运筹学第5课：LP模型案例分析

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运筹学---案例分析

管理运筹学案例分析产品产量预测一、问题的提出2007年，山西潞安矿业集团与哈密煤业集团进行重组，成立了潞安新疆煤化工（集团）有限公司。

潞安新疆公司成立后，大力加快新项目建设。

通过技术改造和加强管理，使煤炭产量、销售收入、利润、职工收入等得到了大幅提高，2007年生产煤炭506万吨，2008年煤炭产量726万吨，2009年煤炭产量956万吨。

三年每月产量见下表，请预测2010年每月产量。

表1 2007—2009年每月产量表单位：万吨二、分析与建立模型1、根据2007—2009年的煤炭产量数据，可做出下图：表2 2007—2009年每月产量折线图由上图可看出，2007—2009年的煤炭产量数据具有明显的季节性因素和总体上升趋势。

因此，我们采取用体现时间序列的趋势和季节因素的预测方法。

（一）、用移动平均法来消除季节因素和不规则因素影响1、取n=12；2、将12个月的平均值作为消除季节和不规则因素影响后受趋势因素影响的数值；3、计算“中心移动平均值”；4、计算每月与不规则因素的指标值。

表3 平均值表5、计算月份指数；6、调整月份指数。

表4 调整（后）的月份指数（二）、去掉时间序列中的月份因素将原来的时间序列的每一个数据值除以相应的月份指数。

表5 消除月份因素后的时间序列表三、计算结果及分析确定消除季节因素后的时间序列的趋势。

求解趋势直线方程。

设直线方程为：T t =b0+b1 tT t为求每t 时期煤炭产量；b0为趋势直线纵轴上的截距；b1为趋势直线的斜率。

求得：四、一点思考新疆的煤矿生产企业产能只是企业要考虑的部分因素，因国家产业政策以及新疆距离内地需经河西走廊，因此，企业不仅要考虑产能，更多的要考虑运输问题，从某种意义上来说，东疆地区煤炭生产企业不是“以销定产”，而是“以运定产”，也就是说，物流运输方案是企业管理人员要认真思考的问题。

本案例可以结合物流运输远近及运输工具的选择作进一步的运筹分析，以使得煤炭生产企业真正实现科学合理决策。

线性规划的理论与实例分析

线性规划的理论与实例分析线性规划（Linear Programming，简称LP）是一种重要的运筹学工具，常常被应用于生产、物流、金融等领域中的优化问题。

本文将从理论和实例两个角度，介绍线性规划的基本概念、模型及求解方法。

一、线性规划的基本概念线性规划的基本概念包括决策变量、目标函数、约束条件等。

（一）决策变量决策变量是指影响问题结果的变量，通常用x1、x2、 (x)表示。

例如，生产线上的机器数量、产品的产量等都是决策变量。

（二）目标函数目标函数是指要最大化或最小化的某个指标，通常用z表示。

例如，最小化成本、最大化利润等都是目标函数。

（三）约束条件约束条件是指在问题求解中要满足的条件。

例如，不超过机器限制数量、满足生产需求等都是约束条件。

通常用不等式或等式形式表示。

二、线性规划的模型线性规划的一般形式可表示为：最大化或最小化目标函数：Z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn约束条件：a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤ b1a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤ b2……am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤bm或x1, x2, … , xn ≥ 0 （非负性约束条件）其中，c1、c2、…、cn为各决策变量的系数，a11、a12、…、amn为各约束条件中各决策变量的系数，b1、b2、…、bm为约束条件的值，x1、x2、…、xn为决策变量，非负性约束条件也称为非负约束。

三、线性规划的求解方法线性规划有多种求解方法，这里主要介绍两种：单纯性法和对偶理论。

（一）单纯性法单纯性法是线性规划的一种基本算法，其实质是在各约束条件限制下寻找目标函数最大或最小值。

单纯性法基于以下两个原则：①某个极值点必定满足目标函数的所有约束条件；②各个变量所形成的可行解区域有限，且该区域的可行解点数有限。

单纯性法的具体过程如下：Step 1 建立初始单纯形表将约束条件转化为标准形式，即将约束条件化为”≤“的形式，并加入人工变量，得到初始单纯形表。

运筹学PPT(LP)BaiDi剖析

线性规划通常解决下列两类问题：
（1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用最少的资源（如资金、设备、原标材料、人工、时间等）去完成确定的任务或目标（2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品量最多、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
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例1 窗户问题：三个工厂分别进行三种生产：工厂1 生产产品1是铝窗，工厂2生产产品2是木窗，工厂3做组装产品的工作。具体数据如下表，应如何安排生产计划，使总的利润最大？
线性规划问题的数学模型
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3. 线性规划数学模型的一般形式
目标函数： max (min) z c1 x1 c2 x2 cn xn
a11 x1 a12 x2 a1n xn ( ) b1
约束条件： am1 x1 am2 x2 amn xn ( ) bm
x1 0 xn 0
管理工程系核心课程
运筹学
( Operations Research )
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP问题的提出图解法单纯形法单纯形法的进一步讨论 LP模型的应用举例
线性规划问题的数学模型
Page 3
1. 规划问题生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益，这就是规划问题。
下面我们分析一下简单的情况—— 只有两个决策变量的线性规划问题，这时可以通过图解的方法来求解。图解法具有简单、直观、便于初学者窥探线性规划基本原理和几何意义等优点。
图解法
例4 用图解法求解线性规划问题（窗户问题）
Max Z= 3x1+ 5x2

运筹学课程案例分析报告

《运筹学》课程案例分析报告课程编号:任课教师:讲课时间:完成人（学号）:提交日期:作业成绩:（1）以小组形式完成案例分析报告（小组成员不超过5人），并准备10分钟的ppt进行展示；（2）书面表达要求：准确：内容准确，遣词、语法准确；简明：叙述简明扼要，避免空话、废话、赘语、重复；易懂：遣词用语直截了当，避免用冷僻字和过长句子；严谨：所有数据、资料应注明出处；有可能引起误会的词语应加以定义；图文并茂：除文字外，应多采用表、图等方式表达，若色彩对内容表达有帮助，可加入色彩。

（3）格式要求：使用A4 幅面白色纸，电脑打印；正文页：字体与段落：正文标题采用四号（英文10号）宋体；正文采用小四号（英文12号）宋体，倍行距，段前段后间距行磅，段首缩进0.9厘米，标准字距；页码：在页脚右侧注明当前页码／总页数。

一、问题回顾在政府监控的条件下，考虑企业和核查中介是不是存在合谋行为，以下是本案例的条件和假设：（一）对政府而言政府的策略空间为A1=（a11，a12）,其中a11表示政府核查，a12表示政府不核查。

政府核查的本钱为c1,企业若与核查中介机构合谋，惩罚企业的罚金为n倍的碳价（p），与隐瞒的排放量有关。

惩罚核查中介机构的罚金为c2。

假设政府核查的概论为P1，不核查的概论为P2。

（二）对企业而言企业的策略空间为A2=（a21，a22），其中a21表示企业与中介合谋，a22表示企业与中介不合谋。

企业实际排放量为E1，申报的排放量为E2，政府给企业的配额为Q，企业支付给中介的核查费用为c3，企业若与中介合谋，支付的合谋费用为c4。

（三）对中介而言中介的策略空间为A3=（a31，a32），其中a31表示中介与企业合谋，a32表示中介与企业不合谋。

（四）需要解决的问题一、是不是存在混合策略下的Nash均衡？二、存在的条件是什么？3、Nash均衡与各决策变量的关系？二、对案例的分析①合谋不合谋（a1 , a2）（a3 , a4）②查不查（a5 , a6）（a7 , a8）上图中a1、a3、a5、a7别离表示企业在不同条件下博弈的得益，a2、a4、a6、a8别离表示核查中介机构在不同条件下的得益。

1-1一般LP问题的数学模型

一、线性规划模型的举例
1、生产计划问题
例1 某厂生产甲乙两种产品，生产工艺路线为：各自的零部
件分别在设备A、B加工，最后都需在设备C上装配。经测算得到相关数据如表所示。应如何制定生产计划，使总利润为最大。产品工时消耗生产能力 h 设备甲乙 A 2 0 16 B 0 2 10 C 3 4 32
②小于等于约束条件转化为等号约束
③大于等于约束条件转化为等号约束
2x1+3x2-4x3≤5 引进松弛变量(Slack variable) x4≥0 2x1+3x2-4x3+x4=5 如果有一个以上小于等于约束，要引进不同的松弛变量。例如： 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≤8 在两个约束中分别引进松弛变量x4，x5≥0 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 +x5=8
⑤变量小于等于0的的标准化
min z=x1+2x2-3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3≤5 3x1-2x2+5x3≥8 x1≥0, x2≤0, x3≥0 max z’=-x1-2x2+3x3 s.t. 2x1+3x2-4x3+x4 =5 3x1-2x2+5x3 -x5=8 x1≥0, x2≤0, x3, x4, x5≥0 令 x2=-x’2，x’2≥0, 代入模型 max z’=-x1+2x’2+3x3 s.t. 2x1-3x’2-4x3+x4 =5 3x1+2x’2+5x3 -x5=8 x1≥0, x’2≥0, x3, x4, x5≥0
可行域：全部可行解的集合；
最优解：使目标函数(1.6)达到最大值的可行解

运筹学讲义LPILP

精品
运筹学LPILP
运筹学模型（2）
【七桥问题】在哥雷斯堡（Konigsberg）有一条名叫普雷尔（Pregel）的河流从城市中间流过，普雷尔河的中央有一大一小两座岛屿，河岸和两座岛由七座桥相互连接，如图 3-53 所示:
A
B
C
D
图 3-53 于是在居民们每天散步的时候就产生了一项有趣的消遣活动：从 A 岸、B 岛、C 岛、D 岸这四个地方任选一处出发，走过所有七座桥，最后回到出发的地方，而且要求每座桥只能经过一次，不得重复。
x3+3x4 +x6+3x7+x8>=100
Xj>=0且为整数 j=1,2,3,……8
运筹学模型（4）
【排班问题】
某工厂的中心调度室，每昼夜 24 小时都要有人员值班，已知每个时间段（每 4 小时为一个时间段）所需要的值班人员如表 1.6。又知每一调度人员在任 1 时段开始上班后，要连续工作 8 小时（包括轮流吃饭时间）才能满足调度值班工作需要。为使参加值班的总人数最少，试列出数学模型
x1 x1
x2 1 2x2
0
x1,2 0
图解法（5）——无可行解
min s 2 x 1 2 x 2
s
.t
.
x
1
x1
x2 x2
1 2
x1,2 0
图解法（6）—— 结论
线性规划问题的解有四种情况 1．有唯一最优解 2．有无穷多最优解 3．有可行解，但无最优解（解无界） 4．无可行解
运筹学模型（3）
【合理下料问题】某工地要求做 100 套钢筋，每套为 3 根，它们的长度分别为
2.9 米，2.1 米和 1.5 米；原材料长为 7.4 米，为应当怎样截割钢筋，才能使所需的原材料根数为最少？

运筹学实例分析及lingo求解讲解

运筹学实例分析及lingo 求解一、线性规划某公司有6个仓库，库存货物总数分别为60、55、51、43、41、52，现有8个客户各要一批货，数量分别为35，37，22，32，41，32，43，38。

各供货仓库到8个客户处的单位货物运输价见表试确定各仓库到各客户处的货物调运数量，使总的运输费用最小。

解：设ijx 表示从第i 个仓库到第j 个客户的货物运量。

ij c表示从第i 个仓库到第j 个客户的单位货物运价，i a 表示第i 个仓库的最大供货量，j d 表示第j 个客户的订货量。

目标函数是使总运输费用最少，约束条件有三个：1、各仓库运出的货物总量不超过其库存数2、各客户收到的货物总量等于其订货数量3、非负约束数学模型为：∑∑===6181)(min i j ijij x c x f⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧≥===≤∑∑==08,,2,1,6,2,1,,..6181ij j i ij i j ij x j d x i a x t s 编程如下：model : Sets :Wh/w1..w6/:ai; Vd/v1..v8/:dj;links(wh,vd):c,x;endsetsData:ai=60,55,51,43,41,52;dj=35,37,22,32,41,32,43,38;c=6,2,6,7,4,2,5,94,9,5,3,8,5,8,25,2,1,9,7,4,3,37,6,7,3,9,2,7,12,3,9,5,7,2,6,55,5,2,2,8,1,4,3;EnddataMin=@sum(links(i,j):c(i,j)*x(i,j));@for(wh(i):@sum(vd(j):x(i,j))<=ai(i));@for(vd(j):@sum(wh(i):x(i,j))=dj(j));endGlobal optimal solution found.Objective value: 664.0000Total solver iterations: 0Variable Value Reduced Cost AI( W1) 60.00000 0.000000 AI( W2) 55.00000 0.000000 AI( W3) 51.00000 0.000000 AI( W4) 43.00000 0.000000 AI( W5) 41.00000 0.000000 AI( W6) 52.00000 0.000000 DJ( V1) 35.00000 0.000000 DJ( V2) 37.00000 0.000000 DJ( V3) 22.00000 0.000000 DJ( V4) 32.00000 0.000000 DJ( V5) 41.00000 0.000000 DJ( V6) 32.00000 0.000000 DJ( V7) 43.00000 0.000000 DJ( V8) 38.00000 0.000000 C( W1, V1) 6.000000 0.000000 C( W1, V2) 2.000000 0.000000 C( W1, V3) 6.000000 0.000000 C( W1, V4) 7.000000 0.000000 C( W1, V5) 4.000000 0.000000 C( W1, V6) 2.000000 0.000000 C( W1, V7) 5.000000 0.000000C( W2, V1) 4.000000 0.000000 C( W2, V2) 9.000000 0.000000 C( W2, V3) 5.000000 0.000000 C( W2, V4) 3.000000 0.000000 C( W2, V5) 8.000000 0.000000 C( W2, V6) 5.000000 0.000000 C( W2, V7) 8.000000 0.000000 C( W2, V8) 2.000000 0.000000 C( W3, V1) 5.000000 0.000000 C( W3, V2) 2.000000 0.000000 C( W3, V3) 1.000000 0.000000 C( W3, V4) 9.000000 0.000000 C( W3, V5) 7.000000 0.000000 C( W3, V6) 4.000000 0.000000 C( W3, V7) 3.000000 0.000000 C( W3, V8) 3.000000 0.000000 C( W4, V1) 7.000000 0.000000 C( W4, V2) 6.000000 0.000000 C( W4, V3) 7.000000 0.000000 C( W4, V4) 3.000000 0.000000 C( W4, V5) 9.000000 0.000000 C( W4, V6) 2.000000 0.000000 C( W4, V7) 7.000000 0.000000 C( W4, V8) 1.000000 0.000000 C( W5, V1) 2.000000 0.000000 C( W5, V2) 3.000000 0.000000 C( W5, V3) 9.000000 0.000000 C( W5, V4) 5.000000 0.000000 C( W5, V5) 7.000000 0.000000 C( W5, V6) 2.000000 0.000000 C( W5, V7) 6.000000 0.000000 C( W5, V8) 5.000000 0.000000 C( W6, V1) 5.000000 0.000000 C( W6, V2) 5.000000 0.000000 C( W6, V3) 2.000000 0.000000 C( W6, V4) 2.000000 0.000000 C( W6, V5) 8.000000 0.000000 C( W6, V6) 1.000000 0.000000 C( W6, V7) 4.000000 0.000000 C( W6, V8) 3.000000 0.000000 X( W1, V1) 0.000000 5.000000 X( W1, V2) 19.00000 0.000000 X( W1, V3) 0.000000 5.000000X( W1, V5) 41.00000 0.000000 X( W1, V6) 0.000000 2.000000 X( W1, V7) 0.000000 2.000000 X( W1, V8) 0.000000 10.00000 X( W2, V1) 1.000000 0.000000 X( W2, V2) 0.000000 4.000000 X( W2, V3) 0.000000 1.000000 X( W2, V4) 32.00000 0.000000 X( W2, V5) 0.000000 1.000000 X( W2, V6) 0.000000 2.000000 X( W2, V7) 0.000000 2.000000 X( W2, V8) 0.000000 0.000000 X( W3, V1) 0.000000 4.000000 X( W3, V2) 11.00000 0.000000 X( W3, V3) 0.000000 0.000000 X( W3, V4) 0.000000 9.000000 X( W3, V5) 0.000000 3.000000 X( W3, V6) 0.000000 4.000000 X( W3, V7) 40.00000 0.000000 X( W3, V8) 0.000000 4.000000 X( W4, V1) 0.000000 4.000000 X( W4, V2) 0.000000 2.000000 X( W4, V3) 0.000000 4.000000 X( W4, V4) 0.000000 1.000000 X( W4, V5) 0.000000 3.000000 X( W4, V6) 5.000000 0.000000 X( W4, V7) 0.000000 2.000000 X( W4, V8) 38.00000 0.000000 X( W5, V1) 34.00000 0.000000 X( W5, V2) 7.000000 0.000000 X( W5, V3) 0.000000 7.000000 X( W5, V4) 0.000000 4.000000 X( W5, V5) 0.000000 2.000000 X( W5, V6) 0.000000 1.000000 X( W5, V7) 0.000000 2.000000 X( W5, V8) 0.000000 5.000000 X( W6, V1) 0.000000 3.000000 X( W6, V2) 0.000000 2.000000 X( W6, V3) 22.00000 0.000000 X( W6, V4) 0.000000 1.000000 X( W6, V5) 0.000000 3.000000 X( W6, V6) 27.00000 0.000000 X( W6, V7) 3.000000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price 1 664.0000 -1.000000 2 0.000000 3.000000 3 22.00000 0.000000 4 0.000000 3.000000 5 0.000000 1.000000 6 0.000000 2.000000 7 0.000000 2.000000 8 0.000000 -4.000000 9 0.000000 -5.000000 10 0.000000 -4.000000 11 0.000000 -3.000000 12 0.000000 -7.000000 13 0.000000 -3.000000 14 0.000000 -6.000000 15 0.000000 -2.000000由以上结果可以清楚的看到由各仓库到各客户处的货物调运数量，由此得出的符合条件的最佳运货方案，而使运费最低，最低为664。

运筹学第5课：LP模型案例分析

投资。可供选择的投资机会包括购买国库券、购买公司债券、投资房地产、购买股票或银行保值储蓄等，不同的投资方式的具体参数见下表。投资者希望投资组合的平均年限不超过 5 年，平均的
期望收益率不低于13%，风险系数不超过4，收益的增
长潜力不低于 10%。问在满足上述要求的前提下投资
者该如何选择投资组合使平均年收益率最高？
作业：2.4, 2.5, 2.8
采用lindo求解
糖渣
案例3
要求每种饲料含量：
结粒混合筛粉
颗粒饲料粉状饲料
燕麦磨碎玉米
原料燕麦玉米糖渣
蛋白质 13.6 4.1 5
脂肪 7.1 2.4 0.3
纤维素 7 3.7 25
要求含量
>=9.5
原料燕麦
>=2
<=6
可用量(千克) 11900 价格(欧元/千克) 0.13
玉米
糖渣
加工成本(欧元/千克)
工程（工地）所需最少监理师人数 1 2 3 4 5 6 7
5
4
4
3
3
2
2
为了达到高峰施工期监理工程师配置数量最优，人员合理地交错使用，遏制人为因素，根据历年来的经验对高峰施工期的监理工程师数量在合理交错发挥作用的前提下限定了范围。另经统计测算得知，全年平均标准施工期占7个月，人年成本4万元；高峰施工期占5个月，人年成本7万元。
整数问题能力不强。
运筹学
第5课：LP模型案例分析
案例2：北方食品公司投资方案规划
106个零售点日销售量在0.3~0.6吨，但大多数在0.4~0.5间。为简化计算，设定每个点日销量为0.5吨；将5公里内点设为A类点，10公里内点设为B类点，10公里以上设为C类点。从工厂到A类点的时间为20分钟，到B类点的时间为40 分钟，到C类点的时间为60分钟。A类点间运输时间为5分钟，B 类点间运输时间为10分钟，C类点间运输时间为20分钟。不同类型点间时间为20分钟。每点卸货、验收时间为30分钟；A:50, B:36, C:20。工厂从凌晨4点开始发货（过早无人接货），车辆发车先后时间忽略不计。因7点后交通没有保障，故要求冷藏车必须在7点之前到达零售点。故最迟送完货时间为7：30。全程允许时间为210分钟。已知4吨车每辆18万元，2吨车每辆12万元。请求出投资最少的配车方案。

最优化方法图解法和LP基本定理PPT课件

为非基向量.
3. 基变量: 基向量对应的变量称为基变量，非基向量对应的变
量称为非基变量(自由变量)。
x1 x4
5 1
A
10
6
1 1 0
2
0
1
5 1
B2
10
0 ,
例如：对于基B2而言，x1 , x4是基变量，x2 , x3 , x5是非基变量。
思考：基变量的选取唯一吗？取法有多少种？
第20页/共25页
x1 1.9x2 3.8
第4页/共25页
max z 3x1 5.7 x2
例2. x1 1.9x2 10.2
s.t
.
x1 x1
1.9 x2 1.9 x2
3.8 3.8
x1 1.9x2 3.8
x2
X1 + 1.9X2 = 10.2 (≤)
（3.8，4）
D可行域
max Z
2) xj hj (hj 0) 引入 yj xj hj , 则 yj 0;
3) x j 0 令 yj xj , 则 yj 0;
4)
x
的符号无限制
j
引入
y' j
0,
y'' j
0,
n
令x
n
j
y' j
y'' j
, 代入模型消去x j
5) aij x j bi
aij x j xi' bi , xi' 0
第一节图解法
➢确定可行域：画约束直线，确定满足约束条件的半平
面，所有半平面的交集，即为线性规划的可行域。
➢确定目标函数的等值线及优化方向：画一条目标函数等值线，并确定目标函数优化的方向。

运筹学第五小组案例分析(打印版)仓储问题

案例分析报告团队名称：运筹帷幄组长： XXX 记录员： XXX 组员分工：XXX是记录员，负责记录组员在谈论问题中考虑的因素、条件、参考的方案，并对最终方案的结果进行详细分析，比如对偶价格、松弛、剩余变量等；XXX负责问题1、2、3、6以及整理报告；XXX、XXX负责找出问题的解决方法，并对问题进行分析；XXX、XXX根据案例，建立线性规划模型，求解和分析；XXX、XXX通过对决策方案的应用环境分析，提出相关建议；XXX负责报告总结；XXX负责校对和解析。

1、案例名称：仓库租借2、案例概述（简述对案例的分析和理解）某公司在四个月内需租借仓库堆放物资，每个月份需要仓库的面积不同，合同租借期限有四种。

案例中提供了每个月的仓库面积和合同期限不同的租金价格，这就需要同时考虑面积和价格，则可初步设想决策变量，设x ij为决策变量，x ij表示第i月初签订的期限为j个月的合同所规定的仓库面积。

然后，根据公司的实际情况，在满足公司仓库需要，考虑租金合理的条件下，找出总租金最少的方案，建立线性规划模型，求解即可。

该公司只要求每个月份满足仓库面积的大小和总租金最少，没有强调租借合同中的月份不能重叠，比如说在1月初签订1个月为期限的合同，则公司可以在2月初签订3个月为期限的合同，所以，在建立模型时，不要仅仅考虑总合同期限为4个月的方案。

3、要解决的问题？在满足公司仓库需要，考虑租金合理的条件下，用线性规划求出一个所付租金最少的租借方案。

4、解决问题的方法？应考虑的问题的分析、归纳。

1)我们小组采用讨论分析方法，采用软件《管理运筹学2.5》求解。

2)经上面案例概述分析，租赁仓库的合同在四个月份的每个月初都可办理，每份合同具体规定租用的面积和期限。

因此该厂可根据需要在任何一个月初办理合同，且每次办理，可签一份或若干份租用面积和租借期限不同的合同。

经分析，该公司每个月需要租用来堆放物资的仓库面积以及合同期限不同时的租金价格不同，这就需要同时考虑到面积够用和租借费用能够享受到最大的优惠的问题，则可通过设置决策变量x ij（x ij表示第i月初签订的期限为j个月的合同所规定的仓库面积）以及一定的约束条件进行建立模型（用线性规划求出一个所付租金最少的租借方案），通过模型具体的约束，求出使得在满足公司仓库面积上需要的同时，也考虑到能够获得最大优惠即所付租金最少的最优解的解决问题的方案。

《运筹学LPIL》课件 (2)

《运筹学LPIL》PPT课件
本课程PPT课件将深入介绍运筹学的基础知识和实际应用，帮助学习者更好地理解和运用运筹学方法。
运筹学的概述
运筹学是一门研究如何做出优化决策的学科。它结合了数学、统计学和计算机科学等多个领域的知识，为解决实际问题提供了有效的分析和决策工具。
线性规划介绍
线性规划是一种数学优化方法，用于在有限资源约束下最大化或最小化线性目标函数。它在供应链管理、生产计划和资源分配等领域有广泛应用。
总结和回顾
通过学习这门课程，您将掌握运筹学的核心概念和解决问题的方法。运筹学是实现优化决策的关键工具，在各行各业都有广泛应用。
整数规划的使用案例
任务分配
将任务分配给不同的人员，使其完成时间最短或成本最低。
旅行商问题
确定旅行路径，使旅行商访问所有城市且总行程最短。
设备配置
确定最佳的设备配置方案，最大化产能或效益。
运筹学LPIL软件介绍
运筹学LPIL软件是一个强大的工具，可以帮助用户快速建立和求解运筹学问题模型。它提供了直观的用户界面和丰富的分析功能，支持多种优化算法。
整数规划概述
整数规划是在线性规划的基础上引入整数变量限制的优化问题。它在任务分配、旅行商问题和设备配置等场景中能够更准确地建模和求解。
线性规划的使用案例
供应链管理优化产品的供应链网络来自减少库存成本并提高交货效率。
生产计划
合理安排生产资源，最大化产能利用率并满足市场需求。
资源分配
将有限的资源分配给不同的任务，以最大化效益。

运筹学LP的对偶问题与灵敏度分析

? ?
y2
? ?
?
0
??y3 ??
二者之间的关系：
? 原问题中求目标函数极大化问题，对偶问题中求目标函数极小化问题。
? 原问题中约束条件的个数等于对偶问题中变量的个数。
? 原问题约束条件中符号为 ? 号，对偶问题中约束条件符号为 ? 号。
? 原问题目标函数的系数是其对偶问题约束条件的右端项。
第三步：再令y3=y3'-y3'' ，则有最终的对偶问题：
min f ? 440 y1 ? 100 y2 ? 200 y3 2 y1 ? 6 y2 ? 5y3 ? 3
s.t. 3y1 ? 4 y2 ? 3y3 ? 4 6 y1 ? y2 ? y3 ? 6 y1, y2 ? 0, y3无约束
例2：写出下述LP的对偶问题：
2. 对于一些大于等于号约束条件可以不添加人工变量，只需把两边同乘以 -1，化成小于等于约束。 ? 缺点：
1. 不是所有初始ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ其检验数都小于等于零。
? 在单纯形法中，原问题的最优解满足：
对偶单纯形法计算步骤如下：
步骤1 确定原问题（L）的初始基B，使得所有检验数
? j =Cj ? CBB?1Pj ? 0，即Y=CBB?1是对偶可行解，建立初始单纯形表。
CN ? CBB? 1N ? 0 ? CBB?1 ? 0
令：Y ? CB B? 1 ，上式等价为：
YA ? C Y?0
可知这是对偶规划的一个可行解
且此时：W ? Yb? CB B? 1b ? z ，可见对偶规划与原规划
最优解的目标函数值相等，不是偶然的。
四、由原规划最终单纯形表确定对偶规划最优解
反之如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量一定为零，也即

运筹学案例分析报告.doc

运筹学案例分析报告运筹学案例分析报告篇1：一、研究目的及问题表述(一)研究目的：公司、企业或项目单位为了达到招商融资和其它发展目标之目的，在经过前期对项目科学地调研、分析、搜集与整理有关资料的基础上，向读者全面展示公司和项目目前状况、未来发展潜力的书面材料。

这是投资公司在进行投资前非常必要的一个过程。

所以比较有实用性和研究性。

(二)问题表述：红杉资本于1972年在美国硅谷成立。

从2005年9月成立至今，在科技，消费服务业，医疗健康和新能源/清洁技术等投资了众多具有代表意义的高成长公司。

在2011年红杉资本投资的几家企业项目的基础上，规划了未来五年在上述基础上扩大投资金额，以获得更多的利润与合作效应。

已知：项目1(受资方：海纳医信)：从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末收回本利115%项目2(受资方：今世良缘)：第三年年初需要投资，到第五年末能收回本利125%，但规定最大投资额不超过40万元。

项目3(受资方：看书网)：第二年年初需要投资，到第五年末能收回本利140%，但规定最大投资额不超过30万元。

项目4(受资方：瑞卡租车)：五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加息6%。

该企业5年内可用于投资的资金总额为100万元，问他应如何确定给这些项目的每年投资使得到第五年末获得的投资本例总额为最大?(三)数据来源：以下的公司于受资方等都是在投资网中找到的，其中一些数据为机密部分，所以根据资料中红杉资本所投资的金额的基础上，去编织了部分的数据，以完成此报告研究。

二、方法选择及结果分析(一)方法选择：根据自身的知识所学，选用了运筹学线性规划等知识，再结合Lindo软件，也有其他的方法与软件，但是线性规划为运筹学中比较基本的方法，并且运用起来比较方便简捷，也确保了方法的准确性。

(二)求解步骤：解：设xi1，xi2，xi3，xi4(i=1,2,3,4,5)为第i年初给项目1,2,3,4的投资额，他们都是待定的未知量。

运筹学PPT(LP)分析

单纯形法基本原理
Page 24
√ 对于任意一个至少有一个最优解的问题，我们就只关注顶点。 √ 单纯形法是一个不断循环的运算过程。 √ 尽量用原点作为初始点（方便） √ 只找相邻的点移动，因为计算比较容易（限制条件有相同），所以单纯形法只在可行域的边界上移动
√ 有两个方向可以选择的时候，通常选择大的提高率来移动
x n i 0
称为松弛变量
线性规划问题的数学模型
例3 将下列线性规划问题化为标准形式
Page 13
Min Z= 2x1+ 3x2 S.T. 2x1 + 2x2 ≤ 8 4x1 ≥ 12 x2 ≥ -16
x1≤0 , x2 无约束
图解法
线性规划问题的求解方法一般有两种方法两个变量、直角坐标三个变量、立体坐标
θi
0
j
x4
30
1
3
3
4
0
0
1
0
检验数
1 c1 (c3a11 c4a21 ) 3 (0 2 0 1) 3
单纯形法的计算步骤
Page 29
3）进行最优性检验如果表中所有检验数 0 ，则表中的基可行解就是问题 j 的最优解，计算停止。否则继续下一步。 4）从一个基可行解转换到另一个目标值更大的基可行解，列出新的单纯形表
A是m×n阶的系数矩阵，其秩为m。若B是A中的m 阶的满秩子矩阵，即B是由A中的ｍ个线性独立的系数列向量组成，则称之为线性规划问题的一个基。不失一般性，令B m×m =[P1，P2…Pm],基中的列向量Pj(j=1…m)称为基向量，与之对应的变量xj (j=1…m)为基变量。A中其余不包含在B中的列向量 Pj(j=m+1…n)为非基向量，与之对应的xj (j=m+1…n) 是非基变量。

管理运筹学lindo案例分析报告

管理运筹学lindo案例分析⑻Lindo的数据分析及习题用该命令产生当前模型的灵敏性分析报告：研究当目标函数的费用系数和约束右端项在什么围（此时假定其它系数不变）时，最优基保持不变。

灵敏性分析是在求解模型时作出的，因此在求解模型时灵敏性分析是激活状态，但是默认是不激活的。

为了激活灵敏性分析，运行LINGO|Options…，选择General Solver Tab , 在Dual Computations 列表框中，选择Prices and Ranges 选项。

灵敏性分析耗费相当多的求解时间，因此当速度很关键时，就没有必要激活它。

下面我们看一个简单的具体例子。

例5.1某家具公司制造书桌、餐桌和椅子，所用的资源有三种：木料、木工和漆工。

生产数据如下表所示：用DESKS TABLES和CHAIRS分别表示三种产品的生产量，建立LP模型。

max=60*desks+30*tables+20*chairs;8*desks+6*tables+chairs<=48;4*desks+2*tables+1.5*chairs<=20;2*desks+1.5*tables+.5*chairs<=8;tables<=5;求解这个模型，并激活灵敏性分析。

这时，查看报告窗口（Reports Window）,可以看到如下结果。

Global optimal solution found at iteration:3Objective value:280.0000Variable Value Reduced CostDESKS 2.0000000.000000TABLES0.000000 5.000000CHAIRS8.0000000.000000Row Slack or Surplus Dual Price1280.0000 1.000000224.000000.00000030.00000010.0000040.00000010.000005 5.0000000.000000“ Global optimal solution found at iteration: 3 ”表示 3 次迭代后得到全局最优解。

第二章五LP问题的几何解释.

x1, x2 0
150
z 500 10x1 12x2 500
z 1000 10x1 12x2 1000
l1 : x1 0, x2 100
C
x1 150, x2 0
100
l2 : x1 0, x2 120
x1 90, x2 0
50ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可行域
O
B (30,80) 最优解
z=1260
第五节 LP问题的几何解释
一、二个决策变量LP问题的图解法
例： max z 10x1 12x2 s.t 2x1 3x2 300 l1 2x1 1.5x2 180 l2 x1, x2 0
例： max z 10x1 12x2
s.t 2x1 3x2 300 l1
2x1 1.5x2 180 l2 x2
4I
3 2G D
x5=0
H
x3=0
（3）的松弛变量或剩余变量分别为x3、x4、x5
x1=0
1E F -1 O
x2=0
12
C x4=0
A 34
B 5 x1
Z=9
Z=6
以上问题中，有 3 个基变量， 2 个非基变量；
基解为 A B C D E F G H I O ；基可行解为 C D H；
最优解为 D 。
思考题
已知LP问题如下： max z c1x1 c2x2 s.t 5x2 15 6x1 2x2 24 x1 x2 5
x1, x2 0 讨论c1, c2的值如何变化，该 LP 可行域的每个角点依次使目标函数达到最优。
A
x1
50 100 150
z=500 z=1000
l2
l1
结论：若LP问题存在最优解，则必在可行域的某个极点(角点)上找到。

高校管理学专业运筹学模型求解案例分析

高校管理学专业运筹学模型求解案例分析在高校管理学专业中，运筹学模型是一种重要的分析工具，可用于解决各种与运营和决策相关的问题。

本文将通过一个案例分析，探讨如何应用运筹学模型来解决高校管理中的实际问题。

案例背景：某高校图书馆的座位管理某高校图书馆在高峰期常常出现座位不足的情况，为了更好地满足师生们的学习需求，图书馆决定引入运筹学模型来优化座位管理。

具体问题是如何合理安排学生的座位，以最大化座位利用率，并且保证每个学生都能找到合适的座位。

问题分析与模型建立：首先，我们需要了解座位的数量和类型。

经过调研，图书馆共有A、B、C三类座位，分别具有不同的特点和使用规则。

A类座位可供单人使用，B类座位可供两人使用，C类座位可供小组使用。

我们将座位数量分别记为a、b、c。

在分配座位时，我们应该满足三个条件：1.每个学生都能找到座位；2.座位利用率最大化；3.尽量减少学生之间的距离。

为了解决这个问题，我们可以建立一个数学模型。

假设有n个学生需要找座位，他们的座位偏好可以用一个矩阵D来表示。

矩阵D的第i行第j列表示学生i对座位j的偏好程度，偏好程度越高表示学生i更喜欢座位j。

同时，我们可以定义一个二值变量X，表示座位的使用情况。

如果座位i被使用，则Xi=1；否则，Xi=0。

基于这些假设，我们可以得到以下的线性规划模型：最大化∑(∑(Dij*Xj))约束条件：∑(Xj) >= n （每个学生都能找到座位）∑(Xj) <= a （A类座位数量限制）∑(2*Xj) <= b （B类座位数量限制）∑(k*Xj) <= c （C类座位数量限制）其中k是小组的人数，可以根据实际情况调整。

通过以上的模型，我们可以根据学生们的座位偏好和座位类型的限制，以最优化的方式进行座位分配。

除了满足每个学生找到座位的基本需求外，我们还可以通过调整偏好程度的权重来平衡座位利用率和学生之间的距离。

结果分析与优化：在应用运筹学模型求解后，我们可以得到最优解。

运筹学-第一章-LP原理

可行解：满足所有约束条件包括非负条件的解 X=(x1,x2,…xn)T 称为该问题的可行解。所有可行解的集合构成可行域。最优解：使目标函数①达到最大值的可行解称为最优解。基： A是约束方程组的 m×n 阶系数矩阵，设其秩为m，B矩阵是矩阵A中m×m阶非奇异子矩阵（|B|≠0），则称B是线性规划问题的一个基。就是说，B是由m个线性独立的列向量组成。不失一般性， a11 a12 L a1m 可以设： a a L a
max z = c1x1 + c2 x2 + L + cn xn a11x1 + a12 x2 + L + a1n xn = b1 a21x1 + a22 x2 + L + a2n xn = b2
M a x +a
m1 1
x1, x2,L xn ≥ 0
河北工业大学管理学院孔造杰制作
m2 2
x + L + amnxn = bm
LP问题的提出
为此，将河流分成两段考虑，第一段：工厂1→工厂2之间，只有工厂1的排放污水，应满足的约束条件： (2－x1)/500≤2/1000 第二段：工厂2之后的河段，除了有工厂2的排放污水外，还有工厂1的残留污水，同时，水流量也是两个河流的流量和，即： [0.8(2－x1)+(1.4－x2)]/700≤2/1000 除此之外，还应满足处理量不超过最大污水量和非负条件。综合以上分析得问题的数学模型为：
min z = 1000x1 + 800x2
(2 − x1) 500 ≤ 2 1000
[0.8(2 − x1) + (1.4 − x2 )] 700 ≤ 2 1000

运筹学第5课：LP模型案例分析

运筹学---案例分析

线性规划的理论与实例分析

运筹学PPT(LP)BaiDi剖析

运筹学课程案例分析报告

1-1一般LP问题的数学模型

运筹学讲义LPILP

运筹学实例分析及lingo求解讲解

运筹学第5课：LP模型案例分析

最优化方法图解法和LP基本定理PPT课件

运筹学 第五小组 案例分析(打印版)仓储问题

《运筹学LPIL》课件 (2)

运筹学LP的对偶问题与灵敏度分析

运筹学案例分析报告.doc

运筹学PPT(LP)分析

管理运筹学lindo案例分析报告

第二章五LP问题的几何解释.

高校管理学专业运筹学模型求解案例分析

运筹学-第一章-LP原理

运筹学第五小组案例分析(打印版)仓储问题