华东师大版九年级上册数学第22章复习
华师大版九年级数学上册同步教学课件 第22章单元复习
17．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工 具．某运动商场的自行车销售量自2016年起逐月增加，据统计，该商场1 月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．
(1)若该商场前4个月的自行车销售的月平均增长率相同，问该商场4月 份卖出多少辆自行车？
(2)考虑到自行车需求不断增加，该商场准备投入3万元再购进一批两 种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型 车的进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验A型车不少于B 型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润 最大，该商场应如何进货？
C．±2
D．±12
3．关于x的一元二次方程5x2－2 5x＋1＝0的根的情况是( C )
A．有两个不相等的实数根
B．无实数根
C．有两个相等的实数根
D．无法确定
4．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则xx21＋xx12的值为( B ) A．5 B．－5 C．1 D．－1
5．(2015·广州)已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且
解：(1)设月平均增长率为x，根据题意得64(1＋x)2＝100，解得x＝0.25＝
25%或x＝－2.25(舍去).4月份的销量为100(1＋25%)＝125(辆)．答：该商场4月
30000－500a 份卖出125辆自行车 (2)设购进A型车a辆，则购进B型车 1000 辆，根据
30000－500a
这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则三角形ABC的周长
为( B ) A．10 B．14 C．10或14 D．8或10
6．如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a＝1，
第22章 一元二次方程复习和小结-九年级数学上册(华东师大版)
3.使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元 二次方程的解也叫做一元二次方程的根.
第22章 一元二次方程
二、一元二次方程的解法 解法一：直接开平方法 ➢ 变形：将方程化为含未知数的完全平方式＝非负常 数的形式； ➢ 开方：利用平方根的定义，将方程转化为两个一元一次方程； ➢ 求解：解一元一次方程，得出方程的根．
， x1x2=
2a 2 a
，
因为
x1
-
x1x2
+
x2
=
1
-
a，所以
3a 1 a
2a a
2
1
a，即 a 1 a
1
a，
解得 a1 = 1，a2 = - 1.当 a = 1 时，原方程有两个相等的
实数根，不合题意，舍去.所以 a = -1.
第22章 一元二次方程
5
∵5k + 20＜0，∴Δ＜0，∴没有实数根.
第22章 一元二次方程
5.已知一元二次方程：①x2 + 2x + 3 =0，②x2 - 2x - 3 = 0，下列说法正确
的是( B ) A.①②都有实数解
B.①无实数解，②有实数解
C.①②都无实数解 D.①有实数解，②无实数解
【解析】选 B.一元二次方程①的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 - 12= - 8 ＜0，所以方程无实数根；一元二次方程②的判别式的值为 Δ = b2 - 4ac = 4 + 12 = 16＞0，所以方程有两个不相等的实数根.
15 ，x2
3 3
15
（5）3x
华东师大版数学九年级上册第22章和23章单元复习测试题附答案(各一套)
华东师大版数学九年级上册第22章单元测试题一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1.下列方程中，是一元二次方程共有（）①x2−x3+3=0②2x2−3xy+4=0③x2−1x=4④x2=1⑤3x2+x=20．A.2个B.3个C.4个D.5个2.一元二次方程x2−1=0的根为（）A.x=1B.x=−1C.x1=1，x2=−1D.x=23.把方程(2x−1)(3x+2)=x2+2化成一般形式后，二次项的系数和常数项分别是（）A.5，−4B.5，1C.5，4D.1，−44.方程x2=x的两根分别为（）A.x1=−1，x2=0B.x1=1，x2=0C.x1=−l，x2=1D.x1=1，x2=15.已知2是关于x的方程：x2−x+a=0的一个解，则2a−1的值是（）A.5B.−5C.3D.−36.用配方法解方程x2−2x−6=0时，原方程应变形为（）A.(x+1)2=7B.(x−1)2=7C.(x+2)2=10D.(x−2)2=107.对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，下列说法：①若a+c=0，方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根；②若方程ax2+bx+c=0有两个不等的实数根，则方程cx2+bx+a=0也一定有两个不等的实数根；③若c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有ac+b+1=0成立；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b)2成立，其中正确的只有（）A.①②④B.②③C.③④D.①④8.已知关于x的一元二次方程x2+mx+4=0有两个正整数根，则m可能取的值为（）A.m>0B.m>4C.−4，−5D.4，59.设a、b是两个整数，若定义一种运算“△”，a△b=a2+ab，则方程x△(x−2)=12的实数根是（）A.x1=−2，x2=3B.x1=2，x2=−3C.x1=−1，x2=6D.x1=1，x2=−610.关于x的一元二次方程x2−mx+5(m−5)=0的两个正实数根分别为x1，x2，且2x1+ x2=7，则m的值是（）A.2B.6C.2或6D.7二、填空题（共10小题，每小题3分，共30分）11.用配方法解方程时，把方程x2−8x+3=0化成(x+m)2=n的形式，则m−n=________．12.某公司一月份的产值为70万元，二、三月份的平均增长率都为x，三月份的产值比二月份产值多10万元，则可列方程为________．13.方程√2x2−√3x−1=0的解为________．14.红星化工厂要在两年内使工厂的年利润翻一番，那么在这两年中利润的年平均增长率是________．15.若两个连续偶数的积为288，则这两个连续偶数的和为________．16.方程x2+3x+1=0的两个根为α、β，则√αβ+√βα的值为________．17.已知关于x的一元二次方程x2−(k+1)x−6=0的一个根是2，求方程的另一根x1=________和k=________．18.设a、b是方程x2+x−2014=0的两个实数根，则(a+1)2+b的值为________．19.方程√3x−2=x的解是________．20.如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程________．三、解答题（共6小题，每小题10分，共60分）21.解方程：①(2x−1)2=9（直接开平方法）②x2+3x−4=0（用配方法）③x2−2x−8=0（用因式分解法）④(x+4)2=5(x+4)⑤(x+1)(x+2)=2x+4⑥x2+2x−9999=0．22.已知关于x的方程x2−(2m+1)x−(2m−1)=0的一个根为1，求m的值．23.已知m是方程x2−2014x+1=0的一个根，求代数式2m2−4027m−2+2014m2+1的值．24.把方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)5x2=3x；(2)(√2−1)x+x2−3=0；(3)(7x−1)2−3=0；(4)(x2−1)(x2+1)=0；(5)(6m−5)(2m+1)=m2．25.设x1、x2是关于x的方程x2−4x+k+1=0的两个实数根．试问：是否存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立，请说明理由．26.已知：关于x 的方程x 2+(2m +4)x +m 2+5m 没有实数根． (1)求m 的取值范围；(2)若关于x 的一元二次方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；(3)设(2)中方程的两根分别为α、β，若α:β=1:2，且n 为整数，求m 的最小整数值．参考答案：1.B2.C3.A4.B5.B6.B7.D8.C9.A 10.B 11.−1712.70(1+x)2=70(1+x)+10 13.x 1=√6+√3√2+84，x 2=√6−√3√2+8414.√2−1 15.34或−34 16.317.−3−2 18.201419.x 1=1，x 2=220.(30−2x)(20−x)=6×78 21.解：①(2x −1)2=9，开方得：2x −1=3或2x −1=−3， 解得：x 1=2，x 2=−1； ②x 2+3x −4=0，方程变形得：x 2+3x =4， 配方得：x 2+3x +94=254，即(x +32)2=254，开方得：x +32=±52，解得：x 1=1，x 2=−4；③x 2−2x −8=0，分解因式得：(x −4)(x +2)=0， 解得：x 1=4，x 2=−2；④方程整理得：(x +4)2−5(x +4)=0， 分解因式得：(x +4)(x +4−5)=0， 解得：x 1=−4，x 2=1；⑤方程整理得：(x +1)(x +2)−2(x +2)=0， 分解因式得：(x +2)(x +1−2)=0，解得：x1=−2，x2=1；⑥方程移项得：x2+2x=9999，配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，开方得：x+1=100或x+1=−100，解得：x1=99，x2=−101．22.解：把x=1代入x2−(2m+1)x−(2m−1)=0得1−2m−1−2m+1=0，解得m=14．23.解：∵m是方程x2−2014x+1=0的一个根，∴m2−2014m+1=0，∴m2=2014m−1，m2+1=2014m，∴原式=2(2014m−1)−4027m−2+20142014m=m+1m−4=m2+1m−4=2014mm−4=2014−4=2010．24.解：(1)方程整理得：5x2−3x=0，二次项系数为5，一次项系数为−3，常数项为0；(2)x2+(√2−1)x−3=0，二次项系数为1，一次项系数为√2−1，常数项为−3；(3)方程整理得：49x2−14x−2=0，二次项系数为49，一次项为−14，常数项为−2；(4)方程整理得：14x2−1=0，二次项系数为14，一次项系数为0，常数项为−1；(5)方程整理得：11m2−4m−5=0，二次项系数为11，一次项系数为−4，常数项为−5．25.解：∵方程有实数根，∴b2−4ac≥0，∴(−4)2−4(k+1)≥0，即k≤3．∵x=4±√(−4)2−4(k+1)2=2±√3−k，∴x1+x2=(2+√3−k)+(2−√3−k)=4，x1⋅x2=(2+√3−k)⋅(2−√3−k)=k+1若x1⋅x2>x1+x2，即k+1>4，∴k>3．而k≤3，因此，不存在实数k，使得x1⋅x2>x1+x2成立．26.解：(1)∵关于x的方程x2+(2m+4)x+m2+5m没有实数根，∴△=(2m+4)2−4×1×(m2+5m)<0，∴m>4，∴m 的取值范围是m >4；(2)由于方程mx 2+(n −2)x +m −3=0有两个实数根可知m ≠0， 当m >4时，m−3m>0，即方程的两根之积为正，故方程的两根符号相同． (3)由已知得：m ≠0，α+β=−n−2m，α·β=m -3m．∵α:β=1:2， ∴3α=−n−2m，2a 2=m−3m．(n−2)29m 2=m−32m，即(n −2)2=92m(m −3)． ∵m >4，且n 为整数，∴m 为整数；当m =6时，(n −2)2=92×6×3=81．∴m 的最小值为6．华东师大版数学九年级上册第23章单元测试题一、选择题(每小题3分，共24分)1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A ．4cm ，2cm ，1cm ，3cm B ．1cm ，2cm ，3cm ，5cm C ．3cm ，4cm ，5cm ，6cm D ．1cm ，2cm ，2cm ，4cm2．如果x 2＝y 3，那么x ＋yx －y的值是（ ）A ．5B ．1C ．－5D ．－13．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为（ ）A ．1∶25B ．1∶5C ．1∶2.5D ．1∶ 54．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于E ，交BD 于F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为（ ） A ．4 B ．7 C ．3 D ．12第4题图5．如图，线段AB 两个端点的坐标分别为A (4，4)，B (6，2)，以原点O 为位似中心，在第一象限内将线段AB 缩小为原来的12后得到线段CD ，则端点C 和D 的坐标分别为（ ）A ．(2，2)，(3，2)B ．(2，4)，(3，1)C ．(2，2)，(3，1)D ．(3，1)，(2，2)第5题图6．如图，在平面直角坐标系中，A(0，4)，B(2，0)，点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角形与△AOB相似(不包括全等)，则点C的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第6题图7．阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下2.7米的亮区DE(如图所示)，已知亮区到窗口下的墙角的距离EC＝8.7米，窗口高AB＝1.8米，则窗口底边离地面的高BC为（）A．4米 B．3.8米 C．3.6米 D．3.4米第7题图8．如图，正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，∠ACB的平分线分别交AB、BD于M、N两点．若AM＝2，则线段ON的长为（）A.22B.32C．1 D.62第8题图二、填空题(每小题3分，共30分)9．如图，为估计池塘两岸边A，B两点间的距离，在池塘的一侧选取点O，分别取OA，OB 的中点M，N，测得MN＝32m，则A，B两点间的距离是m.第9题图10．如图，是象棋棋盘的一部分，若位于点(1，－2)上，位于点上，则位于点(－2，1)上．第10题图11．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD AB ＝13，DE ＝6，则BC 的长是.第11题图12．如图，在△ABC 中，D 是AB 边上的一点，连接CD ，请添加一个适当的条件，使△ABC ∽△ACD (只填一个即可)．13．在同一坐标系中，图形a 是图形b 向上平移3个单位长度得到的，如果图形a 中的点A 的坐标为(4，－2)，则图形b 中与点A 对应的点A ′的坐标为．第12题图14．如图，正方形OABC 与正方形ODEF 是位似图形，点O 为位似中心，相似比为1∶3，点A 的坐标为(0，1)，则点E 的坐标是．第14题图第15题图15．如图，在Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，DE 为Rt △CDB 的斜边BC 上的高．若BE ＝6，CE ＝4，则CD ＝.16．如图，在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠B ＝90°，AC ＝10 2.四边形BDEF 是△ABC 的内接正方形(点D 、E 、F 在三角形的边上)，则此正方形的面积是.第16题图第17题图第18题图17．如图，公园内有一个长5米的跷跷板AB ，AB 与地面平行，当支点O 在距离A 端2米时，A 端的人可以将B 端的人跷高1.5米，那么当支点O 在AB 的中点时，A 端的人下降同样的高度可以将B 端的人跷高米．18．如图，在四边形ABCD 中，∠BCD ＝90°，AD ∥BC ，BC ＝CD .E 为四边形ABCD 内一点且∠BEC ＝90°，将△BEC 绕C 点旋转90°，使BC 与DC 重合，得到△DCF .连接EF 交CD 于M ，已知BC ＝10，CF ＝6，则ME ∶MF 的值为.三、解答题(共66分)19．(8分)图中的两个多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似(各字母已按对应关系排列)，∠A ＝∠D 1＝135°，∠B ＝∠E 1＝120°，∠C 1＝95°. (1)求∠F 的度数；(2)如果多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，求C 1D 1的长度．20．(6分)如图所示，AD 、BE 是钝角△ABC 的边BC 、AC 上的高，求证：AD BE ＝ACBC.21．(6分)如图，M 、N 为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米、AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．22．(7分)已知：△ABC在平面直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)、B(3，4)、C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；(2分)(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．23．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．24．(10分)如图，在△ABC中，AB＝AC，点P、D分别是BC、AC边上的点，且∠APD＝∠B.(1)求证：AC·CD＝CP·BP；(2)若AB＝10，BC＝12，当PD∥AB时，求BP的长．25．(10分)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O.M为AD中点，连接CM 交BD于点N，且ON＝1.(1)求BD的长；(2)若△DCN的面积为2，求四边形ABNM的面积．26．(12分)如图，正方形OABC的边OA，OC在坐标轴上，点B的坐标为(－4，4)．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向点O运动；点Q从点O同时出发，以相同的速度沿x轴的正方向运动，规定点P到达点O时，点Q也停止运动．连接BP，过P点作BP 的垂线，与过点Q平行于y轴的直线l相交于点D.BD与y轴交于点E，连接PE.设点P运动的时间为t(s)．(1)∠PBD的度数为45°，点D的坐标为(t，t)(用t表示)；(2)当t为何值时，△PBE为等腰三角形？参考答案：1．D 2.C 3.D 4.B 5.C 6.D 7.A8．C 解析：作MH ⊥AC 于H ，如图.∵四边形ABCD 为正方形，∴∠MAH ＝45°，∴△AMH 为等腰直角三角形，∴AH ＝MH ＝22AM ＝22×2＝2. ∵CM 平分∠ACB ，∴BM ＝MH ＝2，∴AB ＝2＋2，∴AC ＝2AB ＝(2＋2)×2＝22＋2，∴OC ＝12AC ＝2＋1，CH ＝AC －AH ＝22＋2－2＝2＋2. ∵BD ⊥AC ，∴ON ∥MH ，∴△CON ∽△CHM ，∴ON MH ＝OCCH ，即ON 2＝2＋12＋2， ∴ON ＝1.故选C.9．64 10.(－2，1) 11.1812．∠B ＝∠ACD (答案不唯一) 13.(4，－5) 14．(3，3) 15.210 16.25 17.118．3∶4 解析：由题意知△BCE 绕点C 顺时转动了90°，∴△BCE ≌△DCF ，∠ECF ＝∠DFC ＝90°，∴CD ＝BC ＝10，DF ∥CE ，∴∠ECD ＝∠CDF .∵∠EMC ＝∠DMF ，∴△ECM ∽△FDM ，∴ME ：MF ＝CE ：DF .∵DF ＝CD 2－CF 2＝8，∴ME ：MF ＝CE ：DF ＝6：8＝3：4.19．解：(1)∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1相似，又∠C 和∠C 1、∠D 和∠D 1、∠E 和∠E 1是对应角，∴∠C ＝95°，∠D ＝135°，∠E ＝120°.由多边形内角和定理，知∠F ＝720°－(135°＋120°＋95°＋135°＋120°)＝115°；(4分)(2) ∵多边形ABCDEF 和A 1B 1C 1D 1E 1F 1的相似比是1：1.5，且CD ＝15cm ，∴C 1D 1＝15×1.5＝22.5(cm)．(8分)20．解：∵AD 、BE 是钝角△BAC 的高，∴∠BEC ＝∠ADC ＝90°.(2分)又∵∠DCA ＝∠ECB ，∴△DAC ∽△EBC .(5分)∴AD BE ＝AC BC.(6分) 21．解：在△ABC 与△AMN 中，∠A ＝∠A ，AC AB ＝3054＝59，AM AN ＝10001800＝59， ∴AC AB ＝AM AN ，即AC AM ＝AB AN，∴△ABC ∽△ANM ，(3分) ∴AC AM ＝BC MN ，即301000＝45MN，∴MN ＝1.5千米．(5分) 答：M 、N 两点之间的直线距离是1.5千米．(6分)22．解：(1)(2，－2)(2分)(2)(1，0)(4分)(3)10(7分)22．解：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(2分)∵∠ADC ＝∠B ＋∠BAD ，∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ，而∠B ＝∠ADE ，∴∠BAD ＝∠EDC .(5分)∴△ABD ∽△DCE .∴AB DC ＝BD EC .∴84＝2EC.∴EC ＝1.(7分) 23．(1)证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C .(1分)∵∠APD ＝∠B ，∴∠APD ＝∠B ＝∠C .∵∠APC ＝∠BAP ＋∠B ，∠APC ＝∠APD ＋∠DPC ，∴∠BAP ＝∠DPC ，∴△ABP ∽△PCD ，(3分)∴BP CD ＝AB CP ，∴AB ·CD ＝CP ·BP .∵AB ＝AC ，∴AC ·CD ＝CP ·BP ；(5分)(3) 解：∵PD ∥AB ，∴∠APD ＝∠BAP .∵∠APD ＝∠C ，∴∠BAP ＝∠C .∵∠B ＝∠B ，∴△BAP ∽△BCA ，∴BA BC ＝BP BA .(8分)∵AB ＝10，BC ＝12，∴1012＝BP 10，∴BP ＝253.(10分) 24．解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC ，OB ＝OD ，∴∠DMN ＝∠BCN ，∠MDN ＝∠NBC ，∴△MND ∽△CNB ，∴MD CB ＝DN BN.(2分)∵M 为AD 中点，∴MD ＝12AD ＝12BC ，即MD CB ＝12， ∴DN BN ＝12，即BN ＝2DN . 设OB ＝OD ＝x ，则有BD ＝2x ，BN ＝OB ＋ON ＝x ＋1，DN ＝x －1， ∴x ＋1＝2(x －1)，解得x ＝3，∴BD ＝2x ＝6；(5分)(2) ∵△MND ∽△CNB ，且相似比为1∶2，(3) ∴MN ∶CN ＝DN ∶BN ＝1∶2，(4) ∴S △MND ＝12S △CND ＝1，S △BNC ＝2S △CND ＝4. (5) ∴S △ABD ＝S △BCD ＝S △BCN ＋S △CND ＝4＋2＝6，(8分)(6) ∴S 四边形ABNM ＝S △ABD －S △MND ＝6－1＝5.(10分)26．解：(1)45° (t ，t )(4分)(2)由题意，可得AP ＝OQ ＝1×t ＝t ，∴AO ＝PQ .(5分)∵四边形OABC 是正方形，∴AO ＝AB ，∴AB ＝PQ .∵DP ⊥BP ，∴∠BPD ＝90°.∴∠BPA ＝90°－∠DPQ ＝∠PDQ .又∵∠BAP ＝∠PQD ＝90°，∴△PAB ≌△DQP .(7分)∴AP ＝DQ ＝t ，PB ＝PD .显然PB ≠PE ，分两种情况：若EB ＝EP ，则∠EPB ＝∠EBP ＝45°，此时点P 与O 点重合，t ＝4； 若BE ＝BP ，则△PAB ≌△ECB .∴CE ＝PA ＝t .(9分)过D 点作DF ⊥OC 于点F ，易知四边形OQDF 为正方形，则DF ＝OF ＝t ，EF ＝4－2t .∵DF ∥BC ，∴△BCE ∽△DFE ，∴BC DF ＝CE EF ，∴4t ＝t 4－2t.解得t ＝－4±42(负根舍去)． ∴t ＝42－4.(11分)综上，当t ＝42－4或4时，△PBE 为等腰三角形．(12分)。
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第二课时共23张)
（2）有两个不等实根；m-1≠0且Δ＞0
（3）有两个实数根； △≥0且m-1≠0
（4）无实数根；
△＜0且m-1≠0
（5）只有一个实数根； m-1=0
（6）有实根.
△≥0或者m-1=0
*知识点二：一元二次方程的根与系数的关系
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，b2-4ac≥0) 的两个根为：
x1 b
数里，当且仅当b2-4ac≥0时，才能应用根与
系数的关系.
3.可以通过一元二次方程的系数判断方程根 的情况.
课后巩固
1、下列方程无实数根的是
。
①x-2＝3+x；②x2+x+1＝0；
③x2+bx-1＝0；④ax2+bx+1＝0(a＞0)；
⑤ 2 x2+ 6 x+1＝0.
2、若关于x的一元二次方程(a-2)x2-2ax+a+1=0 没有实数根,求ax+3＞0的解集(用含a的式子表示)
3、设x1、x2是方程2x2+3x-5＝0的两个根， 求下式的值: (1)(x1-3)(x2-3)；(2)|x1-x2|；
11 (3) x12 x22
4、不解方程，判断下列方程根的情况： ① x²-4x-1=0 ② x²+5=2x ③ x²-mx+m²+1=0
5、k取何值时，方程4x²-(k+2)x+(k-1)=0 ①有一个根是-1; ②有两个相等的实根.
配方法
x2
bx
b 2
2
x
b 2
2
cc
0
求根公式法 x b b2 4ac 0
2a
九年级数学上册 第22章 一元二次方程复习课件 (新版)华东师大版
方 程 (3) 配方法 的
当二次项系数为1的时候，
方程两边同加上一次项系数 一半的平方
适应于任何一个一元 二次方程
解
法
(4)公式法
b b2 4ac
当 b2 4ac 时0 x
2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何一个一 元二次方程
第三页，共6页。
随堂 练习 用适当方法(fāngfǎ)解下列方程 （1） ( x 1)2 0
（2） x2 4x 5 0 (3) 5x2 x 0 （4） 3x2 6x 2 0
（5） 3x 22 4x2 0
第四页，共6页。
随堂 练习
不解方程，判断(pà nduà n)下列方程根的情况：
（1）5(x2-1)-x=0; （2）9x2+ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx+1=0; （3）6x2+8x=-3.
22章 一元二次方程
第一页，共6页。
选择适当的方法求解(qiú jiě)下
列方程
(1) (x 10)2 3
-----直接(zhíjiē)开平
方法
(2) x2 6x 3 0
-----配方法 (fāngfǎ)
（3） 9x2 10x 4 0 -------公式法
(4) 2x2 5x 0
第五页，共6页。
思考题
1、 m取什么(shén me)值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有两个相等的实数解
2、关于x的一元二次方程（k+1)x2-2(k-1)x+k=0有两 个不相等实数(shìshù)根，求k的取值范围.
第六页，共6页。
----------因式分解法
第二页，共6页。
华东师大版数学九年级上册22章一元二次方程复习课件(第一课时共30张)
及时反馈
1、下列方程是不是一元二次方程，若不是 一元二次方程，请说明理由：
(1) (x-1)2=4 (2) x2-2x=8 (3) x2=y+1
(4) x3-2x2=1 (5) ax2+bx+c=0 (6) 32x+x=1 (7) x2-3x+4=x2-7 (8) 3x2 1 2 0
华东师大版九年级上册
第22章 一元二次方程 章末复习 第一课时
学而不疑则怠，疑而不探则空
全章知识结构
一元二次方程 方程两边都是整式
的定义
只含有一个未知数
一 ax²+bx+c=0(a0) 未知数的最高次数是2
元
直接开平方法 (x a)2 b b 0
二
次 一元二次方程
方
的解法
程
因式分解法 (x a)(x b) 0
⑤(x-3)2=2(3-x) ⑥5(m+2)2=8 ⑦3y2-y-1=0
⑧2x2+4x-1=0 ⑨(x-2)2-16=0 ⑩x2-6x-9991=0
合适运用直接开平方法的
；
合适运用因式分解法的
；
合适运用公式法的
；
合适运用配方法的
.
3、将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加
一条竖线记成 a
c
b ，定义 a
一元二次方程，则( C )
A、m=±2
B、m=2
C、m=-2
D、m≠ ±2
4、若 m 2x2 m 2x 2 0是关于x的一元
二次方程，则m 。
5、若方程 (m 2)xm2 2 (m 1)x 2 0 是 关于x的一元二次方程，则m的值为 。
华东师大版第22章《一元二次方程》章节知识汇编与习题
华东师大版九年级上册第22章《一元二次方程》知识汇编22.1：一元二次方程【基础知识】知识点1：一元二次方程的定义1、（南阳期中）下列方程是一元二次方程的是（ ） A 、12-=x B 、0112=-+xx C 、012=++y x D 、1223=-x x 2、（教材P 20习题T 1变式）若方程()0112=++-mx x m 是关于x 的一元二次方程，则m 应满足的条件是（ ）A 、任何实数B 、0≠mC 、1≠mD 、1-≠m 知识点2：一元二次方程的一般形式3、将一元二次方程x x 2432-=-化为一般形式后，其二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A 、3，4-，2-B 、3，2，4-C 、3，2-，4-D 、2，2-，0 4、（驻马店月考）一元二次方程()()23252-=+-x x x 的一般形式是（ ） A 、4652-=--x x x B 、172=-x x C 、0172=--x x D 、0972=--x x 知识点3：一元二次方程的解6、（广东中考）若2是方程032=+-k x x 的一个根，则常数k 的值为 （ ） A 、1 B 、2 C 、1- D 、2-7、（宁夏中考）若32-是方程042=+-c x x 的一个根，则c 的值是（ ） A 、1 B 、33- C 、31+ D 、32+ 知识点4：根据实际问题列一元二次方程10、（白银中考）用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米。
若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为（ ）A 、()65=+x xB 、()65=-x xC 、()610=-x xD 、()6210=-x x11、根据下列问题，列出关于x 的方程（不必求解），并将其化为一般形式。
（1）正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；（2）小明的母亲用125元钱买回一些同样价格的衬衫，已知每件衬衫的价格恰好是衬衫总件数的6倍还少5元，求小明母亲共买回衬衫的件数x.易错点1：忽略一元二次方程二次项系数不为0而出错12、若()02611||=-+++x x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为_____； 易错点2：确定各项时未化为一般形式而出错13、一元二次方程()()11122-=++-x x x m x 的一次项系数为2-，则m 的值为______；【方法指导】①已知一元二次方程的根求方程中待定字母的值时，一般将根代入原方程中即可求解；②已知一元二次方程的根求代数式的值时，若方程中的参数无法求出，应采用整体思想解决问题，将所求代数式的一部分看成一个整体，通常这部分通过已知条件可求出，将其整体代入即可求解。
华师大版九年级数学上册课件：第二十二章单元知识梳理 (共23张PPT)
跟踪训练
x3=0，x4=-3
名师讲解
要点三：一元二次方程的解法
【例3】（1）方程x2-4x=0的解是
;
（2）方程x2-3x+1=0的解是
;（3）方程(x-1)2=4的解是
;
（4）解方程：x2+4x+1=0.
【分析】要注意对方程的结构及系数特征进行观察，以便选用最为
合适的方法.（1）可采用因式分解法，（3）可直接开方， （2）（4）可用公式法或配方法.
【解答】
跟踪训练
4.若（a2+b2）（a2+b2-2）=8，则a2+b2的值为 （ B ）
A.4或-2 B.4 C.-2 D.-4 5.三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2-
13x+40=0的根，则该三角形的周长为 12 ．
跟踪训练
跟踪训练
名师讲解
要点四：配方法的应用 【例4】用配方法证明，多项式2x4-4x2-1的值总大于x4-2x2-4的值. 【分析】此题首先将两式相减，然后再用配方法确定正负即可. 【解答】据题意得（2x4-4x2-1）-（x4-2x2-4）=2x4-4x2-1-
名师讲解
设销售单价定为x元，则月销售量为［500-(x-50)×10］千克， 每千克销售利润为(x-40)元， 月销售利润为｛(x-40)［500-(x-50)×10］｝元， 即（-10x2+1400x-40000）元， 由题意可列方程-10x2+1400x-40000=8000，解得x1=60，x2=80. 当x=60时，月销售成本是: 40×［500-(60-50)×10］=16000（元）； 当x=80时，月销售成本是: 40×［500-(80-50)×10］=8000（元）. 由于8000<10000<16000，所以销售单价应为每千克80元.
九年级数学上册 第22章 一元二次方程单元复习课件华东师大级上册数学课件
)
C
A．x2＋9x－8＝0 B．x2－9x－8＝0
C．x2－9x＋8＝0 D．2x2－9x＋8＝0
第十五页，共二十三页。
13．(2019·恩施州)某商店销售富硒农产品，今年1月开始盈利，2月份盈利240000元，4月
份盈利290400元，且从2月份到4月份，每月盈利的平均(píngjūn)增长率相同，则每
C．(x－2)2＝3 D．( x－2)2＝5
第五页，共二十三页。
5．用恰当(qiàdàng)的方法解方程： (1)4x2－144＝0
解：x1＝6，x2＝－6 x2＝－3－4 33
(2)2x2＋3x＝3；
解：x1＝－3＋4 33
第六页，共二十三页。
(3)x2－2x＋1＝25 解：x1＝6，x2＝－4
(1)求2018年甲类芯片的产量；
解：(1)设2018年甲类芯片的产量(chǎnliàng)为x万块，由题意得x＋2x＋(x＋2x)＋400 ＝2800，解得x＝400，答：2018年甲类芯片的产量为400万块
第二十页，共二十三页。
(2)HW公司计划2020年生产(shēngchǎn)的手机全部使用自主研发的“QL”系列芯 片．从2019年起逐年扩大“QL”芯片的产量，2019年、2020年这两年，甲类芯片每年的 产量都比前一年增长一个相同的百分数m%，乙类芯片的产量平均每年增长的百 分数比m%小1，丙类芯片的产量每年按相同的数量递增.2018年到2020年，丙类芯片三年 的总产量达到1.44亿块．这样，2020年的HW公司的手机产量比2018年全年的手机产量 多10%，求丙类芯片2020年的产量及m的值．
格全部售出．如果这批旅游纪念品共获利1250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售
价格为多少元？
华师大版九年级数学上册第22章复习课件
(2)该果农把今年收获的樱桃、枇杷两种水果的一部分运往市场销售，该 果农去年樱桃的市场销售量为100千克，销售均价为30元/千克，今年樱桃 的市场销售量比去年减少了m%，销售均价与去年相同；该果农去年枇杷 的市场销售量为200千克，销售均价为20元/千克，今年枇杷的市场销售量 比去年增加了2m%，但销售均价比去年减少了m%，该果农今年运往市场 销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇杷的市场销售总 金额相同，求m的值．
16．某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元 的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商 店为了适当增加销量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可 多售出50个，但售价不得低于进价，单价降低x元销售，销售一周后，商店 对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出．如果这批旅游纪 念品共获利1 250元，那么第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？
14．在国庆节的一次同学聚会上，每人都向其他人赠送了一份小礼品， 共互送110份小礼品，则参加聚会的有_1_1__名同学．
15．为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读 书，并统计每年的借阅人数和图书借阅总量(单位：本).该阅览室在2017年 图书借阅总量是7 500本，2019年图书借阅总量是10 800本．
华师版
第22章 一元二次方程
章末复习(二) 一元二次方程
知识点一 一元二次方程的有关概念
1．ax2＋bx＋c＝0是关于x的一元二次方程的条件是( C )
A．a，b，c为任意实数 B．a，b不同时为0
2016年秋季新版华东师大版九年级数学上学期第22章、一元二次方程单元复习课件9
◆考前过三关
◆知识网络 ◆考点突破
▲考点一 §例题1 ▲考点二 §例题2 ▲考点三 §例题3 ▲考点四 §例题4 ▲考点五 §例题5
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华东师大版中学数学九年级上第22章一元二次方程22
第22章一元二次方程22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题教学反思教学目标1.掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学重难点重点：掌握建立数学模型解决增长率与降低率问题.难点：正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.教学过程导入新课【问题1】活动1（学生交流，教师点评）例1某村种的水稻每公顷产量的年平均增长率为x.第一年平均每公顷产8000kg，则第二年种的水稻平均每公顷的产量为，第三年种的水稻平均每公顷的产量为 .【答案】8000（1+x）kg8000（1+x）2 kg例2某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为108元，已知两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x.根据题意，列方程为.【答案】168(1-x)2＝108教师总结并引出课题：22.3实践与探索第2课时平均变化率与利润问题探究新知探究点一利用一元二次方程解决增长（降低）率问题【问题2】活动2（学生交流，教师点评）例3前年生产1吨甲种药品的成本是5 000元，随着生产技术的进步，今年生产1吨甲种药品的成本是3 000元，求甲种药品成本的年平均下降率.【探索思路】(引发学生思考)设甲种药品成本的年平均下降率是x，则去年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x )元，如果保持这个下降率，那么今年生产1吨甲种药品的成本是5 000(1-x )2元.【解】设甲种药品成本的年平均下降率是x ， 根据题意，得5 000(1-x )2＝3 000， 解方程，得x 1≈0.225，x 2≈1.775.根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5％. 【点拨】解决“变化率问题”的关键步骤：找出变化前的数量、变化后的数量及相应的等量关系. 【归纳】“变化率问题”的基本特征：平均变化率保持不变.若平均增长(或降低)百分率为x ,增长(或降低)前的量是a ,增长(或降低)n 次后的量是b ,则它们的数量关系可表示为a (1±x )n ＝b (其中增长取“+”,降低取“-”).【即学即练】1.某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元.求3月份到5月份营业额的月平均增长率. 【解】设3月份到5月份营业额的月平均增长率为x ， 根据题意，得400×(1+10%)(1+x )2＝633.6. 解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝-2.2(不合题意，舍去). 答：3月份到5月份营业额的月平均增长率为20%. 探究点二 利用一元二次方程解决利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝ 利润进价100%. (3)总利润＝单件的利润×销量.【问题3】活动3（学生交流，教师点评）例4 某特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100 kg.后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售量可增加20 kg.若该专卖店销售这种核桃想要平均每天获利2240元，请解答下列问题：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？教学反思【探索思路】确定题中等量关系→建立方程模型→解方程解决问题.【解】（1）设每千克核桃应降价x 元.根据题意，得（60-x -40）201002x ⎛+⨯⎫⎪⎝⎭＝2 240.化简，得x 2-10x +24＝0， 解得x 1＝4，x 2＝6.故每千克核桃应降价4元或6元.（2）由（1）可知，每千克核桃可降价4元或6元， 而要尽可能让利于顾客， 所以每千克核桃应降价6元.此时，每千克核桃的售价为60-6＝54（元）， 则54÷60×100%＝90%.故该店应按原售价的九折出售.【题后总结】(学生总结，老师点评)在应用一元二次方程解决实际问题时，要注意分析题意，抓住等量关系，列出方程，把实际问题转化为数学问题来解决.求得方程的解之后，要注意检验是否符合题意，最后得到实际问题的解答. 【即学即练】2.某服装店销售一种服装，每件进货价为40元，当以每件80元销售的时候，每天可以售出50件，为了增加利润，减少库存，服装店准备适当降价.据测算，该服装每降价1元，每天可多售出2件.如果要使每天销售该服装获利2 052元，每件应降价多少元？【解】设每件服装应降价x 元.根据题意，得(80-40-x )(50+2x )＝2 052， 解得x 1＝2，x 2＝13. 为了减少库存，取x ＝13. 故每件应降价13元.课堂练习1.某药品经过两次降价，每瓶零售价由112元降为63元.已知两次降价的百分率相同.若设每次降价的百分率为x ，则得到的方程为( ) A.112(1-x )2＝63 B.112(1+x )2＝63 C.112(1-x )＝63D.112(1+x )＝632.某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x 相同，那么得到的方程为( ) A .50(1+x 2)＝196 B .50+50(1+x 2)＝196x C .50+50(1+x )+50(1+x )2＝196教学反思D.50+50(1+x)+50(1+2x)＝1963.某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程，已知今年投资1 000万元，预计后年投资1 210万元.若这两年平均每年投资增长的百分率相同，求平均每年投资增长的百分率.4.某市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售.若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率.5.某公司1 月份的生产成本是400 万元，由于改进生产技术，生产成本逐月下降，3 月份的生产成本是361 万元. 假设该公司2，3，4 月每个月生产成本的下降率都相同. 求：（1）每个月生产成本的下降率.（2）请你预测4 月份该公司的生产成本.6.商场某种商品的进价为每件100元，当售价定为每件150元时平均每天可销售30件.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件.设每件商品降价x元(x为整数).据此规律，请回答：(1)商场日销售量增加____件，每件商品盈利________元(用含x的代数式表示)；(2)在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？参考答案1.A2.C3.【解】设平均每年投资增长的百分率是x.由题意，得1000(1+x)2＝1 210，解得x1＝0.1，x2＝-2.1(舍去).故平均每年投资增长的百分率为10%.4.【解】设平均每次下调的百分率为x，根据题意，得5 000(1-x)2＝4 050.解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9(不合题意，舍去).答：平均每次下调的百分率为10%.5.【解】（1）设该公司每个月生产成本的下降率为x，根据题意，得400(1-x)2＝361.解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95>1（不合题意，舍去）.教学反思答：每个月生产成本的下降率为5%.（2）361×（1-5%）＝342.95（万元）.答：预测4 月份该公司的生产成本为342.95 万元. 6.【解】（1）2x (50-x )(2)根据题意，得(50-x )(30+2x )＝2 100.化简，得x 2-35x +300＝0，解得x 1＝15，x 2＝20. 当x ＝15时，商场日销售量增加2×15＝30（件）； 当x ＝20时，商场日销售量增加2×20＝40（件）. 而30＜40，且商场为了尽快减少库存，所以取x ＝20.故在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元.课堂小结(学生总结，老师点评) 1.平均增长率与降低率若平均增长(或降低)百分率为x ,增长(或降低)前的量是a ,增长(或降低)n 次后的量是b ,则它们的数量关系可表示为a (1±x )n ＝b (其中增长取“+”,降低取“-”). 2.利润问题基本关系：(1)利润＝售价-进价；（2）利润率＝ 利润进价100%； (3)总利润＝单件的利润×销量.在日常生活和社会实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程模型进行求解，然后回到实际问题中进行解释和检验，从而体会数学建模的思想方法.布置作业教材第42页练习第2题，第42页习题22.3第5，6题.板书设计课题 第22章 一元二次方程22.3 实践与探索第2课时 平均变化率与利润问题【问题1】 例1 平均增长率与降低率 【问题2】 例2 利润问题。
九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习上课pptx课件新版华东师大版
②因式分解法 那么这两个因式至少 分解成两个一次因式的
有一个等于0
乘积的一元二次方程
2. 一元二次方程根的判别式 Δ = b2 – 4ac （1）当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根 ； （2）当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根； （3）当 Δ < 0 时，方程无实数根.
在应用时，要根据根的情况限定 Δ 的取值，同时 应注意二次项系数不为 0 这一条件.
当 x2 = 80 时，120 – 0.5× ( 80 – 60 ) = 110 > 100，∴ x = 80，即该校共购买了 80 棵树 苗.
课堂小结
本堂课你能完整地回顾本章所学的有关一元 二次方程的知识吗？你还有哪些困惑与疑问？
教学反思
本课时通过学习归纳本章内容，让学生进 一步系统掌握一元二次方程的解法及其应用， 让学生懂得了如何应用一元二次方程的知识来 解决生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣.
4. 应用一元二次方程解决实际问题，要注重 分析实际问题中的等量关系，列出方程，求出方 程的解，同时要注意检验其是否符合题意.
典例精析
例1 用适当的方法解下列方程
（1）x2 + 12x + 27 = 0 （2）x(x – 2) + x – 2 =
0
（3解）x2（+ 1x）– (2x =+ 43) (x +（9)4=）04(x + 2)2 = 9(2x –
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解：∵60 棵树苗的售价为 120×60 = 7200 （元），而 7200 < 8800，
∴该校购买的树苗超过 60 棵. 设该校共购买了 x 棵树苗，由题意得
x［120 – 0.5(x – 60)］ = 8800， 解得 x1 = 220，x2 = 80.
九年级数学上册第22章一元二次方程章末复习新版华东师大版
16(2（ x1)）2 9 0
解:原方程变形为: (2 x)2 9
16
直接开平方得:
2 x 3
4
x1
5 4
x2
11 4
（2） x(x 2) 1 0
解:原方程变形为:
x2 2x 1 0
(x 1)2 0
x1 x2 1
3. 配方法
我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方 程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法
第22章
章末复习
知识梳理
一元二次方程的概念及解法
一
元
二
根的判别式与系数的关系
次
方
程
一元二次方程的实际应用
1、一元二次方程的概念:等号两边都是 整式 ,只含有 一 个未知数（一 元）,并且未知数的最高次数是 2 （二次）的方程,叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式是:ax2+bx+c=0(a≠0),其中ax2是二次项,a 是二次项系数,bx是一次项,b是一次项系数,c是常数项。
(1)3x(x 2) 5(x 2)
解：移项，得
3x(x 2) 5(x 2)
=0
提公因式得
(3x 5)(x 2) 0
3x 5 0或x 2 0
x1
5 3
x2 2
（2） x(3x 2) 6(3x 2) 0
解:提公因式得:
(3x 2)(x 6) 0
3x 2 0或x 6 0
x1
2 3
x2 6
➢平方差公式与完全平方公式
x2 a形2 如0
运用平方差公式得:
(x a)(x a) 0
x a 0或x a 0
x1 a x2 a
x2 2a形x如 a2 0
华师大版九年级上册数学：22章 章末知识复习
(A)x1≠x2 (C)x1·x2>0
(B)x1+3.关于x的一元二次方程(m-1)x2-2mx+m+1=0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根; (2)m为何整数时,此方程的两个根都为正整数. (1)证明:因为Δ=b2-4ac=(-2m)2-4(m-1)(m+1)=4>0, 所以方程有两个不相等的实数根.
面选项正确的是(
)D
(A)1一定不是方程x2+bx+a=0的根
(B)0一定不是方程x2+bx+a=0的根
(C)1和-1都是方程x2+bx+a=0的根
(D)1和-1不都是方程x2+bx+a=0的根 2.(2018泰州)已知x1,x2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根,下列结论一定正确的是 ( A)
3.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展倡议等多重利好因素,某 汽车零部件生产企业的利润逐年提高,据统计,2016年利润为2亿元,2018年利润为 2.88亿元. (1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率; (2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变,该企业2019年的利润能否超过 3.4亿元? 解:(1)设这两年该企业利润的年平均增长率为x.根据题意得2(1+x)2=2.88, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合题意,舍去). 答:这两年该企业利润的年平均增长率为20%. (2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率,那么2019年该企业年利润为 2.88(1+20%)=3.456, 3.456>3.4. 答:该企业2019年的利润能超过3.4亿元.
(二)一元二次方程的解法
1.(2018安顺)一个等腰三角形的两条边长分别是方程x2-7x+10=0的两根,则该
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2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？ 体会降次在解一元二次方程中的作用．
配方法、公式法和因式分解法． 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程
因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方 程，即降次.
思降 想次
化为一次方程
解一元一 次方程
灿若寒星
【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系. 2.设——直接设未知数或间接设未知数. 3.列——根据等量关系列出一元二次方程. 4.解——解方程,得出未知数的值. 5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合
实际情况. 6.答——完整地写出答案,注意单位.
灿若寒星关于x的方程ax来自-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根
x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1
D.2
【解析】选B.由题意得 x1+x2= 3a ,x11x2= ,因2为a x21-x1x2+x2=1-a,
a
a
所以
3a a
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第22章 一元二次方程
复习和小结
知识梳理
考点分类
复习归纳
灿若寒星
课后作业
知识梳理
一、本章知识结构图
实际问题
设未知数，列 方程
数学问题 ax2 bx c 0a 0
配方法 解
降
方
程
公式法
次
分解因式法
实际问题的答案
检验
数学问题的解
x b b2 4ac 2a
灿若寒星
二、回顾与思考 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数 与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二 元一次方程．
一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ． 一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．
二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1． 一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 ) 一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 )
4x2
0（因式分解法）
x1
2, x2
2 5
灿若寒星
三 根的判别式及根与系数的关系
若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况
是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断 【自主解答】选A.Δ=16+4k= 4(5k+20),
5 ∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.
灿若寒星
【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作 量后每天完成1.2xm2,根据题意,得150 498 150 20,解得x=22.
x 1.2x
经检验,x=22是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170, 解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
灿若寒星
考点分类
一 一元二次方程及根的有关概念
1.若(xa-a32 )7+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为
()
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
灿若寒星
2.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
灿若寒星
用适当方法解下列方程.
（1） ( x 1) 2 0（直接开方法） x1=x2=1
（2） x2 4x 5 0 （配方法） x1=-1,x2=5
(3)
5x2 x 0
（因式分解法）
x1=0,
x2=
1 5
（4）
3x2
6x
2
0
（公式法）x1
3 3
15
, x2
3 15 3
（5）3x 22
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元
(2)因式分解法
二
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程
次 方 (3) 配方法 程 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何 一个一元二 次方程
解
法 (4)公式法
灿若寒星
得到一元二次 方程的解
3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方 程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2 ,
当b2－4ac≥0时，一元二次方程有a实x2 数+ b根x ．+ c = 0 ( a≠0 )
2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.
灿若寒星
复习归纳
设未知数， 实际问题 列方程
数学问题
ax2 bx c 0a 0
实际问题的答案
检验
配方法
解
降
方
程 公式法
次
因式分解法
数学问题的解
x b b2 4ac b2 4ac≥0 2a
灿若寒星
(1)直接开平方法
x2=b(b 0)
当b2 4ac 0时
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何 一个一元二 次方程
灿若寒星
课后作业
见《学练优》本课时练习
灿若寒星
灿若寒星
已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正 确的是( ) A.①②都有实数解 B.①无实数解,②有实数解 C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
22
解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
灿若寒星
(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=(12n12× 33,n)
22 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
A.ax2+bx+c=0 C.3x2+2y-=10
2
B.x12=0
2
D.x2+-54=0 x
【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中
含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
灿若寒星
二 一元二次方程的解法
解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2, 开方得x-1=± 2, x=1± ,2所以x1=1+ ,x22=1- . 2
灿若寒星
(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【自主解答】(1)当t=4时,
l= 1×42+ ×3 4=14(cm).
2
2
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:(1+m42m 3=m2) 1,
灿若寒星
为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积 为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天 的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿 化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比 宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?
1
2a a
2
1
a解,即得aaa11=11,aa2=, -1.当a=1时,原
方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以
a=-1.
灿若寒星
四 一元二次方程的应用
某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设 计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直 径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲 运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= 12t2+ t(32t≥0),乙以4cm/s的 速度匀速运动,半圆的长度为21cm.