第三节 凸函数

(1-λ) f(x2)≥ (1-λ) f(x) + (1-λ)▽f(x)T(x2-x) 两式相加，并进行整理，得 λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) + ▽f(x)T[λx1+(1-λ)x2 -x] 注意到正好有
X =λx1+(1-λ)x2 因此 λ f(x1) +(1-λ) f(x2)≥f(x) =f[λx1+(1-λ)x2 ] 表明λf(x)是凸集D上的凸函数。
k
αi
i=1
由凸函数的定义，可知f(x)是D上的凸函数。
• 定义3 （α-水平集）
设f(x)是定义在集合R上的实函数，α是 实数，则称如下的集合
Sα={x | x∈R , f(x)≤α} 是函数f(x)的α-水平集。
性质2 凸函数的任一α-水平集是凸集。
证明 设f(x)是定义在凸集D上的凸函数，α是任一给定的 实数。现任取Sα内两点x1,x2以及λ∈（0, 1），则由Sα的定 义
f(xi)≤α，且xi∈D,i =1，2 D是凸集
λx1+(1-λ)x2∈D 又因为f(x)是D上的凸函数，所以有
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2) λ)α=α
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≤λα+(1-
表明，λx1+(1-λ)x2∈ Sα 所以， Sα是凸集。
下面的图形给出了凸函数 f(x,y) = x4 + 3x2 +y4 + y2 +xy的等值线的图形，可以看出水平集是凸集。
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学习目标
1、理解凸函数的定义，并能进行简单的 凸函数证明。
2、了解凸函数的基本性质。 3、掌握凸函数的一阶与二阶判定方法。
第三节 凸函数
凸函数的定义 凸函数的性质 凸函数的判定
一、凸函数的定义
定义1 设函数f(x)为定义在凸集D上的n元实函数。 如果任取D中的两个不同点x1，x2，以及 λ∈[0,1]，都有
二、凸函数的性质
• 性质1：定义在同一凸集上的有限个凸函 数的非负线性组合是凸函数。
证明: 设fi(x),i=1,2,…,k是定义在同一凸集D上的k个 凸函数，α1，α2，…αk是k个非负数。记
k
f(x)= αifi(x) i 1
现任取D内的两个点x1，x2，以及λ∈（0,1），由于
fi ( x) 是D上的凸函数，必有
f[λx1+(1-λ)x2]表示在点λx1+(1-λ)x2处的 函数值。
所以一元凸函数表示连接函数图形上任意两点 的线段总是位于曲线弧的上方。
例1：设f(x)=(x-1)2,试证明f(x)在（-∞，+∞） 上是严格凸 函数。 证明：设x，y∈R，且x≠y，λ∈（0 ，1）都有：
f[λx+(1-λ)y]-[λf(x)+(1-λ)f(y)] =[λx+(1- λ)y-1]2 - λ(x-1)2 - (1- λ)(y-1)2 = -λ(1- λ)(x-y)2＜0 因此f(x)在（-∞，+∞）上是严格凸函数。
f(x1+ λ (x2-x1))= f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ) (1) 而由于f(x)是D上的凸函数，又有
f(x1+ λ (x2-x1))=f(λ x2+ (1-λ )x1)
≤ λ f(x2) + (1-λ ) f(x1)
(2)
两式联立，有
λ f(x2) + (1-λ ) f(x1) ≥ f(x1) + λ▽f(x1)T(x2-x1)+o(λ)
fi[λx1+(1-λ)x2] ≤λfi(x1)+(1-λ)fi(x2)，i=1,2,…,k
k
f[λx1+(1-λ)x2]= fii(=1λαxi 1+(1-λ)x2)
k
≤ [λfi(x1)+(1α-iλ)f(x2)] i 1 k
=λ fi(x1)+(1i=-1αλi ) f(x2)
=λf(x1)+(1-λ)f(x2)
f[λx1+(1-λ)x2]≤λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。
定义2 严格凸函数 f[λx1+(1-λ)x2]＜λf(x1)+(1-λ)f(x2)
则称f(x)是定义集D上的凸函数。 注：将上述定义中的不等式反向，可以得到
凹函数的定义。
凸函数的几何性质
对一元函数f(x),在几何上λf(x1)+(1-λ)f(x2) （0≤α≤1)表示连接(x1，f(x1))， (x2，f(x2))的 线段。
例2：试证线性函数是Rn上的凸函数。 f(x)=cTx=c1x1+c2x2+…+cnxn
证明：设x，y∈R，α∈（0,1），则 f[αx+(1-α)y]=cT[αx+(1- α)y] = αcTx+(1-α) cTy=αf(x)+(1-α)f(y)
所以cTx是凸函数。 类似可以证明cTx是凸函数。
f(x2) ≥ f(x1) 令λ→0+，则有
+ ▽f(x1)T(x2 o(λλ)→0
-
x1)+
o(λ) λ
故
f(x2)≥ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
（充分性）任取0＜λ＜1，记
由已知条件有
X= λx1+(1-λ)x2
所以
f(x1)≥ f(x) + ▽f(x)T(x1-x) f(x2)≥ f(x) + ▽f(x)T(x2-x) λ f(x1)≥ λ f(x) + λ ▽f(x)T(x1-x)
定理1 （凸函数的一阶充要条件） 设D是开凸集，f(x)在D上具有一阶连续导 数。那么，f(x)是D上的凸函数的充要条 件是：对D上任意两个不同点x1,x2，恒有
f(x2)≥ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)
• 证明 （必要性）
X1+ λ (x2-x1) = λx2+(1-λ)x1∈D 由一阶Taylor展式，有
• 性质3 设D是内部非空的凸集，f(x)是定义 在D上的凸函数，则f(x)在D的内部连续。
注意：凸函数在定义域的边界有可能不连续。 例如，设f(x)的定义域是区间[1,4] x2,1<x<4
f(x)=
2,x=1 f(x)是区间[1,4]上的凸函数，但显然在边界点x=1处 不连续。
三、凸函数的判定
定理1'（严格凸函数的一阶充要条件）
设D为开凸集，f(x)在D上具有一阶连续导 数。那么，f(x)是D上的凸函数的充要条 件是：对D上任意两个不同点x1,x2，恒有 f(x2)＞ f(x1) + ▽f(x1)T(x2-x1)