华东师大版九年级上册数学第22章复习

1
2a a
2
1
a解,即得aaa11=11,aa2=, -1.当a=1时,原
方程有两个相等的实数根,不合题意,舍去.所以
a=-1.
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四 一元二次方程的应用
某校为培养青少年科技创新能力,举办了动漫制作活动,小明设 计了点做圆周运动的一个雏型.如图所示,甲、乙两点分别从直 径的两端点A,B以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲 运动的路程l(cm)与时间t(s)满足关系:l= 12t2+ t(32t≥0),乙以4cm/s的 速度匀速运动,半圆的长度为21cm.
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【解析】(1)设该项绿化工作原计划每天完成xm2,则提高工作 量后每天完成1.2xm2,根据题意,得150 498 150 20,解得x=22.
x 1.2x
经检验,x=22是原方程的根. 答:该项绿化工作原计划每天完成22m2. (2)设矩形宽为ym,则长为(2y-3)m, 根据题意,得y(2y-3)=170, 解得y=10或y=-8.5(不合题意,舍去).
A.ax2+bx+c=0 C.3x2+2y-=10
2
B.x12=0
2
D.x2+-54=0 x
【解析】选B.A中的二次项系数缺少不等于0的条件,C中
含有两个未知数,D中的方程不是整式方程.
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二 一元二次方程的解法
解方程x2-2x-1=0. 【自主解答】移项得x2-2x=1,配方得x2-2x+1=2,即(x-1)2=2, 开方得x-1=± 2, x=1± ,2所以x1=1+ ,x22=1- . 2
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第22章 一元二次方程
复习和小结
知识梳理
考点分类
复习归纳
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课后作业
知识梳理
一、本章知识结构图
实际问题
设未知数，列 方程
数学问题 ax2 bx c 0a 0
配方法 解
降
方
程
公式法
次
分解因式法
实际问题的答案
检验
数学问题的解
x b b2 4ac 2a
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得到一元二次 方程的解
3.求根公式与配方法有什么关系？什么情况下一元二次方 程有实数根？ 求根公式是通过配方法得到的，即任何一个一元二次方程
ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )，都可以通过配方转化为
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2
x b 2a
b2 4ac 4a2 ,
当b2－4ac≥0时，一元二次方程有a实x2 数+ b根x ．+ c = 0 ( a≠0 )
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用适当方法解下列方程.
（1） ( x 1) 2 0（直接开方法） x1=x2=1
（2） x2 4x 5 0 （配方法） x1=-1,x2=5
(3)
5x2 x 0
（因式分解法）
x1=0,
x2=
1 5
（4）
3x2
6x
2
0
（公式法）x1
3 3
15
, x2
3 15 3
（5）3x 22
4x2
0（因式分解法）
x1
2, x2
2 5
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三 根的判别式及根与系数的关系
若5k+20<0,则关于x的一元二次方程x2+4x-k=0的根的情况
是( )
A.没有实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.无法判断 【自主解答】选A.Δ=16+4k= 4(5k+20),
5 ∵5k+20<0,∴Δ<0,∴没有实数根.
适应于没有一次项的 一元二次方程
一 元
(2)因式分解法
二
1、提取公因式法 2、平方差公式 3、完全平方公式
适应于左边能分解 为两个一次式的积， 右边是0的方程
次 方 (3) 配方法 程 的
当二次项系数为1的时 候，方程两边同加上 一次项系数一半的平 方
适应于任何 一个一元二 次方程
解
法 (4)公式法
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已知一元二次方程:①x2+2x+3=0,②x2-2x-3=0,下列说法正 确的是( ) A.①②都有实数解 B.①无实数解,②有实数解 C.①有实数解,②无实数解 D.①②都无实数解 【解析】选B.一元二次方程①的判别式的值为Δ= b2-4ac=412=-8<0,所以方程无实数根;一元二次方程②的判别式的值为 Δ=b2-4ac=4+12=16>0,所以方程有两个不相等的实数根.
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考点分类
一 一元二次方程及根的有关概念
1.若(xa-a32 )7+4x+5=0是关于x的一元二次方程,则a的值为
()
A.3
B.-3
C.±3
D.无法确定
【自主解答】选B.因为方程是关于x的一元二次方程,所以a2-
7=2,且a-3≠0,解得a=-3.
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2.下列方程中,一定是一元二次方程的是( )
当b2 4ac 0时
x b b2 4ac 2a
当b2-4ac＜0时，方程没有实数根
适应于任何 一个一元二 次方程
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课后作业
见《学练优》本课时练习
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二、回顾与思考 1.比较你所学过的各种整式方程，说明它们的未知数的个数 与次数．你能写出各种方程的一般形式吗？ 所学过的整式方程有：一元一次方程、一元二次方程和二 元一次方程．
一元一次方程的未知数的个数为1个，次数为1 ． 一元二次方程的未知数的个数为1个，次数为2 ．
二元一次方程的未知数的个数为2个，次数为1． 一元一次方程的一般形式为： ax + b = 0 ( a≠0 ) 一元二次方程的一般形式为： ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 ) 二元一次方程的一般形式为： ax + by = 0 ( a≠0, b≠0 )
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解得m1=3,m2=-14(不合题意,舍去).
答:甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了3s.
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(3)设它们运动了ns后第二次相遇,根据题意,得: +4n=(12n12× 33,n)
22 解得n1=7,n2=-18(不合题意,舍去). 答:甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了7s.
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2.一元二次方程有哪些解法？各种解法在什么情况下适用？ 体会降次在解一元二次方程中的作用．
配方法、公式法和因式分解法． 配方法、公式法适用于所有的一元二次方程
因式分解法适用于某些一元二次方程 总之解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化为一次方 程，即降次.
思降 想次
化为一次方程
解一元一 次方程
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关于x的方程ax2-(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根
x1,x2,且有x1-x1x2+x2=1-a,则a的值是( )
A.1 B.-1 C.1或-1
D.2
【解析】选B.由题意得 x1+x2= 3a ,x11x2= ,因2为a x21-x1x2+x2=1-a,
a
a
所以
3a a
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【主题升华】 一元二次方程解应用题的六个步骤
1.审——审清题意,找出等量关系. 2.设——直接设未知数或间接设未知数. 3.列——根据等量关系列出一元二次方程. 4.解——解方程,得出未知数的值. 5.验——既要检验是否是所列方程的解,又要检验是否符合
实际情况. 6.答——完整地写出答案,注意单位.
2y-3=17. 答:这块矩形场地的长为17m,宽为10m.
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复习归纳
设未知数， 实际问题 列方程
数学问题
ax2 bx c 0a 0
实际问题的答案
检验
配方法
解
降
方
程 公式法
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次
因式分解法
数学问题的解
x b b2 4ac b2 4ac≥0 2a
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(1)直接开平方法
x2=b(b 0)
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(1)甲运动4s后的路程是多少?
(2)甲、乙从开始运动到第一次相遇时,它们运动了多少时间?
(3)甲、乙从开始运动到第二次相遇时,它们运动了多少时间?
【自主解答】(1)当t=4时,
l= 1×42+ ×3 4=14(cm).
2
2
答:甲运动4s后的路程是14cm.
(2)设它们运动了ms后第一次相遇,根据题意,得:(1+m42m 3=m2) 1,
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为响应“美丽广西清洁乡村”的号召,某校开展“美丽广西清 洁校园”的活动,该校经过精心设计,计算出需要绿化的面积 为498m2,绿化150m2后,为了更快地完成该项绿化工作,将每天 的工作量提高为原来的1.2倍.结果一共用20天完成了该项绿 化工作. (1)该项绿化工作原计划每天完成多少m2? (2)在绿化工作中有一块面积为170m2的矩形场地,矩形的长比 宽的2倍少3m,请问这块矩形场地的长和宽各是多少米?