2020年第三次培优测试
2020年中考数学《三轮复习》培优训练： 《图形平移》(全国通用)(解析版)
《三轮复习》培优训练：《图形平移》1．在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，点M是线段BC的中点，点N在射线MB上，连接AN，平移△ABN，使点N移动到点M，得到△DEM（点D与点A对应，点E与点B对应），DM交AC于点P．（1）若点N是线段MB的中点，如图1．①依题意补全图1；②求DP的长；（2）若点N在线段MB的延长线上，射线DM与射线AB交于点Q，若MQ＝DP，求CE的长．2．如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得AB＝5，AD＝4．在进行如下操作时遇到了下面的几个问题，请你帮助解决．（1）将△EFG的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出△ABF的面积；（2）在（1）的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式，并求当重叠部分面积为10时，平移距离x的值（如图3）；（3）在（2）的操作中，小明发现在平移过程中，虽然有时平移的距离不等，但两纸片重叠的面积却是相等的；而有时候平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．请探索这两种情况下重叠部分面积y的范围（直接写出结果）．3．阅读下面材料：如图1，已知线段AB、CD相交于点O，且AB＝CD，请你利用所学知识把线段AB、CD转移到同一三角形中．小强同学利用平移知识解决了此问题，具体做法：如图2，延长OD至点E，使DE＝CO，延长OA至点F，使AF＝OB，连接EF，则△OEF为所求的三角形．请你仔细体会小强的做法，探究并解答下列问题：如图3，长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA＝∠C′OB＝∠A′OC＝60°；（1）请你把三条线段AA′，BB′，CC′转移到同一三角形中．（简要叙述画法）（2）连接AB′、BC′、CA′，如图4，设△AB′O、△BC′O、△CA′O的面积分别为S1、S 2、S3，则S1+S2+S3（填“＞”或“＜”或“＝”）．4．（1）如图，一长方形空地长为20m，宽为12m，中间建一条宽1米的小路（阴影所示），其余空地植草皮．则空地植草皮面积为m2．（2）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过点P（3，0），与y轴相交于点A（0，﹣1），若抛物线向上平移运动，使点A运动至点C（0，3），在运动过程中抛物线保持形状不变，则点P（3，0）运动至点Q（填写点Q的坐标）．请你求出抛物线中AP段运动所形成的图形（阴影部分）面积．5．在方格纸中，把一个图形先沿水平方向平移|a|格（当a为正数时，表示向右平移；当a 为负数时，表示向左平移），再沿竖直方向平移|b|格（当b为正数时，表示向上平移；当b为负数时，表示向下平移），得到一个新的图形，我们把这个过程记为[a，b]．例如，把图中的△ABC先向右平移3格，再向下平移5格得到△A1B1C1，可以把这个过程记为[3，﹣5]．若△A1B1C1经过[5，7]得到△A″B″C″．（1）在图中画出△A″B″C″；（2）写出△ABC经过平移得到△A″B″C″的过程；（3）若△ABC经过[m，n]得到△DEF，△DEF再经过[p，q]后得到△A″B″C″，则m与p、n与q分别满足的数量关系是，．6．已知，如图△ABC是等边三角形，将一块含30°角的直角三角板DEF如图放置，让△ABC 在BC所在的直线l上向左平移．当点B与点E重合时，点A恰好落在三角板的斜边DF 上的M点，点C在N点位置上（假定AB、AC与三角板斜边的交点为G、H）问：（1）在△ABC平移过程中，通过测量CH、CF的长度，猜想CH、CF满足的数量关系；（2）在△ABC平移过程中，通过测量BE、AH的长度，猜想BE、AH满足的数量关系；（3）证明（2）中你的猜想．（证明不得含有图中未标示的字母）7．如图，在三角形ABC中，AC＝BC，若将△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，得到△CEF，连接AE．（1）试猜想，AE与CF有何位置上的关系？并对你的猜想给予证明；（2）若BC＝10，tan∠ACB＝时，求AB的长．8．如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形沿着BD方向移动，设BB′＝x．（1）当x为多少时，才能使平移后的矩形与原矩形重叠部分的面积为24cm2？（2）依次连接A′A，AC，CC′，C′A′，四边形ACC′A′可能是菱形吗？若可能，求出x的值；若不可能，请说明理由．9．将边长为4的等边△ABC放置在边长为1的小正三角形组成的虚线网格中．（1）在图①中画出将等边△ABC向右平移3格后所得的△A1B1C1，则四边形ABB1A1是平行四边形吗试说说你的理由；（2）将等边△ABC向右平移n格后得到△A2B2C2，若四边形ABB2A2是菱形，则n的值是多少试在图②中画出平移后的图形，并计算此时菱形ABB2A2对角线BA2的长；（3）如图③，请你继续探索，将等边△ABC向右平移若干格后得到△A3B3C3，使AC与A3B3能互相平分．画出平移后的图形，再连接AB3、AA3、A3C，此时四边形AB3CA3是怎样的特殊四边形？说说你的理由．10．如图，已知△ABC，A（﹣2，3），B（﹣4，﹣1），C（1，0）．（1）P （x 0，y 0）是△ABC 内任一点，经平移后对应点为P 1（x 0+2，y 0+1），将△ABC 作同样的平移，得到△A 1B 1C 1， ①直接写出A 1、B 1、C 1的坐标．②若点E （a ﹣2，5﹣b ）是点F （2a ﹣3，2b ﹣5）通过平移变换得到的，求b ﹣a 的平方根．（2）若Q 为x 轴上一点，S △BCQ ＝S △ABC ，直接写出点Q 的坐标．11．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC 的顶点都在格点上（网格线的交点）．（1）请在如图所示的网格平面内建立适当的平面直角坐标系，使点A 坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（﹣5，2）；（画出直角坐标系）（2）点C 的坐标为（ ， ）（直接写出结果）（3）把△ABC 先向下平移6个单位后得到对应的△A 1B 1C 1，再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折至△A 2B 2C 2；①请在坐标系中画出△A 2B 2C 2；②若点P （m ，n ）是△ABC 边上任意一点，P 2是△A 2B 2C 2边上与P 对应的点，写出点P 2的坐标为（ ， ）；（直接写出结果）③试在y 轴上找一点Q ，使得点Q 到A 2，C 2两点的距离之和最小，此时，QA 2+QC 2的长度之和最小值为 ．（在图中画出点Q 的位置，并直接写出最小值答案）12．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1，点P、A、B、C、D、E、F是方格纸中的格点（即小正方形的顶点）．（1）在图①中，过点P画出AB的平行线PM和AB的垂线PN（其中M、N为格点）；（2）通过平移使图②中三条线段围成一个三角形（三个顶点均在格点上），请在图②中画出一个这样的三角形，并求出所画三角形的面积．13．已知，在平面直角坐标系中，线段AB，A（1，4），B（3，1），经过原点的直线l上有一点P（x，y），其中y＝++3．（1）求P点坐标；（2）平移线段AB至CD，其中A、B的对应点分别为C、D．①若点C，D恰好在y轴和直线l上，求D点坐标；②若点C在x轴上，且S＜6时，求点D的横坐标x D的取值范围．△CBD14．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），且＝+，点B的坐标为（1，2）（1）求点A的坐标．＝4．当1≤a≤4时，试探究a和b的数量关系．（2）若存在M（a，b），且S△ABM（3）已知P点的坐标为（5，0），若把线段AB左右或上下平移（上下和左右不可同时进行），恰有S＝10，直接写出平移方式．△ABP15．（1）如图1，已知MN∥PQ，B在MN上，D在PQ上，点E在两平行线之间，求证：∠BED ＝∠PDE+∠MBE；（2）如图2，已知MN∥PQ，B在MN上，C在PQ上，A在B的左侧，D在C的右侧，DE 平分∠ADC，BE平分∠ABC，直线DE、BE交于点E，∠CBN＝100°．①若∠ADQ＝130°，求∠BED的度数；②将线段AD沿DC方向平移，使得点D在点C的左侧，其他条件不变，如图3所示．若∠ADQ＝n°，则∠BED的度数是度（用关于n的代数式表示）．参考答案1．解：（1）①如图1，补全图形：②连接AD，如图1．在Rt△ABN中，∵∠B＝90°，AB＝2，BN＝，∴AN＝，∵线段AN平移得到线段DM，∴DM＝AN＝，由平移可得，AD＝NM＝，AD∥MC，∴△ADP∽△CMP．∴＝＝，∴DP＝DM＝；（2）如图2，连接NQ，由平移知：AN∥DM，且AN＝DM．∵MQ＝DP，∴PQ＝DM．∴AN∥PQ，且AN＝PQ．∴四边形ANQP是平行四边形．∴NQ∥AP．∴∠BQN＝∠BAC＝45°．又∵∠NBQ＝∠ABC＝90°，∴BN＝BQ．∵AN∥MQ，∴＝．又∵M是BC的中点，且AB＝BC＝2，∴．∴NB＝（负值已舍去）．∴ME＝BN＝．∴CE＝﹣1．2．解：（1）∵AB＝EG＝DC＝5，AD＝BC＝4，∴CE＝＝＝3，DE＝CD﹣CE＝5﹣3＝2，∵AB＝EG，∴∠BAE＝∠BEA，又∵∠BAE+∠EAD＝90°，∠AED+∠EAD＝90°，∴∠BAE＝∠AED在△EFG和△AED中，∠BAE＝∠AED，∠FBE＝∠ADE＝90°，∴△EFG∽△AED，那么，，∴FB（或FG）＝＝10，∴S△ABF ＝S△BEF﹣S△ABE＝BF•BE﹣AB•AD＝×10×5﹣×4×5＝15；（2）分两种情况：一是x平移距离小于4时，EF与AB相交于P，过P作PQ⊥EG于Q点，∵△EFG的直角边FG＝10，EG＝5，∴tanα＝＝＝，∵∠FGE＝90°，∴PQ∥FC，四边形PQGB是矩形，∴∠EPQ＝∠F，根据这个正切值，可求出相应的线段的数值，得出，FB＝FG﹣BG＝10﹣x，BP＝，PQ＝x，EQ＝，∴重叠部分y＝PB•BG+BG•EQ＝+x×＝﹣x2+5x，二是x平移距离大于4时，EF与AB相交于P，与CD相交于R，∴y＝PB•BC+PQ•RQ＝+×4×2＝24﹣2x，当重叠部分面积为10时，即y＝10分别代入两等式，﹣x2+5x＝10，解得：x＝10+2（不合题意舍去）或10﹣2，y＝24﹣2x＝10得出，x＝7，∴当0≤x≤4时，y＝﹣x2+5x，当4＜x≤10时，y＝﹣2x+24，∴当y＝10时，x＝7或x＝10﹣2；（3）解：当4≤y＜16时，平移的距离不等，两纸片重叠的面积可能相等，当0≤y＜4时，平移的距离不等，两纸片重叠部分的面积也不可能相等．3．解：（1）如图所示：画法：①延长OA至点E，使AE＝A′O；②延长OB′至点F，使B′F＝OB；③连接EF，则△OEF为所求的三角形．（2）∵长为2的三条线段AA′，BB′，CC′交于一点O，并且∠B′OA＝∠C′OB＝∠A′OC＝60°；∴△OEF为边长为2的等边三角形，∴S△OEF＝×2×＝，在EF上截取EQ＝CO，则QF＝C′O，∴可得△A′CO≌△QEA，△B′FQ≌△OBC′，如图所示：则S1+S2+S3＜S△EOF＝．故答案为：＜．4．解：（1）根据平移的性质，所得新矩形的面积为12×（20﹣1）＝228m2；（2）①∵点A运动至点C向上运动了4个单位，点P运动至点Q则向上运动了4个单位（3，4），又∵P点坐标为（3，0），∴Q点坐标为（3，4）．②原图形经过平移变化可以得到长为4，宽为3的矩形或长为4高为3的平行四边形APQC，其面积为3×4＝12．故答案为：228；（3，4）．5．解：（1）作图如右：（2）把图中的△ABC先向右平移3格，再向下平移5格得到△A1B1C1，把△A1B1C1先右平移5格，然后向上平移7格得到△A″B″C″，（3）根据平移的性质，“上加下减，左加右减”，可知m+p＝8，n+q＝2．6．解：（1）CH＝CF…（2分）（2）BE＝AH…（4分）（3）证明：连接AM，由平移的性质可知：AM＝BE，AM∥CN则∠AMF＝∠DFE＝30°∵△ABC等边三角形，∴∠ACB＝60°又∵∠ACB＝∠DFE+∠CHF＝60°∴∠CHF＝30°∵∠CHF＝∠AHM＝30°∴∠AMF＝∠AHM…（8分）∴AM＝AH∴BE＝AH…（10分）（注：其它方法也可求出，可相应给分）7．解：（1）AE⊥CF证明：如图，连接AF，∵AC＝BC，又∵△ABC沿BC方向向右平移BC长的距离，∴AC＝CE＝EF＝AF．∴四边形ACEF是菱形．∴AE⊥CF．（2）如图，作AD⊥BC于D．∵tan∠ACB＝，设AD＝3KDC＝4K，在Rt△ADC中，AC＝10，∵AD2+DC2＝AC2∴K＝2．∴AD＝6cm，DC＝8cm．∴BD＝2cm．在Rt△ADB中，根据勾股定理：AB＝2cm．8．解：（1）∵B′E∥AB，∴△DB′E∽△DBA．∴，∴B′E＝（10﹣x）．同理：B′F＝（10﹣x）．∴（10﹣x）•（10﹣x）＝24．解得x＝10±5．∵x＝10+5＞10，不符合题意，舍去，∴x＝10﹣5时，重叠部分的面积为24cm2．（2）四边形A′ACC′可能是菱形．∵矩形ABCD沿BD平移后矩形A′B′C′D′，∴AA′∥CC′，且AA′＝CC′．∴四边形A′ACC′是平行四边形．∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，∴四边形ABB′A′是平行四边形．∴BB′＝AA′．∴当BB′＝10时，AA′＝AC＝10，此时四边形A′ACC′是菱形．9．解：（1）如图①（1分）ABB1A1是平行四边形．（2分）理由如下：∵△A1B1C1是△ABC经平移后得，∴A 1B 1∥AB 且A 1B 1＝AB ， ∴ABB 1A 1是平行四边形．（3分）（2）如图②，向右平移4格后ABB 2A 2是菱形．（4分） 连接BA 2交AC 于O 点， ∵ABB 2A 2是菱形，∴AB 2⊥BA 2且AO ＝B 2O ＝AC ＝2BO ＝A 2O ， 在Rt △BOB 2中：B 2O 2+BO 2＝BB 22 ∴BO 2＝42﹣22 ∴BO ＝2，∴对角线BA 2＝2BO ＝4．（6分）（3）如图③，向右平移2格时，AC 与A 3B 3能互相平分，此时四边形AB 3CA 3是矩形．（6分） 理由如下：∵BB 3＝B 3C ＝BC ＝2， ∴AB 3是等边△ABC 的中线． ∴AB 3⊥B 3C ． ∴∠AB 3C ＝90°．又∵AA 3∥B 3C 且AA 3＝B 3C ＝2， ∴AB 3CA 3是平行四边形． ∴AB 3CA 3是矩形．（9分）10．解：（1）①△A 1B 1C 1如图所示，A 1（0，4），B 1（﹣2，0）．C 1（3，1）． ②由题意：a ﹣2＝2a ﹣3+2，5﹣b ＝2b ﹣5+1， 解得a ＝1，b ＝3， ∴b ﹣a ＝2，2的平方根为±．（2）设Q （m ，0），由题意：•|m ﹣1|×1＝×（20﹣×2×4﹣×1×5﹣×3×3）， 解得m ＝﹣或，∴Q （﹣，0）或（，0）．11．解：（1）∵点A 坐标为（﹣1，2），点B 的坐标为（﹣5，2），如图所示：即为所画出的直角坐标系； （2）根据坐标系可知： 点C 的坐标为（﹣2，5）， 故答案为：﹣2，5；（3）把△ABC 先向下平移6个单位后得到对应的△A 1B 1C 1， 再将△A 1B 1C 1沿y 轴翻折至△A 2B 2C 2； ①如图即为坐标系中画出的△A 2B 2C 2；②点P （m ，n ）是△ABC 边上任意一点，P 2是△A 2B 2C 2边上与P 对应的点，∴点P 2的坐标为（﹣m ，n ﹣6）， 故答案为：﹣m ，n ﹣6； ③根据对称性可知：在y 轴上找一点Q ，使得点Q 到A 2，C 2两点的距离之和最小， ∴连接A 2C 1交y 轴于点Q ，此时QA 2+QC 2的长度之和最小， 即为A 2C 1的长，A 2C 1＝3，∴QA 2+QC 2的长度之和最小值为3．故答案为：3．12．解：（1）如图①，点M 、N 为所作；（2）如图②，△ABG 为所作，S △ABG ＝3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×2×3＝4．13．解：（1）∵y ＝++3，∴，∴x ＝﹣1， ∴y ＝3，∴P 点坐标为（﹣1，3）；（2）①A 移动到C ，∴设C （0，a ），则B 移动到D 时，D （2，a ﹣3）， 如图1，过P ，D 分别作y 轴和x 轴的平行线，两线交于M ，设DM 交y 轴于N ；∵△PMD面积＝梯形PMNO面积+△OND面积，∴×3×（6﹣a）＝（6﹣a+3﹣a）+×2×（3﹣a），∴a＝﹣3，∴D（2，﹣6）；②如图a中，设C（a，0），则D（2+a，﹣3），连接BC，BD，分别过B、C作平行于y 轴的直线交过D且平行于x轴的直线于M，N，∵△CBD面积＝梯形CMNB面积﹣△CMD面积﹣△BDN面积＜6，∴（3+4）（3﹣a）﹣×3×2﹣×4（1﹣a）＜6，∴a＞如图b中，设C（a，0），则D（2+a，﹣3），BC，BD，过B作BM⊥x轴于M，过D作DN ⊥BM交BM的延长线于N，∵△CBD面积＝△CMB面积+梯形MNBC面积﹣△BDN面积＜6，∴（a﹣3）×1+×3（a﹣3+a+2﹣3）﹣×4（a+2﹣3）＜6，∴a＜∴＜a＜，即+2＜x D＜+2，∴＜x D＜．14．解：（1）∵＝+，∴，∴n＝3，∴＝0，∴m＝4，∴A（4，3）；（2）如图1，∵A（4，3）．B（1，2），M（a，b），∴S＝（4﹣1）（b﹣2）﹣（a﹣1）（b﹣2）﹣×（4﹣a）（b﹣3）﹣（4﹣1）△ABM（3﹣2）＝4，＝（4﹣1）（3﹣b）﹣（a﹣1）（2﹣b）﹣（4﹣a）（3﹣b）﹣（4或S△ABM﹣1）（3﹣2）＝4，解得：或；（3）设把线段AB左右|a|个单位长度，则A′（4±a，3），B（1±a，2），∵P点的坐标为（5，0），＝3×（4+a﹣1﹣|a|）﹣（4+|a|﹣5）×3﹣（5﹣1﹣|a|）×2﹣∴S△A′B′P＝10，解得：|a|＝﹣（不合题意，舍去），故不能左右平移，把线段AB上下|b|个单位长度，则A′（4，3+|b|），B（1，2+|b|），∵P点的坐标为（5，0），∴S＝4×（3+|b|）﹣（4﹣1）×（3﹣2）﹣（5﹣1）×（2+|b|）﹣△A′B′P（5﹣4）（3+|b|）＝10，解得：向下平移或向上平移10，15．解：（1）如图1中，作EH∥PQ．∵EH∥PQ，PQ∥MN，∴EH∥MN，∴∠PDE＝∠DEH，∠MBE＝∠BEH，∴∠DEB＝∠DEH+∠BEH＝∠PDE+∠MBE．（2）①如图2中，∵∠CBN＝100°，∴∠MBC＝80°，∵BE平分∠MBC，∴∠MBE＝∠MBC＝40°，∵∠ADQ＝130°，∴∠PDA＝50°，∵ED平分∠PDA，∴∠PDE＝∠PDA＝25°，∴∠BED＝∠PDE+∠MBE＝25°+40°＝65°．②如图3中，∵∠ADQ＝n°，ED平分∠ADC，∴∠CDE＝∠ADQ＝n°，∴∠PDE＝180°﹣n°，∵∠ABE＝40°，∴∠BED＝∠PDE+∠ABE＝180°﹣n°+40°＝220°﹣n°．故答案为220°﹣n°．。
2020年浙江省中考数学第三次模拟考试试卷附解析
2020年浙江省中考数学第三次模拟考试试卷学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．下列语句中，属于命题的是（ ） A ．任何一元二次方程都有实数解 B ．作直线AB 的平行线 C ．1与2相等吗D ．若229a =，求a 的值 2．用直接开平方法解方程2(3)8x -=，得方程的根为（ ） A ．322x =+B ．322x =-C ．1323x =+，2323x =-D ．1322x =+，2322x =-3．若|1|1||x x -=+，则2(1)x -等于（ ） A ． 1x -B ．1x -C ．1D ．814．一个物体由多个完全相同的小立方体组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小立方体的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．55．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明∠A′O′B′＝∠AOB 的依据是（ ） A ．SSS B ．SAS C ．ASA D ．AAS 6．如图中的物体的形状属于（ ）A ． 棱柱B ．圆柱C ．圆锥D ．球体二、填空题7．一只蚂蚁在如图所示的七巧板上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性相同，则它停在 5 号板上的概率为 ．8．如图，△ABC 中，AD是 BC 上中线，M 是AD 的中点，BM 延长线交AC 于 N，则AN= ．NC9．已知函数①21y x x=-，函数 (填序号)有最小值，当x 时，该函数最2+5=-；②2y x小值是．10．一批款式、型号均相同的胆装单价在 100元/件至 150 元/件之间，小李拿了 900 元钱去买，可买件这样的服装．11．已知矩形的对角线长为4cm，一条边长为2cm，则面积为 .12．已知□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，且AE＝2，DE＝1，则□ABCD的周长等于______．13．在□ABCD中，∠A比∠B大20°，则∠C为度.14．已知一个样本1，3，2，5，x，其平均数是3，则x= ．15．已知△ABC的三边长分别是8 cm，10 cm ，6 cm，则△ABC的面积是 cm2．16．如图，AD=AE，DB=EC，则图中一共有对全等三角形．17．如图所示，是用笔尖扎重叠的纸得到的关于直线l成轴对称的两个图形，连结CE交l于0，则⊥，且 = ，AB的对应线段是，EF的对应线段是，∠DC0的对应角是．18．已知∠A=40°，则∠A 的余角是 .19．当m= ，n= 时，32m x y与3xy-是同类项.3n20．如图，校园内有一块梯形草坪ABCD，草坪边缘本有道路通过甲、乙、丙路口，可是有少数同学为了走捷径，在草坪内走了一条直“路”EF，假设走1步路的跨度为0.5米，结果他们仅仅为了少走________步路，就踩伤了绿化我们校园的小草（“路”宽忽略不计）．三、解答题A BCD21．如图所示的相似四边形中，求未知边 x 、y 的长度和角度α的大小.22．某1电影院有 1000 个座位，门票每张 3元，可达客满，根据市场统计，若每张门票提 高x 元，将有 200x 张门票.不能售出.(1)求提价后每场电影的票房收入 y(元)与票价提高量 x(元)之间的函数关系式及自变量x 的取值范围；(2)为增加收入，电影院应做怎样的决策(提价还是降价？若提价，提价多少为宜？)23．已知：如图，在□ABCD 中，对角线AC 平分∠DAB.求证：AB ＝BC.24．如图，已知□ABCD ．(1)写出□ABCD 四个顶点的坐标；(2)画出□A 1B 1C 1D 1，使□A 1B 1C 1D 1与□ABCD 关于y 轴对称，并写出 □A 1B 1C 1D 1四个顶点的坐标；(3)画出□A2B2C2D2，使□A2B2C2D2与□ABCD关于原点中心对称，并写出□A2B2C2D2的四个顶点的坐标；(4)□A1B1C1D1与□A2B2C2D2是对称图形吗?若是，请在图上画出对称轴或对称中心．25．若不等式2123x ax b-<⎧⎨->⎩的解集为11x-<<，求(1)(1)a b+-的值．26．第一组数据8，8，8，第二组数据8，9，9，10，第三组数据l5，20，25．(1)每一组数据的平均数分别是多少?(2)如果将这三组数组成一组新数，新数的平均数是多少?中位数与众数是多少?27．某校要从甲、乙两名跳远运动员中挑选一人参加全市比赛，在最近的l0次选拔赛中，他们的成绩(单位：cm)如下：甲：585，596，610，598, 612, 597，604，600，613，601；乙：613，618，580，574，618，593，585，590，598，604．(1)他们的平均成绩分别是多少?(2)甲、乙两人这l0次比赛成绩的方差分别是多少?(3)这两名运动员的运动成绩各有什么特点?(4)历届比赛表明，成绩达到5．96 m就很可能冠军，你认为为了夺冠应选谁参加这项比赛?如果历届比赛成绩表明，成绩达到6．10 m就能打破记录，那么你认为为了打破记录应选谁参加这项比赛?28．已知，如图，点B，F，C，E在同一直线上，AC，DF相交于点G，AB⊥BE，垂足为B，DE⊥BE，垂足为E，且AB=DE，BF=CE．试说明：(1)△ABC≌△DEF；(2)GF=GC．EDCBA29．已知：如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，︒=∠=∠90DCE ACB ，D 为AB 边上一点.求证：（1）△ACE ≌△BCD ； （2）222DE AE AD =+.30．现在各学校都采用政府统一采购行为，教育局对各个学校的校服征订也采用了统一征订的办法．在教育局的样品室里摆放着12个样品，有l2种不同的价位，分别为50，60，70，80，90，100，110，120，130，140，150，160元．现要对全校1500名学生统一征订校服，由于价格相差甚远，学校于是采取征求家长意见，制作了一张调查表，对家长的意见进行调查，请问，你该怎样设计这张调查表格(要求家长用打“√”的形式来表达)．【参考答案】学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上一、选择题1．A2．D3．B4．C5．A6．A二、填空题7．18．819．2①，一 110．6~911．212．1013．10014．415．2416．417．l ，CE ，OC ，O)E ，GH ．CD ，∠FE018．50°19．1，120．4三、解答题 21．由于两个四边形相似，它们的对应边成比例，对应角相等， 所以18467y x==,解得 x=31.5，y=27. α= 360°- (77°+83°+ 117°) =83°.22．(1)y=(3+x)(1000-200x)，化简得22004003000y x x =-++， x 的取值范围是 0≤x ≤5．(2)22004003000y x x =-++2200(-2)3000x x =-+2200(1)3200x =--+ ∴当 x=1 时，票房收入最大.即提价 1 元为宜.23．提示：∠DAC ＝∠BAC ＝∠BCA ．24．(1)A(-1，3)，B(-3，2)，C(-2，1)，D(0，2)； (2)A l (1，3)，B l (3，2)，C l (2，1)，D l (0，2)； (3)A 2(1，-3)，B 2(3，-2)，C 2(2，-l)，D 2(0，-2) (4)关于x 轴对称25．-626．(1)第一组：8，第二组：9，第三组：20 (2)平均数为12，中位数为9，众数为827．(1)601.6x =甲cm ，597.3x =乙cm ；(2)265S =甲.84cm 2，2221.41S =乙cm 2 ；(3)略； (4)为了夺冠，应选甲参赛，为了打破纪录，应选乙参赛28．(1)略 (2)∵△ABC ≌△DEF ，∴∠DFC=∠ACF29．证明：（1） ∵ DCE ACB ∠=∠ ∴ ACE ACD BCD ACD ∠+∠=∠+∠ 即 ACE BCD ∠=∠ ∵ EC DC AC BC ==, ∴ △BCD ≌△ACE (2）∵ BC AC ACB =︒=∠,90， ∴ ︒=∠=∠45BAC B ∵ △BCD ≌△ACE ∴ ︒=∠=∠45CAE B∴ ︒=︒+︒=∠+∠=∠904545BAC CAE DAE ∴ 222DE AE AD =+30．。
2020年九年级数学中考三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数综合》(解析版)
三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数综合》1．如图1，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象过A（5，0）和B（0，）两点，射线CE绕点C（0，5）旋转，交抛物线于D，E两点，连接AC．（1）求二次函数y＝﹣x2+bx+c的表达式；（2）连接OE，AE，当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，求点E的坐标和△ACE的面积；（3）如图2，射线CE旋转时，取DE的中点F，以DF为边作正方形DFMN．当点E和点A 重合时，正方形DFMN的顶点M恰好落在x轴上．①求点M的坐标；②当点E和点A重合时，将正方形DFMN沿射线CE方向以每秒个单位长度平移．设运动时间为t秒．直接写出正方形DFMN落在x轴下方的面积S与时间t（0≤t≤4）的函数表达式．2．如图，抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t+2，直线l：x＝2t与抛物线、x轴分别相交于Q、P．（1）t＝1时，Q点的坐标为；（2）当P、Q两点重合时，求t的值；（3）当Q点达到最高时，求抛物线解析式；（4）在抛物线L与x轴所围成的封闭图形的边界上，我们把横坐标是整数的点称为“可点”，直接写出1≤t≤2时“可点”的个数为．3．定义：把函数C1：y＝ax2﹣6ax+5a（a≠0）的图象绕点P（m，0）旋转180°，得到新函数C2的图象，我们称C2是C1关于点P的相关函数．C2的图象的对称轴为直线x＝h．例如：当m＝1时，函数y＝（x+1）2+5关于点P（1，0）的相关函数为y＝﹣（x﹣3）2﹣5．（1）填空：h的值为（用含m的代数式表示）；（2）若a＝1，m＝1，当t﹣1≤x≤t时，函数C2的最大值为y1，最小值为y2，且y1﹣y2＝3，求t的值；（3）当m＝2时，C2的图象与x轴相交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴相交于点D．把线段BD绕原点O顺时针旋转90°，得到它的对应线段B′D′．若线段B′D′与C2的图象有公共点，结合函数图象，求a的取值范围．4．如图，已知抛物线y＝mx2﹣8mx﹣9m与x轴交于A，B两点，且与y轴交于点C（0，﹣3），过A，B，C三点作⊙O′，连接AC，BC．（1）求⊙O′的圆心O′的坐标；（2）点E是AC延长线上的一点，∠BCE的平分线CD交⊙O′于点D，求点D的坐标，并直接写出直线BC和直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得∠PDB＝∠CBD，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．5．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（4，0），点C坐标为（0，4），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA＝2∠BDE时，求点F的坐标；（3）若点P是x轴上方抛物线上的动点，以PB为边作正方形PBGH，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随着改变，当顶点G或H恰好落在y轴上时，请直接写出点P的横坐标．6．已知点P 为抛物线y ＝x 2上一动点，以P 为顶点，且经过原点O 的抛物线，记作“y p ”，设其与x 轴另一交点为A ，点P 的横坐标为m ．（1）①当△OPA 为直角三角形时，m ＝ ；②当△OPA 为等边三角形时，求此时“y p ”的解析式；（2）若P 点的横坐标分别为1，2，3，…n （n 为正整数）时，抛物线“y p ”分别记作“”、“”…，“”，设其与x 轴另外一交点分别为A 1，A 2，A 3，…A n ，过P 1，P 2，P 3，…P n 作x 轴的垂线，垂足分别为H 1，H 2，H 3，…H n ．1）①P n 的坐标为 ；OA n ＝ ；（用含n 的代数式来表示）②当P n H n ﹣OA n ＝16时，求n 的值．2）是否存在这样的A n ，使得∠OP 4A n ＝90°，若存在，求n 的值；若不存在，请说明理由．7．如图，二次函数y ＝﹣x 2+2（m ﹣2）x +3的图象与x 、y 轴交于A 、B 、C 三点，其中A （3，0），抛物线的顶点为D ．（1）求m 的值及顶点D 的坐标；（2）如图1，若动点P 在第一象限内的抛物线上，动点N 在对称轴1上，当PA ⊥NA ，且PA ＝NA 时，求此时点P 的坐标；（3）如图2，若点Q 是二次函数图象上对称轴右侧一点，设点Q 到直线BC 的距离为d ，到抛物线的对称轴的距离为d 1，当|d ﹣d 1|＝2时，请求出点Q 的坐标．8．如图，抛物线y ＝x 2﹣ax +a ﹣1与x 轴交于A ，B 两点（点B 在正半轴上），与y 轴交于点C ，OA ＝3OB ．点P 在CA 的延长线上，点Q 在第二象限抛物线上，S △PBQ ＝S △ABQ ．（1）求抛物线的解析式．（2）求直线BQ 的解析式．（3）若∠PAQ ＝∠APB ，求点P 的坐标．9．如图，直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另外一个交点为C．（1）填空：b＝，c＝，点C的坐标为；（2）如图1，若点P是第一象限抛物线上一动点，连接OP交直线AB于点Q，设点P的横坐标为m，设＝y，求y与m的函数关系式，并求出的最大值；（3）如图2，若点P是抛物线上一动点，当∠PBA+∠CBO＝45°时，求点P的坐标．10．如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点D（2，4），与x 轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，4），连接AC，CD，BC，其且AC＝5．（1）求抛物线的解析式；（2）如图②，点P是抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线l，l分别交x轴于点E，交直线AC于点M．设点P的横坐标为m．当0＜m≤2时，过点M作MG∥BC，MG交x轴于点G，连接GC，则m为何值时，△GMC的面积取得最大值，并求出这个最大值；（3）当﹣1＜m≤2时，是否存在实数m，使得以P，C，M为顶点的三角形和△AEM相似？若存在，求出相应m的值；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线y＝x2﹣（a+1）x+a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y 轴的负半轴交于点C．（1）求点B的坐标．（2）若△ABC的面积为6．①求这条抛物线相应的函数解析式；②在拋物线上是否存在一点P，使得∠POB＝∠CBO？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图，抛物线y＝ax2+c（a≠0）与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点（点C在x轴正半轴上），△ABC为等腰直角三角形，且面积为4．现将抛物线沿BA方向平移，平移后的抛物线经过点C时，与x轴的另一交点为E，其顶点为F，对称轴与x轴的交点为H．（1）求a、c的值；（2）连接OF，求△OEF的周长；（3）现将一足够大的三角板的直角顶点Q放在射线HF上，一直角边始终过点E，另一直角边与y轴相交于点P，是否存在这样的点Q，使得以点P、Q、E为顶点的三角形与△POE 全等？若存在，请直接写出Q点坐标；若不存在，请说明理由．13．如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），与x轴的交点为A（﹣2，0），B．（1）求抛物线的解析式；（2）M为x轴上方抛物线上的一点，MB与抛物线的对称轴交于点C，若∠COB＝2∠CBO，求点M的坐标；（3）如图2，将原抛物线沿对称轴平移后得到新抛物线为y＝ax2+bx+h，E，F新抛物线在第一象限内互不重合的两点，EG⊥x轴，FH⊥x轴，垂足分别为G，H，若始终存在这样的点E，F，满足△GEO≌△HOF，求h的取值范围．14．如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣2与x轴交于两个不同的点A（﹣1，0）、B（4，0），与y 轴交于点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，连接BC，作垂直于x轴的直线x＝m，与抛物线交于点D，与线段BC交于点E，连接BD和CD，求当△BCD面积的最大值时，线段ED的值；（3）在（2）中△BCD面积最大的条件下，如图3，直线x＝m上是否存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆？若存在，求出圆心Q的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，与y 轴交于点B．（1）求这条抛物线的顶点坐标；（2）已知AD＝AB（点D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t（s）的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值；（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．16．如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣4与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝x2+bx+c经过A，B两点，与x轴的另一交点为点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）点M为直线AB下方抛物线上一动点．①如图2所示，直线CM交线段AB于点N，求的最小值；②如图3所示，连接BM过点M作MD⊥AB于D，是否存在点M，使得△BMD中的某个角恰好等于∠CAB的2倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+2与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣+bx+c的对称轴是直线x＝与x轴的交点为点A，且经过点B、C两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点M为抛物线对称轴上一动点，当|BM﹣CM|的值最小时，请你求出点M的坐标；（3）抛物线上是否存在点N，过点N作NH⊥x轴于点H，使得以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．18．如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象，经过点A（1，0），B（3，0），C（0，3）三点，过点C，D（﹣3，0）的直线与抛物线的另一交点为E．（1）请你直接写出：①抛物线的解析式；②直线CD的解析式；③点E的坐标（，）；（2）如图1，若点P是x轴上一动点，连接PC，PE，则当点P位于何处时，可使得∠CPE ＝45°，请你求出此时点P的坐标；（3）如图2，若点Q是抛物线上一动点，作QH⊥x轴于H，连接QA，QB，当QB平分∠AQH 时，请你直接写出此时点Q的坐标．19．在平面直角坐标系中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣3m与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC，将△OBC沿BC所在的直线翻折，得到△DBC，连接OD．（1）点A的坐标为，点B的坐标为．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设△OBD的面积为S1，△OAC的面积为S2，若S1＝S2，求m的值．20．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），C（0，2），对称轴为直线x＝．（1）求该抛物线和直线BC的解析式；（2）点G是直线BC上方抛物线上的动点，设G点的横坐标为m，试用含m的代数式表示△GBC的面积，并求出△GBC面积的最大值；（3）设R点是直线x＝1上一动点，M为抛物线上的点，是否存在点M，使以点B、C、R、M为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出符合条件的所有点M坐标，不存在说明理由．参考答案1．解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得：，解得，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+①；（2）当△CEO是以CO为底的等腰三角形时，则OC的中点（0，）的纵坐标和点E的纵坐标相同，而点B（0，），即点E、B关于抛物线对称轴对称，∵抛物线的对称轴为直线x＝2，故点E的坐标为（4，）；△ACE的面积S＝S△COE +S△OAE﹣S△AOC＝OC•|x E|+OA•|y E|﹣×AO×CO＝5×4+×5×﹣×5×5＝；（3）①∵OA＝OC＝5，∴∠CAO＝45°，∵对角线DM与AC的夹角为45°，∴∠DMA＝90°，即DM⊥x轴，即点D、M的横坐标相同，由A、C的坐标得：直线AC的表达式为：y＝﹣x+5②，联立①②并解得：x＝1或5（舍去5），故x＝1，故点D（1，4），∴点M的坐标为（1，0）；②设正方形MFDN平移后为M′F′D′N′，如图1，2所示；由A 、D 的坐标得，DA ＝＝4，∵点F 是AD 的中点，故DF ＝2，即正方形MFDN 的边长为2，∴正方形MFDN 的面积为S 1＝（2）2＝8；（Ⅰ）当0≤t ≤2时，如图1所示，设M ′F ′交x 轴于点H ， ∵t 秒时，正方形平移的距离为t ，∴MM ′＝t ＝M ′H ，∴S ＝S △M ′MH ＝MM ′•M ′H ＝（t ）2＝t 2；（Ⅱ）当2＜t ≤4时，如图2所示，设N ′D ′交x 轴于点H ， ∵t 秒时，正方形平移的距离为t ，则DD ′＝t ，∴AD ′＝AD ﹣DD ′＝4﹣t ＝HD ′，∴S ＝S 1﹣S △AD ′H ＝8﹣×AD ′×HD ′＝8﹣×（4﹣t ）＝﹣t 2+8t ﹣8，综上，S ＝．2．解：（1）当t ＝1时，x ＝2t ＝2， 当x ＝2时，y ＝﹣（2﹣1）2+1+2＝2， 故点Q 的坐标为（2，2）， 故答案为（2，2）；（2）点P 、Q 的坐标分别为：（2t ，0）、（2t ，﹣t 2+t +2）， 当P 、Q 两点重合时，﹣t 2+t +2＝0，解得：t ＝﹣1或2；（3）当Q 点达到最高时，点Q （t ，t +2），由（2）知函数的对称轴为x＝（2﹣1）＝，故点Q（，），故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣）2+；（4）①当t＝1时，如图1，抛物线表达式为：y＝﹣（x﹣1）2+3，令y＝0，则x＝1，“可点”的个数如图黑点所示，有6个；②当t＝2时，抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+4，令y＝0，则x＝0或4，“可点”的个数如图黑点所示，有8个；②当1＜t＜2时，点Q的坐标为（t，2+t），即抛物线在y＝x+2上运动，2AB＜4，当L过点（3，0）时，“可点”的个数如图黑点所示，有7个．故“可点”的个数为6或7或8个，故答案为：6或7或8．3．解：（1）y＝ax2﹣6ax+5a，令y＝0，则x＝5或1，函数对称轴为直线x＝3，由中点公式得：h+3＝2m，故h＝2m﹣3，故答案为：2m﹣3；（2）a＝1，C1：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，顶点为（3，﹣4），m＝1时，C2的顶点为（﹣1，4），C2：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3，①当t≤﹣1时，y随x的增大而增大，y 1﹣y2＝﹣t2﹣2t+3﹣[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]＝3，解得：t＝﹣2；②当t﹣1＜﹣1＜t时，即﹣1＜t＜0时，分两种情况：（Ⅰ）当﹣1﹣（t﹣1）≥t﹣（﹣1）时，即﹣1＜t≤﹣时，y 1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣t2＝3，解得：t＝（舍去）（Ⅱ）当﹣1﹣（t﹣1）＜t﹣（﹣1）时，即﹣＜t＜0时，y 1﹣y2＝3＝4﹣（t2﹣2t+3）＝t2+2t+1，解得：t＝﹣1（舍去）；③当t﹣1≥﹣1时，即t≥0时，y随x的增大而减小，y 1﹣y2＝[﹣（t﹣1）2﹣2（t﹣1）+3]﹣[﹣t2﹣2t+3]＝3，解得：t＝1；综上，t＝﹣2或t＝1；（3）当m＝2时，C：y＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a，1的表达式为：y＝﹣a（x﹣1）2+4a，∴C2当y＝0时，x＝﹣1或3，当x＝0时，y＝3a，∴点A、B、D的坐标分别为：（3，0）、（﹣1，0）、（0，3a）；∵线段BD绕原点O顺时针旋转90°，∴点B′的坐标为（3，0），点D′的坐标为（3a，0）．①当a＞0时，分两种情况：（Ⅰ）当点D′在点A的右侧（含点A）时，线段B′D′与C的图象有公共点，如图1，2∴3a≥3，解得a≥1；（Ⅱ）当点D′在点A的左侧，且点D在点B′的下方（含点B′）时，线段B′D′与C2的图象有公共点，如图2，∴3a≤1，∴0＜a≤；的图象有公共点，如②当a＜0时，点D′在点B的左侧（含点B）时，线段B′D′与C2图3，∴3a≤﹣1，解得：a≤；综上，a≤﹣或0＜a≤或a≥1；4．解：（1）y＝mx2﹣8mx﹣9m，令y＝0，解得：x＝﹣1或9，故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（9，0），∵过A，B，C三点作⊙O′，故O′为AB的中点，∴点O′的坐标为（4，0）；（2）∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∵∠BCE的平分线为CD，∴∠BCD＝45°，∴∠O′DB＝90°，即O′D⊥AB，圆的半径为AB＝5，故点D的坐标为（4，﹣5），设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，同理可得直线BD的表达式为：y＝x﹣9；（3）由点A、B、C的坐标得，抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣3①，①当点P（P′）在直线BD下方时，∵∠PDB＝∠CBD，∴DP′∥BC，则设直线DP′的表达式为：y＝x+t，将点D的坐标代入上式并解得：t＝﹣，故直线DP′的表达式为：y＝x﹣②，联立①②并解得：x＝（舍去负值），故点P的坐标为（，）；②当点P在BD的上方时，由BD的表达式知，直线BD的倾斜角为45°，以BD为对角线作正方形DMBN，边MB交直线DP′于点H′，直线DP交NB边于点H，对于直线DP′：y＝x﹣，当x＝9时，y＝﹣，即BH′＝，根据点的对称性知：BH＝BH′＝，故点H（，0），由点D、H的坐标得，直线DH的表达式为：y＝3x﹣17③，联立①③并解得：x＝3或14（舍去3），故点P的坐标为（14，25）；故点P的坐标为：（，）或（14，25）．5．解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，解得：，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+；（2）如图1，在线段DE上取点M，使MD＝MB，此时∠EMB＝2∠BDE，设ME＝a，在Rt△BME中，ME2+BE2＝BM2，即a2+32＝（﹣a）2，解得：a＝，∴tan∠EMB＝＝，过点F作FN⊥x轴于点N，设点F（m，﹣m2+m+4），则FN＝|﹣m2+m+4|，∵∠FBA＝2∠BDE，∴∠FBA＝∠EMB，∴tan∠FBA＝tan∠EMB＝，∵点B（4，0）、点E（1，0），∴BE＝3，BN＝4﹣m，∴tan∠FBA＝，解得：m＝4（舍去）或﹣或，故点F（﹣，﹣）或（，）；（3）①当点P在对称轴右侧时，（Ⅰ）当点H在y轴上时，如图2，∵∠MPB+∠CPH＝90°，∠CPH+∠CHP＝90°，∴∠CHP＝∠MPB，∵∠BMP＝∠PNH＝90°，PH＝BP，∴△BMP≌△PNH（AAS），∴MB＝PC，设点P（x，y），则x＝y＝﹣x2+x+4，解得：x＝（舍去负值），故点P的横坐标为；（Ⅱ）当点G在y轴上时，如图3，过点P作PR⊥x轴于点R，同理可得：△PRB≌△BOG（AAS），∴PR＝OB＝4，即y P＝4＝﹣x2+x+4，解得：x＝2；②当点P在对称轴左侧时，同理可得：点P的横坐标为0或2﹣；综上，点P的横坐标为或2或0或2﹣．6．解：（1）①当△OPA为直角三角形时，∵PO＝PA，故△OPA为以点P为顶点的等腰直角三角形，∴点P的横坐标和纵坐标相同，故点P（m，m），将点P的坐标代入y＝x2得：m＝m2，解得：m＝0或2（舍去0），故答案为2；②当△OPA为等边三角形时，同理可得点P（m，m），将点P的坐标代入抛物线表达式并解得：m＝2，故点P的坐标为（2，6），故“y p”的解析式为：y＝a（x﹣2）2+6，点A的坐标为（2m，0），即（4，0），将点A的坐标代入y＝a（x﹣2）2+6并解得：a＝﹣，故“y p”的解析式为：y＝﹣（x﹣2）2+6＝﹣x2+2x；（2）1）①由题意得：P n 的横坐标为n ，则其坐标为（n ，n 2），则A n ＝2n ， 故答案为：（n ，n 2）；2n ；②由题意得：P n H n ﹣OA n ＝n 2﹣2n ＝16，解得：n ＝8或﹣4（舍去﹣4），∴n ＝8；2）存在，理由：如下图所示，由1）知，点P 4的坐标为（4，8），A n ＝2n ，即OH 4＝4，P 4H 4＝8，H 4A n ＝2n ﹣4，∵∠OP 4A n ＝90°，∴∠OP 4H 4+∠H 4P 4A n ＝90°，∵∠H 4P 4A n +∠P 4A n H 4＝90°，∴∠OP 4H 4＝∠P 4A n H 4，∴Rt △OP 4H 4∽Rt △P 4A n H 4，∴P 4H 42＝OH 4•H 4A n ，即82＝4×（2n ﹣4），解得：n ＝10．7．解：（1）将点A 的坐标代入函数表达式得：0＝﹣32+2（m ﹣2）×3+3， 解得：m ＝3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x +3，故点D 的坐标为：（1，4）；（2）过点A 作y 轴的平行线交过点N 与x 轴的平行线于点M ，交过点P 与x 轴的平行线于点H ，∵∠NAM+∠PAH＝90°，∠NAM+∠ANM＝90°，∴∠PAH＝∠ANM，∵∠NMA＝∠AHP＝90°，AP＝NA，∴△NMA≌△AHP（AAS），∴AN＝MN＝3﹣1＝2，即y P＝2＝﹣x2+2x+3，解得：x＝1（舍去负值），故点P（1，2）；（3）设直线BC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，由点B、C的表达式为：y＝3x+3，如图2，过点Q作y轴的平行线交BC于点M，交x轴于点N，则MN∥y轴，∴∠BCO＝∠M，而tan∠BCO＝＝，则sin∠BCO＝＝sin M，过点Q作QH⊥BM，设点Q（t，﹣t2+2t+3），则点M（t，3t+3），则d＝DH＝MQ sin M＝[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]，d1＝t﹣1，∵|d﹣d1|＝2，即[（3t+3）﹣（﹣t2+2t+3）]﹣（t﹣1）＝±2，解得：t＝或﹣1（舍去﹣1），故点Q的坐标为：（，2﹣7）．8．解：（1）令y＝x2﹣ax+a﹣1＝0，解得：x＝a﹣1或1，故点A、B的坐标分别为：（a﹣1，0）、（1，0），∵OA＝3OB，故1﹣a＝3，解得：a＝﹣2，故抛物线的表达式为：y＝x2+2x﹣3；（2）对于y＝x2+2x﹣3，令x＝0，则y＝﹣3，故点C（0，﹣3），∵S△PBQ ＝S△ABQ，∴△PBQ和△ABQ底边BQ边上的高相等，故直线PC∥BQ，设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则，解得：，故直线AC的表达式为：y＝﹣x﹣3，则设直线BQ的表达式为：y＝﹣x+b，将点B的坐标代入上式并解得：b＝1，故直线BQ的表达式为：y＝﹣x+1；（3）设直线PB交AQ于点D，由直线BQ的表达式知∠ABQ＝45°，由（2）知PC∥BQ，∴∠QAP＝∠AQB，∠BPA＝∠QBP，而∠PAQ＝∠APB，∴∠AQB＝∠PBQ，∴DB＝DQ，∵∠PAQ＝∠APB，∴DP＝DA，∴PA＝AQ，而BQ＝BQ，∴△PBQ≌△AQB（SAS），∴∠PQB＝∠ABQ＝45°，∴PQ∥y轴，联立直线PQ和抛物线的表达式，得，解得或，即x＝1或﹣4（舍去1），故点Q的横坐标为﹣4，即为点P的横坐标，而点P在直线AC：y＝﹣x﹣3，故点P（﹣4，1）．9．解：（1）∵直线y＝﹣x+4与x轴交于点A，与y轴交于点B．∴A（4，0），B（0，4）．又∵抛物线过B（0，4），∴c＝4．把A（4，0）代入y＝﹣x2+bx+4得，0＝﹣×42+4b+4，解得，b＝1．∴抛物线解析式为，y＝﹣x2+x+4①．令﹣x2+x+4＝0，解得，x＝﹣2或x＝4．∴C（﹣2，0）；故答案为：1；4；（﹣2，0）；（2）如图1，分别过P、Q作PE、QD垂直于x轴交x轴于点E、D．设P（m，﹣m2+m+4），Q（n，﹣n+4），则PE＝﹣m2+m+4，QD＝﹣n+4．又∵＝＝y．∴n＝．又∵，即，把n═代入上式并整理得：4y＝﹣m2+2m．∴y＝﹣m2+m．∵﹣＜0，故y有最大值，当m＝2时，y max＝．即PQ与OQ的比值的最大值为；（3）①当点P在BA下方时，如图2，∵∠OBA＝∠OBP+∠PBA＝45°，∠PBA+∠CBO＝45°，∴∠OBP＝∠CBO，此时PB过点（2，0）．设直线PB解析式为，y＝kx+4．把点（2，0）代入上式得，0＝2k+4．解得，k＝﹣2，∴直线PB解析式为：y＝﹣2x+4．令﹣2x+4＝﹣x2+x+4，整理得，x2﹣3x＝0．解得，x＝0（舍去）或x＝6．当x＝6时，﹣2x+4＝﹣2×6+4＝﹣8∴P（6，﹣8）；②当点P（P′）在BA上方时，此时∠P′BA+∠CBO＝45°，而∠PBA+∠CBO＝45°，故∠P′BA＝∠PBA，即BA是∠PBP′的角平分线，∵OA＝OB＝4，故△ABO为等腰三角形，以BA为对角线作正方形BOAM，设直线BP交边（x轴）OA于点H，直线BP′交AM于点H′，在点H、H′关于AB对称，∴AH＝AH′，由①知：直线PB解析式为：y＝﹣2x+4，令y＝0，则x＝3，故点H（2，0），即AH＝4﹣2＝2＝AH′，∴点H′（4，2），由点H′、点B的坐标可得，直线BH′的表达式为：y＝﹣x+4②，联立①②并解得：x＝3，故点P′（3，）；综上，点P的坐标为：（3，）或（6，﹣8）．10．解（1）∵在Rt△AOC中，∠AOC＝90°，∴OA＝＝3，∴A（3，0），将A（3，0）、C（0，4）D（2，4）代入抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）中得，解得，，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+4；（2）由A（3，0），C（0，4）可得直线AC解析式为y＝﹣x+4，∴M坐标为（m，﹣m+4），∵MG∥BC，∴∠CBO＝∠MGE，且∠COB＝∠MEG＝90°，∴△BCO∽△GME，∴＝，即＝，∴GE＝﹣m+1，∴OG＝OE﹣GE＝m﹣1，∴S△COM ＝S梯形COGM﹣S△COG﹣S△GEM＝m（﹣m+4+4）﹣4×（m﹣1）×﹣（﹣m+1）（﹣m+4），＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+2，∴当m＝时，S最大，即S最大＝2；（3）根据题意可知△AEM是直角三角形，而△MPC中，∠PMC＝∠AME为锐角，∴△PCM的直角顶点可能是P或C，第一种情况：当∠CMP＝90°时，如图③，则CP∥x轴，此时点P与点D重合，∴点P（2，4），此时m＝2；第二种情况：当∠PCM＝90°时，如图④，延长PC 交x 轴于点F ，由△FCA ∽△COA ，得 ＝， ∴AF ＝， ∴OF ＝﹣3＝， ∴F （﹣，0），∴直线CF 的解析式为y ＝x +4，联立直线CF 和抛物线解析式可得，解得，，∴P 坐标为（，），此时m ＝；综上可知存在满足条件的实数m ，其值为2或． 11．解：（1）当y ＝0时，x 2﹣（a +1）x +a ＝0，解得x 1＝1，x 2＝a ．∵点A 位于点B 的左侧，与y 轴的负半轴交于点C ，∴a ＜0，∴点B 坐标为（1，0）．（2）①由（1）可得，点A 的坐标为（a ，0），点C 的坐标为（0，a ），a ＜0， ∴AB ＝1﹣a ，OC ＝﹣a ，∵△ABC的面积为6，∴，∴a1＝﹣3，a2＝4．∵a＜0，∴a＝﹣3，∴y＝x2+2x﹣3．②存在，理由如下：∵点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，﹣3），∴设直线BC的解析式为y＝kx﹣3，则0＝k﹣3，∴k＝3．∵∠POB＝∠CBO，∴当点P在x轴上方时，直线OP∥直线BC，∴直线OP的函数解析式y＝3x，则∴（舍去），，∴点的P坐标为当点P在x轴下方时，直线OP'与直线OP关于x轴对称，则直线OP'的函数解析式为y＝﹣3x，则∴（舍去），，∴点P'的坐标为综上可得，点P的坐标为或．12．解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，∴AO＝BC，∵△ABC面积为4，∴BC•OA＝4，∴OA＝2，BO＝4，∴B（﹣2，0），A（0，2），C（2，0），∵点A，B在抛物线y＝ax2+c上，∴，∴，即a、c的值分别为﹣和2；（2）如图1，连接OF，由（1）可知：y＝﹣x2+2，∵B（﹣2，0），A（0，2），∴AB的直线解析为y＝x+2，∵平移后抛物线定点F在射线BA上，设F（m，m+2），∴平移后抛物线解析式y＝﹣（x﹣m）2+m+2，将点C（2，0）代入y＝﹣（x﹣m）2+m+2，得﹣（2﹣m）2+m+2＝0，∴m＝6或m＝0（舍），∴F（6，8），∴平移后抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣10，当y＝0时，﹣x2+6x﹣10＝0，∴x＝2或x＝10，∴E（10，0），∴OE＝10，∵F（6，8），∴OF＝＝10，EF＝＝4，∴△OEF的周长为OE+OF+EF＝10+10+4＝20+4；（3）当P在x轴上方时，如图2，∵△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，HQ＝＝2，∴Q（6，2），当P在x轴下方时，如图3，∵△PQE≌△POE，∴PQ＝OE＝10，过点P作PK⊥HF与点K，∴PK＝6，在Rt△PQK中，QK＝＝8，∵∠PQE＝90°，∴∠PQK+∠HQE＝90°，∵∠HQE+∠HEQ＝90°，∴∠PQK＝∠HEQ，∵∠PKQ＝∠QHE＝90°，∴△PKQ∽△QHE，∴，∴，∴QH＝3，∴Q（6，3），综上所述：满足条件的点Q（6，2）或Q（6，3）．13．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为P（1，9），∴设该抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+9（a≠0），把（﹣2，0）代入抛物线解析式得9a+9＝0，a＝﹣1，∴y＝﹣（x﹣1）2+9＝﹣x2+2x+8；（2）令y＝0得﹣（x﹣1）2+9＝0，x＝﹣2，或x＝4，∴B（4，0），∴OB＝4抛物线对称轴直线x＝1与x轴交点为T，如图1，作原点O关于直线x＝1的对称点D（2，0），连接CD，则∠CDO＝∠COD＝2∠CBO，∵∠CDO＝∠BCD+∠CBO，∴∠BCD＝∠CBO，∴CD＝DB＝2．∴．∴．∴设直线BM的解析式为y＝kx+t，则，解得，．∴直线BM解析式为，与抛物线y＝﹣x2+2x+8联立得．∴，．∴，故点M坐标为；（3）如图2，设E（m，n）（m＞0，n＞0，m≠n），∵△GEO≌△HOF，∴OH＝EG＝n，FH＝OG＝m，∴F（n，m），设新抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+h，把点E，F的坐标代入抛物线的解析式得：m＝﹣n2+2n+h，n＝﹣m2+2m+h，即h＝n2﹣2n+m，h＝m2﹣2m+n，∴m2﹣2m+n＝n2﹣2n+m，m2﹣n2+3（n﹣m）＝0，（m﹣n）（m+n﹣3）＝0，∵m≠n，∴m+n＝3，m＝3﹣n，∵m＞0，n＞0，m≠n，∴0＜n＜3且把m＝3﹣n代入h＝n2﹣2n+m，得．∵0＜n＜3且．∴．故h的取值范围．14．解：（1）把A（﹣1，0）、B（4，0）代入y＝ax2+bx﹣2得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2．（2）设D（m，m2﹣m﹣2），∵C（0，﹣2），B（4，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，∴E（m，m﹣2），∴DE＝m﹣2﹣（m2﹣m﹣2）＝﹣m2+2m，＝•DE•OB＝﹣m2+4m＝﹣（m﹣2）2+4，∴S△BCD∵﹣1＜0，∴m＝2时，△BDC的面积最大，此时DE＝﹣×22+2×2＝2．（3）如图3中，连接BC．∵＝＝2，∠BCO＝∠COA＝90°，∴△BOC∽△COA，∴∠OBC＝∠OCA．∵∠OBC+∠OCB＝90°，∴∠OCA+∠OCB＝90°＝∠ACB，∴BC⊥AC．∵点B的坐标为（4，0），点C的坐标为（0，﹣2），点A的坐标为（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝x﹣2，直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，设点Q的坐标为（2，n），则过点Q且垂直AC的直线的解析式为y＝x+n﹣1．联立两直线解析式成方程组，得：，解得：，∴两直线的交点坐标为（，）．依题意，得：（2﹣0）2+（n﹣0）2＝（﹣2）2+（﹣n）2，整理，得：n2﹣3n﹣4＝0，解得：n1＝﹣1，n2＝4，∴点Q的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．综上所述：在这条直线上存在一个以Q点为圆心，OQ为半径且与直线AC相切的圆，点Q 的坐标为（2，﹣1）或（2，4）．15．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+4（a≠0）与x轴交于A（﹣3，0），C（4，0）两点，∴．解这个方程，得．∴该抛物线解析式是y＝﹣x2+x+4．∵y＝﹣x2+x+4＝y＝﹣（x﹣）2+．∴这条抛物线的顶点坐标是（，）；（2）∵A（﹣3，0），C（4，0），∴OA＝3，OB＝OC＝4，则AB＝5，AC＝7，CD＝2；如图1，连接DQ，由于BD垂直平分PQ，则DP＝DQ，得：∠PDB＝∠QDB，而AD＝AB，得：∠ABD＝∠ADB，故∠QDB＝∠ABD，得QD∥AB；∴△CDQ∽△CAB，则有：＝＝，∴＝．∴PD＝DQ＝，AP＝AD﹣PD＝5﹣＝，故t＝；（3）存在，如图2，连接AQ交对称轴于M，此时MQ+MC为最小，过Q作QN⊥x轴于N，∵DQ∥AB，∴∠QDN＝∠BAC，sin∠QDN＝sin∠BAC＝＝，∴＝，∴QN＝，设直线BC的解析式为：y＝kx+b，把B（0，4）和C（4，0）代入得：，解得，∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+4，当y＝时，＝﹣x+4，x＝，∴Q（，），同理可得：AQ的解析式为：y＝x+，当x＝时，y＝×+＝，∴M（，）．16．解：（1）在直线y＝x﹣4，令x＝0，则y＝﹣4，令y＝0，则x＝8，∴A（8，0）、B（0，﹣4），将A（8，0）、B（0，﹣4）代入y＝x2+bx+c有，解得：；故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣4；（2）①如图1，过C作CE∥y轴交直线AB于点E，过M作MF∥y轴交直线AB于点F．则CE∥MF，∴，设点M（x，x2﹣x﹣4），∵MF∥y轴交直线AB于点F，直线AB：y＝x﹣4，故点F（x，x﹣4），则MF＝x﹣4﹣（x2﹣x﹣4）＝﹣x2+2x，可求得C（﹣2，0），C作CE∥y轴交直线AB于点E，∴E（﹣2，﹣5），CE＝5，∴，∴当x＝4时，的最小值为；②存在．理由如下：∵C（﹣2，0）；B（0，﹣4）；A（8，0）．∴OC＝2，OB＝4，OA＝8，∵∠CBO+∠ABO＝90°，∠CAB+∠ABO＝90°，∴∠CBO＝∠CAB，又∠ABC＝∠BCO＝90°，∴△BOC∽△ABC．有∠ABC＝∠AOB＝90°，又MD⊥AB于D，∴∠BDM＝∠ABC＝90°，∠BAC＜45°．因此在△BMD只能是∠BMD＝2∠BAC或∠MBD＝2∠BAC．在图2中，取AC中点H，连接BH，可得∠BHO＝2∠BAC，OH＝OA﹣AH＝3，tan∠BHO＝，过D作DT⊥y轴于T，过M作MG⊥TD交其延长线于G．∵∠GDM+∠TDB＝90°，∠TDB+∠TBD＝90°，∴∠GDM＝∠TBD，又∵∠DTB＝∠MGD＝90°，∴△TBD∽△GDM，，又DM⊥AB，tan∠DMB＝，tan∠DBM＝．当∠BMD＝2∠BAC时，则＝，当∠MBD＝2∠BAC时，则，设点D（a，a﹣4），点M（m2﹣m﹣4）（8＞a＞0，8＞m＞0），则点T（0，a﹣4），点G（m，a﹣4），∴DT＝a，DG＝m﹣a，∴BT＝a﹣4﹣（﹣4）＝a，当∠BMD＝2∠BAC时，，又，∴，解得：m＝0或（舍去0），故点M的坐标为（，﹣），如图2，当∠MBD＝2∠BAC时，，又，∴，解得：m＝0或4（舍去0），故点M（4，﹣6）；综合得存在满足条件的点M的坐标为（，﹣）或（4，﹣6）．17．解：（1）针对于y＝﹣x+2，令x＝0，则y＝2，∴C（0，2），令y＝0，则0＝﹣x+2，∴x＝4，∴B（4，0），∵点C在抛物线y＝﹣+bx+c上，∴c＝2，∴抛物线的解析式为y＝﹣+bx+2，∵点B（4，0）在抛物线上，∴﹣8+4b+2＝0，∴b＝，∴抛物线的解析式为y＝﹣+x+2；（2）∵|BM﹣CM|最小，∴|BM﹣CM|＝0，∴BM＝CM，∴BM2＝CM2，设M（，m），∵B（4，0），C（0，2），∴BM2＝（4﹣）2+m2，CM2＝（）2+（m﹣2）2，∴（4﹣）2+m2＝（）2+（m﹣2）2，∴m＝0，∴M（，0）；（3）由（1）知，抛物线的解析式为y＝﹣+x+2，令y＝0，则0＝﹣+x+2，∴x＝4或x＝﹣1，∴A（﹣1，0），∵B（4，0），C（0，2），∴BC2＝20，AC2＝5，AB2＝25，∴CB2+AC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，∵NH⊥x，∴∠BHN＝90°＝∠ACB，设N（n，﹣n2+n+2），∴HN＝|﹣n2+n+2|，BH＝|n﹣4|，∵以点B、N、H为顶点的三角形与△ABC相似，∴①△BHN∽△ACB，∴，∴，∴n＝﹣5或n＝3或n＝4（舍），∴N（﹣5，﹣18）或（3，2），②△BHN∽△BCA，∴，∴，∴n＝0或n＝4（舍）或n＝﹣2，∴N（0，2）或（﹣2，﹣3），即满足条件的点N的坐标为（﹣5，﹣18）或（﹣2，﹣3）或（0，2）或（3，2）．18．解：（1）∵抛物线经过A（1，0），B（3，0），∴可以假设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）（x﹣3），把C（0，3）代入得到a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣4x+3，设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线CD的解析式为y＝x+3，由，解得或，∴E（5，8）．故答案为：y＝x2﹣4x+3，y＝x+3，5，8．（2）如图1中，过点E作EH⊥x轴于H．∵C（0，3），D（﹣3，0），E（5，8），∴OC＝OD＝3，EH＝8，∴∠PDE＝45°，CD＝3，DE＝8，EC＝5，当∠CPE＝45°时，∵∠PDE＝∠EPC，∠CEP＝∠PED，∴△ECP∽△EPD，∴＝，∴PE2＝EC•ED＝80，在Rt△EHP中，PH＝＝＝4，∴把点H向左或向右平移4个单位得到点P，∴P1（1，0），P2（9，0）．（3）延长QH到M，使得HM＝1，连接AM，BM，延长QB交AM于N．设Q（t，t2﹣4t+3），由题意点Q只能在点B的右侧的抛物线上，则QH＝t2﹣4t+3，BH ＝t﹣3，AH＝t﹣1，∴＝＝t﹣3＝，∵∠QHB＝∠AHM＝90°，∴△QHB∽△AHM，∴∠BQH＝∠HAM，∵∠BQH+∠QBH＝90°，∠QBH＝∠ABN，∴∠HAM+∠ABN＝90°，∴∠ANB＝90°，∴QN⊥AM，∴当BM＝AB＝2时，QN垂直平分线段AM，此时QB平分∠AQH，在Rt△BHM中，BH＝＝＝，∴t＝3+，∴Q（3+，3+2）．19．解：（1）抛物线的表达式为：y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），故点A、B的坐标分别为：（﹣1，0）、（3，0），故答案为：（﹣1，0）、（3，0）；（2）过点B作y轴的平行线BQ，过点D作x轴的平行线交y轴于点P、交BQ于点Q，设：D（1，n），点C（0，﹣3m），∵∠CDP+∠PDC＝90°，∠PDC+∠QDB＝90°，∴∠QDB＝∠DCP，又∵∠CPD＝∠BQD＝90°，∴△CPD∽△DQB，∴＝＝，其中：CP＝n+3m，DQ＝3﹣1＝2，PD＝1，BQ＝n，CD＝﹣3m，BD＝3，将以上数值代入比例式并解得：m＝±，∵m＜0，故m＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+；（3）y＝m（x2﹣2x﹣3）＝m（x+1）（x﹣3），∴C（0，﹣3m），CO＝﹣3m．∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB＝4，∴S2＝S△AOC＝×1×（﹣3m）＝﹣m，设OD交BC于点M，由轴对称性，BC⊥OD，OD＝2OM，在Rt△COB中，BC＝＝3，由面积法得：OM＝＝﹣，∴tan∠COB＝＝﹣m，则cos∠COB＝，MB＝OB•cos∠COB＝，∴S1＝S△BOD＝×DO×MB＝OM×MB＝﹣，又S1＝S2，∴m2+1＝（m＜0），故m＝﹣．20．解：（1）∵A（﹣1，0），对称轴为直线x＝．∴B（4，0），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+1）（x﹣4），将点C的坐标代入上式并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+x+2；设直线BC的表达式为：y＝sx+t，则，解得：，故直线BC的表达式为：y＝﹣x+2；（2）设G点坐标（m，﹣m2+m+2），过G作GH∥y轴，交直线BC于H点，则H坐标为（m，﹣m+2），∴△GBC面积S＝S△GHC +S△GHB＝GH×OB＝[﹣m2+m+2﹣（﹣m+2）]×4＝﹣m2+4m，∵﹣1＜0，故S有最大值，当m＝2时，S的最大值为4；（3）设点M的坐标为（m，n），n＝﹣m2+m+2，点R（1，s），而点B、C的坐标分别为：（4，0）、（0，2）；①当BC为平行四边形的边时，点C向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点B，同样点M（R）向右平移4个单位，向下平移2个单位得到点R（M），即m±4＝1，解得：m＝﹣3或5，故点M的坐标为：（5，﹣3）或（﹣3，2）；②当BC为平行四边形的对角线时，由中点公式得：m+1＝4，解得：m＝3，故点M（3，2），综上，点M的坐标为（5，﹣3）或（﹣3，﹣7）或（3，2）．。
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》(二)
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（二）1．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）直接写出抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，连接PA、PD，①当△PAD的面积最大时，P点的坐标是；②当AB平分∠DAP时，求线段PA的长．（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y 轴交于点C，点D为抛物线的顶点．点A坐标的为（﹣3，0），点C的坐标为（0，3）．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）点M为线段AB上一点（点M不与点A、B重合），过点M作x轴的垂线，与直线AC交于点E，与抛物线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过点Q作QN⊥x轴于点N．若点P在点Q左边，当矩形PMNQ的周长最大时，求△AEM的面积；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，连接DQ，过抛物线上一点F作y 轴的平行线，与直线AC交于点G（点G在点F的上方）．若FG＝2DQ，求点F的坐标．3．已知：二次函数y＝x2﹣2mx﹣m2+4m﹣2的对称轴为l，抛物线与y轴交于点C，顶点为D．（1）判断抛物线与x轴的交点情况；（2）如图1，当m＝1时，点P为第一象限内抛物线上一点，且△PCD是以PD为腰的等腰三角形，求点P的坐标；（3）如图2，直线y＝mx和抛物线交于点A、B两点，与l交于点M，且MO＝MB，点Q（x0，y）在抛物线上，当m＞1时，h+12≤﹣my2﹣6my时，求h的最大值．4．已知点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数，且a≠0）上，L交y轴于点C，连接CP．（1）用a表示k，并求L的对称轴及L与y轴的交点坐标；（2）当L经过（3，3）时，求此时L的表达式及其顶点坐标；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，当a＜0时，若L在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有4个整点，求a的取值范围；（4）点M（x1，y1），N（x2，y2）是L上的两点，若t≤x1≤t+1，当x2≥3时，均有y1≥y2，直接写出t的取值范围．5．如图①，直线y＝﹣x﹣3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线y＝ax2+bx+c经过B，C 两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）．（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图①，点P在第三象限内的抛物线上．①连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；②在①的条件下，G为x轴上一点，当PG+AG取得最小值时，求点G的坐标；（3）如图②，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N．问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．6．如图，抛物线y＝ax2﹣3ax+4（a＜0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，直线y ＝m，交抛物线于D、E两点．（1）当a＝﹣时，求A，B两点的坐标；（2）当m＝2，DE＝4时，求抛物线的解析式；（3）当a＝﹣1时，方程ax2﹣3ax+4＝m在﹣6≤x＜4的范围内有实数解，请直接写出m 的取值范围：．7．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知C点坐标为（0，4），抛物线的顶点的横坐标为，点P是第四象限内抛物线上的动点，四边形OPAQ是平行四边形，设点P的横坐标为m．（1）求抛物线的解析式；（2）求使△APC的面积为整数的P点的个数；（3）当点P在抛物线上运动时，四边形OPAQ可能是正方形吗？若可能，请求出点P的坐标，若不可能，请说明理由；（4）在点Q随点P运动的过程中，当点Q恰好落在直线AC上时，则称点Q为“和谐点”，如图（2）所示，请直接写出当Q为“和谐点”的横坐标的值．8．如图，一条抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），D为抛物线的顶点，点P在x轴上．（1）求抛物线解析式；（2）若∠PCB＝∠CBD，求点P的坐标；（3）过点P作直线l∥AC交抛物线于Q，是否存在以点A，P，Q，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（4）坐标平面内一点M到点B的距离为1个单位，求DM+OM的最小值．9．在四边形OABC中，AB∥OC，BC⊥x轴于C，A（1，﹣1），B（3，﹣1），动点P从O点出发，沿x轴正方向以3个单位/秒的速度运动．过P作PQ⊥OA于Q．设P点运动的时间为t秒（0＜t＜），△OPQ与四边形OABC重叠的面积为S．（1）求经过O、A、B三点的抛物线的解析式并确定顶点M的坐标；（2）用含t的代数式表示P、Q两点的坐标；（3）将△OPQ绕P点逆时针旋转90°，是否存在t，使得△OPQ的顶点O或Q落在抛物线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由；（4）求S与t的函数解析式；10．如图所示，抛物线y＝ax2+bx+4的顶点坐标为（3，），与y轴交于点A．过点A作AB∥x轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在y轴的负半轴上，且AE＝AD，直线CE交抛物线y＝ax2+bx+4于点F．①求点F的坐标；②过点D作DG⊥CE于点G，连接OD、ED，当∠ODE＝∠CDG时，求直线DG的函数表达式．参考答案1．解：（1）将点A、D的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线l的表达式为：y＝﹣x﹣1，将点A、D的坐标代入抛物线表达式，同理可得抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4；（2）当△PAD的面积最大时，P点到直线AD的距离就最大．∴P点在与直线AD平行且与抛物线相切的直线上，即P点是这两个图象的唯一的交点，设P点坐标为（x，y），由题意得，，∴x2﹣4x+m﹣4＝0，∵直线y＝﹣x+m与抛物线只有一个交点，∴△＝42+4（m﹣4）＝0，∴m＝8，∴x2﹣4x+4＝0，∴x1＝x2＝2，∴代入抛物线的解析式得y＝﹣4+6+4＝6，∴P（2，6）；故答案为：（2，6）．②过点P作PE⊥x轴于点E，∵y＝﹣x﹣1，∴A（﹣1，0），C（0，﹣1），∴OA＝OC，∵∠AOC＝90°，∴∠CAB＝45°，∴当AB平分∠DAP时，∠BAP＝∠DAB，则∠BAP＝45°，∴△PEA是等腰直角三角形，∴PE＝EA，设P点坐标为（m，n），由题意得，m+1＝﹣m2+3m+4，∴m1＝3，m2＝﹣1（舍去），∴PE＝EA＝4，∴PA＝4．（3）NC＝5，①当NC是平行四边形的一条边时，设点P坐标为（x，﹣x2+3x+4）、则点M（x，﹣x﹣1），由题意得：|y M﹣y P|＝5，即：|﹣x2+3x+4+x+1|＝5，解得：x＝2±或0或4（舍去0），则点M坐标为（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）；②当NC是平行四边形的对角线时，则NC的中点坐标为（0，），设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）、则点M（n，﹣n﹣1），N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形，则NC的中点即为PM中点，即：m+n＝0，2＝，解得：m＝0（舍去）或m＝4，故点M（﹣4，3）；故点M的坐标为：（2+，﹣3﹣）或（2﹣，﹣3+）或（4，﹣5）或（﹣4，3）．2．解：（Ⅰ）依题意解得∴抛物线的解析式y＝﹣x2﹣2x+3；（Ⅱ）∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，设M（x，0），P（x，﹣x2﹣2x+3），其中﹣3＜x＜﹣1，∵P、Q关于直线x＝﹣1对称，设Q的横坐标为a，则a﹣（﹣1）＝﹣1﹣x，∴a＝﹣2﹣x，∴Q（﹣2﹣x，﹣x2﹣2x+3），∴MP＝﹣x2﹣2x+3，PQ＝﹣2﹣x﹣x＝﹣2﹣2x，∴周长d＝2（﹣2﹣2x﹣x2﹣2x+3）＝﹣2x2﹣8x+2＝﹣2（x+2）2+10，当x＝﹣2时，d取最大值，此时，M（﹣2，0），∴AM＝﹣2﹣（﹣3）＝1，设直线AC的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴设直线AC的解析式为y＝x+3，将x＝﹣2代入y＝x+3，得y＝1，∴E（﹣2，1），∴EM＝1，∴；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当矩形PMNQ的周长最大时，x＝﹣2，此时点Q（0，3），与点C重合，∴OQ＝3，∵y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，∴D（﹣1，4），如图，过D作DK⊥y轴于K，则DK ＝1，OK ＝4，∴QK ＝OK ﹣OQ ＝4﹣3＝1，∴△DKQ 是等腰直角三角形，∴DQ ＝DK ＝， ∴，设F （m ，﹣m 2﹣2m +3），则G （m ，m +3），FG ＝m +3﹣（﹣m 2﹣2m +3）＝m 2+3m ，∴m 2+3m ＝4，解得m 1＝﹣4，m 2＝1，当m ＝﹣4时，﹣m 2﹣2m +3＝﹣5，当m ＝1时，﹣m 2﹣2m +3＝0，∴点F （﹣4，﹣5）或（1，0）．3．解：（1）针对于二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2，令y ＝0，则x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2＝0，∴△＝（﹣2m ）2﹣4×1×（﹣m 2+4m ﹣2）＝4m 2+4m 2﹣16m +8＝8（m ﹣1）2≥0， ∴抛物线与x 轴必有交点，即当m ＝1时，有一个交点，当m ≠1时，有两个交点；（2）当m ＝1时，抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x +1＝（x ﹣1）2①，∴C （0，1），D （1，0），∵△PCD 是以PD 为腰的等腰三角形，如图1，①当PC ＝PD 时，点P 是CD 的垂直平分线上，∵C （0，1），D （1，0），∴OC ＝OD ＝1，∴CD 的垂直平分线的解析式为y ＝x ②， 联立①②解得，或，∴点P 的坐标为（，）或（，），②当PD ＝CD 时，点D 是CP 的垂直平分线上，∴点P 的纵坐标为1，则x 2﹣2x +1＝1，∴x ＝0或x ＝2，∴P （2，1），即满足条件的点P 的坐标为（，）或（，）或（2，1）；（3）∵二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2的对称轴为l ，∴抛物线的对称轴l 为x ＝m ，∴点M 的横坐标为m ，∵点M 在直线y ＝mx 上，∴M （m ，m 2），∵MO ＝MB ，∴点B （2m ，m 2），将点B （2m ，m 2）代入二次函数y ＝x 2﹣2mx ﹣m 2+4m ﹣2得，m 2＝4m 2﹣4m 2﹣m 2+4m ﹣2， ∴m ＝1或m ＝，∵m ＞1，∴m ＝，∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣x +＝（x ﹣）2﹣， ∵点Q （x 0，y 0）在抛物线上，∴y 0＝（x 0﹣）2﹣，∴﹣my 02﹣6my 0＝﹣m （y 02+6y 0）＝﹣[（y 0+3）2﹣9]＝﹣[（x 0﹣）2﹣+3]2+12＝﹣[（x﹣）2+]2+12，∵h+12≤﹣my02﹣6my，∴h≤﹣[（x﹣）2+]2，当x0＝时，h最大＝﹣．4．解：解：（1）∵点P（2，﹣3）在抛物线L：y＝ax2﹣2ax+a+k（a，k均为常数且a≠0）上，∴﹣3＝4a﹣4a+a+k，∴k＝﹣3﹣a；抛物线L的对称轴为直线x＝﹣＝1，即x＝1；（2）∵L经过点（3，3），∴9a﹣6a+a+k＝3，∵k＝﹣3﹣a，∴a＝2，k＝﹣5∴L的表达式为y＝2x2﹣4x﹣3；∵y＝2（x﹣1）2﹣5，∴顶点坐标为（1，﹣5）；（3）顶点坐标（1，﹣a﹣3），∵在点C，P之间的部分与线段CP所围成的区域内（不含边界）恰有5个整点，∴2＜﹣a﹣3≤3，∴﹣6≤a＜﹣5；（4）当a＞0时，t≥3或t+1≤﹣1，∴t≥3或t≤﹣2；观察图象，此时有不符合条件的点使y1≥y2，故此情况舍去；当a＜0时，t+1≤3且t≥﹣1，∴﹣1≤t≤2；综上所述，﹣1≤t≤2；5．解：（1）在y＝﹣x﹣3中，令x＝0，得y＝﹣3；令y＝0，得x＝﹣3．∴B（﹣3，0），C（0，﹣3）．设抛物线的函数解析式为y＝a（x+3）（x﹣1）．将点C（0，﹣3）代入，得a＝1．∴抛物线的函数解析式为y＝x2+2x﹣3；（2）①如图1，过点P作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设点P的坐标为（t，t2+2t﹣3），则点F的坐标为（t，﹣t﹣3）．∴PF＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t．∴S 四边形ABPC ＝S △BPC +S △ABC ＝PF •OB +AB •OC ＝（﹣t 2﹣3t ）+6＝． ∵＜0，∴当t ＝时，S 四边形ABPC 取得最大值．∴此时点P 的坐标为；②如图2，在y 轴上取一点Q （0，），作直线AQ ，过点G 作GT ⊥AQ 于T ，连接PG在Rt △AOQ 中，AQ ＝＝＝， ∴sin ∠OAQ ＝＝， ∴GT ＝AG •， ∴PG +AG ＝PG +GT ，根据垂线段最短，可知当P ，G ，T 共线，且PT ⊥AQ 时，PG +AG 的值最小， ∵直线AQ 的解析式为y ＝﹣x +，又∵PT ⊥AQ ，∴直线PT 的解析式为y ＝2x ﹣，∴G （，0）．（3）DM +DN 是定值．如图3，过点Q 作QH ⊥x 轴于点H ．∵ND⊥x轴，∴QH∥ND．∴△BQH∽△BND，△AMD∽△AQH．∴，．设点Q的坐标为（k，k2+2k﹣3），则HQ＝﹣k2﹣2k+3，BH＝3+k，AH＝1﹣k．∵D是抛物线的对称轴与x轴的交点，∴AD＝BD＝2．∴，．∴DN＝2﹣2k，DM＝2k+6．∴DM+DN＝2k+6+2﹣2k＝8．∴DM+DN是定值，该定值为8．6．解：（1）当a＝﹣时，令y＝﹣x2﹣3×（﹣）x+4＝0，解得：x＝5或﹣2，故点A、B的坐标分别为（5，0）、（﹣2，0）；（2）函数的对称轴为x＝，∵DE＝4，m＝2，故点D（，2），将点D的坐标代入y＝ax2﹣3ax+4并解得：a＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+4；（3）当a＝﹣1时，y＝﹣x2+3x+4，令y＝0，则x＝﹣6或4，当x＝﹣6时，y＝﹣x2+3x+4＝﹣50，函数的对称轴为x＝，则顶点坐标为（，），当﹣6≤x＜4时，﹣50≤y≤，故m的取值范围为：﹣50≤m≤，故答案为：﹣50≤m≤．7．解：（1）抛物线与y轴交于点C，顶点的横坐标为，则，解得，故抛物线的抛物线为：y＝x2﹣x+4；（2）对于y＝x2﹣x+4，令y＝0，则x＝1或6，故点B、A的坐标分别为（1，0）、（6，0）；如图，过点P作PH∥y轴交AC于点H，由点A、C的坐标得，直线AC的表达式为：y＝﹣x+4①，设点P（x，x2﹣x+4），则点H（x，﹣x+4），△APC的面积S＝S△PHA +S△PHC＝×PH×OA＝×6×（﹣x+4﹣x2+x﹣4）＝﹣2x2+12（1＜x＜6），当x＝1时，S＝10，当x＝6时，S＝0，故使△APC的面积为整数的P点的个数为9个；（3）当四边形OPAQ是正方形时，点P只能在x轴的下方，此时OAP为等腰直角三角形，设点P（x，y），则x+y＝0，即y＝x2﹣x+4＝﹣x，解得：x＝或4，故点P的坐标为（，﹣）或（4，﹣4）；（4）设点P（m，m2﹣m+4），为点A（6，0），设直线AP的表达式为：y＝kx+t，同理可得，直线AP的表达式为：y＝（m﹣1）（x﹣6），∵AP∥OQ，则AP和OQ表达式中的k值相同，故直线OQ的表达式为：y＝（m﹣1）x②，联立①②并解得：x＝，则点Q（，4﹣），∵四边形OPAQ是平行四边形，则AO的中点即为PQ的中点，则m+＝6，解得：m＝3，则＝3，故Q的横坐标的值为3．8．解：（1）∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴设此抛物线的解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），将点C（0，3）代入，得a＝﹣1，∴y＝﹣（x+1）（x﹣3）＝﹣x2+2x+3；（2）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D（1，4），设直线DB解析式为y＝kx+b，将D（1，4），B（3，0）代入得，解得：，∴直线DB解析式为y＝﹣2x+6，①如图1，当点P在点B左侧时，∵∠PCB＝∠CBD，∴CP∥BD，设直线CP解析式为y＝﹣2x+m，将C（0，3）代入，得m＝3，∴直线CP解析式y＝﹣2x+3，当y＝0时，x＝，∴P（，0）；②如图2，当点P在点B右侧时，作点P关于直线BC的对称点N，延长CN交x轴于点P'，此时∠P'CB＝∠CBD，∵C（0，3），B（3，0），∴OC＝OB，∴△OBC为等腰直角三角形，∴∠CPB＝45°，∴∠NBC＝45°，∴△PBN为等腰直角三角形，∴NB＝PB＝3﹣＝，∴N（3，）；设直线CN的解析式为：y＝nx+t，将C（0，3），N（3，）代入直线CN解析式y＝nx+t得，解得，∴直线CN解析式为y＝﹣x+3，当y＝0时，x＝6，∴P'（6，0），综上所述，点P坐标为（，0）或（6，0）．（3）①如图3，当四边形APQC为平行四边形时，∴CQ∥AP，CQ＝AP，∵y C＝3，∴y Q＝3，令﹣x2+2x+3＝3，解得：x1＝0，x2＝2，∴Q（2，3），②如图4，当四边形AQPC为平行四边形时，AC∥PQ，AC＝PQ，∴y C﹣y A＝y P﹣y Q＝3，∵y P＝0，∴y Q＝﹣3，令﹣x2+2x+3＝﹣3，解得，x1＝1+，x2＝1﹣，∴Q1（1+，﹣3），Q2（1﹣，﹣3），综上所述，点Q的坐标为Q（2，3）或（1+，﹣3）或（1﹣，﹣3）．（4）∵点M到点B的距离为1个单位，∴点M在以点B为圆心，半径为1的圆上运动，如图5，在x轴上作点E（，0），连接BM、EM、DE，∴BE＝OB﹣OE＝3﹣＝，∵BM＝1，∴，∵∠MBE＝∠OBM，∴△MBE∽△OBM，∴，∴ME＝OM，∴DM+OM＝DM+ME，∴当点D、M、E在同一直线上时，DM+OM＝DM+ME＝DE最短，∵D（1，4），∴DE＝＝，∴DM+OM的最小值为．9．解：（1）∵抛物线过点A（1，﹣1），B（3，﹣1），∴抛物线的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（4，0），设抛物线的解析式为y＝ax（x﹣4），把A（1，﹣1）代入得a•1•（﹣3）＝﹣1，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x（x﹣4），即y＝x2﹣x；∵y＝（x﹣2）2﹣，∴顶点M的坐标为（2，﹣）；（2）作QN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图1，∵A（﹣1，1），∴OH＝AH＝1，∴△AOH为等腰直角三角形，∴△ONQ为等腰直角三角形，∴QN＝ON＝NP＝OP＝，∴P（3t，0），Q（t，﹣t）；（3）存在．△OPQ 绕P 点逆时针旋转90°得到△O ′PQ ′，如图2，作Q ′K ⊥x 轴于K ，∠QPQ ′＝90°，PO ′⊥x 轴，PO ′＝PO ＝3t ，PQ ′＝PQ ＝t ，则O ′（3t ，﹣3t ）；∵∠KPQ ′＝90°﹣∠OPQ ＝45°，∵△PQ ′K 为等腰三角形，∴PK ＝Q ′k ＝t ，∴Q ′（t ，﹣t ）， 当O ′（3t ，﹣3t ）落在抛物线上时，﹣3t ＝•9t 2﹣•3t ，解得t 1＝0，t 2＝； 当Q ′（t ，﹣t ）落在抛物线上时，﹣t ＝•t 2﹣•t ，解得t 1＝0，t 2＝； 综上所述，当t 为或时，使得△OPQ 的顶点O 或Q 落在抛物线上；（4）当0＜t ≤时，如图1，S ＝•3t •t ＝t 2； 当＜t ≤1时，如图3，PQ 交AB 于E 点，S ＝S △POQ ﹣S △AEQ ＝•t •3t ﹣•（t ﹣1）•2（t ﹣1）＝3t ﹣1；当1＜t ＜，如图4，PQ 交AB 于E 点，交BC 于F 点，∵△POQ 为等腰直角三角形，∴∠CPF ＝45°，∴△PCF 为等腰直角三角形，∴PC ＝CF ＝3t ﹣3，∴BF ＝1﹣（3t ﹣3）＝4﹣3t ，∴S △BEF ＝（4﹣3t ）2＝t 2﹣12t +8，∴S ＝S 梯形OABC ﹣S △BEF ＝•（2+3）•1﹣（t 2﹣12t +8，）＝﹣t 2+12t ﹣．10．解：（1）∵抛物线y ＝ax 2+bx +4的顶点坐标为（3，）， ∴y ＝a （x ﹣3）2+＝ax 2﹣6ax +9a +， ∴9a +＝4， ∴a ＝﹣，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2+x +4；（2）如图1，设C（m，﹣m2+m+4）；∵AD＝AE，AD∥x轴，CD∥y轴，∴AD＝AE＝m，∵OA＝4，∴OE＝m﹣4，∵点E在y轴的负半轴上，∴E（0，4﹣m），设CE的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m，解法一：∴﹣x2+x+4＝（﹣）x+4﹣m，∴﹣x2+（m﹣1）x+m＝0，x2+（4﹣m）x﹣4m＝0，（x+4）（x﹣m）＝0，x 1＝﹣4，x2＝m，∴定点F（﹣4，﹣6）；解法二：CE的解析式为：y＝（﹣）x+4﹣m＝（﹣x﹣1）m+x+4，由画图可知：F是直线CE上的定点，∴﹣x﹣1＝0，∴x＝﹣4，∴定点F（﹣4，﹣6）；②如图2，过E作EH⊥CD于H，交DG于Q，连接OQ，由①知：OE＝m﹣4，∵∠DAE＝∠ADH＝∠EHD＝90°，AD＝AE，∴四边形AEHD是正方形，∴∠EDH＝45°，AD＝AE＝DH＝EH，∵∠ODE＝∠CDG，∴∠ODE+∠EDQ＝∠EDQ+∠CDG＝45°，即∠ODQ＝45°，∴∠ADO+∠CDG＝45°，在OA的延长线上取AP＝QH，连接PD，∵∠PAD＝∠QHD＝90°，AD＝DH，∴△PAD≌△QHD（SAS），∴PD＝DQ，∠ADP＝∠CDG，AP＝QH，∴∠ADP+∠ADO＝45°＝∠ODQ，∵OD＝OD，∴△PDO≌△QDO（SAS），∴OP＝OQ，∵EH＝DH，∠EHC＝∠DHQ，∠GEH＝∠CDG，∴△EHC≌△DHQ（ASA），∴CH＝QH＝﹣（m﹣4）＝＝AP，∴OQ＝OP＝4+，∵OE＝m﹣4，EQ＝EH﹣QH＝m﹣（）＝﹣m，在Rt△OEQ中，由勾股定理得：OE2+EQ2＝OQ2，∴（m﹣4）2+（﹣）2＝（4+）2，m3﹣10m2﹣24m＝0，解得：m1＝0（舍），m2＝12，m3＝﹣2（舍），∴D（12，4），Q（6，﹣8），设直线DG的解析式为：y＝kx+b，则，解得，∴直线DG的函数表达式为：y＝2x﹣20．。
培优三考试题及答案
培优三考试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 以下哪个选项是正确的数学表达式？A. 3 + 4 = 6B. 5 × 2 = 12C. 9 ÷ 3 = 2D. 8 - 1 = 7答案：D2. 根据题目所给的选项，我们可以发现选项A、B、C的计算结果都是错误的，而选项D的计算结果是正确的，即8减去1等于7。
3. 选择题部分考查了学生对基本数学运算的掌握情况，包括加法、减法、乘法和除法。
二、填空题（每空1分，共10分）1. 一个数的平方根是4，那么这个数是________。
答案：162. 如果一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是________平方厘米。
答案：78.5三、简答题（每题5分，共30分）1. 请解释什么是质数，并给出一个质数的例子。
答案：质数是指只能被1和它本身整除的大于1的自然数。
例如，2就是一个质数，因为它只能被1和2整除。
2. 解释什么是百分比，并给出一个使用百分比的例子。
答案：百分比是一种比例，表示每100单位中的一部分。
例如，如果一个班级有50名学生，其中有30名学生通过了考试，那么通过率是60%。
四、计算题（每题10分，共20分）1. 计算下列表达式的值：(3x + 2) / (x - 1)，其中x = 4。
答案：将x = 4代入表达式，得到(3 * 4 + 2) / (4 - 1) = (12 + 2) / 3 = 14 / 3 = 4.67（保留两位小数）。
2. 解下列方程：2x + 5 = 11。
答案：首先将方程中的常数项移至等式右边，得到2x = 11 - 5，即2x = 6。
然后将等式两边除以2，得到x = 6 / 2 = 3。
五、论述题（每题20分，共20分）1. 论述数学在日常生活中的重要性。
答案：数学是日常生活中不可或缺的工具。
它帮助我们进行基本的计算，如购物时计算价格和找零。
数学也是解决更复杂问题的基础，如在建筑和工程领域中的设计和测量。
2020届高三数学第三次调研考试试题文(含解析)
2020届高三数学第三次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当”时，则或此时可能无意义，故不一定成立，而当时，则或，“”成立故“”是的一个必要不充分条件．故答案选5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，，是直线上的一点，若，则=（）A. B. C. 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】先根据条件化以为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】，又三点共线，所以，得.故选：B【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（）A. 580B. 600C. 620D. 640【答案】D【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：D【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得；再根据在上的值域确定取值范围，解得结果.【详解】=，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，根据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.令，则，当，当上单调递减，在上单调递增.故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是_________.【答案】6【解析】分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①②③结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，，则________．【答案】（或120°）【解析】【分析】根据余弦定理直接求解得，再根据特殊角三角函数值得结果.【详解】因为，，．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】.【解析】【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为圆柱的表面积；球的表面积圆柱的表面积与球的表面积之比为本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】分析：当时，时，求出满足的面积，分别求出满足面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；如图，当取得最大值时，即时最大，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；最大值为．故答案为，.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根据等差数列性质得，解不等式得范围，再根据为大于0的整数得的值，最后根据等差数列通项公式得结果；（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设的公差为，则由题可知：.，即.解得.因为为整数，=2所以数列的通项公式为（2）当时，；当时，.=272所以数列的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．（1）求证：平面；（2）若平面平面，，，求三棱锥的体积．【答案】（1）证明见解析（2）4【解析】【分析】（1）设，利用三角形中位线性质得，再根据线面平行判定定理得结果；（2）取的中点，结合面面垂直性质定理得平面，再根据等体积法以及利用锥体体积公式求结果.【详解】（1）连接，设，连接，则点是的中点．又因为是的中点，所以，又因为平面，平面所以平面．（2）因为四边形是菱形，且，所以．又因为，所以三角形是正三角形．取的中点，连接，则又平面⊥平面，平面，平面平面，所以平面．即是四棱锥的一条高而所以．综上，三棱锥的体积为4.【点睛】本题考查线面平行判定定理、面面垂直性质定理以及锥体体积公式，考查综合分析论证与求解能力，属中档基础题.19.惠州市某商店销售某海鲜，经理统计了春节前后50天该海鲜的日需求量（，单位：公斤），其频率分布直方图如下图所示.该海鲜每天进货1次，每销售1公斤可获利40元；若供大于求，剩余的海鲜削价处理，削价处理的海鲜每公斤亏损10元；若供不应求，可从其它商店调拨，调拨的海鲜销售1公斤可获利30元.假设商店该海鲜每天的进货量为14公斤，商店销售该海鲜的日利润为元.（1）求商店日利润关于日需求量的函数表达式.（2）根据频率分布直方图，①估计这50天此商店该海鲜日需求量的平均数.②假设用事件发生的频率估计概率，请估计日利润不少于620元的概率.【答案】（1）（2）①15.32公斤②0.4【解析】【分析】（1）根据条件列分段函数关系式，即得结果；（2）①根据组中值求平均数，②先根据函数关系式确定日利润不少于620元对应区间，再求对应区间概率.【详解】（1）当时当时所求函数表达式为：．（2）①由频率分布直方图得：海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；海鲜需求量在区间的频率是；这50天商店销售该海鲜日需求量平均数为：（公斤）②当时，，由此可令，得所以估计日利润不少于620元的概率为.【点睛】本题考查函数解析式以及利用频率分布直方图求平均数和概率，考查综合分析求解能力，属中档题.20.己知函数，它的导函数为.（1）当时，求的零点；（2）若函数存在极小值点，求的取值范围.【答案】（1）是的零点；（2）【解析】【分析】（1）求得时的，由单调性及求得结果.（2）当时，，易得存在极小值点，再分当时和当时，令，通过研究的单调性及零点情况，得到的零点及分布的范围，进而得到的极值情况，综合可得结果.【详解】（1）的定义域为，当时，，.易知为上的增函数，又，所以是的零点.（2），①当时，，令，得；令，得，所以在上单调递减，在上单调递增，符合题意.令，则.②当时，，所以在上单调递增.又，，所以在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.③当时，令，得.当）时，；当时，，所以.若，即当时，恒成立，即在上单调递增，无极值点，不符合题意.若，即当时，，所以，即在上恰有一个零点，且当时，；当时，，所以是的极小值点，符合题意.综上，可知，即的取值范围为.【点睛】本题主要考查导数综合应用，考查了函数的极值，单调性和函数的导数之间的关系，构造函数研究函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21.设抛物线C:与直线交于A、B两点.（1）当取得最小值为时，求的值.（2）在（1）的条件下，过点作两条直线PM、PN分别交抛物线C于M、N（M、N不同于点P）两点，且的平分线与轴平行，求证：直线MN的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析，定值.【解析】【分析】（1）先确定直线过抛物线焦点，再根据抛物线定义求，最后根据最小值求的值；（2）先确定PM、PN的斜率互为相反数，再设直线PM方程，与抛物线联立解得M坐标，类似可得N点坐标，最后利用斜率公式求结果.【详解】（1）由题意知：直线过定点，该点为抛物线焦点.联立，消去得：设，有，…，当时，，解得（2）证明：由已知可知直线PM、PN斜率存在，且互为相反数设，直线PM的方程为.联立，消去x整理得：.又4为方程的一个根，所以，得同理可得所以直线MN的斜率为定值.【点睛】本题考查焦点弦长以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.答题时请在答题卷中写清题号并将相应信息点涂黑.22.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若极坐标系内异于的三点，，都在曲线上.（1）求证：；（2）若过，两点直线的参数方程为（为参数），求四边形的面积.【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）将代入极坐标方程，求出，利用两角和与差的余弦公式化简可得结论；（2）求得，则；又得.四边形面积为，化简可得结果.【详解】（1）由，则；（2）由曲线的普通方程为：，联立直线的参数方程得：解得；平面直角坐标为：则；又得.即四边形面积为为所求.【点睛】本题主要考查极坐标方程以及参数方程的应用，考查了极径与极角的几何意义的应用，意在考查综合应用所学知识，解答问题的能力，属于中档题.23.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对任意恒成立，求的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1) 把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求；(2)对x分类讨论，当时，，借助绝对值不等式即可得到右侧的最小值，从而得到的取值范围.【详解】（1）当时，原不等式等价于，解得，所以；当时，原不等式等价于，解得，所以此时不等式无解；当时，原不等式等价于，解得，所以；综上所述，不等式解集为.（2）由，得当时，恒成立，所以；当时，因为当且仅当即或时，等号成立所以，综上，的取值范围是.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，绝对值三角不等式，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．2020届高三数学第三次调研考试试题文（含解析）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上.2．作答选择题时，选出每个小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案信息点涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效.3．非选择题必须用黑色字迹签字笔作答，答案必须写在答题卡各题指定的位置上，写在本试卷上无效.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先求集合B，再根据并集定义求结果.【详解】.故选：C【点睛】本题考查集合并集定义，考查基本分析求解能力，属基础题.2.设i为虚数单位，复数，则在复平面内对应的点在第（）象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】B【解析】【分析】先根据复数乘法求复数代数形式，再确定象限.【详解】，所以在复平面内对应的点为，在第二象限.故选：B【点睛】本题考查复数乘法运算以及复数几何意义，考查基本分析求解能力，属基础题.3.已知数列是等比数列，函数的两个零点是，则（）A. 1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得，再根据等比数列性质结果.【详解】由韦达定理可知，，则，，从而，且，故选：D点睛】本题考查方程与函数零点关系以及等比数列性质，考查基本分析求解能力，属基础题.4.“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当”时，则或此时可能无意义，故不一定成立，而当时，则或，“”成立故“”是的一个必要不充分条件．故答案选5.已知圆C：上存在两点关于直线对称，=（）A. 1B.C. 0D.【答案】A【解析】【分析】根据圆的对称性圆心在对称轴上，通过列方程解得结果.【详解】若圆上存在两点关于直线对称，则直线经过圆心，，，得.故选：A【点睛】本题考查圆的对称性，考查基本分析求解能力，属基础题.6.在中，，是直线上的一点，若，则=（）A. B. C. 1 D. 4【答案】B【解析】【分析】先根据条件化以为基底向量，再根据平面向量共线定理推论确定参数.【详解】，又三点共线，所以，得.故选：B【点睛】本题考查平面向量共线定理推论，考查基本分析求解能力，属基础题.7.惠州市某学校一位班主任需要更换手机语音月卡套餐，该教师统计自己1至8月的月平均通话时间，其中有6个月的月平均通话时间分别为520、530、550、610、650、660（单位：分钟），有2个月的数据未统计出来.根据以上数据，该教师这8个月的月平均通话时间的中位数大小不可能是（）A. 580B. 600C. 620D. 640【答案】D【解析】【分析】先假设未统计2个月的数据，确定中位数大小的取值区间，再判断选择.【详解】当另外两个月的通话时长都小于530（分钟）时，中位数为（分钟），当另外两个月的通话时长都大于650（分钟）时，中位数为（分钟），所以8个月的月通话时长的中位数大小的取值区间为.故选：D【点睛】本题考查根据数据估计中位数，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知函数为偶函数，若曲线的一条切线与直线垂直，则切点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先根据偶函数求参数，再求导数，根据导数几何意义得斜率，最后根据直线垂直关系得结果.【详解】为偶函数，则，，设切点得横坐标为，则解得，（负值舍去）所以.故选：D【点睛】本题考查偶函数性质、导数几何意义以及直线垂直关系，考查综合分析求解能力，属基础题.9.函数在的图像大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】试题分析：因为，故排除A；因为，所以函数为奇函数，故排除B；因为，分别作出与的图象，可知极值点在上，故选C．考点：1、函数的图象；2、函数的奇偶性；3、利用导数研究函数的单调性．10.为椭圆上的一个动点，分别为圆与圆上的动点，若的最小值为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】圆外的点到圆上点的距离的最小值为：点到圆心的距离减去半径；从而得到两个不等式，再根据的最小值，得到关于的方程，进而求得答案.【详解】因为，恰好为椭圆的两个焦点，因为，所以.因为，得，所以，则.故选：B.【点睛】本题考查圆外一点到圆上一点距离的最小值，考查数形结合思想的应用，求解时注意利用不等式结合最值进行运算求值.11.已知函数，对任意，都有，若在上的值域为，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化简函数，根据正弦函数性质求最大值，解得；再根据在上的值域确定取值范围，解得结果.【详解】=，，，，，，.故选：A【点睛】本题考查辅助角公式以及正弦函数性质，考查综合分析求解能力，属中档题.12.已知函数在处的导数相等，则不等式恒成立时，实数m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求导数，根据条件解得，代入化简不等式；再将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，最后利用导数求对应函数最值，即得结果.【详解】由题得，由已知得为两个不等实根，所以，恒成立，恒成立.令，则，当，当上单调递减，在上单调递增.故选：A【点睛】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查综合分析求解能力，属中档题.二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空3分，第二空2分.13.执行如图所示的程序框图，则输出的n值是_________.【答案】6【解析】分析】执行循环，根据判断条件判断是否继续循环，直至跳出循环输出结果.【详解】①②③结束循环，输出结果：6故答案为：6．【点睛】本题考查循环结构流程图，考查基本分析求解能力，属基础题.14.已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若，，则________．【答案】（或120°）【解析】【分析】根据余弦定理直接求解得，再根据特殊角三角函数值得结果.【详解】因为，，．故答案为：【点睛】本题考查余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现，圆柱的表面积与球的表面积之比为_______．【答案】.【解析】【分析】设球的半径为，可知圆柱高为；根据圆柱表面积和球的表面积公式分别求得表面积，作比得到结果.【详解】设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为圆柱的表面积；球的表面积圆柱的表面积与球的表面积之比为本题正确结果：【点睛】本题考查圆柱表面积和球的表面积公式的应用，属于基础题.16.设为不等式组所表示的平面区域，为不等式组所表示的平面区域，其中，在内随机取一点，记点在内的概率为．（）若，则__________．（）的最大值是__________．【答案】 (1). . (2). .【解析】【分析】分析：当时，时，求出满足的面积，分别求出满足面积，利用几何概型概率公式求解即可.【详解】由题意可得，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；如图，当取得最大值时，即时最大，当时，满足的面积为，时，满足面积为所以；最大值为．故答案为，.【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时 , 忽视验证事件是否等可能性导致错误.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.等差数列的前项和为，已知，公差为大于0的整数，当且仅当=4时，取得最小值.（1）求公差及数列的通项公式；（2）求数列的前20项和.【答案】（1）=2，（2）272【解析】【分析】（1）根据等差数列性质得，解不等式得范围，再根据为大于0的整数得的值，最后根据等差数列通项公式得结果；（2）先根据项的正负去掉绝对值，再分别根据对应等差数列求和公式求和，即得结果.【详解】（1）设的公差为，则由题可知：.，即.解得.因为为整数，=2所以数列的通项公式为（2）当时，；当时，.=272所以数列的前20项和为272.【点睛】本题考查等差数列通项公式、等差数列求和公式以及等差数列性质，考查综合分析求解能力，属中档题.18.如图，四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，点是的中点．。
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》(四)及答案
2020年九年级数学三轮冲刺复习培优练习：《二次函数动点综合压轴》（四）1．如图，抛物线y＝+bx+c与x轴交于点A和点B（点A在原点的左侧，点B在原点的右侧），与y轴交于点C，且OC＝2OA＝2，点D是直线BC下方抛物线上一动点．（1）求出抛物线的解析式；（2）连接AD和BC，AD交BC于点E，当S△ABE ：S△BDE＝5：4时，求点D的坐标；（3）点F为y轴上的一点，在（2）的条件下，求DF+OF的最小值．2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴负半轴于点A，交x轴正半轴于点B（4，0），交y轴正半轴于点C，OC＝4OA，S△ABC＝24．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，过点P作PD⊥AB于点D，连接AP交y轴于点E，过点E作EG⊥PD于点G，设点P的横坐标为t（t≤1），PG的长度为d，求d与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；（3）在（2）的条件下，过点B作BF⊥EG交EG的延长线于点F，点Q在线段GF上，连接DQ、PQ，将△DGQ沿DQ折叠后，点G的对称点为点H，DH交BF于点M，连接MQ并延长交DP的延长线于点N，当∠DQM＝45°，tan∠PQN＝时，求直线PQ的解析式．3．如图，抛物线的解析式为y＝﹣x+5，抛物线与x轴交于A、B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线对称轴与直线BC交于点D．（1）E点是线段BC上方抛物线上一点，过点E作直线EF平行于y轴，交BC于点F，若线段CD长度保持不变，沿直线BC移动得到C'D'，当线段EF最大时，求EC'+C'D'+D'B 的最小值；（2）Q是抛物线上一动点，请问抛物线对称轴上是否存在一点P是△APQ为等边三角形，若存在，请直接写出三角形边长，若不存在请说明理由．4．抛物线y＝﹣+bx+c交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，直线AB的解析式为y＝．（1）求b，c的值；（2）BA沿y轴翻折180°得到BA′，F为A′B上一点，BF的垂直平分线交y轴于点L，R为x轴上一点，BF+OR＝2，QR⊥FL于Q，求QR的长；（3）在（2）的条件下，直线LF交x轴于点D，E为抛物线第一象限上一点，BE＝BD，∠ABE+∠ABD＝180°，求点E的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），将该抛物线位于x轴上方的曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x 轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC，BC．（1）求曲线N所在抛物线的函数表达式；（2）求△ABC外接圆的面积；（3）点P为曲线M或曲线N上的动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点Q的坐标；．并（4）在直线BC上方的曲线M上确定两个点D1，D2，使得＝＝S△ABC 求出点D1，D2的坐标；在曲线M或N上是否存在五个点T1，T2，T3，T4，T5，使得这五个点分别与点B，C围成的三角形的面积为？若存在，直接写出这五个点T1，T2，T3，T4，T5的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0）和B（3，0），与y轴交于C点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．（1）求此抛物线的解析式和对称轴．（2）如图2，当点E在抛物线的对称轴上运动时，在直线AD上是否存在点F，使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图3，当点A、C、D三点共圆时，请求出该圆圆心的坐标．7．已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴与x轴的交点横坐标是分式方程﹣2＝的解，若抛物线与x轴的一个交点为A（﹣3，0），与y轴的交点C（0，﹣6），（1）求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式；（2）若点D坐标为，连结DC，若点H是线段DC上的一个动点，求的最小值；（3）连结AC，过点B作x轴的垂线l，在第三象限中的抛物线上取点P，过点P作直线AC的垂线交直线l于点E，过点E作x轴的平行线交AC于点F，已知PE＝CF．①求点P的坐标；②在抛物线上是否存在一点Q，使得∠QPC＝∠BPE成立？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．8．在平面直角坐标系中，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C，点B在x轴正半轴上，＝20．抛物线y＝ax2+bx+5经过A、B两点，连接BC，S△ABC（1）求抛物线的解析式；（2）点P在第二象限的抛物线上，过点P作PH⊥AC于点H，交y轴于点D，若PD＝3PH，求PD的长；（3）在（2）的条件下，若点M（m，7+m）和点P同在一个象限内，连接MD、MP，tan∠MDP ＝，求M点坐标．9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点A，B，连接OA，OB，AB，直线AB交y轴于点C，点A到两坐标轴的距离相等．点B到两坐标轴的距离也相等．（1）求点A，B的坐标并直接写出△OAB的形状；（2）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O，B重合），连接PC，当△OPC为等腰三角形时，求点P的坐标；（3）若点F为x轴上一动点，当△FAB是以AB为斜边的直角三角形时，求点F的坐标．10．已知：抛物线y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）（m˃0）交x轴于A、B两点（其中A点在B点左侧），交y轴于点C．（1）若A点坐标为（﹣1，0），则B点坐标为．（2）如图1，在（1）的条件下，且am＝1，设点M在y轴上且满足∠OCA+∠AMO ＝∠ABC，试求点M坐标．（3）如图2，在y轴上有一点P（0，n）（点P在点C的下方），直线PA、PB分别交抛物线于点E、F，若＝，求的值．参考答案1．解：（1）OC＝2OA＝2，则点A、C的坐标分别为：（﹣1，0）、（0，﹣2），则c＝﹣2，将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b＝﹣，故抛物线的表达式为：y＝x2﹣x﹣2；（2）由点B 、C 的坐标得，直线BC 的表达式为：y ＝x ﹣2， S △ABE ：S △BDE ＝5：4，则AE ：ED ＝5：4，分别过点A 、D 作y 轴的平行线分别交BC 于点M 、H ，∴AM ∥HD ，当x ＝﹣1时，y ＝x ﹣2＝﹣， ∵AM ∥HD ，∴AM ：HD ＝AE ：ED ＝5：4， ∴HD ＝2，设点D （x ，x 2﹣x ﹣2），则点H （x ，x ﹣2）， DH ＝x ﹣2﹣（x 2﹣x ﹣2）＝2，解得：x ＝2， 故点D （2，﹣3）；（3）作一条与y 轴夹角为α的直线AH ，使tan ∠HOF ＝＝tanα，则sin ，过点D 作DH ⊥AH ，交AH 于点H ，交y 轴于点F ，则点F 为所求点，DF +OF ＝FD +HF 最小，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点N ，则∠FDN ＝α， 则直线FD 的表达式为：y ＝﹣x +n ，将点D的坐标代入上式并解得：直线DF的表达式为：y＝﹣x﹣，故点F（0，﹣），则OF＝，DF+OF的最小值＝FD+HF＝+×＝．2．解：（1）设OA＝m，则OC＝4OA＝4m，∵B（4，0），所以OB＝4，∴AB＝OA+OB＝4+m，∴S＝AB•OC＝2m（4+m）＝24，△ABC解得m＝2，∴A（﹣2，0），C（0，8），将A、C两点坐标代入y＝﹣x2+bx+c解得b＝2，c＝8，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+8．（2）∵P为抛物线上一点，且横坐标为t，∴P（t，﹣t2+2t+8），∴PD＝﹣t22t+8，OD＝t，∵A（﹣2，0），∴AD＝t+2，∵EG⊥PD，∴△PEG∼PAD，且EG＝OD＝t，∴，所以，所以d＝﹣t2+4t．（3）∵PG＝﹣t2+4t，PD＝﹣t2+2t+8，∴GD＝PD﹣PG＝8﹣2t，∴OE＝BF＝GD＝8﹣2t，设∠QMF＝α，则∠MQF＝90°﹣α，∵∠DQM＝45°，∴∠GQD＝180°﹣∠DQM﹣∠MQF＝45°+α，∴∠DQH＝∠GQD＝45°+α，∴∠HQM＝∠DQH﹣∠DQM＝α，∴△QFM≌△MHQ，∴QH＝MF，MH＝QF，如图，作MK⊥QM交DQ于K，过点K作SR⊥FB于R交GD于S，则∠KRM＝∠KMQ＝∠QFM＝90°，∵∠DQM＝45°，∴∠MKQ＝45°＝∠MQK，∴QM＝KM，∵∠QMF+∠KMR＝∠KMR+∠MKR＝90°，∴∠QMF＝∠MKR，∴△QFM≌△MRK，∴KR＝MF，MR＝QF，设QF＝m，则MR＝QF＝m，∴GQ＝QH＝FM＝EF﹣EG﹣QF＝4﹣t﹣m，∴FR＝FM+MR＝4﹣t﹣m+m＝4﹣t＝BF，∴R为BF中点，∴SK＝GQ，∵SK＝SR﹣KR＝GF﹣GQ＝QF，∴QF＝FM，∴tan∠QMF＝tanα＝，作PT⊥NQ于T，则tan∠N＝＝tanα＝，∴NT＝2PT，∵tan∠PQN＝＝，∴QT＝8PT，设PT＝n，则NT＝2n，QT＝8n，QN＝10n，PN＝n，∵＝tan∠N＝，∴GQ＝＝2n，NG＝2GQ＝4n，∴PG＝NG﹣PN＝3n，∴＝，∵GQ＝2SK＝2QF＝2m，∴，∴PG＝GF＝4﹣t，又∵PG＝﹣t2+4t，∴﹣t2+4t＝4﹣t，∴t2﹣5t+4＝0，解得t＝1或t＝5（舍），∴P（1，9），Q（3，6），∴PQ的解析式为y＝﹣x+．3．解：（1）因为y＝﹣x2+x+5＝﹣（x﹣5）（x+），∴A（﹣，0），B（5，0），C（0，5），抛物线对称轴为x＝＝2，由B、C坐标可求得直线BC的解析式为y＝﹣x+5，令x＝2，则y＝﹣×2+5＝3，∴D（2，3），∴CD＝C'D'＝4．设E（m，﹣m2+m+5），则F（m，﹣m+5），∴EF＝y E﹣y F＝﹣m2+m+5+m﹣5＝﹣m2+m＝﹣（m﹣）2+，∴当m＝时，EF取得最大值，此时E（，）．如图1，作平行四边形EC'D'E'，则EC'＝E'D'，E'（，）．作D'G⊥OB于G，E'H⊥OB于H．∵tan∠CBO＝＝＝，所以∠CBO＝30°，∴D'G＝D'B，∴EC'+C'D'+D'B＝C'D'+E'D'+D'G≥C'D'+E'H，当且仅当E'、D'、G三点共线时，EC'+C'D'+D'B取得最小值C'D'+E'H＝4+＝．（2）①如图2，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．②如图3，△APQ是等边三角形，此时Q与B重合，P在x轴下方．∴等边三角形的边长为AQ＝AB＝6．③如图4，△APQ是等边三角形，此时Q与C重合，P在x轴上方．∴等边三角形的边长为AQ＝AC＝2．④如图5，△APQ是等边三角形，此时Q在第三象限，P在x轴下方．∵PA＝PB＝PQ，所以A、Q、B三点在以P为圆心PA为半径为圆周上，∴∠ABQ＝∠APQ＝30°，∴直线BQ的解析式为y＝x﹣5，联立方程组，解得或（舍），∴Q＝（﹣2，﹣7），∴AQ＝2，即等边△APQ的边长为2√．综上所述，满足要求的等边三角形的边长可以是：6、2、2．4．解：（1）∵直线y＝x+2分别与x轴、y轴交于A、B两点，∴A（﹣2，0），B（0，2），∵抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A、B两点，∴将A、B两点坐标代入抛物线解析析得：﹣﹣2b+c＝0，c＝2，∴b＝，c＝2，∴抛物线的解析为y＝﹣x2+x+2．（2）由题意知A'（2，0），∴OA'＝2，∴tan∠A'BO＝＝，所以∠OBA'＝30°，∵L为BF垂直平分线上的点，∴LB＝LF＝m，∴∠LFB＝∠LBF＝30°，∴∠OLQ＝60°，BF＝m，∴OL＝OB﹣LB＝2﹣m，设LQ的延长线与x轴交于点D，则∠LDO＝30°，∴OD＝OL＝6﹣m，∵BF+OR＝2，∴OR＝2﹣BF＝2﹣m，∴RD＝OD﹣OR＝4，∵RQ⊥FL，∴QR＝RD＝2．（3）如图3，设G为AB延长上一点，作BP⊥AB交x轴于点P，连接EP，作EH⊥x轴于H．∵tan∠BAO＝＝＝，∴∠BAO＝60°，∴∠BPA＝30°，∵∠ABE+∠ABD＝∠ABE+∠GBE＝180°∴∠ABD＝∠GBE，∵BD＝BE，∴∠BDE＝∠BED，∵∠ABD+∠DBE+∠GBE＝∠BDE+∠DBE+∠BED＝180°，∴∠ABD＝∠GBE＝∠BDE＝∠BED，∴AB∥DE，∴∠EDP＝∠BAO＝60°，∵BP⊥AB，∴BP⊥DE，∴PE＝PD，∴△EDP是等边三角形，∴PH＝DH＝DP，设D点坐标为（n，0），∵OP＝OB＝6，∴PD＝OP﹣OD＝6﹣n，∴DH＝PH＝，EH＝DH＝，OH＝，∴E（，），将E点坐标代入抛物线解析式解得n＝4或n＝，∴E点坐标为（5，）或（，）．5．解：（1）∵N与M图象下方的部分关于x轴对称，∴N所在函数解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x2﹣2x﹣3＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0），∵曲线N交y轴于点C，∴C（0，3），分别作BC与AB的垂直平分线交于点O'，则O'为△ABC的外接圆，∵Rt△BOC为等腰直角三角形，∴OO'＝OH＝O'H＝1，∵HB＝2，∴O'B＝，∵O'B是△ABC外接圆的半径，∴△ABC外接圆的面积＝5π；（3）当P点在M上时，设P（m，m2﹣2m﹣3），Q（n，0），∴m≥3或m≤﹣1；①当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝1+或m＝1﹣，＝，解得n＝2﹣或n＝2+，∴Q（2﹣，0）或Q（2+，0）；②当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝0或m＝2（都不符合）；当P点在N上时，设P（m，﹣m2+2m+3），Q（n，0），∴﹣1≤m≤3，③当BQ∥PC，BQ＝PC时，B、C的中点为（，），P、Q的中点为（，），∴＝，解得m＝0或m＝2，＝，解得n＝3或n＝1，∴Q（1，0）或Q（3，0），∵Q（3，0）与B（3，0）重合，∴Q（1，0）；④当BP∥CQ，BP＝CQ时，B、Q的中点为（，0），P、C的中点为（，），∴＝0，解得m＝1+或m＝1﹣（都不符合）；综上所述：Q（1，0）或Q（2﹣，0）或Q（2+，0）时以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形；（4）∵＝＝S，△ABC∴D1D2所在直线与直线BC平行，∵BC＝3，设A点到BC的距离为h，∵△ABC的面积＝×3h＝×4×3，∴h＝2，∴D1D2所在直线与直线BC间的距离为2，设D1D2的直线解析式为y＝﹣x+b，∴b﹣3＝4，∴b＝7，∴y＝﹣x+7，联立，解得x＝或x＝，∴D1（，），D2（，）；联立，解得x无解；综上所述：D1（，），D2（，）；∵T1，T2，T3，T4，T5与点B，C围成的三角形的面积为，∴T1，T2，T3，T4，T5到直线BC的距离为，设与BC平行的直线为y＝﹣x+t，∴|t﹣3|＝，∴t＝或t＝，∴y＝﹣x+或y＝﹣x+，当点在M上时，x≥3或x≤﹣1，联立，解得x＝或x＝﹣，∴x＝﹣，∴T1（﹣，）；联立，解得x＝或x＝，∴T2（，）或T3（，）；当点在N上时，﹣1≤x≤3，联立，解得x＝（舍）或x＝，∴T4（，）；联立，解得x＝，∴T5（，）；综上所述：存在五个点符合条件，分别是T1（﹣，）或T2（，）或T3（，）或T4（，）或T5（，）．6．解：（1）把点A（﹣1，0）和B（3，0）代入，得解得：．∴抛物线的解析式为：∴对称轴；（2）存在，分三种情况讨论．①如图1 所示，∵四边形ACEF为平行四边形∴EF可由AC平移得到，点C的对应点为点E，点A的对应点为点F ∵，点E的横坐标为1∴向右平移了一个单位∵A（﹣1，0），∴点F的横坐标为0设直线AD的函数解析式为：y＝kx+b（k≠0）∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点D．∴，把点A（﹣1，0）和代入，解得：∴直线AD的函数解析式为：∴当x＝0时，∴②如图2 所示，此时点F与点D重合，∴③如图3 所示，根据平移的规律，得知点F的横坐标为﹣2，当x＝﹣2时，∴综上所述：点F的坐标为或或．（3）设CD、AC的垂直平分线的交点为M点，则M点就是点A、C、D三点共圆的圆心．∵抛物线的对称轴x＝1是CD的垂直平分线，∴设M（1，m），由MA＝MC得，，解得，m＝﹣，∴M（1，﹣）．7．解：（1）解分式方程﹣2＝，1﹣2x+4＝﹣10x+1，x＝﹣，经检验，x＝﹣是原方程的解，∵抛物线对称轴与x轴交点横坐标是的解，∴抛物线对称轴为，∴a＝b，∵抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0）、C（0，﹣6），∴∴，∴抛物线的解析式为y＝x2+x﹣6；（2）作点O关于直线CD的对称点O'，过点O作O'G⊥y轴交CD与点H，交y轴与点G，如图1，∵OD＝2，OC＝6，则∠OCD＝30°，∴，∴＝GH+O'H＝GO'，此时为最小值，∵O'O⊥CD，∴∠OO'H＝∠OCD＝∠O'OD＝30°，∴OO'＝2OD•cos30°＝2×2×＝6，在Rt△OO'G中，GO'＝OO'•cos∠OO'G＝6cos60°＝3，即的最小值为；（3）①设点P的坐标为（m，n），n＝m2+m﹣6，设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，，∴直线AC表达式为y＝﹣2x﹣6，则直线PE的一次项系数k的值为，设直线PE的表达式为：y＝x+b（k≠0），将点P坐标代入上式并解得：，∴直线PE的解析式为：y＝+n﹣，则点E的坐标为，点F的坐标为过点P作x轴的平行线交直线l于点M，过点F作y轴平行线交过C点作x轴的平行线于点S，如图2，∵AC⊥PE，∴∠EPM＝∠SFC，∵PE＝CF，∴△PME≌△FSC（AAS），∴PM＝FS，∴，即2m2+3m﹣2＝0，解得：或﹣2（舍去），故点P坐标为（﹣2，﹣4）；②由上可得点E坐标为（2，﹣2），过点P作x轴的平行线交直线l于点M，交y轴于点R，作EN⊥PB于点N，如图3，则PM＝4＝BM＝4，EM＝BE＝2，∴∠MPB＝∠MBP＝45°，PE＝，EN＝BE•sin∠NBE＝，设∠QPC＝∠BPE＝α，则，则tanα＝，过点P作y轴的平行线交过C点与x轴的平行线于点L，延长PQ交CL于点H，过点H 作HG⊥PC于G，则PL＝PR＝RC＝CL＝2，即四边形PRCL为正方形，∴∠PCH＝45°，设GH＝GC＝m，，，则，，即点H坐标为（﹣1，﹣6），则HP所在的直线表达式为：y＝﹣2x﹣8，解方程组得，或，∴点Q的坐标为（﹣1，﹣6）．8．解：（1）如图①，直线y＝x+5交x轴于点A，交y轴于点C．∴A（﹣5，0），C（5，0）．∴OC＝OA＝5．＝20，∵S△ABC∴AB＝8．∴OB＝3．∴B（3，0）．∵抛物线y＝ax2+bx+5经过A，B两点，∴．解得．∴抛物线解析式为：；（2）如图②，过点P作PE⊥y轴，垂足为E，过点P作PF⊥x轴，垂足为F，交AC于点G设点P的横坐标为3n，则纵坐标为：．∴E（0，﹣3n2﹣2n+5），F（﹣3n，0）．∴OE＝﹣3n2﹣2n+5，OF＝﹣3n在矩形PEOF中，PE＝OF，PF＝OE，∴PE＝﹣3n，PF＝﹣3n2﹣2n+5．∵OC＝OA＝5，∴AF＝5﹣3n，∠OAC＝∠OCA＝45°．∴∠PDE＝∠DPE＝45°．∴．∵PD＝3PH，∴．∵∠DPE＝45°，∴∠GPH＝45°．∵PH⊥AC，∴PG＝﹣2n．∵∠OAC＝45°，∴AF＝GF＝5+3n，∴PF＝﹣2n+5+3n＝n+5．∵PF＝﹣3n2﹣2n+5，∴n＝﹣1或n＝0（舍）∵点P在第二象限的抛物线上．∴n＝﹣1．∴；（3）∵M（m，7+m），∴点M在直线y＝x+7上．∵n＝﹣1，∴P（﹣3，4）．∴点P也在直线y＝x+7上．①如图③，当点M在点P上方时，过点M作MN⊥PE于点N∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴N（m，4）．∴PN＝m﹣（﹣3）＝m+3，MN＝7+m﹣4＝m+3．∴∠MPN＝∠PMN＝45．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝∠MPN+∠DPE＝90°．在直角三角形PMN中，PN＝m+3，MN＝m+3，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣2．∴M（﹣2，5）；②如图④，当点M在点P下方时，过点M作MK⊥EP延长线于点K，∵M（m，7+m），P（﹣3，4），∴K（m，4）．∴PK＝﹣3﹣m，MK＝4﹣（7+m）＝﹣3﹣m．∴PK＝MK．∴∠MPK＝∠PMK＝45°．∵∠DPE＝45°，∴∠MPD＝180°﹣∠MPK﹣∠DPE＝90°．在直角三角形PMK中，PK＝﹣3﹣m，MK＝﹣3﹣m，∴．∵，∴PD＝3PM．∵，∴m＝﹣4．∴M（﹣4，3）．∴点M的坐标为（﹣2，5）或（﹣4，3）．9．解：（1）∵点A在第二象限，∴设点A的坐标是（﹣m，m）．∵点A在抛物线上，∴．解得m1＝1，m2＝0（舍去）．∴点A的坐标是（﹣1，1）．同理可得点B的坐标是（3，3）．∴OA2＝2，OB2＝18，AB2＝（3+1）2+（3﹣1）2＝20．∴OA2+OB2＝AB2．∴△OAB是直角三角形；（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b（k≠0）．∴，解得，∴直线AB的解析式为．∴点C的坐标为．∵直线OB过点O（0，0），B（3，3），∴直线OB的解析式为y＝x．∵△OPC为等腰三角形，∴OC＝OP或OP＝PC或OC＝PC．设P（x，x），①当OC＝OP时，．解得，（舍去）．∴．②当OP＝PC时，点P在线段OC的中垂线上，∴．③当OC＝PC时，由，解得，x2＝0（舍去）．∴．∴P点坐标为或或．（3）如图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BH⊥x轴于点H．∵点F为x轴上一动点，∴设F（n，0），当∠AFB＝90°时，可得：∠NFA+∠HFB＝90°，∵∠HBF+∠HFB＝90°，则∠NFA＝∠HBF．又∵∠ANF＝∠FHB∴△AFN∽△FBH，∴，即，解得n1＝0，n2＝2．∴F1（0，0），F2（2，0）．10．解：（1）将（﹣1，0）代入y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）得：1+2m﹣3m2＝0，解得：m＝1或m＝﹣（舍），∴y＝a（x2﹣2mx﹣3m2）＝a（x+1）（x﹣3），∴B（3，0）．故答案为：（3，0）．（2）当am＝1时，抛物线解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴C（0，﹣3）∴OB＝OC＝3，∠ABC＝45°，如图1，M在y轴负半轴上，在y轴负半轴上截取OG＝OA＝1，连AG，则∠AGO＝45°＝∠ABC，AG＝，∴∠OCA+∠AMO＝45°，又∵∠OCA+∠GAC＝∠AGO＝45°，∴∠AMG＝∠GAC，又∵∠AGM＝∠CGA，∴△GMA∽△GAC，∴AG2＝MG•GC，又GC＝OC﹣OG＝2，设M（0，a）∴2＝（﹣1﹣a）•2，∴a＝﹣2，∴M的坐标为（0，﹣2）．根据对称性可知（0，2）也符合要求．综上所述，满足要求的M点的坐标有：（0，﹣2）、（0，2）．（3）由抛物线解析式可得：A（﹣m，0），B（3m，0）．∵，∴，如图2，作EG⊥x轴于点G，FH⊥y轴于点H，则△EAG∽PAO，△PFH∽△PBO，∴＝＝＝，∴AG＝AO＝m，OP＝2EG，∴x E＝﹣m，y E＝am2，即EG＝am2，∴OP＝am2，∴P（0，﹣am2），又∵B（3m，0），∴直线PB的解析式为：y＝amx﹣am2，∴amx﹣am2＝a（x2﹣2mx﹣3m2），∴2x2﹣7mx+3m2＝0，∴x1＝3m（舍），x2＝m，∴FH＝m，∴＝＝＝．。
江西师大附中2020届高三三模文科数学参考答案
江西师大附中2020届高三三模考试参考答案（文科数学） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A D D D C A B B D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 17 14. 10 15. 3 16. 1(0,)2e三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）【解析】（1）由πsin 22sin cos()3a Bb A B =−得， π2sin sin cos 2sin sin cos()3A B B B A B =−， 从而πcos cos()3B B =−， ……………………3分 因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π(0,)2B ∈，ππ(,)363B π−∈−，所以π3B B =−， 从而π6B =， 所以3cos B =. ……………………6分 （2）因为1sin 12ABC S ac B ∆==， 所以4ac =， ……………………9分 又222222cos 43243843b a c ac B a c ac =+−=+−≥−=−，当且仅当2a c ==时取等号. 所以b 的最小值为84362−=−. ……………………12分18．（12分）【解析】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++； ……………3分 估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++. ……………………6分 （2）当600,0a b c d ====时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大. ……………………9分 因为2004a b c d x +++==，所以此时方差 222221[()()()()]4s a x b x c x d x =−+−+−+−221(6003200)1200004=+⨯=. ………………12分19．（12分）【解析】（1）在四棱台ABCD EFGH −中，延长,,,AE BF CG DH 可相交于一点S ，如图所示.取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN .因为1CG GH HD ===，所以SD SC =，从而CD SM ⊥. ……………………3分因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD ∆为正三角形，所以CD BM ⊥.又因为M BM SM =I ，所以⊥CD 平面SBM .所以SB CD ⊥，即BF CD ⊥. ………………6分（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ， 所以由（1）可知，⊥SM 平面ABCD .因为1=GH ，2=CD ，CD GH //，所以21=SM SN . 又1=CG ， 所以3122222=−=−=CM SC SM . ………………9分 所以四棱台ABCD EFGH −的体积为SN S SM S V EFGH ABCD ⋅−⋅=3131 47231233132233122=⨯⨯⨯−⨯⨯⨯=. ………………12分20．（12分）【解析】（1）由已知，(0,)B b ，(,0)F c −，所以||BF a =，所以bc =，即c a ==，所以b =， ………………3分 又222213b e a=−=， 所以26a =. 所以椭圆C 的方程为22162y x +=. ………………5分 （2）将1x =代入22162y x +=得，253y =，y =，此时2||||1)(113AM AN =−+=≠，因此，直线l 的斜率必定存在. ………………6分 设直线l 的方程为1(1)y k x −=−，即1y kx k =+−，1122(,),(,)M x y N x y ， 联立221,162y kx k y x =+−⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(31)6(1)3(1)60k x k k x k ++−+−−=， 所以1226(1)31k k x x k −+=+，21223(1)631k x x k −−=+， ………………8分所以12||||1||1|AM AN x x =−− 222212122|3(1)66(1)31|(1)|()1|(1)31k k k k k x x x x k k −−−−++=+−++=+⋅+ 222(1)131k k +==+， ………………11分 解得21k =，所以1k =±. 所以直线l 的方程为y x =或2y x =−+. ………………12分 【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.21．（12分）【解析】（1）由已知，()(1)2xf x x =+⋅，从而()2(1)2ln 22[(1)ln 21]x x x f x x x '=++⋅=++， ………………3分 所以(0)1f =，(0)ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1(ln 21)y x −=+⋅，即(ln 21)1y x =++. ………………6分 （2）当0x >时，()1(2ln 22f x a x x x x≥++++）可化为2(1)2(21)ln 22x x x x a x +≥++++， 即2(1)2(21)ln 22x a x x x x ≤+−++−.令2()(1)2(21)ln 22,0x g x x x x x x =+−++−>，则依题设，只需min ()a g x ≤. ……………8分()2(1)2ln 2(22)ln 22x x g x x x '=++−+−(22)[(1)ln 21]x x =−++，因为(1)ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ………………10分 所以min ()(1)44ln 2224ln 2g x g ==−−=−，所以24ln 2a ≤−. 即实数a 的取值范围是(,24ln 2]−∞−. ………………12分（二）选考题：共10分。
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试含附加及参考答案
南京市2020届高三年级数学第三次模拟考试含附加及参考答案work Information Technology Company.2020YEAR南京市2020届高三年级第三次模拟考试数 学注意事项：1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置．．．．上） 1．已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |1＜x ＜3}，则A ∪B ＝ ▲ ． 2．若z ＝a 1＋i＋i (i 是虚数单位)是实数，则实数a 的值为 ▲ ． 3．某校共有教师300人，男学生1200人，女学生1000人，现用分层抽样从所有师生中抽取一个容量为125的样本，则从男学生中抽取的人数为 ▲ ．4．如图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．5．将甲、乙、丙三人随机排成一行，则甲、乙两人相邻的概率为 ▲ ．6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ) (其中ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则f (π2)的值为 ▲ ．7．已知数列{a n }为等比数列．若a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－2成等差数列，则{a n }的前n 项和为 ▲ ．（第6题图）8．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点为F ．若以F 为圆心，a 为半径的圆交该双曲线的一条渐近线于A ，B 两点，且AB ＝2b ，则该双曲线的离心率为 ▲ ．9．若正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，则三棱锥A －B 1CD 1的体积为 ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2， x ≤0，f (－x )，x ＞0，g (x )＝f (x －2)．若g (x －1)≥1，则x 的取值范围为 ▲ ．11．在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 是圆O ：x 2＋y 2＝2上两个动点，且OA →⊥OB →．若A ，B 两点到直线l ：3x ＋4y －10＝0的距离分别为d 1，d 2，则d 1＋d 2的最大值为 ▲ ．12．若对任意a ∈[e ，＋∞) (e 为自然对数的底数) ，不等式x ≤e ax ＋b 对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为 ▲ ．13．已知点P 在边长为4的等边三角形ABC 内，满足AP →＝λAB →＋μAC →，且2λ＋3μ＝1，延长AP 交边BC 于点D ．若BD ＝2DC ，则PA →·PB →的值为 ▲ ．14．在△ABC 中，∠A ＝π3，D 是BC 的中点．若AD ≤22BC ，则sin B sin C 的最大值为 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指．定区域．．．内． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA ⊥PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点．求证：（1）EF∥平面PCD；（2）平面PAB⊥平面PCD．16．(本小题满分14分)已知向量m＝(cos x，sin x)，n＝(cos x，－sin x)，函数f(x)＝m·n＋1 2．（1）若f(x2)＝1，x∈(0，π)，求tan(x＋π4)的值；（2）若f(α)＝－110，α∈(π2，3π4)，sinβ＝7210，β∈(0，π2)，求2α＋β的值．17．(本小题满分14分)如图，港口A在港口O的正东100海里处，在北偏东方向有一条直线航道OD，航道和正东方向之间有一片以B为圆心，半径85海里的圆形暗礁群（在这片海域行船有触礁危险），其中OB＝2013海里，tan∠AOB＝2 3，cos∠AOD＝55．现一艘科考船以105海里/小时的速度从O出发沿OD方向行驶，经过2个小时后，一艘快艇以50海里/小时的速度准备从港口A 出发，并沿直线方向行驶与科考船恰好相遇．（1）若快艇立即出发，判断快艇是否有触礁的危险，并说明理由；（2）在无触礁危险的情况下，若快艇再等x小时出发，求x的最小值．18．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)经过点 (－2，0)和 (1，32)，椭圆C上三点A，M，B与原点O构成一个平行四边形AMBO．（1）求椭圆C的方程；（2）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；（3）若A，M，B，O四点共圆，求直线AB的斜率．19．(本小题满分16分)已知函数f(x)＝e xx2－ax＋a(a∈R) ，其中e为自然对数的底数．(第18题图)(第17题图)（1）若a＝1，求函数f(x)的单调减区间；（2）若函数f(x)的定义域为R，且f(2)＞f(a)，求a的取值范围；（3）证明：对任意a∈(2，4)，曲线y＝f(x)上有且仅有三个不同的点，在这三点处的切线经过坐标原点．20．(本小题满分16分)若数列{a n}满足n≥2，n∈N*时，a n≠0，则称数列{a na n＋1}(n∈N*)为{a n}的“L数列”．（1）若a1＝1，且{a n}的“L数列”为{12n}，求数列{a n}的通项公式；（2）若a n＝n＋k－3(k＞0)，且{a n}的“L数列”为递增数列，求k的取值范围；（3）若a n＝1＋p n－1，其中p＞1，记{a n}的“L数列”的前n项和为S n，试判断是否存在等差数列{c n}，对任意n∈N*，都有c n＜S n＜c n＋1成立，并证明你的结论．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题注意事项：1．附加题供选修物理的考生使用． 2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题卡的密封线内．试题的答案写在答题．．卡．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0，a ∈R ．若点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)．（1）求矩阵A ；（2）求点Q (0，3)经过矩阵A 的2次变换后对应点Q ′的坐标．B ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)，求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．C ．选修4—5：不等式选讲已知a ，b 为非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，AB ＝3，AC ＝4，B 1C ⊥AC 1．（1）求AA 1的长．（2）试判断在侧棱BB 1上是否存在点P ，使得直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等，并说明理由．(第22题图) A 1CABB 1C 1P23．(本小题满分10分)口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n∈N*)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为P n．（1）求P1；（2）证明：P n＋1＜P n．南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．{x|1＜x＜4} 2．2 3．60 4．10 5．23 6． 37．2－2 8．62 9．83 10．[2，4] 11．6 12． [－2，＋∞)13．－9414．38二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．(本小题满分14分)证明：(1)取PC中点G，连接DG、FG．在△PBC中，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以GF∥BC，GF＝1 2BC．因为底面ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE ∥BC ，DE ＝12BC ， ······························································· 2分所以GF ∥DE ，GF ＝DE ，所以四边形DEFG 为平行四边形， 所以EF ∥DG ． ······························································· 4分 又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，所以EF ∥平面PCD ． ······································································ 6分(2)因为底面ABCD 为矩形，所以CD ⊥AD ．又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD ⊥平面PAD ． ····················································· 10分 因为PA ⊂平面PAD ，所以CD ⊥PA ． ·································· 12分又因为PA ⊥PD ，PD ⊂平面PCD ，CD ⊂平面PCD ，PD ∩CD ＝D ，所以PA ⊥平面PCD ．因为PA ⊂平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PCD ． ·················· 14分16．(本小题满分14分)解：(1) 因为向量m ＝(cos x ，sin x )，n ＝(cos x ，－sin x )，所以 f (x )＝m ·n ＋12＝cos 2x －sin 2x ＋12＝cos2x ＋12． ····················· 2分因为f (x 2)＝1，所以cos x ＋12＝1，即cos x ＝12．又因为x ∈(0，π) ，所以x ＝π3， ················································· 4分所以tan(x ＋π4)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋ tan π41－tan π3tanπ4＝－2－3． ······················ 6分(2)若f (α)＝－110，则cos2α＋12＝－110，即cos2α＝－35．因为α∈(π2，3π4)，所以2α∈(π，3π2)，所以sin2α＝－1－cos 22α＝－45．··························································································· 8分 因为sin β＝7210，β∈(0，π2)，所以cos β＝1－sin 2β＝210， ········· 10分 所以cos(2α＋β)＝cos2αcos β－sin2αsin β＝(－35)×210－(－45)×7210＝22．·························································································· 12分 又因为2α∈(π，3π2)，β∈(0，π2)，所以2α＋β∈(π，2π)， 所以2α＋β的值为7π4． ························································ 14分17．(本小题满分14分)解：如图，以O 为原点，正东方向为x 轴，正北方向轴，建立直角坐标系xOy ．因为OB ＝2013，tan ∠AOB ＝23，OA ＝100，所以点B (60，40)，且A (100，0)． 2分(1)设快艇立即出发经过t 小时后两船相遇于点C ， 则OC ＝105(t ＋2)，AC ＝50t ． 因为OA ＝100，cos ∠AOD ＝55， 所以AC 2＝OA 2＋OC 2－2OA ·OC ·cos ∠AOD ， 即(50t )2＝1002＋[105(t ＋2)]2－2×100×105(t ＋2)×55．化得t 2＝4，解得t 1＝2，t 2＝－2（舍去）， ················································· 4分 所以OC ＝405． 因为cos ∠AOD ＝55，所以sin ∠AOD ＝255，所以C (40，80)， 所以直线AC 的方程为y ＝－43(x －100)，即4x ＋3y －400＝0． ·························· 6分因为圆心B 到直线AC 的距离d ＝|4×60＋3×40－400|42＋32＝8，而圆B 的半径r ＝85，所以d ＜r ，此时直线AC 与圆B 相交，所以快艇有触礁的危险．答：若快艇立即出发有触礁的危险． ·························································· 8分 (2)设快艇所走的直线AE 与圆B 相切，且与科考船相遇于点E ． 设直线AE 的方程为y ＝k (x －100)，即kx －y －100k ＝0．因为直线AE 与圆B 相切，所以圆心B 到直线AC 的距离d ＝|60k －40－100k |12＋k 2＝85，即2k 2＋5k ＋2＝0，解得k ＝－2或k ＝－12． ················································ 10分由（1）可知k ＝－12舍去．因为cos ∠AOD ＝55，所以tan ∠AOD ＝2，所以直线OD 的方程为y ＝2x ． 由⎩⎨⎧y ＝2x ， y ＝－2(x －100)，解得⎩⎨⎧x ＝50，y ＝100，所以E (50，100)，所以AE ＝505，OE ＝505， ·································································· 12分 此时两船的时间差为505105－50550＝5－5，所以x ≥5－5－2＝3－5．答：x 的最小值为(3－5)小时．································································ 14分18．(本小题满分16分)解：(1)因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(－2，0)和 (1，32)，所以a ＝2，1a 2＋34b 2＝1，解得b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ············································ 2分(2)因为B 为左顶点，所以B (－2，0)．因为四边形AMBO 为平行四边形，所以AM ∥BO ，且AM ＝BO ＝2． · 4分设点M (x 0，y 0)，则A (x 0＋2，y 0)．因为点M ，A 在椭圆C 上，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 024＋y 02＝1， (x 0＋2)24＋y 02＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1， y 0＝±32， 所以M (－1，±32)． ·························································· 6分(3) 因为直线AB 的斜率存在，所以设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1，消去y ，得(4k 2＋1)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0， 则有x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4m 2－41＋4k 2． ······································ 8分因为平行四边形AMBO ，所以OM →＝OA →＋OB →＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)． 因为x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，所以y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝k ·－8km1＋4k 2＋2m ＝2m1＋4k 2， 所以M (－8km 1＋4k 2，2m1＋4k 2)． ···················································· 10分 因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程， 化得4m 2＝4k 2＋1．① ·························································· 12分 因为A ，M ，B ，O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形，且OA ⊥OB ，所以OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝0．因为y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 1＋m )＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4 k21＋4k 2，所以x 1x 2＋y 1y 2＝4m 2－41＋4k 2＋m 2－4k 21＋4k 2＝0，化得5m 2＝4k 2＋4．② ···· 14分 由①②解得k 2＝114，m 2＝3，此时△＞0，因此k ＝±112． 所以所求直线AB 的斜率为±112． ······································· 16分19． (本小题满分16分)解：(1)当a ＝1时，f (x )＝e xx 2－x ＋1，所以函数f (x )的定义域为R ，f'(x )＝e x (x －1)(x －2)(x 2－x ＋1)2．令f'(x )＜0，解得1＜x ＜2，所以函数f (x )的单调减区间为(1，2)． ····································· 2分 (2)由函数f (x )的定义域为R ，得x 2－ax ＋a ≠0恒成立，所以a 2－4a ＜0，解得0＜a ＜4． ··········································· 4分 方法1由f (x )＝e x x 2－ax ＋a ，得f'(x )＝e x(x －a )(x －2)(x 2－ax ＋a )2．①当a ＝2时，f (2)＝f (a )，不符题意． ②当0＜a ＜2时，因为当a ＜x ＜2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(a ，2)上单调递减， 所以f (a )＞f (2)，不符题意． ················································ 6分 ③当2＜a ＜4时，因为当2＜x ＜a 时，f ′(x )＜0，所以f (x )在(2，a )上单调递减， 所以f (a )＜f (2)，满足题意．综上，a 的取值范围为(2，4)． ············································ 8分方法2由f (2)＞f (a )，得e 24－a ＞e aa．因为0＜a ＜4，所以不等式可化为e 2＞e aa(4－a )．设函数g (x )＝e xx(4－x )－e 2， 0＜x ＜4． ···································· 6分因为g'(x )＝e x ·－(x －2)2x 2≤0恒成立，所以g (x )在(0，4)上单调递减．又因为g (2)＝0，所以g (x )＜0的解集为(2，4)．所以，a的取值范围为(2，4)． ············································· 8分(3)证明：设切点为(x0，f(x0))，则f'(x0)＝e(x0－2)(x0－a) (x02－ax0＋a)2，所以切线方程为y－ex02－ax0＋a＝e(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(x－x0)．由0－ex02－ax0＋a＝e(x0－2)(x0－a)(x02－ax0＋a)2×(0－x0)，化简得x03－(a＋3)x02＋3ax0－a＝0． ····································· 10分设h(x)＝x3－(a＋3)x2＋3ax－a，a∈(2，4)，则只要证明函数h(x)有且仅有三个不同的零点．由(2)可知a∈(2，4)时，函数h(x)的定义域为R，h'(x)＝3x2－2(a＋3)x＋3a．因为△＝4(a＋3)2－36a＝4(a－32)2＋27＞0恒成立，所以h'(x)＝0有两不相等的实数根x1和x2，不妨x1＜x2．因为所以函数h(x)最多有三个零点．··········································· 12分因为a∈(2，4)，所以h(0)＝－a＜0，h(1)＝a－2＞0，h(2)＝a－4＜0，h(5)＝50－11a＞0，所以h(0)h(1)＜0，h(1)h(2)＜0，h(2)h(5)＜0．因为函数的图象不间断，所以函数h(x)在(0，1)，(1，2)，(2，5)上分别至少有一个零点．综上所述，函数h(x)有且仅有三个零点．······························· 16分20．(本小题满分16分)解：(1) 因为{a n }的“L 数列”为{12n }，所以a n a n ＋1＝12n ，n ∈N *，即a n ＋1a n＝2n ，所以n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝2(n -1)＋(n －2)＋…＋1＝2．又a 1＝1符合上式，所以{a n }的通项公式为a n ＝2，n ∈N *． ········· 2分 (2)因为a n ＝n ＋k －3(k ＞0)，且n ≥2，n ∈N *时，a n ≠0，所以k ≠1． 方法1设b n ＝a n a n ＋1，n ∈N *，所以b n ＝n ＋k －3(n ＋1)＋k －3＝1－1n ＋k －2．因为{b n }为递增数列，所以b n ＋1－b n ＞0对n ∈N*恒成立，即1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0对n ∈N*恒成立． ······························· 4分因为1n ＋k －2－1n ＋k －1＝1(n ＋k －2)(n ＋k －1)，所以1n ＋k －2－1n ＋k －1＞0等价于(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0．当0＜k ＜1时，因为n ＝1时，(n ＋k －2)(n ＋k －1)＜0，不符合题意． 6分当k ＞1时，n ＋k －1>n ＋k －2>0，所以(n ＋k －2)(n ＋k －1)＞0， 综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ··········································· 8分 方法2 令f (x )＝1－1x ＋k －2，所以f (x )在区间(－∞，2－k )和区间(2－k ，＋∞)上单调递增． 当0＜k ＜1时，f (1)＝1－1k －1＞1，f (2)＝1－1k ＜1，所以b 2＜b 1，不符合题意． ····· 6分当k ＞1时，因为2－k ＜1，所以f (x )在[1，＋∞)上单调递增，所以{b n }单调递增，符合题意．综上，k 的取值范围是(1，＋∞)． ··········································· 8分(3)存在满足条件的等差数列{c n }，证明如下：因为a k a k ＋1＝1＋p k －11＋p k ＝1p ＋1－1p 1＋p k，k ∈N*， ································· 10分所以S n ＝n p ＋(1－1p )·(11＋p ＋11＋p 2＋…＋11＋p n －1＋11＋p n)．又因为p ＞1，所以1－1p ＞0，所以n p ＜S n ＜n p ＋(1－1p )·(1p ＋1p 2＋…＋1pn －1＋1p n)， 即n p ＜S n ＜n p ＋1p ·[1－(1p)n ]． ···················································· 14分 因为1p ·[1－(1p )n ]＜1p ，所以np ＜S n ＜n ＋1p．设c n ＝np ，则c n ＋1－c n ＝n ＋1p －n p ＝1p，且c n ＜S n ＜c n ＋1，所以存在等差数列{c n }满足题意． ········································· 16分南京市2020届高三年级第三次模拟考试数学附加题参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．21．【选做题】在A 、B 、C 三小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷纸指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—2：矩阵与变换解：(1) ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1a 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0a ． ······················································ 2分 因为点P (1，1)在矩阵A 的变换下得到点P ′(0，－2)，所以a ＝－2，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0． ··············································································· 4分 (2)因为A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0，所以A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 －1－2 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2， ····················· 6分 所以A 2⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 －1－2 2 ⎣⎡⎦⎤03=⎣⎢⎡⎦⎥⎤－36， 所以，点Q ′的坐标为(－3，6)． ················································ 10分B ．选修4—4：坐标系与参数方程解：由l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝3t ，y ＝1＋t (t 为参数)得直线l 方程为x －3y ＋3＝0． 2分 曲线C 上的点到直线l 的距离d ＝|1＋cos θ－ 3 sin θ＋3|2················ 4分 ＝|2cos(θ＋π3)＋1＋3|2． ·························································· 6分 当θ＋π3＝2k π，即θ＝－π3＋2k π(k ∈Z )时， ···································· 8分 曲线C 上的点到直线l 的距离取最大值3＋32． ··························· 10分 C ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 为非负实数， 所以a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a )＝(a －b )[(a )5－(b )5]． ·················································· 4分 若a ≥b 时，a ≥b ，从而(a )5≥(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]≥0． ···························································· 6分 若a ＜b 时，a ＜b ，从而(a )5＜(b )5，得(a －b )·[(a )5－(b )5]＞0． ···························································· 8分 综上，a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2)． ··············································· 10分22．（本小题满分10分）解：(1)因为三棱柱ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，所以AA 1⊥平面ABC ，所以AA 1⊥AB ，AA 1⊥AC ．又AB ⊥AC ，所以以{AB →，AC →，AA 1→}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A —xyz ．设AA 1＝t (t ＞0)，又AB ＝3，AC ＝4，则A (0，0，0)，C 1(0，4，t )，B 1(3，0，t )，C (0，4，0)，所以AC 1→＝(0，4，t )，B 1C →＝(－3，4，－t )． ································ 2分因为B 1C ⊥AC 1，所以B 1C →·AC 1→＝0，即16－t 2＝0，解得t ＝4，所以AA 1的长为4． ································································ 4分(2)由(1)知B (3，0，0)，C (0，4，0)，A 1(0，0，4)，所以A 1C →＝(0，4，－4)，BC →＝(－3，4，0)．设n ＝(x ，y ，z )为平面A 1CB 的法向量，则n ·A 1C →＝0，n ·BC →＝0，即⎩⎨⎧4y －4z ＝0，－3x ＋4y ＝0．取y ＝3，解得z ＝3，x ＝4，所以n ＝(4，3，3)为平面A 1CB 的一个法向量．又因为AB ⊥面AA 1C 1C ，所以AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，则cos ＜n ，AB →＞＝AB →·n |AB →|·|n |＝123·42＋32＋32＝434， ······················ 6分 所以sin ＜n ，AB →＞＝317． 设P (3，0，m )，其中0≤m ≤4，则CP →＝(3，－4，m )．因为AB →＝(3，0，0)为平面A 1CA 的一个法向量，所以cos ＜CP →，AB →＞＝AB →·CP →|AB →|·|CP →|＝93·32＋(－4)2＋m2＝3m 2＋25， 所以直线PC 与平面AA 1C 1C 的所成角的正弦值为3m 2＋25． ··········· 8分 因为直线PC 与平面AA 1C 1C 所成角和二面角B －A 1C －A 的大小相等， 所以3m 2＋25＝317，此时方程无解，。
江西师大附中2020届高三三模考试数学(文)试题 Word版含解析
江西师大附中2020届高三三模考试文科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合()(){}320A x x x =+-≥，{}2log B x y x ==，则A B =（ ）A. []1,4B. []1,2C. [)2,+∞D. [)1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】首先化简集合A ，B ，再求AB 即可.【详解】解：()(){}(][)320,32,A x x x =+-≥=-∞-⋃+∞[)22{|}{|log 0},og 1l B x y x x x ===≥=+∞，[)2,A B =+∞.故选：C【点睛】本题主要考查集合的交集运算，同时考查了函数的定义域求法，属于简单题. 2.设复数1i1i-=+z ，则z 的共轭复数为（ ） A. i B. i -C. 1i -D. 1i +【答案】A 【解析】 【分析】先化成复数代数形式，再根据共轭复数定义选择.【详解】解：因为()()()211111i i z i i i i --===-++-，所以z i =， 故选：A.【点睛】本题考查复数除法法则以及共轭复数定义，考查基本分析求解能力，属基础题. 3.2π3ππtancos 323⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值为（ ）A. 2-B. 1212【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式先进行化简，然后利用特殊角的三角函数值进行求解.【详解】2π3ππππtan cos tan sin 3233322⎛⎫+-=--==-⎪⎝⎭. 故选：A.【点睛】本题主要考查利用诱导公式求值，熟记特殊角的三角函数值是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.4.已知向量()2,1AB =-，()3,2AC =-，则CB =（ ）【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得(5,3)CB AB AC =-=-，从而可求出CB 的值. 【详解】解：因为向量()2,1AB =-，()3,2AC =-， 所以(5,3)CB AB AC =-=-，所以25CB == 故选：D【点睛】此题考查平面向量的坐标运算，向量的模，向量的减法运算，属于基础题. 5.已知m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；②若//m n ，n ⊂α，则//m α； ③若//m α，βn//，//αβ，则//m n ；④若m β⊥，//m α，则αβ⊥． 其中所有正确命题的序号是（ ） A. ①② B. ②③C. ②④D. ①④【答案】D【解析】 【分析】利用线面平行和线面垂直的性质可判断①的正误；利用线面的位置关系可判断②③的正误；利用线面平行的性质和面面垂直的判定定理可判断④的正误.综合可得出结论.【详解】对于命题①，若//n α，过直线n 的平面β与α的交线a 满足//a n ，则a α⊂，m α⊥，m a ∴⊥，//a n ，则m n ⊥，命题①正确；对于命题②，若//m n ，n ⊂α，则//m α或m α⊂，命题②错误；对于命题③，若//m α，βn//，//αβ，则m 与n 平行、相交或异面，命题③错误； 对于命题④，若//m α，过直线m 的平面γ与α的交线b 满足//b m ，且b α⊂，m β⊥，则b β⊥，αβ∴⊥，命题④正确.故选：D.【点睛】本题考查线面、面面位置关系有关命题的判断，考查推理能力，属于中等题. 6.若将函数πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ） A. π,04⎛⎫⎪⎝⎭B. π,14⎛⎫⎪⎝⎭C. π,03⎛⎫⎪⎝⎭D. π,13⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】 由πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后2sin 213y x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求得对称中心即可.【详解】解：πsin 213y x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位长度后得到的函数为 π2sin 21sin 21633y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 令22()3x k k Z ππ-=∈，则()32k x k Z ππ=+∈.所以，所得图象的对称中心为,1()32k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭. 当0k =时，所得图象的一个对称中心为,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 故选：D.【点睛】本题主要考查正弦型函数的平移变换及对称中心，属于基础题.7.已知数列{}n a 的前n 项和12nn S m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则“1m =”是“{}n a 是等比数列”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】先令1n =，求出1a ，再由1n >时，根据1n n n a S S -=-，求出n a ，结合充分条件与必要条件的概念，即可得出结果.【详解】解：当1n =时，1112a S m ==-， 当1n >时，11211212n n n n n na S S --=-=-=- 若1m =，则11212a m =-=-，221214a =-=-，2112a a = 当1n >时，11112122n n n n a a ++⎛⎫=-⨯-= ⎪⎝⎭，数列{}n a 是等比数列； 若数列{}n a 是等比数列，12121a m =-=-，12n n a =-， 1m =，所以，是充分必要条件． 故选：C 【点睛】本题主要考查充分必要条件的判定，熟记概念，以及数列的递推公式即可求解，属于常考题型.8.函数2sin 22x xxy -=+的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性排除C ，当0x π<<时利用基本不等式和三角函数的有界性可以得到()(0,1)f x ∈，从而排除BD ，进而得到答案.【详解】记2sin 22x x x y -=+为2sin ()22x x x f x -=+，()2sin 2sin ()()2222x x x xx xf x f x ----==-=-++，∴()f x 是奇函数，排除C; 当0x π<<时，2sin ()sin (0,1)22222x x x x x f x x --=≤∈+⋅, 故B 、D 错误， 故选：A.【点睛】本题考查已知函数的解析式，判定图象，涉及函数的奇偶性，三角函数的性质，基本不等式，指数函数的性质，属小综合，难度一般.9.在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB 作正方形，以点A 或点B 为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB 作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D 正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB 不少于47.5米，塔顶C 到点D 的距离不超过19.92 1.414≈）（ ）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B 【解析】 【分析】CD 212-，再根据木塔底层的边AB 不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h ，有图可知，2 1.41447.567.165h =≥⨯=（米）， 同时22CD h =，219.967.9181.414212112CD h ==≈---（米）， 即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题. 10.已知圆()22241:C x y a a +-=的圆心到直线20x y --=的距离为2，则圆1C 与圆222:2440C x y x y +--+=的位置关系是（ ）A. 相交B. 内切C. 外切D. 相离【答案】B 【解析】 【分析】根据圆1C 的方程求得圆心为()2,0a ，半径为2a ，利用点到直线的距离公式得到22a =， 求得圆心距，根据圆与圆的位置关系进行判定.【详解】圆()22241:C x y a a +-=的圆心为()20a ，，半径为2a .圆心到直线20x y --=的距离为d ==，解得22a =.∴圆()221:24C x y +-=的圆心为()0,2A ，半径为1r =2，圆222:2440C x y x y +--+=的标准方程为：()()22x 1y 21-+-=，圆心坐标为()1,2B ，半径21r =， 圆心距121d r r ===-，∴两圆相内切， 故选：B.【点睛】本题考查圆与圆的位置关系的判定，涉及点到直线的距离公式，圆的一般方程和标准方程，属中档题.11.设R m ∈，已知直线()200x y m m --=≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点M ，N ，若点()2,0Q m 满足QM QN =，则该双曲线的离心率为（ ）C. 2D.2【答案】D 【解析】 【分析】求得两条渐近线的方程为by x a=±，联立方程组求得,M N 的坐标，再由QM QN =，得到MN PQ ⊥,结合斜率公式，求得2223b a =，进而求得双曲线的离心率.【详解】由题意，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的两条渐近线的方程为b y x a =±，联立20x y m by x a --=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得(,)22am bm M a b a b --， 同理可得(,)22am bmN a b a b-++，所以MN的中点坐标为222222 2(,) 44a mb mPa b a b--，因点()2,0Q m满足QM QN=，则MN PQ⊥,可得2222220142224b ma ba mma b--=---，整理得2223b a=，又由222c a b=+，所以2222()3c a a-=，可得2225c a=，所以双曲线的离心率为10cea==.故选：D.【点睛】本题主要考查了双曲线的离心率的求解，以及两直线的位置关系的应用，着重考查推理与运算能力，属于中档试题.12.如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D-中，点E是棱11A D的中点，113D F FC=，若过点A，E，F的平面分别交棱1CC、BC于点G，H，则线段GH的长度为（）A.343B.453C.973D.103【答案】B【解析】【分析】在DC的延长线上取点P，使2CP=，通过证明////EF KL AP确定出点H；直线EF与11B C 交于点M，连结MH，则MH和1CC的交点就是过点A，E，F的平面与棱1CC的交点G，然后根据三角形相似，进一步可求线段GH的长度.【详解】解：由113D F FC =知，113,1D F FC ==,取AD 的中点K ，在线段DC 上取点L ，使3LD =，则1LC = 由1KD ED ，所以四边形1KDD E 为平行四边形，1KE DD ， 由1LD FD ，所以四边形1DD FL 为平行四边形，1FL DD ， 所以FL KE ，所以四边形FLKE 为平行四边形，EF KL ， 在DC 的延长线上取点P ，使2CP =，连结AP 则L 是线段DP 的中点，所以12KLAP ， 所以//EF AP ，所以过点A ，E ，F 的平面与棱BC 的交点H 就是线段AP 与线段BC 的交点，设直线EF 与11B C 交于点M ，连结MH ，则MH 和1CC 的交点就是过点A ，E ，F 的平面与棱1CC 的交点G ，由1D EF 和1C MF △相似，易求123MC =， 由PCH △和PDA 相似，易求43HC =， 由1C GM △和CGH 相似，易求83GC =，所以22228445333GH HC GC ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B【点睛】考查几何体中不共线三点确定平面的方法以及求线段的长度的方法，中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，则5a =______________．【答案】17 【解析】 【分析】由554a S S =-可求得结果.【详解】解：因为数列{}n a 的前n 项和2nn S n =+，所以54554(25)(24)17a S S =-=+-+=， 故答案为：17【点睛】此题考查数列前n 项和n S 与通项n a 的关系，属于基础题.14.已知过抛物线2:8C x y =的焦点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，若点A 的横坐标为2，则点B 到C 的准线的距离为____________． 【答案】10 【解析】 【分析】由已知求出点A ，F 的坐标，则可得直线l 的方程，再与抛物线方程联立成方程组，求出点B 的坐标，然后由抛物线的定义可求出点B 到C 的准线的距离. 【详解】解：由已知得(0,2)F ， 准线方程为2y =- 因为点A 的横坐标为2，所以点A 的纵坐标为12，即1(2,)2A ， 所以直线l 的斜率为1232024k， 所以直线l 的方程为324y x =-+， 由23248y x x y⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，得26160x x +-=，解得2x =或8x =-， 所以点B 的纵坐标为8所以点B 到C 的准线的距离为8210+=， 故答案为：10【点睛】此题考查抛物线的定义和性质，直线与抛物线的位置关系，属于基础题.15.已知变量x ，y 满足2303020x y x y x y m -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-+≤⎩，若2z x y =+的最小值为5，则实数m 等于____________． 【答案】3 【解析】 【分析】先作出不等式组对应的可行域，由2z x y =+得122z y x =-+，它表示斜率为12-，纵截距为2z的直线系，再利用数形结合分析即得解.【详解】不等式组对应的可行域为如图所示的平面区域，由2z x y =+得122z y x =-+，它表示斜率为12-，纵截距为2z的直线系，当直线经过点A 时，直线的纵截距2z最小，z 最小.联立3020x y x y m +-=⎧⎨-+=⎩得(2,1)33m m A -+，所以2522,33m m=-++ 所以3m =. 故答案为：3【点睛】本题主要考查利用线性规划的最值求参数的值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析推理能力.16.已知函数()()1,1ln ,1x x e x f x x x x⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，其中e 为自然对数的底数．若函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点，则实数k 的取值范围是__________________．【答案】10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】函数有三个零点，可以转化为两个函数有三个不同的交点问题，求导分析函数单调性，画出图像，观察求出实数k 的取值范围.【详解】()1当1x ≤时，()()10xf x x e =-≤，()()1x x x f x e x e xe '=+-=，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当01x <≤时，()0f x '>，()f x 单调递增，()f x ∴在0x =时取得极小值也即最小值()01f =-；()2当1x >时，()ln 0xf x x=>， ()21ln xf x x -'=， 当1x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增， 当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在x e =时取得极大值也即最大值()1f e e=；把函数()()g x f x kx =-有3个不同的零点转化为()f x kx =有三个不同的交点问题； 当ln xy x=与y kx =相切时， 两函数图形恰好有两个交点，设切点坐标为(),A m n ，则2ln 1lnm n m n km m k m ⎧=⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎩，整理得12m e =， 12k e∴=，由图像观察得：102k e <<.故答案为：10,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了已知函数的零点个数求参数问题，考查了函数与方程思想，转化思想.属于较难题.三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，πsin 22sin cos 3a B b A B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．（1）求cos B 的值；（2）若ABC 的面积为1，求b 的最小值． 【答案】（1）3cos 2B =；（262 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理把边化角得到cos cos 3B B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用ABC 为锐角三角形得出6B π=，进而得出结论；（2）利用三角形的面积公式得到4ac =，再利用余弦定理和基本不等式得出结论.【详解】（1）由sin 22sin cos 3a B b A B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，得 2sin sin cos 2sin sin cos 3A B B B A B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，π,0,,sin 0,sin 0,cos cos 23A B A B B B π⎛⎫⎛⎫∈≠≠∴=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为ABC 为锐角三角形， 所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，,363B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭， 所以3B B π=-，从而6B π=，所以cos 2B =． （2）因1sin 12ABC S ac B ==△， 所以4ac =，又222222cos 28b a c ac B a c ac =+-=+-≥-=- 当且仅当2a c ==时取等号，所以b =【点睛】本题主要考查正余弦定理和基本不等式.属于中档题.18.2019年起，全国地级及以上城市全面启动生活垃圾分类工作，垃圾分类投放逐步成为居民的新时尚．为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收垃圾、有害垃圾和其他垃圾四类，并分别设置了相应的垃圾箱．为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了某市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（1）分别估计厨余垃圾和有害垃圾投放正确的概率；（2）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收垃圾”箱、“有害垃圾”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，d ，其中0a >，800a b c d +++=．当数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大时，写出a ，b ，c ，d 的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． 【答案】（1）5182，；（2）600a =，0b c d ===；2120000s =． 【解析】 【分析】（1）用厨余垃圾投放正确的数量比上厨余垃圾总量可得“厨余垃圾”投放正确的概率，同理可求出有害垃圾投放正确的概率；（2）当800a =，0b c d ===时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大，求出平均值根据方差计算公式求解即可.【详解】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++；估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++． （2）当800a =，0b c d ===时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大． 因为2004a b c dx +++==，所以此时方差()()()()()222222211600320012000044s a x b x c x d x ⎡⎤=-+-+-+-=+⨯=⎣⎦． 【点睛】本题考查频率估计概率、样本数据的方差，属于基础题.19.如图，在四棱台ABCD EFGH -中，底面ABCD 是菱形，平面CDHG ⊥平面ABCD ，1CG GH HD ===，2BD CD ==．（1）求证：CD BF ⊥；（2）求四棱台ABCD EFGH -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）74． 【解析】 【分析】（1）延长AE ，BF ，CG ，DH 可相交于一点S ，取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN ．可证SM CD ⊥，BM CD ⊥，然后利用线面垂直的判定定理证明CD ⊥平面SBM ，进而根据线面垂直的定义得到CD BF ⊥；（2）由（1）的中间结论SM CD ⊥，利用面面垂直的性质定理得到SM ⊥平面ABCD ，进而计算得到所求体积.【详解】（1）在四棱台ABCD EFGH -中，延长AE ，BF ，CG ，DH 可相交于一点S ，如图所示．取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN ． 因为1CG GH HD ===， 所以SC SD =，从而SM CD ⊥． 因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==， 所以BCD 为正三角形，所以BM CD ⊥． 又因为SM BM M ⋂=，所以CD ⊥平面SBM ． 所以CD SB ⊥，即CD BF ⊥．（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ，所以由（1）可知，SM ⊥平面ABCD ． 因为1GH =，2CD =，//GH CD ，所以12SN SM =．又1CG =．所以SM ==所以四棱台ABCD EFGH -的体积为1133ABC E D FGH V S SM S SN =⋅-⋅2211721323224=⨯⨯⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查棱台的结构特征，线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，棱台的体积计算，属中档题.注意棱台的侧棱延长后交于同一点.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，其上顶点为B ，左焦点为F ，原点O 到直线BF ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若过点()1,1A 的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，且1AM AN ⋅=，求直线l 的方程．【答案】（1）22162x y +=；（2）y x =或2y x =-+． 【解析】 【分析】（1）由题意可得bc =，而c e a ==，可求出b =222a b c =+求出26a =，从而可得到椭圆的标准方程；（2）先判断直线l 的斜率存在，然后设出直线l 的方程()11y k x -=-，与椭圆方程联立成方程组，消元后得到()()()22231613160k x k k x k ++-+--=，再用根与系数的关系，再结合1AM AN ⋅=列方程可求出k 的值，从而可得到直线方程. 【详解】（1）由已知，()0,B b ，(),0F c -，所以BF a =，所以bc =，即c a ==b =． 又222213b e a =-=，所以26a =．所以椭圆C 的方程为22162x y +=．（2）将1x =代入22162x y +=得，253y =，y =，此时2111333AM AN ⎛⎫⎛=-+=≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此，直线l 的斜率必定存在．设直线l 的方程为()11y k x -=-，即1y kx k =+-，()11,M x y ，()22,N x y ，联立221162y kx kx y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，()()()22231613160k x k k x k ++-+--=，所以()1226131k k x x k -+=+，()212231631k x x k --=+，．所以1211AM AN =--()()()()()222212122316613111131k k k k k x x x x k k ----++=+-++=+⋅+()2221131k k +==+，． 解得21k =，所以1k =±．所以直线l 的方程为y x =或2y x =-+．【点睛】此题考查了求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题.21.已知函数()()12xf x x =+⋅．（1）求曲线()y f x =在0x =处的切线方程； （2）若关于x 的不等式()12ln 22f x a x x x x ⎛⎫≥++++ ⎪⎝⎭在区间()0,∞+上恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()ln 211y x =++；（2）(],24ln 2-∞-． 【解析】 【分析】（1）先求导数可得切线的斜率，结合切点坐标可求切线方程；（2）把目标不等式进行化简，分出参数，结合导数求解新函数的最小值，然后可得结果. 【详解】（1）由已知，()()12xf x x =+⋅，从而()()()212ln 221ln 21xxxf x x x '=++⋅=++⎡⎤⎣⎦，． 所以()01f =，()0ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为()1ln 21y x -=+⋅，即()ln 211y x =++． （2）当0x >时，()12ln 22f x a x x x x ⎛⎫≥++++ ⎪⎝⎭可化为()()21221ln 22x x x x a x +≥++++，即()()21221ln 22xa x x x x ≤+++--．令()()()21221ln 22xg x x x x x =+++--，0x >，则依题设，只需()min a g x ≤．()()()()()212ln 222ln 22221ln 21x x x g x x x x '=++-+-=-++⎡⎤⎣⎦，因为()1ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>． 从而()g x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()min 144ln 2224ln 2g x g ==--=-，所以24ln 2a ≤-，即实数a 的取值范围是(],24ln 2-∞-．【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数求解切线问题的关键是求解切线的斜率，恒成立问题一般利用分离参数进行求解，结合函数的最值可求参数范围，侧重考查数学抽象的核心素养.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设()0,2M ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）曲线C 的普通方程为228x y -=；直线l的直角坐标方程为0x +-=；（2）． 【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去t 即可得曲线C 的普通方程；由直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==，即可得直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意得直线l的标准参数方程为122x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），把它代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线l 的参数的几何意义解题即可.【详解】解：（1）由22x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，2222228x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为228x y -=．由cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得，1cos sin 2ρθρθ=，所以x +=l的直角坐标方程为0x +-=．（2）由（1）知，点()0,2M 在直线l 上，设l的标准参数方程为122x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），A ，B 两点对应的参数分别为1λ，2λ， 由直线参数方程的几何意义知：12,MA MB λλ==.将2122x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入228x y -=，得24240λλ--=，所以124λλ+=，1224λλ⋅=-，所以12λλ、一正一负. 从而1212MA MB λλλλ+=+=-===．【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义解题，属于中档题.23.已知函数()21f x x =-．（1）解关于x 的不等式()()211f x f x ≤++；（2）若实数a ，b 满足2a b +=，求()()22f a f b +的最小值． 【答案】（1）13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）2． 【解析】 【分析】 （1）不等式转化为41211x x -≤++，利用绝对值内的式子的零点分区间求解，然后取并集即得；（2）先利用绝对值三角不等式得到()()()222222f af b a b +≥+-，再利用基本不等式的变形或者柯西不等式求得()2224a b +≥，即得所求最小值，注意验证取等号的条件. 【详解】（1）因为()21f x x =-，所以()241f x x =-，()121f x x +=+， 所以()()211f x f x ≤++即41211x x -≤++，①当12x ≤-时，不等式可化为14211x x -++≤，解得12x ≥，此时不等式无解； ②当1124x -<<时，不等式可化为()14211x x --+≤，解得16x ≥-，此时1164x -≤<； ③当14x ≥时，不等式可化为()41211x x --+≤，解得32x ≤，此时1342x ≤≤； 综上，不等式()()211f x f x ≤++的解集为13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． （2）()()()222222212122f a f b a b a b +=-+-≥+-因为()()22224a b a b +≥+=，从而()22222a b +-≥，即()()222f a f b +≥， 当且仅当1a b ==时取等号，所以()()22f af b +的最小值为2． 【注】也可由柯西不等式得，()()()22222114a b a b ++≥+=，从而222a b +≥． 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用绝对值不等式性质求最小值问题，涉及基本不等式求最值，也可以使用柯西不等式求解，属中等难度的题目.。
2020年中考数学《三轮复习》培优训练： 《图形旋转》(全国通用)(解析版)
《三轮复习》培优训练：《图形旋转》1．已知：△AOB和△COD均为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH．（1）如图1所示，点C、D分别在边OA、OB上，求证：OH＝AD且OH⊥AD；（2）将△COD绕点O旋转到图2所示位置时，线段OH与AD又有怎样的关系，证明你的结论．（3）如图3所示，当AB＝8，CD＝2时，求OH长的取值范围．2．在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D在射线BC上（不与点B、点C重合），将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，作射线BA与射线CE，两射线交于点F．（1）若点D在线段BC上，如图1，请直接写出CD与EF的关系．（2）若点D在线段BC的延长线上，如图2，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）在（2）的条件下，连接DE，G为DE的中点，连接GF，若tan∠AEC＝，AB＝，求GF的长．3．综合与实践问题情境数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC 是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE ＝4．解决问题（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC ＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；探索发现（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）4．如图，已知△ABC和△ADE均为等腰三角形，AC＝BC，DE＝AE，将这两个三角形放置在一起．（1）问题发现如图①，当∠ACB＝∠AED＝60°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE，则∠CEB 的度数为，线段AE、BE、CE之间的数量关系是；（2）拓展探究如图②，当∠ACB＝∠AED＝90°时，点B、D、E在同一直线上，连接CE．请判断∠CEB的度数及线段AE、BE、CE之间的数量关系，并说明理由；（3）解决问题如图③，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝2，AE＝2，连接CE、BD，在△AED绕点A 旋转的过程中，当DE⊥BD时，请直接写出EC的长．5．如图①，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝60°，D为BC边上一点（不与点B，C重合），将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接EC，则：（1）①∠ACE的度数是；②线段AC，CD，CE之间的数量关系是．（2）如图②，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为BC边上一点（不与点B，C 重合），将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接EC，请判断线段AC，CD，CE之间的数量关系，并说明理由；（3）如图②，AC与DE交于点F，在（2）条件下，若AC＝8，求AF的最小值．6．如图1，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，点D在AC上，DE⊥AB于E，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF．（1）EF和CF的数量关系为；（2）如图2，若△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上时，小明通过作△ABC和△ADE 斜边上的中线CM和EN，再利用全等三角形的判定，得到了EF和CF的数量关系，请写出此时EF和CF的数量关系；（3）若△AED继续绕着点A旋转到图3的位置时，EF和CF的数量关系是什么？写出你的猜想，并给予证明．7．（一）发现探究在△ABC中，AB＝AC，点P在平面内，连接AP并将线段AP绕点A顺时针方向旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AQ，连接BQ．【发现】如图1，如果点P是BC边上任意一点，则线段BQ和线段PC的数量关系是；【探究】如图2，如果点P为平面内任意一点．前面发现的结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．请仅以图2所示的位置关系加以证明（或说明）；（二）拓展应用【应用】如图3，在△DEF中，DE＝8，∠EDF＝60°，∠DEF＝75°，P是线段EF上的任意一点，连接DP，将线段DP绕点D顺时针方向旋转60°，得到线段DQ，连接EQ．请直接写出线段EQ长度的最小值．8．已知△ABC是等边三角形，AD⊥BC于点D，点E是直线AD上的动点，将BE绕点B 顺时针方向旋转60°得到BF，连接EF、CF、AF．（1）如图1，当点E在线段AD上时，猜想∠AFC和∠FAC的数量关系；（直接写出结果）（2）如图2，当点E在线段AD的延长线上时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请证明你的结论，若不成立，请写出你的结论，并证明你的结论；（3）点E在直线AD上运动，当△ACF是等腰直角三角形时，请直接写出∠EBC的度数．9．在等边△ABC中，点O在BC边上，点D在AC的延长线上且OA＝OD．（1）如图1，若点O为BC中点，求∠COD的度数；（2）如图2，若点O为BC上任意一点，求证：AD＝AB+BO．（3）如图3，若点O为BC上任意一点，点D关于直线BC的对称点为点P，连接AP，OP，请判断△AOP的形状，并说明理由．10．在平面直角坐标系中，点A、B分别是y轴、x轴上的两点，连接AB，有∠BAO＝30°，将△AOB沿y轴翻折得到△AOC．（1）如图1，求证：△ABC是等边三角形．（2）如图2，过原点O作∠AOE＝60°，且OE交△ABC中∠ACB的外角平分线CE所在直线于点E，求证：AO＝OE．（3）如图3，若点D是线段BC上（除B，C外）一动点，过点D作∠ADE＝60°，且DE交△ABC中∠ACB的外角平分线CE所在直线于点E，那么结论AD＝DE是否成立？请说明理由．（4）若点D是线段CB的延长线上（除B外）一动点，其它条件不变，那么结论AD＝DE是否仍然成立？请说明理由．11．如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，AB＝，摆动臂AD可绕点A旋转，AD＝．（1）在旋转过程中，①当A、D、B三点在同一直线上时，求BD的长；②当A、D、B三点为同一直角三角形的顶点时，求BD的长．（2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△A′B′C′外的点D1转到其内的点D2处，如图2，此时∠AD2C＝135°，CD2＝1，求BD2的长．（3）若连接（2）中的D1D2，将（2）中△AD1D2的形状和大小保持不变，把△ADD3绕点A在平面内自由旋转，分别取D1D2、CD2、BC的中点M、P、N，连接MP、PN、NM，M随着△MD1D2绕点A在平面内自由旋转，△MPN的面积是否发生变化，若不变，请直接写出△MPN的面积；若变化，△MPN的面积是否存在最大与最小？若存在，请直接写出△MPN面积的最大值与最小值．（温馨提示×＝＝）12．在正方形ABCD中，AB＝8，AC与BD相交于点O．（1）如图，作射线OM与边BC相交于点E，将射线OM绕点O顺时针旋转90°，得到射线ON，射线ON与边AB相交于点F，连接EF交BO于点G．①直接写出四边形OEBF的面积是；②求证：△OEF是等腰直角三角形；③若OG＝，求OE的长；（2）点P在射线CA上一点，若BP＝2，射线PM与直线BC相交于点E，当CE ＝2时，将射线PM绕点P顺时针旋转45°，得到射线PN，射线PN与直线BC相交于点F，请直接写出BF的长．13．如图，OC是△ABC中AB边的中线，∠ABC＝36°，点D为OC上一点，如果OD＝k⋅OC，过D作DE∥CA交于BA点E，点M是DE的中点，将△ODE绕点O顺时针旋转α度（其中0°＜α＜180°）后，射线OM交直线BC于点N．（1）如果△ABC的面积为26，求△ODE的面积（用k的代数式表示）；（2）当N和B不重合时，请探究∠ONB的度数y与旋转角α的度数之间的函数关系式；（3）写出当△ONB为等腰三角形时，旋转角α的度数．14．【材料阅读】我们曾解决过课本中的这样一道题目：如图1，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，延长BA至F，使AF＝CE，连接DE，DF．……提炼1：△ECD绕点D顺时针旋转90°得到△FAD；提炼2：△ECD≌△FAD；提炼3：旋转、平移、轴对称是图形全等变换的三种方式．【问题解决】（1）如图2，四边形ABCD是正方形，E为BC边上一点，连接DE，将△CDE沿DE折叠，点C落在G处，EG交AB于点F，连接DF．可得：∠EDF＝°；AF，FE，EC三者间的数量关系是．（2）如图3，四边形ABCD的面积为8，AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，连接AC．求AC的长度．（3）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点D，E在边AB上，∠DCE＝45°．写出AD，DE，EB间的数量关系，并证明．15．“我们应该讨论一般化、特殊化和类比这些过程本身，他们是获得发现的伟大源泉”﹣﹣乔治•波利亚．（1）观察猜想如图1，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°．点D在AC上，点E在BC上，且CD ＝CE．则BE与AD的数量关系是，直线BE与直线AD的位置关系是；（2）拓展探究如图2，在△ABC和△CDE中，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°．则BE与AD的数量关系怎样？直线BE与直线AD的位置关系怎样？请说明理由；（3）解决问题如图3，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，BD是△ABC的角平分线，点M是AB 的中点．点P在射线BD上，连接PM，以点M为中心，将PM逆时针旋转90°，得到线段MN，请直接写出点A，P，N在同一条直线上时∠CPM的值．16．如图，△ABC和△CEF中，∠BAC＝∠CEF＝90°，AB＝AC，EC＝EF，点E在AC边上．（1）如图1，连接BE，若AE＝2，，求FC的长度；（2）如图2，将△CEF绕点C逆时针旋转α0（0＜α＜1800），旋转过程中，直线EF分别与直线AC、BC交于点M、N，当△CMN是等腰三角形时，直接写出α的值；（3）如图3，将△CEF绕点C顺时针旋转，使得点B、E、F在同一条直线上，点P为BF的中点，连接AE．猜想AE、CF和BP之间的数量关系并证明．参考答案1．（1）证明：如图1中，∵△OAB与△OCD为等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°，∴OC＝OD，OA＝OB，∵在△AOD与△BOC中，，∴△AOD≌△BOC（SAS），∴∠ADO＝∠BCO，∠OAD＝∠OBC，BC＝AD，∵点H为线段BC的中点，∴OH＝HB，OH＝BC，∴∠OBH＝∠HOB＝∠OAD，又∵∠OAD+∠ADO＝90°，∴∠ADO+∠BOH＝90°，∴OH⊥AD，∵AD＝BC，OH＝BC，∴OH＝AD．（2）解：结论：OH＝AD，OH⊥AD，如图2中，延长OH到E，使得HE＝OH，连接BE，∵点H是BC中点，∴BH＝CH，∴△BEH≌△CHO（SAS），∴OE＝2OH，∠EBC＝∠BCO，∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，∵OB＝OA，OC＝OD∴△BEO≌△ODA（SAS），∴OE＝AD，∠EOB＝∠DAO，∴OH＝OE＝AD，∵∠AOB＝90°，∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，∴OH⊥AD．（3）延长OH到M，使得HM＝OH，连接BM．∵BH＝CH，OH＝HM，∠BHM＝∠OHC，∴△BMH≌△COH（SAS），∴BM＝OC，∵AB＝8，CD＝2，∴OB＝4，OC＝BM＝，在△OBM中，∴4﹣≤OM≤4+，∴3≤OM≤5，∵OM＝2OH，∴≤OH≤．2．解：（1）CD＝EF，CD⊥EF，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（2）结论仍然成立，理由如下：∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC∠ACB＝45°，∵将线段AD绕A逆时针旋转90°得到线段AE，∴AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE＝45°，∴∠BCF＝∠ACB+∠ACE＝90°，∴CD⊥EF，又∵∠ABC＝45°，∴∠BFC＝∠ABC，∴BC＝CF，∴CD＝EF；（3）如图，过点A作AN⊥CE于点N，过点G作GH⊥CE于H，∵AB＝AC＝，∴BC＝CF＝2，∵AN⊥CE，∠ACF＝45°，∴AN＝CN＝1，∵tan∠AEC＝＝，∴EN＝2，∴EC＝CN+EN＝3，∴EF＝EC﹣CF＝1＝CD，∵GH⊥CE，∠ECD＝90°，∴HG∥CD，∴＝＝，且EG＝DG，∴HG＝，EH＝，∴FH＝EH﹣EF＝∴GF＝＝＝3．解：（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC ＝S△AEC．（3）如图③中，作CH⊥AD于H．∵∴AC＝CD＝AB＝2，∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，∴BD＝＝＝2．（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．4．解：（1）在△ABC为等腰三角形，AC＝BC，∠ACB＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∠CAB＝60°，同理：AE＝AD，∠ADE＝∠EAD＝60°，∴∠EAD＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝AD，∠AEC＝∠ADB，∵点B、D、E在同一直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝120°，∴∠AEC＝120°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE，故答案为120°，BE＝AE+CE；（2）在等腰三角形ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，∴AB＝AC，∠CAB＝45°，同理，AD＝AE，∠ADE＝∠DAE＝45°，∴，∠DAE＝∠CAB，∴∠EAC＝∠DAB，∴△ACE∽△ABD，∴，∴∠AEC＝∠ADB，BD＝CE，∵点B、D、E在同一条直线上，∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝135°，∴∠AEC＝135°，∵DE＝AE，∴BE＝DE+BD＝AE+CE；（3）由（2）知，△ACE∽△ABD，∴BD＝CE，在Rt△ABC中，AC＝2，∴AB＝AC＝2，①当点E在点D上方时，如图③，过点A作AP⊥BD交BD的延长线于P，∵DE⊥BD，∴∠PDE＝∠AED＝∠APD，∴四边形APDE是矩形，∵AE＝DE，∴矩形APDE是正方形，∴AP＝DP＝AE＝2，在Rt△APB中，根据勾股定理得，BP＝＝6，∴BD＝BP﹣AP＝4，∴CE＝BD＝2；②当点E在点D下方时，如图④同①的方法得，AP＝DP＝AE＝2，BP＝4，∴BD＝BP+DP＝8，∴CE＝BD＝4，即：CE的长为2或4．5．解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠B＝∠BAC＝60°，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝60°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ACE＝∠B＝60°，故答案为60°；②由（1）知，△ABD≌△ACE，∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∴AC＝CE+CD，故答案为AC＝CE+CD；（2）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴BC＝AC，由旋转知，AD＝AE，∠DAE＝90°＝∠BAC，∴∠BAD＝∠CAE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴BC＝BD+CD＝CE+CD，∴AC＝CE+CD；（3）由（2）知，△ABD≌△ACE，∴ACE＝∠ABD，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABD＝∠ACB＝45°，∴∠ACE＝45°，∴∠BCE＝∠ACB+∠ACE＝90°，∵∠DAE＝90°，∴∠BCE+∠DAE＝180°，∴点A，D，C，E在以DE为直径的圆上，∵AC与DE交于点F，∴AF是直径DE上的一点到点A的距离，即：当AF⊥DE时，AF最小，∴∠CFD＝90°，∴∠CDF＝90°﹣∠ACB＝45°，∵∠ADE＝45°，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AF最小＝AC＝4．6．解：（1）EF＝CF，理由：∵DE⊥AB，∴∠ACB＝∠DEB＝90°，∵F是BD的中点，∴EF＝CF＝BD；故答案为：EF＝CF；（2）EF＝CF，理由：∵∠AED＝∠ACB＝90°，CM和EN是△ABC和△ADE斜边上的中线，∴CM＝BM＝AM＝AB，AN＝EN＝DN＝AD，∵点F是BD的中点，∴BF＝FD，∴AN+BF＝DN+DF＝FN＝AB，∴FN＝CM＝AM，∵FM＝FN﹣MN，AN＝AM﹣MN，∴FM＝AN，∴FM＝EN，∵△ADE绕着点A旋转，当点D落在AB上，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠EAN＝∠AEN，∠MAC＝∠ACM，∴∠ENF＝∠EAN+∠AEN＝2∠EAN，∠CMF＝∠CAM+∠ACM＝2∠CAM，∴∠ENF＝∠CMF，在△EFN与△FCM中，，∴△EFN≌△FCM（SAS），∴EF＝CF；故答案为：EF＝CF；（3）猜想，EF＝CF，理由：如图3中，取AB的中点M，AD的中点N，连接MC，MF，EN，FN．∵BM＝MA，BF＝FD，∴MF∥AD，MF＝AD，∵AN＝ND，∴MF＝AN，MF∥AN，∴四边形MFNA是平行四边形，∴NF＝AM，∠FMA＝∠ANF，在Rt△ADE中，∵AN＝ND，∠AED＝90°，∴EN＝AD＝AN＝ND，同理CM＝AB＝AM＝MB，在△AEN和△ACM中，∠AEN＝∠EAN，∠MCA＝∠MAC，∵∠MAC＝∠EAN，∴∠AMC＝∠ANE，又∵∠FMA＝∠ANF，∴∠ENF＝∠FMC，∵AM＝FN，AM＝CM，∴CM＝NF，在△MFC和△NEF中，，∴△MFC≌△NEF（SAS），∴FE＝FC．7．解：【发现】由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，故答案为：BQ＝PC；【探究】结论：BQ＝PC仍然成立，理由：由旋转知，AQ＝AP，∵∠PAQ＝∠BAC，∴∠PAQ﹣∠BAP＝∠BAC﹣∠BAP，∴∠BAQ＝∠CAP，∵AB＝AC，∴△BAQ≌△CAP（SAS），∴BQ＝CP，【应用】如图3，在DF上取一点H，使DH＝DE＝8，连接PH，过点H作HM⊥EF于M，由旋转知，DQ＝DP，∠PDQ＝60°，∵∠EDF＝60°，∴∠PDQ＝∠EDF，∴∠EDQ＝∠HDP，∴△DEQ≌△DHP（SAS），∴EQ＝HP，要使EQ最小，则有HP最小，而点H是定点，点P是EF上的动点，∴当HM⊥EF（点P和点M重合）时，HP最小，即：点P与点M重合，EQ最小，最小值为HM，过点E作EG⊥DF于G，在Rt△DEG中，DE＝8，∠EDF＝60°，∴∠DEG＝30°，∴DG＝DE＝4，∴EG＝DG＝4，在Rt△EGF中，∠FEG＝∠DEF﹣∠DEG＝75°﹣30°＝45°，∴∠F＝90°﹣∠FEG＝45°＝∠FEG，FG＝EG＝4，∴DF＝DG+FG＝4+4，∴FH＝DF﹣DH＝4+4﹣8＝4﹣4，在Rt△HMF中，∠F＝45°，∴HM＝FH＝（4﹣4）＝2﹣2，即：EQ的最小值为2﹣2．8．解：（1）∠AFC+∠FAC＝90°，理由如下：连接AF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，∴BE＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBF＝∠ABC，∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）∴∠BAE＝∠BCF＝30°，∴∠ACF＝90°，∴∠AFC+∠FAC＝90°；（2）结论仍然成立，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC，∠ABC＝∠BAC＝∠ACB＝60°，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝30°，∵将BE绕点B顺时针方向旋转60°得到BF，∴BE＝BF，∠EBF＝60°，∴∠EBF＝∠ABC，∴∠ABE＝∠FBC，且AB＝BC，BE＝BF，∴△ABE≌△CBF（SAS）∴∠BAE＝∠BCF＝30°，∴∠ACF＝90°，∴∠AFC+∠FAC＝90°；（3）∵△ACF是等腰直角三角形，∴AC＝CF，∵△ABE≌△CBF，∴CF＝AE，∴AC＝AE＝AB，∴∠ABE＝＝75°，∴∠EBC＝∠ABE﹣∠ABC＝15°．9．解：（1）∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∵O为BC中点∴且AO⊥BC，∠AOC＝90°∵OA＝OD∴△AOD中，∠D＝∠CAO＝30°∴∠AOD＝180°﹣∠D﹣∠CAO＝120°∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝30°；（2）如图1，过O作OE∥AB，OE交AD于E，∵OE∥AB∴∠EOC＝∠ABC＝60°∠CEO＝∠CAB＝60°，∴△COE为等边三角形，∴OE＝OC＝CE∠AEO＝180°﹣∠CEO＝120°∠DCO＝180°﹣∠ACB＝120°，又∵OA＝OD，∴∠EAO＝∠CDO，在△AOE和△COD中，，∴△AOE≌△DOC（AAS），∴CD＝EA，∵EA＝AC﹣CEBO＝BC﹣CO，∴EA＝BO，∴BO＝CD，∴AB＝AC，又∵AD＝AC+CD，∴AD＝AB+BO；（3）△AOP为等边三角形．证明：如图2，连接PC，PD，延长OC交PD于F，∵P、D关于OC对称，∴PF＝DF，∠PFO＝∠DFO＝90°，在△OPE与△OPF中，，∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POF＝∠DOF，OP＝OD，∴△AOP为等腰三角形，过O作OE∥AB，OE交AD于E，由（2）得△AOE≌△DOC∠AOE＝∠DOC，∴∠AOE＝∠POF，∴∠AOE+∠POE＝∠POF+∠POE，即∠AOP＝∠COE＝60°，∴△AOP是等边三角形．10．（1）证明：∵将△AOB沿y轴翻折得到△AOC，∴AB＝AC，∠BAO＝∠CAO＝30°，∴∠BAC＝60°，∴△ABC是等边三角形．（2）解：过点O作OF∥AC，交AB于点F，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°．又∵OF∥AC，∴∠BOF＝∠BFO＝60°，∴△BOF是等边三角形，∴OF＝BO，∠BFO＝60°，∵BO＝CO，∴OF＝CO．∴∠AFO＝120°．∵EC是外角的平分线，∠OCE＝120°＝∠AFO，∵∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠AOF＝∠EOC＝30°，在△AFO与△EOC中，，∴△AFO≌△OCE（ASA），∴AO＝OE；（3）解：AD＝DE仍成立，理由如下：如图2，过点D作DF∥AC，交AB于点F，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠B＝∠ACB＝∠ABC＝60°，又∵DF∥AC，∴∠BDF＝∠BFD＝60°，∴△BDF是等边三角形，BF＝BD，∠BFD＝60°，∴AF＝CD，∠AFD＝120°，∵EC是外角的平分线，∠DCE＝120°＝∠AFD，∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC＝∠B+∠FAD＝60°+∠FAD，∵∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝60°+∠EDC，∴∠FAD＝∠EDC，在△AFD和△DCE中，，∴△AFD≌△DCE（ASA），∴AD＝DE；（4）解：AD＝DE仍成立，理由如下：延长BA到M，使AM＝CD，∵AB＝BC，∴BM＝BD，∵∠MBD＝60°，∴△BDM是等边三角形，∴∠AMD＝60°，∵∠CDE＝∠ADB+∠ADE＝∠ADB+60°，∠MAD＝∠B+∠ADB＝∠ADB+60°，∴∠CDE＝∠MAD，∵∠AMD＝∠DCE＝60°，∴△AMD≌△DCE（ASA），∴AD＝DE．11．解：（1）①当点D落在线段AB上，BD＝AB﹣AD＝，当点D落在线段BD的延长线上时，BD＝AB+AD＝+，∴BD的长为﹣或．②显然∠ABD不能为直角，当∠ADB为直角时，AD2+BD2＝AB2，∴，当∠BAD为直角时，AB2+AD2＝BD2，∴，∴BD长为或．（2）如图，连接D1D2，D1C，则△AD1D2为等腰直角三角形，∴，∴AD1＝AD2，AB＝AC，∵∠BAC＝∠D2AD1，∴∠BAD2＝∠CAD1，在△ABD2和△ACD1中，，∴△BAD2≌△CAD1（SAS），∴BD2＝CD1，又∵∠AD2C＝135°，∴∠D1D2C＝∠AD2C﹣∠AD2D1＝135°﹣45°＝90°，∴＝，∴．（3）如图2，所示，连接CD1，理由：∵点P，M分别是CD2，D2D1的中点，∴，PM∥CD1，∵点N，M分别是BC，D1D2的中点，∴，PN∥BD2，∵BD2＝CD1，∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥CD1，∴∠D2PM＝∠D2CD1，∵PN∥BD2，∴∠PNC＝∠D2BC，∵∠D2PN＝∠D2CB+∠PNC＝∠D2CB+∠D2BC，∴∠MPN＝∠D2PM+∠D2PN＝∠D2CD1+∠D2CB+∠D2BC＝∠BCD1+∠D2BC＝∠ACB+∠ACD1+∠D2BC＝∠ACB+∠ABD2+∠D2BC＝∠ACB+∠ABC．∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°．∴△PMN为等腰直角三角形．∴．＝，∴当BD 2取最大时，△PMN 的面积最大，此时最大面积S ＝＝．当BD 2取最小时，△PMN 面积最小，此时最小面积S ＝＝．12．解：（1）①∵四边形ABCD 是正方形，∴AO ＝BO ＝CO ，AB ＝BC ＝8，∠ABO ＝∠ACB ＝∠DBC ＝45°，BO ⊥AC ， ∴AC ＝8，∴AO ＝OC ＝BO ＝4∵将射线OM 绕点O 顺时针旋转90°，得到射线ON ，∴∠FOE ＝90°＝∠BOC ，∴∠BOF ＝∠COE ，且BO ＝CO ，∠ABO ＝∠BCO ，∴△BOF ≌△COE （ASA ）∴S △BFO ＝S △CEO ，∴四边形OEBF 的面积＝S △OBC ＝×4×4＝16，故答案为16；②∵△BOF ≌△COE ，∴OE ＝OF ，且∠EOF ＝90°，∴△OEF 是等腰直角三角形；③∵OG ＝，OB ＝4， ∴BG ＝， ∵S △BFG ：S △FGO ＝BG ：GO ＝7：25，S △BEG ：S △EGO ＝BG ：GO ＝7：25，∴S △BEF ：S △EFO ＝7：25，∴S △EFO ＝×S 四边形OEBF ＝， ∴OE 2＝， ∴OE ＝5；（2）如图2，当点E在线段BC上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，∵∠ACB＝45°，PH⊥BC，∴∠HPC＝∠PCH＝45°，∴PH＝HC，∵PB2＝PH2+BH2，∴4×26＝PH2+（PH﹣8）2，∴PH＝10，PH＝﹣2（舍去），∴PH＝CH＝10，∴HB＝2，PC＝10，∵EC＝2，EG⊥AC，∠ACB＝45°，∴GC＝＝GE，∴PG＝9，∵∠FPE＝45°＝∠HPC，∴∠FPH＝∠EPG，且∠PHF＝∠PGE，∴△PFH∽△PEG，∴，∴，∴HF＝，∴BF＝2+＝；当点E在BC延长线上时，过点P作PH⊥BC于H，过点E作EG⊥AC于点G，同理可得：PH＝10，EG＝CG＝，△PFH∽△PEG，∴，∴，∴FH＝，∴BF＝2﹣＝，综上所述：BF的长为：或，故答案为：或．13．解：（1）∵OC是△ABC中AB边的中线，△ABC的面积为26，＝13，∴S△OAC∵DE∥AC，∴△ODE∽△OCA，∠OEM＝∠OAC，∴，且OD＝k⋅OC，＝13k2，∴S△ODE（2）∵△ODE∽△OCA，∴，∵OC是△ABC中AB边的中线，点M是DE的中点，∴AB＝2AO，EM＝DE，∴＝＝，且∠OEM＝∠OAC，∴△OEM∽△BAC，∴∠EOM＝∠ABC＝36°，如图2，当0＜α＜144°时，∵∠AON＝∠B+∠ONB，∴∠AOE+∠EOM＝∠B+∠ONB∴y＝α如图3，当144°＜α＜180°时，∵∠BON＝∠EOM﹣∠BOE＝36°﹣（180°﹣α）∴∠NOB＝α﹣144°，∵∠BNO＝∠ABC﹣∠NOB＝36°﹣（α﹣144°）＝180°﹣α；（3）当0＜α＜144°时，若OB＝ON，则∠ABC＝∠BNO＝36°＝α，若OB＝BN，则∠ONB＝＝72°＝α，若ON＝BN，则∠ABC＝∠BON＝36°，∴∠ONB＝180°﹣2×36°＝108°＝α，当144°＜α＜180°时，若OB＝BN，则∠N＝∠NOB＝18°＝180°﹣α，∴α＝162°．14．【问题解决】解：（1）由折叠的性质可得△CDE≌△GDE，∴CD＝DG，∠CDE＝∠GDE，∠DCE＝∠DGE＝90°，在Rt△DAF和Rt△DGF中，，∴Rt△DAF≌Rt△DGF（HL），∴∠ADF＝∠GDF，AF＝FG．∴∠EDF＝∠EDG+∠FDG＝＝45°，EF＝FG+EG＝AF+EC；故答案为：45°，AF+EC＝FE．（2）如图，延长CD到E，使DE＝BC，连接AE．∵AB＝AD，∠DAB＝∠BCD＝90°，∴△ADE≌△ABC（SAS），∴AE＝AC，∠EAD＝∠CAB．∴∠EAC＝90°．∵四边形ABCD的面积为8，可得△ACE的面积为8．∴．解得，AC＝4．（3）AD2+BE2＝DE2．证明如下：如图2：将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△BCH，连接EH．∴DC＝HC，∠DCE＝∠ECH＝45°，∠CAD＝∠CBH＝45°，∵CE＝CE，∴△CEH≌△CED（SAS）．∴EH＝ED．∴∠ABC+∠CBH＝∠EBH＝90°．∴HB2+BE2＝EH2．∵AD＝BH，∴AD2+BE2＝DE2．15．解：（1）∵AC＝BC，CD＝CE，∴BE＝AD，∵∠ACB＝90°，∴AC⊥BC，∴BE⊥AD．（2）BE＝AD，BE⊥AD，理由如下：延长BE交AD交于点F．如图2所示：∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△BCE和△ACD中，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴BE＝AD．∠CAD＝∠CBE，∵∠CAF+∠AFB＝∠CBE+∠ACB，∴∠AFB＝∠ACB＝90°，即BE⊥AD．故答案为：BE＝AD，BE⊥AD；（3）∠CPM为135°或45°；理由如下：连接CM，∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点M是AB的中点，∴CM＝AB＝AM＝BM，CM⊥AB，∴∠AMC＝90°；分两种情况：①点P在线段BD上时，如图3所示：由旋转的性质得：∠PMN＝90°，MN＝MP，∴∠CMP＝∠AMN，△MNP是等腰直角三角形，∴∠PNM＝∠MPN＝45°，∴∠ANM＝135°，在△CPM和△ANM中，，∴△CPM≌△ANM（SAS），∴∠CPM＝∠ANM＝135°；②点P在线段BD的延长线上时，如图4所示：同①得：∠ANM＝∠PNM＝45°，△CPM≌△ANM（SAS），∴∠CPM＝∠ANM＝45°；综上所述，点A，P，N在同一条直线上时∠CPM的值为135°或45°．16．解：（1）如图1中，在Rt△ABE中，AB＝＝＝5，∴AC＝AB＝5，∴EF＝EC＝AC﹣AE＝3，∵∠CEF＝90°，EC＝EF＝3，∴CF＝＝＝3．（2）①如图2﹣1中，当CM＝CN时，α＝∠MCE＝∠ECN＝∠ACB＝22.5°．如图2﹣2中，当NM＝NC时，α＝∠MCN＝45°．如图2﹣3中，当CN＝CM时，∠NCE＝∠BCM＝67.5°，α＝∠ACE＝45°+67.5°＝112.5°．综上所述，满足条件的α的值为22.5°或45°或112.5°．（3）结论：CF+AE＝BP．理由：如图3中，在BE上取一点D，使得AD＝AE．∵∠BAC＝∠BEC＝90°，∴A，B，C，E四点共圆，∴∠AEB＝∠ACB＝45°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠AED＝45°，∴∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，∵AB＝AC，AD＝AE．∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD＝EC＝EF，∵BP＝BF＝（2EF+DE），CF＝EF，DE＝AE，∴BP＝（CF+AE），∴CF+AE＝BP．。
江西省九江市2020教三第三次模拟考试理科数学试题 含解析
2412 1413 4331 2234 4422 3241 4331 4234
由此可以估计恰好在第 4 次停止摸球的概率为（A）
2
1
A.
B.
7
3
8
C.
21
5 D.
21
9.函数 f ( x) e x x sin x 1 的图像大致是(B)
y
y
y
O
x
A
O
x
O
x
B
C
y
O
x
D
x2 y2
10.设双曲线 C : a2
江西省九江市 2020 年第三次高考模拟统一考试
数 学 试 题（理科）
本试卷分第 I 卷（选择题）和第 II 卷（非选择题）两部分.全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的学号、姓名等项内容填写在答题卡上. 2.第 I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号，第 II 卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效.
近似，则①、②中分别填入的可以是(D)
A.
S
(1)i1
1 ，i
i
2
i
B. S (1)i1 1 ， i i 1 2i 1
C.
S
S
(1)i1
1 ，i
i
2
i
D. S S (1)i1 1 ， i i 1 2i 1
开始
S 0, i 1
①
i 1010 是
T 4S
② 否
输出 T
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8.在一个不透明的盒子中装有 4 个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字 1,2,3,4.现每次有放
2020年九年级数学中考三轮压轴专题培优卷：《三角形综合》(解析版)
三轮压轴专题培优卷：《三角形综合》1．（1）已知：如图1，△ABC为等边三角形，点D为BC边上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等边△ADE，连接CE．求证：①BD＝CE，②∠DCE＝120°；（2）如图2，在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝AB，点D为BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE，类比题（1），请你猜想：①∠DCE的度数；②线段BD、CD、DE之间的关系，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，若D点在BC的延长线上运动，以AD为边作等腰Rt△ADE，∠DAE＝90°（顶点A、D、E按逆时针方向排列），连接CE．①则题（2）的结论还成立吗？请直接写出，不需论证；②连结BE，若BE＝10，BC＝6，直接写出AE的长．证明：（1）①如图1，∵△ABC和△ADE是等边三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠ACB＝∠B＝60°，∠BAC＝∠DAE＝60°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠BAD＝∠EAC．在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；②∵△ABD≌△ACE，∴∠ACE＝∠B＝60°，∴∠DCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°；（2）∠DCE＝90°，BD2+CD2＝DE2．证明：如图2，∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；（3）①（2）中的结论还成立．理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABC＝∠ACE＝45°，BD＝CE，∴∠ABC+∠ACB＝∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°＝∠ECD，∴Rt△DCE中，CE2+CD2＝DE2，∴BD2+CD2＝DE2；②∵Rt△BCE中，BE＝10，BC＝6，∴CE＝＝＝8，∴BD＝CE＝8，∴CD＝8﹣6＝2，∴Rt△DCE中，DE＝＝＝，∵△ADE是等腰直角三角形，∴．2．【问题】如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB．∠EDF＝90°，点D在直线L上移动，角的一边DE始终经过点B，另一边DF与AC交于点P，研究DP和DB的数量关系．【探究发现】（1）如图2，某数学兴趣小组运用从特殊到一般的数学思想，发现当点D 移动到使点P与点C重合时，通过推理就可以得到DP＝DB，请写出证明过程；【数学思考】（2）如图3，若点P是AC上的任意一点（不含端点A、C），受（1）的启发，这个小组过点D作DG⊥CD交BC于点G，就可以证明DP＝DB，请完成证明过程．【探究发现】证明：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC∴∠CAB＝∠CBA＝45°∵CD∥AB∴∠CBA＝∠DCB＝45°，且BD⊥CD∴∠DCB＝∠DBC＝45°∴DB＝DC即DP＝DB；【数学思考】证明：（2）∵DG⊥CD，∠DCB＝45°∴∠DCG＝∠DGC＝45°∴DC＝DG，∠DCP＝∠DGB＝135°，∵∠BDP＝∠CDG＝90°∴∠CDP＝∠BDG，在△CDP和△GDB中，，∴△CDP≌△GDB（ASA）∴DP＝DB．3．在△ABC中，AB＝AC，D、E分别在BC和AC上，AD与BE相交于点F．（1）如图1，若∠BAC＝60°，BD＝CE，求证：∠1＝∠2；（2）如图2，在（1）的条件下，连接CF，若CF⊥BF，求证：BF＝2AF；（3）如图3，∠BAC＝∠BFD＝2∠CFD＝90°，若S△ABC ＝2，求S△CDF的值．（1）证明：∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝∠C＝60°，在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠1＝∠2；（2）如图2，过B作BH⊥AD，垂足为H，∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∵∠ABF+∠CBE＝60°，∴∠BFD＝∠ABF+∠BAD＝60°，∴∠FBH＝30°，∴BF＝2FH，在△AHB和△BFC中，∴△AHB≌△BFC（AAS），∴BF＝AH＝AF+FH＝2FH，∴AF＝FH，∴BF＝2AF；（3）如图3，过C作CM⊥AD交AD延长线于M，过C作CN⊥BE交BE延长线于N，∵∠BFD＝2∠CFD＝90°，∴∠EFC＝∠DFC＝45°，∴CF是∠MFN的角平分线，∴CM＝CN，∵∠BAC＝∠BFD＝90°，∴∠ABF＝∠CAD，在△AFB和△CMA中，∴△AFB≌△CMA（AAS）∴BF＝AM，AF＝CM，∴AF＝CN，∵∠FMC＝90°，∠CFM＝45°，∴△FMC为等腰直角三角形，∴FM＝CM，∴BF＝AM＝AF+FM＝2CM，∴S△BDF ＝2S△CDF，∵AF＝CM，FM＝CM，∴AF＝FM，∴F是AM的中点，∴S△AFC ＝S△AMC＝S△AFB，∵AF⊥BF，CN⊥BF，AF＝CN，∴S△AFB ＝S△BFC，设S△CDF ＝x，则S△BDF＝2x，∴S△AFB ＝S△BFC＝3x∴S△AFC ＝S△AFB＝x，则3x+3x+x＝2，解得，x＝，即S△CDF＝．4．在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．（1）如图①，若∠BAC＝110°，则∠MAN＝40 °，若△AMN的周长为9，则BC＝9 ．（2）如图②，若∠BAC＝135°，求证：BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA 的延长线于点H．若AB＝5，CB＝12，求AH的长．解：（1）∵∠BAC＝110°，∴∠B+∠C＝180°﹣110°＝70°，∵AB边的垂直平分线交BC边于点M，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理：NA＝NC，∴∠NAC＝∠C，∴∠MAN＝110°﹣（∠BAM+∠NAC）＝40°，∵△AMN的周长为9，∴MA+MN+NA＝9，∴BC＝MB+MN+NC＝MA+MN+NA＝9，故答案为：40；9；（2）如图②，连接AM、AN，∵∠BAC＝135°，∴∠B+∠C＝45°，∵点M在AB的垂直平分线上，∴AM＝BM，∴∠BAM＝∠B，同理AN＝CN，∠CAN＝∠C，∴∠BAM+∠CAN＝45°，∴∠MAN＝∠BAC﹣（∠BAM+∠CAN）＝90°，∴AM2+AN2＝MN2，∴BM2+CN2＝MN2；（3）如图③，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E，∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC，∴PH＝PE，∵点P在AC的垂直平分线上，∴AP＝CP，在Rt△APH和Rt△CPE中，，∴Rt△APH≌Rt△CPE（HL），∴AH＝CE，在△BPH和△BPE中，，∴△BPH≌△BPE（AAS）∴BH＝BE，∴BC＝BE+CE＝BH+CE＝AB+2AH，∴AH＝（BC﹣AB）÷2＝3.5．5．（1）问题发现：如图1，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．试写出线段DE，BD和CE之间的数量关系为DE＝BD+CE；（2）思考探究：如图2，将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D，A、E三点都在直线m上，并且∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问（1）中结论还是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图3，D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状并说明理由．解：（1）如图1，∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠BAD+∠CAE＝90°∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠CAE＝∠ABD，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE，故答案为：DE＝BD+CE；（2）（1）中结论成立，理由如下：如图2，∵∠BDA＝∠BAC＝α，∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠CAE，在△ADB和△CEA中，，∴△ADB≌△CEA（AAS），∴AE＝BD，AD＝CE，∴DE＝AE+AD＝BD+CE；（3）△DEF是等边三角形，理由如下：如图3，由（2）可知，△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF＝∠CAF＝60°，BF＝AF，∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，即∠DBF＝∠AFE，∵在△DBF和△EAF中，，∴△DBF≌△EAF（SAS）∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，∴∠DFE ＝∠DFA +∠AFE ＝∠DFA +∠BFD ＝60°，∴△DEF 为等边三角形．6．如图所示，直线AB 交x 轴于点A （4，0），交y 轴于点B （0，﹣4）．（I ）如图①，若C 的坐标为（﹣1，0），且AH ⊥BC 于点H ，AH 交OB 于点P ，试求点P 的坐标；（II ）如图②，在（I ）的条件下，连接OH ，求∠OHC 的度数；（III ）如图③，若点D 为AB 的中点，点M 为y 轴正半轴上一动点，连接MD ，过D 作DN ⊥DM 交x 轴于N 点，当M 点在y 轴正半轴上运动的过程中，式子S △BDM ﹣S △ADN 的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．解：（I ）由题意，OA ＝OB ＝4，∵∠AHC ＝90°，∠BOC ＝90°，∴∠CAH ＝∠CBO ，在△OAP 和△OBC 中，，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1，则点P 的坐标为（0，﹣1）；（II ）如图②，过O 分别作OM ⊥BC 于M ，作ON ⊥AH 于N ，则四边形MONH 为矩形，∴∠MON ＝90°，∵∠COP ＝90°，∴∠COM ＝∠PON ，在△COM 和△PON 中，，∴△COM ≌△PON （AAS ）∴OM ＝ON ，又OM ⊥BC ，作ON ⊥AH ，∴HO 平分∠MHN ，∴∠OHC ＝∠MHN ＝45°；（III ）式子S △BDM ﹣S △ADN 的值不发生改变，等于4．理由如下：如图③，连接OD ，∵∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，点D 为AB 的中点，∴OD ⊥AB ，OD ＝AD ＝BD ＝，∠OAB ＝45°，∴∠BOD ＝45°，∴∠MOD ＝135°，∴∠MOD ＝∠NAD ＝135°，∵∠ODA ＝90°，∠MDN ＝90°，∴∠MDO ＝∠NDA ，在△MOD 和△NAD 中，，∴△MOD ≌△NAD （ASA ）∴S △MDO ＝S △NDA ，∴S △BDM ﹣S △ADN ＝S △BDM ﹣S △ODM ＝S △BDO ＝××4×4＝4．7．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，点D在边AB上，点E在边AC的左侧，连接AE．（1）求证：AE＝BD；（2）试探究线段AD、BD与CD之间的数量关系；（3）过点C作CF⊥DE交AB于点F，若BD：AF＝1：2，CD＝，求线段AB的长．（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC＝BC，EC＝DC，∠ACB＝∠ECD＝90°∴∠ACB﹣∠ACD＝∠ECD﹣∠ACD∴∠ACE＝∠BCD，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE＝BD．（2）解：由（1）得△ACE≌△BCD，∴∠CAE＝∠CBD，又∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠CAE＝45°，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，AE2+AD2＝ED2，且AE＝BD，∴BD2+AD2＝ED2，∵ED＝CD，∴BD2+AD2＝2CD2，（3）解：连接EF，设BD＝x，∵BD：AF＝1：2，则AF＝2x，∵△ECD都是等腰直角三角形，CF⊥DE，∴DF＝EF，由（1）、（2）可得，在Rt△FAE中，EF＝＝＝3x，∵AE2+AD2＝2CD2∴，解得x＝1，∴AB＝2+4．8．如图，△ABC是等边三角形，点D在AC上，点E在BC的延长线上，且BD＝DE．（1）如图1，若点D是AC的中点，求证：AD＝CE；（2）如图2，若点D不是AC的中点，AD＝CE是否成立？证明你的结论；（3）如图3，若点D在线段AC的延长线上，试判断AD与CE的大小关系，并说明理由．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，∵D为AC中点，∴∠DBC＝30°，AD＝DC，∵BD＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝30°＝∠E，∴CD＝CE，∵AD＝DC，∴AD＝CE；（2）成立，如图2，过D作DF∥BC，交AB于F，则∠ADF＝∠ACB＝60°，∵∠A＝60°，∴△AFD是等边三角形，∴AD＝DF＝AF，∠AFD＝60°，∴∠BFD＝∠DCE＝180°﹣60°＝120°，∵DF∥BC，∴∠FDB＝∠DBE＝∠E，在△BFD和△DCE中，∴△BFD≌△DCE（AAS），∴CE＝DF＝AD，即AD＝CE．（3）AD＝CE．证明：如图3，过点D作DP∥BC，交AB的延长线于点P，∵△ABC是等边三角形，∴△APD也是等边三角形，∴AP＝PD＝AD，∠APD＝∠ABC＝∠ACB＝∠PDC＝60°，∵DB＝DE，∴∠DBC＝∠DEC，∵DP∥BC，∴∠PDB＝∠CBD，∴∠PDB＝∠DEC，在△BPD和△DCE中，，∴△BPD≌△DCE（AAS），∴PD＝CE，∴AD＝CE．9．如图（a），△ABC、△DCE都为等腰直角三角形，B、C、E三点在同一直线上，连接AD．（1）若AB＝2，CE＝，求△ACD的周长；（2）如图（b），点G为BE的中点，连接DG并延长至F，使得GF＝DG，连接BF、AG．（i）求证：BF∥DE；（ii）探索AG与FD的位置关系，并说明理由．（1）解：∵△ABC、△DCE都是等腰直角三角形，∴AB＝AC，∠ACB＝45°，DC＝DE，∠DCE＝45°，∴∠ACD＝180°﹣45°﹣45°＝90°，在Rt△DCE中，DC2+DE2＝CE2＝（）2＝2，∴DC＝DE＝1，由勾股定理得，AD＝＝＝，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝3+；（2）（i）证明：在△BGF和△EGD中，，∴△BGF≌△EGD（SAS）∴∠GBF＝∠E，∴BF∥DE；（ii）AG⊥FD，理由如下：如图（b）连接AF，∵△DEG≌△FBG，∴BF＝DE＝CD，∠GBF＝∠E＝45°，∵∠ABF＝∠ABC+∠GBF＝90°，∴∠ABF＝∠ACD，在△ACD和△ABF中，，∴△ACD≌△ABF（SAS），∴AF＝AD，又∵DG＝FG，∴AG⊥FD．10．如图1，点M为直线AB上一动点，△PAB，△PMN都是等边三角形，连接BN，（1）M点如图1的位置时，如果AM＝5，求BN的长；（2）M点在如图2位置时，线段AB、BM、BN三者之间的数量关系AB+BM＝BN；（3）M点在如图3位置时，当BM＝AB时，证明：MN⊥AB．（1）解：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB﹣∠MPB＝MPN﹣∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN＝5；（2）解：AB+BM＝BN，理由如下：∵△PAB，△PMN都是等边三角形，∴∠APB＝MPN＝60°，PA＝PB，PM＝PN，∴∠APB+∠MPB＝MPN+∠MPB，即∠APM＝∠BPN，在△PAM和△PBN中，∴△PAM≌△PBN（SAS）∴AM＝BN，∴BN＝AM＝AB+BM，故答案为：AB+BM＝BN；（3）证明：∵△PAB是等边三角形，∴AB＝PB，∠ABP＝60°，∵BM＝AB，∴PB＝BM，∴∠BPM＝∠PMB，∵∠ABP＝60°，∴∠BPM＝∠PMB＝30°，∵△PMN是等边三角形，∴∠PMN＝60°，∴∠AMN＝90°，∴MN⊥AB．11．如图1，张老师在黑板上画出了一个△ABC，其中AB＝AC．让同学们进行探究．（1）探究一：如图2，小明以BC为边在△ABC内部作等边△BDC，连接AD．请直接写出∠ADB的度数150°；（2）探究二：如图3，小彬在（1）的条件下，又以AB为边作等边△ABE，连接CE．判断CE与AD的数量关系，并说明理由；（3）探究三：如图3，小聪在（2）的条件下，连接DE．若∠DEC＝60°，DE＝2，求AE 的长．解：（1）探究一：∵△BDC是等边三角形，∴BD＝DC，∠BDC＝60°，在△ADB和△ADC中，，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB＝∠ADC，∵∠ADB+∠ADC＝360°﹣60°，∴∠ADB＝150°，故答案为：150°．（2）探究二：结论：CE＝AD．理由：∵△BDC、△ABE都是等边三角形∴∠ABE＝∠DBC＝60°，AB＝BE，BD＝DC．∴∠ABE﹣∠DBE＝∠DBC﹣∠DBE∴∠ABD＝∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（SAS）．∴AD＝CE．（3）探究三：∵△ABD≌△EBC，∴∠BDA＝∠ECB＝150°，∵∠BCD＝60°，∴∠DCE＝90°，∵∠DEC＝60°，∴∠CDE＝30°，∵DE＝2，∴CE＝1，由勾股定理得，DC＝BC＝，∵∠BDE＝60°+30°＝90°，DE＝2，BD＝．由勾股定理得，BE＝＝．∵△ABE是等边三角形∴AE＝BE＝．12．（1）发现：如图1，∠BAD＝90°，AB＝AD，过点B作BC⊥AC于点C，过点D作DE⊥AC于点E，由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D，又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE，进而得到AC＝DE，BC＝AE．我们把这个数学模型称为“K 字”模型或“一线三等角”模型；（2）应用：如图2，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝BD，∠CAD＝90°，AB＝6，请求出△ABC的面积；（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣1，﹣4），点B为平面内一点．若△AOB是以OA为斜边的等腰直角三角形，请直接写出点B的坐标．解：（1）AC＝DE，BC＝AE；故答案为：DE，AE；（2）作AE⊥CD于E，如图2所示：∵AC＝AD，∠CAD＝90°，∴AE＝CD＝DE＝CE，∴AD＝AC＝AE，设AE＝DE＝CE＝x，则AC＝AD＝BD＝x，∴BE＝x+x，BC＝2x+x，∴AB2＝（x+x）2+x2＝62，解得：x2＝18﹣9，∴△ABC的面积＝BC×AE＝（2x+x）×x＝×（2+）×x2＝×（2+）×（18﹣9）＝18；（3）分两种情况：①过A作AC⊥y轴于D，过B作BE⊥x轴于E，DA与EB相交于C，如图3所示：则∠C＝90°，∵点A的坐标为（﹣1，﹣4），∴AD＝1，OD＝CE＝4，∵∠OBO＝90°，∴∠OBE+∠ABC＝90°，∵∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠OBE，在△ABC与△BOE中，，∴△ABC≌△BOE（AAS），∴AC＝BE，BC＝OE，设OE＝x，则BC＝OE＝CD＝x，∴AC＝BE＝x+1，∴CE＝BE+BC＝x+1+x＝OD＝4，∴x＝，x+1＝，∴点B的坐标（，）；②如图4，同理可得，点B的坐标（﹣，﹣），综上所述，点B的坐标为（，）或（﹣，﹣）．13．模型发现：同学们知道，三角形的两边之和大于第三边，即如图1，在△ABC中，AB+AC＞BC．对于图1，若把点C看作是线段AB外一动点，且AB＝c，AC＝b，则线段BC的长会因为点C 的位置的不同而发生变化．因为AB、AC的长度固定，所以当∠BAC越大时，BC边越长．特别的，当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，且最大值为b+c（用含b，c的式子表示）（直接填空）模型应用：点C为线段AB外一动点，且AB＝3，AC＝2，如图2所示，分别以AC，BC为边，作等边三角形ACD和等边三角形BCE，连接BD，AE．（1）求证：BD＝AE．（2）线段AE长的最大值为 5 ．模型拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A是y轴正半轴上的一动点，点B是x轴正半轴上的一动点，且AB＝8．若AC⊥AB，AC＝3，试求OC长的最大值．解：当点C位于线段BA的延长线上时，线段BC的长取得最大值，最大值为b+c，故答案为：线段BA的延长线上；b+c；模型应用：（1）证明：∵△ACD、△BCE都是等边三角形，∴CD＝CA＝AD，CB＝CE，∠ACD＝60°，∠BCE＝60°，∴∠DCB＝∠ACE，在△DCB和△ACE中，，∴△DCB≌△ACE（SAS）∴BD＝AE；（2）当点D位于线段BA的延长线上时，线段BD的长取得最大值，最大值为AB+AD＝AB+AC ＝3+2＝5，∵AE＝BD，∴线段AE长的最大值为5，故答案为：5；模型拓展：取AB的中点G，连接OG、CG，在Rt△AOB中，G为AB的中点，∴OG＝AB＝4，在Rt△CAG中，CG＝＝＝5，当点O、G、C在同一条直线上时，OC最大，最大值为4+5＝9．14．已知，平面直角坐标系中，A在x轴正半轴，B（0，1），∠OAB＝30°．（1）如图1，已知AB＝2．点C在y轴的正半轴上，当△ABC为等腰三角形时，直接写出点C的坐标为（0，3）；（2）如图2，以AB为边作等边△ABE，AD⊥AB交OA的垂直平分线于D，求证：BD＝OE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE交AB于F，求的值．（1）解：∵B（0，1），∴OB＝1，∵AB＝2，点C在y轴的正半轴上，△ABC为等腰三角形，∴BC＝AB＝2，∴OC＝OB+BC＝3，∴点C的坐标为（0，3），故答案为：（0，3）；（2）证明：连接OD，如图2所示：∵△ABE是等边三角形，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∵∠OAB＝30°，∴∠OAE＝30°+60°＝90°，∵AD⊥AB，∴∠DAB＝90°＝∠OAE，∠OAD＝90°﹣30°＝60°，∵MN是OA的垂直平分线，∴OD＝AD，∴△OAD是等边三角形，∴AO＝AD，在△ABD和△AEO中，，∴△ABD≌△AEO（SAS），∴BD＝OE；（3）解：作EH⊥AB于H，如图3所示：∵△ABE是等边三角形，EH⊥AB，∴AH＝AB，∵∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，∴OB＝AB，∴AH＝OB，在Rt△AEH和Rt△BAO中，，∴Rt△AEH≌Rt△BAO（HL），∴EH＝AO＝AD，在△HFE和△AFD中，，∴△HFE≌△AFD（AAS），∴EF＝DF，∴DE＝2DF，∴＝．15．在平面直角坐标系中，M（m，n）且m、n满足m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，B（0，b）为y轴上一动点，绕B点将直线BM顺时针旋转45°交x轴于点C，过C作AC⊥BC交直线BM于点A（a，t）．（1）求点M的坐标；（2）如图1，在B点运动的过程中，A点的横坐标是否会发生变化？若不变，求a的值；若变化，写出A点的横坐标a的取值范围；（3）如图2，过T（a，0）作TH⊥BM（垂足H在x轴下方），在射线HB上截取HK＝HT，连OK，求∠OKB的度数．解：（1）m2+2n2﹣2mn+4n+4＝0，m2+n2﹣2mn+n2+4n+4＝0，（m﹣n）2+（n+2）2＝0，则m﹣n＝0，n+2＝0，解得，m＝﹣2，n＝﹣2，∴点M的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）过A作AT⊥x轴，MD⊥x轴于D，连接OM，CM，在Rt△ACB中，∠ABC＝45°，∴CA＝CB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACT+∠TCB＝90°，∵∠BOC＝90°，∴∠BCO+∠TCB＝90°，∴∠ACT＝∠CBO，在△CBO和△ACT中，，∴△CBO≌△ACT（AAS），∴CT＝BO＝﹣b，AT＝CO＝t，∴a＝b+t，∵DO＝DM，∴∠DOM＝45°，∴∠MOC＝135°，∴∠MOC+∠ABC＝180°，∴O、M、B、C四点共圆，∴∠CMB＝∠COB＝90°，∵CA＝CB，∴M为AB中点，∴b+t＝﹣4，∴a＝﹣4；（3）连TM、OM，过O作ON⊥BM于N，由（2）可知T（﹣4，0），∴OT＝4，又点M的坐标为（﹣2，﹣2），∴△TMO为等腰直角三角形，∴MT＝MO，∵∠THM＝90°，∠TMO＝90°，∴∠TMH＝∠MON，在△HTM和△NMO中，，∴△HTM≌△NMO（AAS），∴HT＝MN，HM＝ON，∴HK＝KN，∴KN＝ON，∴∠OKB＝45°．16．在等边三角形ABC中，点P从点B出发沿射线BA运动，同时点Q从点C出发沿线段AC 的延长线运动，P、Q两点运动的速度相同，PQ与直线BC相交于点D．（1）如图①，过点P作PE∥AC交BC于点E，求证：EP＝CQ．（2）如图②，过点P作直线BC的垂线，垂足为F．①当点P在线段BA上运动时，求证：BF+CD＝BC．②当点P在线段BA延长线上运动时，直接写出BF、CD与BC之间的数量关系．（1）证明：由题意得：BP＝CQ，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝∠BCA＝∠ABC＝60°，∵PE∥AC，∴∠BPE＝∠BAC＝60°，∠BEP＝∠BCA＝60°，∴∠B＝∠BPE＝∠BEP，∴△BPE是等边三角形，∴EP＝BP，∴EP＝CQ．（2）①证明：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图②所示：由（1）得：EP＝CQ，∠BEP＝∠ACB＝60°，△BPE是等边三角形，∴∠DEP＝∠DCQ＝120°，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，在△DPE和△DQC中，，∴△DPE≌△DQC（AAS），∴ED＝CD，∴BF+CD＝EF+ED＝BC．②解：当点P在线段BA延长线上运动时，BC+2CD＝2BF，理由如下：过点P作PE∥AC交BC于点E，如图③所示：同①得：△BPE是等边三角形，△DPE≌△DQC，∴ED＝CD，∵PF⊥BC，∴BF＝EF，∵BC﹣BF＝CF，∴BC﹣BF＝EF﹣2CD＝BF﹣2CD，∴BC+2CD＝2BF．17．问题情境：我们在第十一章《三角形》中学习了三角形的边与角的性质，在第十二章《全等三角形》中学习了全等三角形的性质和判定．在一些探究题中经常用以上知识转化角和边，进而解决问题．问题初探：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为直线AB上的一个动点（D与A，B 不重合），连接CD，以CD为直角边作等腰直角三角形CDE，连接BE．（1）当点D在线段AB上时，AD与BE的数量关系是AD＝BE；位置关系是AD⊥BE；AB，BD，BE三条线段之间的关系是AB＝BD+BE．类比再探：（2）如图2，当点D运动到AB的延长线上时，AD与BE还存在（1）中的位置关系吗？若存在，请说明理由．同时探索AB，BD，BE三条线段之间的数量关系，并说明理由．能力提升：（3）如图3，当点D运动到BA的延长线上时，若AB＝7，AD＝2，则AE＝9 ．解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴AD＝BE，∠CBE＝∠A＝45°，∴∠ABE＝90°，即AD⊥BE，∴AB＝BD+AD＝BD+BE；故答案为：AD＝BE；AD⊥BE；AB＝BD+BE；（2）AD⊥BE，理由如下：∵∠ACB＝90°AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∵△CDE是等腰直角三角形，∴CD＝CE，∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS）∴∠CBE＝∠A＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC+∠CBE＝90°，∴AB⊥BE，即AD⊥BE，∵△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AD＝AB+BD，∴BE＝AB+BD；（3）∵△ABC、△CDE是等腰直角三角形，∴CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠ACE＝∠BCD，在△ACE与△BCD中，，∴△ACE≌△BCD（SAS）∴AE＝BD＝AD+AB＝9，故答案为：9．18．已知△ABC和△DEF为等腰三角形，AB＝AC，DE＝DF，∠BAC＝∠EDF，点E在AB上，点F在射线AC上．（1）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：△ADC≌△BEC；（2）如图1，若∠BAC＝60°，点F与点C重合，求证：AD∥BC；（3）如图2，若AD＝AB，已知AF＝10，AE＝4，求BC的长．证明：（1）∵∠BAC＝∠EDF＝60°，△ABC和△DEF为等腰三角形，∴△ABC、△DEF为等边三角形，∴BC＝AC，CD＝CE，∠B＝∠ACB＝∠DCE＝60°，∴∠BCE+∠ACE＝∠ACD+∠ACE＝60°，∴∠ACD＝∠BCE，在△ADC和△BEC中，，∴△ADC≌△BEC（SAS）；（2）证明：由（1）得：△ADC≌△BEC，∴∠DAC＝∠EBC＝60°，∴∠DAC＝∠ACB，∴AD∥BC；（3）解：在FA上截取FM＝AE，连接DM，如图2所示：∵∠BAC＝∠EDF，∴∠AED＝∠MFD，在△AED和△MFD中，，∴△AED≌△MFD（SAS），∴DA＝DM＝AB＝AC，∠ADE＝∠MDF，∴∠ADE+∠EDM＝∠MDF+∠EDM，即∠ADM＝∠EDF＝∠BAC，在△ABC和△DAM中，，∴△ABC≌△DAM（SAS），∴AM＝BC，∴AE+BC＝FM+AM＝AF．∴BC＝AF﹣AE＝10﹣4＝6．19．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别是BC，AC上的点，AD，BE相交于点P，∠EBC＝∠BAD．（1）如图1，求证：∠APE＝∠C；（2）作AF∥BC交DE延长线于点F，PE＝EC．①如图2，求证：AD＝AF；②如图3，过点E作EG⊥BC于点G，若DP＝1，DC＝7，直接写出DG的长为 4 ．（1）证明：∠APE＝∠ABP+∠BAD，∠ABC＝∠ABP+∠EBC，∵∠EBC＝∠BAD，∴∠APE＝∠ABC，∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∴∠APE＝∠C；（2）①证明：如图2，作EG⊥DC于G，EH⊥AD于H，在△EHP和△EGC中，，∴△EHP≌△EGC（AAS）∴EH＝EG，又EG⊥DC，EH⊥AD，∴∠ADF＝∠CDF，∵AF∥BC，∴∠F＝∠CDF，∴∠F＝∠ADF，∴AD＝AF；②解：如图3，作EH⊥AD于H，由（2）①可知，△EHP≌△EGC，∴PH＝GC，在△DEH和△DEG中，，∴△DEH≌△DEG（AAS）∴DH＝DG，∴DG＝DH＝DP+PH＝1+GC，∴1+GC+GC＝7，解得，GC＝3，∴DG＝DC﹣GC＝7﹣3＝4，故答案为：4．20．Rt△ABC中，∠ACB＝90°，直线l过点C．（1）当AC＝BC时，如图1，分别过点A和B作AD⊥直线l于点D，BE⊥直线l于点E．△ACD与△CBE是否全等，并说明理由；（2）当AC＝9cm，BC＝6cm时，如图2，点B与点F关于直线l对称，连接BF、CF，点M 在AC上，点N是CF上一点，分别过点M、N作MD⊥直线l于点D，NE⊥直线l于点E，点M从A点出发，以每秒1cm的速度沿A→C路径运动，终点为C，点N从点F出发，以每秒3cm的速度沿F→C→B→C→F路径运动，终点为F，点M、N同时开始运动，各自达到相应的终点时停止运动，设运动时间为t秒．①当△CMN为等腰直角三角形时，求t的值；②当△MDC与△CEN全等时，求t的值．解：（1）△ACD与△CBE全等．理由如下：∵AD⊥直线l，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，在△ACD和△CBE中，，∴△ACD≌△CBE（AAS）；（2）①由题意得，AM＝t，FN＝3t，则CM＝8﹣t，由折叠的性质可知，CF＝CB＝6，∴CN＝6﹣3t，点N在BC上时，△CMN为等腰直角三角形，当点N沿C→B路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒时，△CMN为等腰直角三角形；②由折叠的性质可知，∠BCE＝∠FCE，∵∠MCD+∠CMD＝90°，∠MCD+∠BCE＝90°，∴∠NCE＝∠CMD，∴当CM＝CN时，△MDC与△CEN全等，当点N沿F→C路径运动时，9﹣t＝6﹣3t，解得，t＝﹣（不合题意），当点N沿C→B路径运动时，9﹣t═3t﹣6，解得，t＝，当点N沿B→C路径运动时，由题意得，9﹣t＝18﹣3t，解得，t＝，当点N沿C→F路径运动时，由题意得，9﹣t＝3t﹣18，解得，t＝，综上所述，当t＝秒或秒或6秒时，△MDC与△CEN全等．。
理科数学答案 新疆维吾尔自治区2020年普通高考第三次适应性检测试卷答案
因为 CE⊂平面 COE,所以 AB⊥CE,
取 CE 的中点 G,连接 AG,PG,
因为 P 为 CD 中点,所以 PG∥DE,
又菱形 ABDE 中,AB∥DE,
树人·优升 2020 年普通高考第三次适应性检测 理科数学答案 第 2 页 共 6 页
所以 PG∥AB,故 A,B,P,G 四点共面, 由 EA = CA 可得 AG⊥CE, 又 AB∩AG = A,所以 CE⊥平面 ABP. ……………………………………… 6 分 (2) 由(1) 可知,AB,OC,OE 两两垂直,以 OC,OB,OE 所在直线分别为 x,y,z 轴建立如 图所示空间直角坐标系,
P( X
=
1200) =
1
-C
1 3
p(
1
-p)
2
故
E(
X)=
1200
×[
1
-C
1 3
p(
1
-p)
2]
+2000×C13
p(1-p)
2
=
1200 + 2400p( 1 -p)
2
令 f (p)= p(1-p) 2,p∈(0, 1)
则 f ′( p)= (1-p) 2 -2p(1-p)= ( p-1) (3p-1) ……………………………… 10 分
,
∴
1 ∈(0, tan B
3),
∴
c∈(1,4) .
∴ c 的取值范围为(1,4) . ……………………………………………………… 12 分
树人·优升 2020 年普通高考第三次适应性检测 理科数学答案 第 1 页 共 6 页
18. ( Ⅰ) 依题意,(0. 005+a+b+0. 035+0. 028) ×10 = 1,
【精准解析】江西省师大附中2020届高三三模考试数学(理)试题
江西师大附中2020届高三三模考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知全集U =R ，集合{}14A x Z x =∈≤≤，401x B x Rx ⎧⎫-=∈≥⎨⎬-⎩⎭，则()UA B =（ ） A. []1,4B. [)2,4C. {}2,3,4D. {}1,2,3【答案】D 【解析】 【分析】求出集合A 、B ，进而可求得集合UB ，然后利用交集的定义可求得集合()U A B ∩.【详解】{}{}141,2,3,4A x Z x =∈≤≤=，{4011x B x R x x x ⎧⎫-=∈≥=<⎨⎬-⎩⎭或}4x ≥，{}14U B x x ∴=≤<，因此，(){}1,2,3UA B =.故选：D .【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了分式不等式的求解，考查计算能力，属于基础题.2. 若复数1a iz i+=-在复平面内对应的点在第二象限内，则实数a 的值可以是（ ） A. 1B. 0C. ﹣1D. ﹣2【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0求解a 的范围即可. 【详解】∵()()()()11111122a i i a i a a z i i i i +++-+===+--+ 又因为复数在复平面内对应的点在第二象限内，∴102102a a -⎧⎪⎪⎨+⎪⎪⎩＜＞，得﹣1＜a ＜1．∴实数a 的值可以是0． 故选：B ．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 3. 在ABC 中,已知sin 2sin cos A B C =,则此三角形一定为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】 将sin 2sin cos A B C=,化简为()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=,即()sin 0B C -=,即可求得答案. 【详解】sin 2sin cos A B C =∴ ()sin sin sin cos cos sin 2sin cos A B C B C B C B C =+=+=故sin cos cos sin 0B C B C -=,即()sin 0B C -=∴ B C =,故此三角形是等腰三角形故选:C.【点睛】本题考查三角形形状的判定,考查诱导公式与正弦两角和公式,考查运算能力与推理能力,属于中档题.4. “1k =”是“函数()x x x xe kef x e ke ---=+为奇函数”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】【分析】根据函数()f x 为定义域上的奇函数，求解k ，然后根据充分条件、必要条件的概念，可得结果.【详解】若函数()x xx xe kef x e ke---=+为奇函数，则()()0f x f x +-= 则()()()()22221001--------+=⇒+=++++x x x x x xx x x x x x e kk e e ke e kee ke e ke e k k e 化简可得：21k =，则1k =±所以“1k =”是“函数()x xx xe kef x e ke ---=+为奇函数”的充分不必要条件故选：A【点睛】本题考查函数的奇偶性求参数以及充分条件、必要条件的概念，关键在于计算k ，属基础题.5. 若0c b a >>>，则（ ） A. b c c b a b a b > B. 2ln ln ln b a c <+ C. c c a b a b->- D. log log a b c c >【答案】A 【解析】 【分析】利用不等式的基本性质，并对选项化简，转化，判断对错即可.【详解】解：选项A 中，由于1b cb c b c c b c b a b a a b a b b ---⎛⎫==> ⎪⎝⎭，所以b c c b a b a b >成立；故A 正确；选项B 中，22ln ln b b =，ln ln ln a c ac +=，2b 与ac 大小不能确定，故B 错误； 选项C 中，由于()10c c c a b a b a b ab ⎛⎫⎛⎫---=-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误； 选项D 中，令1c =，则log log 0a b c c ==，故D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查不等式的基本性质，考查转化能力，属于基础题.6. 已知1F ，2F 为双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的左、右焦点，点M 为E 右支上一点．若1MF 恰好被y 轴平分，且1230MF F ∠=，则E 的渐近线方程为（ ） A. 2y x =±B. 2y x =±C. 3y x =±D. 2y x =±【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得2MF 垂直于x 轴，在12Rt MF F 中，由1230MF F ∠=︒，且122MF MF a -=，即可求出22MF a =，1232F F a =⨯，再根据222b c a =-，从而求出双曲线的渐近线方程； 【详解】解：由1MF 恰好被y 轴平分，得2MF 垂直于x 轴， 在12Rt MF F 中，1230MF F ∠=︒，122MF MF =， 又122MF MF a -=，得到22MF a =，1222332F F c MF a ===⨯，即3c a =，得222b c a a =-=，故渐近线方程为2y x =±． 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线的方程和性质、渐近线方程，考查数学运算能力，属于中档题． 7. 2020年是5G 的爆发之年，5月中国信通院发布了2020年4月国内手机市场运行分析报告，该报告统计了从2019年7月到2020年4月这十个月国内手机市场总出货量与国内5G 手机出货量占同期手机出货量比重变化情况（简称市场占比），得到下面两个统计图：则下列描述不正确的是（ ）A. 2020年4月国内5G 手机出货量是这十个月中的最大值B. 从2019年7月到2020年2月，国内5G 手机出货量保持稳定增长C. 相比2020年前4个月，2019年下半年的国内手机市场总出货量相对稳定D. 2019年12月到2020年1月国内5G 手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大 【答案】B 【解析】 【分析】由柱状图和折线图中的数据逐项判断可得选项.【详解】对于A ：由柱状图可以看出2020年4月的出货量最高，故A 正确；对于B ：由柱状图可以看出从2019年7月至2020年2月，国内5G 手机出货量有增有降，不是保持稳定增长，故B 不正确；对于C ：由柱状图可以看出2019年下半年的手机出货量相对稳定，而在2020年的前4个月中，手机的出货量波动较大，故C 正确；对于D ：2019年12月到2020年1月国内5G 手机市场占比的增长率为：26.3%17.8%100%47.8%17.8%-⨯=，2020年1月到2月的增长率为：37.3%26.3%100%41.8%26.3%-⨯=， 所以2019年12月到2020年1月国内5G 手机市场占比的增长率比2020年1月到2月的增长率大，故D 正确， 故选：B .【点睛】本题考查统计图中柱状图和折线图的的读取，进行相应的计算，属于基础题.8. 某几何体的三视图均为如图所示的五个小正方形构成，则该几何体与其外接球的表面积之比为（）A.3011πB.3211πC.5πD.163π【答案】A【解析】【分析】首先根据几何体的三视图还原得到几何体，设小正方形的边长为1，进一步求出几何体的表面积及外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图还原得到几何体，如图所示：设小正方形的边长为1，可知几何体的表面积为1115630S=⨯⨯⨯=,其外接球的半径为211911R=++=,所以外接球的表面积为22411S Rππ==,所以该几何体与其外接球的表面积之比为123011SSπ=.故选：A【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题9. 已知角θ的始边与x的非负半轴重合，与圆22:4C x y+=相交于点A，终边与圆C相交于点B ，点B 在x 轴上的射影为点C ，ABC 的面积为()S θ，则函数()S θ的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由题意画出图像，由三角形的面积公式表示出()S θ，利用排除法和特殊值法选出正确答案即可.【详解】解：如图()2,0A ，在Rt BOC 中，2sin ,2cos BC OC θθ==，所以ABC 的面积为()102S AC BC θ=⋅≥，所以排除C D 、； 选项A B 、的区别是ABC 的面积()S θ何时取到最大值， 下面结合选项A B 、中图像利用特殊值验证： 当2x π=时，ABC 的面积()12222S θ=⨯⨯=，当34 xπ=时，332sin2,2cos244BC OCππ====，则22AC=+，所以ABC的面积()()12222122Sθ=⨯⨯+=+>，所以，ABC的面积()max2Sθ>，所以B选项错误.故选：A.【点睛】本题主要考查用排除法确定函数的图像，属于中档题.10. 在《周髀算经》中，把圆及其内接正方形称为圆方图，把正方形及其内切圆称为方圆图.圆方图和方圆图在我国古代的设计和建筑领域有着广泛的应用.山西应县木塔是我国现存最古老、最高大的纯木结构楼阁式建筑，它的正面图如下图所示.以该木塔底层的边AB作正方形，以点A或点B为圆心，以这个正方形的对角线为半径作圆，会发现塔的高度正好跟此对角线长度相等.以该木塔底层的边AB作正方形，会发现该正方形与其内切圆的一个切点D正好位于塔身和塔顶的分界线上.经测量发现，木塔底层的边AB不少于47.5米，塔顶C到点D 的距离不超过19.9米，则该木塔的高度可能是（参考数据：2 1.414≈）（）A. 66.1米B. 67.3米C. 68.5米D. 69.0米【答案】B【解析】【分析】CD22，再根据木塔底层的边AB不少于47.5米，即可求解. 【详解】解：设木塔的高度为h，有图可知，2 1.41447.567.165h=≥⨯=（米），同时22CDh=，219.967.9181.414212112CDh==≈---（米），即木塔的高度应在67.165米至67.918米之间，只有B 符合. 故选：B.【点睛】根据给定图形观察出待求线段与已知线段之间的比例关系是解答本题的关键，同时考查运算求解能力；属于基础题.11. 已知点()2,0Q -与抛物线()220y px p =>，过抛物线焦点的直线与抛物线交于A ，B 两点，与y 轴交于点P ，若3AB BP =，且直线QA 的斜率为1，则p =（ ） A. 2 B. 4C. 2D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断A 、B 的位置，结合向量关系，推出A 、B 横坐标与纵坐标的关系，通过直线的斜率关系，转化求解即可.【详解】解：由题意可知A 在第一象限，B 在第四象限，设()(),,,A A B B A x y B x y ，()0,p P y 由3AB BP =，所以()(),3,B A B A B P B x x y y x y y --=--，得4A B x x =，又224,4A A B B y x y x ==，所以2A B y y =-，又A 、F 、B 三点共线，可得2A B BA BB y y y p x x x -=--，即2222B B A B y p y p y y p =+-， 可得2B A y y p =-，∴2212A y p -=-，A y =，A x p =， 由QA 斜率为1可得：12AA y x =+，即12p =+，则2p =. 故选：C .【点睛】在直线和抛物线的位置关系中，结合向量共线考查求抛物线中的参数p ；基础题. 12. 已知直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，现给出下述结论：①122x x +=；②122x x e e e +>；③1221ln ln 0x x x x +<；④12x x >则其中正确的结论个数是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】B 【解析】 【分析】根据互为反函数的性质可得()11,A x y ，()22,B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断①；利用基本不等式可判断②，④；利用零点存在定理以及对数的运算性质可判断③.【详解】解：函数xy e =和ln y x =互为反函数，则xy e =和ln y x =的图像关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立解方程组，可得1,1x y ==.由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()11,A x y 、()22,B x y ，作出函数图像，如图所示：则()11,A x y 、()22,B x y 的中点坐标为()1,1， 对于①，由1212x x +=，得122x x +=，故①正确； 对于②，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+==⋅， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故②正确；对于③，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，则函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数()f x 的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=得，212x <<， ()1221122122212211ln ln ln lnln ln ln 0x x x x x x x x x x x x x x x +=-<-=-<，故③正确. 对于④，由122x x =+≥解得121x x ≤，由于12x x ≠，即等号不成立，则121x x <，故④错误；所以，正确的结论个数为3. 故选：B.【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置． 13. 在()420nx x x --≠（）的展开式中，第5项为常数项，则n =_____________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据展开式的通项公式，可得()()44442125422---=-=n xx xn x n n T C C ，然后令2120-=xn x ，可得n ，然后简单计算可得结果. 【详解】由题可知： 在()42nxx --的展开式中，第5项为()()444542--=-n x x nT C即421252-=xn x n T C ，由第5项为常数项，令2120-=xn x ，又0x ≠，则6n = 故答案为：6【点睛】本题考查二项展开式的指定项求参数，掌握通项公式，考查计算，属基础题. 14. 已知向量a 在()1,3b =方向上的投影为2，且||5a b -=，则a =______________．【答案】3 【解析】 【分析】由已知可求得||2b =，4a b ⋅=，||5a b -=，平方化简即可求得结果.【详解】由已知可得：||2,2||a bb b ⋅==， 4a b ∴⋅=，由||5a b -=，得：2225a a b b -⋅+=，2845a ∴-+=， ||3a ∴=故答案为：3.【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示、模、夹角，考查计算能力，属于基础题. 15. 向体积为1的正方体密闭容器内注入体积为x ()01x <<的液体，旋转容器，若液面恰好经过正方体的某条对角线，则液面边界周长的最小值为_______________． 【答案】25 【解析】 【分析】根据正方体的截面性质，将1111A B C D 绕11C D 旋转2π时，根据两点间线段最短求得即可. 【详解】解：当液面过1DB 时，截面为四边形1B NDG ，将1111A B C D 绕11C D 旋转2π，此时11B N B N '=如图所示：则111145DN B N DN B N DB ''+=+≥=+=1DNB '共线时等号成立，故周长最小值为()()11minmin225B NDG C DN B N'=+=.故答案为：25.【点睛】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的空间想象力和计算能力，属于中档题.16. 如图，有一块半径为R 的半圆形广场，M 为AB 的中点．现要在该广场内以OM 为中轴线划出一块扇形区域OPQ ，并在扇形区域内建两个圆形花圃（圆N 和圆S ），使得圆N 内切于扇形OPQ ，圆S 与扇形OPQ 的两条半径相切，且与圆N 外切．记02POM πθθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，则圆S 的半径y 可表示成θ的函数式为____________，圆S 的半径y 的最大值为___________________．【答案】 (1). ()()2sin 1sin 1sin R y θθθ-=+0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ (2). 8R【解析】 【分析】设圆N 的半径为a ，有几何关系可得()()sin 2sin R a a R a y y θθ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，消去a 即可得到圆S 的半径y与θ的函数关系；令()1sin 12t t θ+=<<，则2321y R t t ⎛⎫⎪⎝=--⎭+，再由二次函数求出最大值，即可求出结果．【详解】设圆N 的半径为a ，过N 作NK OQ ⊥，ST OP ⊥，垂足分别为K 、T ，如下图所示：在Rt OKN 中，可得sin aR aθ=-，即()sin R a a θ-=； 在Rt OTS 中，可得sin 2yR a yθ=--，即()2sin R a y y θ--=； 则()()sin 2sin R a a R a y y θθ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，则()()2sin 1sin 1sin R y θθθ-=+，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；令()1sin 12t t θ+=<<， 则()()2212321R t t y R t t t --=⎛⎫ ⎪⎝-+-⎭=， 当 134t =，即43t =时，max 8R y =． 故圆S 的半径y 的最大值为8R． 故答案为：()()2sin 1sin 1sin R y θθθ-=+；8R . 【点睛】本题主要考查了函数的应用，同时考查了利用换元法和二次函数求最值，是中档题． 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17. 已知数列{}n a ，{}n b 满足111a b ==，对任意*n N ∈均有221n n n n n a a b a b +=+++，221n n n n nb a b a b +=++ （1）证明：数列{}n n a b +和数列{}n n a b ⋅均为等比数列； （2）设()1112nn n n c n a b ⎛⎫=+⋅⋅+⎪⎝⎭，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）证明见解析；（2）22n n T n +=⋅．【解析】 【分析】（1）依据题干化简可得()112n n n n a b a b +++=+，112n n n n a b a b ++=然后根据等比数列的定义可得结果.（2）根据（1）的条件可得2nn n a b +=，12n n n a b -⋅=，然后可得()112+=+⋅n n c n ，利用错位相减法进行计算，可得结果.【详解】（1）因为对任意*n N ∈均有1n n n a a b +=+，1n n n b a b +=+ 将两式两边相加可得()112n n n n a b a b +++=+， 又因为112a b +=，所以数列{}n n a b +是首项为2，公比为2的等比数列； 将两式两边相乘可得112n n n n a b a b ++=， 又因为111a b ⋅=，所以数列{}n n a b ⋅是首项为1，公比为2的等比数列．（2）由（1）可知2nn n a b +=，12n n n a b -⋅=，有112n nn n n na b a b a b ++==． 所以()()1111212n n n n n c n n a b +⎛⎫=+⋅⋅+=+⋅ ⎪⎝⎭，所以()234122324212n n T n +=⋅+⋅+⋅+++⋅， ()3452222324212n n T n +⇒=⋅+⋅+⋅+++⋅．上两式相减得：()234122222212n n n T n ++-=⋅++++-+⋅，即()()3122212812212n n n nT n n -++⋅--=+-+⋅=-⋅-，所以22n n T n +=⋅．【点睛】本题考查根据递推关系证明等比数列以及错位相减进行求和，掌握常用的求和公式，比如：公式法、裂项相消法、错位相减法，倒序相加法，属中档题.18. 如图，在六棱锥P ABCDEF -中，底面ABCDEF 是边长为4的正六边形，27PA PC ==.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ；（2）若5PB =B PA F --的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）13319- 【解析】 【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，设AC BE O =，连结PO ，根据正六边形的性质和条件，可证明AC ⊥平面PBE ；（2）首先证明BO PO ⊥，即AC 、BE 、PO 两两互相垂直，以AC 、BE 、PO 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如下图所示），分别求平面ABP 和平面PAF 的法向量,m n ，根据公式求解cos ,m n <>. 【详解】解：（1）设ACBE O =，连结PO .在正六边形ABCDEF 中，根据对称性O 为AC 中点， 又AB AC =，AC BE ∴⊥， 又因为PA PC =，所以AC PO ⊥. 又BEPO O =，所以AC ⊥平面PBE .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBE . （2）在正六边形ABCDEF 中，4AB BC ==， 所以23AO CO ==2BO =. 又因为27PA PC ==4PO =.因为25PB =，所以222PB BO PO =+，即PO BO ⊥， 所以AC 、BE 、PO 两两互相垂直.以AC 、BE 、PO 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -（如图所示）.则(23,0,0)A -，(0,2,0)B -，(23,4,0)F -，(0,0,4)P ，(23,2,0)AB =-，(23,0,4)AP =，(0,4,0)AF =设平面ABP 的一个法向量为111(,,)m x y z =.由0,0,AB m AP m ⎧⋅=⎨⋅=⎩得11112320,2340,x y x z ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩令12x =，解得123y =，13z =-. 所以(2,23,3)m =-.设平面APF 的一个法向量为222(,,)n x y z =.由0,0,AF n AP n ⎧⋅=⎨⋅=⎩得22240,2340,y x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩令22x ，解得23z =-.所以(2,0,3)n =-. 因此133cos ,197m n m n m n⋅===⨯⋅.因为二面角B PA F --的平面角为钝角， 故二面角B PA F --的余弦值为13319-.【点睛】本题考查证明面面垂直，向量法求面面角，重点考查推理证明，计算能力，属于中档题.19. 已知椭圆22:14xC y+=上三点A、M、B与原点O构成一个平行四边形AMBO．（1）若点B是椭圆C的左顶点，求点M的坐标；（2）若A、M、B、O四点共圆，求直线AB的斜率．【答案】（1）31,2⎛⎫-±⎪⎪⎝⎭；（2）112±．【解析】【分析】（1）由已知可得()2,0B-，由//AM BO，且AM BO=，设()00,M x y，()002,A x y+代入椭圆方程解方程即可得解；（2）因为A、M、B、O四点共圆，则平行四边形AMBO是矩形且OA OB⊥，设直线AB 的方程为y kx m=+，与椭圆方程联立，根据韦达定理代入1212OA OB x x y y→→⋅=+=，化简计算求解即可.【详解】解析：（1）如图所示：因为()2,0B-，四边形AMBO为平行四边形，所以//AM BO，且2AM BO==．设点()00,M x y，则()002,A x y+因为点M、A在椭圆C上，所以()2220214214xyxy⎧+=⎪⎪⎨+⎪+=⎪⎩，解得13xy=-⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以31,2M⎛⎫-±⎪⎪⎝⎭．（2）因为直线AB 的斜率存在， 所以设直线AB 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ．由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222418440k x kmx m +++-=， 则有122814km x x k -+=+，21224414m x x k-=+．因为平行四边形AMBO ， 所以()1212,OM OA OB x x y y →→→=+=++．因122814kmx x k -+=+，所以()12122282221414km my y k x x m k m k k -+=++=⋅+=++，所以2282,1414kmm M k k -⎛⎫⎪++⎝⎭．因为点M 在椭圆C 上，所以将点M 的坐标代入椭圆C 的方程化得22441m k =+．① 因为A 、M 、B 、O 四点共圆，所以平行四边形AMBO 是矩形， 且OA OB ⊥，所以12120OA OB x x y y →→⋅=+=．因为2222121212122414m k y y kx m kx mk x x km x x mk ，所以22212122244401414m m k x x y y k k--+=+=++，化得22544m k =+．②由①②解得2114k =，23m =，此时>0∆，因此2k =± 所以所求直线AB 的斜率为2±． 【点睛】本题主要考查了联立直线与椭圆的方程利用韦达定理列式表达斜率以及垂直的方法进而代入求解的问题，考查计算能力和逻辑推理能力，属于难题.20. 在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉．我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[)100,110，[)110,120，[)120130,，[)130140,，[]140,150，得到如下频率分布直方图．（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩，质量指标值不低于130的为一级口罩．现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，求恰好取到一级口罩个数为2的概率；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型号口罩的某网络购物平台上分别参加A、B两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由n()*2,n n N≥∈个该型号口罩构成．假定甲、乙两人在A、B两店订单“秒杀”成功的概率分别为2nπ，2cosnnπ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X，Y．①求X的分布列及数学期望()E X；②求当Y的数学期望()E Y取最大值时正整数n的值．【答案】（1）328；（2）①分布列见解析，数学期望()22cosnE Xn nππ=+；②6．【解析】【分析】（1）根据分层抽样可得二级、一级口罩个数，然后计算126238⋅=C CPC即可.（2）①写出写出X的所有可得取值并计算相应的概率，列出分布列并根据数学期望公式可得结果.②根据()()=E Y nE X，使用换元法并构造函数()2cosππf t t t=+，然后利用导数判断函数单调性，进一步可得取最大值的条件.【详解】（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为6、2，所以恰好取到一级口罩个数为2的概率126238328C C P C ⋅==． （2）①由题知，X 的可能取值为0，1，2，()2232cos 2cos 2cos0111n n n P X n n n n n ππππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭； ()22232cos 2cos 2cos 4cos 111n n n n P X n n n n n n n ππππππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭； ()32cos 2n P X n ππ==．所以X 的分布列为23232cos 2cos 2cos 4cos 011n n n n EX n n n n n n ππππππππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=⨯--++⨯+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭322cos 2cos 2n n n n n ππππ⎛⎫ ⎪⨯=+ ⎪ ⎪⎝⎭． ②因为Y nX =，所以22cos 2cos n EY nEX n n n n n ππππ⎛⎫ ⎪==+=+ ⎪ ⎪⎝⎭． 令110,2t n ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2cos f t t t ππ=+，则()EY f t =， 因为()12sin 2sin 2f t t t πππππ⎛⎫'=-=-⎪⎝⎭所以当10,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '>，所以()f t 在区间10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增；当11,62t ⎛⎤∈⎥⎝⎦时，()0f t '<， 所以()f t 在区间11,62⎛⎤⎥⎝⎦上单调递减；所以当16t =即6n =时()f t 取最大值，所以()166f t f π⎛⎫≤= ⎪⎝⎭．所以EY 取最大值时，n 的值为6．【点睛】本题考查了离散型随机变量的分布列以及数学期望，牢记公式，细心计算，本题难点在于X Y ，之间的关系，同时导数在概率中的应用，考验分析能力以及计算能力，属难题. 21. （1）求函数()sin x f x x e -=+在3[,2]2ππ的最大值； （2）证明：函数1()sin 2x g x x x e -=-+在(0,2)π有两个极值点12,x x ，且121()()2g x g x +>π-. 【答案】（1）2e π-；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数()sin x f x x e -=+在3[,2]2ππ上的单调性即可； （2）首先利用导数求出()g x 的单调性，即可得到12370,,,224x x πππ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后分别证明122x x π+>，111sin cos )4x x x π++222sin cos )04x x x π+=+<，然后即可证明121()()2g x g x +>π-.【详解】（1）()cos x f x x e -'=-，则()'f x 在3[,2]2ππ上单调递增， 又3()0,(2)02f f ππ''<>， 所以()'f x 在3(,2)2ππ有唯一的零点t . 当3(,)2x t π∈时，()()0,f x f x '<单调递减；(,2)x t π∈时，()()0,f x f x '>单调递增.又3223()10(2)2f e f e ππππ--=-+<<=，所以()f x 在3[,2]2ππ的最大值为2e π-.（2）1()cos 2x g x x e -'=--， 则当(0,)2x π∈时，()'g x 单调递增，又4211()0,()04222g e g e ππππ--''=-<=->，所以()'g x 在(0,)2x π∈有唯一的零点0(,)42x ππ∈，此时，0(0,)x x ∈时，()0g x '<；0(,)2x x π∈时，()0g x '>，所以0x 是极小值点，不妨令01x x =.当3(,)22x ππ∈时，cos 0x <，所以2111()cos 0222xx g x x e e e π---'=-->->->；当3(,2)2x ππ∈，设()(),()sin ()x h x g x h x x e f x -=''=+=.由（1）知， ()h x '有唯一的零点3(,2)2t ππ∈， 则3(,)2x t π∈时，()0,()h x h x '<单调递减，即()'g x 单调递减； (,2)x t π∈时，()0,()h x h x '>单调递增，即()'g x 单调递增又7243711()0,()0,(2)02422g g e g e πππππ--'''>=-<=--<，所以()'g x 在3(,2)2x ππ∈有唯一的零点337(,)24x ππ∈，此时33(,)2x x π∈时，()0g x '>；3(,2)x x π∈时，()0g x '<， 所以3x 是极大值点，即32x x =，所以()g x 在(0,2)π有两个极值点12,x x ，其中1(,)42x ππ∈，237(,)24x ππ∈，且12121cos 21cos 2x x x e x e --⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，由于12x x e e -->，所以122cos cos cos(2)x x x π<=-.因为1(,)42x ππ∈，22(,)42x πππ-∈，所以122x x π>-，即122x x π+>.又1(,)42x ππ∈，所以111sin cos )4x x x π++同理222sin cos )04x x x π+=+<，所以1212112211()()sin sin 22x x g x g x x x e x x e --+=-++-+.12112211()(sin cos )(sin cos )1122x x x x x x ππ=+-+-++>>-. 【点睛】本题考查的是利用导数求函数的最值、研究函数的极值点和证明不等式，考查了学生分析问题和处理问题的能力，属于压轴题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为22x t ty t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设()0,2M ，若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求MA MB +的值．【答案】（1）曲线C 的普通方程为228x y -=；直线l的直角坐标方程为0x +-=；（2）． 【解析】 【分析】（1）由曲线C 的参数方程消去t 即可得曲线C 的普通方程；由直线l的极坐标方程为πcos 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos ,sin x y ρθρθ==，即可得直线l 的直角坐标方程；（2）根据题意得直线l的标准参数方程为2122x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），把它代入曲线C 的直角坐标方程，利用直线l 的参数的几何意义解题即可.【详解】解：（1）由22x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得，2222228x y t t t t ⎛⎫⎛⎫-=+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以曲线C 的普通方程为228x y -=．由cos 3πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得，1cos sin 2ρθρθ=，所以x +=l的直角坐标方程为0x +-=．（2）由（1）知，点()0,2M 在直线l 上，设l的标准参数方程为2122x y λλ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（λ为参数），A ，B 两点对应的参数分别为1λ，2λ，由直线参数方程的几何意义知：12,MA MB λλ==.将122x y λ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入228x y -=，得24240λλ--=， 所以124λλ+=，1224λλ⋅=-，所以12λλ、一正一负. 从而1212MA MB λλλλ+=+=-===．【点睛】本题主要考查参数方程化为普通方程，极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线参数方程的几何意义解题，属于中档题. 23. 已知函数()21f x x =-．（1）解关于x 的不等式()()211f x f x ≤++； （2）若实数a ，b 满足2a b +=，求()()22f af b +的最小值．【答案】（1）13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）2．【解析】【分析】（1）不等式转化为41211x x -≤++，利用绝对值内的式子的零点分区间求解，然后取并集即得；（2）先利用绝对值三角不等式得到()()()222222f a f b ab +≥+-，再利用基本不等式的变形或者柯西不等式求得()2224a b+≥，即得所求最小值，注意验证取等号的条件.【详解】（1）因为()21f x x =-，所以()241f x x =-，()121f x x +=+， 所以()()211f x f x ≤++即41211x x -≤++，①当12x ≤-时，不等式可化为14211x x -++≤，解得12x ≥，此时不等式无解； ②当1124x -<<时，不等式可化为()14211x x --+≤，解得16x ≥-，此时1164x -≤<；③当14x ≥时，不等式可化为()41211x x --+≤，解得32x ≤，此时1342x ≤≤；综上，不等式()()211f x f x ≤++的解集为13,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．（2）()()()222222212122f af b ab a b +=-+-≥+-因为()()22224a ba b +≥+=，从而()22222a b +-≥，即()()222f a f b +≥，当且仅当1a b ==时取等号，所以()()22f a f b +的最小值为2．【注】也可由柯西不等式得，()()()22222114a ba b ++≥+=，从而222a b +≥．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和利用绝对值不等式性质求最小值问题，涉及基本不等式求最值，也可以使用柯西不等式求解，属中等难度的题目.。
2020届高三数学第三次诊断考试试题理
2020届高三数学第三次诊断考试试题理本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
总分150分。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。
并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．设，则“”是“”的A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若复数为纯虚数（为虚数单位,为实数），则的值为A． B．C． D．13．某人口大县举行“《只争朝夕，决战决胜脱贫攻坚》扶贫知识政策答题比赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于90分的具有复赛资格，某校有1000名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间（30，150]内，其频率分布直方图如图所示，则获得复赛资格的人数为A．650B．660C．680D．7004. 已知满足，则A．B．C．D．5. 方程表示的曲线的大致形状是（图中实线部分）A B C D6．《周髀算经》有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，雨水、惊蛰、春分、清明日影之和为三丈二尺，前七个节气日影之和为七丈三尺五寸，问谷雨日影长为A．七尺五寸 B．六尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸7. 设是定义在上恒不为零的函数，对任意实数，都有，若，，则数列的前项和的取值范围是A. B. C. D.8. 2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最，编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”，见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐，其中空中梯队编有12个梯队，在领队机梯队、预警指挥机梯队、轰炸机梯队、舰载机梯队、歼击机梯队、陆航突击梯队这6个梯队中，某学校为宣传的需要，要求甲同学需从中选3个梯队了解其组成情况，其中舰载机梯队、歼击机梯队两个梯队中至少选择一个，则不同的选法种数为．A．12种B．16种C．18种 D．20种9. 设函数，若，，，则的大小关系为A．B．C．D．10. 已知正三棱柱的底面边长为，且该三棱柱外接球的表面积为，若为底面的中心，则与平面所成角的大小为A．B．C．D．11. 已知，是双曲线的左、右焦点，若双曲线上存在点满足，则双曲线离心率的最小值为A．B．C．D．12. 已知函数若存在使得，则实数的最大值为A． B． C． D．第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）注意事项：1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
吉林省吉林市普通中学2020年高三数学第三次调研考试题理
吉林省吉林市普通中学 2020 年高三数学第三次调研考试题 理本试卷共 23 小题，共 150 分，共 6页，考试时间 120 分钟，考试结束后，将答题卡和试题 卷一并交回。
注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条 形码、姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用 2B 铅笔填涂 , 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案 的标号；非选择题答案必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、 笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域 （ 黑色线框 ）内作答，超出答题区域书写的答案 无效。
4. 作图可先用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮 纸刀。
、选择题：本大题共 12 题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个 是符合题目要求。
S n ，则 S n1 n 25． 若 （x）n 的展开式中只有第 7项的二项式系数最大，则展开式中含 x 2 项的系数是 xA ． 462B ． 462C ． 792D ． 792A. 0B. 1C. 2D. 33． 若 sin1, 且，则 sin23222424222A ．B ．C ．D ．9 9 9 9为 i . 其中正确命题的个数是4.已知等差数列 {a n } 的公差不为 0， a 11.若集合 B {x |x0} ，且 AI BA ，则集合 A 可以是 2． A ． {1,2}B ．{x|x1}C ． { 1,0,1}D ．已知复数 z 1 ii 为虚数单位）给出下列命题：① |z| 2 ；② z 1 i ；③ z 的虚部1，且 a 2,a 4, a 8成等比数列，设 {a n } 的前 n 项和为A.n(n 1) A. 2B.(n 1)22C.n 212n(n 3) 46． 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为20192018D. 2018 2019 1 7． 0 | x 1|dxA ． 1B ． 1 2 8． 一个四面体的顶点在空间直角坐标系C ． 2O xyz 中的坐标分别是 1 (0,0,0),(1,0,1),(0,1,1) ,( 1,1,0) , 绘制该四面体三视图时 , 按 2 D ． 39． 设曲线 f (x) mcosx(m 2R*) 上任一点 (x,y) 处切线斜率为 g(x) ，则函数 y x 2g(x)的部分图象可以为 最大值为D. 3 1A. 2B. 2 2 1C. 5A.2018B.C.201711．等比数列 {a n} 的首项为33，公比为2 1，前 n 项和为S n ，则当2N * 时，S n 1的Sn最大值与最小值的比值为12A.5 B.107C. 109D.12512．已知函数f (x)在实数m,n(m13 x , x22ln x, x 1n) ，满足f(m) ln x 是以 e 为底的自然对数，f (n) ，则n m 的取值范围为2.71828K )，若存2A. (0, e2 3)B.2 (4,e2 1]C. [5 2ln 2,e 1]D. [5 2ln2,4)二、填空题：本大题共4 个小题, 每小题5 分。
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城北中学2019—2020 九年级物理培优试卷出卷人：刘旭考生注意：试卷总分110分，考试时间100分钟，答案填写在答题卡上。
一、填空题（共20分，每空1分）1．音乐小组的几位同学自己动手制作了各自的乐器，乐器发声的波形图如下图所示：根据波形图可以知道：三种乐器具有相同的，不同的。
（选填“音色”、“音调”）2．向前直线行驶的车内，小明给小芳连拍两张照片（如图所示）。
比较两幅图片可知，拍照过程中车是在向（选填“东”或“西”）运动的；乙图中水杯内的水由于惯性溅出水杯，由此可知该车在做（选填“匀速”“加速”或“减速”）运动。
3．如图所示，在较深的方盘内盛一些水，盘边斜放一块平面镜，使太阳光通过水照射到水下的平面镜上，并反射到白色墙壁上，会在墙壁上观察到光的现象，此时的平面镜和水相当于（填一种光学仪器）。
4．现有两支细玻璃管内径不同，下端玻璃泡相同，玻璃泡和玻璃细管内水银质量相等的合格温度计，同时插入同一杯热水中，内径粗的水银升得低，两支温度计的读数（选填“不确定”“细的高”或“相等”）。
另有一支读数不准确的温度计，在测冰水混合物的温度时，读数为20℃；在测标准大气压下沸水的温度时，读数为80℃，当用这支温度计去测实际温度为60℃的液体温度时温度计的示数应为。
5．一包A型号复印纸共500张、小芳用刻度尺测出这包复印纸的厚度为5cm，那么一张这样的复印纸的厚度为mm．她发现外包装上标着70g/m2，开始她以为这是纸的密度，但后来经询问才知道，这是复印纸每平方米的质量是70g的意思。
利用以上信息请帮小芳算出复印纸的密度为kg/m3．若将一张A4纸对折撕下，其中一半的密度将（选填“变大”、“变小”或“不变”）。
6.如图，磁悬浮无线蓝牙音箱可由蓝牙通过_________(超声波/电磁波)实现与手机数据的光速传输.该产品底座里有一个电磁铁，可使箱体悬在空中，这是根据同名磁极相互排斥的原理实现的该产品处于图示状态时，若重力突然消失，则此瞬间底座对水平桌面_________(有/没有)压力。
7. 如图甲所示，水平地面上的物体，受到方向不变的水平推力，的作用，其F-t和v-t图像分别如图乙和图丙所示。
由图像可知，9～12s内，推力对物体做功___________J；t=2s时，物体受到的摩擦力是___________N。
8. “复兴号”动车组设计的靠背椅垫增大了人与座椅的接触面积，使人受到的减小，感到更舒服；高铁全列禁烟是因为吸烟后烟雾分子有扩散现象，会触发烟雾报警器报警，影响行车安全；若列车总长600m，以300km/h的速度匀速通过长为5.4km的隧道，列车完全通过该隧道需要min。
9.如图所示,杠杆AB放在钢制圆柱体的正中央水平凹槽CD中,杠杆AB能以凹槽两端的C点或D点为支点在竖直平面内转动,长度AC=CD=DB,左端重物G=12N。
当作用在B点竖直向下的拉力F足够大时,杠杆容易绕（选填“C”或“D”)点翻转,为使杠杆AB保持水平位置平衡,拉力F1= N的最小值.(杠杆、细绳的质量及摩擦均忽略不计)10.小明用饮料吸管制作了一只简易密度计,将其放入水中时,密度计不能直立,应（增加/减少）吸管中铁丝质量.改进后,用它分别用它测量水和盐水的密度时,吸管浸入液体的深度分别为h1和h2,则h1 h2，用它测量可乐密度时,吸管上“沾”上许多小气泡,测得的密度偏。
二、选择题（共26分，把你认为正确选项的代号填涂在答题卡的相应位置上.第11～16小题，每小题只有一个正确答案，每小题3分；第17、18小题为不定项选择，每小题有一个或几个正确答案，每小题4分.全部选择正确得4分，不定项选择正确但不全得1分，不选、多选或错选得0分）11．如图所示，人用绳子拉着木块在水平地面上做匀速直线运动。
在该过程中，下列说法中正确的是（）A．木块受到地面的摩擦力和绳子对木块的拉力是一对平衡力B．木块受到的重力和地面对木块的支持力是一对平衡力C．木块对地面的压力和地面对木块的支持力是一对相互作用力D．木块对绳子的拉力和人对绳子的拉力是一对相互作用力12．下列物态变化现象中，说法正确的是（）A．夏天从冰箱取出的冰棍周围冒“白气”，这是空气中水蒸气的凝华现象B．冬天戴眼镜的人从温暖的室内来到室外时，镜面上出现的小水珠是液化现象C．在饮料中加冰块比加冰水的冰镇效果更好，是因为冰块液化成水的过程中吸热D．把酒精涂在温度计的玻璃泡上，温度计的示数先下降后上升13．在“探究凸透镜成像的规律”的实验中，把蜡烛和光屏固定在光具上，当移动透镜分别距光屏6cm 和34cm均可在光屏上得到清晰像。
下列判断正确的是（）A．透镜距光屏34cm时成缩小的实像B．蜡烛和光屏的距离为40cmC．透镜的焦距范围为3cm≤f≤6cmD．如将蜡烛和光屏的位置互换，透镜仍可在上述两位置成像，且像的性质不变14．三个相同容器内分别盛满不同的液体，现将三个完全相同的小球轻轻放入容器中，小球静止后的状态如图所示，以下判断正确的是（）A．液体的密度关系是ρ甲＞ρ丙＞ρ乙B．液体对容器底部的压强关系是p乙＞p甲＞p丙C．容器对桌面的压强关系是p'乙＞p'丙＞p'甲D．小球受到的浮力大小关系是F乙＞F丙＞F甲15．如图，小明在做模拟“蹦极”的实验时，将橡皮筋一端系上小球，另一端固定在A点，B点是橡皮筋不系小球自然下垂时下端所在的位置，C点是小球从A点下落所能到达的最低点，在小球下落过程中不考虑空气阻力，以下说法正确的是（）A．小球到达B点时受力平衡，其动能达到最大B．从A点到C点小球的机械能守恒C．小球在C点时受力平衡，速度为零D．从A点到C点小球重力势能的减少量等于橡皮筋弹性势能的增加量16．仅使用以下各组器材，不能测出长方体小金属块密度的是（）A．天平和砝码、量筒、水、细线B．天平和砝码、溢水杯、水、烧杯C．弹簧测力计、刻度尺、细线D．刻度尺、水、细线、烧杯17.如图所示，重为G的物体在拉力F的作用下，以v的速度匀速运动了s，已知物体在水平桌面上运动时受到的摩擦阻力为物重的n分之一，不计绳重、轮与轴间的摩擦，下列说法正确的是（）A．使用该滑轮组一定省力 B．拉力的功率为2FvC．额外功为（2nF﹣G）s D．滑轮组的机械效率为18．如图轻杆（不计杠杆重力），O为支点，物重为30N，OA：AB＝1：2，在竖直向上的拉力作用下始终保持平衡状态。
下列说法，正确的是（）A．该杠杆与镊子类型相同B．图甲位置时，拉力大小为10NC．图甲位置时，若仅增加物重，则拉力的变化量与物重的变化量之比为3：1D．如图乙保持拉力方向不变，将轻杆匀速提到虚线位置，拉力不变三、简答与计算题（共32分，第19小题4分，第20小题8分，第21小题10分，第22小题10分）19．如图农场工人在分离谷粒与空壳时，有两种不同的方式：（1）在无风的情况下，农场工人用铁锹将混合谷物斜向上抛洒出去，饱满的谷粒将落在离工人更远处，从而将谷粒与空壳分离，请从力与运动的角度解释这种方式将谷粒与空壳分离的原因。
（2）在有风的情况下，农场工人只需用铁锹将混合谷物举高让其静止下落，在风的作用下，也可以将谷粒与空壳分离，请问饱满谷粒将落在离工人更远处还是更近处？并说出你判断的理由。
20．一辆质量为2吨的汽车，在平直公路上以额定功率80kW从静止开始运动，经l5s运动200m恰好达到最大速度，接着匀速运动25s关闭发动机，滑行100m停下。
整个过程中v﹣t图象如图所示。
已知汽车在运动过程中受到的阻力为车重的0.2倍，求：（1）整个过程中发动机做的功。
（2）汽车的最大速度v最大。
21．如图所示，用滑轮组从H＝10m深的水中匀速提起底面积为0.04m2、高2m的实心圆柱体，该物体的密度是2.5g/cm3，在水中匀速提起该物体时，滑轮组的机械效率为80%，绕在滑轮上的绳子能承受的最大拉力F为1100N，不计摩擦和绳重。
求：（1）圆柱体的重力；（2）圆柱体浸没在水中时受到的浮力；（3）将圆柱体匀速提升，当它上表面与水面刚好接触时，装置所做的额外功；（4）判断在提升的过程中绳子会不会被拉断，若被拉断，绳子被拉断时，圆柱体留在水中的体积。
22．如图所示装置，轻质杠杆AB在水平位置保持平衡，O为杠杆的支点，OA：OB＝1：2，甲、乙两容器中均装有水，物体M浸没在乙容器的水中，且没有碰到容器底。
已知：甲容器中活塞C（含杆AC）的质量m0＝1kg，活塞C的横截面积S＝800cm2，水深h1＝50cm，h2＝40cm。
物体M的体积V M＝1×10﹣3m3，不计摩擦和绳重，g取10N/kg。
求：（1）物体M所受浮力F浮；（2）活塞C受到水的压力F压；（3）物体M的重力。
四、实验与探究题（共32分，每小题8分）23．300多年前，伽利略对“力和运动的关系”进行了探究。
下面是模拟伽利略“推断物体不受力时运动情况”的实验。
如图是同一小车从同一斜面的同一高度由静止下滑，在粗糙程度不同的水平面上由运动到静止的过程（四种接触面的粗糙程度由小到大的顺序是：玻璃板、纸板、棉布、毛巾）（1）小车在水平面上运动时，在竖直方向上受到的力有，其合力为；在水平方向受到摩擦力，这个力对小车运动状态的影响是。
（2）为了便于推理得出结论，请将图中的四次实验排出合理的顺序：。
（3）牛顿在伽利略实验的基础上，进一步推广得出：一切运动的物体，在不受外力作用时，总保持状态，这一普遍规律奠定了牛顿的力学基础。
（4）小明通过上面的探究学习，思考了一个问题：当自己荡秋千运动到右侧最高点时，如果自己受到的力全部消失，自己将会处于怎样的运动状态呢？他做出了以下猜想，你认为其中准确的是。
（图中黑点表示小明同学）（5）在上述的实验中，若小球克服毛巾的摩擦力做的功为W1，小球克服纸板的摩擦力做的功为W2，则W1（选填：“大于”、“等于”或“小于”）W2。
24．一质量均匀分布、正反面相同的长方形木板，以中线MN为界，对比观察左右两部分，发现粗糙程度可能不一样，哪一侧更粗糙？同学们进行了研究。
（1）①小华将滑块放木板上，通过细线和固定的测力计相连，如图甲。
水平向右拉动木板，待示数稳定时，记下滑块经过左、右两部分时测力计的示数F左和F右，若F左＞F右，则木板的侧更粗糙，实验时（选填“需要”或“不需要”）匀速拉动木板。
②小华左右手戴上同样的手套，木板水平对称地放在左右手上，现左手向左、右手向右，使两手距离快速增大，若木板向左运动，则木板侧更粗糙。
（2）小明用图乙实验装置，进行如下操作：A．将轻弹簧的一端分别固定在板上MN左右两侧的P、Q点，另一端分别与同一滑块接触。
B．移动滑块使弹簧压缩相同的长度，由静止释放滑块，使滑块越过MN但不滑离木板。
C．分别测出滑块越过MN后滑行的距离x1和x2。