等腰三角形中的分类讨论问题归类.docx

初中数学等腰三角形的分类讨论

等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，

就是因为这种特殊性， 在具体处理问题

时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨论。

那么在什么情况下应该分类讨论呢本文分以下几种情形讲述。

一、遇角需讨论

例 1. 已知等腰三角形的一个内角为 75°则其顶角为（ ）

A. 30 °

B. 75 °

C. 105 °

D. 30 或° 75°

简析： 75°角可能是顶角，也可能是底角。当

75°是底角时，则顶角的度数为

180 °－ 75°× 2=30；°当 75°角是顶角时，则顶角的度数就等于 75°。所以这个等腰三角形

的顶角为 30°或 75°。故应选 D 。

说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。

二、遇边需讨论

例 2. 已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于 6，则它的周长等于 _________。

简析：已知条件中并没有指明5 和 6 谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边

关系进行分类讨论。当

5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 6，则此时

等腰三角形的周长等于

16；当 6 是腰长时，这个三角形的底边长就是

5，则此时周长等于

17。故这个等腰三角形的周长等于

16 或 17。

说明：对于底和腰不等的等腰三角形，

若条件中没有明确哪是底哪是腰时，

应在符合三 角形三边关系的前提下分类讨论。

三、遇中线需讨论

例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是

9cm ，哪一部分是 12cm ，因此，应有两种情形。

x

1 x 9, x 1 x 12, 若设这个等腰三角形的腰长是

x cm ，底边长为 y cm ，可得 2 或 2

1 y 12, 1

y 9.

x x

2 2

x 6, x 8,

解得

或

y

即当腰长是 6cm 时，底边长是 9cm ；当腰长是 8cm 时，底边长是 5cm 。

y

9,

5.

说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。

四、遇高需讨论

例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的

度数。

简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为45°，图 2 中顶角为135°。

例 5. 为美化环境，计划在某小区内用30m 2的草皮铺设一块一边长为10 m的等腰三角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。

ABC中，设 AB=10 m，作 CD⊥ AB 于 D，由S ABC 1

30 ，

简析：在等腰AB CD

2

可得CD=6m 。如下图，当AB 为底边时， AD=DB=5 m，所以AC BC CD 2AD 261(m) 。

如下图，当AB 为腰且ABC为锐角三角形时，

AB AC 10m，所以 AD AC 2CD 28(m) ，

BD2m, BC CD 2BD 2 2 10 (m) 。

如下图，当AB 为腰且ABC为钝角三角形时，

AB BC10m ， BD BC 2CD 28( m) ，

所以

AD 18 ,

CD

2

AD

2

610( ) m AC m 。

说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。

五、遇中垂线需讨论

例 6.在ABC中， AB=AC，AB 的中垂线

与

AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

简析：按照题意可画出如图 1 和如图 2 两种情况的示意图。

如图 1，当交点在腰AC 上时，ABC是锐角三角形，此时可求得∠ A=40°，所以

∠B=∠ C= 1

（ 180°－ 40°） =70°。

2

如图 2，当交点在腰CA 的延长线上时，ABC为钝角三有形，此时可求得

∠BAC=140 ，°所以∠ B=∠ C= 1

（ 180°－ 140°） =20°

2

故这个等腰三角形的底角为70°或 20°。

说明：这里的图 2 最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形，这

样才能正确解题。

六、和方程问题的综合讨论

例7. 已知ABC 的两边 AB ， AC的长是关于 x的一元二次方程x2( 2k3)x k 23k 2 0 的两个实数根，第三边BC长为5。

（ 1）k为何值时，ABC是以 BC为斜边的直角三角形

（ 2）k为何值时，ABC是等腰三角形，并求ABC的周长。

简析：（ 1）略。

（ 2 ）若ABC是等腰三角形，则有AB=AC， AB=BC， AC=BC 这三种情形。方程

x2( 2k3)x k 23k20 可化为 ( x k2)( x k 1) 0 ，即 x1k 2 ，x2k1，显然 x1x2，即AB AC。当AB=BC 或AC=BC 时， 5是方程x2( 2k3)x k 23k20 的根。当x 5 时，代入原方程可得k27k 120 ，解得 k13， k2 4 。

当 k 3 时，原方程的解为x15, x24

，等腰

ABC的三边长分别

为5， 5，4，周长

为 14。当k4时，原方程的解为 x16, x2 5 ，等腰ABC的三边长分别为 5，5，6，周长为 16。

所以当 k 3 或 k4时，ABC是等腰三角形，周长分别为14 或 16。