太原理工大学研究生期末考试组合数学
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1. 填空(本题共20分,共10空,每空2分)
1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上,要求每行每列只放 置
一个棋子,则共有1200种不同的摆放方法。
2
答案:5! C 5
1200
2) 在(5a 「2a 2+3a 3)6 的展开式中,a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。
色 52 ( 2) 33
81000
答
2!1!3!
3)有n 个不同的整数,从中取出两组来,要求第一组数里的最小数大于第
n 1
二组的最大数,共有
n 2 1
种方案。
4)六个引擎分列两排,要求引擎的点火的次序两排交错开来,试求从一特 定引
擎开始点火有
12种方案。
答
案:
C 3 c ; C 2
12
5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。 6) 要举办一场晚会,共10个节目,其中6个演唱节目,4个舞蹈节目。现 要
编排节目单,要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目, 则共可以写出 604800种不同的节目单。
3
答案.6! C 7 4! 604800
2
7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍,共有
2 (n!)
种排列方法;
2
若围成一圆桌坐下,又有
2 (n!) /(2n )
种方法。
2n
8) n 个变量的布尔函数共有
n
个互不相同的。
9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里,每个盒子允许放任意个物体, 而且
要考虑放入同一盒中的物体的次序,这种分配方案数目为
P(n r 1,r)
/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)
n(n 1)(n 2)
答案:
2. (本题10分)
核反应堆中有a 和B 两种粒子,每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子,而 一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。若在时刻t=0时,反应堆中只 有一个a 粒子,问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子?多少个B 粒子? 解:设t 秒钟的a 粒子数位a t , B 粒子数为b t ,则
a t
b t i b 3a t 1 2b t 1 a 。 1,b o 0
a t
b t 1
b t 2b t 1 3b t
2()
b o 0,d 3
(*)式的特征方程为x 2 2x 3 0, 解得 r 1
1,r 2 3
,即 b
A 1 ( 1)f A 2 3
目为多少?
有a i +1种选择,所以能整除n 的正整数数目为
(a1 1)(a
2 °
②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。
n
Ry 2 P n'n ,能被(a 1 1)(a 2 1) (a n 1)个
代入初始值b 。0,b >
3
,解得A 1
4,A2
(1)t
3 3'
a t
b t
1
3f 1
a
100
3
(399
4
1), b
100
3
/』00 4(3
1)
3.(本题共10分,共2小题, 每小题5分)
①设 n R a1P 2a2 P?
,R,巳,
P n 是互不相同的素数, 设求能除尽n 的正整数数
解:每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数
P 从0到a i ,即每个素数
(a n 1)个。
证明:根据题①中结论,
数整除,而
n 2 P 12a1P 22a2 P n 2an 能被 (2a 1 1)(2a 2 1)
个数整除, 2a i +1 为奇数 (0 i
1)
,所以乘积为奇数,证毕
4. (本题 10 分)
证明等式
222
2
nnn n 2n 012
nn
求(1+X 4+x 8)100中x 20项的系数。
证明:
(1 x)2n (1 x)n (1 x)n 2n 2n 2n 2n xx
0 1 2n 2
n n n n xx
0 1
n n n n n 0
n 1
n 1
比较n 次方系数即可证。
4
8 100
4
8
100
解:(1 x x )
1 (x x )
100
k 4 8 k 100 k
C 100
(x
x ) 1
k0
分析(x 4 x 8)k 的结构可知仅当k 3,4,5时有X 20项
k 3时, 系数 C 3
100
C 32, k 4时,
系数 C
100
C 43,
k 5时, 系数 C 1500 C 50,
三个系数相加即为所求
(2a n 1)