圆的方程课件

一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方 程都要列出关于系数的三个独立方程． (2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一 个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况． 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
)．
由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标
为(2，－3)． 答案 D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值 范围是( )． B．0＜a＜1 D．a＝± 1
A．－1＜a＜1 C．a＞1或a＜－1
解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1. 答案 A
该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值． |2k| 3 由 2 ＝1，解得k＝± . 3 k ＋1 答案 3 3 3 ；－ 3
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： y－b ①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值 x－a 问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截 距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转 化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
2 2 2 2 2 2
D x＋ 2
2
＋
E y＋ 2
2
＝
D E － ，－ 2 2
为圆心，以
D E －4F＝0时，方程表示一个点－ 2 ，－ 2 ；
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程不表示任何图形．
4．P(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上； (3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标 准方程为( )． B．x2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋y2＝2
A．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 答案 C
2．(2011· 四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( A．(2,3) C．(－2，－3) 解析 B．(－2,3) D．(2，－3)
即r2＝5，|MQ|2＝r2. 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
1＋－62－4m 1 ∴ ＝－2＋12＋(3－2)2＋5. 4 1 5 ∴m＝3，∴半径为 ，圆心为－2，3. 2
(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会 使得思路简捷明了，简化思路，简便运算． (2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕 “列出m的方程”求m值．
x＝6， 解得 y＝8 x＝－6， 或 y＝－8，
x2＋y2＝100， 得 4x－3y＝0，
→ 若AB＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾，
x＝－6， 所以 y＝－8
舍去．
→ 即AB＝(6,8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝( 10 )2，其圆心 为C(3，－1)，半径r＝ 10， → → → ∵OB＝OA＋AB＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， 1 ∴直线OB的方程为y＝2x. 1 设圆心C(3，－1)关于直线y＝ x的对称点的坐标为(a，b)， 2 b＋1 ＝－2， a－3 则 b－1 1 a＋3 2 ＝2· 2 ，
1 5 － ，3，半径r＝ . 此时Δ＞0，圆心坐标为 2 2
法二
如图所示，设弦PQ中点为M，
设M(x0，y0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由法一知，y1＋y2＝4，x1＋x2＝－2， x1＋x2 y1＋y2 ∴x0＝ ＝－1，y0＝ ＝2. 2 2 解得M的坐标为(－1,2)． 则以PQ为直径的圆可设为(x＋1)2＋(y－2)2＝r2. ∵OP⊥OQ，∴点O在以PQ为直径的圆上． ∴(0＋1)2＋(0－2)2＝r2，
【训练2】 圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝ 0的最大距离与最小距离的差是( A．30 B．18 C．6 2 解析 D．5 2 )．
由圆x2＋y2－4x－4y－10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为
|2＋2－14| 3 2 .则圆上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离为： 2 ＋3 2＝5 2＋3 2，最小距离为：5 2－3 2，故最大距离与 最小距离的差为6 2. 答案 C
基础梳理 1．圆的定义：平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹是 圆． 2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为 (a，b) ，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程
x2＋y2＝r2 . 为
3．圆的一般方程 方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为 D2＋E2－4F .故有： 4 (1)当D ＋E －4F＞0时，方程表示以 D2＋E2－4F 为半径的圆； 2 (2)当D ＋E
第3讲 圆的方程
【2013年高考会这样考】 1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数 法求出圆的方程． 2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而 巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】 1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的 标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求 出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．
【训练1】 经过点A(5,2)，B(3,2)，圆心在直线2x－y－3＝0上 的圆的方程为________． 解析 ∵圆经过点A(5,2)，B(3,2)，
∴圆心在x＝4上，又圆心在2x－y－3＝0上， ∴圆心为(4,5)，可设圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝r2， 又圆过B(3,2)，即(3－4)2＋(2－5)2＝r2， ∴r2＝10，∴圆的方程为(x－4)2＋(y－5)2＝10. 答案 (x－4)2＋(y－5)2＝10
【训练3】 (2012· 广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点 A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵 坐标大于0. → (1)求AB的坐标； (2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
解
→ → → (1)设AB＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，AB· ＝0， OA
解
法一Βιβλιοθήκη Baidu
将x＝3－2y，
代入方程x2＋y2＋x－6y＋m＝0， 得5y2－20y＋12＋m＝0. 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件： 12＋m y1＋y2＝4，y1y2＝ 5 . ∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.而x1＝3－2y1，x2＝3－2y2. －27＋4m ∵x1x2＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝ . 5 －27＋4m 12＋m 故 ＋ ＝0，解得m＝3， 5 5
选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径 2即可． 答案 B
求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个 几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方 法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算， 如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分 线上，解题时要注意平面几何知识的应用．
考向二 与圆有关的最值问题 【例2】►(2012· 武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上 y－1 运动，则 的最大值与最小值分别为________． x－2 y－1 [审题视点] 找出 的几何意义，运用几何法求解． x－2
解析
y－1 设 ＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当 x－2
考向三 圆的综合应用 【例3】►已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于 P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及 半径． [审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求 解；(2)OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定 理求解．
【示例】►(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，曲线y ＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a 的值． 错因 计算失误．
实录 (1)令y＝0，则与x轴的交点为(3＋2 2 ，0)，(3－2 2 ， 0)，令x＝0，则与y轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0， E＋F＋1＝0， 2 则3＋2 2D＋F＋3＋2 2 ＝0， 3－2 2D＋F＋3－2 22＝0， 解得：D＝6，E＝27＋12 2，F＝－28－12 2， ∴x2＋y2＋6x＋(27＋12 2)y－28－12 2＝0.
法二
题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这
4 两条平行线之间的距离d＝ ＝2 2；圆心是直线x＋y＝0与这 2 两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐 标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求 的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋ 1)2＝2. 法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 [审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及
半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．
解析
法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方
程即可． |a－－a| |a－－a－4| 设圆心坐标为(a，－a)，则 ＝ ，即|a|＝|a 2 2 2 －2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝ ＝ 2， 2 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
5．(2012· 长春模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆 的方程为________． 解析 |－2| 设圆的方程为x ＋y ＝r .则r＝ ＝ 2. 2
2 2 2
∴圆的方程为：x2＋y2＝2. 答案 x2＋y2＝2
考向一 求圆的方程 【例1】►已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在 直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 )．
4．(2011· 重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦 和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2 )．
解析 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10 ，且点 E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝ 2 10－12＋22 ＝2 5 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为 中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝ 1 2 10 ，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于 2 |AC|×|BD| 1 ＝2×2 10×2 5＝10 2，选B. 答案 B
a＝1， 解得 b＝3，
则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
阅卷报告13——选择方程不当或计算失误 【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方 程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构 建的方程组过于复杂无法求解而失误. 【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用 圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经 过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一 般式计算过繁，可以采用标准式.