随机过程学习总结

随机过程学习报告
通过这一段时间以来的学习，我认识到我们的生活中充满了随机过程的实例，在生活中我们经常需要了解在一定时间间隔[0,t)内某随机事件出现次数的统计规律，如到某商店的顾客数；某电话总机接到的呼唤次数；在电子技术领域中的散粒噪声和脉冲噪声；已编码信号的误码数等。

在我们的专业学习——通信工程中，研究数字通信中已编码信号的误码流，数模变换中对信号进行采样等也都会应用到随机过程的知识，因此这门课程的学习是非常重要的。

一、认识泊松过程与复合泊松过程的区别
泊松过程是一类很重要的随机过程，随机质点流描述的随机现象十分广泛，下面我就通过运用泊松过程的知识解答一道书本中的实际应用题目：
设移民到某地区定居的户数是一泊松过程，平均每周有两户定居，即λ=2。

若每户的人口数是随机变量，一户4人的概率是1/6，一户3人的概率是1/3，一户两人的概率是1/3，一户一人的概率是1/6，且每户的人口数是相互独立的，①5周内移民到该地区定居的人口数是否为泊松过程？②求上述随机过程的数学期望与方差。

分析：这道题目中的问题就是复合泊松过程的实际应用，这类过程具有泊松过程的一部分性质，不同的地方就在于随机质点流的到达不必再满足每次只能到一个的标准，这就将随机过程的研究与实际相融合，生活中的大部分过程其实是不可能满足每次到达一个这样的苛刻要求的，比如调查到达商场购物的人数等问题时，实际去商场购物时人们大多都是与好朋友结伴出行而不可能存在每个人都是独自来购物的现象，所以引入复合泊松过程是十分有必要的。

解：设[0,t)时间内到该地定居的户数为N(t)，则{N(t)，t>=0}是一泊松过程，X(n)为第n 户移民到该地定居的家庭人口数，{X(0)=0,X(n),n=1,2,3···}是独立同分布随机变量列，Y(t)为[0,t)时间内定居到该地的人数。

则Y(t)=∑=)
(0
)n (X t N n t>=0 为一复合泊松过程，
)()(υϕn X =4γi e *1/6+3γi e *1/3+2γi e *1/3+γi e *1/6
)()t (υϕY =)1)((t )1(-γϕλX e
由特征函数的唯一性可知，Y(t)不是泊松过程。

E[X(n)]=4*1/6+3*1/3+2*1/3+1*1/6=5/2
E[）（n X 2
]=16*1/6+9*1/3+4*1/3+1*1/6=43/6 则E[Y(t)]=λt*E[X(1)]=t*5; D[Y(t)]=λt*E[）（1X 2
]=t*43/3;
则五周内定居到该地的人数数学期望为：5*5=25 方差为：5*43/3=215/3
通过对此题的求解，我们发现复合随机过程不一定是泊松过程，经计算可知当X(n)为两点分布时，复合随机过程一定是泊松过程，复合泊松过程满足增量独立性和增量稳定性，当它不是泊松过程时求解一些问题会有些困难，目前为止我们学习了其特征函数、数学期望、方差的求解方法，而我们没有了解的的知识还有很多。

二、用matlab实现泊松过程的模拟
思路：在0~Tmax时间内模拟泊松过程，根据泊松过程时间间隔服从参数为λ的指数分布，则随机生成时间间隔并累加，就得到了每次质点到达的时间点，在每个指点到达时N（t)+1,实现一次质点计数后要通过判断循环条件等语句判断是否继续进行，那么生成泊松过程的阶梯曲线图像。

由于目前我们学习到使用Matlab实现的功能还很有限，所以通过结合查阅的资料我能够大致理解并实现模拟出泊松过程。

MATLAB代码如下：
lamda=2;Tmax=50;
i=1;T(1)=random('exponential',lamda);
while(T(i)<Tmax)
T(i+1)=T(i)+random('exponential',lamda);
i=i+1;
end
T(i)=Tmax;x=0:1:i;w(1)=0;
for p=1:i
w(p+1)=T(p);
end
%length(w)
%length(x)
stairs(w,x);
程序运行结果：
虽然实现模拟工作的代码并不是很复杂，但这标志着我们能够实现在学习随机过程时通过亲自实现学习内容，这能够帮助我们更好的理解和掌握知识，在更深入地学习中也会发挥更加重要的作用。

希望在以后的专业学习中我能运用到这些已经掌握的知识，来为更深入地学习打好基础。