圆的一般方程.ppt课件
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高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
此方程表示以(1，－2)为圆心，2为半径长的圆．
问题2：方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0表示什么图形？
提示：对方程x2＋y2＋2x－2y＋2＝0配方得
(x＋1)2＋(y－1)2＝0，即x＝－1且y＝1. 此方程表示一个点(－1,1)． 问题3：方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0表示什么图形？ 提示：对方程x2＋y2－2x－4y＋6＝0配方得 (x－1)2＋(y－2)2＝－1. 由于不存在点的坐标(x，y)满足这个方程，所以这 个方程不表示任何图形．
3．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求 (1)实数m的取值范围； (2)圆心坐标和半径．
解：(1)根据题意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－ 1 4(m ＋5m)>0，即4m ＋4－4m －20m>0，解得m<5，
2 2 2
1 故m的取值范围为(－∞，5)．
(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准 方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝ 1－5m.
第 二 章 解 析 几 何 初 步
§2 圆 与 圆 的 方 程
2.2
圆 的 一 般 方 程
理解教材新知
把 握 热 点 考 向
考点一 考点二 考点三
应用创新演练
把圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2展开得，x2＋y2 －2ax－2by＋a2＋b2－r2＝0，这是一个二元二次方程的形 式，那么，是否一个二元二次方程都表示一个圆呢？ 问题1：方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？ 提示：对x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方得 (x－1)2＋(y＋2)2＝4.
1．若x2＋y2－x＋y－m＝0表示一个圆的方程，则m的取值 范围是 1 A．m>－2 1 C．m<－2 1 B．m≥－2 D．m>－2 ( )
圆的一般方程ppt课件
联立方程
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
,解得x 4,y 3.
2 x y 5 0
∴所求圆的圆心坐标为(4， 3),半径为r 5.
所求圆的方程为( x 4)2 ( y 3)2 25.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
圆的方程.
变式：已知一圆过P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在y轴上截得的线段长为4 3 ,求
解得D 8, E 6, F 0.
∴过O, M1, M2的圆方程为
圆心坐标为 (4 ， 3),半径r 5 .
例1.求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆
的半径和圆心坐标.
解2：(待定系数法) 设过O, M1, M2的圆方程为
则
a 2 b2 r 2
.
.O
.M(x,y)
.B(4,3)
x
例2.已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x+1)2+y2=4
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程.
定点： B(4,3) ，
定圆：( x 1) 2 y 2 4 .
A (主动点)
M (从动点)
x0 4
y0 3
x
,y
.
2
2
x0 2 x 4, y0 2 y 3.
而方程 x 2 y 2 2 x 4 y 6 0 配方后得 ( x 1)2 ( y 2)2 1 ，
方程无意义，不表示任何图形.
形成概念
一般地，把方程 x 2 y 2 Dx Fy E 0 配方可得：
2
2
圆的一般方程ppt课件
标准方程：x a2 y b2 r2
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
一般方程：x2 y2 Dx Ey F 0 (D2 E2 4F 0)
1.圆的标准方程带有明显的几何特征， 明确指出了圆心和半径.
2.圆的一般方程表现出明显的代数形 式与结构，突出了方程形式上的特点， 更适合方程理论的运用.
3.求轨迹方程的基本步骤
（1）设出动点坐标 x, y ； （2）求出动点坐标 x, y 所满足的
关系式.
作业布置
作业1：已知在点 P 在圆C :x2 y2 8x 6y 21 0 上运动，O 为坐标原点，求线段OP 的 中点M 的轨迹方程.
作业2：习题4.1A组、B组.
o
x
问题2：能否用 M点坐标表示 出 A 点坐标？
问题3：你能求出M点坐标 (x, y)所满足的关系式吗？
课堂小结
1.圆的一般方程 x2 y2 Dx Ey F 0
(其中D2 E 2 4F 0)
2.用待定系数法求圆方程的基本步骤
（1）设圆方程 ；（2）列方程组； （3）解出系数，写出方程.
创设情境 引入新课
温故知新 形成概念
问题1：直线方程有几种形式？ 问题2：直线的一般式方程是什么形式？
Ax By C 0其中A, B不同时为0
关于 x, y的二元一次方程 问题3：圆心为 Ca,b ，半径为 r 的圆的
标准方程是什么？
x a2 y b2 r2
典例探究1
例1：求过点 O0,0, A1,1, B4,2 的圆的方程，并求圆的
半径长和圆心坐标. 解：设圆的方程是 x2 y2 Dx Ey F 0
将 O, A, B 的坐标依次代入方程，得
F 0 D E F 2 0 4D 2E F 20 0
圆的一般方程ppt课件
x2 + 3y2 − 2x + 4y + 5 = 0不是圆的一般方程；
对于D，因为方程x2 + y2 − 3xy − 12 = 0中存在xy项，所以方程
x2 + y2 − 3xy − 12 = 0不是圆的一般方程.故选BCD.
课中探究
探究点二 求圆的一般方程
例2（1） 已知△ ABC的三个顶点为A 4,3 ，B 5,2 ，C 1,0 ，求△ ABC外接
又圆心在第二象限，所以D
= 2，E =
−4，
故圆C的一般方程为x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0.
课中探究 （2）圆C关于直线x − y = 0对称的圆的一般方程. 解： 由（1）知圆C的圆心为C −1,2 ，设它关于直线x − y = 0对称的点为
C′ m, n ，则
m−1 − n+2 = 0,
半径的圆，我们把方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 D2 + E2 − 4F > 0 叫作圆的
一般方程.
课前预习
（1）圆的一般方程的特点是:①x2和y2的系数都是__1_;②没有__x_y_这样的二次
项;③D2 + E2 − 4F__>_0.
（2）方程x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0并不一定表示圆,当其系数满足
解得m < 1.故选B.
课中探究
（2）（多选题）下列方程不是圆的一般方程的有( BCD )
A.x2 + y2 − 2x + 4y + 3 = 0
B.x2 + y2 − 2x + 2y + 7 = 0
圆的一般方程ppt课件
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
01 圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
配方
展开
标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
【典例】已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0),求△ABC外接圆的方 程.
将 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 左边配方，得
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2为圆心,以r=为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 (- D , - E ) ；
22
D2 + E2 - 4F 2
方法一： 几何方法
方法二： 待定系数法
y
A(4,3)
B(5,2)
0 C(1,0)
x
设圆的方程为x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
已知过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)
半径：圆心 到圆上一点
圆心：两条弦的中垂 线的交点
圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
1．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( )
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
01 圆的一般方程
思考： 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表 示的曲线是圆呢？
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
2.4.2圆的一般方程 课件(共18张PPT)
解:设M的坐标为(x, y) , 点A坐标是(x0，y0).
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
由于点B的坐标是(4 , 3) , 且M是线段AB
x0 4
y0 3
的中点, 所以
x
y
2
2
x0 2 x 4
因为点A在圆上运动 , 所以A的
于是有:
y0 2 y 3 坐标满足圆的方程 , 即:
( x0 1) y0 4 (2 x 4 1) (2 y 3) 4
(3)圆心(a , - 3a ), 半径 | a | .
练习：判断下列方程分别表示什么图形?
2
2
(1) x + y = 0
2
2
(2) x + y - 2 x + 4 y - 6 = 0
2
2
2
(3) x + y + 2ax - b = 0
(1)原点(0,0)
(2)表示圆 , 坐标为(1,-2) , 半径是 .
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y 2by 0
2
2
2
2
(3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
y
一点，也就是点M属于集合
| OM | 1 M
{M |
}
| AM | 2
A x
由两点间的距离公式，得
C O
x y
2
2
1
化简得 x2+y2+2x3＝0
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
2.4.2圆的一般方程ppt课件新教材人教A版选择性必修第一册
1 + 1 + − + ＝0，
＝ − 7，
组ቐ 1 + 16 + + 4 + ＝0， 解得ቐ ＝ − 3，
16 + 4 + 4 − 2 + ＝0，
＝2.
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
02
任务型课堂
任务一 圆的一般方程的概念辨析
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三
轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M
的 轨迹
____是
轨迹方程
指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把
轨迹
图形看作点的____(集合)．
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
3
2
，因此方程表示圆心为
1
3
，
2
−
3
，半径为
−
1 2
3
+ +
23
的圆．
3
2 2
3
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
任务型课堂
＝ − 7，
组ቐ 1 + 16 + + 4 + ＝0， 解得ቐ ＝ − 3，
16 + 4 + 4 − 2 + ＝0，
＝2.
故圆的方程为x2＋y2－7x－3y＋2＝0.
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
02
任务型课堂
任务一 圆的一般方程的概念辨析
(3)解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程．
知识点三
轨迹方程与轨迹
点M的________是指点M的坐标(x，y)满足的关系式．点M
的 轨迹
____是
轨迹方程
指点M在运动变化过程中形成的图形．在解析几何中，我们常常把
轨迹
图形看作点的____(集合)．
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
3
2
，因此方程表示圆心为
1
3
，
2
−
3
，半径为
−
1 2
3
+ +
23
的圆．
3
2 2
3
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
【类题通法】
方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆的两种判断方法：
(1)配方法．对形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，可以通
过配方变形成“标准”形式后，观察是否表示圆．
第二章 直线和圆的方程
2.4 圆的方程
2.4.2 圆的一般方程
问题式预习
2.4.2 圆的一般方程
任务型课堂
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
圆的一般方程(共25张PPT)
2 2
栏目 导引
第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
栏目 导引
第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
栏目 导引
第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
栏目 导引
第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
栏目 导引
第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
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第四章
圆与方程
题型三
例3
有关圆的轨迹问题
等腰三角形的顶点是A(4,2)，底边一个端点是
B(3,5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹
是什么．
【解】 设另一端点 C 的坐标为 (x， y)．依题意，得 |AC| ＝ |AB|.由两点间距离公式，得 x－ 42＋ y－ 22 ＝ 4－ 32＋ 2－ 52， 整理得 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10.
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第四章
圆与方程
【方法感悟】
1．圆的一般方程的特点 (1)圆的一般方程体现了圆方程形式上的特点：①x2与y2 的系数相同且不为0；②没有xy项． (2)圆的一般方程必须满足D2＋E2－4F＞0这个条件． (3)
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第四章
圆与方程
2．求与圆有关的轨迹问题常用的方法 (1)直接法：根据题目的条件，建立适当的平面直角坐标 系，设出动点坐标，并找出动点坐标所满足的关系式．
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第四章
圆与方程
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所示，又因 为 A、 B、 C 为三角形的三个顶点，所以 A、 B、 C 三点不共 线．即点 B、 C 不能重合且 B、 C 不能为圆 A 的一直径的两 个端点．因为点 B、 C 不能重合，所以点 C 不能为 (3,5)．
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第四章
圆与方程
又因为点 B、 C 不能为一直径的两个端点， x＋ 3 y＋ 5 所以 ≠ 4，且 ≠ 2，即点 C 不能为 (5，－ 1)． 2 2 故端点 C 的轨迹方程是 (x－ 4)2＋ (y－ 2)2＝ 10(除去点 (3,5)和 (5， － 1))， 它的轨迹是以点 A(4,2)为圆心， 10为半径的圆， 但除去 (3,5)和 (5，－ 1)两点．
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x y 2ax 2by a b r 0
2
2、那么我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
令D 2a, E 2b, F a b r .
2 2 2
任意圆的方程都可成 x y Dx Ey F 0的形式.
2 2
3、反过来想一想，形如
x y Dx Ey F 0
2 2
表示的图形是 (
B
)
A.点 B.圆 C.两直线 D.不存在
2.若圆x y Dx Ey F 0
2 2
与x轴相切于原点 , 则有(
A.F 0, D 0, E 0 B.E F 0, D 0 C.D F 0, E 0 D.D E 0, F 0
一、复习与回顾
圆的标准方程的形式是怎样的？
2 2 2 ( x a) ( y b) r
从中可以看出圆心和半径各是什么？
圆心a, b, 半径r.
二、新课
1、同学们想一想，若把圆的标准方程
( x a ) 2 ( y b) 2 r 2
2 2 2 2
展开后，会得出怎样的形式？
2
D)
2
5
( a ,0 )
B. x 7 y 25 C. x 3 y 2 25
2
5 (5,4)
D. x 3 y 25
2 2
或 x 7 y 25
D 2 E 2 4 F
以 1
2
为半径的圆;
(2) 当
2 D
2 E
4 F
0
时,
方程表示一个点 (3) 当
D E 2 , 2 ,
< 0
2 2 4 F D E
时,
方程不表示任何图形.
圆的一般方程
定义:
2 2
2 2
圆的一般方程:
当D E 4F 0时,
方程可化为(1) ( x 3) y 9;
2 2
(2) x ( y b) b ;
2 2 2
(3) ( x a) ( y 3a) a .
2 2 2
例1求过三点O(0,0)、M 1 (1,1)、M 2 (4,2)的 圆方程并求这个圆半径 和圆心坐标 .
解 : 设所求圆的方程为 x 2 y 2 Dx Ey F 0,
例题3.已知曲线C : x y 4m x 2m y 20m 20 0
2 2
(1).证明：不论m取何实数，曲线 C 恒过一定点； (2).证明：当m 2时，曲线C是一个圆， 且圆心在一条定直线上 ； (3).若曲线C与y轴相切，求m的值.
课堂练习:
1.方程2 x 2 y 4 x 8 y 1 0
2 2
的方程的曲线就一定是圆吗？
4、将
2 Dx Ey F 0 x2 y
左边配方，得
D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) (y ) 4 2 2
（1）当
D E 4F 0
2 2
时, 为圆心,
方程表示以
E D , 2 2
方程x y Dx Ey F 0表示一个圆 , 该方程称为圆的一般方 程.
小结:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程之间的关系; D E 1 a ,b , r D 2 E 2 4 F ( D 2 E 2 4 F 0) 2 2 2 (2)圆的标准方程的优点在于它明确指出了圆的圆心 及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点.
5.圆的一般方程与二元二 次方程 Ax Bxy Cy Dx Ey F 0的关系.
2 2
当A C 0, B 0, D E 4 AF 0时
2 2
二元二次方程才表示圆 的一般方程 .
圆的一般方程特点 : 2 2 x y Dx Ey F 0
(1) x 和y 系数相同 , 不等于0;
2 2
(2)没有xy这样的二次项 .
练习: 求各圆的半径和圆心坐 标: (1) x y 6 x 0 ;
2 2
(2) x 2 y 2 2by 0(b 0); (3) x 2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0(a 0).
C
)
3.x y ax 2ay 2a a 1 0
2 2 2
表示圆, 则a的取值范围是(
D
)
2 2 A. ,2 B. ,2 C. 2,0 D. 2, 3 3 a 2 3 2 2 法一 : ( x ) ( y a) a a 1 2 4 3 2 a a 1 0 法二 : 特殊值法 4 2 2 法三 : 利用公式D E 4F 0
由题意得:
(a 2) 2 (b 4) 2 (a 8) 2 (b 6) 2 , b6 1 ( ) 1; a 8 3
a b 4, 3a b 18.
11 3 2 125 a ,b , r . 2 2 2
11 2 3 2 125 所求方程为( x ) ( y ) . 2 2 2
4.已知一曲线是与两个定 点 1 O(0,0)、A(3,0)距离的比为 的 2 y 点的轨迹, 求此 M 曲线的方程 , 并画出曲线 .
C O
x
பைடு நூலகம்
x 1
2
y 4
2
5..圆心在x轴, 半径是5且以A(5,4) 为中点的弦长是 2 5 , 则这个圆 的方程是(
2 2
A. x 3 y 25
(待定系数法)
点评:
(1)若知道或涉及圆心和半径, 我们一般采用圆的标准方程较简单; (2)若已知三点求圆的方程,我们常常 采用圆的一般方程用待定系数法求解.
例2求过点A(2,4)且与直线l : x 3 y 26 0 相切于点B(8,6)的圆的方程 .
解(法1) : 设所求圆方程为 ( x a)2 ( y b)2 r 2 ,