第三节 凸函数
凸函数上凸下凸凹函数
凸函数上凸下凸凹函数凸函数、上凸函数、下凸函数和凹函数是数学中常见的函数类型，它们在经济学、物理学、计算机科学等领域中都有广泛的应用。
本文将详细介绍这些函数类型的定义、性质和应用。
一、凸函数的定义和性质凸函数是定义在实数区间上的一类函数，它具有很好的几何性质。
具体来说，如果函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件，那么它就是凸函数：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≤tf(a)+(1-t)f(b)。
这个条件称为凸函数的Jensen不等式。
从几何上来看，Jensen不等式意味着函数图像上任意两点之间的连线位于函数图像的下方。
这个性质被称为凸函数的上凸性。
凸函数的性质包括以下几个方面：1.凸函数的上凸性。
对于凸函数f，任意两点a和b以及他们之间的连线位于函数图像的下方。
2.凸函数的上确界性质。
如果函数f在一些区间上凸且上有界，那么在该区间上必存在一个唯一的点c，使得f(x)≤f(c)，对于任意的x∈区间。
3.凸函数的导数性质。
凸函数的导函数是非递减的。
也就是说，如果函数f在一些区间上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非负。
凸函数有许多应用，特别是在经济学和运筹学中。
经济学家和决策者常常使用凸函数来描述效用函数、成本函数、收益函数等。
在运筹学中，凸函数被广泛应用于线性规划、非线性规划和凸优化等问题的建模和求解。
二、上凸函数和下凸函数的定义和性质上凸函数和下凸函数是凸函数的两个特殊情况。
上凸函数是指函数f在定义域上的一些区间上满足以下条件：1. 对于区间上的两个点a和b，以及任意介于a和b之间的数t∈[0,1]，都有f(ta+(1-t)b)≥tf(a)+(1-t)f(b)。
上凸函数的性质包括：1.上凸函数是凸函数的一种特殊情况。
也就是说，任何一个上凸函数都是凸函数。
2.上凸函数的导数是非递增的。
也就是说，如果函数f在一些区间上上凸，那么它的导函数f'(x)在该区间上非正。
第3讲凸集、凸函数、凸规划
凸集-----性质
推论： 设 Di , i 1,2,, k 是凸集， 则 i Di 也是凸集， 其中 i 是实数．
i 1 k
(4) S 是凸集当且仅当S中任意有限个点的凸 组合仍然在S中.
凸集-----性质
注： 和集和并集有很大的区别，凸集的并集 未必是凸集，而凸集的和集是凸集．
(c)凸组合为连接这两点的线段；
(b)凸锥组合为以原点为锥顶并通过这两点的锥.
凸集---定义
凸集---定义
定义1 设集合 D R n , 若对于任意两点
x , y D , 及实数 0 1 , 都有：
x 1 y D, 则称集合 D 为凸集．
常见的凸集：单点集 { x }，空集 ，整个欧氏空间 Rn，
定理215直观解释我们不妨把一个闭凸集想象为一个三维的充满了气体的气球不一定为标准球形但必须是凸的那么在气球外一点到气球各点包括内部的距离是不一样的但直觉告诉我们肯定在气球上有一点它到该点的距离是所有距离中最小的
第 3讲
凸集、凸函数、凸规划
凸性(Convexity)是最优化理论必须涉及到基本概念.具有凸性 的非线性规划模型是一类特殊的重要模型，它在最优化的理 论证明及算法研究中具有非常重要的作用.
x1 xn
x1p x2p xnp ( p 1), n n 1 P41 2.36 p p p p x1 xn x1 x2 xn ( p 1), n n
1 p
性质
定理2
凸函数
f1 , f 2 ,..., f k 是凸集S上的凸函数, 则
f(αx1+(1-α)x2 )
f(X1)
X1
Ch3 凸函数
f ( x) log(e x1 ... e xn )
n f ( x) (i 1 xi )1/ n , domf n
n f ( X ) log(det X ), domf S
/
Example—下水平集(sublevel set)
Examples
指数函数 幂函数
e
a
ax
×
log x x log x
x , x , a 1 or a 0.
负对数函数
负熵函数
范数函数
x
p
/
Examples
f ( x) max( x1 ,..., xn )
f ( x) x / y
/
保拟凸运算
非负权值函数的最大值函数 复合函数 最小值函数
/
对数凸函数
2. f ( x) 0 3.log f ( x) 为凸函数。
定理：
拟凸函数
定义：函数 f ( x)称为对数凸函数，若函数 f ( x) 满足： 1.domf 为凸集
f ( p ( x) xdx) p ( x) f ( x)dx.
S S
应用：EM算法
/
保凸运算
凸函数的非负加权和
凸函数与仿射变换的复合 逐点最大、最小值
f ( x) 1 f1 ( x) ... n f n ( x) g ( x) f ( Ax b)
拟凸函数：定义、例子、3个性质、保拟凸运算 对数凹函数&对数凸函数：定义、例子、定理、性质
广义不等式的凸性：单调性定义、凸性定义、定理
/
凸函数定义
n f : 函数 ，满足
严格凸 凹 严格凹
凸函数
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)>=(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
凸函数的主要性质有：1.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数β≥0，函数βf 也是定义在S上的凸函数;2.若f1和f2为定义在凸集S上的两个凸函数，则其和f=f1+f2仍为定义在S上的凸函数;3.若fi(i=1，2，…，m)为定义在凸集S上的凸函数，则对任意实数βi≥0，函数βifi也是定义在S上的凸函数;4.若f为定义在凸集S上的凸函数，则对每一实数c，水平集Sc={x|x∈S，f(x)≤c}是凸集微积分如果f和g是凸函数，那么m(x) = max{f(x),g(x)}和h(x) = f(x) + g(x）也是凸函数。
如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x) = g(f(x））是凸函数。
凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f(x）是凸函数，那么g(y) = f(Ay + b）也是凸函数。
初等运算1、如果f和g是凸函数，那么m(x)=max{f(x)，g(x)}和h(x)=f(x)+g(x)也是凸函数。
2、如果f和g是凸函数，且g递增，那么h(x)=f(g(x))是凸函数。
3、凸性在仿射映射下不变：也就是说，如果f（x）是凸函数，那么g(y)=f(Ay+b)也是凸函数举例函数f(x) = x²；处处有，因此f是一个（严格的）凸函数。
绝对值函数f(x) = | x | 是凸函数，虽然它在点x = 0没有导数。
当1 ≤p时，函数f(x) = | x | p是凸函数。
定义域为[0,1]的函数f，定义为f(0)=f(1)=1，当0函数x3的二阶导数为6x，因此它在x ≥0的集合上是凸函数，在x ≤0的集合上是凹函数。
凸函数
一、凹凸函数的代数定义容易理解，若函数 f（x）为凸函数，那么 -f（x）为凹函数。
所以，讨论清楚了凸函数，等价于讨论清楚了凹函数。
现在我们来讨论凸函数，现设一函数 f（x）。
在该函数定义域的凸区内任取两点x1、x2（x1<x2）。
设一点x=q1x1+q2x2(q1,q2>0 ，且q1+q2=1)那么易得，该点必包含于x1，x2之间。
凸函数,是数学函数的一类特征。
凸函数就是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C（区间）上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量, f((x1+x2)/2)≤(f(x1)+f(x2))/2,则f(x)是定义在凸子集c中的凸函数（该定义与凸规划中凸函数的定义是一致的，下凸）。
注意：中国大陆数学界某些机构关于函数凹凸性定义和国外的定义是相反的。
Convex Function在某些中国大陆的数学书中指凹函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
在函数可导的情况下,如果一阶导娄在区间内是连续增大的,它就是凹函数; 在图形上看就是"开口向上" ,反过来,就是凸函数; 由于一阶导数连续增大,所以凹函数的二阶导数大于0; 由于一阶导数连续减小,所以凸函数的二阶导数小于0,凸函数就是:缓慢升高,快速降低; 凹函数就是:缓慢降低,快速升高.。
第三节 凸函数
d)f(x)=x12+4x1x2-x22
解 a)
∂f( x ) ∂x
2 1
= 10x 1+
2
x
2
- 5,
∂f( x ) ∂x
2
=
x
1
+ 2x 2+ 4
∂ f( x ) ∂x
2 2 1
= 10,
∂ f( x ) ∂x
2 1
= 1
x
2
∂ f( x ) ∂x
2
= 1,
∂ f( x ) ∂x 2
2
= 2
x
表明▽2f(x)负定，f(x)是严格凹函数。
c）
2 2 f (x) 0 0
0 12 x 2 0
0 0 0
▽2f(x)的一阶主子式分别为2,12x2,0均非 负（x2≥0）；二阶主子式分别为
2 0 0 12 x2 2 4 x 2≥ 0 ， 2 0 0 0 =0， 12 x 2 0 0 0 0
凸函数。
证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)]
=[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2
= -λ(1- λ)(x-y)2＜0
因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。
f[λx1+(1-λ)x2]= ≤
fα i 1+(1-λ)x2) i (λx
i=1
k
αi [λfi(x1)+(1-λ)f(x2)]
i 1
k
凸函数的判定与应用
凸函数的判定与应用凸函数是数学中一种常见的函数类型。
它在优化问题、经济学、工程和自然科学等领域中得到广泛应用。
本文将介绍凸函数的判定准则，以及凸函数在各个领域中的应用。
一、凸函数的定义与性质在数学中，凸函数可以通过其定义和性质来进行判定。
定义：设函数f在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导。
如果对于任意x1、x2∈[a, b]，以及任意0≤t≤1，都满足f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，则称函数f为[a, b]上的凸函数。
性质：凸函数具有以下性质：1. 对于凸函数f(x)，若f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)是凸函数。
2. 若函数f(x)在[a,b]上是凸函数且在(a,b)内可导，则在(a,b)内f'(x)是递增函数。
二、凸函数与判定方法凸函数的判定方法包括一阶导数、二阶导数和Jensen不等式等。
1. 一阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上可导，且对于任意x1、x2∈(a,b)，有f'(x)在[a,b]上单调递增，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
2. 二阶导数判定法若函数f(x)在区间[a,b]上两次可导，且对于任意x∈(a,b)，有f''(x)≥0，则f(x)是在[a,b]上的凸函数。
3. Jensen不等式对于凸函数f(x)，若λ1、λ2、...、λn为非负实数，且满足λ1+λ2+...+λn=1，以及x1、x2、...、xn为任意n个区间[a,b]上的数，则有以下不等式成立：f(λ1x1+λ2x2+...+λnxn)≤λ1f(x1)+λ2f(x2)+...+λnf(xn)三、凸函数的应用领域凸函数广泛应用于各个领域，包括优化问题、经济学、工程和自然科学。
1. 优化问题在优化问题中，凸函数常被用来描述目标函数或约束条件。
由于凸函数具有良好的性质，如弱凹性和全局极小值，因此可以通过凸优化算法来求解各种优化问题。
凸函数的定义
凸函数的定义凸函数是数学中一种非常基础且重要的概念，其在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
本文就来介绍凸函数的定义及其一些基本性质。
一、凸函数的定义在介绍凸函数之前，我们先来了解一下凸集的概念。
凸集是指对于该集合中任意两个点，它们之间的连线上的所有点也都属于该集合。
例如，一个圆形就是一种凸集，而一条线段则不是。
有了凸集的定义，我们就可以引出凸函数的定义了。
如果函数f 的定义域上的任意两点构成的线段都落在函数的上方，则该函数被称为凸函数。
反之，如果这些线段都落在函数的下方，则该函数被称为上凸函数。
这里需要注意的是，对于凸函数来说，图形上的“上方”指的是函数图像的上面，即函数值更大的区域。
而对于上凸函数，则是函数图像的下面，即函数值更小的区域。
二、凸函数的基本性质1.一阶导数单调递增对于凸函数来说，其一阶导数具有单调性。
也就是说，如果 f是一个凸函数，则其一阶导数 f' 是单调递增的。
反之，如果 f 的一阶导数是单调递增的，则 f 是凸函数。
这个性质非常重要，因为它可以用来证明很多凸函数的性质。
例如，如果我们知道了某个函数的一阶导数的单调性，就可以进一步证明该函数的二阶导数不小于零，从而证明该函数是凸函数。
2.上凸函数和下凸函数的判定对于一个函数 f，如果其一阶导数 f' 单调递减，则该函数是上凸函数。
反之，如果其一阶导数 f' 单调递增，则该函数是下凸函数。
这个判定方法可以用来判断很多函数的凸性。
例如，如果我们知道某个函数的一阶导数的单调性，并且该函数的一阶导数单调递增，则该函数是下凸函数。
3.凸函数的次导数函数的次导数是指它的 n 阶导数。
对于凸函数来说，它的次导数也具有一定的性质。
如果 f 是一个凸函数，则其次导数都不小于零。
这个性质可以用于推断一个函数是否是凸函数。
例如，如果我们知道某个函数的一阶和二阶导数都不小于零，则可以推断该函数是凸函数。
三、凸函数应用实例凸函数在优化理论、微观经济学等领域都有着广泛的应用。
第三节 凸函数
1
∇
2
1 0 f( x ) = 1
1 2
由于▽2f(x)的一阶顺序主子式为10，大于零，2阶 行列式为
10 1 1 2 20 1 19 0
表明▽2f(x)正定，故f(x)是严格凸函数。 b) 2 3
f (x) 3
2
8
▽2f(x)的奇数阶（一阶）顺序主子式分别为-2， 小于零；偶数阶主子式为 2 3 16 9 7 0 3 8
由已知条件有
f(x1)≥ f(x) + ▽f(x)T(x1-x)
f(x2)≥ f(x) + ▽f(x)T(x2-x)
所以
λ f(x1)≥ λ f(x) + λ ▽f(x)T(x1-x)
(1-λ) f(x2)≥ (1-λ) f(x) + (1-λ)▽f(x)T(x2-x)
两式相加，并进行整理，得
λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) + ▽f(x)T[λx1+(1-λ)x2 -x]
f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
例3 设f(x)=x4，x属于（-∞，+∞），判断函数 的凸凹性。
解：任取两相异点x1，x2，则有
▽f(x1)= f'(x1)=4x13
f(x2)-[f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)]
=x24-x14-4x13(x2-x1)
=x24-2x12x22+x14+2x12x22-4x13x2+2x14
3、掌握凸函数的一阶与二阶判定方法。
第三节 凸函数
凸函数的定义
凸函数的性质
凸函数的判定
凸函数
§3.2.6如果任取曲线上两点，则两点构成的都在此曲线弧的上方，我们称这样的曲线对应的函数为凸函数，如图21便是凸函数的图像，严格定义的话，如果D 是一个实轴上的区间，或者更为一般的向量空间上的凸集，则函数:f D R →是凸函数，如果其满足：()()()()1()1f x y f x f x λλλλ+-≤+-，对所有(),,0,1x y D λ∈∈这里我们注意集合D 叫做凸集，如果对于任意,x y D ∈和()0,1λ∈，()1x y λλ+-也在D 中，其几何意义是D 是这些半空间的交点。
如果f -是凸函数，则f 叫做凹函数，如果f 既凸又凹，则f 是一条直线。
例如：()f x ax b =+，,a b 是常数。
定理：函数f 在(),a b 内二阶可导，f 是凸函数当且仅当()''0f x ≥ 一般地，定义在n 维实空间上的凸环上的二阶可导函数是凸的，如果它的海塞矩阵是半正定型的，对于()12,,n f x x x 。
若f 所有的二阶导数都存在，那么f 的海塞矩阵即()22221121222221222222120n n n n n ff f x x x x x f f f H f x x x x x f f f x x x x x ⎡⎤∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥=≥∂∂∂∂∂⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥∂∂∂⎢⎥∂∂∂∂∂⎣⎦，这是对坐标的求模的一种说法，在f的每一点都有形式22121212(,,)(,,)n n k f x x x x x x x xx φ=+++ ，这里k n ≤，12(,,)n x x x φ 是线性的。
作为凸函数的应用，我们利用其性质来证明Holder 不等式。
Holder 不等式：如果()():0,,l n f R f x x+∞→=，其中1212,,,,,n n x x x y y y p q 都是正数，且111p q+=，则11111nnnpqp q i i i i i i i x y x x ===⎛⎫⎛⎫≤+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑等号成立当且仅当两向量12(,)n x x x 和12(,)n y y y 共线。
凸函数的知识点总结
凸函数的知识点总结一、凸函数的定义凸函数是一种具有很多重要性质的函数。
在数学上，凸函数的定义如下：设$f$是定义在实数集上的函数，如果对于任意的$x_1, x_2$和任意的$t \in [0,1]$，都有$f(tx_1 + (1-t)x_2) \leq tf(x_1) + (1-t)f(x_2)$，则称$f$是凸函数。
凸函数的定义实际上描述了函数图像上两点之间的连线位于函数图像之上，即函数的下凹性。
二、凸函数的性质1. 一阶导数的非减性：凸函数在其定义域上是处处可导的，在其定义域上的各点处，函数的导数保持不减。
2. 二阶导数的非负性：凸函数在其定义域上是处处二阶可导的，并且在其定义域上的各点处，函数的二阶导数大于等于零。
3. 零阶条件：如果$f$是定义在实数集上的连续函数，那么$f$是凸函数当且仅当对于任意的$x_1, x_2 \in \mathbb{R}$，都有$f(\frac{x_1 + x_2}{2}) \leq \frac{f(x_1) + f(x_2)}{2}$。
三、常见的凸函数1. 线性函数：$f(x) = ax + b$，其中$a, b \in \mathbb{R}$，且$a \geq 0$。
2. 指数函数：$f(x) = e^{ax}$，其中$a \geq 0$。
3. 幂函数：$f(x) = x^a$，其中$a \geq 1$或$0 \leq a \leq 1$。
4. 对数函数：$f(x) = \log(x)$，其中$x > 0$。
四、凸函数的应用1. 在优化领域中，凸函数是一类非常重要的函数。
因为凸函数具有许多良好的性质，比如局部最小值也是全局最小值、一阶导数大于零等等。
所以在优化问题中，可以采用凸函数作为目标函数或约束条件，从而使得问题更容易求解。
2. 在经济学中，凸函数通常被用来描述一些经济变量之间的关系。
比如成本函数、效用函数等都可以用凸函数来描述。
3. 在凸优化问题中，凸函数也是一种标准形式的函数。
凸集与凸函数ppt课件
2. 凸集与凸函数
仿射无关向量组{x0, x1,..., xm}称为仿射集M的一个 重心坐标系. Df 2.6 设S ¡ n是非空集合, x S, N (x)表示x的 - 邻域。 若N (x) I affS S,则x称为S的一个相对内点.S的相对 内点的全体称为它的相对内部,记为riS
若riS S,则S称为一个相对开集.集合clS \ riS称为S 的相对边界,记为rbS.
1
2. 凸集与凸函数
设M n,a n,M相对于a的平移为 M+a @{x+a|x M}
则一个仿射集的平移也是仿射集
约定 M-a=M+(-a) 若a∈M,则M-a是子空间.
Th2.1 (1)Rn的子空间是包含原点的仿射集;
(2),对每一非空的仿射集M,存在唯一的子空 间L和向量a∈Rn,使得
于是,由下确界定义知,存在序列{x(k)}, x(k) S, 使得 y x(k) r.
先证{x(k)}存在极限x S.只须证{x(k)}为柯西数列。
x(k) x(m)
2
(x(k) y) (x(m) y) 2
2
x(k) y
2
2
x(m) y
2
(x(k) y) (x(m) y)
2
19
11
2. 凸集与凸函数
m
Df 2.8 给定m个向量, x1,..., xm ¡ n,以及满足 i 1的 i1
非负实数i R,i 1,..,m,称向量
1x1 ... mxm为{x1,..., xm}的凸组合.
Th2.4 集合S ¡ n是凸集,当且仅当S包含其中任意有限个
元素的凸组合,即对m
8
2. 凸集与凸函数
•2.2 凸集与锥
凸函数
凸函数是指一类定义在实线性空间上的函数。
注:中国大陆部分数学机构对函数凸性的定义与国外不同。
在中国大陆的一些数学书中，它被称为凸函数。
Concave Function指凸函数。
但在中国大陆涉及经济学的很多书中，凹凸性的提法和其他国家的提法是一致的，也就是和数学教材是反的。
举个例子，同济大学高等数学教材对函数的凹凸性定义与本条目相反，本条目的凹凸性是指其上方图是凹集或凸集，而同济大学高等数学教材则是指其下方图是凹集或凸集，两者定义正好相反。
另外，也有些教材会把凸定义为上凸，凹定义为下凸。
碰到的时候应该以教材中的那些定义为准。
凸函数是一个定义在某个向量空间的凸子集C上的实值函数f，而且对于凸子集C中任意两个向量定义在某个开区间C内的凸函数f在C内连续，且在除可数个点之外的所有点可微。
如果C是闭区间，那么f有可能在C的端点不连续。
一元可微函数在某个区间上是凸的，当且仅当它的导数在该区间上单调不减。
一元连续可微函数在区间上是凸的，当且仅当函数位于所有它的切线的上方：对于区间内的所有x和y，都有f(y) > f(x) + f '(x) (y −x）。
特别地，如果f '(c) = 0，那么c是f(x）的最小值。
一元二阶可微的函数在区间上是凸的，当且仅当它的二阶导数是非负的；这可以用来判断某个函数是不是凸函数。
如果它的二阶导数是正数，那么函数就是严格凸的，但反过来不成立。
例如，f(x) = x4的二阶导数是f "(x) = 12 x2，当x = 0时为零，但x4是严格凸的。
更一般地，多元二次可微的连续函数在凸集上是凸的，当且仅当它的黑塞矩阵在凸集的内部是正定的。
凸函数的任何极小值也是最小值。
严格凸函数最多有一个最小值。
对于凸函数f，水平子集{x | f(x) < a}和{x | f(x) ≤a}（a ∈R）是凸集。
然而，水平子集是凸集的函数不一定是凸函数；这样的函数称为拟凸函数。
高等数学第四章 第三节、曲线的凸性及拐点 函数作图
第二十一讲
一、凸性及拐点
y
1、两条
曲 线都 是上升的， 但上升的 情况不同
D
B
2、AB是
向上凸而 上升 CD是向下 凸而上升
A C O
3、因而
有必要区 分图形是 向上凸还 是向下凸
x
y
C D B
A O x
图形是向上凸时，当x增大时，切线的斜率是减少的 图形是向下凸时，当x增大时，切线的斜率是增大的
1
1
讨论渐近线： lim e
x
x 2
0, 故有水平渐近线 y 0.
y
y e
拐点
x2
o
拐点
x
例5 作函数y ln(x 1)的图形。
2
解：函数的定义域 (， 1） (1,)， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； - 2x y 2 x 1 得无驻点 ,
2 2 x -1
lim ln(x 2 1) 故有垂直渐近线 x 1, x 1. 当x 2时，y 0.
y
x 1
x 1
y ln(x 1)
2
2
o
2
x
x y 1 x2
o
x
例4 作函数y e 的图形。 解：函数的定义域 (， ）， 并且知是偶函数，则图 形关于y轴对称； 且y 0, 所以图形在x轴上方； y -2xe 得驻点x 0.它把定义域分成量段：
x 2
x2
X
(,0)
＋
x0
０ 极大值点(0,Fra bibliotek)定理一、 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凹的； 若f ( x ) 0, x (a , b), 则曲线y f ( x )在(a , b)内是凸的；
凸函数
凸函数一、【知识提纲】1、凸函数的定义一般的，设f(x)是定义在(a,b)内的函数如果对于定义域内的任意两数x 1，x 2都有()()222121x f x f x x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+ 则称f(x)是(a,b)内的下凸函数，一般说的凸函数，也就是下凸函数，例如y=x 2，从图像上即可看出是下凸函数，也不难证明其满足上述不等式。
如果对于某一函数上述不等式的等号总是不能成立，则称此函数为严格凸函数。
注：凸函数的定义为我们提供了极为方便地证明一个函数为凸函数的方法。
这个方法经常使用。
此外利用二阶求导也可以判断一个函数为凸函数，凸函数的二阶导数是非负数。
2、凸函数具有的常用性质 性质一：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11注：此即常说的琴生不等式性质二：加权的琴生不等式对于(a,b)内的凸函数，若11=∑=ni ia，则()∑∑==≤⎪⎭⎫ ⎝⎛ni i i n i i i x f a x a f 11 注：加权琴生不等式很重要，当na i 1=时，即为原始的琴生不等式。
注：另外，对于上面有关凸函数和琴生不等式的部分，如果将不等号全部反向，则得到的便是凹函数，以及凹函数的琴生不等式。
二、应用例1、证明：对于(a,b)内的凸函数f(x)，有()nx f n x f ni ini i ∑∑==≤⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛11例2、证明：nx x x n x x x nn 2222122221.......+++≥+++例3、在ABC ∆中求证：（1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；例3、（变量和为常量型）（1） 设a a n i a ni ii ==∈∑=1,,...,3,2,1),1,0(，求证：a n naa a a a a a nn -≥-++-+-1...112211；（2） 设*∈R c b a ,,,且1111=-+-+-c c b b a a ，求证：23≥++c b a（3） 若c b a ,,为三角形的三边，且s c b a 2=++，求证：12)32(--≥+++++n n n n n s b a c a c b c b a例4、条件为1=abc 的不等式证明问题（1） 若*∈R c b a ,,且1=abc ，求证：1222222≥+++++cc b b a a（2）若*∈R c b a ,,且1=abc ，证明：)(2111222c b a c b a ++≤+++++同步训练的最大值为中，上是凸函数，那么在在区间若函数成都模拟试题C B A ABC x y sin sin sin ),0(sin )02..(1++∆=πA21 B 23C 223D 232、设0>x ，0>y ，证明：()2ln ln ln yx y x y y x x ++≥+3、在ABC ∆中，求证：mm C m B m A 3tan3tan tan tanπ≥++，其中N m ∈且2≥m ．4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111．；于中至少有一个小于或等、、内任一点，求证为若︒∠∠∠∆30.6PCA PBC PAB ABC Pnn nn n n i n n x x x x x x n n i x )1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.52121+≥++++++=+++≥=> 求证：，，已知答案2、设0>x ，0>y ，证明：()2lnln ln yx y x y y x x ++≥+ 证明：考查函数()x x x f ln =（0>x ），其二阶导数()01>=''xx f ，故其为凸函数．所以()()22y f x f y x f +≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+， 即()y y x x y x y x ln ln 212ln 2+≤++． 4、已知正实数i a （1=i ，2，…，n ）满足11=∑=ni ia．求证：nni i i n n a a ⎪⎭⎫⎝⎛+≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∏=111． 证明：考查函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛+=x x x f 1ln ，()1,0∈x ．因()()()[]01252222>+--=''xx x x f ，故该函数为凸函数．而10<<i a （1=i ，2，…，n ），所以⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∑∑∑===n n a n n a a a n n i i ni in i i i 1ln ln 1ln 1111．（11=∑=ni i a ） 去掉对数符号立得．．在ABC ∆中求证： （1）62sin12sin 12sin 1≥++C B A ；（2）332cot 2cot 2cot ≥⋅⋅CB A ；证明：（1）考查函数x y sin 1=，其在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上为凸函数；（2）考查函数()2cot ln x x f =，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上是凸函数．证明如下：即证()()[]⎪⎭⎫ ⎝⎛+≥+2212121x x f x f x f ．()()2cot ln 2cotln 2121x x x f x f +=+2cot 2cot ln 21xx = ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--++=2cos 2cos 2cos 21ln 212121x x x x x x ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-++≥2cos 12cos 21ln 2121x x x x 4cotln 221x x +=⎪⎭⎫⎝⎛+=2221x x f ．证毕．n nnn n n n n n n n nn n n i x x x x x x n n n x x x x x x n n i x )11()11()11(])11()11()11[(1)1()11()11()11(1,2),,2,1(,0.321212121+++≥+++++++≥++++++=+++≥=> 证：求证：，，已知nn x x x x x x x x x x x x x x x n n n nnn n n n 111)1(1)]11()11)(11[(212121121121=+++≤+=+≥+++∴ 又);)(1)]1()1)(1[((1221112211n nn n n n a b a b a b a b a b a b +≥+++利用结论：。
凸函数的若干性质及应用
凸函数的若干性质及应用凸函数是数学分析中的重要概念，具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来阐述凸函数的相关内容。
一、性质：1. 定义：凸函数的定义是指函数f(x)在定义域的任意两点x1和x2，对于任意的t∈[0,1]，都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)成立。
这个定义也可以用来判定函数的凹凸性。
2. 凸函数的图像：凸函数的图像总是位于其切线的下方，且曲线向上凸起，在凸函数的图像上取任意两点，连接这两点与曲线的切线，切线位于曲线的下方。
3. 严格凸函数：如果函数f(x)在定义域内的每两个不同的点x1和x2之间，对于任意的t∈(0,1)，都有f(tx1+(1-t)x2)<tf(x1)+(1-t)f(x2)成立，则称函数f(x)为严格凸函数。
4. 凸函数的一次导数：凸函数的一次导数是非递减的，也就是说，若函数f(x)是凸函数，则它的导函数f'(x)是非递减的。
二、应用：凸函数在许多领域都有广泛的应用，以下介绍凸函数的一些常见应用：1. 最优化问题：凸函数在最优化问题中具有重要作用，特别是线性规划和凸规划。
通过建立优化问题的目标函数为凸函数，可以快速求得该问题的最优解。
2. 机器学习：在机器学习中，凸函数常用于构建损失函数和约束条件。
通过选择合适的凸函数作为损失函数，可以用来拟合模型和训练模型，如线性回归和逻辑回归等。
3. 经济学：凸函数在微观经济学中具有广泛的应用，特别是在效用函数和供求关系中。
凸函数可以描述消费者偏好和生产者的成本、收益等经济现象，为经济学家提供了重要的理论工具。
4. 几何学：凸函数与凸集有着密切的关系，可以通过凸函数来描述凸集。
凸函数在几何学中被广泛用于解决凸优化问题、凸包问题等凸几何相关的问题。
5. 图像处理：在数字图像处理中，凸函数常用于图像的分割、边缘检测、图像重建等问题。
通过构建合适的凸函数和优化算法，可以提高图像处理的效率和精度。
凸函数判定定理
凸函数判定定理我们来了解凸函数的定义。
在数学中，给定定义域为实数集合上的一个函数f(x)，如果对于任意的实数x1和x2以及任意的实数t （0≤t≤1），都有f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2)，那么函数f(x)就是一个凸函数。
简而言之，凸函数的定义可以理解为：连接函数图像上任意两点的线段，在函数图像上方或与函数图像重合。
接下来，我们探讨凸函数的性质。
凸函数具有以下几个重要的性质：1. 凸函数的导数是递增的。
对于凸函数f(x)而言，如果存在一个区间[a,b]，在该区间上f'(x)存在且恒大于等于0，则f(x)在该区间上是递增的。
2. 凸函数的二阶导数是非负的。
对于凸函数f(x)而言，如果存在一个区间[a,b]，在该区间上f''(x)存在且恒大于等于0，则f(x)在该区间上是凸函数。
3. 凸函数的切线是它的下界。
对于凸函数f(x)的任意一点(x0,f(x0))，存在一条切线y=k(x-x0)+f(x0)，使得切线在该点下方，即对于该点的任意x，都有f(x)≥k(x-x0)+f(x0)。
有了凸函数的定义和性质作为基础，我们可以应用凸函数判定定理来判断一个函数是否是凸函数。
凸函数判定定理可以简述为：如果一个函数在定义域上的二阶导数恒大于等于0，则该函数是凸函数。
这个定理的证明较为复杂，需要借助一些高等数学的知识，这里我们不做过多展开。
凸函数判定定理在实际问题中有着广泛的应用。
例如，在经济学中，凸函数常常用于描述效用函数、成本函数等，可以帮助分析经济现象和制定经济政策。
在优化问题中，凸函数是最优化问题的重要研究对象，凸优化算法可以高效地求解凸函数的最优解。
在机器学习和数据挖掘中，凸函数常用于构建模型和优化算法，例如支持向量机、逻辑回归等。
总结起来，凸函数是数学中一种重要的函数类型，具有许多重要的性质。
凸函数判定定理是判断一个函数是否为凸函数的重要方法之一，它的应用涵盖了经济学、优化问题、机器学习等多个领域。
凸函数
凸函数是数学函数的一种特征。
凸函数是定义在某个向量空间的凸子集C(区间)上的实值函数。
凸函数是一个实值函数f C(区间)上定义一个凸子集向量空间中,任意两个向量的和一个凸子集C、f ((x1 + x2) / 2) > = ((x1) + f (x2)) / 2,那么f (x)是一个凸函数定义在一个凸子集C(这个定义是一致凸函数在凸规划的定义,凸)。
这个定义从几何上看就是：在函数f(x)的图象上取任意两点，如果函数图象在这两点之间的部分总在连接这两点的线段的下方，那么这个函数就是凹函数。
同理可知，如果函数图像在这两点之间的部分总在连接这两点线段的上方，那么这个函数就是凸函数。
直观上看，凸函数就是图象向上突出来的。
比如凹函数就是图像向下凹进去的，比如常见的。
如果函数f(x)在区间I上二阶可导，则f(x)在区间I上是凸函数的充要条件是f''(x)<=0;f(x)在区间I上是凹函数的充要条件是f''(x)>=0; 一般来说，可按如下方法准确说明：1、f(λx1+(1-λ)x2)<=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即V型，为“凸向原点”，或“下凸”（也可说上凹），（有的简称凸有的简称凹）2、f(λx1+(1-λ)x2)>=λf(x1)+(1-λ)f(x2) ，即A型，为“凹向原点”，或“上凸”（下凹），（同样有的简称凹有的简称凸）常见的凸函数1 指数函数eax2 幂函数xa,x∈R+,1≤a或者a≤03 负对数函数- log x4 负熵函数x log x5 范数函数||x||p如果一个可微函数f它的导数f'在某区间是单调下跌的，f就是凹的；即一个凹函数拥有一个下跌的斜率（当中下跌只是代表非上升而不是严谨的下跌，也代表这容许零斜率的存在。
）如果一个二次可微的函数f，它的二阶导数f'(x)是正值（或者说它有一个正值的加速度），那么它的图像是凹的；如果二阶导数f'(x)是负值，图像就会是凸的。
凸函数知识点总结
凸函数知识点总结一、基本概念1.1 凸集在讨论凸函数之前，首先需要了解凸集的概念。
凸集是指对于集合中的任意两个点，连接这两个点的线段仍然完全包含在这个集合中。
即对于集合中的任意两个点a和b，线段[a,b]上的所有点都属于该集合。
在数学上，给定一个集合S，如果对于任意的x、y∈S和0≤t≤1，tx+(1−t)y∈S，就称S是凸集。
1.2 凸函数在了解了凸集的概念之后，可以进一步理解凸函数。
在一个实数集上，如果一个函数f(x)满足如下性质：对于任意的x1和x2以及0≤t≤1，有f(tx1+(1−t)x2)≤tf(x1)+(1−t)f(x2)，那么函数f(x)就是凸函数。
也就是说，对于函数上的任意两点x1和x2，连接这两个点的线段上的所有点(x)对应的函数值f(x)，都位于连接这两个点的线段上。
可以用一条直线来连接这两点，并且在这条直线的下方。
1.3 凸函数的图形在笛卡尔坐标系中，凸函数的图形呈现出一种特殊的形状。
它们通常是上凸的（在图像的上方），或者是下凸的（在图像的下方）。
这种凸性质是凸函数的重要特征，也是区分它们与其他函数的重要标志。
二、性质凸函数有许多重要的性质，这些性质对于理解和应用凸函数都非常重要。
下面列举了一些凸函数的一些重要性质：2.1 一阶导数的性质首先，凸函数在其定义域上是连续且可导的。
其次，凸函数的导数是递增的。
也就是说，对于凸函数f(x)，在它的定义域内，如果x1<x2，那么f'(x1)≤f'(x2)。
2.2 二阶导数的性质在凸函数的定义域内，凸函数的二阶导数必须是非负的。
也就是说，如果f(x)是凸函数，那么它的二阶导数f''(x)≥0。
2.3 凸函数的上确界如果一个凸函数在其定义域上是有上界的，那么它的上确界也存在，并且是有限的。
这是因为凸函数的定义保证了它在定义域上是有界的，并且在定义域上是递增的。
因此，上确界也必然存在。
2.4 凸函数的极值凸函数的极小值点是唯一的，而且在极小值点的函数值是整个定义域上的最小值。
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f(x2) ≥ f(x1) 令λ→0+，则有
+ ▽f(x1)T(x2 o(λλ)→0
-x1Leabharlann +o(λ) λ故
f(x2)≥ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
（充分性）任取0＜λ＜1，记
由已知条件有
X= λx1+(1-λ)x2
所以
f(x1)≥ f(x) + ▽f(x)T(x1-x) f(x2)≥ f(x) + ▽f(x)T(x2-x) λ f(x1)≥ λ f(x) + λ ▽f(x)T(x1-x)
f[λx1+(1-λ)x2]表示在点λx1+(1-λ)x2处的 函数值。
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方。
例1：设f(x)=(x-1)2,试证明f(x)在（-∞，+∞） 上是严格凸 函数。 证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)] =[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2 = -λ(1- λ)(x-y)2＜0 因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
k
αi
i=1
由凸函数的定义，可知f(x)是D上的凸函数。
• 定义3 （α-水平集）
设f(x)是定义在集合R上的实函数，α是 实数，则称如下的集合
Sα={x | x∈R , f(x)≤α} 是函数f(x)的α-水平集。
性质2 凸函数的任一α-水平集是凸集。
证明 设f(x)是定义在凸集D上的凸函数，α是任一给定的 实数。现任取Sα内两点x1,x2以及λ∈（0, 1），则由Sα的定 义
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。
定义2 严格凸函数 f[λx1+(1-λ)x2]＜λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。 注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义。
凸函数的几何性质
对一元函数f(x),在几何上λf(x1)+(1-λ)f(x2) （0≤α≤1)表示连接(x1，f(x1))， (x2，f(x2))的 线段。
定理1'（严格凸函数的一阶充要条件）
设D为开凸集，f(x)在D上具有一阶连续导 数。那么，f(x)是D上的凸函数的充要条 件是：对D上任意两个不同点x1,x2，恒有 f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
最优化设计
汕头大学工学院
学习目标
1、理解凸函数的定义，并能进行简单的 凸函数证明。
2、了解凸函数的基本性质。 3、掌握凸函数的一阶与二阶判定方法。
第三节 凸函数
凸函数的定义 凸函数的性质 凸函数的判定
一、凸函数的定义
定义1 设函数f(x)为定义在凸集D上的n元实函数。 如果任取D中的两个不同点x1，x2，以及 λ∈[0,1]，都有
f(x1+ λ (x2-x1))= f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ) (1) 而由于f(x)是D上的凸函数，又有
f(x1+ λ (x2-x1))=f(λ x2+ (1-λ )x1)
≤ λ f(x2) + (1-λ ) f(x1)
(2)
两式联立，有
λ f(x2) + (1-λ ) f(x1) ≥ f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ)
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。 f(x)=cTx=c1x1+c2x2+…+cnxn
证明：设x，y∈R，α∈（0,1），则 f[αx+(1-α)y]=cT[αx+(1- α)y] = αcTx+(1-α) cTy=αf(x)+(1-α)f(y)
所以cTx是凸函数。 类似可以证明cTx是凸函数。
• 性质3 设D是内部非空的凸集，f(x)是定义 在D上的凸函数，则f(x)在D的内部连续。
注意：凸函数在定义域的边界有可能不连续。 例如，设f(x)的定义域是区间[1,4] x2,1<x<4
f(x)=
2,x=1 f(x)是区间[1,4]上的凸函数，但显然在边界点x=1处 不连续。
三、凸函数的判定
定理1 （凸函数的一阶充要条件） 设D是开凸集，f(x)在D上具有一阶连续导 数。那么，f(x)是D上的凸函数的充要条 件是：对D上任意两个不同点x1,x2，恒有
f(x2)≥ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
• 证明 （必要性）
X1+ λ (x2-x1) = λx2+(1-λ)x1∈D 由一阶Taylor展式，有
f(xi)≤α，且xi∈D,i =1，2 D是凸集
λx1+(1-λ)x2∈D 又因为f(x)是D上的凸函数，所以有
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) λ)α=α
≤λα+(1-
表明，λx1+(1-λ)x2∈ Sα 所以， Sα是凸集。
下面的图形给出了凸函数 f(x,y) = x4 + 3x2 +y4 + y2 +xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集。
fi[λx1+(1-λ)x2] ≤λfi(x1)+(1-λ)fi(x2)，i=1,2,…,k
k
f[λx1+(1-λ)x2]= fii(=1λαxi 1+(1-λ)x2)
k
≤ [λfi(x1)+(1α-iλ)f(x2)] i 1 k
=λ fi(x1)+(1i=-1αλi ) f(x2)
=λf(x1)+(1-λ)f(x2)
二、凸函数的性质
• 性质1：定义在同一凸集上的有限个凸函 数的非负线性组合是凸函数。
证明: 设fi(x),i=1,2,…,k是定义在同一凸集D上的k个 凸函数，α1，α2，…αk是k个非负数。记
k
f(x)= αifi(x) i 1
现任取D内的两个点x1，x2，以及λ∈（0,1），由于
fi ( x) 是D上的凸函数，必有
(1-λ) f(x2)≥ (1-λ) f(x) + (1-λ)▽f(x)T(x2-x) 两式相加，并进行整理，得 λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) + ▽f(x)T[λx1+(1-λ)x2 -x] 注意到正好有
X =λx1+(1-λ)x2 因此 λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) =f[λx1+(1-λ)x2 ] 表明λf(x)是凸集D上的凸函数。