微分方程习题解答

(5)
dy dx
2 3x 2 x3
y
1
y|x10
解
y
e
23x x3
2
d
x
(
1e
23x2 x3
d
x
dx
C)
1
x3e x2 (
1 x3
e
1 x2
dxC)
x3e
1 x2
(1 2
e
1 x2
C)
由 y|x10
得C 1 2e
故所求特解为
y
1
x3(1
e
1 x2
1
)
2
3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点(x y)处的切线斜率等于 2xy 解 由题意知 y2xy 并且 y|x00 由通解公式得
(10) (y2 6x) dy2y 0 dx
解 原方程变形为 dx 3 x 1 y dy y 2
x
e
3 y
dy
[
(
1
y)e
3 y
dy
dyC]
2
y3( 1
2
y
1 y3
dy
C)
y3( 1 C) 1 y2 Cy3
2y
2
2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解
பைடு நூலகம்
(1)
dy dx
y
t
anx
习题 124 1 求下列微分方程的通解
(1) dy y ex dx
解 y edx( ex edxdxC) ex( ex exdxC) ex(xC)
(2)xyyx23x2
解 原方程变为 y 1 y x3 2
x
x
y
e
1 x
dx[
(x
3
2
)e
1 x
dxd
xC]
x
1 x
[
(x
3
2)xdxC] x
6 设曲 yf (x)dx [2xf (x) x2]dy 在右半平面(x0)内与路径无关 其中 f(x)可导 且 L
f(1)1 求 f(x) 解 因为当 x0 时 所给积分与路径无关 所以
[yf (x)] [2xf (x) x2]
y
x
即 f(x)2f(x)2xf(x)2x
或 f (x) 1 f (x) 1 2x
sec
x
y|x00
解 y etan xdx( secxetanxdxdxC)
1 cosx
(sec
xcosxdxC)
1 cosx
(xC)
由 y|x00 得 C0 故所求特解为 yxsec x
(2)
dy dx
y x
sin x
x
y|x1
解
y
e
1 x
dx(
sin
x
e
1 x
dxd
x
C)
x
1 x
(
sin x
将 uysin x1 代入上式得原方程的通解
y
1 sin
x
1
x
C
即
y
1sin
x
x
1 C
(5)y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0 解 原方程变形为
d d
y x
y(xy1) x(1 xy x2 y
2)
令 uxy 则原方程化为
1 x
du dx
u x2
u(u 1) x2(1u u
2)
即 1 du x dx
解 y e2xdx( 4xe2xdxdxC)
ex2 ( 4xex2dx C)
ex2 (2ex2 C) 2Cex2
(8)yln ydx(xln y)dy0
解 原方程变形为 dx 1 x 1 dy yln y y
x
e
1 yln
y
dy
(
1
e
1 yln
y
dy
dy
C)
y
1 ln y
(
1 y
x
即 d(y4) 4y4 4x dx
y4 e4dx[ (4x)e4dxdxC]
e4(4 xe4xdx C)
x 1 Ce4x 4
原方程的通解为
1 y4
x
1 Ce4x 4
(5)xdy[yxy3(1ln x)]dx0 解 原方程可变形为
1 y3
dy dx
1 x
1 y2
(1ln x)
x
即 d(y1) 3xy 1 x dx
y1 e3xdx[ (x)e3xdxdxC]
3 x2
3 x2
e 2 ( xe2 dxC)
e
3 2
x2
(
1
3
e2
x2
C)
Ce
3 2
x2
1
3
3
原方程的通解为
1
Ce
3 2
x
2
1
y
3
(3) dy1 y 1(12x)y4 dx 3 3
解 原方程可变形为
1 y4
x
xdxC)
1 x
(cosxC)
由 y|x1
得 C1
故所求特解为 y 1 ( 1cosx) x
(3) dy ycotx 5ecosx dx
y |x2 4
解 y ecotxdx( 5ecosx ecotxdxdxC)
1 ( 5ecosxsin xdxC) 1 (5ecosx C)
两边积分得
x
1 2
u2
C1
将 uxy 代入上式得原方程的通解
x
1 2
(x
y)2
C1
即(xy)22xC(C2C1)
(3)xyyy(ln xln y) 解 令 uxy 则原方程化为
x(1 x
du dx
u x2
)
u x
u x
lnu
即 1dx 1 du x ulnu
两边积分得
ln xln Clnln u 即 ueCx
解 y etan xdx( sin 2xetan xdxdxC)
elncosx( sin 2xelncosxdx C)
cosx(2sin
xcosx
1 cosx
dxC)
cos x(2cos x+C)C cos x2cos2x
(5)(x21)y2xycos x0
解
原方程变形为
y
2x x2 1
y
即 d(y2) 2 y2 2(1ln x) dx x
y2
e
2 x
dx[2
(1ln
x)e
2 x
dxdxC]
1 x2
[2
(1ln x)x2dxC]
C x2
2 3
xln
x
4 9
x
原方程的通解为
1 y2
C x2
2 3
xln x 4 9
x
8 验证形如 yf(xy)dxxg(xy)dy0 的微分方程 可经变量代换 vxy 化为可分离变量的方 程 并求其通解
dy1 dx 3
1 y3
1 (12x) 3
即 d(y3) y3 2x 1 dx
y3 edx[ (2x1)edxdxC]
ex[ (2x1)exdx C] 2x1Cex
原方程的通解为
1 y3
Cex
2x1
(4) dy y xy5 dx
解 原方程可变形为
1 y5
dy dx
1 y4
因此
f
(x)
e
1 2x
dx
(
1e
1 2x
dxdxC)
1
(
xdxC) 2 x C
x
3x
由 f(1)1 可得 C 1 3
故
f (x) 2 x 1 3 3x
7 求下列伯努利方程的通解
(1) dy y y2(cosxsin x) dx
解 原方程可变形为
1 y2
dy 1 dx y
cosxsin x
t
C)
k2
k22
由题意
当 t0 时 v0
于是得
C
k1m k22
因此
v
e
k2 m
t
(
k1 k2
te
k2 m
t
k1m k22
e
k2 m
t
kk12m2 )
即
v
k1 k2
t
k1m k22
(1
e
k2 m
t
)
5 设有一个由电阻 R10、电感 L2h(亨)和电源电压 E20sin5t V(伏)串联组成的电路 开关 K 合上后 电路中有电源通过 求电流 i 与时间 t 的函数关系
为 k2)的阻力作用 求质点运动的速度与时间的函数关系
解
由牛顿定律 Fma
得
m
dv dt
k1t
k2v
即 dv k2 v k1 t dt m m
由通解公式得
v
e
k2 m
dt
(
k1
t
e
k2 m
dt
d
t
C)
e
k2 m
t
(
k1
t
e
k2 m
t
d
t
C)
m
m
e
k2 m
t
(
k1
te
k2 m
t
k1m
e
k2 m
ln
ydy
C)
1 (1 ln2 y C) 1 ln y C
ln y 2
2 ln y
(9) (x2) dy y2(x2)3 dx
解 原方程变形为 dy 1 y 2(x2)2 dx x2
y e x12dx[
2(x
2)2
e
1 x2
dxdxC]
(x
2)[
2(x
2)2
x
1
2
dxC]
(x2)[(x2)2C](x2)3C(x2)
y edx( 2xedxdxC) ex(2 xexdxC)
ex(2xex2exC)Cex2x2
由 y|x00 得 C2 故所求曲线的方程为 y2(exx1)
4 设有一质量为 m 的质点作直线运动 从速度等于零的时刻起 有一个与运动方向一
至、大小与时间成正比(比例系数为 k1)的力作用于它 此外还受一与速度成正比(比例系数
u3 x2(1u
u
2)
分离变量得
1 x
dx
(u13
1 u2
1)du u
两边积分得
ln
xC1
1 2u2
1 u
lnu
将 uxy 代入上式得原方程的通解
ln
x
C1
1 2x2 y2
1 xy
ln
xy
即
2x2y2ln y2xy1Cx2y2(C2C1)
将 uxy 代入上式得原方程的通解
xyeCx 即 y 1 eCx x
(4)yy22(sin x1)ysin2x2sin xcos x1
解 原方程变形为
y(ysin x1)2cos x 令 uysin x1 则原方程化为
ducosx u2 cosx dx
即
1 u2
du
dx
两边积分得
1 xC u
1x[(x2
3x
2)dxC]
1 (1 x3 3 x2 2xC) 1 x2 3 x2 C
x3 2
32
x
(3)yycos xesin x
解 y ecosdx( esinx ecosxdxdxC)
esinx( esinx esinxdx C) esinx(x C)
(4)yytan xsin 2x
即 d(y1) y1 sin x cos x dx
y1 edx[ (sin xcosx)edxdxC]
ex[ (cos xsin x)exdx C] Cex sin x
原方程的通解为
1 y
Ce x
sin
x
(2) dy 3xy xy2 dx
解 原方程可变形为
1 y2
dy 3x 1 dx y
解 原方程可变形为
dy dx
yf (xy) xg (xy)
在代换 vxy 下原方程化为
x
dv dx
v
x2
vf (v) x2g(v)
即
g(v) v[g(v) f
(v)]
du
1 x
dx
积分得
g(v) v[g(v) f
(v)]
du
ln
x
C
对上式求出积分后 将 vxy 代回 即得通解
9 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程 然 后求出通解
sin x
sin x
由 y |x 4
2
得 C1
故所求特解为 y 1 (5ecosx 1) sin x
(4)
dy dx
3y
8
y|x02
解 y e3dx( 8e3dxdxC)
e3x(8 e3xdxC) e3x(8e3x C) 8 Ce3x
3
3
由 y|x02
得C 2 3
故所求特解为 y 2 (4e3x) 3
(1) dy (x y)2 dx
解 令 uxy 则原方程化为
du 1u2 dx
即
dx
du 1u2
两边积分得
xarctan uC 将 uxy 代入上式得原方程的通解
xarctan(xy)C 即 yxtan(xC)
(2) dy 1 1 dx x y
解 令 uxy 则原方程化为
1 du 1 1 即 dxudu dx u
cosx x2 1
y
e
x22 x1dx(
cxo2 sx1e x22x1dxdxC)
x211[ cxo2 sx1(x2 1)dxC] x211(sinxC)
(6)
d d
3
2
解 e3d ( 2e3d d C)
e3 ( 2e3 d C)
e3 (2 e3 C) 2 Ce3
3
3
(7) dy2xy 4x dx
解 由回路电压定律知
20sin5t 2 di 10i 0 即 di 5i 10sin5t
dt
dt
由通解公式得
i e5dt( 10sin5te5dtdtC) sin5t cos5t Ce5t
因为当 t0 时 i0 所以 C1 因此
i sin5t cos5t e5t e5t 2sin(5t )(A) 4