高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第3讲 导数的概念及其简单应用课件 理

令 f′(x)=0,得 x1= 1 4 3a ,x2= 1 4 3a ,
3
3
x1<x2.所以 f′(x)=-3(x-x1)(x-x2).
当 x<x1 或 x>x2 时,f′(x)<0; 当 x1<x<x2 时,f′(x)>0.
故 f(x)在(-∞, 1 4 3a )和( 1 4 3a ,+∞)内单调递减,在
21(1) 12
12、 21(1)
21(2)
10
12
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1.(2015 新课标全国卷Ⅰ,理 12)设函数 f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在 唯一的整数 x0 使得 f(x0)<0,则 a 的取值范围是( D )
(A)[- 3 ,1) (B)[- 3 , 3 )
2e
2e 4
(C)[ 3 , 3 ) (D)[ 3 ,1)
2e 4
2e
解析:由 f(x0)<0,即 ex0 (2x0-1)-a(x0-1)<0,得 ex0 (2x0-1)<a(x0-1).
当 x0=1 时,得 e<0,显然不成立,所以 x0≠1.
若
x0>1,则
a>
ex0
2x0 1
x0 1
.令
g(x)=
ex
2x 1
x 1
,则
g′(x)=
2 xe x
x
3 2
x 12
.
当 x∈(1, 3 )时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 2
当 x∈( 3 ,+∞)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 2
要满足题意,则 x0=2,此时需满足 g(2)<a≤g(3), 得 3e2<a≤ 5 e3,与 a<1 矛盾,所以 x0<1.
4a 2b c 8, 则 f(x)=5x2-10x+8,此时 f(-1)=23≠0,符合题意.故选 A.
3.(2011 新课标全国卷,理 9)由曲线 y= x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形 的面积为( C )
(A) 10 (B)4 (C) 16 (D)6
3
3
解析:画简图如图,由
所以 f(x)在 x=x2= 1 4 3a 处取得最大值. 3
又 f(0)=1,f(1)=a,所以 当 0<a<1 时,f(x)在 x=1 处取得最小值; 当 a=1 时,f(x)在 x=0 处和 x=1 处同时取得最小值; 当 1<a<4 时,f(x)在 x=0 处取得最小值.
备考指要
1.怎么考 本讲主要考查导数的几何意义,导数的运算法则及利用导数研究函数的单调 性,求函数的极值、最值等. (1)对导数的几何意义的考查主要是已知切线方程求参数,多在解答题的第 (1)问中出现. (2)对导数的运算法则一般不单独考查,在利用导数研究函数的单调性等问 题时作为解题工具而出现. (3)对函数的单调性、极值、最值的考查,主要是体现在解答题的第(2)问中, 通过对单调性、极值、最值的研究,进而考查不等式证明、不等式恒成立、 函数零点等.考查分类讨论思想、数形结合思想及推理论证能力,综合性很 强. (4)高考对定积分的考查相对较少,主要考查利用定积分求面积、难度中等. 2.怎么办 熟练掌握导数的几何意义、导数的运算法则及利用导数研究函数的单调性, 求函数的极值、最值的一般步骤.
若
A,C,D
正确,则有
4a
2b
c
8,
②
4ac
b
2
4a
3,
③
由①②得
b c
8 3 8
a, 2a,
代入③中并整理得
9a2-4a+
64 9
=0,
3
又 a 为非零整数,则 9a2-4a 为整数,故方程 9a2-4a+ 64 =0 无整数解,故 A 错. 9
2a b 0, 若 B,C,D 正确,则有 a b c 3, 解得 a=5,b=-10,c=8,
2
因为 x0<1,所以 a< ex0 2x0 1 .
x0 1 易知,当 x∈(-∞,0)时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当 x∈(0,1)时,g′(x)<0,g(x)为减函数, 要满足题意,则 x0=0,此时需满足 g(-1)≤a<g(0), 得 3 ≤a<1(满足 a<1),故选 D.
2e
3
3
( 1 4 3a , 1 4 3a )内单调递增.
3
3
(2)当x∈[0,1]时,求f(x)取得最大值和最小值时的x的值. 解：(2)因为 a>0,所以 x1<0,x2>0. ①当 a≥4 时,x2≥1. 由(1)知,f(x)在[0,1]上单调递增. 所以 f(x)在 x=0 和 x=1 处分别取得最小值和最大值. ②当 0<a<4 时,x2<1. 由(1)知,f(x)在[0,x2]上单调递增,在[x2,1]上单调递减.
y
x
2,
y x,
解得
x
y
4, 2,
所以
A(4,2).
如图阴影面积
S= 4 [ 0
x -(x-2)]dx= 16 .故选 C. 3
4.(2014安徽卷,理18)设函数f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a>0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性;
解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞), f′(x)=1+a-2x-3x2.
若
A,B
都正确,则有
a b c 2a b
0,
0,
解得
b=-2a,c=-3a,
则 f(x)=ax2-2ax-3a.
由于 a 为非零整数,所以 f(1)=-4a≠3,则 C 错.
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而 f(2)=-3a≠8,则 D 也错,与题意不符,故 A,B 中有一个错误,C,D 都正确.
a b c 0, ①
核心整合
1.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率,即k=f′(x0). 温馨提示 不要将“过点A的切线”错以为“在点A处的切线”.
第3讲 导数的概念及其简单应用
考向分析 核心整合 热点精讲 阅卷评析
考向分析
考情纵览
考点
年份
导数的几何意义 及应用
利用导数研究函 数的单调性
利用导数研究函 数的极值与最值
定积分
2011 21(1)
9
2012
2013 ⅠⅡ
2014 ⅠⅡ
2015
Ⅰ
Ⅱ
12 21(1)
21(1)
21(1)
21(1)
21(1)
2.(2015陕西卷,理12)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学 分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是 ( A) (A)-1是f(x)的零点 (B)1是f(x)的极值点 (C)3是f(x)的极值 (D)点(2,8)在曲线y=f(x)上 解析:由已知得 f′(x)=2ax+b, 则 f(x)只有一个极值点,