概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后第二章习题参考答案

第二章 随机变量及其分布

习题2.1

1． 口袋中有5个球，编号为1, 2, 3, 4, 5．从中任取3只，以X 表示取出的3个球中的最大号码．

（1）试求X 的分布列；

（2）写出X 的分布函数，并作图． 解：（1）X 的全部可能取值为3, 4, 5，

且1.0101351

}3{==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛=

=X P ，3.01033523}4{==⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ，6.01063524}5{==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==X P ， 故X 的分布列为

6

.03.01.05

43P X

；

（2）因分布函数F (x ) = P {X ≤ x }，分段点为x = 3, 4, 5，

当x < 3时，F (x ) = P {X ≤ x } = P (∅) = 0，

当3 ≤ x < 4时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} = 0.1，

当4 ≤ x < 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} = 0.1 + 0.3 = 0.4，

当x ≥ 5时，F (x ) = P {X ≤ x } = P {X = 3} + P {X = 4} + P {X = 5} = 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1，

故X 的分布函数⎪⎪⎩⎪

⎪⎨⎧≥<≤<≤<=.5,1;54,4.0;

43,1.0;3,

0)(x x x x x F

2． 一颗骰子抛两次，求以下随机变量的分布列：

（1）X 表示两次所得的最小点数；

（2）Y 表示两次所得的点数之差的绝对值． 解：（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4, 5, 6，

且3611656}1{222=−==X P ，369

645}2{2

22=−==X P ， 367634}3{2

22=−==X P ，36

5

623}4{222=−==X P ， 36

3

612}5{22=−==X P ，36161}6{2===X P ，

故X 的分布列为

36

136

336

536

736

936

11654321P

X ； （2）Y 的全部可能取值为0, 1, 2, 3, 4, 5，

且36666}0{2==

=Y P ，3610625}1{2=×==Y P ， 368624}2{2=×==Y P ，36

6

623}3{2=×==Y P ，

364622}4{2=×=

=Y P ，36

2

621}5{2=×==Y P ，

故Y 的分布列为 36

23643663683610366543210P

Y ． 3． 口袋中有7个白球、3个黑球．

（1）每次从中任取一个不放回，求首次取出白球的取球次数X 的概率分布列；

（2）如果取出的是黑球则不放回，而另外放入一个白球，此时X 的概率分布列如何． 解：（1）X 的全部可能取值为1, 2, 3, 4，

且107}1{=

=X P ，307

97103}2{=×==X P ， 12078792103}3{=××==X P ，120

1

778192103}4{=

×××==X P ， 故X 的概率分布列为

120

112073071074321P

X ； （2）X 的全部可能取值仍为1, 2, 3, 4，

且7.0107}1{==

=X P ，24.0108

103}2{=×==X P ， 054.010*******}3{=××==X P ，006.010

10

101102103}4{=×××==X P ，

故X 的概率分布列为

006

.0054.024.07.04

321P X ．

4． 有3个盒子，第一个盒子装有1个白球、4个黑球；第二个盒子装有2个白球、3个黑球；第三个盒

子装有3个白球、2个黑球．现任取一个盒子，从中任取3个球．以X 表示所取到的白球数． （1）试求X 的概率分布列；

（2）取到的白球数不少于2个的概率是多少？

解：设A 1 , A 2 , A 3分别表示“取到第一个、第二个、第三个盒子”，

（1）X 的全部可能取值为0, 1, 2, 3，

且P {X = 0} = P (A 1) P {X = 0 | A 1} + P (A 2) P {X = 0 | A 2} + P (A 3) P {X = 0 | A 3}

6

10301304031353331353431=++=×+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×=， P {X = 1} = P (A 1) P {X = 1 | A 1} + P (A 2) P {X = 1 | A 2} + P (A 3) P {X = 1 | A 3}

2130330630635221331352312313524131=++=⎟⎟⎠

⎞

⎜⎜⎝⎛⎟

⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛×+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛××=， P {X = 2} = P (A 1) P {X = 2 | A 1} + P (A 2) P {X = 2 | A 2} + P (A 3) P {X = 2 | A 3}