太原理工大学研究生期末考试组合数学

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1. 填空(本题共20分,共10空,每空2分)

1) 三只白色棋子和两只红色棋子摆放在 5*5的棋盘上,要求每行每列只放 置

一个棋子,则共有1200种不同的摆放方法。

2

答案:5! C 5

1200

2) 在(5a 「2a 2+3a 3)6 的展开式中,a/?a 2?a 33 的系数是 -81000。

色 52 ( 2) 33

81000

2!1!3!

3)有n 个不同的整数,从中取出两组来,要求第一组数里的最小数大于第

n 1

二组的最大数,共有

n 2 1

种方案。

4)六个引擎分列两排,要求引擎的点火的次序两排交错开来,试求从一特 定引

擎开始点火有

12种方案。

案:

C 3 c ; C 2

12

5) 从1到600整数中既不能被3整除也不能被5整除的整数有320 个。 6) 要举办一场晚会,共10个节目,其中6个演唱节目,4个舞蹈节目。现 要

编排节目单,要求任意两个舞蹈节目之间至少要安排一个演唱节目, 则共可以写出 604800种不同的节目单。

3

答案.6! C 7 4! 604800

2

7) 把n 男n 女排成一只男女相间的队伍,共有

2 (n!)

种排列方法;

2

若围成一圆桌坐下,又有

2 (n!) /(2n )

种方法。

2n

8) n 个变量的布尔函数共有

n

个互不相同的。

9) 把r 个相异物体放入n 个不同的盒子里,每个盒子允许放任意个物体, 而且

要考虑放入同一盒中的物体的次序,这种分配方案数目为

P(n r 1,r)

/ 八(n r 1)! ~ / 、 …w P(n r 1,r)

n(n 1)(n 2)

答案:

2. (本题10分)

核反应堆中有a 和B 两种粒子,每秒钟内一个 a 粒子分裂成三个B 粒子,而 一个B 粒子分裂成一个a 粒子和两个B 粒子。若在时刻t=0时,反应堆中只 有一个a 粒子,问t=100秒时反应堆中将有多少个 a 粒子?多少个B 粒子? 解:设t 秒钟的a 粒子数位a t , B 粒子数为b t ,则

a t

b t i b 3a t 1 2b t 1 a 。 1,b o 0

a t

b t 1

b t 2b t 1 3b t

2()

b o 0,d 3

(*)式的特征方程为x 2 2x 3 0, 解得 r 1

1,r 2 3

,即 b

A 1 ( 1)f A 2 3

目为多少?

有a i +1种选择,所以能整除n 的正整数数目为

(a1 1)(a

2 °

②试证明一整数是另一整数的平方的必要条件是除尽它的数目为奇数。

n

Ry 2 P n'n ,能被(a 1 1)(a 2 1) (a n 1)个

代入初始值b 。0,b >

3

,解得A 1

4,A2

(1)t

3 3'

a t

b t

1

3f 1

a

100

3

(399

4

1), b

100

3

/』00 4(3

1)

3.(本题共10分,共2小题, 每小题5分)

①设 n R a1P 2a2 P?

,R,巳,

P n 是互不相同的素数, 设求能除尽n 的正整数数

解:每个能整除尽数n 的正整数都可以选取每个素数

P 从0到a i ,即每个素数

(a n 1)个。

证明:根据题①中结论,

数整除,而

n 2 P 12a1P 22a2 P n 2an 能被 (2a 1 1)(2a 2 1)

个数整除, 2a i +1 为奇数 (0 i

1)

,所以乘积为奇数,证毕

4. (本题 10 分)

证明等式

222

2

nnn n 2n 012

nn

求(1+X 4+x 8)100中x 20项的系数。

证明:

(1 x)2n (1 x)n (1 x)n 2n 2n 2n 2n xx

0 1 2n 2

n n n n xx

0 1

n n n n n 0

n 1

n 1

比较n 次方系数即可证。

4

8 100

4

8

100

解:(1 x x )

1 (x x )

100

k 4 8 k 100 k

C 100

(x

x ) 1

k0

分析(x 4 x 8)k 的结构可知仅当k 3,4,5时有X 20项

k 3时, 系数 C 3

100

C 32, k 4时,

系数 C

100

C 43,

k 5时, 系数 C 1500 C 50,

三个系数相加即为所求

(2a n 1)

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