高考数学[70分]强化训练 解答题标准练(二)

高考数学[70分]强化训练 解答题标准练(二)

1.(2019·南昌模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知

cos A －2cos C

cos B ＝2c －a

b

.

(1)求sin C sin A

的值；

(2)若cos B ＝1

4，b ＝2，求△ABC 的面积.

解 (1)由正弦定理，得2c －a b ＝2sin C －sin A

sin B ，

所以cos A －2cos C cos B ＝2sin C －sin A

sin B

，

即(cos A －2cos C )sin B ＝(2sin C －sin A )cos B ， cos A sin B －2cos C sin B ＝2sin C cos B －sin A cos B ， cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos B ＋2cos C sin B . 化简得sin(A ＋B )＝2sin(B ＋C )， 又A ＋B ＋C ＝π，所以sin C ＝2sin A ， 因此sin C

sin A

＝2.

(2)由sin C sin A

＝2，得c ＝2a ，

由余弦定理b 2＝a 2＋c 2

－2ac cos B 及cos B ＝14，b ＝2，

得4＝a 2＋4a 2－4a 2

×14，

解得a ＝1，从而c ＝2. 又因为cos B ＝1

4，且0

所以sin B ＝

154

. 因此S ＝12ac sin B ＝12×1×2×154＝15

4

.

2.(2019·广元统考)如图，四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，平面PCB ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD .

(1)证明：PC⊥平面ABCD；

(2)若二面角B－PA－D的大小为2π

3

，求PB与平面PAD所成角的大小.

(1)证明∵平面PCB⊥平面ABCD，平面PCB∩平面ABCD＝BC，且AB⊥BC，

∴AB⊥平面PCB，∴AB⊥PC，

同理可证AD⊥PC，

∵AB∩AD＝A，∴PC⊥平面ABCD.

(2)解如图，以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，CP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB＝1，CP＝a，

则A(1,1,0)，B(0,1,0)，D(1,0,0)，

P(0,0，a)，

∴PA →＝(1,1，－a )，PB →＝(0,1，－a )，PD →

＝(1,0，－a )， 设平面PAB 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨

⎪⎧

m ·PA →＝0，

m ·PB →＝0，

即⎩

⎪⎨

⎪⎧

x ＋y －az ＝0，

y －az ＝0，取z ＝1，

得m ＝(0，a,1)，

同理求出平面PAD 的法向量n ＝(a,0,1)， 由cos 〈m ，n 〉＝

1a 2＋1＝12

，得a ＝1， ∴PB →

＝(0,1，－1)，n ＝(1,0,1)，

∴sin θ＝|cos 〈PB →

，n 〉|＝

⎪⎪⎪⎪⎪

⎪⎪⎪PB →·n |PB →|·|n |＝12， ∴PB 与平面PAD 所成角的大小为

π6

. 3.(2019·湖南省师范大学附属中学考前演练)随着国内电商的不断发展，快递业也进入了高速发展时期，按照国务院的发展战略布局，以及国家邮政管理总局对快递业的宏观调控，SF 快递收取快递费的标准是：重量不超过1 kg 的包裹收费10元；重量超过1 kg 的包裹，在收费10元的基础上，每超过1 kg(不足1 kg 按1 kg 计算)需再收5元.某县SF 代办点将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：

对近60天，每天揽件数量统计如下表：

以上数据已做近似处理，可视为且有代表性的样本.

(1)计算该代办点未来5天内揽件数在101～300之间不少于2天的概率； (2)①估计该代办点对每件包裹收取的快递费的平均值；

②根据以往的经验，该代办点将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前该代办点前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工

资110元.代办点正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后代办点每日利润的期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？

解 (1)由题意，可得样本中包裹件数在101～300之间的天数为36，频率f ＝3660＝3

5，

故可估计概率为3

5

，

显然未来5天中，包裹件数在101～300之间的天数服从二项分布，即X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，35， 故所求概率为1－P (X ＝0)－P (X ＝1)＝1－C 0

5×⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－355－C 15×35×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－354＝

2 853

3 125. (2)①样本中快递费用及包裹件数如下表：

故样本中每件快递收取的费用的平均值为10×43＋15×30＋20×15＋25×8＋30×4

100＝15，

故估计该代办点对每件快递收取的费用的平均值为15元. ②该代办点不应将前台工作人员裁员1人，理由如下：

根据题意及(2)①知，揽件数每增加1，代办点快递收入增加15元， 若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，代办点每日揽件数情况如下：

故该代办点每日利润的期望为260×15×1

3

－3×110＝970(元)；

若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，代办点每日揽件数情况如下：