人教版数学高二学案离散型随机变量

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人教新课标版数学高二人教A版选修2-3离散型随机变量的分布列导学案

2．1．2离散型随机变量的分布列一、【学习目标】知识目标1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念。

2．掌握离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质。

能力目标1．在具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列；2．培养学生独立思考问题的能力．情感、态度与价值观1加强师生情感交流，营造和谐课堂。

2在教学过程中让学生体会数学在生活的应用。

3充分发挥非智力因素在教学中的作用，增强学生对数学学习的兴趣二、【重点难点】重点：1.离散型随机变量概率分布列的概念。

2. 离散型随机变量分布列的表示方法和性质；难点：1.确定离散型随机变量的取值、随机变量所对应的概率2. 随机变量在某个范围内取值的概率的计算考点：1离散型随机变量及其分布列的概念2离散型随机变量的分布列的表示方法和基本性质3具体问题中能写出随机变量的取值，能列出概率分布列三、【知识链接】.1.随机变量的概念：如果____________________可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量，随机变量常用字母__________________等表示2. 离散型随机变量的概念：对于随机变量可能取的值，可以按__________________，这样的随机变量叫做离散型随机变量3.对立事件定义.:其中必有一个发生的两个______叫做对立事件是,一种特殊的互斥事件4.互斥事件事件定义：A与事件B在任何一次试验中__________________四、【合作探究】引入对于一个随机试验，仅仅知道试验结果的取值是不够的，还要把握每一个结果发生概率的大小。

还要研究这些结果取值的平均数，这些结果取值的波动状态等等。

实例引入：在随机试验掷一枚骰子中，我们可以定义一个随机变量X , X 的值分别对应试验所得的点数.X能取那些值，X 取每个值的概率分别是多少？解：X的取值有1、2、3、4、5、6则列成表格形式X 1 2 3 4 5 6P归纳小结：该表不仅列出了随机变量X的所有取值．而且列出了X的每一个取值的概率．这样，我们就从概率的角度指出了随机变量在随机试验中取值的分布状况，为进一步研究随机现象奠定了基础，这就是今天我们要学习的内容——离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列定义：一般地，设离散型随机变量X可能取的不同值为：,X取每一个x（ｉ=1，2，……）的概率,P（X=xｉ）=Ｐｉ.，以表格的形式表示如下：X …………P P P……P……此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称X 的分布列也可用P(X=xｉ）=P i=1,2,3 …n表示X的分布列合作探究1分布列的构成:⑴列出随机变量ξ的所有取值;⑵给出ξ的每一个取值的概率注：在具体问题中关键是要搞清楚什么是随机变量，随机变量能取哪些值，随机变量取值的概率是什么2分布列的性质:（1）请同学们思考随机变量概率的取值有什么特点呢(2) 请同学们思考P1+P2+…+Pn=？为什么（3）随机变量在某个范围内取值的概率等于随机变量在这个范围内取各个值得概率的和。

人教版数学高二离散型随机变量的分布列》学案

,
其中，且．称分布列
X
0
1
…
P
…
为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X服从超几何分布。
三、典例解析：
题型一：求离散型随机变量的分布列
例1、掷一枚骰子，所掷出的点数为随机变量X：
（1）求X的分布列；
（2）求“点数大于4”的概率；
（3）求“点数不超过5”的概率。
变式训练盒子中装有4个白球和2个黑球，现从盒中任取4个球，若X表示从盒中取出的4个球中包含的黑球数，求X的分布列.
2.随机变量所有可能的取值为1，2，3，4，5，且，则常数c=, =.
3、盒中有9个正品和3个次品零件，每次取出一个零件，如果取出的次品不再放回，则在取得正品前已取出的次品数X的可能取值为。
4、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量描述一次该项试验的成功次数，则等于（）
A．0 B． C． D．
二、预习自测：
1. 离散型随机变量的分布列
（1）如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1，x2，…，xn；X取每一个值xi（i=1，2，…，n）的概率为p1，p2，…，pn，则称表
X
…
…
P
…
…
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列
（2）离散型随机变量的分布列的两个性质：
；
．
例2、已知随机变量X的概率分布如下：
X
-1
-0.5
0
1.8
3
P
0.1
0.2
0.1
0.3
a
求: （1）a；（2）P（X<0）；（3）P（-0.5≤X<3）；（4）P（X<-2）；

人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案离散型随机变量的数学期望

2.3随机变量的数字特征2．3.1 离散型随机变量的数学期望[对应学生用书P34]设有12个西瓜，其中重5 kg 的有4个，重6 kg 的有3个，重7 kg 的有5个．问题1：任取一个西瓜，用X 表示这个西瓜的重量，试想X 可以取哪些值？提示：X ＝5,6,7.问题2：X 取上述值时对应的概率分别是多少？提示：13，14，512.问题3：试想每个西瓜的平均重量该如何求？提示：5×4＋6×3＋7×512＝5×13＋6×14＋7×512.1．离散型随机变量的均值或数学期望设一个离散型随机变量X 所有可能取的值是x 1，x 2，…，x n ，这些值对应的概率是p 1，p 2，…，p n 则E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 叫做这个离散型随机变量X 的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．2．超几何分布与二项分布的均值若离散型随机变量X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ；若离散型随机变量X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布，则E (X )＝nMN.1．对离散型随机变量均值的理解：(1)离散型随机变量的均值E (X )是一个数值，是随机变量X 本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量取值的平均水平．(2)随机变量的分布相同，则它们的均值一定相同；有相同均值的两个分布未必相同；两个不同的分布也可以有相同的均值．2．离散型随机变量的均值和样本均值之间的区别随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均数是一个随机变量，它随样本的不同而变化．[对应学生用书P34]求离散型随机变量的期望盒中装有5池检验，直到取到好电池为止，求抽取次数X 的分布列及期望．明确X 的取值，并计算出相应的概率，列出分布列后再计算期望． X 可取的值为1,2,3，则P (X ＝1)＝35，P (X ＝2)＝25×34＝310，P (X ＝3)＝25×14×1＝110.抽取次数X 的分布列为X 1 2 3 P35310110E (X )＝1×35＋2×310＋3×110＝1.5.求离散型随机变量的均值的步骤：(1)根据随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由期望的定义求出E (X )．1．从1,2,3,4,5这5个数字中任取不同的两个，则这两个数乘积的数学期望是________．解析：从1,2,3,4,5中任取不同的两个数，其乘积X 的值为2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每个值的概率都是110，∴E (X )＝110×(2＋3＋4＋5＋6＋8＋10＋12＋15＋20)＝8.5.答案：8.52．(江西高考)小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列和数学期望．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28种，X ＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27.(2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1,0,1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为：X －2 －1 0 1 P1145142727E (X )＝(－2)×114＋(－1)×514＋0×27＋1×27＝－314.二项分布与超几何分布的均值和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为110和p .(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为4950，求p 的值；(2)设系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量X ，求X 的概率分布列及数学期望E (X )．(1)利用对立事件发生的概率去求；(2)X 服从二项分布，列出X 的值并求其概率，列出概率分布列，并求其数学期望． (1)设“至少有一个系统不发生故障”为事件C ，那么P (C )＝1－P (C )＝1－110·p ＝4950.解得p ＝15.(2)由题意，随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.故P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫1103＝11 000， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫1102×⎝⎛⎭⎫1－110＝271 000， P (X ＝2)＝C 23110×⎝⎛⎭⎫1－1102＝2431 000， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫1－1103＝7291 000. 所以随机变量X 的概率分布列为X 0 1 2 3 P11 000271 0002431 0007291 000故随机变量X 的数学期望：E (X )＝0×11 000＋1×271 000＋2×2431 000＋3×7291 000＝2710.1．若题中离散型随机变量符合两点分布、二项分布、超几何分布，可直接代入公式求得期望．2．常见的三种分布的均值设p 为一次试验中成功的概率，则 (1)两点分布E (X )＝p ； (2)二项分布E (X )＝np ；(3)超几何分布，即X ～H (n ，M ，N )，则E (X )＝nMN.3．有10件产品，其中3件是次品，从中任取2件，用X 表示取到次品的个数，则E (X )等于( )A.35 B.815C.1415D ．1解析：法一：P (X ＝0)＝C 27C 210＝715，P (X ＝1)＝C 17C 13C 210＝715，P (X ＝2)＝C 23C 210＝115.∴E (X )＝1×715＋2×115＝35.法二：由题意知X 服从N ＝10，M ＝3，n ＝2的超几何分布，则E (X )＝nM N ＝35.答案：A4．若将例1中的无放回改为有放回，并去掉条件“直到取到好电池为止”，求检验5次取到好电池次数X 的数学期望．解：每次检验取到好电池的概率均为35，故X ～B (5，35)，则E (X )＝5×35＝3.5．某运动员投篮命中率为p ＝0.6. (1)求投篮1次时命中次数X 的数学期望； (2)求重复5次投篮时，命中次数Y 的数学期望．解：(1)投篮1次，命中次数X 的分布列如下表：X 0 1 P0.40.6则E (X )＝p ＝0.6.(2)由题意，重复5次投篮，命中的次数Y 服从二项分布，即Y ～B (5,0.6)．则E (Y )＝np ＝5×0.6＝3.离散型随机变量期望的实际应用 (12利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障的时间x (年)0＜x ≤1 1＜x ≤2 x ＞2 0＜x ≤2 x ＞2 轿车数量(辆) 2 3 45 5 45 每辆利润(万元)1231.82.9(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X 1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X 2，分别求X 1，X 2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．对(1)、(2)根据表中的数据利用古典概型概率公式求概率和分布列．对(3)分别求出X 1、X 2的期望，比较大小作出判断．(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110.(2分)(2)依题意得，X 1的分布列为X 1 1 2 3 P125 350 910(4分)X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110 910(6分)(3)由(2)得，E (X 1)＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，E (X 2)＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)．(8分)因为E (X 1)＞E (X 2)，所以应生产甲品牌轿车． (12分)解答此类题目时，首先应把实际问题概率模型化，然后利用有关概率的知识去分析相应各事件可能性的大小，并列出分布列，最后利用公式求出相应的数学期望，并根据期望的大小作出判断．6．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为0.5.(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率； (2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．解：(1)设5发子弹命中X (X ＝0,1,2,3,4,5)发，则由题意有P (X ＝5)＝C 550.55＝132. (2)X 的分布列为X 0 1 2 3 4 5 P13253210321032532132于是Y 的分布列为Y －2 0 40 P2632532132E (Y )＝(－2)×2632＋0×532＋40×132＝－0.375(元)．7．两名战士在一次射击比赛中，战士甲得1分、2分、3分的概率分别为0.4、0.1、0.5；战士乙得1分、2分、3分的概率分别为0.1、0.6、0.3，那么两名战士获胜希望较大的是谁？解：设这次射击比赛战士甲得X 1分，战士乙得X 2分，则分布列分别如下：X 1 1 2 3 P0.40.10.5X 2 1 2 3 P0.10.60.3根据均值公式，得E (X 1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1； E (X 2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2. E (X 2)>E (X 1)，故这次射击比赛战士乙得分的均值较大，所以乙获胜希望大．1．随机变量的期望反映的是离散型随机变量取值的平均水平．在实际问题的决策中，往往把期望最大的方案作为最佳方案进行选择．2．二项分布的数学期望是求期望的一种常见形式，在理解的基础上应熟练记住．对于二项分布的解答，如果采用E (X )＝np ，会大大减少运算量．[对应课时跟踪训练(十五)]1．篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知他命中的概率为0.8，则罚球一次得分X 的期望是( )A ．0.2B ．0.8C ．1D ．0解析：因为P (X ＝1)＝0.8，P (X ＝0)＝0.2，所以E (X )＝1×0.8＋0×0.2＝0.8. 答案：B2．已知X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，且E (X )＝15，则E (Y )＝( ) A ．15 B ．20 C ．5D ．10解析：因为X ～B ⎝⎛⎭⎫n ，12，所以E (X )＝n2，又E (X )＝15，则n ＝30.由于Y ～B ⎝⎛⎭⎫n ，13，可得Y ～B ⎝⎛⎭⎫30，13，故E (Y )＝30×13＝10. 答案：D3．现有10张奖券，8张2元的、2张5元的，某人从中随机抽取3张，则此人得奖金额的数学期望是( )A ．6B ．7.8C ．9D ．12解析：设此人的得奖金额为X ，则X 的所有可能取值为12,9,6.P (X ＝12)＝C 18C 22C 310＝115，P (X＝9)＝C 28C 12C 310＝715，P (X ＝6)＝C 38C 310＝715，故E (X )＝7.8.答案：B4．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4颗子弹，命中后的剩余子弹数目X 的期望为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4解析：X 的可能取值为3,2,1,0，P (X ＝3)＝0.6；P (X ＝2)＝0.4×0.6＝0.24；P (X ＝1)＝0.42×0.6＝0.096；P (X ＝0)＝0.43＝0.064.所以E (X )＝3×0.6＋2×0.24＋1×0.096＝2.376.答案：C5．设随机变量X 等可能地取1,2,3，…，n ，若P (X <4)＝0.3，则E (X )等于________．解析：根据题意，X 取1,2,3，…，n 的概率都是1n ，则P (X <4)＝3n ＝0.3，解得n ＝10，则E (X )＝1×110＋2×110＋…＋10×110＝5.5.答案：5.56．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________.解析：因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12.随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13，P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16，所以E (X )＝1×13＋2×512＋3×16＝53.答案：537．(浙江高考)已知箱中装有4个白球和5个黑球，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从该箱中任取(无放回，且每球取到的机会均等)3个球，记随机变量X 为取出此3球所得分数之和．(1)求X 的分布列； (2)求X 的数学期望E (X )．解：(1)由题意得X 取3,4,5,6，且P (X ＝3)＝C 35C 39＝542，P (X ＝4)＝C 14·C 25C 39＝1021，P (X ＝5)＝C 24·C 15C 39＝514，P (X ＝6)＝C 34C 39＝121.所以X 的分布列为X 3 4 5 6 P5421021514121(2)由(1)知E (X )＝3·P (X ＝3)＋4·P (X ＝4)＋5·P (X ＝5)＋6·P (X ＝6)＝133. 8．小明家住C 区，他的学校在D 区，从家骑自行车到学校的路有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为23；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求至少遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的数学期望；(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助小明从上述两条路线中选择一条最好的上学路线，并说明理由．解：(1)法一：设“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A ，则P (A )＝C 13×23×(13)2＋C 23×(23)2×13＋C 33×(23)3×(13)0＝2627，所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627.法二：设“走L 1路线没有遇到一次红灯”为事件A ，则“走L 1路线至少遇到一次红灯”为事件A －，故P (A )＝(1－23)(1－23)(1－23)＝13×13×13＝127，所以P (A －)＝1－P (A )＝1－127＝2627，高中数学-打印版校对打印版所以走L 1路线，至少遇到一次红灯的概率为2627. (2)依题意，X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝(1－34)×(1－35)＝110， P (X ＝1)＝34×(1－35)＋(1－34)×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920. 随机变量X 的分布列为所以E (X )＝110×0＋920×1＋920×2＝2720. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y ，随机变量Y 服从二项分布，Y ～B (3，23)，所以E (Y )＝3×23＝2>E (X )，所以应选择L 2路线．。

人教新课标版数学高二人教B版选修2-3学案离散型随机变量的分布列

2．1.2 离散型随机变量的分布列[对应学生用书P21]离散型随机变量的分布列1．投掷一颗骰子，所得点数为X . 问题1：X 可取哪些数字？提示：X ＝1,2,3,4,5,6问题2：X 取不同的值时，其概率分别是多少？提示：都等于16.2．一瓶中装有5个球，编号为1,2,3,4,5.从瓶中同时取3个，以X 表示取出的3个球中的最大号码．问题3：随机变量X 的可能取值是什么？提示：X ＝3,4,5.问题4：试求X 取不同值的概率分别是什么？提示：P (X ＝3)＝C 33C 35＝110，P (X ＝4)＝C 23C 35＝310，P (X ＝5)＝C 24C 35＝610＝35.问题5：你能用表格表示X 与P 的对应关系吗？提示：可表示为：X 3 4 5 P1103106101．分布列的定义设离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率p 1，p 2…，p n 则称表X x 1 x 2 … x i … x n Pp 1p 2…p i…p n为离散型随机变量X 的概率分布列． 2．分布列的性质由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质： (1)p i ≥0，i ＝1,2，…，n ； (2)p 1＋p 2＋…＋p n ＝1.二点分布战士打靶比赛命中得2分，不中得0分，命中概率为0.6. 问题1若用“X ”表示“打靶得分”，X 可能取哪些值？提示：0,2问题2：打靶得分的分布列是什么？提示：X 2 0 P0.60.4二点分布如果随机变量X 的分布列为X 1 0 Ppq其中0<p <1，q ＝1－p ，则称X 服从参数为p 的二点分布．1．随机变量的分布列不仅能清楚地反映随机变量的所有可能取值，而且能清楚地看到取每一个值的概率的大小，从而反映了随机变量在随机试验中取值的分布情况．2．由于随机变量的各个取值之间彼此互斥，因此随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．[对应学生用书P22]分布列及其性质的应用设随机变量X 的分布列为P (X ＝i )＝ia (i ＝1,2,3,4)，求：(1)P (X ＝1或X ＝2)； (2)P ⎝⎛⎭⎫12<X <72. 先由分布列的性质求a ，再根据X ＝1或X ＝2，12<X <72的含义，利用分布列求概率．(1)∵∑i ＝14p i ＝1a ＋2a ＋3a ＋4a ＝1，∴a ＝10，则P (X ＝1或X ＝2) ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝110＋210＝310. (2)由a ＝10，可得P ⎝⎛⎭⎫12<X <72 ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3) ＝110＋210＋310＝35.利用分布列及其性质解题时要注意以下两个问题： (1)X 的各个取值表示的事件是互斥的．(2)不仅要注意∑i ＝1np i ＝1，而且要注意p i ≥0，i ＝1,2，…，n .1．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P4a －13a 2＋a求常数a 解：由分布列的性质可知 ⎩⎪⎨⎪⎧0≤4a －1≤1，0≤3a 2＋a ≤1，4a －1＋3a 2＋a ＝1，解得a ＝13.随机变量X 的分布列为X 0 1 P13232.某射手射击所得环数X X45678910P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22求此射手“射击一次命中的环数不小于7”的概率．解：根据射手射击所得的环数X 的分布列，有P (X ＝7)＝0.09，P (X ＝8)＝0.28，P (X ＝9)＝0.29，P (X ＝10)＝0.22. 所求的概率为P (X ≥7)＝0.09＋0.28＋0.29＋0.22＝0.88.二点分布问题袋内有10个白球、5个红球，从中摸出2个球，记X ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，两球全红，1，两球非全红.求X 的分布列．X 只有两个可能取值，属于二点分布，应用概率知识求出X ＝0的概率，然后根据二点分布的特点求出X ＝1的概率，最后列成表格的形式即可．由题设可知X 服从二点分布， P (X ＝0)＝C 25C 215＝221，∴P (X ＝1)＝1－P (X ＝0)＝1－221＝1921.∴X 的分布列为X 0 1 P2211921注意二点分布的几个特点：(1)二点分布中只有两个对应结果，且两结果是对立的； (2)二点分布中的两结果一个对应1，另一个对应0；(3)由对立事件的概率公式可知，已知P (X ＝0)(或P (X ＝1))便可求出P (X ＝1)(或P (X ＝0))．3．一批产品的次品率为5%，从中任意抽取一个进行检验，用随机变量X 来描述次品出现的情况，即X ＝0表示产品为合格品，X ＝1表示产品为次品，则X 的分布列为X 0 1 P解析：X ＝0表示取到一个合格品，概率为95%；X ＝1表示取到一个次品，概率为5%.答案：0.95 0.054．若随机变量X 只能取两个值0,1，又知X 取0的概率是取1的概率的3倍，写出X 的分布列．解：由题意及分布列满足的条件知P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝3P (X ＝1)＋P (X ＝1)＝1，所以P (X ＝1)＝14，故P (X ＝0)＝34.所以X 的分布列为X 0 1 P3414求离散型随机变量的分布列 (10分)放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球的盒子中，已知红球个数是绿球个数的2倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从中随机取出一个小球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数X 的分布列．要写出随机变量X 的分布列，首先要列出X 所有可能的取值，其次要确定X 的每一个取值所对应的概率，最后才能写出随机变量X 的分布列．设黄球有n 个，则由题意知绿球有2n 个，红球有4n 个，球的总数为7n 个．X 的可能取值为－1,0,1.P (X ＝－1)＝2n 7n ＝27，(4分) P (X ＝0)＝n 7n ＝17，(6分) P (X ＝1)＝4n 7n ＝47.(8分)所以从该盒中取出一球所得分数X 的分布列为X －1 0 1 P27 17 47(10分)求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)明确随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义； (2)利用概率的有关知识求出随机变量取每个值的概率；(3)按规范形式写出分布列．5．某商场经销某种商品，根据以往材料统计，顾客采用的分期付款期数X 的分布列为X 1 2 3 4 5 P0.40.20.20.10.13期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元，Y 表示经销一件该商品的利润．求Y 的分布列．解：依题意，得Y 的可能取值为200,250,300，则P (Y ＝200)＝P (X ＝1)＝0.4，P (Y ＝250)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝0.2＋0.2＝0.4， P (Y ＝300)＝P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝0.1＋0.1＝0.2，所以随机变量Y 的分布列为Y 200 250 300 P0.40.40.26．某班有学生4512人，B 型血的有8人，AB 型血的有15人．现从中抽1人，其血型为随机变量X ，求X 的分布列．解：将O ，A ，B ，AB 四种血型分别编号为1,2,3,4，则X 的可能取值为1,2,3,4. P (X ＝1)＝C 110C 145＝29，P (X ＝2)＝C 112C 145＝415，P (X ＝3)＝C 18C 145＝845，P (X ＝4)＝C 115C 145＝13.故其分布列为X 1 2 3 4 P2941584513求离散型随机变量分布列时应注意以下几点：(1)确定离散型随机变量X 的分布列的关键是要搞清X 取每一个值对应的随机事件，进一步利用排列、组合知识求出X 取每一个值的概率．(2)在求离散型随机变量X 的分布列时，要充分利用分布列的性质，这样可以减少运算量，也可利用分布列的性质验证分布列是否正确．[对应课时跟踪训练(十)]1．若离散型随机变量X 的分布列为X 0 1 P2a3a则a ＝( )A.12 B.13C.15D.110解析：由分布列的性质可知2a ＋3a ＝1，解得a ＝15.答案：C2．设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k15(k ＝1,2,3,4,5)，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52等于( ) A.12 B.19 C.16D.15解析：P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：D3．某10人组成兴趣小组，其中有5名团员．从这10人中任选4人参加某项活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝( )A.421 B.921C.621D.521解析：P (X ＝3)＝C 35C 15C 410＝521.答案：D4．已知离散型随机变量X 的分布列如下：X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P23232233234235236237238239mA.239B.2310 C.139 D.1109解析：由分布列的性质∑i ＝1np i ＝1，得23＋232＋233＋…＋239＋m ＝1，所以P (X ＝10)＝m ＝1－⎝⎛⎭⎫23＋232＋233＋…＋239 ＝1－2×13⎝⎛⎭⎫1－1391－13＝139.答案：C5．从装有除颜色外其余均相同的3个红球，2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有X 个红球，随机变量X 的概率分布列如下：则x 1，x 2，x 3的值分别为________________．解析：X 的可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 22C 25＝0.1，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 23C 25＝0.3.答案：0.1,0.6,0.36．已知随机变量X 只能取三个值x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围为________．解析：设X 的分布列为由离散型随机变量分布列的基本性质知 ⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋a ＋d ＝1，0≤a －d ≤1，0≤a ＋d ≤1.解得－13≤d ≤13.答案：⎣⎡⎦⎤－13，13 7．(重庆高考)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 33C 39＝584. (2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39＝1742，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 39＝4384， P (X ＝3)＝C 22C 17C 39＝112，故X 的分布列为从而E (X )＝1×1742＋2×4384＋3×112＝4728.8．旅游公司为3个旅游团提供了甲、乙、丙、丁4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．(1)求3个旅游团选择3条不同线路的概率； (2)求恰有2条线路没有被选择的概率； (3)求选择甲线路的旅游团个数X 的分布列．解：(1)3个旅游团选择3条不同线路的概率为 P 1＝A 3443＝38.(2)恰有2条线路没有被选择的概率为P 2＝C 24C 23A 2243＝916. (3)由题意知，选择甲线路的旅游团个数X 的所有可能取值是0,1,2,3，于是P (X ＝0)＝3343＝2764，P (X ＝1)＝C 13×3243＝2764，P (X ＝2)＝C 23×3143＝964，P (X ＝3)＝C 3343＝164.所以X的分布列为。

人教版选修2-3 2.1.1 离散型随机变量导学案

2.1.1《离散型随机变量》导学案制作王敬审核高二数学组2016-05-27【学习目标】1．通过实例了解随机变量的概念，理解离散型随机变量的概念．2．能写出离散型随机变量的可能取值，并能解释其意义．【重点难点】重点：离散型随机变量的概念．难点：离散型随机变量的意义．【预习导航】1．一个试验如果满足下列条件：(1)试验可以在相同的情形下__________进行；(2)试验的所有可能结果是__________的，并且不只一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的__________，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验．2．随着__________变化而变化的变量称为随机变量，随机变量常用字母X、Y、ξ、η等表示．3．______________________的随机变量，称为离散型随机变量．【问题整合】【问题1】一个正四面体玩具，四个面分别涂有红、黄、绿、黑，投掷一次观察落地一面的颜色，有多少种可能的结果？这些结果可以用数字表示吗？【问题2】在一块地里种了6棵树苗，设成活的树苗棵数为X，则X可取哪些数字？【探究活动一】随机变量及其取值的意义例1写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量的值所表示的随机试验的结果．(1)正方体的骰子，各面分别刻着1、2、3、4、5、6，随意掷两次，所得的点数之和为ξ；(2)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为ξ；(3)电台在每个整点都报时，某人随机打开收音机对表，他所等待的时间ξ(min)．方法规律总结跟踪训练1100件产品中，含有5件次品，任意抽取4件产品，其中含有的次品数为ξ，抽取产品的件数为η，ξ、η是随机变量吗？【探究活动二】离散型随机变量例2①某座大桥一天经过的中华牌轿车的辆数为ξ；②某网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为ξ；③一天内的温度为ξ；④射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用ξ表示该射手在一次射击中的得分．上述问题中的ξ是离散型随机变量的是()A．①②③④B．①②④C．①③④D．②③④【方法规律总结】【方法规律总结】跟踪训练3盒中有9个正品和3个次品共12个零件，每次从中取一个零件，如果取出的是次品，则不再放回，直到取出正品为止，设取得正品前已取出的次品数为X.(1)写出X的所有可能取值．(2)写出X＝2所表示的事件．(3)求X＝2的概率．跟踪训练2下列随机变量中不是离散型随机变量的是()A．盒子里有除颜色不同，其他完全相同的红球和白球各5个，从中摸出3个球，白球的个数XB．小明回答20道选择题，答对的题数XC．某人早晨在车站等出租车的时间XD．某人投篮10次投中的次数X【探究三】离散型随机变量的取值及其概率写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从一个装有编号为1号到10号的10个球的袋中任取1球，被取出的球的编号为X；(2)一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取4个球，其中所含红球的个数为X；(3)投掷甲、乙两枚骰子，所得点数之和为X，所得点数之和是偶数为Y.【总结概括】本节课的收获：【课后作业】必做题：课本习题2.1A组1，2题选做题：同步练习册知能提升。

学案6：2.1.1 离散型随机变量

2.1.1离散型随机变量[学习目标] 1.理解随机变量的意义．2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散型随机变量的例子．3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量．自主预习[新知提炼]1．随机变量(1)定义：在随机试验中，确定一个对应关系，使得每一个都用一个表示．在这个对应关系下，随着的变化而变化．像这种随着变化而变化的变量称为随机变量．(2)表示：随机变量常用字母表示．2．离散型随机变量所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．[名师指津]随机变量是随机试验结果和实数之间的一个对应关系，这种对应是人为的，但又是客观存在的．[自我尝试]1. 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)离散型随机变量的取值是任意的实数．()(2)随机变量的取值可以是有限个，也可以是无限个．()(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值．()2. 如果X是一个离散型随机变量且Y＝aX＋b，其中a，b是常数且a≠0，那么Y() A．不一定是随机变量B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量C．可能是定值D．一定是离散型随机变量3. 一木箱中装有8个同样大小的篮球，编号为1，2，3，4，5，6，7，8，现从中随机取出3个篮球，以ξ表示取出的篮球的最大号码，则ξ＝8表示的试验结果有________种．讲练互动探究点1随机变量的概念例1. 判断下列各个量，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)北京国际机场候机厅中2018年5月1日的旅客数量；(2)2018年1月1日到6月1日期间所查酒驾的人数；(3)2018年6月1日济南到北京的某次动车到北京站的时间；(4)体积为1 000 cm3的球的半径长.[跟踪训练]指出下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量，并说明理由．(1)某人射击一次命中的环数；(2)任意掷一枚均匀硬币5次，出现正面向上的次数；(3)投一颗质地均匀的骰子两次出现的点数(最上面的数字)中的最小值；(4)某个人的属相．探究点2离散型随机变量的判定例2.指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由．(1)从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数；(2)某林场中的树木最高达30 m，则此林场中树木的高度．[跟踪训练]指出下列随机变量是否是离散型随机变量，并说明理由．(1)某超市5月份每天的销售额；(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差ξ；(3)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0，29]这一范围内变化，该水位站所测水位ξ.探究点3用随机变量描述随机现象例3. 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含黑球的个数为X.(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1，2，3，4，5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.[互动探究][变条件]在本例(1)的条件下，规定取出一个红球赢2元，而每取出一个白球输1元，以ξ表示赢得的钱数，结果如何？[跟踪训练]写出下列各随机变量可能的取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果．(1)一个人要开房门，他共有10把钥匙，其中仅有一把是能开门的，他随机取钥匙去开门并且用后不放回，其中打开门所试的钥匙个数为X；(2)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记X＝|x－2|＋|y－x|.当堂检测1．下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④2．掷两颗骰子，所得点数之和为γ，那么γ＝4表示的随机试验结果是()A．一颗是3点，一颗是1点B．两颗都是2点C．两颗都是4点D．一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点3．写出下列随机变量的可能取值，并说明随机变量的取值表示的事件．(1)在含有5件次品的200件产品中任意抽取4件，其中次品件数X是一个随机变量；(2)一袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含黑球的个数Y是一个随机变量．课堂知识小结巩固提升[A基础达标]1．①某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X；②某人射击2次，击中目标的环数之和记为X；③测量一批电阻，在950 Ω～1 200 Ω之间的阻值记为X；④一个在数轴上随机运动的质点，它在数轴上的位置记为X.其中是离散型随机变量的是()A．①②B．①③C．①④D．①②④2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．袋中有大小相同的红球6个，白球5个，从袋中每次任意取出1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数为随机变量X，则X的可能取值为()A．1，2，3，…，6 B．1，2，3，…，7C．0，1，2，…，5 D．1，2，…，54．(2018·河北徐水一中月考)某人进行射击，共有5发子弹，击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为ξ，则“ξ＝5”表示的试验结果是()A．第5次击中目标B．第5次未击中目标C．前4次均未击中目标D．第4次击中目标5．袋中装有大小和颜色均相同的5个乒乓球，分别标有数字1，2，3，4，5，现从中任意抽取2个，设两个球上的数字之积为X，则X所有可能值的个数是()A．6 B．7C．10 D．256．给出下列四个命题：①某次数学期中考试中，其中一个考场30名考生中做对选择题第12题的人数是随机变量；②黄河每年的最大流量是随机变量；③某体育馆共有6个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量；④方程x2－2x－3＝0根的个数是随机变量．其中正确的是________．7．已知Y＝2X为离散型随机变量，Y的取值为1，2，3，4，…，10，则X的取值为________．8．在考试中，需回答三个问题，考试规则规定：每题回答正确得100分，回答不正确得－100分，则这名同学回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值是________．9．某车间三天内每天生产10件某产品，其中第一天、第二天分别生产了1件、2件次品，而质检部门每天要在生产的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．若厂内对车间生产的产品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过一天、两天分别得1分、2分，设该车间在这两天内总得分为ξ，写出ξ的可能取值．10．小王钱夹中只剩有20元、10元、5元、2元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张，用来买晚餐，用X表示这两张人民币的金额之和．写出X的可能取值，并说明所取值表示的随机试验的结果．[B能力提升]11．一用户在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到所要号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为()A．20 B．24C．4 D．1812．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X＞4”表示的试验结果是________．13．下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．(1)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y；(2)离开天安门的距离Y；(3)袋中有大小完全相同的红球5个，白球4个，从袋中任意取出一球，若取出的球是白球，则过程结束；若取出的球是红球，则将此红球放回袋中，然后重新从袋中任意取出一球，直至取出的球是白球，此规定下的取球次数X.14．(选做题)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数为ξ.(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值；(2)若规定抽取3个球中，每抽到一个白球加5分，抽到黑球不加分，且最后不管结果都加上6分．求最终得分η的可能取值，并判定η的随机变量类型．【参考答案】[新知提炼]1．(1)试验结果确定的数字数字试验结果试验结果(2) X，Y，ξ，η，…2．一一列出[自我尝试]1.【答案】(1)×(2)√(3)×2. D3. 21讲练互动探究点1随机变量的概念例1. 【解】(1)旅客人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)所查酒驾的人数可能是0，1，2，…，出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(3)动车到达的时间可在某一区间内任取一值，是随机的，因此是随机变量．(4)球的体积为1 000 cm3时，球的半径为定值，不是随机变量．[方法归纳]判断一个试验是否为随机试验的方法判断一个试验是否是随机试验，依据是这个试验是否满足随机试验的三个条件，即(1)试验在相同条件下是否可重复进行；(2)试验的所有可能的结果是否是明确的，并且试验的结果不止一个；(3)每次试验的结果恰好是一个，而且在一次试验前无法预知出现哪个结果．[跟踪训练]解：(1)某人射击一次，可能命中的环数是0环，1环，…，10环，结果只有其中一个而且出现哪一个结果是随机的，因此是随机变量．(2)任意掷一枚硬币1次，可能出现正面向上也可能出现反面向上，因此投掷5次硬币，出现正面向上的次数可能是0，1，2，3，4，5，而且出现哪种结果是随机的，是随机变量．(3)一颗骰子投掷两次，所得点数的最小值可以是1，2，3，4，5，6，因此是随机变量．(4)属相是人出生时便确定的，不是随机变量．探究点2离散型随机变量的判定例2.【解】(1)是离散型随机变量．因为只要取出一张，便有一个号码，所以被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义．(2)不是离散型随机变量，因为林场中树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，所以不是离散型随机变量．[方法归纳]离散型随机变量判定的关键及方法(1)关键：判断随机变量X的所有取值是否可以一一列出．(2)具体方法①明确随机试验的所有可能结果．②将随机试验的试验结果数量化．③确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出，如果能一一列出，则该随机变量是离散型随机变量，否则不是．[跟踪训练]解：(1)是离散型随机变量．某超市5月份每天的销售额可以一一列出，故为离散型随机变量．(2)不是离散型随机变量．实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量．(3)不是离散型随机变量，水位在(0，29]这一范围内变化，不能一一列出，故不是离散型随机变量．探究点3用随机变量描述随机现象例3. 【解】(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1，2，3.X＝4表示取出的球编号为1，2，4；1，3，4或2，3，4.X＝5表示取出的球编号为1，2，5；1，3，5；1，4，5；2，3，5；2，4，5或3，4，5. [互动探究][变条件]解：ξ＝10表示取5个球全是红球；ξ＝7表示取1个白球，4个红球；ξ＝4表示取2个白球，3个红球；ξ＝1表示取3个白球，2个红球．[反思提升]用随机变量表示随机试验的结果，问题的关键点和注意点.(1)关键点：解决此类问题的关键是明确随机变量的所有可能取值，以及取每一个值对应的意义，即一个随机变量的取值对应一个或多个随机试验的结果．(2)注意点：解答过程中不要漏掉某些试验结果．[跟踪训练]解：(1)X可能取值为1，2，3，…，10.X＝n表示第n次打开房门．(2)因为x，y可能取的值为1，2，3，所以0≤|x－2|≤1，0≤|x－y|≤2，所以0≤X≤3，所以X可能的取值为0，1，2，3，用(x，y)表示第一次抽到卡片号码为x，第二次抽得号码为y，则随机变量X取各值的意义为：X＝0表示两次抽到卡片编号都是2，即(2，2)．X＝1表示(1，1)，(2，1)，(2，3)，(3，3)．X＝2表示(1，2)，(3，2)．X＝3表示(1，3)，(3，1).当堂检测1．【解析】选C.①是，因为1小时内经过该收费站的车辆可一一列出．②不是，质点在直线y＝x上运动时的位置无法一一列出．③是，1小时内网站的访问次数可一一列出．④不是，1天内的温度η是该天最低温度和最高温度这一范围内的任意实数，无法一一列出．2．【解析】选D.因为γ＝4表示两个骰子之和为4，有(3，1)，(1，3)，(2，2)，即γ＝4表示的随机试验结果是一颗是3点，一颗是1点或两颗都是2点，故选D.3．解：(1)随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4.X＝0，表示“抽取0件次品”；X＝1，表示“抽取1件次品”；X＝2，表示“抽取2件次品”；X＝3，表示“抽取3件次品”；X＝4，表示“抽取4件次品”．(2)随机变量Y的可能取值为0，1，2，3.Y＝0，表示“取出0个黑球，3个白球”；Y＝1，表示“取出1个黑球，2个白球”；Y＝2，表示“取出2个黑球，1个白球”；Y＝3，表示“取出3个黑球，0个白球”．巩固提升[A 基础达标]1．【解析】选A.根据离散型随机变量的定义知，①②是离散型随机变量．2．【解析】选C.A 中取到产品的件数是一个常量，不是变量，B ，D 也是一个定值，而C 中取到次品的件数可能是0，1，2，是随机变量．3．【解析】选B.由于取到白球取球停止，所以取球次数可以是1，2，3， (7)4．【解析】选C.击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数ξ＝5，则说明前4次均未击中目标．5．【解析】选C.X 的所有可能值有1×2，1×3，1×4，1×5，2×3，2×4，2×5，3×4，3×5，4×5，共计10个．6．①②③【解析】①②③是正确的，④中方程x 2－2x －3＝0的根有2个是确定的，不是随机变量． 7．12，1，32，2，52，3，72，4，92，5 【解析】由Y ＝2X 得X ＝12Y . 因为Y 的取值为1，2，3，4， (10)所以X 的取值为12，1，32，2，52，3，72，4，92，5. 8．－300，－100，100，300【解析】若答对0个问题得分－300；若答对1个问题得分－100；若答对2个问题得分100；若问题全答对得分300.9．解：ξ的可能取值为0，1，2.ξ＝0表示在两天检查中均发现了次品；ξ＝1表示在两天检查中有1天没有检查到次品，1天检查到了次品；ξ＝2表示在两天检查中都没有发现次品．10．解：X 的可能取值为(单位：元)：3，6，7，11，12，15，21，22，25，30.其中X ＝3表示抽到的是1元和2元，X ＝6表示抽到的是1元和5元，X ＝7表示抽到的是2元和5元， X ＝11表示抽到的是1元和10元，X ＝12表示抽到的是2元和10元，X ＝15表示抽到的是5元和10元，X ＝21表示抽到的是1元和20元，X ＝22表示抽到的是2元和20元，X ＝25表示抽到的是5元和20元，X ＝30表示抽到的是10元和20元．[B能力提升]11．【解析】选B.由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6，7，8，9四位数字的不同排列，故有A44＝24种．12．【解析】因为一枚骰子的点数可以是1，2，3，4，5，6六种结果之一，由已知得－5≤X≤5，也就是说“X＞4”就是“X＝5”．所以，“X＞4”表示两枚骰子中第一枚为6点，第二枚为1点．【答案】第一枚为6点，第二枚为1点13．解：(1)X可取1，2，3.{X＝i}表示取出i支白粉笔，3－i支红粉笔，其中i＝1，2，3.{Y＝j}表示取出j支红粉笔，3－j支白粉笔，其中j＝0，1，2.(2)Y可取[0，＋∞)中的数．Y＝k表示离开天安门的距离为k(km)．不是离散型随机变量．(3)X可取所有的正整数．{X＝i}表示前i－1次取出红球，而第i次取出白球，这里i∈N*.是离散型随机变量．14．解：(1)(2)由题意可得η＝5ξ＋6，而ξ可能的取值范围为{0，1，2，3}，所以η对应的各值是：5×0＋6，5×1＋6，5×2＋6，5×3＋6.故η的可能取值为{6，11，16，21}，显然η为离散型随机变量．。

人教版高中数学选修(2-3)-2.1《离散型随机变量》参考学案

§2.1.1 离散型随机变量1．理解随机变量的定义；2．掌握离散型随机变量的定义．一、课前准备（预习教材P50~ P52，找出疑惑之处）复习1：掷一枚骰子，出现的点数可能是，出现偶数点的可能性是．复习2：掷硬币这一最简单的随机试验，其可能的结果是，两个事件．二、新课导学※学习探究探究任务一：在掷硬币的随机试验中，其结果可以用数来表示吗？我们确定一种关系，使得每一个试验结果都用一个表示，在这种关系下，数字随着试验结果的变化而变化新知1：随机变量的定义：像这种随着试验结果变化而变化的变量称为常用字母、、、…表示．思考：随机变量与函数有类似的地方吗？新知2：随机变量与函数的关系：随机变量与函数都是一种试验结果的范围相当于函数的，随机变量的范围相当于函数的．试试：在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个，其值域是．X表示；随机变量{}0={}4=X表示； {}3<X 表示；“抽出3件以上次品”可用随机变量表示．新知3：所有取值可以的随机变量，称为离散型随机变量．思考：① 电灯泡的寿命X 是离散型随机变量吗？②随机变量⎩⎨⎧≥<=小时寿命小时寿命1000,11000,0Y 是一个离散型随机变量吗？※ 典型例题例1．某林场树木最高可达36m ，林场树木的高度η是一个随机变量吗？若是随机变量，η的取值范围是什么？例2 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果（1）一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5，现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；（2）某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．※ 动手试试练1．下列随机试验的结果能否用离散型号随机变量表示：若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果（1）抛掷两枚骰子，所得点数之和；（2）某足球队在5次点球中射进的球数；（3）任意抽取一瓶某种标有2500ml 的饮料，其实际量与规定量之差．练2．盒中9个正品和3个次品零件，每次取一个零件，如果取出的次品不再放回，且取得正品前已取出的次品数为ξ．。

数学高二-选修2学案离散型随机变量及其分布列的应用

2.1.3离散型随机变量及其分布列的应用导学案一、教学目标1、知识与技能会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

2、过程与方法认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

3、情感、态度与价值观认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。

二、教学重点离散型随机变量的分布列的概念。

教学难点求简单的离散型随机变量的分布列。

三、教学方法探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）、问题情境1．复习回顾：（1）随机变量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步骤． 2．练习：（1）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．①一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5．现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数为X ；②盒中有6支白粉笔和8支红粉笔，从中任意取3支，其中所含白粉笔的支数X ；③从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片编号数之和X ．解：①X 可取3，4，5．X ＝3，表示取出的3个球的编号为1，2，3；X ＝4，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；X ＝5，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．②X 可取0，1，2，3，X ＝i 表示取出i 支白粉笔，i -3支红粉笔，其中=i 0，1，2，3．③X 可取3，4，5，6，7．X ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；X ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；X ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；X ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；X ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片．（2）袋内有5个白球，6个红球，从中摸出两球，记01X ⎧=⎨⎩两球全红两球非全红．求X 的分布列．解：显然X 服从两点分布，262113(0)11C P X C ===，则38(1)11111P X ==-=．所以X 的分布列是：（二）、知识与方法运用1、例题探析例1、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数．求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率(25)P X <<．解：依题意易知，掷两颗骰子出现的点数有36种等可能的情况：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而X 的可能取值为1，2，3，4，5，6，详见下表．由古典概型可知X 的概率分布如下表所示．从而(25)(3)(4)36363P X P X P X <<==+==+=．思考：在例1中，求两颗骰子出现最小点数Y 的概率分布．分析类似与例1，通过列表可知：11(1)36P Y ==，9(2)36P Y ==，7(3)36P Y ==，5(4)36P Y ==，3(5)36P Y ==，1(6)36P Y ==．例2、从装有6个白球、4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出一个黑球赢2元，而每取出一个白球输1元，取出黄球无输赢，以X 表示赢得的钱数，随机变量X 可以取哪些值呢？求X 的分布列．解析：从箱中取出两个球的情形有以下六种：{2白}，{1白1黄}，{1白1黑}，{2黄}，{1黑1黄}，{2黑}．当取到2白时，结果输2元，随机变量X ＝－2；当取到1白1黄时，输1元，随机变量X ＝－1；当取到1白1黑时，随机变量X ＝1；当取到2黄时，X ＝0；当取到1黑1黄时，X ＝2；当取到2黑时，X ＝4．则X 的可能取值为－2，－1，0，1，2，4．225)2(21226==-=C C X P ；112)1(2121216==-=C C C X P ； 661)0(21222===C C X P；114)1(2121416===C C C X P ；334)2(2121214===C C C X P ，111)4(21224===C C X P ．从而得到X 的分布列如下：例3、袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17，现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用ξ表示取球终止时所需要的取球次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量ξ的概率分布；（3）求甲取到白球的概率．解：（1）设袋中原有n 个白球，由题意知：227(1)1(1)2767762n n n C n n C --===⨯⨯，所以(1)6n n -=，解得3n =（舍去2n =-），即袋中原有3个白球．（2）由题意，ξ的可能取值为1，2，3，4，5．3(1)7P ξ==；432(2)767P ξ⨯===⨯；4336(3)76535P ξ⨯⨯===⨯⨯； 43233(4)765435P ξ⨯⨯⨯===⨯⨯⨯，432131(5)7654335P ξ⨯⨯⨯⨯===⨯⨯⨯⨯．所以，取球次数ξ的分布列为：（3）因为甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，记“甲取到白球”的事件为A ，则()P A P =（"1"ξ=，或"3"ξ=，或"5"ξ=）．因为事件"1"ξ=、"3"ξ=、"5"ξ=两两互斥，所以36122()(1)(3)(5)7353635P A P P P ξξξ==+=+==++=． 2、练习：某一射手射击所得环数ξ分布列为求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率。

732 离散型随机变量的方差(学案)23学年高二数学(人教A版2019选择性必修第三册)

E (Y ) aE ( X ) b 10 ， D (Y ) a 2 D ( X ) 4 ，
0.8a b 10 ， 0.16 a 2 4 ， a 5 ， b 6 ，故选 C.
3.B 解析：由题意得 D (5 ) 25 D ( ) 20 ，所以 D( )
2
6
3
2
1
1
1
E ( X ) 0 2 a 2 ， a 3 .
6
2
3
1
1
1
2
D( X ) (0 2)2 (2 2)2 (3 2) 2 1 .故 D2X 3 2 D X 4 .
6
2
3
例 2 0.16 解析：依题意知:X 服从两点分布,所以 D(X)=(0-0.8)2×0.2+(1-0.8)2×0.8=0.16.
C. a 5 ， b 6
D. a 6 ， b 5

D
(5

)

20
D
(

)
(
3.设是随机变量，且
，则
)
A.0.4
B.0.8
C.4
D.20
4.有甲、乙两种水稻,测得每种水稻各 10 株的分蘖数据,计算出样本均值 E(X 甲)=E(X 乙),方差分
别为 D(X 甲)=11,D(X 乙)=3.4.由此可以估计(
7.3 离散型随机变量的数字特征
7.3.2 离散型随机变量的方差
【学习目标】
课程标准
素养要求
理解离散型随机 1.理解离散型随机变量的方差及标准差的概念.(数学抽象)
变量的方差.
2.掌握方差的性质,会利用公式求离散型随机变量的方差.(数学运算)

人教新课标B版高中数学高二选修2-3学案离散型随机变量

2.1.1 离散型随机变量学习目标 1.理解随机变量及离散型随机变量的含义.2.了解随机变量与函数的区别与联系．知识点一随机变量思考1 抛掷一枚质地均匀的硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果，这种试验结果能用数字表示吗？思考2 在一块地里种10棵树苗，棵数为x ，则x 可取哪些数字？梳理随机变量(1)定义(2)表示表示—⎪⎪⎪⎪随机变量常用大写字母表示—也可以用希腊字母ξ，η，…表示知识点二离散型随机变量如果随机变量X的所有可能的取值都能____________，则称X为离散型随机变量．知识点三随机变量与函数的关系相同点随机变量和函数都是一种映射区别随机变量是随机试验的结果到实数的映射，函数是实数到实数的映射联系随机试验结果的范围相当于函数的定义域，随机变量的取值范围相当于函数的值域类型一随机变量的概念例1下列变量中，哪些是随机变量，哪些不是随机变量？并说明理由．(1)某机场一年中每天运送乘客的数量；(2)某单位办公室一天中接到电话的次数；(3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数；(4)明年某天济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间．反思与感悟随机变量的辨析方法(1)随机试验的结果具有可变性，即每次试验对应的结果不尽相同．(2)随机试验的结果的不确定性，即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点，则该变量即为随机变量．跟踪训练1掷均匀硬币一次，随机变量为()A．掷硬币的次数B．出现正面向上的次数C．出现正面向上的次数或反面向上的次数D．出现正面向上的次数与反面向上的次数之和类型二离散型随机变量的判定例2下面给出四个随机变量：①某高速公路上某收费站在未来1小时内经过的车辆数X是一个随机变量；②一个沿直线y＝x进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y是一个随机变量；③某网站未来1小时内的点击量；④一天内的温度η.其中是离散型随机变量的为()A．①②B．③④C．①③D．②④反思与感悟“三步法”判定离散型随机变量(1)依据具体情境分析变量是否为随机变量．(2)由条件求解随机变量的值域．(3)判断变量的取值能否一一列举出来，若能，则是离散型随机变量；否则，不是离散型随机变量．跟踪训练2下列不是离散型随机变量的是()A．掷一枚骰子出现的点数B．投篮一次的结果C．某同学在12：00到12：30到校的时刻D．从含有10件合格品、10件次品共20件产品中任取3件，其中的合格品件数类型三用随机变量表示随机试验的结果例3写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)一个袋中装有8个红球，3个白球，从中任取5个球，其中所含白球的个数为X；(2)一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X.引申探究例3(2)中，若将“最大”改为“最小”，其他条件不变，应如何解答．反思与感悟解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值，以及其取每一个值时对应的意义，即一个随机变量的取值可能对应一个或多个随机试验的结果，解答过程中不要漏掉某些试验结果．跟踪训练3写出下列随机变量可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．(1)从学校回家要经过3个红绿灯口，可能遇到红灯的次数ξ；(2)电台在每个整点都报时，报时所需时间为0.5分钟，某人随机打开收音机对时间，他所等待的时间为ξ分钟．1．下列变量中，不是随机变量的是()A．一射击手射击一次命中的环数B．标准状态下，水沸腾时的温度C．抛掷两枚骰子，所得点数之和D．某电话总机在时间区间(0，T)内收到的呼叫次数2．10件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是()A．取到产品的件数B．取到正品的概率C．取到次品的件数D．取到次品的概率3．下列叙述中，是离散型随机变量的为()A．某人早晨在车站等出租车的时间B．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度C．射击十次，命中目标的次数D．袋中有2个黑球，6个红球，任取2个，取得1个红球的可能性4．从标有1～10的10支竹签中任取2支，设所得2支竹签上的数字之和为X，那么随机变量X可能取得的值有________个．5．甲、乙两队队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”．用ξ表示需要比赛的局数，写出“ξ＝6”时表示的试验结果．1．所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系，随机变量是将试验的结果数量化，变量的取值对应于随机试验的某一个随机事件．2．写随机变量表示的结果，要看三个特征：(1)可用数来表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值；(3)在试验之前不能确定取值．答案精析问题导学知识点一思考1可以，可用数字1和0分别表示正面向上和反面向上．思考2x＝0,1,2,3， (10)梳理(1)变量X试验的结果随机变量(2)X，Y，…知识点二一一列举出来题型探究例1解(1)某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(2)某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(3)明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0,1,2,3，…，是随机变化的，因此是随机变量．(4)济南—青岛的某次列车到达青岛站的时间每次都是随机的，可能提前，可能准时，也可能晚点，因此是随机变量．跟踪训练1B例2C跟踪训练2C例3解(1)X＝0表示取5个球全是红球；X＝1表示取1个白球，4个红球；X＝2表示取2个白球，3个红球；X＝3表示取3个白球，2个红球．(2)X＝3表示取出的球编号为1,2,3；X＝4表示取出的球编号为1,2,4；1,3,4或2,3,4；X＝5表示取出的球编号为1,2,5；1,3,5；1,4,5；2,3,5；2,4,5或3,4,5.引申探究解X＝1表示取出的球的编号为1,2,3；1,2,4；1,2,5；1,3,4；1,3,5或1,4,5.X＝2表示取出的球的编号为2,3,4；2,3,5；2,4,5.X＝3表示取出的球的编号为3,4,5.跟踪训练3解(1)ξ可取0,1,2,3，ξ＝0表示遇到红灯的次数为0；ξ＝1表示遇到红灯的次数为1；ξ＝2表示遇到红灯的次数为2；ξ＝3表示遇到红灯的次数为3.(2)ξ的可能取值为区间[0,59.5]内任何一个值，每一个可能取值表示他所等待的时间．当堂训练1．B 2.C 3.C 4.175．解根据题意可知，ξ＝6表示甲在前5局中胜3局且在第6局中胜出或乙在前5局中胜3局且在第6局中胜出．。

人教版高中数学高二数学《离散型随机变量》导学案

【三维目标】知识与技能：1.理解随机变量的意义；2.学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；3.理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量.过程与方法：通过实例,理解随机变量与离散性随机变量的含义情感态度与价值观：通过学习，体会用数学工具研究随机现象的意义，体会数学的应用价值【学习重点】随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义【学习难点】对随机变量含义的理解.【学法指导】认真阅读本章的篇头语与本节课的教材，按要求完成导学案【知识链接】任务一：1、什么是随机事件？什么是基本事件？在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件。

试验的每一个可能的结果称为基本事件。

2、什么是随机试验？凡是对现象或为此而进行的实验，都称之为试验。

如果试验具有下述特点：试验可以在相同条件下重复进行；每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果，它被称为一个随机试验，简称试验。

例如1、某人射击一次，可能出现命中0环，命中1环，…，命中10环等结果，即可能出现的结果可以用数字表示；2、某次产品检验，在含有5件次品的100件产品中任意抽取4件，那么其中含有的次品可能是0件，1件，2件，3件，4件，即可能出现的结果可以由数字表示在上面例子中，随机试验有下列特点:①试验的所有可能结果可以用一个数来表示；②每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．任务二：【学习过程】A问题1：掷一枚骰子，出现的点数可以用数字1 , 2 ，3，4，5，6来表示．那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢？B问题2：试归纳随机变量的概念？随机变量常用什么表示？C问题3：随机变量和函数有类似的地方吗？随机变量的值域是什么？任务三：D问题4：一个袋中装有10个红球，5个白球，从中任取个4球，其中所含红球的个数X是一个随机变量，写出随机变量的值域E 问题5：利用随机变量可以表达一些事件．例如{X=0｝表示“抽出0件次品” , {X =4｝表示“抽出4件次品”等．你能说出｛X< 3 ｝在这里表示什么事件吗？“抽出 3 件以上次品”又如何用 X 表示呢？任务四：F 问题6：试归纳离散型随机变量的概念？G 问题7：电灯的寿命X 是离散型随机变量吗？为什么？H 问题8：在研究电灯泡的使用寿命是否超过1000 小时时，定义如下的随机变量：⎧⎨≥⎩0，寿命<1000小时；Y=1,寿命1000小时.随机变量Y 是一个离散型随机变量吗？为什么？拓展：连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量如某林场树木最高达30米，则林场树木的高度ξ是一个随机变量，它可以取（0，30]内的一切值离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出注意：（1）有些随机试验的结果虽然不具有数量性质，但可以用数量来表达如投掷一枚硬币，ξ=0，表示正面向上，ξ=1，表示反面向上（2）若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量任务五：例1、写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果(1)一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5 现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；(2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数ηC 例2、抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？任务六：【达标检测】下列随机试验的结果能否用离散型随机变量表示？若能，请写出各随机变量可能的取值并说明这些值所表示的随机试验的结果。

高二数学人教A版数学选修2-3导学案：2.3离散型随机变量的均值与方差

是 P，那么在 n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k 次的概率是
________________，（ k＝ 0,1,2, …， n， q 1 p ）．
于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下：
ξ0
1
…k
…n
P
C
0 n
p
0q
n
C
1 n
p 1q n
1
…
C
k n
pkq n
k…Leabharlann Cn np
n
q
0
称这样的随机变量 ξ 服从 ________________，记作 ξ ～B( n，p) ，其中 n，p 为参数，并记
…
…
…
…
则称 ____________为的数学期望或均值 , 数学期望又简称为 ____________ 合作探究二：你能用文字语言描述期望公式吗？
E = · + · +…+ · +… 即： ________________________
即学即练 : 练习 1：离散型随机变量
1
100
的概率分布
项是正确答案，每题选择正确答案得 5 分，不作出选择或选错不得分，满分 100 分学生甲
选对任一题的概率为 0.9，学生乙则在测验中对每题都从 4 个选择中随机地选择一个，求学生
甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解析：甲乙两生答对的题目数这个随机变量是 20 次实验中“答对”这个事件发生的次数 k，
P
0.01 0.99
求的期望。
练习 2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。
练习 3. 篮球运动员在比赛中每次罚球命中得 1 分，罚不中得 0 分，已知他命中的概率为 0.7，求他罚球一次得分的期望

数学高二-选修2学案离散型随机变量

2.1.1 离散型随机变量导学案一、教学目标1、知识目标⑴理解随机变量的意义；⑵学会区分离散型与非离散型随机变量，并能举出离散性随机变量的例子；⑶理解随机变量所表示试验结果的含义，并恰当地定义随机变量。

2、能力目标发展抽象、概括能力，提高实际解决问题的能力。

3、情感目标学会合作探讨，体验成功，提高学习数学的兴趣.二、教学重点随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义教学难点随机变量、离散型随机变量、连续型随机变量的意义三、教学方法讨论交流，探析归纳四、内容分析本章是在初中“统计初步”和高中必修课“概率”的基础上，学习随机变量和统计的一些知识．学习这些知识后，我们将能解决类似引言中的一些实际问题五、教学过程（一）、复习引入1．随机事件及其概率：在每次试验的结果中，如果某事件一定发生，则称为必然事件，记为U；相反，如果某事件一定不发生，则称为不可能事件,记为φ.随机试验：为了研究随机现象的统计规律性，我们把各种科学实验和对事物的观测统称为试验．如果试验具有下述特点：（1）试验可以在相同条件下重复进行；（2）每次试验的所有可能结果都是明确可知的，并且不止一个；（3）每次试验之前不能预知将会出现哪一个结果，则称这种试验为随机试验简称试验。

2．样本空间:样本点：在相同的条件下重复地进行试验,虽然每次试验的结果中所有可能发生的事件是可以明确知道的,并且其中必有且仅有一个事件发生,但是在试验之前却无法预知究意哪一个事件将在试验的结果中发生.试验的结果中每一个可能发生的事件叫做试验的样本点,通常用字母ω表示.样本空间: 试验的所有样本点ω1，ω2，ω3，…构成的集合叫做样本空间,通常用字母Ω表示,于是,我们有Ω={ω1，ω2，ω3，… }3.古典概型的特征：古典概型的随机试验具有下面两个特征：（１）有限性.只有有限多个不同的基本事件;（２）等可能性.每个基本事件出现的可能性相等.概率的古典定义在古典概型中，如果基本事件的总数为n，事件Ａ所包含的基本事件个数为ｒ（），则定义事件Ａ的概率为.即(二)、探析新课1、随机变量的概念：随机变量是概率论的重要概念，把随机试验的结果数量化可使我们对随机试验有更清晰的了解，还可借助更多的数学知识对其进行深入研究．有的试验结果本身已具数值意义，如产品抽样检查时的废品数，而有些虽本无数值意义但可用某种方式与数值联系，如抛硬币时规定出现徽花时用1表示，出现字时用0表示．这些数值因试验结果的不确定而带有随机性，因此也就称为随机变量．2、随机变量的定义：如果对于试验的样本空间中的每一个样本点，变量都有一个确定的实数值与之对应，则变量是样本点的实函数，记作．我们称这样的变量为随机变量．3、若随机变量只能取有限个数值或可列无穷多个数值则称为离散随机变量，在高中阶段我们只研究随机变量取有限个数值的情形（三）、例题探析例1、已知在10件产品中有2件不合格品。

人教版选修2 3第二章离散型随机变量教案(2.3.2离散型随机变量的

人教版选修2 3第二章离散型随机变量教案（2.3.2离散型随机变量的人教版选修2-3第二章离散型随机变量教案（2.3.2离散型随机变量的2.3.2离散随机变量的方差教学目标：知识和技能：了解离散随机变量的方差和标准差的意义，能够根据离散随机变量的分布列计算方差或标准差。

2过程和方法：了解方差公式“d（aξ+b）=adξ”和“如果”ξ～β（n，P），则dξ=NP（1-P）”，并将使用上述公式计算相关随机变量的方差。

情感、态度与价值观：承前启后，感悟数学与生活的和谐之美,体现数学的文化功能与人文价值。

教学重点：离散随机变量的方差和标准差教学难点：比较两个随机变量的期望值和方差，解决实际问题。

教具准备：多媒体和物理投影仪。

2教学假设：理解方差公式“d（aξ+b）=adξ”和“如果”ξ～β（n，P），那么dξ=np（1―P）”并会应用上述公式计算有关随机变量的方差。

课程类型：新课程安排：2学时教具：多媒体、物理投影仪内容分析：数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平，表示了随机变量在随机实验中取值的平均值，所以又常称为随机变量的平均数、均值．今天，我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究．其实在初中我们也对一组数据的波动情况作过研究，即研究过一组数据的方差.回顾一组数据方差的概念：在一组数据x1，X2，。

，xn，每个数据和它们的平均值之间的差值x的平方是（x1？x）2，（x2？x）2，。

，（xn？X）2，然后是s？21[（x1？x）2＋n（x2？x）2＋…＋（xn？x）2]叫做这组数据的方差教学过程：一、回顾介绍：1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示2.离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量3．连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5.分布列:x2...xi...pp2...pi...6.分布列的两个性质：⑴pi≥0，i＝1，2，...；⑵p1+p2+ (1)ξx1p1kkn？k7。

人教版高中数学高二数学《离散型随机变量的分布列1》导学案

【三维目标】知识与技能：熟记离散型随机变量的分布列，了解概率分布对于刻画随机现象的重要性；会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。

过程与方法：通过求某些简单的离散型随机变量的概率分布，培养自己分析问题解决问题的能力情感态度与价值观：通过学习，使学生体会数学源于生活又服务于生活，激发学习热情【学习重点】离散型随机变量的分布列的概念【学习难点】求简单的离散型随机变量的分布列【学法指导】本节内容除了以上一节为基础，还要用到前一章计数原理、排列组合以及必修3的古典概型等知识。

认真阅读教材，深刻理解离散型随机变量的分布列的概念和两个性质是学好本节的关键。

任务一【知识链接】 A1.随机变量：A2. 离散型随机变量:A3.古典概型: ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个基本事件出现的可能性相等。

任务二【学习过程】A 问题1：抛掷一枚骰子，所得的点数 X 有哪些值？取每个值的概率是多少？B 问题:2：请同学们阅读课本P 446的内容，写出并记住离散型随机变量X 的概率分布列？1、分布列的构成⑴列出了随机变量的所有取值 ⑵求出了的每一个取值的概率． 2、分布列的性质（2）有时为了表达简单，也用等式表示的分布列(1)0,1,2,i p i ≥=⋅⋅⋅()P A =ξξ121p p ++⋅⋅⋅=(),1,2,3,...,i i P x p i nξ===ξ任务三B 例1试求出常数CB 例2、在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向下的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．问题3：根据例1试归纳一下什么样的分布列称为两点分布列？问题4：随机变量X 满足什么条件，就称X 服从两点分布，．任务四例3、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，试求：（1）取到的次品数X 的分布列；（2）至少取到1件次品的概率.问题5：什么样的称为超几何分布：（记住并理解）一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布任务五练习：在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和10个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出4个球，至少摸到2个红球就中奖．求中奖的概率．例4、一袋中装有6个同样大小的小球，编号为1、2、3、4、5、6，现从中随机取出3个小ξξ球，表示取出球的最大号码，求的分布列．小结：求离散型随机变量的概率分布列的步骤:1、列出随机变量X的所有可能取值；2、求出每个X所对应的概率；3、以表格的形式列出分布列说明：在写出ξ的分布列后，要及时检查所有的概率之和是否为1．任务六【达标检测】求此射手”射击一次命中环数≥7”的概率.（1）求常数a;（2）求P(1<ξ<4)3、袋中有7个球，其中3个黑球，4个红球，从袋中任取个3球，求取出的红球数的分布列。

高二数学(选修-人教A版)-离散型随机变量的均值-教案

如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权数的实际含义吗？
2.离散型随机变量的均值的概念
若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xn
P
p1
p2
…
pn
则称为离散型随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平.
3.解决前面提出的问题.
产量相同的两台机床生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1，X2的分布列分别如下：
2.求离散型随机变量的均值的步骤.
3.离散型随机变量的均值的含义和应用.
小结本节课的教学流程,体会研究问题思路和方法.
总结步骤,规范解答.
体会随机变量的均值的含义和在实际中的应用.
作业
1.一台机器在一天内发生故障的概率为0.1．若这台机器一周5个工作日不发生故障，可获利5万元；发生1次故障仍可获利2.5万元；发生2次故障的利润为0元；发生3次或3次以上故障要亏损1万元．这台机器一周内可能获利的均值是多少？
问题:产量相同的两台机床生产同一种零件，它们在一小时内生产出的次品数X1，X2的分布列分别如下：
X1
0
1
2
3
P
0.4
0.3
0.2
0.1
X2
0
1
2
P
0.3
0.5
0.2
哪台机床更好?
提出问题，引发思考.
通过实际问题,引发学生的思考,体会引出离散型随机变量的均值的必要性.
新课与例题
1.实际问题,引出均值
某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按照3：2：1的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？
3.通过利用离散型随机变量的均值解决简单的实际问题,体会数学在生活中的应用价值.