圆的方程课件
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圆的标准方程完整ppt课件
解决与圆有关的切线问题
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
圆的方程可以用来求解与圆有关的切线问题，如切线方程、切点坐 标等。
圆的方程在物理问题中的应用
描述圆形运动轨迹
在物理学中，圆的方程可以用来描述物体做圆周运动时的轨迹。
计算圆形运动的物理量
利用圆的方程，可以计算物体做圆周运动时的线速度、角速度、向 心加速度等物理量。
解决与圆有关的物理问题
切线与半径垂直
切线垂直于经过切点的 半径。
切线长定理
从圆外一点引圆的两条 切线，它们的切线长相
等。
04
圆的方程在实际问题中的应用
圆的方程在几何问题中的应用
确定圆的位置和大小
通过圆的方程，可以准确地确定圆心的坐标和半径的长度，从而 确定圆的位置和大小。
判断点与圆的位置关系
利用圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、圆内或圆外，从而解 决相关的几何问题。
3
解决与圆有关的经济问题
圆的方程还可以用来解决一些与圆有关的经济问 题，如圆形区域的经济发展、圆形市场的竞争等 。
05
圆的方程与其他知识点的联系
圆的方程与直线方程的关系
直线与圆的位置关系
通过比较圆心到直线的距离与半径的大小关系，可以确定直线与 圆是相切、相交还是相离。
切线方程
当直线与圆相切时，切线的斜率与圆心和切点的连线垂直，由此 可以求出切线的方程。
根据两点间距离公式，有 $OP = sqrt{(x - a)^{2} + (y
- b)^{2}}$。
将 $OP = r$ 代入上式，得到 $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} =
r^{2}$。
方程中参数的意义
$a, b$
01
圆心坐标，表示圆心的位置。
2.4.2圆的一般方程课件共18张PPT
2
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
2
(2) 当D2+E 2-4F=0时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有实
数解x= - , y=− ，它表示一个点(- , -) .
(3) 当D2+E 2-4F<0时， 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0 只有没
有实数解，它不表示任何图形.
因此，当 D2+E2-4F>0 时，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表
•
所在的直线l 上.
(3)圆心C到l 的距离等于圆的半径.
O
• B(-3，-3)
x
答案： l : 4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
示一个圆，我们把它叫做圆的一般方程.
练习: 将下列各圆方程化为标准方程，并求圆的半径
和圆心坐标.
2
2
(1) x + y + 6 x = 0,
2
2
(2) x + y - 2by = 0,
2
2
2
(3) x + y - 2ax + 2 3ay + 3a = 0
（1）圆心（-3，0），半径3.
（2）圆心（0，b），半径|b|.
课 堂 练 习
1.写出下列各圆的圆心坐标和半径:
(1)
x y 6x 0
(2)
x y2 y 2 2ax 2 3ay 3a 2 0
解: (1)圆心坐标(3, 0) ,半径为3.
(2)圆心坐标(0, b) , 半径为 |b| .
1.根据题意, 选择标准方程或一般方程.
圆方程ppt课件ppt课件
03
圆的方程的应用
解析几何中的应用
确定点与圆的位置关系
通过圆的方程，可以判断一个点是否在圆上、 圆内或圆外。
求解圆的切线方程
利用圆的方程，可以求出过某一点的圆的切线 方程。
求解圆心和半径
根据圆的方程，可以求出圆心的坐标和半径的长度。
几何图形中的应用
判断两圆的位置关系
通过比较两个圆的方程，可以判断两圆是相交、相切还是相 离。
03
frac{E}{2})$ 和半径 $frac{sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$。
圆的参数方程
圆的参数方程为 $x = a + rcostheta$，$y = b + rsintheta$，其中 $(a, b)$ 是圆 心坐标，$r$ 是半径，$theta$ 是 参数。
该方程通过参数 $theta$ 描述了 圆上任意一点的坐标。
$(x - h)^{2} + (y - k)^{2} = r^{2}$ ，其中$(h, k)$是圆心坐标，$r$是半 径。
不在同一直线上的三个点可以确定一 个圆，且该圆只经过这三个点。
圆的基本性质
1 2
圆的对称性
圆关于其直径对称，也关于经过其圆心的任何直 线对称。
圆的直径与半径的关系
直径是半径的两倍，半径是直径的一半。
该方程描述了一个以 $(h, k)$ 为圆心，$r$ 为
半径的圆。
当 $r = 0$ 时，方程描 述的是一个点 $(h, k)$。
圆的一般方程
01
圆的一般方程为 $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$。
02
该方程可以表示任意一个圆，其中 $D, E, F$ 是常数。
圆的一般方程 课件
圆的一般方程
1．圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心
为
_
_
_
_C__(－___D2_，__－__E2_)_
_
_
_
_
_
，
半
径为
r
＝
_
_
1 _2_
_ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_ .
( 2 ) 说 明 ： 方 程 x 2 ＋ y 2 ＋ D x ＋ E y ＋ F ＝ 0 不 一 定 表 示 圆 ． 当 且 仅 当 _ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_>_ _0_ _ 时 ， 表 示 圆 ： 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＝ 0 时 ， 表 示 一 个 点 _ _ (_－_ _D2_ _，_ _－_ _E2_)_ _ _ _ _ _ ； 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F < 0 时 ，
D＝－2
，解得E＝2
.
16＋25＋4D－5E＋F＝0
F＝－23
∴△ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
忽视圆的方程成立的条件
已知点 O(0,0)在圆 x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0 外，求 k 的取值 范围.
[错解] ∵点 O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得 k＞12或 k＜－1.∴k 的取 值范围是(－∞，－1)∪(12，＋∞)．
解法二：设点 M 的坐标为(x，y)，连接 OC、PC，取线段 OC 的中点 A，连 接 MA.
圆 C 的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(4,3)，|CP|＝2. 则点 A 的坐标为(2，32)．
1．圆的一般方程
(1)方程：当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程，其中圆心
为
_
_
_
_C__(－___D2_，__－__E2_)_
_
_
_
_
_
，
半
径为
r
＝
_
_
1 _2_
_ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_ .
( 2 ) 说 明 ： 方 程 x 2 ＋ y 2 ＋ D x ＋ E y ＋ F ＝ 0 不 一 定 表 示 圆 ． 当 且 仅 当 _ _D_2_＋_ _E_2_－_ _4_F_>_ _0_ _ 时 ， 表 示 圆 ： 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F ＝ 0 时 ， 表 示 一 个 点 _ _ (_－_ _D2_ _，_ _－_ _E2_)_ _ _ _ _ _ ； 当 D 2 ＋ E 2 － 4 F < 0 时 ，
D＝－2
，解得E＝2
.
16＋25＋4D－5E＋F＝0
F＝－23
∴△ABC 的外接圆的一般方程为 x2＋y2－2x＋2y－23＝0.
忽视圆的方程成立的条件
已知点 O(0,0)在圆 x2＋y2＋kx＋2ky＋2k2＋k－1＝0 外，求 k 的取值 范围.
[错解] ∵点 O(0,0)在圆外，∴2k2＋k－1＞0，解得 k＞12或 k＜－1.∴k 的取 值范围是(－∞，－1)∪(12，＋∞)．
解法二：设点 M 的坐标为(x，y)，连接 OC、PC，取线段 OC 的中点 A，连 接 MA.
圆 C 的方程可化为(x－4)2＋(y－3)2＝4，圆心 C(4,3)，|CP|＝2. 则点 A 的坐标为(2，32)．
选择必修 第二章 2.4.1 圆的标准方程 课件(共26张PPT)
究位置关系、距离
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
等问题
新知引入
类比直线方程的研究过程，如何研究圆的方程呢？
圆
平面直角坐标系
圆的方程
代数运算
利用圆的方程，研究
圆有关的位置关系、
几何度量等问题
新知探究
在平面直角坐标系中，如何确定一个圆？
如图，在平面直角坐标系中，⨀A的圆心A的坐标为(a,b)，半径为r，M(x,y)为
圆上任意一点,⨀A就是以下点的集合
多边形和圆是平面几何中的两类基本图形.建立直线的方程后，我们可以运
用它研究多边形这些“直线形”，解决边所在直线的平行或垂直、边与边的交
点以及点到线段所在直线的距离等问题.类似地，为了研究圆的有关性质，解决
与圆有关的问题，我们首先需要建立圆的方程.
我国的墨子云：圆，一中同长也.
意思：圆有一个圆心，圆心到圆周上各点的距离（即半径）都相等.
程①.于是
(5 − )2 +(1 − )2 = 2 ,
൞(7 − )2 +(−3 − )2 = 2 ,.
(2 − )2 +(−8 − )2 = 2
知新探究
【例2】△ABC的三个顶点分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，
求△ABC的外接圆的标准方程.
解： 即
2 + 2 − 10 − 2 + 26 = 2 ,
心A间的距离为r，点M就在⨀A上.
这时，我们把上述方程称为圆心为A，半径为r的圆
的标准方程(standard equation of thecircle).
半径r
圆的几何要素: 圆心（a,b）
圆心在坐标原点，
半径为r的圆的标准
三个独立条件求a,b,r确定一个圆的方程.
圆的一般方程ppt课件
(3)当D2＋E2－4F＜0时，方程无实数解,不表示任何图形．
01 圆的一般方程
圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
一般方程 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
（D2+E2-4F>0）
配方
展开
标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
【典例】已知三点A(4,3), B(5,2), C(1,0),求△ABC外接圆的方 程.
将 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 左边配方，得
(x+
D
2 )
+
(
y
+
E
2 )
=
D2 + E2 - 4F
2
2
4
(1)当 D2+E2-4F>0
时,
它表示以
-
D 2
,-
E 2为圆心,以r=为半径的圆;
(2)当D2＋E2－4F＝0时，方程表示点 (- D , - E ) ；
22
D2 + E2 - 4F 2
方法一： 几何方法
方法二： 待定系数法
y
A(4,3)
B(5,2)
0 C(1,0)
x
设圆的方程为x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2+E2-4F>0)
已知过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)
半径：圆心 到圆上一点
圆心：两条弦的中垂 线的交点
圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
1．方程 2x2＋2y2－4x＋8y＋10＝0 表示的图形是( )
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
01 圆的一般方程
思考： 1.是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0方程都表 示的曲线是圆呢？
圆的标准方程ppt课件完整版x-2024鲜版
2024/3/28
25
两圆相离条件（内含和外离）
内含
两圆圆心之间的距离小于两圆半径之差。
外离
两圆圆心之间的距离大于两圆半径之和。
2024/3/28
26
判断方法总结及示例
要点一
判断方法
首先根据两圆圆心距和半径和、半径差的大小关系，确定 两圆的位置关系类型（相交、相切、相离），然后根据具 体类型进一步判断是相交、内切、外切、内含还是外离。
04
2024/3/28
05
4. 从中可以看出，圆心坐标 为 $(2, -3)$，半径 $r = 1$
。
12
03
圆的图像与性质分析
2024/3/28
13
圆心位置对图像影响
圆心决定圆的位置
在平面直角坐标系中，圆心的坐标决定了圆在平面上的位置。
圆心与圆上任一点的距离等于半径
根据圆的定义，圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，因此圆心的位置会影响圆的整体形状和大小 。
$(x - a)^{2}$ 和 $(y - b)^{2}$ 分别表示 点 $(x, y)$ 到圆心 $(a, b)$ 的水平和垂 直距离的平方。
2024/3/28
$r$ 表示圆的半径， 即从圆心到圆上任一 点的距离。
10
从一般方程到标准方程的转换
一般方程形式为
$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$
当两个质点发生碰撞时，可以通过它们的运动轨迹（即两个圆的 方程）来求解碰撞点的坐标。
分析物体的受力情况
在某些物理问题中，可以通过分析物体运动轨迹的形状（如圆形 或椭圆形）来推断物体所受的力。
31
2-4-1圆的标准方程 课件(共28张PPT)
题型二 判断点与圆的位置关系
例 2 (1)已知圆心为点 C(－3，－4)，且圆经过原点，求该 圆的标准方程，并判断点 P1(－1，0)，P2(1，－1)，P3(3，－4)和 圆的位置关系．
【思路分析】 关键是找到点与圆心的距离和半径的关系．
【解析】 因为圆心是 C(－3，－4)，且圆经过原点， 所以圆的半径 r＝ （－3－0）2＋（－4－0）2＝5. 所以圆的标准方程为(x＋3)2＋(y＋4)2＝25. 因 为 （－1＋3）2＋（0＋4）2 ＝ 4＋16 ＝ 2 5 <5 ， 所 以 P1(－1，0)在圆内； 因为 （1＋3）2＋（－1＋4）2＝5，所以 P2(1，－1)在圆上； 因为 （3＋3）2＋（－4＋4）2＝6>5，所以 P3(3，－4)在圆 外．
(2)由已知得圆心坐标为 M(2，－1)，半径 r＝12|AB|＝1，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
(3)方法一：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴（ （2－－2a－）a2）＋2（＋－（3－－5b－）b2）＝2r＝2，r2， a－2b－3＝0，
即aa22－ ＋44aa＋ ＋bb22＋ ＋61b0＋ b＋132＝ 9＝r2r，2， ②
要点 3 几种特殊位置的圆的标准方程
条件
方程形式
(x－a)2＋(y－ 过原点，圆心(a，b)，半径 r＝ a2＋b2
b)2＝a2＋b2
圆心在原点，即 a＝0，b＝0，半径 为 r，r>0
x2＋y2＝r2
圆心在 x 轴上，即 b＝0，半径为 r， (x－a)2＋y2＝r2
r>0
圆心在 y 轴上，即 a＝0，半径为 r， x2＋(y－b)2＝r2
(2)已知 A(1，2)，B(0，1)，C(7，－6)，D(4，3)，判断这四 点是否在同一个圆上．
圆的标准方程 圆的一般方程 教学课件(共39张PPT)高中数学北师大版(2019)选择性必修第一册
(, )
r
由两点间的距离公式得
x
a
2
y b
2
r，
(, )
O
将上式两边平方得 x a
2
y b
2
r 2 .①
x
思考一下
以方程①的解为坐标点一定在圆 C 上吗？
设以方程①的任意解 x, y 为坐标的点记为点 Q ，
因为 x, y 是方程①的解，代入方程①可得： x a 2 y b 2 r 2
10
D +3E
20
4 D+2 E
F050ຫໍສະໝຸດ 5D 5EF0
解得 D
F
2, E
0
4, F
2
2
x
+
y
故所求圆的方程为
20 ，
2x
4y
20
0.
例 5：讨论方程 x +y
2
2
x 3
解： 将原方程组整理为 1 2 x2
当
2
y2 表示的是什么图形？
1 y2
2
0，
6x 9
1 时，方程（1）是一元一次方程 6x 9
思考交流
对于点 Px0 , y0 和圆 C : x a 2 y b 2 r 2 ，由圆的标准方程的概念，可知点 P
在圆 C 上的充要条件是 x0 a2 y0 b2 r 2 .
2
2
当点 P 不在圆 C 上时，一定有 x0 a y0 b r 2 ，此时，存在以下两种情况：
PC r
x0 a 2 y0 b2
r
x0 a y0 b r 2
2.4.2圆的一般方程课件(人教版)
足的关系式．轨迹是指点在运动变化过程中
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
形成的图形、在解析几何中，我们常常把图
形看作点的轨迹(集合).
分析:如图，点A运动引起点M运动，而点
A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程
+ 1 2 + 2 = 4.建立点M与点A坐标之间的
关系，就可以利用点A的坐标所满足的关系式
得到点M的坐标满足的关系式，求出点M的轨
2
2
(3)当D2 + E2 − 4F < 0时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形.
概念生成
因此，当2 + 2 − 4 > 0时，方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0表示一个圆.
我们把方程x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0叫做圆的一般方程.
2
2
解:设圆的方程是 2 + 2 + + + = 0 ①.
因为O，M1，M2三点都在圆上，所以它们的坐标都是方程①的解．把
它们的坐标依次代入方程①，得到关于D，E，F的一个三元一次方程组
=0
= −8
ቐ + + + 2 = 0 ，解这个方程组，得ቐ = 6 ，
4 + 2 + + 20 = 0
圆的标准方程: (x-a) +(y-b) =r2
圆的一般方程与标准方程的关系：
D
E
1
2
2
(1)a= ，b= ，r=
D E 4F
2
2
2
(2)标准方程易于看出圆心与半径,
(3)一般方程突出形式上的特点：
圆的标准方程 课件
(x 2)2 (y 3)2 25
几何方法
y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆心到圆上一点
一、圆的定义:
平面内到定点距离等于定长的点 的集合叫做圆。定点叫做圆心， 定长叫做半径。
已知圆心C(a,b),半径等于r,求圆的方程。
解:设M(x , y)为圆上任意点
y
P = { M | |MC| = r }
M(x,y)
(x a)2 (y b)2 r O C x
x a2 y b2 r2
思考2:在平面几何中，如何确定点与圆的位
置关系？
A
A A
O
O
O
OA<r
OA=r
OA>r
思考3:在直角坐标系中，已知点M(x0，y0)
和圆C：(x a)2 ( y b)2 r2 ，如何判断
点M在圆外、圆上、圆内？
(x0-a)2+(y0-b)2=r2 (x0-a)2+(y0-b)2<r2 (x0-a)2+(y0-b)2>r2
(2) (x+4)2+(y-2)2 = 7 (-4,2) r 7
(3) x2+(y+1)2 = 16
(0,-1) r=4
(4) 2x2+2y2=8
(0,0) r=2
练习2：写出下列圆的方程
(1)圆心在原点,半径是3.
x2+y2=9
(2)圆心在(3,4),半径是 5
(x-3)2+(y-4)2=5
思考1:在平面几何中，点与圆有哪几种位置 关系？
的外接圆的方程.
课件圆的一般方程
D 2
2
(3).当 D2 E2 4F 0 时，此方程没有实数解，因而它
不表示任何图形。
综上所述，方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示的曲线
不一定是圆，只有当 D2 E2 4F 0 它才表示的 曲线是圆。
圆的一般方程
1.我们把方程 x2 y2 Dx Ey F 0 D2 E 2 4F 0
二元二次方程不一定表示圆。
同学们一定要记住这些重要结论呀！
圆的标准方程与圆的一般方程的比较
方程 圆心 半径 优点
圆的标准方程 圆的一般方程
x a 2 y b 2 r2
x2 y2 Dx Ey F 0
D2 E 2 4F 0
a.b
x
D
2
y
E
2
D2
E2
4F
2 2
4
我们可以将它分为以下情况
(1).当
D2 E2 4F 时0 ，此方程表示以
为 D E
2
2
圆心。
(2).当 D2 E2 4F 0时，此方程只有实数解，x y E 即只表示一个点。
(2)圆的一般方程与圆的标准方程可以互相转化；熟 练应用配方求出圆心坐标和半径。
(3)用待定系数法求出圆的方程时需要灵活选用方程 的形式。
作业
习题7.6第5 6 8题。
r
D . E
2
2
1
2 D2 E2 4F
大家好好比较一下圆的标准方程和一般方程的优点
例题讲解
例1.求三点 A（0 0）B（1 1）C（4 2） 的圆的方程并球这个圆的半径长和圆心坐标？ 分析：已知曲线类型；应用待定系数法。
圆的一般方程(20张PPT)——高中数学人教A版选择性必修第一册
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月1日
2024课件
同学们再见！
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
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第二章直线和圆的方程2.4.2圆的一般方程
0 1在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程.0 2能够应用圆的方程解决简单的数学问题和实际问题.0 3初步了解用代数方法处理几何问题的基本思想和基本方法Dx+E y+F=0 叫做圆的一般方程，且D²+E²-4F >0,
圆的一般方程
为圆心，
将方程x²+y²+Dx+Ey+ F=0(2) 的左边配方，并把常数项移到右 边 ，( 1 ) 当D²+E²-4F>0 时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示 为圆心， 为半径的圆；( 2 ) 当D²+E²-4F=0 时，方程(2)只有实数解 声 手它表示一个点( 3 ) 当D²+E²-4F<0 时，方程(2)没有实数解，它不表示任何图形.
例题巩固例1 求过三点0(0,0),M ₁(1,1), M ₂ (4,2)的圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径.
解：设圆的方程是x²+y²+Dx+Ey+F=0.①因为0 ,M₁ ,M₂ 三点都在圆上，把它们的坐标依次代入方程①,
所以所求圆的方程是x²+y²-8x+6y=0.故所求圆的圆心坐标是(4,-3),半径
解得
(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a,b,r 或 D,E,F 的方程组；(3)解出a,b,r 或 D,E,F, 得到标准方程或一般方程.
求圆的方程常用待定系数法的步骤
例2已知线段 AB的端点B的坐标是(4,3),端点A 在圆(x+1)²+y²=4上运动，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
4.1.2 圆的一般方程 课件(35张)
求圆的一般方程
【例 2】 求经过两点 A(4，2)，B(－1，3)，且在两坐标轴上的 四个截距之和为 2 的圆的方程．
[解] 设圆的一般方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 令 y＝0，得 x2＋Dx＋F＝0， 所以圆在 x 轴上的截距之和为 x1＋x2＝－D； 令 x＝0，得 y2＋Ey＋F＝0， 所以圆在 y 轴上的截距之和为 y1＋y2＝－E；
C.x－y－1＝0
D．x－y＋1＝0
D [由题意知圆心坐标是(－1，0)，故所求直线方程为 y＝x＋1，
即 x－y＋1＝0.]
4．圆 x2＋y2＋2x－4y＋m＝0 的直径为 3，则 m 的值为________．
11 4
[∵(x＋1)2＋(y－2)2＝5－m，∴r＝ 5－m＝32，∴m＝141.]
1．圆的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，来源于圆的标准方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的
条件．
标准方程
一般方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (D2＋E2－4F＞0)
圆心在 x 轴上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
[跟进训练] 1．下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． (1)2x2＋y2－7y＋5＝0； (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0； (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－5x＝0.
[解] (1)∵方程 2x2＋y2－7y＋5＝0 中 x2 与 y2 的系数不相同， ∴它不能表示圆． (2)∵方程 x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0 中含有 xy 这样的项． ∴它不能表示圆． (3)方程 x2＋y2－2x－4y＋10＝0 化为(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴它不能表示圆． (4)方程 2x2＋2y2－5x＝0 化为x－542＋y2＝542， ∴它表示以54，0为圆心，54为半径的圆．
圆的一般方程ppt课件
（3）x2 ( y 3)2 25
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
x2 y2 4x 6y 8 0 x2 y2 8x 8y 15 0 x2 y2 6 y 16 0
问题2、形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程的曲线都是圆吗？
将方程：x2 y2 Dx Ey F 0 （1）配方得：
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当D2+E2-4F>0时，方程（1）表示以
D ， 2
E 2
为圆心，以
1 D2 E2 4F 为半径的圆
2
（2）当D2+E2-4F=0时，方程（1）表示一个点
D 2
，
E 2
（3）当D2+E2-4F<0时，方程（1）不表示任何图形
例题与练习
例题1、求过三点O（0,0），M1（1,1），M2（4,2）的圆的方 程，并求这个圆的圆心和半径
变式练习
求圆C : x2 y2 8x 2y 8 0关于点（2，-1）对称的 圆的方程为
课堂小结
1.圆的一般方程的结构特点. 2.待定系数法求圆的方程. 3.求轨迹方程的方法
课后作业
教材P88习题2.4 A组复习巩固1-x+Ey+F=0，因为O，M1，M2 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，将坐标 带入方程得：
F 0
D 8
D E F 2 0
解得：E 6
4D 2E F 20 0
F 0
所以，所求圆的方程为：x2+y2-8x+6y=0
方法总结
求圆的方程常用待定系数法，其大致步骤是： （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a,b,r或D,E,F的方程组； （3）解出a,b,r或D,E,F，得到标准方程或一般方程
圆的方程ppt课件
圆的方程
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的标准方 程
一、知识梳理 1. 圆的方程
标准方程
走进教材
(x—a)²+(y—b)²=r²(r>0)
圆心 半径为r
一般方程
x²+y²+Dx+Ey+F=0
条 件 ：D²+E²—4F>0 圆心：
半径：
2.点与圆的位置关系 点M(x₀,y₀) 与圆(x—a)²+(y-b)²=r²的位置关系. (1)若M(x₀,yo) 在圆外，则(x₀—a)²+(y₀—b)²> r². (2)若M(x₀,yo) 在圆上，则(x₀—a)²+(yo—b)²= r². (3)若M(xo,yo)在圆内，则(x₀—a)²+(y₀—b)²<
解得k=±√3
所 的最大值为 √3
图1
(2)y-x 可看作是直线y=x+b 在y轴上的截距，当直线y=x+b 与圆相切时，
纵截距b取得最大值或最小值，此时
解得b=-2±√6
所以y-x 的最大值-2+ √6,最小值-2- √6
(3)x²+y² 表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知， 在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值 又圆心与原点的距离为(2-0)²+(0-0)²=2
答案：C
求圆的方程的两种方法 (1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而得方程。 (2)待定系数法
①若已知条件与圆(a,b) 和半径r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出 关于a,b,r 的方程组，从而求得圆的方程。 ②已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出 关于D,E,F 的程组，得圆的方程。
圆的一般方程课件
2 2
求出圆心、半径. 2 2
1 得x y 2x 6 y 0 2 21 2 2 即：（x 1) ( y 3) 2 故它表示以（ 1， 3）为圆心,
2 2
得（x a) y a 0
2 2 2
故它表示以（ a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2
52 12 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开
一般方程
标准方程
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x y Dx Ey F 0
2 2
（ 1）
探 究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？
方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆吗?
D 2 E 2 D2 E 2 4F 配方可得：( x ) ( y ) 2 2 4
圆的一般方程
2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 M(x,y) O C
求出圆心、半径. 2 2
1 得x y 2x 6 y 0 2 21 2 2 即：（x 1) ( y 3) 2 故它表示以（ 1， 3）为圆心,
2 2
得（x a) y a 0
2 2 2
故它表示以（ a,0） a 为半径的圆 为圆心，
42 为半径的圆. 2
52 12 5D E F 0 2 2 7 ( 1) 7D E F 0 2 2 82 2 D 8 E F 0
D 4 E 6 F 12
所求圆的方程为
x y 4x 6 y 12 0 2 2 即 ( x 2) ( y 3) 25
[小结一]:
(1)圆的一般方程与圆的标准方程的联系:
配方
展开
一般方程
标准方程
例1：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,-8)的圆的方程 解：设所求圆的方程为：
x y Dx Ey F 0(D E 4F 0)
2 2 2 2
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
2 2
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x y Dx Ey F 0
2 2
（ 1）
探 究
是不是任何一个形如 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示的曲线是圆呢？
方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆吗?
D 2 E 2 D2 E 2 4F 配方可得：( x ) ( y ) 2 2 4
圆的一般方程
2 2 x +y +Dx+Ey+F=0 M(x,y) O C
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基础梳理 1．圆的定义：平面内到 定点 的距离等于 定长 的点的轨迹是 圆． 2．圆的标准方程 (1)方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)表示圆心为 (a，b) ，半径为r 的圆的标准方程． (2)特别地，以原点为圆心，半径为r(r＞0)的圆的标准方程
x2＋y2＝r2 . 为
3．圆的一般方程 方程x ＋y ＋Dx＋Ey＋F＝0可变形为 D2＋E2－4F .故有： 4 (1)当D ＋E －4F＞0时，方程表示以 D2＋E2－4F 为半径的圆； 2 (2)当D ＋E
【训练3】 (2012· 广州模拟)在以O为原点的直角坐标系中，点 A(4，－3)为△OAB的直角顶点，已知|AB|＝2|OA|，且点B的纵 坐标大于0. → (1)求AB的坐标； (2)求圆x2－6x＋y2＋2y＝0关于直线OB对称的圆的方程．
解
→ → → (1)设AB＝(x，y)，由|AB|＝2|OA|，AB· ＝0， OA
B．(x－1)2＋(y＋1)2＝2
C．(x－1)2＋(y－1)2＝2 D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2 [审题视点] 设圆心坐标，根据相切的条件列出等式求圆心及
半径；也可以利用圆的几何特征求圆心及半径．
解析
法一 设出圆心坐标，根据该圆与两条直线都相切列方
程即可． |a－－a| |a－－a－4| 设圆心坐标为(a，－a)，则 ＝ ，即|a|＝|a 2 2 2 －2|，解得a＝1，故圆心坐标为(1，－1)，半径r＝ ＝ 2， 2 故圆的方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝2.
考向三 圆的综合应用 【例3】►已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0和直线x＋2y－3＝0交于 P，Q两点，且OP⊥OQ(O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及 半径． [审题视点] (1)利用垂直列出坐标之间关系，再化为m的方程求 解；(2)OP⊥OQ得到O点在以PQ为直径的圆上，再利用勾股定 理求解．
a＝1， 解得 b＝3，
则所求的圆的方程为(x－1)2＋(y－3)2＝10.
阅卷报告13——选择方程不当或计算失误 【问题诊断】 由于圆的方程有两种形式：标准方程和一般方 程，所以在求圆的方程要合理选用，如果选择不恰当，造成构 建的方程组过于复杂无法求解而失误. 【防范措施】 若已知条件容易求出圆心坐标和半径或需利用 圆心坐标列方程，通常选用圆的标准方程；若已知条件为圆经 过三点，一般采用一般式，但已知点的坐标较复杂时，采用一 般式计算过繁，可以采用标准式.
法二
题目给出的圆的两条切线是平行线，故圆的直径就是这
4 两条平行线之间的距离d＝ ＝2 2；圆心是直线x＋y＝0与这 2 两条平行线交点的中点，直线x＋y＝0与直线x－y＝0的交点坐 标是(0,0)、与直线x－y－4＝0的交点坐标是(2，－2)，故所求 的圆的圆心坐标是(1，－1)，所求的圆的方程是(x－1)2＋(y＋ 1)2＝2. 法三 作为选择题也可以验证解答，圆心在x＋y＝0上，排除
选项C、D，再验证选项A、B中圆心到两直线的距离等于半径 2即可． 答案 B
求具备一定条件的圆的方程时，其关键是寻找确定圆的两个 几何要素，即圆心和半径，待定系数法也是经常使用的方 法．在一些问题中借助圆的平面几何中的知识可以简化计算， 如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的垂直平分 线上，解题时要注意平面几何知识的应用．
2 2 2 2 2 2
D x＋ 2
2
＋
E y＋ 2
2
＝
D E － ，－ 2 2
为圆心，以
D E －4F＝0时，方程表示一个点－ 2 ，－ 2 ；
(3)当D2＋E2－(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置关系 (1)若(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2，则点P在圆外； (2)若(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2，则点P在圆上； (3)若(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2，则点P在圆内．
双基自测 1．(人教A版教材习题改编)圆心为点(0,1)，半径为2的圆的标 准方程为( )． B．x2＋(y－1)2＝2 D．(x－1)2＋y2＝2
A．(x－1)2＋y2＝4 C．x2＋(y－1)2＝4 答案 C
2．(2011· 四川)圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( A．(2,3) C．(－2，－3) 解析 B．(－2,3) D．(2，－3)
即r2＝5，|MQ|2＝r2. 在Rt△O1MQ中，|O1Q|2＝|O1M|2＋|MQ|2.
1＋－62－4m 1 ∴ ＝－2＋12＋(3－2)2＋5. 4 1 5 ∴m＝3，∴半径为 ，圆心为－2，3. 2
(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会 使得思路简捷明了，简化思路，简便运算． (2)本题中两种解法都是用方程思想求m值，即两种解法围绕 “列出m的方程”求m值．
考向二 与圆有关的最值问题 【例2】►(2012· 武汉模拟)已知点P(x，y)在圆x2＋(y－1)2＝1上 y－1 运动，则 的最大值与最小值分别为________． x－2 y－1 [审题视点] 找出 的几何意义，运用几何法求解． x－2
解析
y－1 设 ＝k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率．当 x－2
5．(2012· 长春模拟)圆心在原点且与直线x＋y－2＝0相切的圆 的方程为________． 解析 |－2| 设圆的方程为x ＋y ＝r .则r＝ ＝ 2. 2
2 2 2
∴圆的方程为：x2＋y2＝2. 答案 x2＋y2＝2
考向一 求圆的方程 【例1】►已知圆C与直线x－y＝0及x－y－4＝0都相切，圆心在 直线x＋y＝0上，则圆C的方程为( A．(x＋1)2＋(y－1)2＝2 )．
第3讲 圆的方程
【2013年高考会这样考】 1．考查根据所给的条件选取适当的方程形式，利用待定系数 法求出圆的方程． 2．题型既有选择题、填空题，又有解答题．客观题突出小而 巧，主要考查圆的方程；主观题往往在知识的交汇点处命题． 【复习指导】 1．本讲复习时，应熟练掌握圆的方程的各个要素，明确圆的 标准方程，一般方程． 2．能根据所给条件选取适当的方程形式，利用待定系数法求 出圆的方程，结合圆的几何性质解决与圆有关的问题．
该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值． |2k| 3 由 2 ＝1，解得k＝± . 3 k ＋1 答案 3 3 3 ；－ 3
与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型： y－b ①形如μ＝ 形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值 x－a 问题；②形如t＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线截 距的最值问题；③形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转 化为动点到定点的距离的平方的最值问题．
【示例】►(2011· 全国新课标)在平面直角坐标系xOy中，曲线y ＝x2－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上． (1)求圆C的方程； (2)若圆C与直线x－y＋a＝0交于A，B两点，且OA⊥OB，求a 的值． 错因 计算失误．
实录 (1)令y＝0，则与x轴的交点为(3＋2 2 ，0)，(3－2 2 ， 0)，令x＝0，则与y轴的交点为(0,1)，设圆的方程为：x2＋y2＋ Dx＋Ey＋F＝0， E＋F＋1＝0， 2 则3＋2 2D＋F＋3＋2 2 ＝0， 3－2 2D＋F＋3－2 22＝0， 解得：D＝6，E＝27＋12 2，F＝－28－12 2， ∴x2＋y2＋6x＋(27＋12 2)y－28－12 2＝0.
4．(2011· 重庆)在圆x2＋y2－2x－6y＝0内，过点E(0,1)的最长弦 和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( A．5 2 B．10 2 C．15 2 D．20 2 )．
解析 由题意可知，圆的圆心坐标是(1,3)、半径是 10 ，且点 E(0,1)位于该圆内，故过点E(0,1)的最短弦长|BD|＝ 2 10－12＋22 ＝2 5 (注：过圆内一定点的最短弦是以该点为 中点的弦)，过点E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径，即|AC|＝ 1 2 10 ，且AC⊥BD，因此四边形ABCD的面积等于 2 |AC|×|BD| 1 ＝2×2 10×2 5＝10 2，选B. 答案 B
一种方法 确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组； (3)解出a、b、r或D、E、F代入标准方程或一般方程．
两个防范 (1)求圆的方程需要三个独立条件，所以不论设哪一种圆的方 程都要列出关于系数的三个独立方程． (2)过圆外一定点求圆的切线，应该有两个结果，若只求出一 个结果，应该考虑切线斜率不存在的情况． 三个性质 确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质 (1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上； (2)圆心在任一弦的中垂线上； (3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．
x＝6， 解得 y＝8 x＝－6， 或 y＝－8，
x2＋y2＝100， 得 4x－3y＝0，
→ 若AB＝(－6，－8)，则yB＝－11与yB＞0矛盾，
x＝－6， 所以 y＝－8
舍去．
→ 即AB＝(6,8)．
(2)圆x2－6x＋y2＋2y＝0，即(x－3)2＋(y＋1)2＝( 10 )2，其圆心 为C(3，－1)，半径r＝ 10， → → → ∵OB＝OA＋AB＝(4，－3)＋(6,8)＝(10,5)， 1 ∴直线OB的方程为y＝2x. 1 设圆心C(3，－1)关于直线y＝ x的对称点的坐标为(a，b)， 2 b＋1 ＝－2， a－3 则 b－1 1 a＋3 2 ＝2· 2 ，
)．
由x2＋y2－4x＋6y＝0得(x－2)2＋(y＋3)2＝13.故圆心坐标
为(2，－3)． 答案 D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值 范围是( )． B．0＜a＜1 D．a＝± 1
A．－1＜a＜1 C．a＞1或a＜－1
解析 因为点(1,1)在圆的内部， ∴(1－a)2＋(1＋a)2＜4，∴－1＜a＜1. 答案 A