2017年上海市浦东区高考数学一模试卷(含答案)
2017高考数学上海卷(精编)
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则AB =__________．【答案】{3,4}，交集2．若排列数6654mA =⨯⨯，则m =__________．【答案】3，组合数 3．不等式11x x->的解集为__________． 【答案】(,0)-∞，分式不等式4．已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于__________．【答案】9π，三视图，球体积 5．已知复数z 满足30z z+=，则||z =__________．30z z+=，可得23z =-，则z =6．设双曲线222219x y b-=（0b >）的焦点为12,F F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =__________． 【答案】11，双曲线的定义7．如图，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量1DB 的坐标为(4,3,2)，则向量1AC 的坐标是__________．【答案】(4,3,2)-，空间向量运算，由1DB 的坐标为(4,3,2)，可得(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1AC (4,3,2)=-．8．定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若13,0()(),0x x g x f x x -⎧≤=⎨>⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为__________． 【答案】89，反函数，分段函数，函数的奇偶性，求解析式 ∵13,0()(),0x x g x f x x -⎧≤=⎨>⎩为奇函数，可得当0x >时，()13x g x -=-，∵1()2f x -=，∴8(2)9x f ==9．已知四个函数：①y x =-，②1y x=-，③3y x =，④12y x =，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为__________． 【答案】13，古典概型，基本函数图象， 基本事件总数246n C ==，“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2个，∴13p =10．已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，n +∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n +∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =__________．【答案】2，数列通项，对数运算， 由已知得，22nn b b =，∴211b b =，242b b =，293b b =，2164b b =，149161234lg()lg()b b b b b b b b 123412342(lg lg lg lg )lg lg lg lg b b b b b b b b +++=+++2= 11．设12,αα∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于__________． 【答案】4π，三角函数值域， ∵111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，121122sin 2sin(2)αα+=++，∴1112sin α=+且2112sin(2)α=+，∴1sin 1α=-，2sin(2)1α=-，∴1122k παπ=-（1k ∈Z ），224k παπ=-（2k ∈Z ）∴12|10|παα--12|102|24k k πππππ=-+-+123|10(2)|4k k πππ=+-+，（12,k k ∈Z ）当12211k k +=时，12|10|παα--取得最小值4π 12．如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1234,,,P P P P 以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“▲”的点分布在P l 的两侧．用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和．若过P 的直线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为__________．【答案】134,,P P P ，点到直线有向距离（？），直线方程，方法一：如图建立平面直角坐标系，则标记为“▲”点的坐标分别为(0,3)A ，(1,0)B ，(4,4)C ，(7,1)D ， 设平面内任意直线l ：0ax by c ++=，则四点到直线的有向距离分别为：1d =2d =3d =4d =，由12340d d d d +++=，得320a b c ++=，xyO ABCD1(0,4)P 在直线l 上，有40b c +=，又320a b c ++=，∴4c b =-，23a b =-， ∴过1P 满足条件的直线为2(4)03b x y -+-=，即2403x y -+-=； 同理过3(5,2)P 满足条件的直线为：20y -=； 过4(6,5)P 满足条件的直线为：4203x y -++=， 点2(3,2)P 在直线l 上，有320a b c ++=，则过2P 满足条件的直线有无数条．方法二：设记为“▲”的四个点为,,,A B C D ，线段四边形ABCD 的中点分别为,,,E F G H ，易知EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形EFGH 对角线的连线交于点2P ，则经过点2P 的所有直线都是符合条件的直线P l ．因此经过点2P 的符合条件的直线P l 有无数条；经过点134,,P P P 符合条件的直线P l 各有1条，即直线123242,,PP P P P P ，故Ω中所有这样的P 为134,,P P P ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．关于,x y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（）A ．0543B ．1024C ．1523D ．6054【答案】C ，行列式14．在数列{}n a 中，1()2nn a =-，n +∈N ，则lim n n a →∞（）A ．等于12-B ．等于0C ．等于12D ．不存在【答案】B ，数列极限15．已知,,a b c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n +∈N ，则“存在k +∈N ，使得100200300,,k k k x x x +++成等差数列”的一个必要条件是（）A ．0a ≥B ．0b ≤C ．0c =D ．20a b c -+=【答案】A ，等差定义，充要条件∵100200300,,k k k x x x +++成等差，得到0a =，∴必要条件是0a ≥16．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=．P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，ω是OP OQ ⋅的最大值．记12{(,)|}P Q P C Q C OP OQ ωΩ=⋅=在上，在上，且，则Ω中的元素有（）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【答案】D ，椭圆的参数方程，向量数量积坐标运算，两角和差的三角函数，三角函数求最值设(cos ,sin )P αα，(cos ,sin )Q ββ，OP OQ ⋅6cos cos 6sin sin αβαβ=+6cos()αβ=-当2k αβπ-=，k ∈Z 时，OP OQ ⋅有最大值6，对应的(,)P Q 有无穷多个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17．（本题满分14=6+8分）如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5．（Ⅰ）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（Ⅱ）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小．【解】三棱柱体积，直线与平面成角，线面垂直， （Ⅰ）1·ABC V SAA = 11··2AB AC AA =20=； （Ⅱ）连接AM ，∵直三棱柱111ABC A B C -，∴1AA ⊥底面ABC ， ∴1AMA ∠是直线1AM 与平面ABC 所成角， ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴12AM BC == 由1AA ⊥底面ABC ，可得1AA AM ⊥，∴11tan AA A MA AM∠==，∴直线1A M 与平面ABC 所成角的大小为 18．（本题满分14=6+8分）已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =角B 所对边5b =，若()0f A=，求△ABC 的面积．【解】倍角公式，三角函数单调性，正弦定理，同角三角函数关系，两角和差的三角函数，三角形面积（Ⅰ）函数1()cos 22f x x =+，(0,)x π∈， 由222k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，解2k x k πππ-≤≤，k ∈Z ，可得()f x 的增区间为[,)2ππ；（Ⅱ）()0f A =，即有1cos 202A +=，又A 为锐角，∴3A π=，又a =5b =，由正弦定理得sin sin b A B a ==，则cos B =，∴sin sin()C A B =+=1sin 2ABCS ab C ==． 19．（本题满分14=6+8分）根据预测，某地第n （n +∈N ）个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤=⎨-+≥⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差． （Ⅰ）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（Ⅱ）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆），设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解】实际应用，等差通项，等差求和（Ⅰ）前4个月共享单车的累计投放量为1234965a a a a +++=， 前4个月共享单车的累计损失量为123430b b b b +++=， ∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为96530935-=； （Ⅱ）令n n a b ≥，显然3n ≤时恒成立， 当4n ≥时，有104705n n -+≥+，解得46511n ≤， ∴第42个月底，保有量达到最大．当4n ≥，{}n a 为公差为10-等差数列，而{}n b 为公差为1的等差数列， ∴到第42个月底，共享单车保有量为4421423953542878222a ab b++⨯+-⨯=， 又()2424424688008736S =-⨯-+=，∵8782>8736， ∴第42个月底共享单车保有量超过了停放点的单车容纳量．20．（本题满分16=4+5+7分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点． （Ⅰ）若P在第一象限且||OP =P 的坐标；（Ⅱ）设83(,)55P ，若以,,A P M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （Ⅲ）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C 且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程．【解】点在椭圆上，分类讨论，直线方程，圆的方程，直线与圆相交，向量坐标运算， （Ⅰ）设(,)P x y (0,0)x y >>，由点P 在椭圆22:14x y Γ+=上且||OP =2222142x y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，解得x =y =P ； （Ⅱ）设0(,0)M x ，已知(0,1)A ，83(,)55P ，若90P ∠=︒，则0PA PM ⋅=，即08283(,)(,)05555x -⋅--=，解得02920x =；若90M ∠=︒，则0A M P M ⋅=，解0083(,1)(,)055x x -⋅--=，解得01x =或035x =， 若90A ∠=︒，则M 点在x 轴负半轴，不合题意； ∴点M 的横坐标为2920或1或35； 【也可用直线垂直，圆的方程与x 轴交点求解】（Ⅲ）方法一：参数法设(2cos ,sin )C αα，∵2AQ AC =，(0,1)A ，∴(4cos ,2sin 1)Q αα-，又设(2cos ,sin )P ββ，0(,0)M x ， ∵||||MA MP =，∴222001(2cos )sin x x ββ+=-+， 整理得03cos 4x β=， ∵(4cos 2cos ,2sin sin 1)PQ αβαβ=---，5(cos ,sin )4PM ββ=--，4PQ PM =，∴4cos 2cos 5cos αββ-=-，2sin sin 14sin αββ--=-， ∴4cos cos 3βα=-，1sin (12sin )3βα=-， 以上两式平方相加，整理得23sin sin 20αα+-=， ∴2sin 3α=或sin 1α=-（舍去），此时，直线AC 的斜率sin 12cos AC k αα-==，∴直线AQ 的方程为110y x =+． 方法二：标点法设11(,)C x y ，22(,)P x y ，0(,0)M x ，N 为AP 中点，则221114x y +=，222214x y +=，221(,)22x y N +， 2201(,)22x y MN x +=-，22(,1)AP x y =-， 依题意MN AP ⊥，∴222021()(1)022x y x x y +-+-=，结合222214x y +=，解得20308x x =>， 则PM 225(,)8x y =--，PQ 225(,4)2xy =--……①， 另一方面：11(,1)AC x y =-，11(2,22)AQ x y =-，∴Q 点坐标为11(2,21)x y -， ∴1212(2,21)PQ x x y y =---……②，由①②得212212522421x x x y y y ⎧-=-⎪⎨⎪-=--⎩，∴121243213x x y y ⎧=-⎪⎪⎨-⎪=-⎪⎩，又222214x y +=， 化简整理得：211320y y +-=，解得123y =或11y =-（舍去），∴1x =（舍去）或1x =，∴直线AQ方程为1y x =+． 21．（本题满分18=4+6+8分）设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的12,x x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤．（Ⅰ）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（Ⅱ）若()f x 是周期函数，证明：()f x 是常值函数；（Ⅲ）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上的恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值．函数()()()h x f x g x =．证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．【解】（Ⅰ）由12()()f x f x ≤，得12()()f x f x -=3312()a x x -0≤， ∵12x x <，∴33120x x -<，得0a ≥，故a 的取值范围是[0,)+∞；（Ⅱ）证明：若()f x 是周期函数，记其周期为k T ，任取0x ∈R ，则有00()()k f x f x T =+， 由题意，对任意00[,]k x x x T ∈+，00()()()k f x f x f x T ≤≤+， ∴00()()()k f x f x f x T ==+，又∵0()f x =00((1))()k k f x n T f x nT +-=+，n ∈Z ，并且00{|(1)(),}k k x x n T x f x nT n +-≤≤+∈Z =R ， ∴对任意x ∈R ，0()()f X f x =C =，为常数；（Ⅲ）证明：【充分性】若()f x 是常值函数，记1()f x c =，设()g x 的一个周期为g T ，则1()()h x c g x =，对任意0x ∈R ，010100()()()()g g h x T c g x T c g x h x +=+==， 故()h x 是周期函数；【必要性】若()h x 是周期函数，记其一个周期为h T ．集合{|()}A x g x m ==， 任取0x A ∈，则必存在2N ∈N ，使得020g h x N T x T -≤-， 即0002h 0[][]g x T x x N T x -⊆-，，， ∵00000000[3,2][2,][,][,]k k k k k k x T x T x T x T x T x x x T -----+00[,2]k k x T x T ++=R ，∴020*******[2][,][,]h h h h x N T x N T x N T x x x N T ---+,0202[,2]h h x N T x N T ++=R ，000020202()()()()()()h h h h x g x f x h x N T g x N T f x N T ==-=--，∵002()()0h g x M g x N T =≥->，002()()0h f x f x N T ≥->， 因此若002()()h h x h x N T =﹣，必有002()()hg x M g x N T==-，且002()()hf x f x N T C=-=， 而由（Ⅱ）证明可知，对任意x ∈R ，0()()f x f x C ==为常数，要性得证． 综上所述，“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”．。
2017年数学真题及解析_2017年上海市高考数学试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【分析】利用排列数公式直接求解．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列数公式的合理运用．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．【点评】本题考查了解分式不等式，考查转化思想，是一道基础题．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【分析】由球的体积公式，可得半径R=3，再由主视图为圆，可得面积．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．【点评】本题考查球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法，考查运算能力，属于基础题．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【分析】设z=a+bi（a，b∈R），代入z2=﹣3，由复数相等的条件列式求得a，b 的值得答案．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件以及复数模的求法，是基础题．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【分析】根据题意，由双曲线的方程可得a的值，结合双曲线的定义可得||PF1|﹣|PF2||=6，解可得|PF2|的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的定义．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【分析】由的坐标为（4，3，2），分别求出A和C1的坐标，由此能求出结果．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．【点评】本题考查空间向量的坐标的求法，考查空间直角坐标系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【分析】由奇函数的定义，当x＞0时，﹣x＜0，代入已知解析式，即可得到所求x＞0的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．【点评】本题考查函数的奇偶性和运用，考查互为反函数的自变量和函数值的关系，考查运算能力，属于基础题．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【分析】从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= 2．【分析】a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b项，可得==．于是b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．即n可得出．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【分析】由题意，要使+=2，可得sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．求出α1和α2，即可求出|10π﹣α1﹣α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．【点评】本题主要考察三角函数性质，有界限的范围的灵活应用，属于基本知识的考查．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【分析】根据任意四边形ABCD两组对边中点的连线交于一点，过此点作直线，使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧，则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题，也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为（）A．B．C．D．【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解．【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C．【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用．14．（5分）在数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n（）A．等于 B．等于0 C．等于D．不存在【分析】根据极限的定义，求出a n=的值．【解答】解：数列{a n}中，a n=（﹣）n，n∈N*，则a n==0．故选：B．【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ）A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【分析】由x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列，可得：2x 200+k =x 100+k x 300+k ，代入化简即可得出．【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0．故选：A ．【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个【分析】设出P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域，可得最大值及取得的条件，即可判断所求元素的个数．【解答】解：椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P 为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，可设P （6cosα，2sinα），Q （cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π， 则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos （α﹣β）， 当α﹣β=2kπ，k ∈Z 时，w 取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用，以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域，考查集合的几何意义，属于中档题．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【分析】（1）三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=，由此能求出结果．（2）连结AM，∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，由此能求出直线A1M 与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．【点评】本题考查三棱柱的体积的求法，考查线面角的大小的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【分析】（1）由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间，解不等式可得所求增区间；（2）由f（A）=0，解得A，再由余弦定理解方程可得c，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质，考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】（1）计算出{a n}和{b n}的前4项和的差即可得出答案；（2）令a n≥b n得出n≤42，再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论．【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．【点评】本题考查了数列模型的应用，等差数列的求和公式，属于中档题．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【分析】（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），联立，能求出P点坐标．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），由∠P=90°，求出x0=；由∠M=90°，求出x0=1或x0=；由∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．由此能求出点M的横坐标．（3）设C（2cosα，sinα），推导出Q（4cosα，2sinα﹣1），设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0）推导出x0=cosβ，从而4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），由此能求出直线AQ．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（s inα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．【点评】本题考查点的坐标的求法，考查直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方思想，是中档题．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【分析】（1）直接由f（x1）﹣f（x2）≤0求得a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），证明对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），可得f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，再由…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，可得对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）分充分性及必要性证明．类似（2）证明充分性；再证必要性，然后分类证明．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．【点评】本题考查抽象函数及其应用，考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法，题目设置难度过大．。
2017高考上海各区数学一模(含答案)
上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市宝山区2017届高三一模数学试卷一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 23lim1n n n →∞+=+2. 设全集U R =，集合{1,0,1,2,3}A =-，{|2}B x x =≥，则U AC B =3. 不等式102x x +<+的解集为 4. 椭圆5cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）的焦距为5. 设复数z 满足23z z i +=-（i 为虚数单位），则z =6. 若函数cos sin sin cos x xy x x=的最小正周期为a π，则实数a 的值为7. 若点(8,4)在函数()1log a f x x =+图像上，则()f x 的反函数为 8. 已知向量(1,2)a =，(0,3)b =，则b 在a 的方向上的投影为9. 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面 积为10. 某班级要从5名男生和2名女生中选出3人参加公益活动，则在选出的3人中男、女生 均有的概率为 （结果用最简分数表示）11. 设常数0a >，若9()a x x+的二项展开式中5x 的系数为144，则a =12. 如果一个数列由有限个连续的正整数组成（数列的项数大于2），且所有项之和为N ， 那么称该数列为N 型标准数列，例如，数列2，3，4，5，6为20型标准数列，则2668型 标准数列的个数为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 设a R ∈，则“1a =”是“复数(1)(2)(3)a a a i -+++为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 某中学的高一、高二、高三共有学生1350人，其中高一500人，高三比高二少50人， 为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生120 人，则该样本中的高二学生人数为（ ）A. 80B. 96C. 108D. 110 15. 设M 、N 为两个随机事件，给出以下命题：（1）若M 、N 为互斥事件，且1()5P M =，1()4P N =，则9()20P M N =； （2）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （3）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （4）若1()2P M =，1()3P N =，1()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件； （5）若1()2P M =，1()3P N =，5()6P MN =，则M 、N 为相互独立事件；其中正确命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 416. 在平面直角坐标系中，把位于直线y k =与直线y l =（k 、l 均为常数，且k l <）之 间的点所组成区域（含直线y k =，直线y l =）称为“k l ⊕型带状区域”，设()f x 为二次 函数，三点(2,(2)2)f --+、(0,(0)2)f +、(2,(2)2)f +均位于“04⊕型带状区域”，如 果点(,1)t t +位于“13-⊕型带状区域”，那么，函数|()|y f t =的最大值为（ ） A. 72 B. 3 C. 52D. 2三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面积为934，侧面积为36；（1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）求异面直线1AC 与AB 所成的角的大小；18. 已知椭圆C 的长轴长为26，左焦点的坐标为(2,0)-； （1）求C 的标准方程；（2）设与x 轴不垂直的直线l 过C 的右焦点，并与C 交于A 、B 两点，且||6AB =， 试求直线l 的倾斜角；19. 设数列{}n x 的前n 项和为n S ，且430n n x S --=（*n N ∈）； （1）求数列{}n x 的通项公式；（2）若数列{}n y 满足1n n n y y x +-=（*n N ∈），且12y =，求满足不等式559n y >的最小 正整数n 的值；20. 设函数()lg()f x x m =+（m R ∈）； （1）当2m =时，解不等式1()1f x >； （2）若(0)1f =，且1()()2x f x λ=+在闭区间[2,3]上有实数解，求实数λ的范围；（3）如果函数()f x 的图像过点(98,2)，且不等式[cos(2)]lg2n f x <对任意n N ∈均成立， 求实数x 的取值集合；21. 设集合A 、B 均为实数集R 的子集，记：{|,}A B a b a A b B +=+∈∈； （1）已知{0,1,2}A =，{1,3}B =-，试用列举法表示A B +；（2）设123a =，当*n N ∈，且2n ≥时，曲线2221119x y n n n +=-+-的焦距为n a ，如果 12{,,,}n A a a a =⋅⋅⋅，122{,,}993B =---，设A B +中的所有元素之和为n S ，对于满足3m n k +=，且m n ≠的任意正整数m 、n 、k ，不等式0m n k S S S λ+->恒成立，求实数λ的最大值；（3）若整数集合111A A A ⊆+，则称1A 为“自生集”，若任意一个正整数均为整数集合2A 的 某个非空有限子集中所有元素的和，则称2A 为“*N 的基底集”，问：是否存在一个整数集 合既是自生集又是*N 的基底集？请说明理由；上海市崇明县2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 复数(2)i i +的虚部为 2. 设函数2log ,0()4,0xx x f x x >⎧=⎨≤⎩，则((1))f f -=3. 已知{||1|2,}M x x x R =-≤∈，1{|0,}2xP x x R x -=≥∈+，则M P =4. 抛物线2y x =上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标为5. 已知无穷数列{}n a 满足112n n a a +=*()n N ∈，且21a =，记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 则lim n n S →∞=6. 已知,x y R +∈，且21x y +=，则xy 的最大值为7. 已知圆锥的母线10l =，母线与旋转轴的夹角30α︒=，则圆锥的表面积为8. 若21(2)nx x+*()n N ∈的二项展开式中的第9项是常数项，则n =9. 已知,A B 分别是函数()2sin f x x ω=(0)ω>在y 轴右侧图像上的第一个最高点和第一 个最低点，且2AOB π∠=，则该函数的最小正周期是10. 将序号分别为1、2、3、4、5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同 一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是11. 在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数()y f x =的图像恰好经过k 个格点，则称函数()y f x =为k 阶格点函数，已知函数：①2y x =；②2sin y x =；③1xy π=-；④cos()3y x π=+；其中为一阶格点函数的序号为 （注：把你认为正确的序号都填上）12. 已知AB 为单位圆O 的一条弦，P 为单位圆O 上的点，若()||f AP AB λλ=-()R λ∈ 的最小值为m ，当点P 在单位圆上运动时，m 的最大值为43，则线段AB 长度为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）A. tan y x =B. 3xy = C. 13y x = D. lg ||y x =14. 设,a b R ∈，则“21a b ab +>⎧⎨>⎩”是“1a >且1b >”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分也非必要 15. 如图，已知椭圆C 的中心为原点O ，(25,0)F -为C 的左焦点，P 为C 上一点，满 足||||OP OF =且||4PF =，则椭圆C 的方程为（ ）A.221255x y += B. 2213010x y += C.2213616x y += D. 2214525x y += 16. 实数a 、b 满足0ab >且a b ≠，由a 、b 、2a b+、ab 按一定顺序构成的数列（ ） A. 可能是等差数列，也可能是等比数列 B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列 C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列 D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，12BB =，求： （1）异面直线11B C 与1AC 所成角的大小； （2）四棱锥111A B BCC -的体积；18. 在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域，点E 正北55海 里处有一个雷达观测站A ，某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与 点A 相距402海里的位置B 处，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45θ︒+ （其中26sin 26θ=，090θ︒︒<<）且与点A 相距1013海里的位置C 处； （1）求该船的行驶速度；（单位：海里/小时）（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断 它是否会进入警戒水域，并说明理由；19. 已知点1F 、2F 为双曲线222:1y C x b-=(0)b >的左、右焦点，过2F 作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，且1230MF F ︒∠=；（1）求双曲线C 的方程；（2）过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为1P 、2P ，求12PP PP ⋅的值；20. 设12()2x x a f x b+-+=+，,a b 为实常数；（1）当1a b ==时，证明：()f x 不是奇函数； （2）若()f x 是奇函数，求a 与b 的值；（3）当()f x 是奇函数时，研究是否存在这样的实数集的子集D ，对任何属于D 的x 、c ， 都有2()33f x c c <-+成立？若存在，试找出所有这样的D ；若不存在，说明理由；21. 已知数列{}n a 、{}n b 满足2(2)n n n S a b =+，其中n S 是数列{}n a 的前n 项和； （1）若数列{}n a 是首项为23，公比为13-的等比数列，求数列{}n b 的通项公式； （2）若n b n =，23a =，求证：数列{}n a 满足212n n n a a a +++=，并写出{}n a 通项公式； （3）在（2）的条件下，设nn na cb =，求证：数列{}nc 中的任意一项总可以表示成该数列 其他两项之积；参考答案一. 填空题1. 22. 2-3. [1,1]-4.34 5. 4 6. 187. 75π 8. 12 9. 833 10. 96 11. ②③ 12. 423二. 选择题13. C 14. B 15. C 16. D三. 解答题 17.（1）5arccos10；（2）33；18.（1）155；（2）357d =<，会进入警戒水域；19.（1）2212y x -=；（2）29；20.（1）(1)(1)f f -≠-；（2）12a b =⎧⎨=⎩，12a b =-⎧⎨=-⎩；（3）当121()22x x f x +-+=+，D R =；当121()22x x f x +--=-，(0,)D =+∞，25(,log ]7D =-∞；21.（1）12n b =；（2）1n a n =+；（3）略；上海市金山区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 若集合2{|20}M x x x =-<，{|||1}N x x =>，则MN =2. 若复数z 满足232z z i +=-，其中i 为虚数单位，则z =3. 如果5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值是 4. 函数cos sin ()sin cos x xf x x x=的最小正周期是5. 函数()2x f x m =+的反函数为1()y f x -=，且1()y f x -=的图像过点(5,2)Q ，那么m =6. 点(1,0)到双曲线2214x y -=的渐近线的距离是 7. 如果实数x 、y 满足2030x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2x y +的最大值是8. 从5名学生中任选3人分别担任语文、数学、英语课代表，其中学生甲不能担任数学课 代表，共有 种不同的选法（结果用数值表示） 9. 方程22242340x y tx ty t +--+-=（t 为参数）所表示 的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程） 10. 若n a 是(2)nx +（*n N ∈，2n ≥，x R ∈）展开式中2x 项的二项式系数，则23111lim()n na a a →∞++⋅⋅⋅+= 11. 设数列{}n a 是集合{|33,stx x s t =+<且,}s t N ∈中所有的数从小到大排列成的数列， 即14a =，210a =，312a =，428a =，530a =，636a =，，将数列{}n a 中各项按 照上小下大，左小右大的原则排成如图的等腰直角三角形数表，则15a 的值为12. 曲线C 是平面内到直线1:1l x =-和直线2:1l y =的距离之积等于常数2k （0k >）的点的轨迹，下列四个结论：① 曲线C 过点(1,1)-；② 曲线C 关于点(1,1)-成中心对称； ③ 若点P 在曲线C 上，点A 、B 分别在直线1l 、2l 上，则||||PA PB +不小于2k ；④ 设0P 为曲线C 上任意一点，则点0P 关于直线1:1l x =-，点(1,1)-及直线2:1l y =对称的点分别为1P 、2P 、3P ，则四边形0123P PP P 的面积为定值24k ； 其中，所有正确结论的序号是41012283036⋅⋅⋅二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 给定空间中的直线l 与平面α，则“直线l 与平面α垂直”是“直线l 垂直于平面α上 无数条直线”的（ ）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既不充分也不必要 14. 已知x 、y R ∈，且0x y >>，则（ ） A.110x y-> B. 11()()022x y -<C. 22log log 0x y +>D. sin sin 0x y -> 15. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A. 283π-B. 83π- C. 82π- D. 23π16. 已知函数2(43)30()log (1)10a x a x a x f x x x ⎧+-+<=⎨++≥⎩（0a >且1a ≠）在R 上单调递减，且关于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是（ ）A. 2(0,]3B. 23[,]34C. 123[,]{}334D. 123[,){}334三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PB 、PD 与 平面ABCD 所成的角依次是4π和1arctan 2，2AP =，E 、F 依次是PB 、PC 的中点；（1）求异面直线EC 与PD 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥P AFD -的体积；18. 已知△ABC 中，1AC =，23ABC π∠=，设BAC x ∠=，记()f x AB BC =⋅； （1）求函数()f x 的解析式及定义域；（2）试写出函数()f x 的单调递增区间，并求方程1()6f x =的解；19. 已知椭圆C 以原点为中心，左焦点F 的坐标是(1,0)-，长轴长是短轴长的2倍，直 线l 与椭圆C 交于点A 与B ，且A 、B 都在x 轴上方，满足180OFA OFB ︒∠+∠=； （1）求椭圆C 的标准方程；（2）对于动直线l ，是否存在一个定点，无论OFA ∠如何变化，直线l 总经过此定点？若 存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由；20. 已知函数2()21g x ax ax b =-++(0)a >在区间[2,3]上的最大值为4，最小值为1， 记()(||)f x g x =，x R ∈； （1）求实数a 、b 的值；（2）若不等式222()()log 2log 3f x g x k k +≥--对任意x R ∈恒成立，求实数k 的范围； （3）对于定义在[,]p q 上的函数()m x ，设0x p =，n x q =，用任意i x (1,2,,1)i n =⋅⋅⋅- 将[,]p q 划分成n 个小区间，其中11i i i x x x -+<<，若存在一个常数0M >，使得不等式01121|()()||()()||()()|n n m x m x m x m x m x m x M --+-+⋅⋅⋅+-≤恒成立，则称函数()m x为在[,]p q 上的有界变差函数，试证明函数()f x 是在[1,3]上的有界变差函数，并求出M 的最小值；21. 数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有(1)2n n n S +=； （1）试证明数列{}n b 是等差数列，并求其通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2017项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个(1)i i b -*()i N ∈后，得到一个新数列{}n c ，求数列{}n c 中所有项的和； （3）如果存在*n N ∈，使不等式11820(1)()(1)n n n n n b n b b b λ++++≤+≤+成立，若存在， 求实数λ的范围，若不存在，请说明理由；参考答案一. 填空题1. (1,2)2. 12i -3. 512-4. π5. 16. 557. 4 8. 48 9. 20x y -= 10. 2 11. 324 12. ②③④二. 选择题13. A 14. B 15. A 16. C三. 解答题 17.（1）310arccos 10；（2）43；18.（1）2211()sin sin()sin(2)33366f x x x x ππ=+=+-，(0,)3x π∈； （2）递增区间(0,]6π，6x π=；19.（1）2212x y +=；（2）(2,0)-； 20.（1）0b =，1a =；（2）1[,8]2；（3）min 4M =；21.（1）n b n =；（2）201822033134+；（3）不存在；上海市虹口区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知集合{1,2,4,6,8}A =，{|2,}B x x k k A ==∈，则A B =2. 已知21zi i=+-，则复数z 的虚部为 3. 设函数()sin cos f x x x =-，且()1f a =，则sin 2a =4. 已知二元一次方程111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩的增广矩阵是111113-⎛⎫⎪⎝⎭，则此方程组的解是5. 数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是它前n 项和，则2lim n n nSa →∞=6. 已知角A 是ABC ∆的内角，则“1cos 2A =”是“3sin 2A =”的 条件（填“充 分非必要”、“必要非充分”、“充要条件”、“既非充分又非必要”之一）7. 若双曲线2221y x b-=的一个焦点到其渐近线距离为22，则该双曲线焦距等于8. 若正项等比数列{}n a 满足：354a a +=，则4a 的最大值为 9. 一个底面半径为2的圆柱被与其底面所成角是60°的平 面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于10. 设函数61()211x x f x x x ⎧≥=⎨--≤-⎩，则当1x ≤-时，则[()]f f x 表达式的展开式中含2x 项的系数是11. 点(20,40)M ，抛物线22y px =（0p >）的焦点为F ，若对于抛物线上的任意点P ，||||PM PF +的最小值为41，则p 的值等于12. 当实数x 、y 满足221x y +=时，|2||32|x y a x y +++--的取值与x 、y 均无关， 则实数a 的取值范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 在空间，α表示平面，m 、n 表示二条直线，则下列命题中错误的是（ ） A. 若m ∥α，m 、n 不平行，则n 与α不平行 B. 若m ∥α，m 、n 不垂直，则n 与α不垂直 C. 若m α⊥，m 、n 不平行，则n 与α不垂直 D. 若m α⊥，m 、n 不垂直，则n 与α不平行14. 已知函数()sin(2)3f x x π=+在区间[0,]a （其中0a >）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A. 02a π<≤B. 012a π<≤C. 12a k ππ=+，*k N ∈ D. 2212k a k πππ<≤+，k N ∈15. 如图，在圆C 中，点A 、B 在圆上，则AB AC ⋅的值（ ）A. 只与圆C 的半径有关B. 既与圆C 的半径有关，又与弦AB 的长度有关C. 只与弦AB 的长度有关D. 是与圆C 的半径和弦AB 的长度均无关的定值16. 定义(){}f x x =（其中{}x 表示不小于x 的最小整数）为“取上整函数”，例如{2.1}3=，{4}4=，以下关于“取上整函数”性质的描述，正确的是（ ）①(2)2()f x f x =；② 若12()()f x f x =，则121x x -<；③ 任意1x 、2x R ∈，1212()()()f x x f x f x +≤+；④1()()(2)2f x f x f x ++=； A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在正三棱锥P ABC -中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4； （1）求证：PA BC ⊥；（2）求此三棱锥的全面积和体积；18. 如图，我海蓝船在D 岛海域例行维权巡航，某时刻航行至A 处，此时测得其北偏东30° 方向与它相距20海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海蓝船正东18海里处； （1）求此时该外国船只与D 岛的距离；（2）观测中发现，此外国船只正以每小时4海里的速度沿正南方航行，为了将该船拦截在 离D 岛12海里的E 处（E 在B 的正南方向），不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定 海蓝船的航向，并求其速度的最小值（角度精确到0.1°，速度精确到0.1海里/小时）；19. 已知二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞； （1）判断此函数的奇偶性，并说明理由；（2）判断此函数在2[,)a+∞的单调性，并用单调性的定义证明你的结论；（3）求出()f x 在[1,)+∞上的最小值()g a ，并求()g a 的值域；20. 椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）过点(2,0)M ，且右焦点为(1,0)F ，过F 的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点，设点(4,3)P ，记PA 、PB 的斜率分别为1k 和2k ；（1）求椭圆C 的方程；（2）如果直线l 的斜率等于1-，求出12k k ⋅的值； （3）探讨12k k +是否为定值？如果是，求出该定 值，如果不是，求出12k k +的取值范围；21. 已知函数()2|2||1|f x x x =+-+，无穷数列{}n a 的首项1a a =； （1）若()n a f n =（*n N ∈），写出数列{}n a 的通项公式；（2）若1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），要使数列{}n a 是等差数列，求首项a 取值范围； （3）如果1()n n a f a -=（*n N ∈且2n ≥），求出数列{}n a 的前n 项和n S ；参考答案一. 填空题1. {2,4,8}2. 13. 04. 21x y =⎧⎨=⎩ 5. 146. 充分非必要7. 68. 29. 43 10. 6011. 22或42 12. [5,)+∞二. 选择题13. A 14. B 15. C 16. C三. 解答题17.（1）略；（2）9793S =+，63V =； 18.（1）291；（2）东偏北41.8︒， 6.4v =海里/小时； 19.（1）非奇非偶函数；（2）单调递增；（3）当02a <<，()0g a =；当2a ≥，4()4g a a a=+-；值域[0,)+∞； 20.（1）22143x y +=；（2）12；（3）2；21.（1）3n a n =+；（2）{3}[1,)a ∈--+∞；（3）当2a ≤-，3(1)(2)(1)(3)2n n n S a n a --=+---+；当21a -<≤-，3(1)(2)(1)(35)2n n n S a n a --=+-++；当1a >-，3(1)2n n n S na -=+；上海市闵行区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 方程lg(34)1x +=的解x = 2. 若关于x 的不等式0x ax b->-（,a b R ∈）的解集为(,1)(4,)-∞+∞，则a b += 3. 已知数列{}n a 的前n 项和为21n n S =-，则此数列的通项公式为4. 函数()1f x x =+的反函数是5. 6(12)x +展开式中3x 项的系数为 （用数字作答）6. 如图，已知正方形1111ABCD A BC D -，12AA =，E 为 棱1CC 的中点，则三棱锥1D ADE -的体积为 7. 从单词“shadow ”中任意选取4个不同的字母排成一排， 则其中含有“a ”的共有 种排法（用数字作答）8. 集合{|cos(cos )0,[0,]}x x x ππ=∈= （用列举法表示） 9. 如图，已知半径为1的扇形AOB ，60AOB ∠=︒，P 为弧AB 上的一个动点，则OP AB ⋅取值范围是 10. 已知x 、y 满足曲线方程2212x y+=，则22x y +的 取值范围是11. 已知两个不相等的非零向量a 和b ，向量组1234(,,,)x x x x 和1234(,,,)y y y y 均由2个a 和2个b 排列而成，记11223344S x y x y x y x y =⋅+⋅+⋅+⋅，那么S 的所有可能取值中的最 小值是 （用向量a 、b 表示）12. 已知无穷数列{}n a ，11a =，22a =，对任意*n N ∈，有2n n a a +=，数列{}n b 满足 1n n n b b a +-=（*n N ∈），若数列2{}nnb a 中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满 足要求的1b 的值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 若a 、b 为实数，则“1a <”是“11a>”的（ ）条件 A. 充要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要 14. 若a 为实数，(2)(2)4ai a i i +-=-（i 是虚数单位），则a =（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 215. 函数2()||f x x a =-在区间[1,1]-上的最大值是a ，那么实数a 的取值范围是（ ） A. [0,)+∞ B. 1[,1]2 C. 1[,)2+∞ D. [1,)+∞16. 曲线1:sin C y x =，曲线22221:()2C x y r r ++-=（0r >），它们交点的个数（ ）A. 恒为偶数B. 恒为奇数C. 不超过2017D. 可超过2017三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分） 17. 如图，在Rt AOB ∆中，6OAB π∠=，斜边4AB =，D 是AB 中点，现将Rt AOB ∆以直角边AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点C 为圆锥底面圆周上一点，且90BOC ∠=︒， （1）求圆锥的侧面积；（2）求直线CD 与平面BOC 所成的角的大小； （用反三角函数表示）18. 已知(23,1)m =，2(cos ,sin )2An A =，A 、B 、C 是ABC ∆的内角； （1）当2A π=时，求||n 的值；（2）若23C π=，||3AB =，当m n ⋅取最大值时，求A 的大小及边BC 的长；19. 如图所示，沿河有A 、B 两城镇，它们相距20千米，以前，两城镇的污水直接排入河 里，现为保护环境，污水需经处理才能排放，两城镇可以单独建污水处理厂，或者联合建污 水处理厂（在两城镇之间或其中一城镇建厂，用管道将污水从各城镇向污水处理厂输送）， 依据经验公式，建厂的费用为0.7()25f m m=⋅（万元），m 表示污水流量，铺设管道的费用（包括管道费）() 3.2g x x =（万元），x 表示输送污水管道的长度（千米）；已知城镇A 和城镇B 的污水流量分别为13m =、25m =，A 、B 两城镇连接污水处理 厂的管道总长为20千米；假定：经管道运输的污水流量不发生改变，污水经处理后直接排 入河中；请解答下列问题（结果精确到0.1）（1）若在城镇A 和城镇B 单独建厂，共需多少总费用？ （2）考虑联合建厂可能节约总投资，设城镇A 到拟建厂 的距离为x 千米，求联合建厂的总费用y 与x 的函数关系 式，并求y 的取值范围；20. 如图，椭圆2214y x +=的左、右顶点分别为A 、B ，双曲线Γ以A 、B 为顶点，焦距 为25，点P 是Γ上在第一象限内的动点，直线AP 与椭圆相交于另一点Q ，线段AQ 的中点为M ，记直线AP 的斜率为k ，O 为坐标原点； （1）求双曲线Γ的方程；（2）求点M 的纵坐标M y 的取值范围； （3）是否存在定直线l ，使得直线BP 与直线OM 关于直线l 对称？若存在，求直线l 方程，若不存在，请说明理由；21. 在平面直角坐标系上，有一点列01231,,,,,,n n P P P P P P -⋅⋅⋅，设点k P 的坐标(,)k k x y （k N ∈，k n ≤），其中k x 、k y Z ∈，记1k k k x x x -∆=-，1k k k y y y -∆=-，且满足 ||||2k k x y ∆⋅∆=（*k N ∈，k n ≤）； （1）已知点0(0,1)P ，点1P 满足110y x ∆>∆>，求1P 的坐标；（2）已知点0(0,1)P ，1k x ∆=（*k N ∈，k n ≤），且{}k y （k N ∈，k n ≤）是递增数列， 点n P 在直线:38l y x =-上，求n ；（3）若点0P 的坐标为(0,0)，2016100y =，求0122016x x x x +++⋅⋅⋅+的最大值；上海市松江区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则MN =2. 已知a 、b R ∈，i 是虚数单位，若2a i bi +=-，则2()a bi +=3. 已知函数()1x f x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -=4. 不等式|1|0x x ->的解集为5. 已知(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，则函数()f x a b =⋅的最小正周期为6. 里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道，在由2名中国运动员和6 名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 7. 按下图所示的程序框图运算：若输入17x =，则输出的x 值是8. 设230123(1)n n n x a a x a x a x a x +=++++⋅⋅⋅+，若2313a a =，则n = 9. 已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么 这个圆锥的侧面积是 2cm10. 设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，1(4,0)F -，2(4,0)F ，则12||||PF PF +的最大值为11. 已知函数243,13()28,3xx x x f x x ⎧-+-≤≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈12. 已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若1||2n n n a a +-=*()n N ∈，且21{}n a -是递增数 列，2{}n a 是递减数列，则212lim n n na a -→∞=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 已知a 、b R ∈，则“0ab >”是“2b aa b+>”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件14. 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值为（ ） A.13 B. 12 C. 33 D. 2215. 若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭满足：11a 、12a 、21a 、22{0,1}a ∈，且111221220a a a a =，则这样的互不相等的矩阵共有（ ）A. 2个B. 6个C. 8个D. 10个 16. 解不等式11()022xx -+>时，可构造函数1()()2x f x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数 及()(1)f x f >，可得1x <，用类似的方法可求得不等式263arcsin arcsin 0x x x x +++> 的解集为（ ）A. (0,1]B. (1,1)-C. (1,1]-D. (1,0)-三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点； （1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值；18. 已知函数21()21x xa f x ⋅-=+（a 为实数）； （1）根据a 的不同取值，讨论函数()y f x =的奇偶性，并说明理由；（2）若对任意的1x ≥，都有1()3f x ≤≤，求a 的取值范围；19. 松江天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”， 兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高，如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、 点P 在地面上的射影为点H ，在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=， 过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平 面上），此时测得27OAB ︒∠=，A 与B 之间距离为33.6米，试求：（1）塔高；（即线段PH 的长，精确到0.1米） （2）塔的倾斜度；（即OPH ∠的大小，精确到0.1︒）20. 已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线l 交双曲线于A 、B 两点；（1）求双曲线C 的方程；（2）若l 过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均 存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若l 过双曲线的右焦点1F ，是否存在x 轴上的点(,0)M m ，使得直线l 绕点1F 无论怎 样转动，都有0MA MB ⋅=成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由；21. 如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差都大于2，则称为“H 型数列”；（1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的范围； （2）是否存在首项为1的等差数列{}n a 为“H 型数列”，其前n 项和n S 满足2n S n n <+*()n N ∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由；（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”； 若23n n b a =，n c =5(1)2n n a n -+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时， 试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由；参考答案一. 填空题1. {1}2. 34i -3. 24. (0,1)(1,)+∞5. π6.147. 143 8. 11 9. 17π 10. 10 11. 3(0,)312. 12-二. 选择题13. B 14. C 15. D 16. A三. 解答题 17.（1）略；（2）33； 18.（1）1a =-，偶函数；1a =，奇函数；a R ∈且1a ≠±，非奇非偶函数； （2）[2,3]；19.（1）18.9米；（2）6.9°；20.（1）2213y x -=；（2）3；（3）(1,0)-； 21.（1）1(,0)(,)2-∞+∞；（2）不存在；（3）132n n a -=⋅时，{}n c 不是“H 型数列”；14n n a -=时，{}n c 是“H 型数列”；上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8. 函数()(3sin cos )(3cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02xx m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD 上的两个动点，且2MN =，则AM AN ⋅的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=-D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ） A. 关于y 轴对称 B. 关于原点对称 C. 关于直线0x y +=对称 D. 关于直线0x y -=对称 15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则213a a a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a --> 16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A BC D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点； （1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角 形的四面体成为鳖臑，试问四面体1DCDE 是 否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ； （1）若3B π=，7b =，△ABC 的面积332S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；。
2017年高考数学上海卷含答案
ADA 1D 1C 1CB 1By z x2017年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（满分150分，时间120分钟）一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分.1. 已知集合{1A =，2，3，}4，{3B =，4，}5，则AB = .2. 若排列数6654m P =⨯⨯，则m = .3. 不等式11x x->的解集为 . 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积为 . 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = . 6. 设双曲线2221(0)9x y b b-=>的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF = .7. 如图所示，以长方体1111ABCD A BC D -的顶点D 为坐标原点，过 D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4，3，2)，则1AC 的坐标为 .8. 定义在(0，)+∞的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若函数310()()x x g x f x x ⎧-≤=⎨>⎩为奇函数，则方程1()2fx -=的解为 .9. 给出四个函数：①y x =-；②1y x=-；③3y x =；④12y x =，从其中任选2个，则事件A ：“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率是 .10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2()n a n n N *=∈，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于任意n N *∈，数列{}n b 中的第n a 项等于{}n a 中的第n b 项，则P 4P 2 P 3P 1148161234()()lg b b b b lg b b b b = .11. 已知1α，2R α∈，且满足等式12112222sin sin αα+=++，则12|10|παα--的最小值为 .12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“#”的点在正方形的顶点处，设集合{1P Ω=，2P ，3P ，}4P ，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“#”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧和另一侧的“#”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直线P l 中有且仅有一条满足1()P D l 2()P D l =，则Ω中所有这样的P 为 .二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确. 考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分.13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D =（ ）A. 0543B. 1024C. 1523D. 605414. 在数列{}n a 中，12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，n N *∈，则n n lim a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n N *∈，则“存在k N *∈，使得100k x +，200k x +，300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=，P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，设ω为OP OQ ⋅的最大值，记集合{(P Ω=，)|Q P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ ⋅}ω=，则Ω中元素的个数为（ ） A. 2个B. 4个C. 8个D. 无数个三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5. ①求直三棱柱111ABC A B C -的体积；②若M 为棱BC 上的中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.A 1AB 1C 1BC18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数221()2f x cos x sin x =-+，(0x ∈，)π. ①求函数()f x 的单调递增区间；②在锐角三角形ABC 中，角A 所对的边19a =，角B 所对的边5b =，若()0f A =，求ABC 的面积.19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.根据预测，某地第()n n N *∈个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中 451513470104n n n a nn ⎧+≤≤=⎨-≥⎩，5n b n =+，第n 个月的共享单车的保有量是前第n 个月的的累 计投放量与累计损失量的差.①求该地区第4个月底的共享单车的保有量；②已知该地区共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量（单位：辆）2(46)8800n S n =--+， 设在某月底，共享单车保有量达到最大，则该保有量是否超过了此时停放点的单车容纳量.题满分6分.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 是Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 轴正半轴上的动点.①若P 在第一象限，且||2OP =，求点P 的坐标；②设点85P ⎛ ⎝，35⎫⎪⎭，且A 、P 、M 为顶点的三角形为为直角三角形，求M 的横坐标； ③若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =，求直线AQ 的方程.题满分6分.设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x ，2x R ∈，当12x x <时，均有12()()f x f x ≤.①若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围； ②若()f x 为周期函数，求证：()f x 为常值函数；③设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上且恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值，函数 ()()()h x g x f x =⋅，求证：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 为常值函数”.一. 填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，16题每题4分，712题每题5分. 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分或5分，否则一律得零分. 1. {3B =，}42. 33. (-∞，0)4. 9π5. 36.117. (4-，3，2) 8. 2x =9. 13 10. 211. 4π 12.1P ，2P ，4P二. 选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确. 考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分. 13. C.14. B.15. A.16. D.三. 解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.①11120ABC A B C V -=②5arctan18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.①,2ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭②1534ABCS= 19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.①935②21411022514311919815422n n Q n n n n =⎧⎪=⎪⎪=⎨=⎪⎪-+-≥⎪⎩，所以当42n =时，Q 取得最大值，为8782，此时2424(4246)880087368782S =--+=<，所以当Q 取最大值时，停放点不能容纳20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.①236,33P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭②2920，35，1 ③5110y x =+ 21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分，第3小题满分6分.①0a≥②③略。
【精品】2017年上海市高考数学试卷及参考答案
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B=．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=．3．（4分）不等式＞1的解集为．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则= ．11．（5分）设a 1、a 2∈R ，且，则|10π﹣a 1﹣a 2|的最小值等于 ．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P 1，P 2，P 3，P 4}，点P ∈Ω，过P 作直线l P ，使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧．用D 1（l P ）和D 2（l P ）分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和．若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1（l P ）=D 2（l P ），则Ω中所有这样的P 为 ．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=016．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：=1和C 2：x 2+=1．P为C 1上的动点，Q 为C 2上的动点，w 是的最大值．记Ω={（P ，Q ）|P 在C 1上，Q 在C 2上，且=w }，则Ω中元素个数为（ ）A ．2个B ．4个C ．8个D ．无穷个三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）1．（4分）已知集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，则A∩B={3，4} ．【解答】解：∵集合A={1，2，3，4}，集合B={3，4，5}，∴A∩B={3，4}．故答案为：{3，4}．2．（4分）若排列数=6×5×4，则m=3．【解答】解：∵排列数=6×5×4，∴由排列数公式得，∴m=3．故答案为：m=3．3．（4分）不等式＞1的解集为（﹣∞，0）．【解答】解：由＞1得：，故不等式的解集为：（﹣∞，0），故答案为：（﹣∞，0）．4．（4分）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于9π．【解答】解：球的体积为36π，设球的半径为R，可得πR3=36π，可得R=3，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为πR2=9π．故答案为：9π．5．（4分）已知复数z满足z+=0，则|z|=．【解答】解：由z+=0，得z2=﹣3，设z=a+bi（a，b∈R），由z2=﹣3，得（a+bi）2=a2﹣b2+2abi=﹣3，即，解得：．∴．则|z|=．故答案为：．6．（4分）设双曲线﹣=1（b＞0）的焦点为F1、F2，P为该双曲线上的一点，若|PF1|=5，则|PF2|=11．【解答】解：根据题意，双曲线的方程为：﹣=1，其中a==3，则有||PF1|﹣|PF2||=6，又由|PF1|=5，解可得|PF2|=11或﹣1（舍）故|PF2|=11，故答案为：11．7．（5分）如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为（4，3，2），则的坐标是（﹣4，3，2）．【解答】解：如图，以长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点D为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵的坐标为（4，3，2），∴A（4，0，0），C1（0，3，2），∴．故答案为：（﹣4，3，2）．8．（5分）定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），若g（x）=为奇函数，则f﹣1（x）=2的解为．【解答】解：若g（x）=为奇函数，可得当x＞0时，﹣x＜0，即有g（﹣x）=3﹣x﹣1，由g（x）为奇函数，可得g（﹣x）=﹣g（x），则g（x）=f（x）=1﹣3﹣x，x＞0，由定义在（0，+∞）上的函数y=f（x）的反函数为y=f﹣1（x），且f﹣1（x）=2，可由f（2）=1﹣3﹣2=，可得f﹣1（x）=2的解为x=．故答案为：．9．（5分）已知四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从中任选2个，则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为．【解答】解：给出四个函数：①y=﹣x，②y=﹣，③y=x3，④y=x，从四个函数中任选2个，基本事件总数n=，③④有两个公共点（0，0），（1，1）．事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③，①④共2个，∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P（A）==．故答案为：．10．（5分）已知数列{a n}和{b n}，其中a n=n2，n∈N*，{b n}的项是互不相等的正整数，若对于任意n∈N*，{b n}的第a n项等于{a n}的第b n项，则=2．【解答】解：∵a n=n2，n∈N*，若对于一切n∈N*，{b n}中的第a n项恒等于{a n}中的第b n项，∴==．∴b1=a1=1，=b4，=b9，=b16．∴b1b4b9b16=．∴=2．故答案为：2．11．（5分）设a1、a2∈R，且，则|10π﹣a1﹣a2|的最小值等于．【解答】解：根据三角函数的性质，可知sinα1，sin2α2的范围在[﹣1，1]，要使+=2，∴sinα1=﹣1，sin2α2=﹣1．则：，k1∈Z．，即，k2∈Z．那么：α1+α2=（2k1+k2）π，k1、k2∈Z．∴|10π﹣α1﹣α2|=|10π﹣（2k1+k2）π|的最小值为．故答案为：．12．（5分）如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点P1、P2、P3、P4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={P1，P2，P3，P4}，点P∈Ω，过P作直线l P，使得不在l P上的“▲”的点分布在l P的两侧．用D1（l P）和D2（l P）分别表示l P一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和．若过P的直线l P中有且只有一条满足D1（l P）=D2（l P），则Ω中所有这样的P为P1、P3、P4．【解答】解：设记为“▲”的四个点是A，B，C，D，线段AB，BC，CD，DA的中点分别为E，F，G，H，易知EFGH为平行四边形，如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2，则符合条件的直线l P一定经过点P2，且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条，过点P3和P2的直线有且仅有1条，过点P4和P2的直线有且仅有1条，所以符合条件的点是P1、P3、P4．故答案为：P1、P3、P4．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13．（5分）关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式D 为（ ）A ．B ．C ．D ．【解答】解：关于x 、y 的二元一次方程组的系数行列式：D=．故选：C ．14．（5分）在数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n （ ）A ．等于B ．等于0C ．等于D ．不存在【解答】解：数列{a n }中，a n =（﹣）n ，n ∈N *，则a n ==0．故选：B ．15．（5分）已知a 、b 、c 为实常数，数列{x n }的通项x n =an 2+bn +c ，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列”的一个必要条件是（ ） A ．a ≥0B ．b ≤0C ．c=0D ．a ﹣2b +c=0【解答】解：存在k ∈N *，使得x 100+k 、x 200+k 、x 300+k 成等差数列，可得：2[a （200+k ）2+b （200+k ）+c ]=a （100+k ）2+b （100+k ）+c +a （300+k ）2+b （300+k ）+c ，化为：a=0．∴使得x 100+k ，x 200+k ，x 300+k 成等差数列的必要条件是a ≥0． 故选：A ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P 为C1上的动点，Q为C2上的动点，w是的最大值．记Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}，则Ω中元素个数为（）A．2个 B．4个 C．8个 D．无穷个【解答】解：椭圆C1：=1和C2：x2+=1．P为C1上的动点，Q为C2上的动点，可设P（6cosα，2sinα），Q（cosβ，3sinβ），0≤α\β＜2π，则=6cosαcosβ+6sinαsinβ=6cos（α﹣β），当α﹣β=2kπ，k∈Z时，w取得最大值6，则Ω={（P，Q）|P在C1上，Q在C2上，且=w}中的元素有无穷多对．另解：令P（m，n），Q（u，v），则m2+9n2=36，9u2+v2=9，由柯西不等式（m2+9n2）（9u2+v2）=324≥（3mu+3nv）2，当且仅当mv=nu，即O、P、Q共线时，取得最大值6，显然，满足条件的P、Q有无穷多对，D项正确．故选：D．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17．（14分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．（1）求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）设M是BC中点，求直线A1M与平面ABC所成角的大小．【解答】解：（1）∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA1的长为5．∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积：V=S△ABC×AA1===20．（2）连结AM，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面为直角三角形，两直角边AB和AC的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5，M是BC中点，∴AA1⊥底面ABC，AM==，∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角，tan∠A1MA===，∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan．18．（14分）已知函数f（x）=cos2x﹣sin2x+，x∈（0，π）．（1）求f（x）的单调递增区间；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，求△ABC的面积．【解答】解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+=cos2x+，x∈（0，π），由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，k=1时，π≤x≤π，可得f（x）的增区间为[，π）；（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若f（A）=0，即有cos2A+=0，解得2A=π，即A=π，由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，化为c2﹣5c+6=0，解得c=2或3，若c=2，则cosB=＜0，即有B为钝角，c=2不成立，则c=3，△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．19．（14分）根据预测，某地第n（n∈N*）个月共享单车的投放量和损失量分别为a n和b n（单位：辆），其中a n=，b n=n+5，第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差．（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量S n=﹣4（n﹣46）2+8800（单位：辆）．设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【解答】解：（1）∵a n=，b n=n+5∴a1=5×14+15=20a2=5×24+15=95a3=5×34+15=420a4=﹣10×4+470=430b1=1+5=6b2=2+5=7b3=3+5=8b4=4+5=9∴前4个月共投放单车为a1+a2+a3+a4=20+95+420+430=965，前4个月共损失单车为b1+b2+b3+b4=6+7+8+9=30，∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965﹣30=935．（2）令a n≥b n，显然n≤3时恒成立，当n≥4时，有﹣10n+470≥n+5，解得n≤，∴第42个月底，保有量达到最大．当n≥4，{a n}为公差为﹣10等差数列，而{b n}为等差为1的等差数列，∴到第42个月底，单车保有量为×39+535﹣×42=×39+535﹣×42=8782．S42=﹣4×16+8800=8736．∵8782＞8736，∴第42个月底单车保有量超过了容纳量．20．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，M为x正半轴上的动点．（1）若P在第一象限，且|OP|=，求P的坐标；（2）设P（），若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形，求M的横坐标；（3）若|MA|=|MP|，直线AQ与Γ交于另一点C，且，，求直线AQ的方程．【解答】解：（1）设P（x，y）（x＞0，y＞0），∵椭圆Γ：=1，A为Γ的上顶点，P为Γ上异于上、下顶点的动点，P在第一象限，且|OP|=，∴联立，解得P（，）．（2）设M（x0，0），A（0，1），P（），若∠P=90°，则•，即（x0﹣，﹣）•（﹣，）=0，∴（﹣）x0+﹣=0，解得x0=．如图，若∠M=90°，则•=0，即（﹣x0，1）•（﹣x0，）=0，∴=0，解得x0=1或x0=，若∠A=90°，则M点在x轴负半轴，不合题意．∴点M的横坐标为，或1，或．（3）设C（2cosα，sinα），∵，A（0，1），∴Q（4cosα，2sinα﹣1），又设P（2cosβ，sinβ），M（x0，0），∵|MA|=|MP|，∴x02+1=（2cosβ﹣x0）2+（sinβ）2，整理得：x0=cosβ，∵=（4cosα﹣2cosβ，2sinα﹣sinβ﹣1），=（﹣cosβ，﹣sinβ），，∴4cosα﹣2cosβ=﹣5cosβ，且2sinα﹣sinβ﹣1=﹣4sinβ，∴cosβ=﹣cosα，且sinα=（1﹣2sinα），以上两式平方相加，整理得3（sinα）2+sinα﹣2=0，∴sinα=，或sinα=﹣1（舍去），此时，直线AC的斜率k AC=﹣=（负值已舍去），如图．∴直线AQ为y=x+1．21．（18分）设定义在R上的函数f（x）满足：对于任意的x1、x2∈R，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2）．（1）若f（x）=ax3+1，求a的取值范围；（2）若f（x）是周期函数，证明：f（x）是常值函数；（3）设f（x）恒大于零，g（x）是定义在R上的、恒大于零的周期函数，M是g（x）的最大值．函数h（x）=f（x）g（x）．证明：“h（x）是周期函数”的充要条件是“f（x）是常值函数”．【解答】（1）解：由f（x1）≤f（x2），得f（x1）﹣f（x2）=a（x13﹣x23）≤0，∵x1＜x2，∴x13﹣x23＜0，得a≥0．故a的范围是[0，+∞）；（2）证明：若f（x）是周期函数，记其周期为T k，任取x0∈R，则有f（x0）=f（x0+T k），由题意，对任意x∈[x0，x0+T k]，f（x0）≤f（x）≤f（x0+T k），∴f（x0）=f（x）=f（x0+T k）．又∵f（x0）=f（x0+nT k），n∈Z，并且…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数；（3）证明：充分性：若f（x）是常值函数，记f（x）=c1，设g（x）的一个周期为T g，则h（x）=c1•g（x），则对任意x0∈R，h（x0+T g）=c1•g（x0+T g）=c1•g（x0）=h（x0），故h（x）是周期函数；必要性：若h（x）是周期函数，记其一个周期为T h．若存在x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＜0，则由题意可知，x1＞x2，那么必然存在正整数N1，使得x2+N1T k＞x1，∴f（x2+N1T k）＞f（x1）＞0，且h（x2+N1T k）=h（x2）．又h（x2）=g（x2）f（x2）＜0，而h（x2+N1T k）=g（x2+N1T k）f（x2+N1T k）＞0≠h（x2），矛盾．综上，f（x）＞0恒成立．由f（x）＞0恒成立，任取x0∈A，则必存在N2∈N，使得x0﹣N2T h≤x0﹣T g，即[x0﹣T g，x0]⊆[x0﹣N2T h，x0]，∵…∪[x0﹣3T k，x0﹣2T k]∪[x0﹣2T k，x0﹣T k]∪[x0﹣T k，x0]∪[x0，x0+T k]∪[x0+T k，x0+2T k]∪…=R，∴…∪[x0﹣2N2T h，x0﹣N2T h]∪[x0﹣N2T h，x0]∪[x0，x0+N2T h]∪[x0+N2T h，x0+2N2T h]∪…=R．h（x0）=g（x0）•f（x0）=h（x0﹣N2T h）=g（x0﹣N2T h）•f（x0﹣N2T h），∵g（x0）=M≥g（x0﹣N2T h）＞0，f（x0）≥f（x0﹣N2T h）＞0．因此若h（x0）=h（x0﹣N2T h），必有g（x0）=M=g（x0﹣N2T h），且f（x0）=f（x0﹣N2T h）=c．而由（2）证明可知，对任意x∈R，f（x）=f（x0）=C，为常数．综上，必要性得证．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】几何最值模型：图形特征：BAPl运用举例：1. △ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为AP的中点，则MF的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。
2017年上海市浦东区高考数学一模试卷(含答案)
上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016。
12一. 填空题（本大题共12题,1—6每题4分,7-12每题5分，共54分）1。
已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2。
三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3。
8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4。
已知一个球的表面积为16π,则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球,其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球,则所抽的球都是红色球的概率是6。
已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8.函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9。
过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10。
若关于x 的不等式1|2|02x x m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中,2AB =,M 、N 分别是边BC 、CD 上的两个动点,且MN =AM AN ⋅的取值范围是12。
已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且(())3f f n n =恒成立,则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题,每题5分，共20分）13。
将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A 。
cos(2)3y x π=+ B 。
cos(2)6y x π=+C. cos(2)3y x π=- D 。
cos(2)6y x π=- 14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=,则()y f x =-与1()y f x -=-图像( )A 。
2017年上海市高考数学模拟试卷 Word版含解析
2017年上海市高考数学模拟试卷一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=．4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=．+112．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣121015年（1﹣121016年（1﹣11月）月）月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．2017年上海市高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分54分，1-6每小题4分，7-12每小题4分）1．计算：=﹣2．【考点】二阶矩阵．【分析】利用二阶行列式对角线法则直接求解．【解答】解：=4×1﹣3×2=﹣2．故答案为：﹣2．2．设函数f（x）=的反函数是f﹣1（x），则f﹣1（4）=16．【考点】反函数．【分析】先求出x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，由此能求出f﹣1（4）．【解答】解：∵函数f（x）=y=的反函数是f﹣1（x），∴x=y2，y≥0，互换x，y，得f﹣1（x）=x2，x≥0，∴f﹣1（4）=42=16．故答案为：16．3．已知复数（i为虚数单位），则|z|=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数模的计算公式即可得出．【解答】解：复数（i为虚数单位），则|z|==2．故答案为：2、4．函数，若存在锐角θ满足f（θ）=2，则θ=．【考点】三角函数的化简求值．【分析】运用两角和的正弦公式和特殊角的正弦函数值，计算即可得到所求值．【解答】解：函数=2（sinx+cosx）=2sin（x+），由若存在锐角θ满足f（θ）=2，即有2sin（θ+）=2，解得θ=﹣=．故答案为：．5．已知球的半径为R，若球面上两点A，B的球面距离为，则这两点A，B 间的距离为R．【考点】球面距离及相关计算．【分析】两点A、B间的球面距离为，可得∠AOB=，即可求出两点A，B 间的距离．【解答】解：两点A、B间的球面距离为，∴∠AOB=．∴两点A，B间的距离为R，故答案为：R．6．若（2+x）n的二项展开式中，所有二项式的系数和为256，则正整数n=8．【考点】二项式系数的性质．【分析】由题意可得：2n=256，解得n．【解答】解：由题意可得：2n=256，解得n=8．故答案为：8．7．设k为常数，且，则用k表示sin2α的式子为sin2α=2k2﹣1．【考点】二倍角的正弦．【分析】利用两角差的余弦函数公式化简已知等式，进而两边平方利用二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式即可求解．【解答】解：∵，∴（cosα+sinα）=k，可得：cosα+sinα=k，∴两边平方可得：cos2α+sin2α+2cosαsinα=2k2，可得：1+sin2α=2k2，∴sin2α=2k2﹣1．故答案为：sin2α=2k2﹣1．8．设椭圆的两个焦点为F1，F2，M是椭圆上任一动点，则的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知：焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），可得y2=1﹣，=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，则x2∈[0，4]，的取值范围为[﹣2，1]．【解答】解：如下图所示，在直角坐标系中作出椭圆：由椭圆，a=2，b=1，c=，则焦点坐标为F1（﹣，0），F2（，0），设点M坐标为M（x，y），由，可得y2=1﹣；=（﹣﹣x，﹣y），﹣=（﹣x，﹣y）；=（﹣﹣x，﹣y）•（﹣x，﹣y）=x2﹣3+1﹣=﹣2，由题意可知：x∈[﹣2，2]，则x2∈[0，4]，∴的取值范围为[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，sinC=2 sinB，则A角大小为．【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用．【分析】先利用正弦定理化简sinC=2sinB，得到c与b的关系式，代入中得到a2与b2的关系式，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的关系式分别代入即可求出cosA的值，根据A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的值．【解答】解：由sinC=2sinB得：c=2b，所以=•2b2，即a2=7b2，则cosA===，又A∈（0，π），所以A=．故答案为：10．设f（x）=lgx，若f（1﹣a）﹣f（a）＞0，则实数a的取值范围为．【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，利用f（﹣a）﹣f（a）＞0，可得﹣a＞a＞0，即可求出实数a的取值范围．【解答】解：由题意，f（x）=lgx在（0，+∞）上单调递增，∵f（1﹣a）﹣f（a）＞0，∴1﹣a＞a＞0，∴a∈，故答案为11．已知数列{a n}满足：a1=1，a n+a n=（）n，n∈N*，则=﹣．+1【考点】极限及其运算．【分析】由已知推导出S2n=（1﹣），S2n﹣1=1+，从而a2n=S2n =﹣[1+（1﹣）]，由此能求出．﹣S2n﹣1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，，n∈N*，∴（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n﹣1+a2n）===（1﹣）=（1﹣），∴S2n=（1﹣），a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a2n+a2n﹣1）﹣2=1+=1+=1+，=1+，∴S2n﹣1∴a2n=S2n﹣S2n﹣1=﹣[1+（1﹣）]，∴=﹣[1+（1﹣）]==﹣．故答案为：．12．已知△ABC的面积为360，点P是三角形所在平面内一点，且，则△PAB的面积为90．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，利用相似比，可得结论．【解答】解：取AB的中点D，AC的中点E，则P为DE的中点，∵△ABC的面积为360，∴△PAB的面积=△ADE的面积==90．故答案为90．二、选择题（本大题满分20分）13．已知集合A={x|x＞﹣1}，则下列选项正确的是（）A．0⊆A B．{0}⊆A C．∅∈A D．{0}∈A【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可得结论．【解答】解：根据元素与集合的关系，用∈，集合与集合的关系，用⊆，可知B 正确．故选B．14．设x，y∈R，则“|x|+|y|＞1”的一个充分条件是（）A．|x|≥1 B．|x+y|≥1 C．y≤﹣2 D．且【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：A．当x=1，y=0时，满足|x|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．B．当x=1，y=0时，满足|x+y|≥1时，但|x|+|y|=1＞1不成立，不满足条件．C．当y≤﹣2时，|y|≥2，则|x|+|y|＞1成立，即充分性成立，满足条件．D．当且，则|x|+|y|≥1，等取等号时，不等式不成立，即充分性不成立，不满足条件．故选：C．15．图中曲线的方程可以是（）A．（x+y﹣1）•（x2+y2﹣1）=0 B．C．D．【考点】曲线与方程．【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），即可得出结论．【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2=1或x+y﹣1=0（x2+y2≥1），故选C．16．已知非空集合M满足：对任意x∈M，总有x2∉M且，若M⊆{0，1，2，3，4，5}，则满足条件M的个数是（）A．11 B．12 C．15 D．16【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，且2，4不同时出现，同时出现有4个，即可得出结论．【解答】解：由题意M是集合{2，3，4，5}的非空子集，有15个，且2，4不同时出现，同时出现有4个，故满足题意的M有11个，故选：A．三、解答题（本大题满分76分）17．已知A是圆锥的顶点，BD是圆锥底面的直径，C是底面圆周上一点，BD=2，BC=1，AC与底面所成角的大小为，过点A作截面ABC，ACD，截去部分后的几何体如图所示．（1）求原来圆锥的侧面积；（2）求该几何体的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积． 【分析】（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ，则OA ⊥平面BCD ．由经能求出S 圆锥侧．（2）该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ，由此能求出结果． 【解答】解：（1）设BD 的中点为O ，连结OA ，OC ， ∵A 是圆锥的顶点，BD 是圆锥底面的直径， ∴OA ⊥平面BCD ．∵BD=2，BC=1，AC 与底面所成角的大小为，过点A 作截面ABC ，ACD ，∴在Rt △AOC 中，OC=1，，AC=2，AO=，∴S 圆锥侧=πrl==2π．（2）该几何体为三棱锥与半个圆锥的组合体， ∵AO=，∠BCD=90°，∴CD=，该几何体的体积V=（S △BCD +S 半圆）•AO ==．18．已知双曲线Γ：（a＞0，b＞0），直线l：x+y﹣2=0，F1，F2为双曲线Γ的两个焦点，l与双曲线Γ的一条渐近线平行且过其中一个焦点．（1）求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【考点】双曲线的简单性质．【分析】（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），即可求双曲线Γ的方程；（2）设Γ与l的交点为P，求出P的坐标，利用夹角公式，即可求∠F1PF2的角平分线所在直线的方程．【解答】解：（1）依题意，双曲线的渐近线方程为y=±x，焦点坐标为F1（﹣2，0），F2（2，0），∴双曲线方程为x2﹣y2=2；（2），显然∠F1PF2的角平分线所在直线斜率k存在，且k＞0，，，于是．∴为所求．19．某租车公司给出的财务报表如下：1014年（1﹣12月）1015年（1﹣12月）1016年（1﹣11月）接单量（单）144632724012512550331996油费（元）214301962591305364653214963平均每单油费t（元）14.8214.49平均每单里程k（公里）1515每公里油耗a（元）0.70.70.7有投资者在研究上述报表时，发现租车公司有空驶情况，并给出空驶率的计算公式为．（1）分别计算2014，2015年该公司的空驶率的值（精确到0.01%）；（2）2016年该公司加强了流程管理，利用租车软件，降低了空驶率并提高了平均每单里程，核算截止到11月30日，空驶率在2015年的基础上降低了20个百分点，问2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程分别为多少？（分别精确到0.01元和0.01公里）【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（1）根据空驶率的计算公式为，带入计算即可；（2）根据T2016的值，求出k的值，从而求出2016年前11个月的平均每单油费和平均每单里程．【解答】解：（1），，∴2014、2015年，该公司空驶率分别为41.14%和38.00%．（2），T2016=38%﹣20%=18%．由，∴2016年前11个月的平均每单油费为12.98元，平均每单里程为15.71km．20．已知数列{a n}，{b n}与函数f（x），{a n}是首项a1=15，公差d≠0的等差数列，{b n}满足：b n=f（a n）．（1）若a4，a7，a8成等比数列，求d的值；（2）若d=2，f（x）=|x﹣21|，求{b n}的前n项和S n；（3）若d=﹣1，f（x）=e x，T n=b1•b2•b3…b n，问n为何值时，T n的值最大？【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（1）由a4，a7，a8成等比数列，可得=a4•a8，可得（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化简解出即可得出．．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，对n分类讨论，利用等差数列的求和公式即可得出．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，利用指数运算性质、等差数列的求和公式及其二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）∵a4，a7，a8成等比数列，∴=a4•a8，∴（15+6d）2=（15+3d）（15+7d），化为：d2+2d=0，∵d≠0，∴d=﹣2．（2）依题意，a n=15+2（n﹣1）=2n+13，b n=|2n﹣8|，∴，∴．（3）依题意，a n=15﹣（n﹣1）=16﹣n，，，∴当n=15或16时，T n最大．21．对于函数f（x），若存在实数m，使得f（x+m）﹣f（m）为R上的奇函数，则称f（x）是位差值为m的“位差奇函数”．（1）判断函数f（x）=2x+1和g（x）=2x是否为位差奇函数？说明理由；（2）若f（x）=sin（x+φ）是位差值为的位差奇函数，求φ的值；（3）若f（x）=x3+bx2+cx对任意属于区间中的m都不是位差奇函数，求实数b，c满足的条件．【考点】抽象函数及其应用；函数奇偶性的性质．【分析】（1）根据“位差奇函数”的定义．考查h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m ﹣2m=2m（2x﹣1）即可，（2）依题意，是奇函数，求出φ；（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．假设h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需．【解答】解：（1）对于f（x）=2x+1，f（x+m）﹣f（m）=2（x+m）+1﹣（2m+1）=2x，∴对任意实数m，f（x+m）﹣f（m）是奇函数，即f（x）是位差值为任意实数m的“位差奇函数”；对于g（x）=2x，记h（x）=g（x+m）﹣g（m）=2x+m﹣2m=2m（2x﹣1），由h（x）+h（﹣x）=2m（2x﹣1）+2m（2﹣x﹣1）=0，当且仅当x=0等式成立，∴对任意实数m，g（x+m）﹣g（m）都不是奇函数，则g（x）不是“位差奇函数”；（2）依题意，是奇函数，∴（k∈Z）．（3）记h（x）=f（x+m）﹣f（m）=（x+m）3+b（x+m）2+c（x+m）﹣m3﹣bm2﹣cm=x3+（3m+b）x2+（3m2+2bm+c）x．依题意，h（x）对任意都不是奇函数，若h（x）是奇函数，则3m+b=0，此时．故要使h（x）不是奇函数，必须且只需，且c∈R．2017年2月1日。
2017年上海市浦东区高考数学一模试卷(含答案)(推荐文档)
上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷2016.12一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =2. 三阶行列式351236724---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =8.函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9. 过双曲线222:14x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为10. 若关于x 的不等式1|2|02x x m --<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是 边BC 、CD上的两个动点，且MN =AM AN ⋅u u u u r u u u r的取值范围是12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且 (())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ）A. 关于y 轴对称B. 关于原点对称C. 关于直线0x y +=对称D. 关于直线0x y -=对称15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）A. 若120a a +>，则230a a +>B. 若130a a +<，则120a a +<C. 若120a a <<，则2a >D. 若10a <，则2123()()0a a a a -->16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）A. A B >B. A B <C. A B =D. A 、B 的大小关系不确定三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体成为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由；18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；（1）若3B π=，b =ABC 的面积2S =，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r ，求角C ；19. 已知椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交 椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F的周长为4+；（1）求椭圆C 的方程；（2）若12||||F P F Q PQ +=u u u r u u u u r u u u r ，求直线PQ 的方程；20. 设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；（3）若11a =，n n c b n =+，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；21. 已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不 是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+- 1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件 是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；参考答案一. 填空题1. {|1}x x >2. 34-3. 74. 323π5. 256. ±7. 3 8. π 9. 8 10. 3(,2)2 11. [4,8- 12. 54二. 选择题13. A 14. D 15. C 16. A三. 解答题17.（1）3π；（2）是； 18.（1）5a c +=；（2）3π；19.（1）22184x y +=；（2）2)y x =-； 20.（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；21.（1）03M =；（2）略；（3）略；。
2017年上海市高考数学真题试卷
2017年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） (17上海)1.已知集合A ={1，2，3，4}，集合B ={3，4，5}，则A ∩B = . 【答案】A ∩B ={3，4}【解析】集合A 、B 中有相同元素3、4.(17上海)2.若排列数6mP =6×5×4，则m = . 【答案】3 【解析】m =3. (17上海)3.不等式1x x->1的解集为 . 【答案】（－∞，0） 【解析】1－1x >1⇒1x<0⇒x <0，解集为（－∞，0）. (17上海)4.已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 .【答案】9π【解析】34π3r =36π⇒r =3⇒S =9π. (17上海)5.已知复数z 满足z +3z=0，则|z |= .【解析】2z =－3⇒z =⇒|z .(17上海)6.设双曲线2229x y b-=1（b >0）的焦点1F 、2F .P 为该双曲线上的一点，若|P 1F |=5，则|2PF |= . 【答案】11【解析】2a =6⇒|2PF |=11.(17上海)7.如图，以长方体ABCD -1111A B C D 的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为（4，3，2），则1AC 的坐标为 .(ZH53)第7题图【答案】（－4，3，2）【解析】A (4,0,0)，1C (0,3,2) ,所以1AC =(－4，3，2).(17上海)8.定义在（0，+∞）上的函数y =f （x ）的反函数为1=()y f x -，若g （x ）=()31,0,>0xx f x x ⎧-⎪⎨⎪⎩…为奇函数，则1()f x -=2的解为 .【答案】x =－8【解析】f （x ）=－3x+1⇒ f （2）=－9+1=8，∴1()fx -=2的解为x =－8.(17上海)9.已知四个函数：①y =－x ；②y =1x-；③y =3x ；④y =12x .从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为” . 【答案】13【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C =. (17上海)10.已知数列{n a }和{n b }，其中n a =2n ，n ∈N *，{n b }的项是互不相等的正整数，若对于任意n ∈N *，{n b }的第n a 项等于{n a }的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b = .【答案】2【解析】n b =n b a 22n n b b ⇒=⇒2149161234()b b b b b b b b =⇒149161234lg()lg()b b b b b b b b =2.(17上海)11.设1α、2α∈R ,且1211+2+sin 2+sin 2αα（）=2，则|10π―1α―2α|的最小值等于 . 【答案】π4【解析】121111[1],[1],2+sin 3,2+sin 23,αα∈（）∴1211=2+sin 2+sin 2αα（）=1，即1sin α==2sin(2)α=－1，∴1=22k α-+ππ，2=α4k -+ππ，|10π―1α―2α|min =π4.(17上海)12.如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合Ω={1P ，2P ，3P ，4P }，点p ∈Ω,过P 作直线P l 上的”▲”的点分布在P l 的两侧.用1D （P l ）和2D （P l ）分别表示P l 一侧和另一侧的“▲”的点到P l 的距离之和.若过P 的直线P l 中有且只有一条满足1D （P l ）=2D （P l ），则Ω中所有这样的P 为 .（ZH54）第12题图【答案】1P 、3P .二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） (17上海)13.关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为 （ ）A. 05 43B. 10 24C. 15 23D. 60 54【答案】C【解析】由方程组系数行列式的概念可得.(17上海)14.在数列{}n a 中，n a =1()2n -，n ∈N *，则lim n n a →+∞（ ）A.等于－12B. 等于0C. 等于12D.不存在 【答案】B【解析】 当n 趋向于+∞时，12-的分母会趋向于无穷大，分式的值趋向于0. (17上海)15.已知a 、b 、c 为常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，n ∈N *，则“存在k ∈N *，使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ） A. 0a … B.0b … C. c =0 D.a －2b +c =0 【答案】A(17上海)16.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆1C :221364x y +=和2C :2219y x +=.P 为1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ 的最大值.记Ω={（P ,Q ）|P 在1C 上，Q 在2C 上，且OP OQ =w },则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D.无穷个【答案】D三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）(17上海)17.如图，直三棱柱ABC －111A B C 的底面为直角三角形，两边直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5. （1）求三棱柱ABC －111A B C 的体积;（2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.(YF48)第17题图【解】（1）三棱柱的体积公式为V =Sh ，将有关数据代入V =12⨯4⨯2⨯5=20.(2)如下图所示：M 为BC 的中点，连接AM 和A 1M ,∵ABC －111A B C 为直三棱柱，∴A 1A ⊥面ABC ,又∵AM ∈面ABC ,∴A 1A ⊥AM,∴△AMA 1为直角三角形，故θ为直线1A M 与平面ABC 所成的角，在Rt △ABC 中，∵BC =斜边上的中线为斜边的一半可得AM =12BC =，∴tan θ=1AA AM ==,∴θ（YF56）第17题图(17上海)18.已知函数f (x )=cos 2x －sin 2x +12,x ∈（0，π）. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a角B 所对边b =5,若f (A )=0,求△ABC 的面积.【解】（1）f (x )=cos2x +12,x ∈（0，π），单调增区间为[π2,π）, (2)cos2A=－12⇒A =π3，∴cosA=2251925c c +-⋅⋅=12⇒c =2或c =3,根据三角形，cos B >0,∴c =3,S=12bc sin A19.根据预测，某地第n （n ∈N *）个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆）其中n a =4515,1310470,4n n n n ⎧+⎨-+⎩剟…,n b =n +5,第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月的共享单车的保有量；（2）已知该地区共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量n S =－4(n －16)2+8800(单位：辆)设在某月底，共享单车保有量达到最大，问保有量是否超出了此时停放点的容纳量?【解析】（1）（1234a a a a +++）－（1234b b b b +++）=965－30=935（辆）（2）－10n +470>n +5⇒n …42,即第42个月底，保有量达到最大. （12342a a a a +++）－（12342b b b b +++）=[965+(42050)382+⨯]－(647)422+⨯=8782（辆）42S =－42(4246)-+8800=8736,∴此时保有量超过了容纳量.(17上海)20.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆Γ：2224x y +=，A 为Γ的顶点，P 为Γ上异于上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点. （1）若P 在第一象限，且|OP，求P 的坐标； （2）设P (85,35),若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若|MA |=|MP |,直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ A C =,4PQ PM =,求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立Γ：2214x y +=与与221x y +=，可得P(2)设M (m ,0),MA MP =(－m ,1)⋅(85m -,35)=28330555m m m -+=⇒=或m =1 , PA MP =(82,55-)⋅(85m -,35)=864652525m -+=0⇒m =2920 (3)设P (00,x y )，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即M （038x ，0），∵4PQ PM =,∴Q (003,32x y --)，∵2AQ AC =,∴C (00133,42y x --)，代入并联立椭圆方程，解得001,99x y ==-，∴Q (13),∴直线AQ 的直线方程为y =10x +1. (17上海)21.设定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意的1x 、2x ∈R ,当1x <2x ,都有f (1x )…f (2x ).（1）若f (x )=ax 3+1,求a 的取值范围；（2）若f (x )为周期函数，证明：f (x )是常值函数；（3）设f (x )恒大于零，g (x )是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是g (x )的最大值.函数h (x )=f (x )g (x ).证明：“h (x )是周期函数”的充要条件是“f (x )是常值函数”.【解析】（1）对()f x 求导，可得：'2()2f x ax =，∵对于任意的1x 、2x ∈R ,当1x <2x ,都有f (1x )…f (2x ).，∴()f x 为R 上的单调递增函数，即'2()2f x ax =>0,∴a 0(2)证明：设f (x )是周期为T 的函数，取任意3x 、4x 、3x T +∈R ，使得343x x x T <<+,，由题设可得，343()()()f x f x f x T +剟①,又∵f (x )为周期函数，∴33()()f x f x T =+②,由①②可得343()()()f x f x f x T ==+，即()f x 为常值函数.（3）证明：①充分性：设g (x )的周期为0T ,即0()()g x g x T =+,故000()()()h x T f x T g x T +=++=0()()f x T g x +,又∵()f x 为常值函数，∴0()()f x f x T =+,∴0()()()()h x T f x g x h x +==，即()h x 为周期函数.②必要性：。
2017年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试题 完整版
2017 年普通高等学校招生全国统一考试上海--数学试卷考生注意1. 本场考试时间120 分钟，试卷共 4 页，满分150 分，答题纸共 2 页.2. 作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位4. 用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题一、填空题（本大题共有12 题，满分54 分，第1-6 题每题 4 分，第7-12 题每题5 分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果 .1.已知集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ， 4， 5} ，则 A∩B=________1，答案：{3,4}【解析】∵集合 A={1 ，2，3，4} ，集合 B={3 ，4，5} ，∴A∩B={3,4} 【知识点难易度】本题考查集合的运算，交集，属于基础题2．若排列数则 m=___________【答案】 3【解析】∵排列数 A 6=6×5× ×(6-m+1) ，∴6-m+1=4，即 m=3. 【知识点难易度】本题考查排列的计算，属于基础题3．不等式的解集为___________【答案】【解析】【知识点难易度】本题考查分式不等式的解法，属于基础题4．已知球的体积为 36π，则该球主视图的面积等于________【答案】9 π【解析】设球的半径为R，则由球的体积为 36π，可得，解得 R=3.该球的主视图是半径为3 的圆，其面积为【知识点难易度】本题考查球的体积公式和三视图的概念5.已知复数 z 满足，则 |z|=________．【答案】【解析】由【知识点难易度】本题考查复数的四则运算和复数的模, 属于基础题6. 设双曲线（b＞0）的焦点为 F1，F2， P 为该双曲线上的一点，若，则=______【答案】11【解析】双曲线中，由双曲线的定义，可得 ||PF |-|PF ||=6，又|PF1|=5，解得 |PF2 |=11或﹣ 1（舍去），故 |PF2|=11.【知识点难易度】本题考查双曲线的定义和性质，7. 如图，以长方体的顶点 D 为坐标原点，过D的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若向量的坐标为（ 4，3，2），则向量的坐标是___________【答案】(-4,3,2)【解析】由的坐标为（ 4，3， 2），可得A （ 4， 0， 0），C(0,3,2)，D1 (0,0,2)，则 C1（ 0， 3， 2），∴=（﹣ 4，3，2）．【知识点难易度】本题考查空间向量，属于基础题8. 定义在（0，+ ∞）上的函数y=f （x）的反函数为, 若为奇函数，则的解为_____【答案】【解析】为奇函数，可得当x>0时，﹣ x＜ 0，即有，则由可得，即【知识点难易度】本题考查函数基本性质和互为反函数的两个函数之间的关系，属于中档题9.已知四个函数：①y=-x ，② y=，③ y=④ y=，从中任选2 个，则事件“所选 2 个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为_______【答案】【解析】从四个函数中任选2 个，基本事件总数 n==6，“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有①③，①④，共2 个，∴事件“所选2 个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为p=【知识点难易度】本题考查事件的概率，幂函数的图像画法和特征，属于基础题10.已知数列其中的项是互不相等的正整数，若对于任意 n∈N*，的第项等于则=_____【答案】 2【解析】【知识点难易度】本题考查数列概念的理解，对数的运算，属于中档题11.设α1，α2∈R , 且则 |10π-α1-α2|的最小值等于_________【答案】【解析】由可得 1≤2+sin α1≤3，则同理可得【知识点难易度】考查三角函数的性质和值域，12. 如图，用35 个单位正方形拼成一个矩形，点以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处，设集合 Ω={ P1，P2，P3，P4 }，点P ∈Ω，过 P 作直线 l P ，使得不在 l P 上的 “▲” 的点分布在 l P 的两侧．用 D 1（l P ） 和分别表示一侧和另一侧的“▲”的点到的距离之和． 若过 P的直线中有且只有一条满足，则 Ω 中所有这样的 P 为___________ 【答案】P 1, P 3 , P 4【解析】设记为 “▲”的四个点为 A ，B ，C ，D ，线段 AB ，BC ，CD ， DA 的中点分别为 E ， F ，G ，H ，易知 EFGH 为平行四边形，如图所示，四边形 ABCD 两组对边中点的连线交于点 P2 ，则经过点 P2的所有直线都是符合条件的直线 .因此经过点 P2 的符合条件的直线 l P 有无数条；经过点 P1,P3,P4 的符合条件的直线 各有 1 条，即直线 P2 P1 ,P2P3,P2P4.故 Ω中所有这样的 P 为 P1,P3.P4.二、选择题（本大题共4 题，每题 5 分，共 20 分）13. 关于x， y的二元一次方程组的系数行列式 D 为( )A. B. C. D.【答案】 C【解析】关于的二元一次方程组的系数行列式故选C14. 在数列中，n∈N，则=（）A. 等于B.等于 0C.等于D.不存在【答案】 B【解析】数列中，n∈N，则故选B15. 已知 a,b,c 为实常数，数列的通项=an2+bn+c，n∈N*，则“存在 k∈N*，使得成等差数列”的一个必要条件是（）A. 0a b cc= D、20-+=b≤ C. 0a≥ B. 0【答案】 A【解析】存在 k∈N*，使得成等差数列，可得2[a（ 200+k）2+b（200+k） +c]=a（ 100+k）2+b（100+k） +c+a （300+k）2+b（300+k） +c，化简得 a=0，∴使得成等差数列的必要条件是 a≥0．故选A ．16. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=P 为上的动点，Q 为 C2 上的动点，w 是OP OQ ⋅u u u r u u u r的最大值．记Ω={（P ，Q ）| P 在 C1 上， Q 在 C2 上且OP OQ ω⋅=u u u r u u u r}，则 Ω中的元素有（ ）A.2 个B.4 个C.8 个D.无穷个【答案】 D【解析】 P 为椭圆 221:1364x y C +=上的动点， Q 为 222:19y C x +=上的动点，可 设 P （ 6cos α， 2sin α）， Q （ cos β， 3sin β）， α， β∈ [0,2π], 则OP OQ ⋅u u u r u u u r=6cos α cos β +6sin α sin β（=6cos α-β），当 α-β =2k π，k ∈Z 时， OP OQ ⋅u u u r u u u r取得最大值w=6，即使得 OP OQ ⋅u u u r u u u r=w 的点对 (P,Q)有无穷多对， Ω 中的元素有无穷个 .三、解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）17.如图，直三棱柱111ABC A B C - 的底面为直角三角形，两直角边AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 1AA 的长为 5． （1）求三棱柱111ABC A B C -的体积；（2）设 M 是 BC 中点，求直线1B M 与平面ABC所成角的大小 .17.【解析】（1）∵直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，侧棱 AA 1 的长为 5． ∴三棱柱111ABC A B C -的体积2）连接 AM.∵直三棱柱111ABC A B C -，与平面 ABC 所成角 .∵△ ABC 是直角三角形， 两直角边 AB 和 AC 的长分别为 4 和 2，点 M 是 BC 的中点，18.已知函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈.（1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ ABC 为锐角三角形，角 A 所对边19a = ，角 B 所对边 b=5，若f （A ）=0，求△ ABC 的面积．18.【解析】（1）函数221()cos sin ,(0,)2f x x x x π=-+∈19． 根据预测，某地第n （n ∈N * ）个月共享单车的投放量和损失量分别为 an 和 bn （单位：辆），其中 2515,1,2,310470,4n n n a n n ⎧+==⎨-+≥⎩， 5n b n =+，第 n 个月底的共享单车的保有量是前 n 个月的累计投放量与累计损失量的差。
2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析
2017年上海市高考数学试卷及参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分) 1.(4分)已知集合A ＝{1,2,3,4},集合B ＝{3,4,5},则A ∩B ＝ . 2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m ＝ .3.(4分)不等式＞1的解集为 .4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于 .5.(4分)已知复数z 满足z ＋＝0,则|z|＝ .6.(4分)设双曲线－＝1(b ＞0)的焦点为F 1、F 2,P 为该双曲线上的一点,若|PF 1|＝5,则|PF 2|＝ .7.(5分)如图,以长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点,过D 的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是 .8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y ＝f(x)的反函数为y ＝f －1(x),若g(x)＝为奇函数,则f －1(x)＝2的解为 .9.(5分)已知四个函数：①y ＝－x,②y ＝－,③y ＝x 3,④y ＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为 .10.(5分)已知数列{a n }和{b n },其中a n ＝n 2,n ∈N *,{b n }的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N *,{b n }的第a n 项等于{a n }的第b n 项,则＝ .11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于 .12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P 的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 .二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝016.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h(x)是周期函数”的充要条件是“f(x)是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共12题,满分54分,第1～6题每题4分,第7～12题每题5分)1.(4分)已知集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},则A∩B＝{3,4} .【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解：∵集合A＝{1,2,3,4},集合B＝{3,4,5},∴A∩B＝{3,4}.故答案为：{3,4}.【点评】本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集定义的合理运用.2.(4分)若排列数＝6×5×4,则m＝ 3 .【分析】利用排列数公式直接求解.【解答】解：∵排列数＝6×5×4,∴由排列数公式得,∴m＝3.故答案为：m＝3.【点评】本题考查实数值的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意排列数公式的合理运用.3.(4分)不等式＞1的解集为(－∞,0) .【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可.【解答】解：由＞1得：,故不等式的解集为：(－∞,0),故答案为：(－∞,0).【点评】本题考查了解分式不等式,考查转化思想,是一道基础题.4.(4分)已知球的体积为36π,则该球主视图的面积等于9π.【分析】由球的体积公式,可得半径R＝3,再由主视图为圆,可得面积.【解答】解：球的体积为36π,设球的半径为R,可得πR3＝36π,可得R＝3,该球主视图为半径为3的圆,可得面积为πR2＝9π.故答案为：9π.【点评】本题考查球的体积公式,以及主视图的形状和面积求法,考查运算能力,属于基础题.5.(4分)已知复数z满足z＋＝0,则|z|＝.【分析】设z＝a＋bi(a,b∈R),代入z2＝－3,由复数相等的条件列式求得a,b的值得答案.【解答】解：由z＋＝0,得z2＝－3,设z＝a＋bi(a,b∈R),由z2＝－3,得(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi＝－3,即,解得：.∴.则|z|＝.故答案为：.【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数相等的条件以及复数模的求法,是基础题.6.(4分)设双曲线－＝1(b＞0)的焦点为F1、F2,P为该双曲线上的一点,若|PF1|＝5,则|PF2|＝11 .【分析】根据题意,由双曲线的方程可得a的值,结合双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝6,解可得|PF2|的值,即可得答案.【解答】解：根据题意,双曲线的方程为：－＝1, 其中a＝＝3,则有||PF1|－|PF2||＝6,又由|PF1|＝5,解可得|PF2|＝11或－1(舍)故|PF2|＝11,故答案为：11.【点评】本题考查双曲线的几何性质,关键是掌握双曲线的定义.7.(5分)如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,若的坐标为(4,3,2),则的坐标是(－4,3,2) .【分析】由的坐标为(4,3,2),分别求出A和C1的坐标,由此能求出结果.【解答】解：如图,以长方体ABCD－A1B1C1D1的顶点D为坐标原点,过D的三条棱所在的直线为坐标轴,建立空间直角坐标系,∵的坐标为(4,3,2),∴A(4,0,0),C1(0,3,2),∴.故答案为：(－4,3,2).【点评】本题考查空间向量的坐标的求法,考查空间直角坐标系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是基础题.8.(5分)定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),若g(x)＝为奇函数,则f－1(x)＝2的解为.【分析】由奇函数的定义,当x＞0时,－x＜0,代入已知解析式,即可得到所求x＞0的解析式,再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反,即可得到所求值.【解答】解：若g(x)＝为奇函数,可得当x＞0时,－x＜0,即有g(－x)＝3－x－1,由g(x)为奇函数,可得g(－x)＝－g(x),则g(x)＝f(x)＝1－3－x,x＞0,由定义在(0,＋∞)上的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－1(x),且f－1(x)＝2,可由f(2)＝1－3－2＝,可得f－1(x)＝2的解为x＝.故答案为：.【点评】本题考查函数的奇偶性和运用,考查互为反函数的自变量和函数值的关系,考查运算能力,属于基础题.9.(5分)已知四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从中任选2个,则事件“所选2个函数的图象有且仅有一个公共点”的概率为.【分析】从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,再利用列举法求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数,由此能求出事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【解答】解：给出四个函数：①y＝－x,②y＝－,③y＝x3,④y＝x,从四个函数中任选2个,基本事件总数n＝,③④有两个公共点(0,0),(1,1).事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件有：①③,①④共2个,∴事件A：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率为P(A)＝＝.故答案为：.【点评】本题考查概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.10.(5分)已知数列{an }和{bn},其中an＝n2,n∈N*,{bn}的项是互不相等的正整数,若对于任意n∈N*,{bn }的第an项等于{an}的第bn项,则＝ 2 .【分析】an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,可得＝＝.于是b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.即可得出.【解答】解：∵an ＝n2,n∈N*,若对于一切n∈N*,{bn}中的第an项恒等于{an}中的第bn项,∴＝＝.∴b1＝a1＝1,＝b4,＝b9,＝b16.∴b1b4b9b16＝.∴＝2.故答案为：2.【点评】本题考查了数列递推关系、对数的运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.11.(5分)设a 1、a 2∈R,且,则|10π－a 1－a 2|的最小值等于.【分析】由题意,要使＋＝2,可得sinα1＝－1,sin2α2＝－1.求出α1和α2,即可求出|10π－α1－α2|的最小值【解答】解：根据三角函数的性质,可知sinα1,sin2α2的范围在[－1,1],要使＋＝2,∴sinα1＝－1,sin2α2＝－1.则：,k 1∈Z.,即,k 2∈Z. 那么：α1＋α2＝(2k 1＋k 2)π,k 1、k 2∈Z.∴|10π－α1－α2|＝|10π－(2k 1＋k 2)π|的最小值为.故答案为：.【点评】本题主要考察三角函数性质,有界限的范围的灵活应用,属于基本知识的考查.12.(5分)如图,用35个单位正方形拼成一个矩形,点P 1、P 2、P 3、P 4以及四个标记为“▲”的点在正方形的顶点处,设集合Ω＝{P 1,P 2,P 3,P 4},点P ∈Ω,过P 作直线l P ,使得不在l P 上的“▲”的点分布在l P 的两侧.用D 1(l P )和D 2(l P )分别表示l P 一侧和另一侧的“▲”的点到l P的距离之和.若过P 的直线l P 中有且只有一条满足D 1(l P )＝D 2(l P ),则Ω中所有这样的P 为 P 1、P 3、P 4 .【分析】根据任意四边形ABCD 两组对边中点的连线交于一点, 过此点作直线,使四边形的四个顶点不在该直线的同一侧,则该直线两侧的四边形的顶点到直线的距离之和相等；由此得出结论.【解答】解：设记为“▲”的四个点是A,B,C,D, 线段AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G,H,易知EFGH为平行四边形,如图所示；又平行四边形EFGH的对角线交于点P2,则符合条件的直线lP 一定经过点P2,且过点P2的直线有无数条；由过点P1和P2的直线有且仅有1条,过点P3和P2的直线有且仅有1条,过点P4和P2的直线有且仅有1条,所以符合条件的点是P1、P3、P4.故答案为：P1、P3、P4.【点评】本题考查了数学理解力与转化力的应用问题,也考查了对基本问题的阅读理解和应用转化能力.二、选择题(本大题共4题,每题5分,共20分)13.(5分)关于x、y的二元一次方程组的系数行列式D为( )A. B. C. D.【分析】利用线性方程组的系数行列式的定义直接求解.【解答】解：关于x、y的二元一次方程组的系数行列式：D＝.故选：C.【点评】本题考查线性方程组的系数行列式的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意线性方程组的系数行列式的定义的合理运用.14.(5分)在数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an( )A.等于B.等于0C.等于D.不存在【分析】根据极限的定义,求出an＝的值.【解答】解：数列{an }中,an＝(－)n,n∈N*,则an＝＝0.故选：B.【点评】本题考查了极限的定义与应用问题,是基础题.15.(5分)已知a、b、c为实常数,数列{xn }的通项xn＝an2＋bn＋c,n∈N*,则“存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列”的一个必要条件是( )A.a≥0B.b≤0C.c＝0D.a－2b＋c＝0【分析】由x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列,可得：2x200＋k＝x100＋kx300＋k,代入化简即可得出.【解答】解：存在k∈N*,使得x100＋k 、x200＋k、x300＋k成等差数列,可得：2[a(200＋k)2＋b(200＋k)＋c]＝a(100＋k)2＋b(100＋k)＋c＋a(300＋k)2＋b(300＋k)＋c,化为：a＝0.∴使得x100＋k ,x200＋k,x300＋k成等差数列的必要条件是a≥0.故选：A.【点评】本题考查了等差数列的通项公式、简易逻辑的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.16.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,w是的最大值.记Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w},则Ω中元素个数为( )A.2个B.4个C.8个D.无穷个【分析】设出P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,由向量数量积的坐标表示和两角差的余弦公式和余弦函数的值域,可得最大值及取得的条件,即可判断所求元素的个数.【解答】解：椭圆C1：＝1和C2：x2＋＝1.P为C1上的动点,Q为C2上的动点,可设P(6cosα,2sinα),Q(cosβ,3sinβ),0≤α\β＜2π,则＝6cosαcosβ＋6sinαsinβ＝6cos(α－β),当α－β＝2kπ,k∈Z时,w取得最大值6,则Ω＝{(P,Q)|P在C1上,Q在C2上,且＝w}中的元素有无穷多对.另解：令P(m,n),Q(u,v),则m2＋9n2＝36,9u2＋v2＝9,由柯西不等式(m2＋9n2)(9u2＋v2)＝324≥(3mu＋3nv)2,当且仅当mv＝nu,即O、P、Q共线时,取得最大值6,显然,满足条件的P、Q有无穷多对,D项正确.故选：D.【点评】本题考查椭圆的参数方程的运用,以及向量数量积的坐标表示和余弦函数的值域,考查集合的几何意义,属于中档题.三、解答题(本大题共5题,共14＋14＋14＋16＋18＝76分)17.(14分)如图,直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.(1)求三棱柱ABC－A1B1C1的体积；(2)设M是BC中点,求直线A1M与平面ABC所成角的大小.【分析】(1)三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×AA1＝,由此能求出结果.(2)连结AM,∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,由此能求出直线A1M与平面ABC所成角的大小.【解答】解：(1)∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5.∴三棱柱ABC－A1B1C1的体积：V＝S△ABC ×AA1＝＝＝20.(2)连结AM,∵直三棱柱ABC－A1B1C1的底面为直角三角形,两直角边AB和AC的长分别为4和2,侧棱AA1的长为5,M是BC中点,∴AA1⊥底面ABC,AM＝＝,∴∠A1MA是直线A1M与平面ABC所成角,tan∠A1MA＝＝＝,∴直线A1M与平面ABC所成角的大小为arctan.【点评】本题考查三棱柱的体积的求法,考查线面角的大小的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.18.(14分)已知函数f(x)＝cos2x－sin2x＋,x∈(0,π).(1)求f(x)的单调递增区间；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,求△ABC的面积.【分析】(1)由二倍角的余弦公式和余弦函数的递增区间,解不等式可得所求增区间；(2)由f(A)＝0,解得A,再由余弦定理解方程可得c,再由三角形的面积公式,计算即可得到所求值.【解答】解：(1)函数f(x)＝cos2x－sin2x＋＝cos2x＋,x∈(0,π),由2kπ－π≤2x≤2kπ,解得kπ－π≤x≤kπ,k∈Z,k＝1时,π≤x≤π,可得f(x)的增区间为[,π)；(2)设△ABC为锐角三角形,角A所对边a＝,角B所对边b＝5,若f(A)＝0,即有cos2A＋＝0,解得2A＝π,即A＝π,由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA,化为c2－5c＋6＝0,解得c＝2或3,若c＝2,则cosB＝＜0,即有B为钝角,c＝2不成立,则c＝3,△ABC的面积为S＝bcsinA＝×5×3×＝.【点评】本题考查二倍角公式和余弦函数的图象和性质,考查解三角形的余弦定理和面积公式的运用,考查运算能力,属于中档题.19.(14分)根据预测,某地第n(n∈N*)个月共享单车的投放量和损失量分别为an 和bn(单位：辆),其中an ＝,bn＝n＋5,第n个月底的共享单车的保有量是前n个月的累计投放量与累计损失量的差.(1)求该地区第4个月底的共享单车的保有量；(2)已知该地共享单车停放点第n个月底的单车容纳量Sn＝－4(n－46)2＋8800(单位：辆).设在某月底,共享单车保有量达到最大,问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【分析】(1)计算出{an }和{bn}的前4项和的差即可得出答案；(2)令an ≥bn得出n≤42,再计算第42个月底的保有量和容纳量即可得出结论.【解答】解：(1)∵an ＝,bn＝n＋5∴a1＝5×14＋15＝20a2＝5×24＋15＝95a3＝5×34＋15＝420a4＝－10×4＋470＝430b1＝1＋5＝6b2＝2＋5＝7b3＝3＋5＝8b4＝4＋5＝9∴前4个月共投放单车为a1＋a2＋a3＋a4＝20＋95＋420＋430＝965,前4个月共损失单车为b1＋b2＋b3＋b4＝6＋7＋8＋9＝30,∴该地区第4个月底的共享单车的保有量为965－30＝935.(2)令an ≥bn,显然n≤3时恒成立,当n≥4时,有－10n＋470≥n＋5,解得n≤, ∴第42个月底,保有量达到最大.当n≥4,{an }为公差为－10等差数列,而{bn}为等差为1的等差数列,∴到第42个月底,单车保有量为×39＋535－×42＝×39＋535－×42＝8782.S42＝－4×16＋8800＝8736.∵8782＞8736,∴第42个月底单车保有量超过了容纳量.【点评】本题考查了数列模型的应用,等差数列的求和公式,属于中档题.20.(16分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,M为x正半轴上的动点.(1)若P在第一象限,且|OP|＝,求P的坐标；(2)设P(),若以A、P、M为顶点的三角形是直角三角形,求M的横坐标；(3)若|MA|＝|MP|,直线AQ与Γ交于另一点C,且,,求直线AQ的方程.【分析】(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),联立,能求出P点坐标.(2)设M(x0,0),A(0,1),P(),由∠P＝90°,求出x＝；由∠M＝90°,求出x＝1或x＝；由∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.由此能求出点M的横坐标.(3)设C(2cosα,sinα),推导出Q(4cosα,2sinα－1),设P(2cosβ,sinβ),M(x,0)推导出x＝cosβ,从而4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),由此能求出直线AQ.【解答】解：(1)设P(x,y)(x＞0,y＞0),∵椭圆Γ：＝1,A为Γ的上顶点,P为Γ上异于上、下顶点的动点,P在第一象限,且|OP|＝,∴联立,解得P(,).(2)设M(x,0),A(0,1),P(),若∠P＝90°,则•,即(x－,－)•(－,)＝0,∴(－)x0＋－＝0,解得x＝.如图,若∠M＝90°,则•＝0,即(－x0,1)•(－x,)＝0,∴＝0,解得x0＝1或x＝,若∠A＝90°,则M点在x轴负半轴,不合题意.∴点M的横坐标为,或1,或.(3)设C(2cosα,sinα),∵,A(0,1),∴Q(4cosα,2sinα－1),又设P(2cosβ,sinβ),M(x,0),∵|MA|＝|MP|,∴x02＋1＝(2cosβ－x)2＋(sinβ)2,整理得：x＝cosβ,∵＝(4cosα－2cosβ,2sinα－sinβ－1),＝(－cosβ,－sinβ),,∴4cosα－2cosβ＝－5cosβ,且2sinα－sinβ－1＝－4sinβ,∴cosβ＝－cosα,且sinα＝(1－2sinα),以上两式平方相加,整理得3(sinα)2＋sinα－2＝0,∴sinα＝,或sinα＝－1(舍去),此时,直线AC的斜率kAC＝－＝ (负值已舍去),如图.∴直线AQ为y＝x＋1.【点评】本题考查点的坐标的求法,考查直线方程的求法,考查椭圆、直线方程、三角函数等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方思想,是中档题.21.(18分)设定义在R上的函数f(x)满足：对于任意的x1、x2∈R,当x1＜x2时,都有f(x1)≤f(x2).(1)若f(x)＝ax3＋1,求a的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,证明：f(x)是常值函数；(3)设f(x)恒大于零,g(x)是定义在R上的、恒大于零的周期函数,M是g(x)的最大值.函数h(x)＝f(x)g(x).证明：“h (x)是周期函数”的充要条件是“f (x)是常值函数”. 【分析】(1)直接由f(x 1)－f(x 2)≤0求得a 的取值范围；(2)若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有f(x 0)＝f(x 0＋T k ),证明对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ),可得f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,再由…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,可得对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)分充分性及必要性证明.类似(2)证明充分性；再证必要性,然后分类证明. 【解答】(1)解：由f(x 1)≤f(x 2),得f(x 1)－f(x 2)＝a(x 13－x 23)≤0, ∵x 1＜x 2,∴x 13－x 23＜0,得a ≥0. 故a 的范围是[0,＋∞)；(2)证明：若f(x)是周期函数,记其周期为T k ,任取x 0∈R,则有 f(x 0)＝f(x 0＋T k ),由题意,对任意x ∈[x 0,x 0＋T k ],f(x 0)≤f(x)≤f(x 0＋T k ), ∴f(x 0)＝f(x)＝f(x 0＋T k ).又∵f(x 0)＝f(x 0＋nT k ),n ∈Z,并且…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数；(3)证明：充分性：若f(x)是常值函数,记f(x)＝c 1,设g(x)的一个周期为T g ,则 h(x)＝c 1•g(x),则对任意x 0∈R,h(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0＋T g )＝c 1•g(x 0)＝h(x 0),故h(x)是周期函数；必要性：若h(x)是周期函数,记其一个周期为T h .若存在x 1,x 2,使得f(x 1)＞0,且f(x 2)＜0,则由题意可知, x 1＞x 2,那么必然存在正整数N 1,使得x 2＋N 1T k ＞x 1, ∴f(x 2＋N 1T k )＞f(x 1)＞0,且h(x 2＋N 1T k )＝h(x 2). 又h(x 2)＝g(x 2)f(x 2)＜0,而h(x 2＋N 1T k )＝g(x 2＋N 1T k )f(x 2＋N 1T k )＞0≠h(x 2),矛盾. 综上,f(x)＞0恒成立. 由f(x)＞0恒成立,任取x 0∈A,则必存在N 2∈N,使得x 0－N 2T h ≤x 0－T g , 即[x 0－T g ,x 0]⊆[x 0－N 2T h ,x 0],∵…∪[x 0－3T k ,x 0－2T k ]∪[x 0－2T k ,x 0－T k ]∪[x 0－T k ,x 0]∪[x 0,x 0＋T k ]∪[x 0＋T k ,x 0＋2T k ]∪…＝R,∴…∪[x 0－2N 2T h ,x 0－N 2T h ]∪[x 0－N 2T h ,x 0]∪[x 0,x 0＋N 2T h ]∪[x 0＋N 2T h ,x 0＋2N 2T h ]∪…＝R. h(x 0)＝g(x 0)•f(x 0)＝h(x 0－N 2T h )＝g(x 0－N 2T h )•f(x 0－N 2T h ),∵g(x 0)＝M ≥g(x 0－N 2T h )＞0,f(x 0)≥f(x 0－N 2T h )＞0.因此若h(x 0)＝h(x 0－N 2T h ),必有g(x 0)＝M ＝g(x 0－N 2T h ),且f(x 0)＝f(x 0－N 2T h )＝c. 而由(2)证明可知,对任意x ∈R,f(x)＝f(x 0)＝C,为常数. 综上,必要性得证. 【点评】本题考查抽象函数及其应用,考查逻辑思维能力与理论运算能力考查分类讨论的数学思想方法,题目设置难度过大.。
2017年高考数学上海试题及解析
x y 6.11 【解析】 双曲线 - 2 =1 中， a= 9=3 ，由双曲线的定义，可得 9 b 解得 |PF2|=11 或﹣ 1 （舍去），故 |PF2|=11. 7． （ 2017 年上海）如图，以长方体 所在的直线为坐标轴， 坐标是 ．
||PF1|-|PF2||=6，又 |PF1|=5，
1 1 + =2 ，则 |10π -α 1- α 2 |的最小值等于 2+sin α 1 2+sin 2 α 2
．
π 1 1 1 1 可得 1≤ 2+sin α 则 ≤ ≤ 1. 同理可得 ≤ 【 解析】由 -1 ≤ sin α 1≤ 1， 1≤ 3， 4 3 2+sin α 3 2+sin 2 α 2 1 π 1 1 1 1 ， + =2， 则 = =1 ， 即 sin α 1=sin 2 α 2 =-1. 所以 α 1=2k 1π 2+sin α 1 2+sin 2 α 2 2+sin α 1 2+sin 2 α 2 2 π π π 3π ， k 1 ,k2∈ Z .所以 |10π -α π π 1- α 2 |=|10π -(2k 1 )-(k 2 )|=|10 π + -(2k 1+k 2)π |， 2 2 4 4 π 4 .
2017 年上海市高考数学试卷 一、填空题（本大题共 12 题，满分 54 分，第 1～ 6 题每题 4 分，第 7～ 12 题每题 5 分） ． 1.已知集合 A={1 ， 2， 3 ， 4} ，集合 B={3 ， 4， 5} ，则 A∩ B= {3,4} 【解析】∵集合
A={1 ， 2 ， 3， 4} ，集合 B={3 ， 4 ， 5} ，∴ A∩ B={3 ， 4} ．
2017年高考数学上海卷-答案
上海市2017年普通高等学校招生全国统一考试数学答案解析一、填空题1.【答案】{3,4}解析：利用交集定义直接求解。
【考点】交集的求法。
2.【答案】3m =解析：36654P =⨯⨯，故3m =.【考点】实数值的求法。
3.【答案】(,0)-∞【解析】由11x x -＞得：11110x x x ->⇒⇒＜0＜。
【考点】解分式不等式4.【答案】9π【解析】代解：球的体积为36π，设球的半径为R ，可得34π36π3R =，可得3R =，该球主视图为半径为3的圆，可得面积为2π9πR =．故答案为：9π．【考点】球的体积公式，以及主视图的形状和面积求法。
5.【解析】设i(,)z a b a b =+∈R ，代入23z =-，由复数相等的条件列式求得a ，b 的值得答案．【考点】复数代数形式的乘除运算。
6.【答案】11【解析】根据题意，由双曲线的方程可得a 的值，结合双曲线的定义可得12||||||6PF PF -=，解可得2||PF 的值，即可得答案．【考点】双曲线的几何性质。
7.【答案】(4,3,2)-【解析】解：如图，以长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，∵1DB 的坐标为(4,3,2)，∴(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，∴1(4,3,2)AC =-.故答案为：(4,3,2)-．【考点】空间向量的坐标的求法。
8.【答案】89【解析】由奇函数的定义，当0x ＞时，0x -＜，代入已知解析式，即可得到所求0x ＞的解析式，再由互为反函数的两函数的自变量和函数值相反，即可得到所求值.【考点】函数的奇偶性和运用。
9.【答案】13【解析】从四个函数中任选2个，基本事件总数246n C ==，再利用列举法求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”包含的基本事件的个数，由此能求出事件A ：“所选2个函数的图象有且只有一个公共点”的概率.【考点】概率的求法。
【精品】2017年高考真题——数学(上海卷)含答案
2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则AB =2. 若排列数6654mP =⨯⨯，则m =3. 不等式11x x->的解集为 4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于 5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z = 6. 设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该 双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中所有这样的P 为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 605414. 在数列{}n a 中，1()2nn a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+=16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小.18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a ，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于 上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”.2017年上海市高考数学试卷2017.6一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知集合{1,2,3,4}A =，集合{3,4,5}B =，则A B =【解析】{3,4}AB =2. 若排列数6654mP =⨯⨯，则m =【解析】3m =3. 不等式11x x ->的解集为 【解析】111100x x x->⇒<⇒<，解集为(,0)-∞4. 已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于【解析】3436393r r S πππ=⇒=⇒=5. 已知复数z 满足30z z+=，则||z =【解析】23||z z z =-⇒=⇒=6. 设双曲线22219x y b-=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =， 则2||PF =【解析】226||11a PF =⇒=7. 如图，以长方体1111ABCD A B C D -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐 标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为(4,3,2)，则1AC 的坐标为 【解析】(4,0,0)A ，1(0,3,2)C ，1(4,3,2)AC =-8. 定义在(0,)+∞上的函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，若31,0()(),0x x g x f x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩为奇函数，则1()2f x -=的解为【解析】()31(2)918x f x f =-+⇒=-+=-，∴1()2f x -=的解为8x =-9. 已知四个函数：① y x =-；② 1y x=-；③ 3y x =；④ 12y x =. 从中任选2个，则事件“所选2个函数的图像有且仅有一个公共点”的概率为 【解析】①③、①④的图像有一个公共点，∴概率为24213C = 10. 已知数列{}n a 和{}n b ，其中2n a n =，*n ∈N ，{}n b 的项是互不相等的正整数，若对于 任意*n ∈N ，{}n b 的第n a 项等于{}n a 的第n b 项，则149161234lg()lg()b b b b b b b b =【解析】222149161491612341234lg()()2lg()n n a b n n b b b b b a b b b b b b b b b b b b b b =⇒=⇒=⇒=11. 设1a 、2a ∈R ，且121122sin 2sin(2)αα+=++，则12|10|παα--的最小值等于【解析】111[,1]2sin 3α∈+，211[,1]2sin(2)3α∈+，∴121112sin 2sin(2)αα==++，即12sin sin(2)1αα==-，∴122k παπ=-+，24k παπ=-+，12min |10|4ππαα--=12. 如图，用35个单位正方形拼成一个矩形，点1P 、2P 、3P 、4P 以及四个标记为“”的 点在正方形的顶点处，设集合1234{,,,}P P P P Ω=，点P ∈Ω，过P 作直线P l ，使得不在P l 上的“”的点分布在P l 的两侧. 用1()P D l 和2()P D l 分别表示P l 一侧 和另一侧的“”的点到P l 的距离之和. 若过P 的直 线P l 中有且只有一条满足12()()P P D l D l =，则Ω中 所有这样的P 为 【解析】1P 、3P二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 关于x 、y 的二元一次方程组50234x y x y +=⎧⎨+=⎩的系数行列式D 为（ ）A.0543 B. 1024 C. 1523 D. 6054【解析】C14. 在数列{}n a 中，1()2nn a =-，*n ∈N ，则lim n n a →∞（ ）A. 等于12-B. 等于0C. 等于12D. 不存在 【解析】B15. 已知a 、b 、c 为实常数，数列{}n x 的通项2n x an bn c =++，*n ∈N ，则“存在*k ∈N ， 使得100k x +、200k x +、300k x +成等差数列”的一个必要条件是（ ）A. 0a ≥B. 0b ≤C. 0c =D. 20a b c -+= 【解析】A16. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆221:1364x y C +=和222:19y C x +=. P 为1C 上的动 点，Q 为2C 上的动点，w 是OP OQ ⋅的最大值. 记{(,)|P Q P Ω=在1C 上，Q 在2C 上，且}OP OQ w ⋅=，则Ω中元素个数为（ ）A. 2个B. 4个C. 8个D. 无穷个 【解析】D三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱1AA 的长为5.（1）求三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）设M 是BC 中点，求直线1A M 与平面ABC 所成角的大小. 【解析】（1）20V S h =⋅=（2）tanθ==18. 已知函数221()cos sin 2f x x x =-+，(0,)x π∈. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a ，角B 所对边5b =，若()0f A =，求△ABC 的面积. 【解析】（1）1()cos 22f x x =+，(0,)x π∈，单调递增区间为[,)2ππ （2）1cos223A A π=-⇒=，∴225191cos 2252c A c c +-==⇒=⋅⋅或3c =，根据锐角三角形，cos 0B >，∴3c =，1sin 2S bc A ==19. 根据预测，某地第n *()n ∈N 个月共享单车的投放量和损失量分别为n a 和n b （单位：辆），其中4515,1310470,4n n n a n n ⎧+≤≤⎪=⎨-+≥⎪⎩，5n b n =+，第n 个月底的共享单车的保有量是前n 个月的累计投放量与累计损失量的差.（1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第n 个月底的单车容纳量24(46)8800n S n =--+（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？ 【解析】（1）12341234()()96530935a a a a b b b b +++-+++=-= （2）10470542n n n -+>+⇒≤，即第42个月底，保有量达到最大12341234(42050)38(647)42()()[965]878222a a a ab b b b +⨯+⨯+++⋅⋅⋅+-+++⋅⋅⋅+=+-=2424(4246)88008736S =--+=，∴此时保有量超过了容纳量.20. 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:14x y Γ+=，A 为Γ的上顶点，P 为Γ上异于 上、下顶点的动点，M 为x 正半轴上的动点.（1）若P 在第一象限，且||OP =P 的坐标；（2）设83(,)55P ，若以A 、P 、M 为顶点的三角形是直角三角形，求M 的横坐标； （3）若||||MA MP =，直线AQ 与Γ交于另一点C ，且2AQ AC =，4PQ PM =， 求直线AQ 的方程.【解析】（1）联立22:14x y Γ+=与222x y +=，可得P （2）设(,0)M m ，283833(,1)(,)055555MA MP m m m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=或1m =8283864629(,)(,)0555********PA MP m m m ⋅=-⋅-=-+=⇒=（3）设00(,)P x y ，线段AP 的中垂线与x 轴的交点即03(,0)8M x ，∵4PQ PM =，∴003(,3)2Q x y --，∵2AQ AC =，∴00133(,)42y C x --，代入并联立椭圆方程，解得0x =，019y =-，∴1()3Q ，∴直线AQ 的方程为1y =+21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对于任意的1x 、2x ∈R ，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤. （1）若3()1f x ax =+，求a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）设()f x 恒大于零，()g x 是定义在R 上、恒大于零的周期函数，M 是()g x 的最大值. 函数()()()h x f x g x =. 证明：“()h x 是周期函数”的充要条件是“()f x 是常值函数”. 【解析】（1）0a ≥；（2）略；（3）略.。
2017年届浦东新区高中三年级一模数学卷和答案解析
浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学试卷 （含答案）2016.1注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.注：填写其他等价形式则得分1．已知集合{}{}=3,2A x x B x x ≤=<，则R A C B =I []2,32．已知向量()2,1,(1,)a b m =-=r r 平行，则m = 12-3．关于,x y 的一元二次方程组23122x y x y +=⎧⎨-=⎩的系数矩阵 2312⎛⎫⎪-⎝⎭4．计算：1132lim 32n nnn n ++→∞-+ 3 5．若复数z 满足1012ii z=-（i 为虚数单位），则z6．()1021x +的二项展开式中的第八项为 3960x7．某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30︒方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里达到C 处，这时灯塔B 与船相距_____4.2______海里（精确到0.1海里） 8．已知3cos(),,252ππααπ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，则sin 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭9．如图，已知正方体1111D C B A ABCD -，21=AA ，E 为棱1CC 的中点，则AE与平面11B C C B 所成的角为552arctan．（2arcsin 3，）（结果用反三角表示）10．已知函数()f x 的图像与()2xg x =的图像关于直线y x =对称，令()(1)h x f x =-，则关于函数()h x 有下列命题：①()h x 的图像关于原点对称； ②()h x 的图像关于y 轴对称； ③()h x 的最大值为0； ④()h x 在区间(1,1)-上单调递增。
其中正确命题的序号为____②③_____（写出所有正确命题的序号）。
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上海市浦东新区2017届高三一模数学试卷
2016.12
一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1. 已知U R =，集合{|421}A x x x =-≥+，则U C A =
2. 三阶行列式3
5123
6724
---中元素5-的代数余子式的值为 3. 8
(1)2x -的二项展开式中含2x 项的系数是
4. 已知一个球的表面积为16π，则它的体积为
5. 一个袋子中共有6个球，其中4个红色球，2个蓝色球，这些球的质地和形状一样，从中 任意抽取2个球，则所抽的球都是红色球的概率是
6. 已知直线:0l x y b -+=被圆22:25C x y +=所截得的弦长为6，则b =
7. 若复数(1)(2)ai i +-在复平面上所对应的点在直线y x =上，则实数a =
8.
函数()cos sin )f x x x x x =+-的最小正周期为 9. 过双曲线22
2:14
x y C a -=的右焦点F 作一条垂直于x 轴的垂线交双曲线C 的两条渐近线 于A 、B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积的最小值为
10. 若关于x 的不等式1|2|02x x m --
<在区间[0,1]内恒 成立，则实数m 的范围
11. 如图，在正方形ABCD 中，2AB =，M 、N 分别是
边BC 、CD
上的两个动点，且MN =
AM AN ⋅
的取值范围是
12. 已知定义在*N 上的单调递增函数()y f x =，对于任意的*n N ∈，都有*()f n N ∈，且 (())3f f n n =恒成立，则(2017)(1999)f f -=
二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13. 将cos 2y x =图像向左平移
6
π个单位，所得的函数为（ ） A. cos(2)3y x π=+ B. cos(2)6
y x π=+ C. cos(2)3y x π=- D. cos(2)6y x π=-
14. 已知函数()y f x =的反函数为1()y f x -=，则()y f x =-与1()y f x -=-图像（ ）
A. 关于y 轴对称
B. 关于原点对称
C. 关于直线0x y +=对称
D. 关于直线0x y -=对称
15. 设{}n a 是等差数列，下列命题中正确的是（ ）
A. 若120a a +>，则230a a +>
B. 若130a a +<，则120a a +<
C. 若120a a <<，则2a >
D. 若10a <，则2123()()0a a a a -->
16. 元旦将近，调查鲜花市场价格得知：购买2只玫瑰与1只康乃馨所需费用之和大于8元， 而购买4只玫瑰与5只康乃馨所需费用之和小于22元；设购买2只玫瑰花所需费用为A 元， 购买3只康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是（ ）
A. A B >
B. A B <
C. A B =
D. A 、B 的大小关系不确定
三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）
17. 在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），11AD AA ==，2AB =，点E 是棱AB 中点；
（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角
形的四面体成为鳖臑，试问四面体1D CDE 是
否为鳖臑？并说明理由；
18. 已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ；
（1）若3B π
=，b =ABC 的面积2S =
，求a c +的值； （2）若22cos ()C BA BC AB AC c ⋅+⋅=，求角C ；
19. 已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的一条直线交 椭圆于P 、Q 两点，若△12PF F
的周长为4+
；
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若12||||F P F Q PQ +=，求直线PQ 的方程；
20. 设数列{}n a 满足21241n n a a n n +=+-+，22n n b a n n =+-；
（1）若12a =，求证：数列{}n b 为等比数列；
（2）在（1）的条件下，对于正整数2、q 、r (2)q r <<，若25b 、q b 、r b 这三项经适当 排序后能构成等差数列，求符合条件的数组(,)q r ；
（3）若11a =，n n c b n =+
，n d =n M 是n d 的前n 项和，求不超过2016M 的最大整数；
21. 已知定义在R 上的函数()x ϕ的图像是一条连续不断的曲线，且在任意区间上()x ϕ都不 是常值函数，设011i i n a t t t t t b -=<<⋅⋅⋅<<<⋅⋅⋅<=，其中分点1t 、2t 、⋅⋅⋅、1n t -将区间
[,]a b 划分为n *()n N ∈个小区间1[,]i i t t -，记0112{,,}|()()||()()|M a b n t t t t ϕϕϕϕ=-+- 1|()()|n n t t ϕϕ-+⋅⋅⋅+-，称为()x ϕ关于区间[,]a b 的n 阶划分的“落差总和”；当{,,}M a b n 取得最大值且n 取得最小值0n 时，称()x ϕ存在“最佳划分”0{,,}M a b n ；
（1）已知()||x x ϕ=，求{1,2,2}M -的最大值0M ；
（2）已知()()a b ϕϕ<，求证：()x ϕ在[,]a b 上存在“最佳划分”{,,1}M a b 的充要条件 是()x ϕ在[,]a b 上单调递增；
（3）若()x ϕ是偶函数且存在“最佳划分”0{,,}M a a n -，求证：0n 是偶数，且 00110i i n t t t t t -++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=；
参考答案
一. 填空题
1. {|1}x x >
2. 34-
3. 7
4. 323π
5. 25
6. ±
7. 3 8. π 9. 8 10. 3(,2)2 11. [4,8- 12. 54
二. 选择题
13. A 14. D 15. C 16. A
三. 解答题
17.（1）3
π；（2）是； 18.（1）5a c +=；（2）
3π；
19.（1）22
184
x y +=；（2）2)y x =-； 20.（1）12n n b -=；（2）(3,5)；（3）2016；
21.（1）03M =；（2）略；（3）略；。