运输问题的数学模型
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运输问题模型
。
目标可以减少，说明当前
解不是最优解
闭回路法调整
选x22进基，找到闭回路
x12 5-
x14 1 +
x22 +
x24 5-
X22最多增加5
x12 5-5 x22 + 5
x14 1 +5 x24 5-5
X22进基，x12和x24经过调整同时变成 零。但是要注意只有一个变量出基。
例如：令x12出基
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
× 2
3 1
× 8
3 ,0
×
9
10
×
3
4
4
4
2
8
4，0
79 2 5，2 5 7，3 6
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
×
×
2
9
10
7
3
×
×
2
1
3
4
2
×
4
8
4
2
5
3 ,0
8
4，0 6,4
9 5,2,0 7，3
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3 销量
7
-1
2
5
1
3
4
2
7
3
4
3
8
4
2
5
3 ,0
8,5 4，0 6,4,0
9,5 5,2,0 7,3,0
重新计算检验数
A1 u1=0
A2 u2=-5
A3 u3=-5 销量
B1
运输问题的数学模型例题
运输问题的数学模型例题运输问题是指在运输过程中，如何最优地分配资源，使得运输成本最小，运输效率最高。
运输问题的数学模型包括最小化成本、最大化效益等多种形式。
下面我们来看一个例题。
问题描述：某物流公司有3个仓库和4个客户，每个仓库和客户之间的距离已知。
现在需要将货物从仓库运送到客户，每个客户需要的货物量也已知。
假设每个仓库的货物量都足够满足所有客户的需求，如何安排运输方案，使得总运输成本最小？解题思路：我们可以用线性规划来解决这个问题。
设每个仓库和客户之间的运输量为$x_{ij}$，其中$i$表示仓库编号，$j$表示客户编号。
则总运输成本可以表示为：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$其中$c_{ij}$表示从仓库$i$到客户$j$的单位运输成本。
同时，对于每个客户$j$，要求其所需货物量$q_j$必须满足：$$%sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j$$对于每个仓库$i$，要求其供应的货物量$y_i$必须满足：$$%sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i$$另外，由于$x_{ij}$必须非负，所以还要满足：$$x_{ij}%geq 0$$综上所述，我们可以得到如下线性规划模型：$$%min %sum_{i=1}^3%sum_{j=1}^4 c_{ij}x_{ij}$$$$s.t.% %sum_{i=1}^3 x_{ij}=q_j,% j=1,2,3,4$$$$% % % % % % % % % %sum_{j=1}^4 x_{ij}=y_i,% i=1,2,3$$ $$% % % % % % % % % x_{ij}%geq 0,% i=1,2,3,% j=1,2,3,4$$这是一个标准的线性规划模型，可以用常见的线性规划求解器求解。
求解结果就是每个仓库和客户之间的运输量$x_{ij}$，以及总运输成本。
总结：运输问题是一个常见的优化问题，在实际生产和物流中经常会遇到。
运筹学运输问题
当出现检验数<0，证明原初始方案或改 进方案还不是最优→如何进行基变量的 调入调出？
给检验数<0的非基变量赋值，越大 越好。但要考虑产销平衡问题。
11
8、运输问题的校验方法2 —位势法
利用行位势和列位势两类数据，将检验数与 单位运价联系起来
12
检 验 数 方 程
13
λ
= c – u – v ij ij i j
A、位势法求检验数的步骤
第一步：根据最小元素法或Vogel法确定的初始运量表做 一表格，将基变量（或运量）数据替换成与之对应的单位 运价；（或对单位运价表进行修改，只保留与基变量对应的运价信
息）
第二步：在右侧增加一列，下侧增加一行，用于填写位势 数据。右侧表示行位势ui（i=1，2...m），下侧表示列位 势vj（j=1，2...n）； 第三步：对于基变量对应的单位运价处，ui+vj=cij。随便 确定任一个位势，即可求解全部行和列位势； 第四步：在非基变量对应的空格处，计算检验数λij=cij（ui+vj）。并将检验数填入检验数表中； 第五步：判断检验数λij是否大于0，如是，则表示较优。 如不是，则需要调整基变量。 第六步：基变量的调整采用闭回路法进行。
收点 发点 9
B1
4
B2
1
B3
11
B4 -1
10 5
发量
偶 点 0 减 ， 2 奇 点 加 5
A1
14 ③奇点 9 18 1 A2 x x 1 9 11 6 8 0 A3 1 3 x 14 ②偶点 12 2
11 21 22 31
x 3 2
x 6 7
5
13
偶点④
9
运筹学第3章：运输问题-数学模型及其解法
整数规划模型
01
整数规划模型是线性规划模型 的扩展，它要求所有变量都是 整数。
02
整数规划模型适用于解决离散 变量问题，例如车辆路径问题 、排班问题等。
03
在运输问题中，整数规划模型 可以用于解决车辆调度、装载 等问题，以确保运输过程中的 成本和时间效益达到最优。
混合整数规划模型
混合整数规划模型是整数规划和线性规划的结合，它同时包含整数变量和 连续变量。
运筹学第3章：运输问题-数学模 型及其解法
目录
• 引言 • 运输问题的数学模型 • 运输问题的解法 • 运输问题的应用案例 • 结论
01 引言
运输问题的定义与重要性
定义
运输问题是一种线性规划问题，主要 解决如何将一定数量的资源（如货物 、人员等）从起始地点运送到目标地 点，以最小化总运输成本。
总结词
资源分配优化是运输问题在资源管理 领域的应用，主要解决如何将有限的 资源合理地分配到各个部门或项目， 以最大化整体效益。
详细描述
资源分配优化需要考虑资源的数量、 质量、成本等多个因素，通过建立运 输问题的数学模型，可以找到最优的 资源分配方案，提高资源利用效率， 最大化整体效益。
05 结论
运输问题的发展趋势与挑战
生产计划优化
总结词
生产计划优化是运输问题在生产领域的应用，主要解决如何合理安排生产计划， 满足市场需求的同时降低生产成本。
详细描述
生产计划优化需要考虑原材料的采购、产品的生产、成品的销售等多个环节，通 过建立运输问题的数学模型，可以找到最优的生产计划和调度方案，提高生产效 率，降低生产成本。
资源分配优化
发展趋势
随着物流行业的快速发展，运输问题变得越来越复杂，需要更高级的数学模型和算法来 解决。同时，随着大数据和人工智能技术的应用，运输问题的解决方案将更加智能化和
运输问题
运输问题的数学模型
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
问题的提出
• 一般的运输问题就是要解决把某种产品从
若干个产地调运到若干个销地，在每个产
地的供应量与每个销地的需求量已知，并
知道各地之间的运输单价的前提下，如何
确定一个使得总的运输费用最小的方案。
运输问题的数学模型
•
已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供
应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，
销地 产地 A1
B2 1.1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.4 0.5
700
A3 销量
600 600 ④
最小元素 0.4
900 600 2000
最小元素 0.5
销地 产地 A1
B4 1.0
产量
400 300 100
0.5
700
A3 销量
600
300 600
900 ⑤ 2000
销地 产地 A1
(1)最小元素法
最小元素 0.1
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1 0.3 0.1
B2 1.1 0.9 0.4
B3 0.3 0.2 1.0
B4 1.0
产量
700
0.8
300
0.7 0.5
400 900 2000
300 ①
600
500
600
产量400和销量300 最小者
最小元素 0.2
销地 产地 A1 A2 A3 销量
B4
产量 1.0
0.3
400 300
0.1
300
0.2
0.5
700 ⑥
100 600
0.4
300 600 ⑥ 2000
数学建模运输问题
有时候把两个表写在一起:
销地 产地 1 2 . . . m 销量
销地 产地 1 2 . . . m
1
2
…
n
产 量 a1 a2 . . . am 销地 产地 1 1 2 … n 产 量 a1 a2 . . . am
b1
1
b2
2
…
…
bn
n
2 . . . m
销量
c11 c12 … c1n c21 c22 … c2n . . . . . . . . . cm1 cm2 … cmn b1 b2 … bn
B2 10 4 5 6 14 6 5 3 4 3+4 B3 B4’ B4’’ 产量 （万台） 10 12 10 10
4
4 2
6
4
Global optimal solution found at iteration: 8 Objective value: 172.0000
销地 厂家 1 2
1
2
3
4
销地 厂家 A1 A2 A3 最高需求（万台）
31
x
32
x x x x x
33
x 2 3 4 6
34
7
x 11 x x 12 x x 13 x x 14 x x
ij
21
31
22
32
23
33
LINGO求解
24
34
0
设有三个电视机厂供应四个地区某种型号的电视机。 各厂家的年产量、 销地 各地区的年销售量以及 B1 B2 B3 厂家 各地区的单位运价 A1 6 3 12 如右表， A2 4 3 9 试求出总的运费最省的 A3 9 10 13 6 14 0 最低需求（万台） 电视机调拨方案。
运输问题的数学模型
每一个出发地都有一定的供应量（supply）配送到 目的地，每一个目的地都有需要从一定的需求量（ demand），接收从出发地发出的产品。 需求假设（The Requirements Assumption） 可行解特性（The Feasible Solutions Property） 成本假设（The Cost Assumption） 整数解性质（Integer Solutions Property）
如何制定一个运输方案，使总的运输费用最小。这样的问题称为运 输问题。
第1页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 2 of 11
运输问题的特征 Characteristics of Transportation Problems
第2页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
Ch3 Transportation Problem
2024年10月13日星期日 Page 3 of 11
需求假设（The Requirements Assumption）： 每一个出发地都有一个固定的供应量，所有的供应 量都必须配送到目的地。与之相类似，每一个目的 地都有一个固定的需求量，整个需求量都必须由出 发地满足，即
总供应量＝ 总需求量
可行解特性（The Feasible Solutions Property）： 当且仅当供应量的总和等于需求量的总和时，运输问 题才有可行解
第3页/共10页
§3.1 运输问题的数学模型 Mathematical Model of T P
运筹学运输问题-图文
❖ 建模：设xij为从产地Ai运往销地Bj的物资数量（i=1， …m；j=1，…n。
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
X11 X12
...
X1n
a1
A2
X21 X22
...
X2n
a2
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
Xm1 Xm2
...
Xmn
am
销量
b1
b2
...
bn
则运输问题的数学模型如下：
产销平衡表
销地 B1
B2
...
Bn
产量
产地
A1
a1
A2
a2
.
.
.
.
.
.
Am
am
销量
b1
b2
...
bn
单位运价表
销地
B1
B2
...
Bn
产地
A1
c11
c12
...
c1n
A2
c21
c22
...
c2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Am
cm1
cm2
...
cmn
❖ 若总产量等于总销量（产销平衡），试确定总运费最省 的调运方案。
Table14 检验数表
销地
B1
B2
B3
B4
产地
A1
(典型例题)《运筹学》运输问题
第四天送洗：y451200
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
xj0，yij0，zij0，（i=1,┈,4；j=1,┈,5）
2008/11
--22--
--《Ⅵ 产量
新购 1 第一天 M 第二天 M 第三天 M
第四天 M
1 1 1 1 0 5200
0.2 0.1 0.1 0.1 0 1000
2008/11
--21--
建立模型：
--《运筹学》 运输问题--
设 xj—第j天使用新毛巾的数量；yij—第i天送第j天使用快洗 餐巾的数量；zij—第i天送第j天使用慢洗餐巾的数量；
Min z=∑xj+∑∑0.2yij+∑∑0.1zij
第一天：x1=1000
需 第二天：x2+y12=700
求 约
m1
xij b j (j 1,2,...,n)
i1
x 0 (i 1,...,m,m 1; j 1,...,n) ij
2008/11
--16--
--《运筹学》 运输问题--
销＞产问题单位运价表
产地销地 B1 B2 ┈
A1
C11 C12 ┈
A2
C21 C22 ┈
┊ ┆┊┈
Am Cm1 Cm2 ┈
2008/11
--8--
产销平衡表
--《运筹学》 运输问题--
单位运价表
B1 B2 B3 B4 产量
A1 (1) (2) 4 3 7 A2 3 (1) 1 (-1) 4 A3 (10) 6 (12) 3 9 销量 3 6 5 6
B1 B2 B3 B4 A1 3 11 3 10 A2 1 9 2 8 A3 7 4 10 5
Ⅰ Ⅱ
示。又如果生产出来的柴
Ⅲ
运筹学第三章 运输问题
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 3
3 1
4
4
2
A3
销量 2
4 7
1 3
4
4 6
3
7 5
3
5
6
8
4 3 13
σ11=-3, σ12=-2,σ23=-4, σ31=-1,σ33=1, σ34=-1
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6
5 0
3 4
4
4
2
A3
销量 2
4 7
4
4 6
3
4 3
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x11检验数为 6-4+8-6+4-4=4
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
6 4 2 4
5
3
4
3
4 7
1
5
4 6
A3 销量 2
7
0
4
6
3
5
3
4
8
3 13
x12检验数为 5-4+8-6=3
销地 产地 A1
A2
B1
B2
B3
B4
产量
2、位势法 当运输问题变量的格数较多时，用闭 回路法计算检验数比较麻烦，而位势法比 较简便。 对于运输问题 minf=CX AX=b X≥0 设B为其一个可行基，则xij的检验数为 σ ij=CBB-1Pij-Cij
运筹学 第3章运输问题
检 验 数 表
最 优 方 案 判 别 准 则
B1 3 A1 A2 7 A3 vj
B2 11
B3 3 2
B4 10 8
ui
1
1Байду номын сангаас
2
9
0
1
4 10
-1
5
-1 -5
10
2 9
12
3 10
24=-1＜0，当前方案 不是最优方案。
26
2.3
闭回路调整法改进方案
min ij 0 pq
xpq 为换入变量
min
z cij xij
i 1 j 1
s.t.
n xij ai 1 jm xij b j i 1 xij 0
i 1,, m j 1,, n
4
运输问题的约束方程组系数矩阵及特征
x11 x12 .... x1n 1 1.......1 A 1 1 1 x21 x22 .... x2 n ...... xm1 xm 2 .... xmn 1 1.......1 ......... 1 1.......1 1 1 1 .......... 1 1 1
10
1. 最小元素法 （思想：就近供应） 不 能 同 时 划 去 行 和 列
销 产 A1 1 A2 A3 销量 3 9 B1 3 B2 11 B3 3 B4
表3-4
产量 10 7 8 5
4
2
3
3
7 4
1
10
6
6 5
3
6
保证填 4 有运量 的格子 9 为m+n1
该方案总运费： Z=4×3+3×10+3×1+1×2+6×4+3×5=86
管理运筹学-02-7运输问题
运量之和表示从该供应地运往各需求地的运量之和，它 应该等于该供应地的供应量；同样，每一列运量之和表 示从各供应地运往该需求地的运量之和，它应该等于该 需求地的需求量。
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运输问题及其数学模型
•运输问题约束矩阵的性质
1 1 1
分别将A的前m行和后n行相加，得到两个
A=
1
1
=5 ①
x21+x22+x23+x24
=2 ②
x31+x32+x33+x34 = 3 ③
x11
s.t.
x12
+x21 +x22
+x31 +x32
=2 ④ =3 ⑤
x13 x14
+x23 +x24
+x33 = 1 ⑥ +x34 = 4 ⑦
xij≥0
( i =1, 2, 3; j =1, 2, 3, 4 )
• 1. 确定初始基础可行解 • （1）最小元素法 • 最小元素法的基本思想是就近供应，即从
单位运价表中最小的运价处开始确定供销 关系，依次类推，一直到给出全部方案为 止。
表上作业法求解运输问题
例 给出运输表如右。
1
2
3
4
最小运价为c33=7， 供应地3的供应量
1
10
11
9
15
30
为50，需求地3的 需求量为31，安排
x 2 32
3
B3 x 2
13
x 8 23
x 9 33
1
(百元/百吨 )
B4 x 5
14
产量
5
运筹学3.运输问题
21
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
二、初始基可行解的确定
1.最小元素法(就近供应) 就进供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销 关系，然后次小，一直到求出初始基可行解为止。
例3 销地
产地
B1
B2
B3
B4
ai
3
11
3
10
A1
④③
7
1
A2 ③
9
2
①
84
7
4
10
5
A3
⑥
③
9
Hale Waihona Puke bj365
6 20
Z 31 64 12 43 310 35 86
24
2.伏格尔法（Vogel）
例4
销地 产地
B1
B2
B3
B4 ai
3
A1
②
11
3
⑤
10 7 0 0 0 0
A2
19
①
28
③
4 1111
A3
74
⑥
10 5
③
9 12 - -
bj
36
5
6 20
25 1
3
2 - 1 3 Z 2311 64 53
2
-
1
2
2
-
1
-
3 8 3 5 85
25
在以上两种方法中，有几点需要注意： • 这两种方法得出的解均为初始可行解。 • 一般由伏格尔法得出的解比最小元素法得出的解 更接近最优解。 • 在以上方法过程中，不可同时划去行和列。
26
三、求检验数并进行最优解的判定
1.闭回路法 例5
销地 产地
B1
3 A1
1
运输问题的数学模型详细讲解,有案例+多种方法
i 1 j 1 m n
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
m ( 3 1) x ij b j j 1,2, , n i 1 n s .t . x ij a i i 1,2, , m j 1 x 0 ij m n 其中，ai和bj满足： ai b j 称为产销平衡条件。
2、流向图
流向图:
在交通图上表示物资流向的图被称为流向 图。在图中每个发点吨数全部运完，每个 收点所需吨数均已满足。
2、流向图
发点A到收点B的 运输量，用括号 括起。
2、流向图
关于流向图的一些规定 箭头必须表示物资运输的方向 流量写在箭头的旁边，加小括号。 流向不能直接跨越路线上的收点、发点、 交叉点 任何一段弧上最多只能显示一条流向！即 同一段弧上的多条流向必须合并。 除端点外，任何点都可以流进和流出
2 4 6 4 B4
（2）
B5
4 2
8 B3
（8）
4
B2
（8） （1）
4 6 7 A1
3
5 8 A2
图 4-10
第三步：补上丢掉的边，检查有无迂回。 圈 B5B4B3A2 的 圈 长 =4+4+5+8=21, 内 圈长= 4+4+5=13>21/2，有迂回，所 以流向图不是最优流向图。需要调整。
约束方程式中共mn个变量，m+n个约束。
上述模型是一个线性规划问题。但是其结构很特殊， 特点如下： 1.变量多（mn个），但结构简单。
x11 x12 x1n x 21 x 22 x 2 n x m 1 x m 2 x mn 1 1 1 1 1 1 技术系数矩阵 A 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 m行 n行
运筹学 运输问题例题数学建模
运筹学运输问题例题数学建模运筹学是一门研究如何在有限的资源和多种约束条件下，寻求最优或近似最优解的科学。
运输问题是运筹学中的一个重要分支，它主要研究如何把某种商品从若干个产地运至若干个销地，使总的运费或总的运输时间最小。
本文将介绍运输问题的数学建模方法，以及用表上作业法求解运输问题的步骤和技巧。
同时，本文还将给出几个典型的运输问题的例题，帮助读者理解和掌握运输问题的求解过程。
运输问题的数学建模运输问题可以用以下的数学模型来描述：设有m 个产地（或供应地），分别记为A 1,A 2,…,A m ，每个产地i 的产量（或供应量）为a i ；有n 个销地（或需求地），分别记为B 1,B 2,…,B n ，每个销地j 的需求量为b j ；从产地i 到销地j 的单位运费（或单位运输时间）为c ij ；用x ij 表示从产地i 到销地j 的运量，则运输问题可以归结为以下的线性规划问题：其中，目标函数表示总的运费或总的运输时间，约束条件表示每个产地的供应量必须等于其产量，每个销地的需求量必须等于其销量，以及每条运输路线的运量不能为负数。
在实际问题中，可能出现以下几种情况：产销平衡：即∑m i =1a i =∑n j =1b j ，也就是说总的供应量等于总的需求量。
这种情况下，上述数学模型可以直接应用。
产大于销：即∑m i =1a i >∑n j =1b j ，也就是说总的供应量大于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的销地，其需求量等于供需差额，且其与各个产地的单位运费为零。
这样就可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
产小于销：即∑m i =1a i <∑n j =1b j ，也就是说总的供应量小于总的需求量。
这种情况下，可以增加一个虚拟的产地，其产量等于供需差额，且其与各个销地的单位运费为零。
这样也可以把问题转化为一个产销平衡的问题。
弹性需求：即某些销地对商品的需求量不是固定不变的，而是随着商品价格或其他因素而变化。
管理运筹学04运输问题
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
2024/3/29
例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
9
销量 3
65
6
20
2024/3/29
闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
2024/3/29
例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
例4-1的最小元素法
运价表 1 产
地
B1
A1
3
A2
1
A3
7
销量
3
销 B2
11
9 4 6
地
产
B3
B4
量
3
10
7
2
84
10
59
5
6 20
方案表 1
产
地
B1
A1
A2
3
A3
销量
3
销 B2
6
地
产
B3
B4
量
7
4
9
5
6 20
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例4-1的最小元素法
运价表 2
产
销
地
地
B1
A1
B2
7
•- •+
A2 3
1
4
•-
•+
A3 + (10) 6
•-
3
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销量 3
65
6
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闭合回路法求检验数
产
销地
产
地
B1
B2
B3
B4
量
A1 (1)
(2)
4
3
7
A2
3 (1)
1 (-1)
4
A3 (10)
6 (12)
3
9
销量
3
6
5
6 20
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例4-1(伏格尔法)
产
销
地
产
地 B1
(6)
销量
3
6
运输问题—数学模型及其解法
闭合回路中标有“”的基变量同时有多个达到最小 变换后，有多个原基变量变为 0，选运费最大者为出变量，其
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
余保留在新的基础解中 退化较严重时，可能会出现多次迭代只有值为 0 的基变量在
转移。此时，一要耐心，二要正确选择出变量
踏石法迭代中需注意的问题：
1、错误地将分配表中基变量的解代入到运费表中 2、不能正确画闭合回路 3、初始解退化，未能补足基变量的个数。因此在位势法中 多次令某个 ui 或 vj 为 0； 4、在位势法中只能令一个 ui 或 vj 为 0；若不能求出全部 ui 和 vj ，说明基变量未选够数或未选对
3.3.3 关于退化问题
1、初始解退化。即所求初始基变量的个数少于 m+n1。必须
补足基变量的个数，否则不能正常解出 m+n个 ui 和 vj
所补基变量的值为 0 ，补充的原则：(1)尽量先选运费小的实变量；
(2)补充后不能有某个基变量独占一行一列
12
3.3.3 关于退化问题
2、迭代过程中出现退化
❖ 共有m+n1个基变量xij ，因此可得m+n1个等式 ui+vj=wij ❖ m+n1个等式只能解出 m+n1个 ui 和 vj ，而一共有m+n
个 ui 和 vj ，但可令任一个ui 或 vj =0，从而解出其它 m+n1个的值；这就是位势法 ❖ 令 zij= ui + vj ，其相当原问题xij的机会费用 ❖ 若对所有非基变量有 zij wij 0，即 ui + vj wij，表明当 前ui 和 vj 是对偶问题的可行解，由互补松弛定理可知当前 m+n1个基变量xij 是最优解，否则 ❖ 从 zij wij > 0 中找最大者，对应 xij 就是入变量
运输问题的数学模型
运输问题的数学模型
运输问题是指将一定数量的物资从一个地点运输到另一个地点，
在实现最优运输方案的过程中，可能途径多个中间节点。
由于数据可
能很庞大，特别是考虑到影响运输成本的一系列不确定因素，因此，
将运输问题的解决变成一个数学优化模型就显得尤为重要。
数学优化模型是一种描述和尝试求解优化问题的表达型语言，其
中包括一系列变量、目标函数和约束。
根据优化原理，通常优化模型
可以定义为如下公式：
min/max f(x)
s.t. g(x,y) = 0
h(x,y) ≥ 0
其中，f(x)是目标函数，用来描述给定的优化问题的目标；g(x,y) = 0和h(x,y) ≥ 0分别是约束函数，用来限制优化变量的取值，以达到问题的最优解。
运输问题的数学模型包括以下三个部分：
首先，定义运输问题的优化变量。
一般来说，优化变量包括运输量、源点到各中间节点的运输量以及中间节点到收货站的运输量。
其次，描述给定优化变量的目标函数，也就是运输成本最低的最
优化目标，也称为最低成本目标函数：
Minimize Sum[i=1->n] (c(i,j)xij)
其中，c(i,j)是从源点i到收货点j的运输单价，xij是从源点i
到收货点j的运输量。
最后，定义运输问题的限制条件，比如发货量不能大于源点库存；收货量不能大于收货点需求；各中间节点运输出量不能大于运输入量，即xij-xji≥0。
由以上确定的运输问题数学模型，就可以通过解析或者随机算法
等方法进行优化，以获得最优运输解决方案，尽可能地降低运输成本。
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x11 x12 x13 7
x21
x22
x23
8
s.t.
x11 x12
x21 x22
6 5
x13
x23
4
xij 0(i 1, 2; j 1, 2,3)
2.1 运输问题的数学模型
mn
Min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai j1
s.t. m xij bj
各产地的产量ai，各销地的销量bj， 各产地到各销地的单位运价cij ; m为产地的个数；n为销地的个数；
i1
xij
0(i
1, 2,..., m;
j
1, 2,..., n)
2.1 运输问题数学模型的一般形式
运输问题描述： 某种产品有若干个产地(m个)，若干个销地（n个） 已知各产地的产量ai，各销地的销量bj， 各产地到各销地的单位运价cij。 问如何组织调运，能使总运费最少？
i1 j 1
n
xij ai
j1
s.t.
m
xij
bj
i1
xij
0(i
1, 2,..., m;
j
1, 2,..., n)
2.1 运输问题数学模型的一般形式
产小于销模型
mn
Min z
cij xij
i1 j 1
n
xij ai
j1
s.t.
m
xij
bj
i1
xij
到甲
乙
丙
产量
从
A
12
18
19
7
B
22
15
17
8
需求量
6
5
4
2.1 运输问题的数学模型
到 从
A B 需求量
甲
乙
丙
产量
12
x 11
18
x 12
19
x 13
7
22
x 21
15
x 22
17
x 23
8
6
5
4
2.1 运输问题的数学模型
例2.1.1
Minz= 12x11 18x12 19x13 22x21 15x22 17x23
2.1 运输问题数学模型的一般形式
产销平衡模型
m
n
Min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai
j1
s.t. m xij bj
i1
xij
0(i
1, 2,..., m;
j
1, 2,..., n)
2.1 运输问题数学模型的一般形式
产大于销模型
mn
Min z
cij xij
0(i
1, 2,..., m;
j
1, 2,..., n)
2.1 运输问题数学模型的一般形式
产销平衡运输问题模型的特点： 1、m+n个约束，m*n个变量，变量个数远远大于 约束个数； 2、根据数据表可以方便写出线性规划数学模型， 很直观。
2.1 运输问题的数学模型
运输问题描述： 某种产品有若干个产地，若干个销地。 已知各产地的产量，各销地的销量， 各产地到各销地的单位运价。 问如何组织调运，能使总运费最少？ 下面首先分析如何建立运输问题的模型．
运输问题的数学模型
例2.1.1某地区有两个化肥厂，有三个产粮区需 要该种化肥，试制定一个化肥调拨方案．