最新七年级数学上册一元一次方程专题练习(解析版)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．温州和杭州某厂同时生产某种型号的机器若干台，温州厂可支援外地10台，杭州厂可支援外地4台，现在决定给武汉8台，南昌6台，每台机器的运费如下表，设杭州厂运往南昌的机器为x台，
（1）用含x的代数式来表示总运费(单位：元)
（2）若总运费为8400元,则杭州厂运往南昌的机器应为多少台?
（3）试问有无可能使总运费是7800元？若有可能请写出相应的调动方案；若无可能，请说明理由.
【答案】（1）解：总费用为:400（6－x）+800（4+x）+300x +500（4－x）=200x+7600（2）解：由题意得200x+7600=8400,解得x=4,
答:杭州运往南昌的机器应为4台
（3）解：由题意得200x+7600=7800,
解得x=1. 符合实际意义，
答：有可能，杭州厂运往南昌的机器为1台.
【解析】【分析】（1）根据总费用=四条线路的运费之和（每一条线路的费用=台数×运费），列式后化简即可。
（2）根据（1）中的表达式等于8400，列方程并求解。
（3）根据（1）中的表达式等于7800，列方程并求解，若方程的解符合实际意义，则有可能，否则就不可能。
2．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC=30°，将一直角三角板（∠M=30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方．
（1）将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．如图2，经过t秒后，OM恰好平分∠BOC．①求t的值；②此时ON是否平分∠AOC？请说明理由；
（2）在（1）问的基础上，若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，如图3，那么经过多长时间OC平分∠MON？请说明理由；
（3）在（2）问的基础上，经过多长时间OC平分∠MOB？请画图并说明理由．
【答案】（1）解：①∵∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，
∵∠AOC=30°，
∴∠BOC=2∠COM=150°，
∴∠COM=75°，
∴∠CON=15°，
∴∠AON=∠AOC﹣∠CON=30°﹣15°=15°，
解得：t=15°÷3°=5秒；
②是，理由如下：
∵∠CON=15°，∠AON=15°，
∴ON平分∠AOC
（2）解：15秒时OC平分∠MON，理由如下：
∵∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，
∵∠MON=90°，
∴∠CON=∠COM=45°，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
∵∠AOC﹣∠AON=45°，
可得：6t﹣3t=15°，
解得：t=5秒
（3）解：OC平分∠MOB
∵∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，
∴∠COM为（90°﹣3t），
∵∠BOM+∠AON=90°，
可得：180°﹣（30°+6t）= （90°﹣3t），
解得：t=23.3秒；
如图：
【解析】【分析】（1）①根据∠AON+∠BOM=90°，∠COM=∠MOB，及平角的定义∠BOC=2∠COM=150°，故∠COM=75°，根据角的和差得出∠CON=15°从而得到AON=∠AOC ﹣∠CON=30°﹣15°=15°，根据旋转的速度，就可以算出t的值了；②根据∠CON=15°，∠AON=15°，即可得出ON平分∠AOC ；
（2）15秒时OC平分∠MON，理由如下：∠AON+∠BOM=90°，∠CON=∠COM，从而得出∠CON=∠COM=45°，又三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，根据∠AOC﹣∠AON=45°得出含t的方程，求解得出t的值；
（3）根据∠AON+∠BOM=90°，∠BOC=∠COM，及三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，故设∠AON为3t，∠AOC为30°+6t，从而得到∠COM
为（90°﹣3t），又∠BOM+∠AON=90°，从而得出含t的方程，就能解出t的值。
3．约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．
示例：如图1，即4+3=7，观察图2，求：
（1）用含x的式子分别表示m和n；
（2）当y=-7时，求n的值。
【答案】（1）解：根据约定的方法可得：
m=x+2x=3x；
n=2x+3；
（2）解：x+2x+2x+3=m+n=y
当y=-7时，5x+3=-7
解得x=-2．
∴n=2x+3=-4+3=-1
【解析】【分析】（1）根据约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数，分别列式即可；
（2）根据约定可得m+n=y，代入上题的关系整理可得关于x的一元一次方程，解出x, 代入n的表达式求值即可.
4．根据绝对值定义，若有，则或，若，则，我们可以根据这样的结论，解一些简单的绝对值方程，例如：
解：方程可化为：
或
当时，则有：；所以 .
当时，则有：；所以 .
故，方程的解为或。
（1）解方程：
（2）已知，求的值；
（3）在(2)的条件下，若都是整数，则的最大值是________（直接写结果，不需要过程）.
【答案】（1）解：方程可化为：或，
当时，则有，所以；
当时，则有，所以，
故方程的解为：或
（2）解：方程可化为：或，
当时，解得：，
当时，解得：，
∴或
（3）100
【解析】【解答】（3）∵或，且都是整数，
∴根据有理数乘法法则可知，当a=－10，b=－10时，取最大值，最大值为100.
【分析】（1）仿照题目中的方法，分别解方程和即可；（2）把
a+b看作是一个整体，利用题目中方法求出a+b的值，即可得到的值；（3）根据都是整数结合或，利用有理数乘法法则分析求解即可.
5．国家规定个人发表文章、出版图书所得稿费的纳税计算方法是：稿费不高于800元的不纳税；稿费高于800元，而低于4000元的应缴纳超过800元的那部分稿费的
的税；稿费为4000元或高于4000元的应缴纳全部稿费的的税.
试根据上述纳税的计算方法作答：
（1）若王老师获得的稿费为2000元，则应纳税________元，若王老师获得的稿费为5000元，则应纳税________元
（2）若王老师获稿费后纳税280元，求这笔稿费是多少元？
【答案】（1）168
；550
（2）解：因为当稿费为4000元时，纳税=4000×11%=440（元），且280＜440，
所以王老师的这笔稿税高于800元，且低于4000元.
设王老师的这笔稿税为x元，根据题意，
14%（x-800）=280
x=2800，
答：王老师的这笔稿税为2800元.
【解析】【解答】解：（1）①∵800<2400<4000，
∴当王老师获得稿费为2000元时，应纳税：（2000-800）×14%=168（元）；
②当王老师获得稿费为5000元时，应纳税：5000×11%=550（元）；
【分析】（1）根据条件②计算即可；根据条件③计算即可；
（2）设王老师所获得的这笔稿费为元,根据纳税金额，可判断稿费800＜x＜4000，属于第二种，利用稿费420元，列出方程，求出x值即可.
6．寒假将至，某班家委会组织学生到北京旅游，现联系了一家旅行社，这家旅行社报价为4000元/人，但根据具体报名情况推出了优惠举措：
人数10人及以下（含10人）超过10人不超过20人的部分超过20人的部分
收费标准原价（不优惠）3500元/人3000元/人
（1）如果一开始参加旅游的人数为13人，则预计总费用为________元；
（2）在（1）问前提下，后来又有部分同学要求参加，设这部分同学加入后总共参与旅游的人数为人，若总人数还是不超过20人，则总费用为________元；若总人数超过了20人，则总费用为________元；（结果均用含的代数式表示）
（3）若最后家委会支付给旅行社人均费用为原价的九折，问共有多少人参加了本次旅游？【答案】（1）50500
（2）；
（3）解：，显然 .
①若，则；
（不合题意，舍去）
②若，则；
答：共有25人参加了本次旅游
【解析】【解答】解：（1）根据题意得，4000×10+3500×（13-10）=50500（元），故答案为：50500；（2）根据题意得，
①若总人数x还是不超过20人，则总费用为：
4000×10+3500（x-10）=3500x+5000（元）；
②若总人数x超过了20人，则总费用为：
4000×10+3500（20-10）+3000（x-20）=3000x+15000（元）
故答案为：（3500x+5000）；（3000x+15000）
【分析】（1）根据优惠措施，旅游13人的总费用为：其中10人按4000元/人算，另3人按3500元/人计算；
（2）分两种情况解答：
①不超过20人时，总费用=10×400+3500×（x-10）；
②超过20人时总费用=10×4000+3500×10+3000×（x-20）；
（3）先判断出x＞10，然后分两种情况解答：①当时，②当时，
7．对于三个数a，b，c，用 b，表示a，b，c这三个数的平均数，用 b，表示a，b，c这三个数中最小的数，如： 2，， 2， .
（1）若，求x的值；
（2）已知， 0，，是否存在一个x值，使得
0，若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：由题意：，
，
解得： .
（2）解：由题意：，
若，则 .
解得 .
此时与条件矛盾；
若，则 .
解得 .
此时与条件矛盾；
不存在.
【解析】【分析】（1）由，结合题意得，解之可得；（2）由，再分和两种情况分别求解可得.
8．为弘扬中华优秀文化传统，某中学在2014年元旦前夕，由校团委组织全校学生开展一次书法比赛，为了表彰在书法比赛中优秀学生，计划购买钢笔30支，毛笔20支，共需1070元，其中每支毛笔比钢笔贵6元．
（1）求钢笔和毛笔的单价各为多少元？
（2）①后来校团委决定调整设奖方案，扩大表彰面，需要购买上面的两种笔共60支（每种笔的单价不变）．张老师做完预算后，向财务处王老师说：“我这次买这两种笔需支领1322元．”王老师算了一下，说：“如果你用这些钱只买这两种笔，那么帐肯定算错了．”请你用学过的方程知识解释王老师为什么说他用这些钱只买这两种笔的帐算错了．
②张老师突然想起，所做的预算中还包括校长让他买的一支签字笔．如果签字笔的单价为不大于10元的整数，请通过计算，直接写出签字笔的单价可能为元．
【答案】（1）解：设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元.
由题意得：30x+20（x+6）=1070
解得：x=19
则x+6=25.
答：钢笔的单价为19元，毛笔的单价为25元.
（2）解：①设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为(60－y)支.
根据题意，得19y+25(60－y)=1322
解之得：y≈29.7(不符合题意).
所以王老师肯定搞错了.
②2或8.
【解析】【解答】（2）②设单价为21元的钢笔为z支，签字笔的单价为a元
则根据题意，得19z+25(60－z)=1322－a.
即：6z=178+a，
因为a、z都是整数，且178+a应被6整除，
所以a为偶数，又因为a为小于10元的整数，所以a可能为2、4、6、8.
当a=2时，6z=180，z=30，符合题意；
当a=4时，6z=182，z≈30.3，不符合题意；
当a=6时，6z=184，z≈30.7，不符合题意；
当a=8时，6z=186，z=31，符合题意.
所以签字笔的单价可能2元或8元.
【分析】（1）设钢笔的单价为x元，则毛笔的单价为（x+6）元．根据买钢笔30支，毛笔20支，共用了1070元建立方程，求出其解即可；
（2）①根据第一问的结论设单价为19元的钢笔为y支，所以单价为25元的毛笔则为（60-y）支，求出方程的解不是整数则说明算错了；
②设单价为19元的钢笔为z支，单价为25元的毛笔则为（60-y）支，签字笔的单价为a 元，根据条件建立方程求出其解就可以得出结论．
9．光华中学在运动会期间准备为参加前导队的同学购买服装（前导队包括花束队、彩旗队和国旗队）其中花束队有60名同学，彩旗队有30名同学，国旗队有10名同学，已知花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3，国旗队的服装单价比彩旗队的服装单价多5元。（1）若购买花束队和国旗队的服装一共花去6800元，求每个队服装的单价分别是多少元？
（2）国庆来临之际恰逢商店搞活动，有以下三种优惠方案：
A方案：花束队的服装超过2000元的部分打九折，其它两队按原价出售；
B方案：彩旗队的服装买五送一，其它两队按原价出售；
C方案：国旗队的服装打三折，其它两队按原价出售；请你帮助学校计算一下选择哪种方
案购买前导队的服装合算？
（3）在（2）的条件下商店卖出这些服装共获利20%，请你算一算商店购进这些服装的成本是多少元？
【答案】（1）解：设花束队的服装单价为4x元，则彩旗队服装单价为3x元，则国旗队服装单价为3x+5.根据题意
解得x=25，则4x=100, 3x=75,3x+5=80
故花束队服装单价100元，彩旗队的服装单价75元，国旗队的服装单价80元.
（2）解：A方案优惠的费用为：元
B方案优惠的费用为：6×75=450元
C方案优惠的费用为：80×10×0.7=560元.
因为C方案优惠的费用最多，
故答案为：择C方案比较划算.
（3）解：选择C费用时，花费元.
设购进这些服装的成本是a元，则根据题意
解得a=7075元.
商店购进这些服装的成本是7075元.
【解析】【分析】（1）由花束队的服装与彩旗队的服装单价比为4:3，可设花束队的服装单价为4x元，则彩旗队服装单价为3x元，根据购买花束队服装费用+国旗队的服装费用=6800，列出方程，解出方程即可.
（2）根据优惠方案，分别求出A、B、C优惠的费用，然后比较即可.
（3）设购进这些服装的成本是a元，根据成本×（1+20%）=C方案的费用，列出方程，求出a值即可.
10．如图,在长方形ABCD中,AB=12厘米,BC=6厘米.点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm、s的速度移动.如果P、Q同时出发,用 (秒)表示移动的时间,那么:
（1）如图1,当为何值时,△QAP为等腰直角三角形?
（2）如图2,当为何值时,△QAB的面积等于长方形面积的
（3）如图3,P、Q到达B、A后继续运动,P点到达C点后都停止运动.当为何值时,线段AQ的长等于线段CP的长的一半?
【答案】（1）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，
∵△QAB的面积= （6-t）×12，
依题意得：（6-t）×12= ×6×12，
解得：t=3
（2）解：由题可知：DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，AP=2tcm，
使△QAP为等腰三角形，
∴AQ=AP，
?6-t=2t
解得t=2
（3）解：由题可知：AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，
依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，
∴t-6= （18-2t），
解得：t=7.5
【解析】【分析】（1）根据已知条件得到DQ=tcm，AQ=（6-t）cm，根据三角形的面积列方程即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质列方程即可得到结论；（3）根据已知条件得到AQ=（t-6）cm，CP=（18-2t）cm，依题意使线段AQ的长等于线段CP的长的一半，列方程即可得到结论．
11．我们知道，分数可以写成无限循环小数的形式，即；反之,无限循环小数也可以写成分数形式,即 = 事实上,任何无限循环小数都可以写成分数形式.例:无限循环小数写成分数形式为方法步骤如下:
解:∵=0.777……
设则
②-①得
∴ =
同理可得 = =1+ =
根据以上阅读,解答下列问题:
（1） =________， =________；
（2）用题中所给的方法比较与8的大小： ________8(填“＞”、“＜”或“=”). （3）将写成分数形式,请写出解答过程；
（4）将写成分数形式,请直接写出结果.
【答案】（1）；5
（2）=
（3）解：设 =x，由=0.3535…可知，100x-x=
35，
即100x-x=35.
解方程，得x= ，
于是，得
（4）解：设 =x，由=0.423423…可知，1000x-x=423. =423，即1000x-x=423.
解方程，得x= ，
于是，得. =
【解析】【解答】解：（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.
解方程，得x= = .
于是，得 = .
设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.
解方程，得x= ，
∴ =5
故答案为：，5 ；
（ 2 ）设 =x，由=0.999…得，10x-x=9.
解方程，得x=1，
∴ =8，
故答案为：=；
【分析】（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.解方程即可得到结论，设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.解方程加5即可；（2）设 =x，由==0.999…得，10x-x=9.解方程即可得到结论；（3）设 =x，由=0.3535…得，100x-x=35，解方程即可得到结论；（4）设 =x，由=0.423423…得，1000x-x=423.解方程即可得到结论.
12．在数轴上，点A表示数a，点B表示数b，在学习绝对值时，我们知道了绝对值的几何含义：
数轴上A、B之间的距离记作|AB|，定义：|AB|＝|a﹣b|.如：|a+6|表示数a和﹣6在数轴上对应的两点之间的距离.|a﹣1|表示数a和1在数轴上对应的两点之间的距离.
（1）若a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，b与3a互为相反数，直接写出点A对应的数，点B对应的数.
（2）在（1）的条件下，已知点E从点A出发以1单位/秒的速度向右运动，同时点F从点B出发以2单位/秒的速度向右运动，FO的中点为点P，则下列结论：①PO+AE的值不变；②PO﹣AE的值不变，其中有且只有一个是正确的，选出来并求其值.
（3）在（1）的条件下，已知动点M从A点出发以1单位/秒的速度向左运动，动点N从B点出发以3单位/秒的速度向左运动，动点T从原点的位置出发以x单位/秒的速度向左运动，三个动点同时出发，若运动过程中正好先后出现两次TM＝TN的情况，且两次间隔的时间为4秒，求满足条件的x的值.
【答案】（1）解：a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，
∴a＝﹣4，b＝12
∴点A对应的数﹣4，点B对应的数12
（2）解：PO﹣AE的值不变
设运动时间为t秒，根据题意可得：BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t
∵FO的中点为点P
∴OP＝6+t
∴PO﹣AE＝6+t﹣t＝6
PO﹣AE的值不变
（3）解：设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t
根据第一次TM＝TN得：xt+12﹣3t＝4+t﹣xt
根据第二次TM＝TN得：x（t+4）﹣{3（t+4）﹣12}＝4+（4+t）﹣x（4+t）
两式联立得：x＝2
∴满足条件的x的值为2
【解析】【分析】（1）a满足|a+6|+|a+4|+|a﹣1|的值最小，所以数a和﹣6，a和﹣4，a 和1在数轴上对应的两点之间的距离之和最小，据此求出a、b的值即可.
（2）设运动时间为t秒，从而可得BF＝2t，AE＝t，则OF＝12+2t，利用线段的中点求出OP的长，求出PO-AE的值即可求出结论.
（3）设运动时间为t秒，则AM＝t，OT＝xt，BN＝3t，根据两次TM＝TN，分别列出方程组，求出x的值即可.