刚体转动和流体运动

刚体转动和流体运动

平动 刚体中所有点的运动轨迹都保持完全相同.

转动 刚体中所有点都绕某一直线作圆周运动.

力F 对转轴的力矩M =r ×F

刚体内各质点间的作用力对转轴的合内力矩为零 M =∑M ij =0

由质点i 的切向运动方程F it +F it ′=Δm i ɑit 知F it r i +F it ′r i =Δm i r i 2α

所以∑F it r i +∑F it ′r i =∑(Δm i r i 2)α 又∑F it ′r i =0

所以∑F it r i =∑(Δm i r i 2)α

转动惯量J=∑Δm i r i 2

对于质量连续分布的物体J=∫r 2dm

转动定律 刚体绕定轴转动时,刚体的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.

M =J α

细棒(转动轴通过中心与棒垂直)J=ml 212 圆柱体(转动轴沿几何轴) J=

mR 22 薄圆环(转动轴沿几何轴)J=mR 2 圆筒(转动轴沿几何轴) J=m 2(R 12−R 22)

球体(转动轴沿几何轴) J=

2mR 25 细棒(转动轴通过棒的一端与棒垂直)J=ml 23 平行轴定理 J=J c +md 2

角动量L =r ×p =m r ×v

由F =

d(mv)dt 知r ×F =r ×d dt (mv) 又d dt (r ×m v )= r ×d dt (m v )+ dr dt ×m v dr dt ×v =v ×v =0

所以r ×F =d dt (r ×m v )

作用于质点的合力对参考点O 的力矩,等于质点对该点O 的角动量随时间的变化率 M=dL dt

冲量矩M dt

质点的角动量定理 对同一参考系O,质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. ∫Mdt t

2t 1=L 2-L 1 质点的角动量守恒定律 当质点所受对参考系O 的合力矩为零时,质点对参考点O 的角动量为一常矢量.

L= r ×m v 为常矢量(M =0)

由d L=M dt= J αdt 知∫dL=∫Jαdt=J ∫αdt

所以L =J ω

角动量定理 当转轴给定时,作用在物体上的冲量矩等于角动量的增量. ∫Mdt t

2t 1=J 2ω2-J 1ω1

角动量守恒定律 如果物体所受的合外力矩等于零,或者不受外力矩的作用,物体的角动量保持不变.

J ω为常矢量

力矩做功 刚体在外力矩的作用下绕定轴转动而发生角位移.

dW=Mdθ

W=∫Mdθ

力矩的功率 P=dW dt =M dθdt =Mω

由12Δm i v i 2=12Δm i r i 2ω2知∑i 12Δm i r i 2ω2=12(∑i Δm i r i 2)ω2

转动动能E k =12

Jω2 由dW=Jαdθ=J dωdt dθ= J dθdt dω=Jωdω知W=∫dW=J ∫ωdωω2ω1=12Jω22-12Jω12 刚体绕定轴转动的动能定理 合外力矩对绕定轴转动的刚体所做的功等于刚体转动动能的增量.

W=E k2-E k1

刚体的平面平行运动动能等于质心的平动动能与刚体绕质心的转动动能之和.

E k =12mv c 2+12J c ω2 流体连续性方程 ΔS 1v 1=ΔS 2v 2

伯努利方程 ρv 1

22+ρgh 1+p 1=ρv 2

22+ρgh 2+p 2

洛伦兹速度变换式 u x =

u x ′+v x 1+u x ′′v ′c 2 高速运动时

质量m=m 0(1−v 2c 2)12⁄ 动量p=m 0v (1−v 2c 2)12⁄ 动能E k =m 0c 2[1(1−v 2c 2)12⁄−1]

质量与能量的关系 E=mc 2