 我们就可以
我们可以约定，以下所提及的外力都认为是处于转动平 面内的。
刚体和流体
第五章刚体和流体
假设作用于以z轴为转轴的刚体上的多个外力分别是F1、 F2、…、Fn，让我们先考虑其中的Fi 对刚体的作用。如 图5-6所示。 外力Fi作用于刚体上的点P。 过点P作垂直 于z轴的平面，交z轴于点O。 显然这个平面就是刚体的 一个转动平面。在此平面内， 点P相对于点O的位置矢 量为ri ， ri 与Fi的夹角为fi。在dt时间内，刚体转过了 dq角。与此相对应，点P的位移为dri 。在此过程中。 外力Fi所作的元功为
第章流体运动的基本概念
v(a,b,c,t)a(a,b,c,t) t
(2-17)
但在欧拉法中，由于流体物理量被表示成空间坐标和
时间的函数，质点导数的概念因此稍稍有些复杂。下面以
速度为例来分析欧拉法的质点导数。
如图2-3所示，假定在直角坐标 系中存在速度场v(x,y,z,t)。设在时 刻 t 和空间点P(x,y,z)处，流体质
vxv tvyv tvzv tv t x y z t
(vxvvyvvzvv)t x y z t
注意矢量运算公式
vvvxvvyvvzv，其中，
x y z
矢量算子 i jk 。于是质点的速度增量可以
x y z
表示为 v(vvv)t
(2-23)
t
于是，从式(2-16)得到速度的质点导数——加速度
ali m v v v v vx v vy v vz v v t 0 t t x y z t
其中，c1,c2,c3是积分常数，由 t t0时的 (a,b,c)决
定。于是得到
x x ( a , b , c , t ) y , y ( a , b , c , t ) z , z ( a , b , c , t )
并代入欧拉法表达式 (x,y,z,t)后就得到该物理量 的拉格郎日法表达式 (a,b,c,t) 。
r x y i z j k r (a ,b ,c ,t) (2-6)
式(2-5)和式(2-6)就是流体质点的运动轨迹方程，既 迹线方程。
除了空间位置以外，流体的其他运动参数和物理量 也应该表示成拉格郎日变量的函数，例如：流体速度
v r t x ti y tj z tk v x i v yj v zk
2.3 迹线和流线
2.3.1 迹线 流体质点的运动轨迹称为迹线。 前面已经提到，拉格郎日法表示的式（2-3）就是迹 线的参数方程，即
刚体和流体
质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds质量的线密度、 面密度和体密度。
线分布
体分布
18
对于质量连续分布的刚体：
J r dm r dV
2 2 V V
J r dm r dS
2 2 S S
（面质量分布） （线质量分布）
J r dm R
2
2
另解 J R 2
2π R
0
m d l R2m 2 πR
m
0
d m m R2
dm
O
R
m1
思考1. 环上加一质量为m1的质点, J1 =? J1 = mR2+m1R2 思考2. 环上有一个x的缺口，J2=?
R
m 2 2 J 2 mR xR 2 πR
例5. 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。 一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。
求（1）由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。（2） 绳子的张力。 1 1 2 a T Ma mg T ma 解：TR MR 2 2 R
mg 8 10 2 a 5 ms m M 2 88
1 l 2 1 2 2 J J c md ml m( ) ml 12 2 3
2
24
1.求圆绕轴L的 转动惯量 轴L
2.求正方形绕轴L的 转动惯量
轴L
o
25
（3）回转半径
设物体的总质量为m，刚体对给 定轴的转动惯量为J，则定义物 体对该转轴的回转半径rG为：
z
J rG m
rG
J mi ri
2
转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体 的质量、质量分布以及转轴的位置有关。
医学物理学题库讲解
复习题第一章刚体转动1名词解释刚体：如果一个物体在外力作用下，它的各部分之间的距离保持不变，或者它的形状和大小都不发生变化，那这个物体被称为刚体力矩：力矩是指作用力使物体绕着转动轴或支点转动的趋向转动惯量：转动惯量是刚体转动惯性的量度，转动惯量越大，刚体的转动惯性就越大进动：一个自转的物体受外力作用导致其自转轴绕某一中心旋转，这种现象被称为进动2填空：(1) 刚体转动的运动学参数是角位移、角速度、角加速度。
(2) 刚体转动的力学参数是力矩、转动惯量。
(3) 陀螺在绕本身对称轴旋转的同时，其对称轴还将绕竖直回转，这种回转现象称为进动。
3. 问答：(1) 有一个鸡蛋不知是熟还是生，请你判断一下，并说明为什么？可以根据两者旋转情况的不同加以辨别。
熟鸡蛋内部凝结成固态，可近似为刚体，使它旋转起来后对质心轴的转动量可以认为是不变的常量，鸡蛋内各部分相对转轴有相同的角速度，因桌面对质心轴的摩擦力矩很小，所以熟鸡蛋转起来后。
其角速度减小非常缓慢，可以稳定的旋转相当长时间。
生鸡蛋内部可近似为非均匀分布的流体，使它旋转时，内部各部分状态变化的难易程度不相同，会因为摩擦而使鸡蛋晃荡，转动轴不稳定，转动惯量也不稳定。
使它转动的动能因内部摩擦等因素耗散而不能维持，使转动很快停下来。
(2) 地球自转的角速度方向指向什么方向？作图说明。
绕自转轴自西向东的转动(3) 中国古代用指南针导航，现代用陀螺仪导航，请说明陀螺仪导航的原理。
陀螺仪主要是由一个位于轴心且可旋转的转子构成，基于角动量守恒的理论。
陀螺仪一旦开始旋转，由于转子的角动量，陀螺仪有抗拒方向改变的趋向。
物体高速旋转时，角动量很大，旋转轴会一直稳定指向一个方向。
(4) 一个转动的飞轮，如果不提供能量，最终将停下来，试用转动定律解释该现象。
刚体的定轴转动定律为M=Jα。
转动着的飞轮，不供给能量，它只受阻力矩M的作用，角加速度α0，即做减速转动，从而最终停止下来。
第二章物体弹性1. 名词解释：应力：在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。
第3章刚体和流体详解
第3章 刚体和流体3.1 在描述刚体转动时，为什么一般都采用角量，而不采用质点力学中常采用的线量? 答：对于刚体，用角量描述方便可行，这是因为对刚体上的各点角量（βωθ∆,,）都相同，若采用线量描述，由于刚体上各点线量（a r,,υ∆）均不相同，这对其运动的描述带来麻烦，甚至不可行。
3.2 当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，是否作用在它上面的合外力一定很大?是否作用在它上面的合外力矩一定很大?当合外力矩增加时，角速度和角加速度怎样变化?当合外力矩减小时，角速度和角加速度又怎样变化?答：（1）当刚体绕定轴转动时，如果角速度很大，作用在它上面的合外力不一定很大（它们没有必然联系）；（2）当合外力矩增加时，角加速度增大，若角加速度方向与角速度方向相同时，角速度也增大，反之，角速度减小。
（3）当合外力矩减小时，角加速度减小，但角速度同（2）中情况。
3.3 有人把握着哑铃的两手伸开，坐在以一定角速度转动着的(摩擦不计)凳子上，如果此人把手缩回，使转动惯量减为原来的一半。
(1)角速度增加多少?(2)转动动能会发生改变吗?答：（1）角速度增加一倍（据角动量守恒=ωJ 常量） （2）由221ωJ E k =知，转动动能增加一倍。
3.4 什么是流体?流体为什么会流动?答：具有流动性的物体叫流体。
流体之所以会流动是由于构成流体的分子间的作用很小，可以忽略，使得流体中的各分子可以自由运动。
3.5 连续性原理和伯努利方程成立的条件是什么?在推导过程中何处用过? 答：连续性方程成立的条件是理想流体作稳定流动（其核心是不可压缩性t s t s ∆=∆2211υυ）。
伯努利方程成立的条件是：理想流体，稳定流体，同一流线。
在推导中按理想稳定流体对待（未考虑粘滞力，考虑不可压缩性流线上的速度不随时间改变）。
3.6 为什么从消防栓里向天空打出来的水柱,其截面积随高度增加而变大?用水壶向水瓶中灌水时,水柱的截面积却愈来愈小?答：从救火筒理向天空打出来的水柱，其截面随高度增加而变大，是由于从高度的增加，水流的速度变小，由连续性方程就决定了液面截面积要增加。
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飞轮转过的角度：
飞轮转过的转数： （2）由转动定律：
. ，可得拉力：
拉力矩的功为：
.
（3）当 t 10s 时，飞轮的角速度：
点的速度：
，则有：
t 10s 时，飞轮边缘的法向加速度：
t 10s 时，飞轮边缘的切向加速度：
总加速度大小：
uur 由于 an at ，因此总加速度方向几乎与 an 相同.
，飞轮边缘一
3-2 飞轮的质量为 60 kg，直径为 0.50 m，转速为 1 000 r/min，现要求在 5 s 内 使其制动，求制动力 F.假定闸瓦与飞轮之间的摩擦因数 μ=0.4，飞轮的质量全部分布在轮 的外周上，尺寸如图 3.1 所示.
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2．刚体的自由度 决定一个系统在空间的位置所需要的独立坐标的数目称为该系统的自由度。对于刚体 来说，最多有 6 个自由度，其中 3 个是平动自由度，3 个是转动自由度（其中 2 个是表示 转动轴的方向的坐标，剩余一个则表示绕转动轴转过的角度）。
二、力矩，转动惯量，定轴转动定律 在讨论质点的运动时，我们首先引入位移、速度、加速度等运动学量，然后引入力这
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台
个动力学量，最后通过运动定律将二者联系起来。同样在研究刚体的转动时，也需要相应
的运动学量、动力学量以及运动方程。
1．运动学量
定轴转动中，有三个运动学量，即转过的角位移 θ ，角速度矢量 ω ，角加速度 α 。
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第 3 章 刚体和流体的运动
3.1 复习笔记
一、刚体、刚体的运动 1．刚体模型及其运动 由牛顿运动定律和守恒定律可以方便地得到质点的运动，但对于质点系的研究，特别 是分布连续的质点系，分别对每个质点求解很不方便。可以利用一些物理模型将问题简化， 刚体和理想流体就属于此类模型。 刚体是一种特殊的质点系，无论它在多大外力的作用下，其大小和形状都保持不变， 亦即系统内两质点间的距离不变。刚体两种简单的运动形式是平动和转动，在平动中，各 个质点在同一段时间通过相同的位移，且具有相同的速度和加速度；在转动中，各个质点 都绕同一直线运动。如果转轴是固定不动的，就叫做定轴转动。
大物刚体知识点总结
大物刚体知识点总结一、刚体的定义1. 刚体是指物体的形状和体积在力作用下不发生变化的物体。
在刚体下，物体各质点的相对位置和方向保持不变，即不发生变形。
二、刚体的运动1. 刚体的平动运动：平动运动是指刚体的质心随时间变化的运动。
在平动过程中，刚体的形状保持不变，但质心的位置会随时间而发生改变。
2. 刚体的转动运动：转动运动是指刚体沿着固定轴线进行的运动。
在转动过程中，刚体的质点围绕着轴线作圆周运动，形成了转动运动。
三、刚体的运动学1. 刚体的位移：刚体的位移是指刚体在运动过程中位置的变化。
对于平动运动的刚体，位移是指质心位置的变化；对于转动运动的刚体，位移是指刚体围绕轴线旋转的角度。
2. 刚体的速度：刚体的速度是指刚体在单位时间内的位移变化量。
在平动运动中，刚体的速度等于质心的速度；在转动运动中，刚体的速度等于刚体围绕轴线旋转的角速度。
3. 刚体的加速度：刚体的加速度是指刚体速度在单位时间内的变化量。
在平动运动中，刚体的加速度等于质心的加速度；在转动运动中，刚体的加速度等于刚体围绕轴线旋转的角加速度。
四、刚体的动力学1. 刚体的力：刚体受到外力时会发生平动运动或转动运动。
外力可以分为两种：切向力和法向力。
切向力可以使刚体产生转动运动，而法向力可以使刚体产生平动运动。
2. 刚体的力矩：力矩是指外力在刚体上产生转动效果的力。
力矩的大小等于力的大小乘以力臂的长度，方向由右手螺旋定则确定。
3. 刚体的转动惯量：转动惯量是描述刚体对转动运动的惯性大小的物理量。
转动惯量的大小取决于刚体的质量分布和转动轴的位置，通常用I表示。
4. 刚体的角动量：刚体的角动量是描述刚体旋转速度和转动惯量之间的关系的物理量。
角动量的大小等于刚体的转动惯量与角速度之积，通常用L表示。
五、刚体的静力学1. 刚体的平衡：刚体在受力作用下处于平衡状态时，受力点所受的合力和合力矩均为零。
平衡状态分为稳定平衡、不稳定平衡和中立平衡。
2. 刚体的支反力：刚体在受力作用下，支持刚体静止的力叫做支持力，与支持力相抵消的力叫做反力。
运动性质知识点归纳总结
运动性质知识点归纳总结运动性质是描述物体在运动过程中所具有的性质，是运动的客观表现。
运动性质可以分为两种，一种是动力学性质，一种是动力学性质。
动力学性质是指描述物体在运动过程中所具有的运动状态和变化规律的性质，如速度、加速度等；而动力学性质是指描述物体在运动过程中所受到的力和物体之间的相互作用的性质，如惯性、作用力等。
二、速度的性质速度是描述物体运动状态的一种基本性质，它表示单位时间内物体所运行的距离。
速度的性质包括以下几个方面：1. 速度的方向：速度是有方向的矢量量，它是以物体运动方向为正方向的分量，速度的方向决定了物体的运动轨迹；2. 速度的大小：速度的大小是指单位时间内物体所运行的距离，它是表示物体运动快慢的量，通常用米/秒（m/s）来表示；3. 速度的变化：速度的变化是指物体在运动过程中速度的增减和方向的变化，它反映了物体运动状态的变化规律和加速度的大小。
三、加速度的性质加速度是描述物体运动状态变化的一种基本性质，它表示单位时间内速度的变化量。
加速度的性质包括以下几个方面：1. 加速度的方向：加速度也是有方向的矢量量，它是以速度增加方向为正方向的分量，加速度的方向决定了物体的加速方向；2. 加速度的大小：加速度的大小是指单位时间内速度的变化量，它表示了速度变化的快慢，通常用米/秒^2（m/s^2）来表示；3. 加速度的变化：加速度的变化是指物体在运动过程中加速度的增减和方向的变化，它反映了物体运动状态的加速度的变化规律。
四、位移的性质位移是描述物体在运动过程中位置变化的一种基本性质，它表示了物体运动的距离和方向。
位移的性质包括以下几个方面：1. 位移的方向：位移是有方向的矢量量，它是表示物体位置变化方向的分量，位移的方向决定了物体的移动方向；2. 位移的大小：位移的大小是指物体位置变化的距离，它表示了物体位置的变化量，通常用米（m）来表示；3. 位移的变化：位移的变化是指物体在运动过程中位置的变化规律，它反映了物体在单位时间内的位置变化情况。
第三讲 流体运动学
任一物理量的质点导数
d (t t , x x, y y, z z ) (t , x, y, z ) lim dt t 0 t
3-2 物理量的质点导数
d (t t , x x, y y, z z ) (t , x, y, z ) lim dt t 0 t
与空间坐标无关，则称为均匀场（均匀流动）。
V V V p p p ... 0 x y z x y z
流动参数仅是时间t的函数，则用欧拉法可表示为：
V =V (t)
3-1 流体运动的描述
三、流场的两个特例
如图所示装置，将阀门A和B的开度调节到使水箱中的水 位保持不变。
二、欧拉法与控制体
速度场可表示为： 压强、密度和温度场表示为：
u u x, y , z , t v v x, y , z , t w w x, y , z , t
其中 x, y, z , t 为欧拉变数
p p ( x, y , z , t ) ( x, y , z , t ) T T ( x, y , z , t )
拉格朗日法
研究对象是一定质点 不能直接反映参数的空间分布 能直接反映质点的时变过程
表达式复杂 数学求解较困难 可直接应用牛二定律建立基本运动方程 (但对所考察物质体的可辨识性有要求)
欧拉法
研究对象是空间某固定点或断面
直接反映参数的空间分布 不能直接反映质点的时变过程
表达式相对 简单 数学求解相对简单 无法直接应用牛二定律建立 基本运动方程
当地(时变)加速度
dV V V V 矢量式为 a dt t
迁移(位变)加速度
3-2 物理量的质点导数
流体力学(流体运动学)
u x = u x ( x, y , z , t )
u y = u y ( x, y , z , t )
p = p ( x, y, z, t)
u z = u z ( x, y , z , t )
实际中，恒定流只是相对的，绝对的恒定流是不存在的。本课 程主要研究恒定流动问题。
二、迹线和流线
1、迹线 、
三、一维、二维、三维流动 一维、二维、
流体的运动要素是空间坐标和时间的函数。按照流体运动要素 与空间坐标有关的个数（维数），可以把流体分为一维流、二维流 、三维流。 一维（一元）流动，若流场中的运动参数仅与一个空间自变量 有关，这种流动称为一维流动。即
u = u ( x, t)
之为二维流动。
p = p ( x, t )
随时间的变化率，称为当地加速度（时变加速度）。后三项之和 则表示流体质点在同一时间内，因坐标位置变化而形成的加速度， 称为位变加速度（迁移加速度）。
同理可得：
ay =
duy dt
=
∂uy ∂t
+ ux
∂uy ∂x
+ uy
∂uy ∂y
+ uz
∂uy ∂z
du z ∂u z ∂u z ∂u z ∂u z az = = + ux + uy + uz dt ∂t ∂x ∂y ∂z
这种通过描述每一质点的运动达到了解流体运动的方法，称为拉格朗日法 拉格朗日法。 拉格朗日法 表达式中的自变量（a，b，c），称为拉格朗日变量 拉格朗日变量。 （ ， ， ） 拉格朗日变量 流体质点的速度为
∂x (a , b, c, t ) ux = ∂t ∂y ( a , b, c, t ) uy = ∂t ∂z (a , b, c, t ) uz = ∂t
流体力学知识重点
流体力学知识重点流体连续介质模型：可以认为流体内的每一点都被确定的流体质点所占据，其中并无间隙，于是流体的任一物理参数（）都可以表示为空间坐标跟时间的连续函数（），而且是连续可微函数，这就是流体连续介质假说，即流体连续介质模型。
流体的力学特性1，流动性：流体没有固定的形状，其形状取决于限制它的固体边界，流体在受到很小的切应力时，就要发生连续的变形，直到切应力消失为止。
2，可压缩性：流体不仅形状容易发生变化，而且在压力作用下体积也会发生变化。
3，粘滞性：流体在受到外部剪切力作用发生连续变形，即流动的过程中，其内部相应要发生对变形的抵抗，并以内摩擦的形式表现出来，运动一单停止，内摩擦即消失。
牛顿剪切定律：流体层之间单位面积的内摩擦力与流体变形速率（速度梯度）成正比（）无滑移条件：流体与固体壁面之间不存在相对滑动，即固体壁面上的流体速度与固体壁面速度相同，在静止的固体壁面上，流体速度为零。
理想流体：及粘度（）的流体，或称为无黏流体表面张力：对于与气体接触的液体表面，由于表面两侧分子引力作用的不平衡，会是液体表面处于张紧状态，即液体表面承受有拉伸力，液体表面承受的这种拉伸力称为表面张力。
表面张力系数：液体表面单位长度流体线上的拉伸力称为表面张力系数，通常用希腊字母（）表示，单位（）毛细现象：如果将直径很小的两只玻璃管分别插入水和水银中，管内外的液位将有明显的高度差，这种现象称为毛细现象，毛细现象是由液体对固体表面的润湿效应和液体表面张力所决定的一种现象。
毛细现象液面上升高度（）牛顿流体：有一大类流体，他们在平行层状流动条件下，其切应力（）与速度梯度（）表现出线性关系，这类流体被称为牛顿型流体，简称牛顿流体。
描述流体运动的两种方法1，拉格朗日法：通过研究流体场中单个质点的运动规律，进而研究流体的整体运动规律，这一种方法称为拉格朗日法2，欧拉法：通过研究流体场中某一空间点的流体运动规律，进而研究流体的整体运动规律，这一种方法称为欧拉法迹线：流体质点的运动轨迹线曲线称为迹线流线：流线是任意时刻流场中存在的一条曲线，该曲线上流体质点的速度方向与其所在点处曲线的切线方向一致。
力学中的刚体的运动和流体力学
力学中的刚体的运动和流体力学在力学中，刚体是指其形状和大小保持不变的物体。
刚体运动和流体力学是力学领域中研究的两个重要方面。
本文将对刚体的运动和流体力学进行探讨。
一、刚体的运动刚体的运动可以分为平动和转动两种形式。
平动是指刚体的所有点同时以相同的速度和方向移动；转动是指刚体围绕固定轴线旋转。
1. 平动刚体的平动可以根据速度和加速度的方向分为直线运动和曲线运动。
直线运动是刚体沿着直线轨迹运动。
根据牛顿第一定律，刚体在没有受到外力的情况下会保持匀速直线运动，或者保持静止。
曲线运动是刚体沿着弯曲轨迹运动。
在曲线运动中，刚体的速度和加速度的方向都会发生改变。
曲线运动可以通过分析刚体所受的合力来进行研究。
2. 转动刚体的转动可以分为绕固定点的转动和绕固定轴线的转动。
绕固定点的转动是指刚体围绕某一点旋转。
刚体的转动可以通过研究转动惯量和力矩来进行分析。
绕固定轴线的转动是指刚体在围绕某一轴线旋转。
在绕轴线转动中，刚体的角速度和角加速度是相同的，且方向与转动方向一致。
二、流体力学流体力学是研究流体运动和流体力的学科。
流体可以分为液体和气体两种形式。
液体是一种不能保持形状的流体，而气体是一种可以自由流动的流体。
1. 流体运动流体运动可以分为定常流和非定常流。
定常流是指流体在一段时间内速度和流线分布不发生变化的流动；非定常流则是流体速度和流线分布随时间变化的流动。
在流体运动中，我们可以分析流体的速度场和压力场来研究流体的运动特性。
2. 流体力流体力是指流体对物体施加的力，它由压力力和剪切力组成。
压力力是流体压力差在物体表面上产生的力。
它是垂直于物体表面的力，大小与物体表面单位面积内的压力差成正比。
剪切力是流体剪切应力在物体表面上产生的力。
它是平行于物体表面的力，大小与流体的剪切应力成正比。
三、刚体运动和流体力学的联系刚体运动和流体力学在理论和实践中存在许多联系和应用。
在空气动力学中，研究了刚体在空气中的运动规律，包括飞机、导弹等物体的飞行稳定性与控制。
第4章水弹性力学-流体与刚体、弹性体相互耦合运动理论
第4章 水弹性理论——流体与刚体相互耦合运动4.1 刚体与外流场的耦合船舶与海洋结构物在水中的运动就是此类典型的运动。
在许多工程问题中，仅考虑刚体在流体及风的作用下的运动，忽略弹性变形对流场的影响，此时结构6个自由度运动在船舶耐波性理论中就有了特定的含义：纵荡、横荡、垂荡（升沉）、横摇、纵摇和艏摇。
下面就以海上浮体、水面船舶为例介绍这面的理论。
4.1.1 坐标系选取与运动量描述坐标系的标注符合船体制图中的规定，见图4－1图 0-1为了描述物体在波浪中的运动，引入三个坐标系统：固定坐标系0000o x y z 固定在大地上（流场中），不随流体或物体运动。
通常0000o x y z 平面与静水面重合，00o y 铅垂向上；第二个坐标系为动坐标系，又称连体坐标系oxyz ，与物体固联，随物体一起摇荡。
物体处于平衡位置时，平面与静水面重合，oy 轴垂直向上，位于12船长处或通过结构物重心G ；另一个坐标系为''''o x y z 称为参考坐标系，或平衡坐标系，当结构处于平衡时，它与动坐标系oxyz 重合，但其不随结构摇荡，始终位于平衡位置上。
若结构有平均直线航速，该坐标系也随之一起以该平均前进速度移动，它用于表征结构摇荡位移和姿态。
设0000o x y z 与''''o x y z 关系如图4-2，则()()00000cos 'sin ''sin 'cos x u t x z y y z u t x z δδδδ=+-⎫⎪=⎬⎪=++⎭(4- 1)x艏艉yzoˆ'yˆyˆz ˆ'zαα ˆx轴固定设动坐标系oxyz 的原点在''''o x y z 中的位置为(),,x y z ，则,,x y z 分别表示纵荡、垂荡（升沉）和横荡船舶摇荡运动时姿态由动坐标系转动来描述，引入辅助参考系ˆˆˆoxyz 以表达结构无旋转即无摇荡时状态。
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刚体转动和流体运动
平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.
转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动.
力F 对转轴的力矩M =r ×F
刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M =∑M ij =0
由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α
所以∑F it r i +∑F it ′r i =∑(Δm i r i 2)α 又∑F it ′r i =0
所以∑F it r i =∑(Δm i r i 2)α
转动惯量J=∑Δm i r i 2
对于质量连续分布的物体J=∫r 2dm
转动定律 刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.
M =J α
细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212 圆柱体(转动轴沿几何轴) J=
mR 22 薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2 圆筒(转动轴沿几何轴) J=m 2(R 12−R 22)
球体(转动轴沿几何轴) J=
2mR 25 细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=ml 23 平行轴定理 J=J c +md 2
角动量L =r ×p =m r ×v
由F =
d(mv)dt 知r ×F =r ×d dt (mv) 又d dt (r ×m v )= r ×d dt (m v )+ dr dt ×m v dr dt ×v =v ×v =0
所以r ×F =d dt (r ×m v )
作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=dL dt
冲量矩M dt
质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. ∫Mdt t
2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律 当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量.
L= r ×m v 为常矢量(M =0)
由d L=M dt= J αdt 知∫dL=∫Jαdt=J ∫αdt
所以L =J ω
角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量. ∫Mdt t
2t 1=J 2ω2-J 1ω1
角动量守恒定律 如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变.
J ω为常矢量
力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移.
dW=Mdθ
W=∫Mdθ
力矩的功率 P=dW dt =M dθdt =Mω
由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i 12Δm i r i 2ω2=12(∑i Δm i r i 2)ω2
转动动能E k =12
Jω2 由dW=Jαdθ=J dωdt dθ= J dθdt dω=Jωdω知W=∫dW=J ∫ωdωω2ω1=12Jω22-12Jω12 刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.
W=E k2-E k1
刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.
E k =12mv c 2+12J c ω2 流体连续性方程 ΔS 1v 1=ΔS 2v 2
伯努利方程 ρv 1
22+ρgh 1+p 1=ρv 2
22+ρgh 2+p 2
洛伦兹速度变换式 u x =
u x ′+v x 1+u x ′′v ′c 2 高速运动时
质量m=m 0(1−v 2c 2)12⁄ 动量p=m 0v (1−v 2c 2)12⁄ 动能E k =m 0c 2[1(1−v 2c 2)12⁄−1]
质量与能量的关系 E=mc 2。