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高考真题与模拟训练专题21 椭圆(试题版)

专题24 椭圆第一部分真题分类21．（2021·全国高考真题（理））设B 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的上顶点，若C 上的任意一点P 都满足||2PB b ≤，则C 的离心率的取值范围是（） A ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【分析】设()00,P x y ，由()0,B b ，根据两点间的距离公式表示出PB ，分类讨论求出PB 的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．【解析】设()00,P x y ，由()0,B b ，因为2200221x y a b+=，222a b c =+，所以()()2223422222220000022221y c b b PB x y b a y b y a b b b c c ⎛⎫⎛⎫=+-=-+-=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0b y b -≤≤，当32b b c-≤-，即22b c ≥时，22max4PB b =，即max 2PB b =，符合题意，由22b c ≥可得222a c ≥，即202e <≤；当32b b c ->-，即22b c <时，42222max b PB a b c=++，即422224b a b b c ++≤，化简得，()2220c b -≤，显然该不等式不成立．故选：C ．【点睛】本题解题关键是如何求出PB 的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．22．（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为A ．2212x y +=B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【答案】B 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得32n =，从而可求解. 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得32n =． 2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．2222423,3,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养．98．（2021·浙江高考真题）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，焦点1(,0)F c -，2(,0)F c (0)c >，若过1F 的直线和圆22212x c y c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切，与椭圆在第一象限交于点P ，且2PF x ⊥轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________. 【答案】25555【分析】不妨假设2c =，根据图形可知，122sin 3PF F ∠=，再根据同角三角函数基本关系即可求出122tan 55k PF F =∠=；再根据椭圆的定义求出a ，即可求得离心率．【解析】如图所示：不妨假设2c =，设切点为B ，12112sin sin 3AB PF F BF A F A∠=∠==，122222tan 5532PF F ∠==- 所以255k =, 由21212,24PF k F F c F F ===，所以2855PF =，21121125=sin 5PF PF PF F ⨯=∠，于是12452PF a PF +==，即25a =，所以25525c e a ===．故答案为：255；55．63．（2021·江苏高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为63.（1）证明：3a b ；（2）若点93,1010M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部，过点M 的直线l 交椭圆C 于P 、Q 两点，M 为线段PQ 的中点，且OP OQ ⊥. ①求直线l 的方程； ②求椭圆C 的标准方程.【答案】（1）证明见解析；（2）①330x y --=；②2213x y +=.【分析】（1）由21be a=-可证得结论成立；（2）①设点()11,P x y 、()22,Q x y ，利用点差法可求得直线l 的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程； ②将直线l 的方程与椭圆C 的方程联立，列出韦达定理，由OP OQ ⊥可得出0OP OQ ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可得出关于2b 的等式，可求出2b 的值，即可得出椭圆C 的方程.【解析】（1）222222613c c a b b e a a a a -⎛⎫====-= ⎪⎝⎭，33b a ∴=，因此，3a b ；（2）①由（1）知，椭圆C 的方程为222213x y b b+=，即22233x y b +=，当93,1015⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆C 的内部时，22293331010b ⎛⎫⎛⎫+⋅-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可得3310b >. 设点()11,P x y 、()22,Q x y ，则121292103210x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，所以，121239y y x x +=-+，由已知可得22211222223333x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩，两式作差得()()()()1212121230x x x x y y y y +-++-=，所以()12121212193333y y x x x x y y -+⎛⎫=-=-⨯-= ⎪-+⎝⎭，所以，直线l 方程为3931010y x ⎛⎫⎛⎫--=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即33y x =-. 所以，直线l 的方程为330x y --=；②联立()2223331x y by x ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 可得221018930x x b -+-=.()222184093120360b b ∆=--=->，由韦达定理可得1295x x +=，2129310b x x -=，又OP OQ ⊥，而()11,OP x y =，()22,OQ x y =，()()()1212121212123131433OP OQ x x y y x x x x x x x x ∴⋅=+=+-⋅-=-++()22293271566055b b --+-===，解得21b =合乎题意，故2233a b ==，因此，椭圆C 的方程为2213x y +=.64．（2021·天津高考真题）已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为255，且5BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）60x y -+=.【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【解析】（1）易知点(),0F c 、()0,B b ，故225BF c b a =+==，因为椭圆的离心率为255c e a ==，故2c =，221b a c =-=，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x ∆=-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y ⎛⎫-⎪⎝⎭，因为//MP BF ，则MP BFk k =，即20000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y ∴>，故066y =，0566x =-，所以，直线l 的方程为66166x y -+=，即60x y -+=. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切. 65．（2021·全国高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F ，且离心率为63．（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【答案】（1）2213x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）由离心率公式可得3a =，进而可得2b ，即可得解；（2）必要性：由三点共线及直线与圆相切可得直线方程，联立直线与椭圆方程可证3MN =；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<，由直线与圆相切得221b k =+，联立直线与椭圆方程结合弦长公式可得222241313k k k+⋅=+，进而可得1k =±，即可得解. 【解析】（1）由题意，椭圆半焦距2c =且63c e a ==，所以3a =，又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线():2MN y k x =-即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得2211k k =+，解得1k =±，联立()22213y x x y ⎧=±-⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122,3243x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =+⋅+-⋅=,所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>相切可得211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=+⋅+-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22224113k k k =+⋅+3=，化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩，所以直线:2MN y x =-或2y x =-+，所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =．【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是直线方程与椭圆方程联立及韦达定理的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重. 66．（2021·北京高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点(0,2)A -，以四个顶点围成的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k ，交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 交y =-3于点M 、N ，直线AC 交y =-3于点N ，若|PM |+|PN |≤15，求k 的取值范围．【答案】（1）22154x y +=；（2）[3,1)(1,3]--⋃．【分析】（1）根据椭圆所过的点及四个顶点围成的四边形的面积可求,a b ，从而可求椭圆的标准方程.（2）设()()1122,,,B x y C x y ，求出直线,AB AC 的方程后可得,M N 的横坐标，从而可得PM PN +，联立直线BC 的方程和椭圆的方程，结合韦达定理化简PM PN +，从而可求k 的范围，注意判别式的要求. 【解析】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N x x y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.67．（2020·山东高考真题）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且过点()2,1A ．（1）求C 的方程：（2）点M ，N 在C 上，且AM AN ⊥，AD MN ⊥，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】（1）22163x y +=；（2）详见解析.【分析】（1）由题意得到关于,,a b c 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.（2）设出点M ，N 的坐标，在斜率存在时设方程为y kx m =+, 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到,m k 的关系，进而得直线MN 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q 的位置.【解析】（1）由题意可得：2222222411c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得：2226,3a b c ===，故椭圆方程为：22163x y +=. (2) 设点()()1122,,,M x y N x y ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，代入椭圆方程消去y 并整理得：()22212k 4260x kmx m +++-=，可得122412km x x k +=-+，21222612m x x k -=+，因为AM AN ⊥，所以·0AM AN =，即()()()()121222110x x y y --+--=，根据1122,kx m y kx m y =+=+,代入整理可得：()()()()22121212140x x km k x x km ++--++-+=，所以()()()22222264k 121401212m kmkm k m k k-⎛⎫++---+-+= ⎪++⎝⎭，整理化简得()()231210k m k m +++-=，因为2,1A （）不在直线MN 上，所以210k m +-≠，故23101k m k ++=≠，，于是MN 的方程为2133y k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭()1k ≠，所以直线过定点直线过定点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，由·0AM AN =得：()()()()111122110x x y y --+---=，得()1221210x y -+-=，结合2211163x y +=可得：2113840x x -+=，解得：123x =或22x =（舍）.此时直线MN 过点21,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭.令Q 为AP 的中点，即41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt ADP 的斜边，故12223DQ AP ==，若D 与P 重合，则12DQ AP =，故存在点41,33Q ⎛⎫⎪⎝⎭，使得DQ 为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键点是利用AM AN ⊥得 ·0AM AN =，转化为坐标运算，需要设直线MN 的方程，点()()1122,,,M x y N x y ，因此需要讨论斜率存在与不存在两种情况，当直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y kx m =+，与椭圆方程联立消去y 可12x x +，12x x 代入·0AM AN =即可，当直线MN 的斜率不存在时，可得()11,N x y -，利用坐标运算以及三角形的性质即可证明，本题易忽略斜率不存在的情况，属于难题.68．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆222:1(05)25x y C m m +=<<的离心率为154，A ，B 分别为C 的左、右顶点．（1）求C 的方程；（2）若点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =，BP BQ ⊥，求APQ 的面积．【答案】（1）221612525x y +=；（2）52.【分析】（1）因为222:1(05)25x y C m m+=<<，可得 5a =，b m =，根据离心率公式，结合已知，即可求得答案；（2）点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且||||BP BQ =， BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为N ，可得PMB BNQ ≅△△，可求得P 点坐标，求出直线AQ 的直线方程，根据点到直线距离公式和两点距离公式，即可求得APQ 的面积. 【解析】（1）222:1(05)25x y C m m +=<< ∴5a =，b m =，根据离心率22154115c b m e a a ⎛⎫⎛⎫==-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得54m =或54m =-(舍)， ∴C 的方程为：22214255x y ⎛⎫ ⎪⎝⎭+=，即221612525x y +=；（2）不妨设P ,Q 在x 轴上方点P 在C 上，点Q 在直线6x =上，且 ||||BP BQ =，BP BQ ⊥，过点P 作x 轴垂线，交点为M ，设6x =与x 轴交点为 N 根据题意画出图形，如图||||BP BQ =，BP BQ ⊥， 90PMB QNB ∠=∠=︒，又90PBM QBN ∠+∠=︒， 90BQN QBN ∠+∠=︒，∴PBM BQN ∠=∠，根据三角形全等条件“AAS ”，可得：PMB BNQ ≅△△，221612525x y +=， ∴(5,0)B ，∴651PM BN ==-=，设P 点为(,)P P x y ，可得P 点纵坐标为1P y =，将其代入221612525x y +=，可得：21612525P x +=，解得：3P x =或3P x =-，∴P 点为(3,1)或 (3,1)-，①当P 点为(3,1)时，故532MB =-=， PMB BNQ ≅△△，∴||||2MB NQ ==，可得：Q 点为(6,2)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,2)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：211100x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：222311110555125211d ⨯-⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()22652055AQ =++-=，∴APQ 面积为：15555252⨯⨯=；②当P 点为(3,1)-时，故5+38MB ==， PMB BNQ ≅△△，∴||||8MB NQ ==，可得：Q 点为(6,8)，画出图象，如图(5,0)A -, (6,8)Q ，可求得直线AQ 的直线方程为：811400x y -+=，根据点到直线距离公式可得P 到直线AQ 的距离为：()22831114055185185811d ⨯--⨯+===+，根据两点间距离公式可得：()()226580185AQ =++-=，∴APQ 面积为： 15518522185⨯⨯=，综上所述，APQ 面积为：52.【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于难题.69．（2020·全国高考真题（理））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合.过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |.（1）求C 1的离心率；（2）设M 是C 1与C 2的公共点，若|MF |=5，求C 1与C 2的标准方程.【答案】（1）12；（2）221:13627x y C +=，22:12C y x =. 【分析】（1）求出AB 、CD ，利用43CD AB =可得出关于a 、c 的齐次等式，可解得椭圆1C 的离心率的值；（2）由（1）可得出1C 的方程为2222143x yc c+=，联立曲线1C 与2C 的方程，求出点M 的坐标，利用抛物线的定义结合5MF =可求得c 的值，进而可得出1C 与2C 的标准方程. 【解析】（1）(),0F c ，AB x ⊥轴且与椭圆1C 相交于A 、B 两点，则直线AB 的方程为x c =，联立22222221x cx y a b a b c=⎧⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎩，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，则22b AB a =，抛物线2C 的方程为24y cx =，联立24x cy cx =⎧⎨=⎩，解得2x cy c=⎧⎨=±⎩，4CD c ∴=，43CD AB =，即2843b c a=，223b ac =，即222320c ac a +-=，即22320e e +-=，01e <<，解得12e =，因此，椭圆1C 的离心率为12；（2）由（1）知2a c =，3b c =，椭圆1C 的方程为2222143x y c c +=，联立222224143y cx x y c c ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得22316120x cx c +-=，解得23x c =或6x c =-（舍去），由抛物线的定义可得25533cMF c c =+==，解得3c =. 因此，曲线1C 的标准方程为2213627x y +=，曲线2C 的标准方程为212y x =.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，同时也考查了利用抛物线的定义求抛物线和椭圆的标准方程，考查计算能力，属于中等题.70．（2020·全国高考真题（文））已知椭圆C 1：22221x y a b+=(a >b >0)的右焦点F 与抛物线C 2的焦点重合，C 1的中心与C 2的顶点重合．过F 且与x 轴垂直的直线交C 1于A ，B 两点，交C 2于C ，D 两点，且|CD |=43|AB |．（1）求C 1的离心率；（2）若C 1的四个顶点到C 2的准线距离之和为12，求C 1与C 2的标准方程．【答案】（1）12；（2）1C ：2211612x y +=，2C ： 28y x =. 【分析】（1）根据题意求出2C 的方程，结合椭圆和抛物线的对称性不妨设,A C 在第一象限，运用代入法求出,,,A B C D 点的纵坐标，根据4||||3CD AB =，结合椭圆离心率的公式进行求解即可；（2）由（1）可以得到椭圆的标准方程，确定椭圆的四个顶点坐标，再确定抛物线的准线方程，最后结合已知进行求解即可；【解析】解：（1）因为椭圆1C 的右焦点坐标为：(c,0)F ,所以抛物线2C 的方程为24y cx =，其中22c a b =-.不妨设,A C 在第一象限，因为椭圆1C 的方程为：22221x ya b+=，所以当x c =时，有222221c y b y a b a +=⇒=±，因此,A B 的纵坐标分别为2b a ，2b a-；又因为抛物线2C 的方程为24y cx =，所以当x c =时，有242y c c y c =⋅⇒=±，所以,C D 的纵坐标分别为2c ，2c -，故22||b AB a=，||4CD c =. 由4||||3CD AB =得2843b c a=，即2322()c c a a ⋅=-，解得2c a =-（舍去），12c a =.所以1C 的离心率为12.（2）由（1）知2a c =，3b c =，故22122:143x y C c c+=，所以1C 的四个顶点坐标分别为(2,0)c ，(2,0)c -，(0,3)c ，(0,3)c -，2C 的准线为x c =-.由已知得312c c c c +++=，即2c =.所以1C 的标准方程为2211612x y+=，2C 的标准方程为28y x =.【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.71．（2019·北京高考真题（文））已知椭圆2222:1x y C a b+=的右焦点为(1,0)，且经过点(0,1)A .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设O 为原点，直线:(1)l y kx t t =+≠±与椭圆C 交于两个不同点P ，Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N ，若|OM |·|ON |=2，求证：直线l 经过定点. 【答案】（Ⅰ）2212x y +=；（Ⅱ）见解析. 【分析】(Ⅰ)由题意确定a ,b 的值即可确定椭圆方程；(Ⅱ)设出直线方程，联立直线方程与椭圆方程确定OM ,ON 的表达式，结合韦达定理确定t 的值即可证明直线恒过定点.【解析】（Ⅰ）因为椭圆的右焦点为(1,0)，所以1225；因为椭圆经过点(0,1)A ,所以1b =，所以2222a b c =+=，故椭圆的方程为2212x y +=. （Ⅱ）设1122(,),(,)P x y Q x y联立2212(1)x y y kx t t ⎧+=⎪⎨⎪=+≠⎩得222(12)4220k x ktx t +++-=，21212224220,,1212kt t x x x x k k -∆>+=-=++，121222()212t y y k x x t k +=++=+，222212121222()12t k y y k x x kt x x t k -=+++=+.直线111:1y AP y x x --=，令0y =得111x x y -=-，即111x OM y -=-；同理可得221x ON y -=-. 因为2OM ON =,所以1212121212211()1x x x x y y y y y y --==---++；221121t t t -=-+，解之得0t =，所以直线方程为y kx =，所以直线l 恒过定点(0,0).【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．72．（2019·江苏高考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的焦点为F 1（–1、0），F 2（1，0）．过F 2作x 轴的垂线l ，在x 轴的上方，l 与圆F 2:222(1)4x y a -+=交于点A ，与椭圆C 交于点D .连结AF 1并延长交圆F 2于点B ，连结BF 2交椭圆C 于点E ，连结DF 1．已知DF 1=52．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）求点E 的坐标．【答案】（1）22143x y +=；（2）3(1,)2E --.【分析】(1)由题意分别求得a ,b 的值即可确定椭圆方程；(2)解法一：由题意首先确定直线1AF 的方程，联立直线方程与圆的方程，确定点B 的坐标，联立直线BF 2与椭圆的方程即可确定点E 的坐标；解法二：由题意利用几何关系确定点E 的纵坐标，然后代入椭圆方程可得点E 的坐标. 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c .因为F 1(－1，0)，F 2(1，0)，所以F 1F 2=2，c =1.又因为DF 1=52，AF 2⊥x 轴，所以DF 2=222211253()222DF F F -=-=，因此2a =DF 1+DF 2=4，从而a =2. 由b 2=a 2-c 2，得b 2=3.因此，椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）解法一：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=，a =2，因为AF 2⊥x 轴，所以点A 的横坐标为1.将x =1代入圆F 2的方程(x -1) 2+y 2=16，解得y =±4. 因为点A 在x 轴上方，所以A (1，4).又F 1(-1，0)，所以直线AF 1：y =2x +2. 由()2222116y x x y =+⎧⎪⎨-+=⎪⎩，得256110x x +-=，解得1x =或115x =-. 将115x =-代入22y x =+，得125y =-，因此1112(,)55B --.又F 2(1，0)，所以直线BF 2：3(1)4y x =-. 由223(1)4143y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得276130x x --=，解得1x =-或137x =. 又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以1x =-. 将1x =-代入3(1)4y x =-，得32y =-.因此3(1,)2E --. 解法二：由（1）知，椭圆C ：22143x y +=.如图，连结EF 1.因为BF 2=2a ，EF 1+EF 2=2a ，所以EF 1=EB ，从而∠BF 1E =∠B .因为F 2A =F 2B ，所以∠A =∠B ，所以∠A =∠BF 1E ，从而EF 1∥F 2A . 因为AF 2⊥x 轴，所以EF 1⊥x 轴.因为F 1(-1，0)，由221143x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得32y =±.又因为E 是线段BF 2与椭圆的交点，所以32y =-.因此3(1,)2E --.【点睛】本题主要考查直线方程、圆的方程、椭圆方程、椭圆的几何性质、直线与圆及椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、分析问题能力和运算求解能力.73．（2019·天津高考真题（文））设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .已知3||2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=. 【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c+=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【解析】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =，又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c+=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-，代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =，因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =，所以椭圆的方程为：2211612x y +=.第二部分模拟训练一、单选题1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为1F ､2F ，B 是椭圆C 的上顶点，直线13x c =与直线2BF 交于点A ，若124AF F π∠=，则椭圆C 的离心率为（）A ．55B ．33C ．22D ．32【答案】A【解析】由题设知，()0,B b ，()2,0F c ，∴直线2BF 的方程为1x y c b +=，联立131x c x y c b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得，12,33A c b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设直线13x c =与x 轴交于点M ，则143F M c =，23MA b =， ∵124AF F π∠=，∴14233F M MA c b =⇒=，即2b c =， ∴2224a c c -=，即225a c =， ∴21555e e =⇒=，故选：A2．已知点(),A m n 在椭圆22142x y +=上，则22m n +的最大值是（）A ．5B ．4C ．3D ．2【答案】B【解析】由题意可得22142m n +=，则2242m n =-，故2224m n n +=-．因为22n -≤≤，所以202n ≤≤，所以2244n ≤-≤，即2224m n ≤≤+．因此，22m n +的最大值4. 故选：B.3．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点.若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．20,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)，圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点，由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，由124x x +=．122y y +=，可得2122122y y b k x x a-==--，由21k --，即有22112b a，则椭圆的离心率221(0c b e a a==-∈，2]2．故选：C4．椭圆22145x y +=上的点到长轴两个端点的距离之和最大值为（） A ．2 B ．4C ．25D ．6【答案】D【解析】椭圆上到长轴两个端点的距离之和最大的点是短轴端点，所以最大值为2226a b +=. 故选：D5．某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，其轨道的离心率为e ，设地球半径为R ，该卫星近地点离地面的距离为r ，则该卫星远地点离地面的距离为（） A ．11e e +-r +21e e-R B ．11e e +-r +1ee-R C ．11e e +-r +21ee+R D ．11e e -+r +1ee+R 【答案】A【解析】由题意，椭圆的离心率(0,1)ce a=∈，（c 为半焦距；a 为长半轴）地球半径为R ，卫星近地点离地面的距离为r ，可得a c R r -=+ 联立方程组1r R a e +=-，1r Rc e e+=-，如图所示，设卫星近地点的距离为m ，远地点的距离为n ，所以远地点离地面的距离为11r R r R n a c R e R e e ++=+-=+-=--11ee +-r +21e e- 故选：A ．6．已知椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23，则实数m =（） A ．2± B ．5±C ．7±D ．3±【答案】B【解析】解：椭圆2222:142x y C m m +=++的离心率为23，可得2222422()43m m m +--=+，解得5m =±．故选：B ．二、填空题7．已知椭圆221164x y +=上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为6，则点P 到另一个焦点的距离为__________. 【答案】2【解析】利用椭圆定义122PF PF a +=，4a =，可知268PF +=，即22PF = 故答案为：28．能说明“若()20m n +≠，则方程2212x ym n +=+表示的曲线为椭圆或双曲线”是错误的一组,m n 的值是_____.【答案】4,2m n ==（答案不唯一）.【解析】若方程222x y m n +=+1表示的曲线为椭圆或双曲线是错误的，则20m n =+>，或者0,20m n <+<，则可取4,2m n ==（答案不唯一）.故答案为：4,2m n ==（答案不唯一）.9．设1F ，2F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点.若在C 上存在一点P ，使12PF PF ⊥，且1245PF F ∠=︒，则C 的离心率为__.【答案】22. 【解析】由已知可得三角形12PF F 是等腰直角三角形，且1290F PF ∠=︒，12||||PF PF =，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，12PF PF a ∴==，又12||2F F c =，∴在△12PF F 中，由勾股定理可得：221122||PF F F =，即2224a c =，22c e a ∴==，故答案为：22. 三、解答题10．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且离心率32e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）已知斜率存在的直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，点43,03Q ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】（1）因为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率32e =.所以2222312b e a ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，即224a b =，又椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程可得223114a b+=，联立方程组可得222231144a ba b⎧+=⎪⎨⎪=⎩，解得24a =，21b =. 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设直线l 的方程为y kx m =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程组2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去y 得()222148440k x kmx m +++-=，()2216410k m ∆=-+>，即2241m k <+，122814km x x k -+=+，21224414m x x k -=+，因为AQO BQO ∠=∠，所以0AQ BQ k k +=，121212120343434343333AQ BQ y y kx m kx mk k x x x x +++=+=+=----，即()()1221434333kx m x kx m x ⎛⎫⎛⎫+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()121243832033kx x m k x x m ⎛⎫=+-+-= ⎪ ⎪⎝⎭得()()224383244814033k m km m k m k ⎛⎫----+= ⎪ ⎪⎝⎭，化简得3m k =-，直线l 的方程为()3y k x =-，所以，直线l 恒过定点)3,0.11．已知点F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点，P 是椭圆E 的上顶点，O 为坐标原点且3tan 3PFO ∠=. （1）求椭圆的离心率e ；（2）已知()1,0M ，()4,3N ，过点M 作任意直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点.设直线AN ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，若122k k +=，求椭圆E 的方程.【答案】（1）32；（2）2214x y +=.【解析】（1）由题可得OF c =，OP b =，3tan 3OP b PFO OF c ∴∠===，即3=c b ， 22+2a b c b ∴==，3322c b e a b ∴===；（2）由（1）可得椭圆方程为222214x y b b+=，当直线l 的斜率存在时，设l ：()1y k x =-，设()()1122,,,A x y B x y ，联立直线与椭圆()2222114y k x x y b b⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得()22222148440k x k x k b +-+-=，则()()422264414440k kkb ∆=-+->，即222240k b k b -+>，则2122814k x x k +=+，221224414k b x x k-=+， ()()12121212121313334444k x k x y y k k x x x x ------+=+=+-∴---()()()121212122538242416kx x k x x k x x x x -++++==-++，()2222222222448253824141424484161414k b k k k k k k k b k k k -⋅-+⋅++++∴=--⋅+++，即()()2110b k --=对任意k 成立，即21b =，则椭圆方程为2214x y +=，当直线斜率不存在时，则直线方程为1x =，则()()121,,1,A y B y ，且120y y += 此时12121233662141433y y y y k k --+--+=+===----，满足题意，综上，椭圆方程为2214x y +=.。

高考语文第21题语言运用：图文转换—流程图20题练习含答案

编制：罗少华 2019年1月16日高一语文专题复习：第21题语言运用：图文转换——流程图高一（）班第（）小组学号（）姓名：一、21、下面是某校图书馆的还书流程图，请把这个图改写成一段文字介绍，要求内容完整，表述准确，语言连贯，不超过80字。

（6分）一、【答案示例】：21.读者携带借阅证去图书馆查验，进行还书，若无过期，直接还回，图书管理员将书籍归库上架；若过期，读者需缴纳逾期费再还书，图书管理员把逾期费上缴财务。

（内容2分，准确2分，连贯2分．共6分，意思对即可。

）【分析】本题考查图文转换的表达运用能力，可根据图表中的数据及文字信息归类梳理，按照题干要求组织答案。

【解答】本题属于图文转换类型题目．这类题目解答时要认真看图，仔细观察，画面中的要素要全面把握，读懂图示的意思．答题时注意把这些转化为语言，表述时要注意条理清晰即可。

【点评】图文转换题就是要求考生将图表中的信息转换成语言文字信息，但一般不需要也不允许我们进行想象甚至虚构．从近几年的考题情况看，有时只需将图表所包含的一般信息用文字表述出来即可，有时则需要将图表中所蕴涵的内在信息用语言表述出来，且往往表现为一些观点型或结论型的句子．由此可见，这种题型对考生敏锐捕捉信息，精确分析信息和准确精炼概括的能力有着较高的要求。

二、21．下面是某教师给高三学生列出的学习流程图，请把这个学习过程写成段话，要求内容完整，表述准确，语言连贯，不超过80个字。

（6分）二、【答案示例】：21．高三的学习过程，首先应通过自学发现问题；以问题为引导，展开讨论或听课学习；由此发现规律，并在练习中加以运用；然后再次发现问题，巩固对规律的掌握。

三、21．下面是某班级次“分享阅读’活动的初步构思框架，请把这个构思写成一段话，要求内容完整，表述准确，语言连贯，不超过75个字。

（6分）三【答案示例】：21．分享阅读活动将分组进行，各组要确定阅读主题和书目，并完成海报等作业班内则将开展海报展示、笔记漂流等活动，并通过投票对各组阅读成果进行评比。

高考作文审题立意选择性训练(附答案解析)

高考名校作文审题立意选择性训练题一、时评类作文审题立意训练21题1.阅读下面的材料，根据要求写一篇不少于800字的文章。

（60分）因父亲总是在高速路上开车时接电话，家人屡劝不改，女大学生小陈迫于无奈，更出于生命安全的考虑，通过微博私信向警方举报了自己的父亲；警方查实后，依法对老陈进行了教育和处罚，并将这起举报发在官方微博上。

此事赢得众多网友点赞，也引一些质疑，经媒体报道后，激起了更大范围、更多角度的讨论。

对于以上事情，你怎么看？请给小陈、老陈或其他相关方写一封信，表明你的态度，阐述你的看法。

要求综合材料内容及含意，选好角度，确定立意，完成写作任务。

明确收信人，统一以“明华”为写信人，不得泄露个人信息。

下列议论文标题中，最合适的两项是（）A.论安全B.守规彰显孝心，责任铸就大爱C.法律需要多点人文关怀D.大义灭亲，为你点赞E.遵规守范，呵护生命2. 当代风采人物评选活动已产生最后三名候选人。

小李，笃学敏思，矢志创新，为破解生命科学之谜作出重大贡献，率领团队一举跻身为国际学术最前沿。

老王，爱岗敬业，练就一手绝活，变普通技术为完美艺术，走出一条从职高生到焊接大师的“大国工匠”之路，小刘，酷爱摄影，跋山涉水捕捉时间美景，他的博客赢得网友一片赞叹：“你带我们品味大千世界”“你帮我们留住美丽乡愁”。

这三个人中，你认为谁更具风采?请综合材料内容及含意作文，体现你的思考、权衡与选择。

要求选好角度，确定立意，明确文体，自拟标题；不要套作，不得抄袭下列议论文标题中，最不合适的两项是（）A潜心于学术，造福于未来B风采非我愿，但愿贡献高C大国工匠，风采无限D激扬时代浪花，你们就是最美E品味大千世界，尽显时代风采3.阅读下面的材料，按要求作文。

随着电视剧《琅琊榜》的热播，剧中出现的“琅琊山”、“琅琊阁”等名称也受到热捧。

近日，安徽滁州琅琊山风景名胜区内的“会峰阁”改名为“琅琊阁”引发网友热议；此外，江苏南京、山东东南沿海等地也跃跃欲试地想和“琅琊”攀亲戚，加入了争抢“琅琊”地名的混战。

2021年高考物理真题训练21 电学计算题(解析版)

专题21 电学计算题1．（2020·新课标Ⅰ卷）在一柱形区域内有匀强电场，柱的横截面积是以O 为圆心，半径为R 的圆，AB 为圆的直径，如图所示。

质量为m ，电荷量为q （q >0）的带电粒子在纸面内自A 点先后以不同的速度进入电场，速度方向与电场的方向垂直。

已知刚进入电场时速度为零的粒子，自圆周上的C 点以速率v 0穿出电场，AC 与AB 的夹角θ=60°。

运动中粒子仅受电场力作用。

（1）求电场强度的大小；（2）为使粒子穿过电场后的动能增量最大，该粒子进入电场时的速度应为多大？（3）为使粒子穿过电场前后动量变化量的大小为mv 0，该粒子进入电场时的速度应为多大？【答案】(1) 202mv E qR =；(2)0124v v ；(3)0或023v v 【解析】（1）由题意知在A 点速度为零的粒子会沿着电场线方向运动，由于q >0，故电场线由A 指向C ，根据几何关系可知：AC x R所以根据动能定理有：20102ACqEx mv解得：202mv E qR =；（2）根据题意可知要使粒子动能增量最大则沿电场线方向移动距离最多，做AC 垂线并且与圆相切，切点为D ，即粒子要从D 点射出时沿电场线方向移动距离最多，粒子在电场中做类平抛运动，根据几何关系有1sin 60x R v t21cos602y R R at 而电场力提供加速度有qE ma =联立各式解得粒子进入电场时的速度：0124v v ；（3）因为粒子在电场中做类平抛运动，粒子穿过电场前后动量变化量大小为mv 0，即在电场方向上速度变化为v 0 ，过C 点做AC 垂线会与圆周交于B 点，故由题意可知粒子会从C 点或B 点射出。

当从B 点射出时由几何关系有223BC x R v t2212AC x R at 电场力提供加速度有qE ma =联立解得0232v v ；当粒子从C 点射出时初速度为0。

2．（2020·新课标Ⅱ卷）如图，在0≤x ≤h ，y -∞<<+∞区域中存在方向垂直于纸面的匀强磁场，磁感应强度B 的大小可调，方向不变。

2020年高考全国1数学理高考真题变式题21-23题-(解析版)

2020年高考全国1数学理高考真题变式题21-23题原题211．已知函数2()e x f x ax x =+-. （1）当a =1时，讨论f （x ）的单调性；（2）当x ≥0时，f （x ）≥12x 3+1，求a 的取值范围. 变式题1基础2．已知函数()()21e xax x f x a R -+=∈.(1)当2a =-时，求()f x 的单调区间； (2)当0x ≥时，()1f x ≤，求a 的取值范围. 变式题2基础 3．已知函数()ln xf x x =，()231m g x x x=--. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，求实数m 的取值范围；变式题3巩固4．已知函数()()2ln f x x m x m =-∈R .(1)若函数()()3g x f x x =-为增函数，求m 的取值范围； (2)当0m >，若()1f x ≥在定义域内恒成立，求m 的值. 变式题4巩固 5．已知函数()ln af x x x x=+．（1）讨论函数()()h x xf x =的单调性；（2）若对任意的1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦不等式()1f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．变式题5巩固 6．已知函数1()(,x x f x ax a R e e+=+∈为自然对数的底数）．（1）若12a >，请判断函数()f x 的单调性；（2）若12,x x R ∀∈，当12x x ≠时，都有2121()()1f x f x x x ->-成立，求实数a 的取值范围．变式题6提升7．已知函数2()(1)x f x axe x =-+（其中a R ∈，e 为自然对数的底数）. （1）当0a >时，讨论函数()f x 的单调性；（2）当0x >时，2()ln 3f x x x x >---，求a 的取值范围. 原题228．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=．（1）当1k =时，1C 是什么曲线？（2）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标．变式题1基础9．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x kty t =⎧⎨=⎩（t 为参数）．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin cos 10ρθρθ--=．(1)当1k =时，判断曲线1C 与曲线2C 的位置关系： (2)当2k =时，求曲线1C 与曲线2C 的公共点的直角坐标．变式题2基础10．己知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.（1）把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）求1C 与2C 交点的极坐标(0,02)ρθ≥≤<π. 变式题3巩固11．已知在极坐标系下，曲线:(cos 2sin )4C ρθθ+=（θ为参数）与点2,3A π⎛⎫⎪⎝⎭.（1）求曲线C 与点A 的位置关系；（2）已知极坐标的极点与直角坐标原点重合，极轴与直角坐标的x 轴正半轴重合，直线12:24x t l y t =-⎧⎨=-+⎩，求曲线C 与线l 的交点的直角坐标.变式题4巩固12．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1323x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为3ρθ=.（1）写出C 的直角坐标方程；（2）P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标. 变式题5巩固13．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为35135x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为5(cos sin )70ρθθ+-=．(1)求曲线1C 的普通方程以及曲线2C 的直角坐标方程；(2)若射线:340(0)l x y x -=≥与12,C C 分别交于,A B 两点，求AB 的值．变式题6提升14．1.已知曲线1C 的参数方程为22x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为222x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系.(1)求曲线1C 与曲线2C 公共点的极坐标；(2)若点A 的极坐标为()2,π，设曲线2C 与y 轴相交于点B ，点P 在曲线1C 上，满足PA PB ⊥，求出点P 的直角坐标.原题2315．已知函数()|31|2|1|f x x x =+--．（1）画出()y f x =的图像；（2）求不等式()(1)f x f x >+的解集．变式题1基础16．已知函数()22f x x x =-++.(图中的每个方格是边长1个单位的正方形)()22f x x x =-++（1）画出函数()f x 的图象；（2）当0a >时，若不等式()()f x f x a <-的解集为{}|3x x <，求a 的取值范围. 变式题2基础17．已知函数f(x)=|x -8|-|x -4|.(1)作出函数y=f(x)的图象; (2)解不等式|x -8|-|x -4|＞2. 变式题3巩固18．（2016高考新课标Ⅰ，理24）选修4-5：不等式选讲已知函数()123f x x x =+--. （Ⅰ）画出()y f x =的图象；（Ⅰ）求不等式()1f x >的解集．变式题4巩固19．设函数()211f x x x =++-.（Ⅰ）画出()y f x =的图象并解不等式()3f x ≥；（Ⅰ）当[)0,x ∈+∞，()f x ax b ≤+恒成立，求a b +的最小值. 变式题5巩固20．已知函数()2f x x =-，()|21||23|g x x x =+--．（1）画出()y g x =的图象；（2）若()()f x a g x +≥，求a 的取值范围．变式题6提升21．设函数()221x x f x =++-. （1）求()f x 的最小值；（2）若集合(){}10x R f x ax ∈+-<≠∅，求实数a 的取值范围.参考答案：1．（1）当(),0x ∈-∞时，()()'0,f x f x <单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()'0,f x f x >单调递增.（2）27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭【分析】(1)由题意首先对函数二次求导，然后确定导函数的符号，最后确定原函数的单调性即可.(2)方法一：首先讨论x =0的情况，然后分离参数，构造新函数，结合导函数研究构造所得的函数的最大值即可确定实数a 的取值范围.【详解】(1)当1a =时，()2e xf x x x =+-，()e 21x f x x ='+-，由于()''e 20xf x =+>，故()'f x 单调递增，注意到()00f '=，故：当(),0x ∈-∞时，()()0,f x f x '<单调递减，当()0,x ∈+∞时，()()0,f x f x '>单调递增. (2) [方法一]【最优解】：分离参数由()3112f x x ≥+得，231e 12x ax x x +-+，其中0x ≥， Ⅰ.当x =0时，不等式为：11≥，显然成立，符合题意；Ⅰ.当0x >时，分离参数a 得，321e 12x x x a x ----，记()321e 12x x x g x x ---=-，()()2312e 12x x x x g x x ⎛⎫---- ⎪⎝⎭'=-，令()()21e 102xh x x x x =---≥，则()e 1xh x x ='--，()''e 10x h x =-≥，故()'h x 单调递增，()()00h x h ''≥=，故函数()h x 单调递增，()()00h x h ≥=，由()0h x ≥可得：21e 102xx x ---恒成立，故当()0,2x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当()2,x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减；因此，()()2max7e 24g x g -⎡⎤==⎣⎦, 综上可得，实数a 的取值范围是27e ,4∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭.[方法二]：特值探路当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立27e (2)54-⇒⇒f a ．只需证当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．当274e a -≥时，227e ()e e 4-=+-≥+x xf x ax x 2⋅-x x ．只需证明2237e 1e 1(0)42-+-≥+≥xx x x x Ⅰ式成立．Ⅰ式()223e74244e-+++⇔≤xx x x ，令()223e7424()(0)e -+++=≥xx x x h x x ，则()()222313e 2e 92()e -+--=='x xx x h x ()()222213e 2e 9e⎡⎤-----⎣⎦=xx x x ()2(2)2e 9e⎡⎤--+-⎣⎦xx x x ，所以当29e 0,2⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦x 时，()0,()h x h x '<单调递减；当29e ,2,()0,()2⎛⎫-∈> ⎪⎝⎭'x h x h x 单调递增；当(2,),()0,()∈+∞<'x h x h x 单调递减．从而max [()]max{(0),(2)}4==h x h h ，即()4h x ≤，Ⅰ式成立．所以当274e a -≥时，31()12f x x ≥+恒成立．综上274e a -≥．[方法三]：指数集中当0x ≥时，31()12f x x ≥+恒成立323211e1(1)e 122x x x ax x x ax x -⇒+-+⇒-++≤，记()32(1(1)e 0)2xg x x ax x x -=-++≥，()2231(1)e 22123xg x x ax x x ax -'=--+++--()()()2112342e 212e 22xx x x a x a x x a x --⎡⎤=--+++=----⎣⎦， Ⅰ.当210a +≤即12a ≤-时，()02g x x '=⇒=，则当(0,2)x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以当(0,2)x ∈时，()1g x >，不合题意；Ⅰ.若0212a <+<即1122a -<<时，则当(0,21)(2,)x a ∈+⋃+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，当(21,2)x a ∈+时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()01g =，所以若满足()1g x ≤，只需()21g ≤，即()22(7e 14)g a --≤=27e 4a -⇒，所以当27e 142a -⇒≤<时，()1g x ≤成立；Ⅰ当212a +≥即12a ≥时，()32311(1)e (1)e 22x xg x x ax x x x --=++≤-++，又由Ⅰ可知27e 142a -≤<时，()1g x ≤成立，所以0a =时，31()(1)e 21xg x x x -=+≤+恒成立，所以12a ≥时，满足题意. 综上，27e 4a-. 【整体点评】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，本题主要考查利用导数解决恒成立问题，常用方法技巧有：方法一，分离参数，优势在于分离后的函数是具体函数，容易研究；方法二，特值探路属于小题方法，可以快速缩小范围甚至得到结果，但是解答题需要证明，具有风险性；方法三，利用指数集中，可以在求导后省去研究指数函数，有利于进行分类讨论，具有一定的技巧性！2．(1)单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞；单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦【详解】（1）2a =-时，()221e x x xf x --+=，()()()212e xx x f x +-'=，令()1102f x x '=⇒=-，22x =.Ⅰ()f x 的单调递增区间为1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()2,+∞，单调递减区间为1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭.（2）法一：常规求导讨论 ()()()()221212e e xxax a x ax x x F -++----'==.Ⅰ当0a ≤时，令()02f x x '=⇒= 且当02x ≤<时，()0f x '<，()f x ；当2x >时，()0f x '>，()f x .注意到()01f =，2x ≥时，()0f x <符合题意.Ⅰ当12a =时，()()21220ex x f x --'=≤，()f x 在[)0,∞+上，此时()()01f x f ≤=符合题意.Ⅰ当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时()()01f x f ≤=符合题意.Ⅰ当102a <<时，令()102f x x '=⇒=，21x a=，且当()f x 在[)0,2上，12,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，此时只需1111111e 1e a a a a f a -+⎛⎫=≤⇒≥ ⎪⎝⎭，显然成立. Ⅰ当12a >时，令()110f x x a'=⇒=，22x =，且当()f x 在10,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，1,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()2,+∞上.此时只需()22411e 121e 24a f a -+=≤⇒<≤. 综上：实数a 的取值范围2e 1,4⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦.法二：参变分离Ⅰ0x =时，不等式显然成立.Ⅰ当0x >时，2e 1x x a x +-≤，令()2e 1x x g x x +-=，()()()33e 12e 2e 2xx x x x x g x x x ----+'==.令()02g x x '=⇒=且当02x <<时，()0g x '<，()g x ；当2x >时，()0g x '>，()g x ，Ⅰ()()2mine 124g x g +==，Ⅰ2e 14a +≤.3．（1）递增区间是()0,e ，递减区间是()e,+∞；（2）(],4-∞.【分析】（1）求导以后，结合定义域解不等式()0f x '>和()0f x '<即可求出结果；（2）参变分离得到32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立，进而构造函数()32ln h x x x x=++，求出函数()h x 的最小值即可得到结果.【详解】（1）()ln x f x x =，得()21ln xf x x-'=由()0f x '>，得0x e <<；()0f x '<，得x e >； Ⅰ()f x 的递增区间是()0,e ，递减区间是()e,+∞ （2）对一切()0,x ∈+∞，()()2f x g x ≥恒成立，可化为32ln m x x x≤++对一切()0,x ∈+∞恒成立. 令()32ln h x x x x =++，()()()222231232301x x x x h x x x x x +-+-='>=+-=，()0x > 当()0,1x ∈时，()0h x '<，即()h x 在()0,1递减当()1,x ∈+∞时，()0h x '>，即()h x 在()1,+∞递增，Ⅰ()()min 14h x h == Ⅰ4m ≤，即实数m 的取值范围是(],4-∞ 4．(1)9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦(2)2【分析】（1）求得函数()f x 的定义域，再对()g x 求导，将函数()g x 为增函数转化为2230x x m --≥在()0,∞+上恒成立，从而可得解；（2）根据题意可得2ln 1x m x -≥在()0,∞+上恒成立，构造函数()2ln h x x m x =-，求得导数和最值，再根据换元法构造函数()ln 1a a a a ϕ=--，求得导数和最值，进而可求出m 的值. (1)根据题意可得()f x 的定义域为()0,∞+，()2ln 3g x x m x x =--，则()22323m x x mg x x x x--'=--=，Ⅰ()g x 在定义域内为增函数，Ⅰ2230x x m --≥在()0,∞+上恒成立，即223m x x ≤-在()0,∞+上恒成立，则()2min 23m x x ≤-，Ⅰ22399232488x x x ⎛⎫-=--≥- ⎪⎝⎭，当34x =时，等号成立，Ⅰ98m ≤-，即m 的取值范围为9,8⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.(2)Ⅰ()1f x ≥在定义域内恒成立， Ⅰ2ln 1x m x -≥在()0,∞+上恒成立，令()2ln h x x m x =-，则()222m x mh x x x x-'=-=. Ⅰ0m >，Ⅰ令()0h x '>，解得x >()h x 在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增，令()0h x '<，解得0x <<()h x 在⎛ ⎝上单调递减，Ⅰ()min 2m h x h m ==-要使()1h x ≥在定义域内恒成立，即()min 12m h x m =-，即ln 10222m m m --≥，令()ln 1a a a a ϕ=--（其中02ma =>），则()ln a a ϕ'=-， Ⅰ当()0,1a ∈时，()0a ϕ'>，即()a ϕ在()0,1上单调递增，当()1,a ∈+∞时，()0a ϕ'<，即()a ϕ在()1,+∞上单调递减， Ⅰ()()max 10a ϕϕ==，即()()1a ϕϕ≤，Ⅰ要使ln 10--≥a a a ，只能取1a =，即22m a ==，综上所述，m 的值为2.5．（1）当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()h x 单调递减；当12e ,x -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()h x 单调递增；（2）[1,)+∞．【分析】（1）先求解()h x 的导数，结合导数符号判定()h x 的单调性；（2）先进行参数分离，然后求解2()ln u x x x x =-的最大值，可得实数a 的取值范围．【详解】（1）由题可知2()()ln h x xf x a x x ==+，且定义域为(0,)+∞， 21()2ln (2ln 1)h x x x x x x x'∴=+⋅=+．令()0h x '=，得12e x -=．∴当120,e x -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当12e ,x -⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭时，()0h x '≥，函数()h x 单调递增．（2）对任意1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()ln 1a f x x x x =+≥恒成立，等价于2ln a x x x ≥-恒成立；令2()ln u x x x x =-，则()12ln u x x x x '=--，(1)0u '=．令()12ln m x x x x =--，则()32ln m x x '=--， 1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， ()32ln 0m x x '∴=--<，()u x '∴在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，∴当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0u x '≥，当(1,2]x ∈时，()0u x '<，即函数()u x 在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间(1,2]上单调递减，max ()(1)1u x u ∴==，从而1a ≥，即a 的取值范围为[1,)+∞．【点睛】求解函数单调性的步骤：Ⅰ求解定义域；Ⅰ求解导数()'f x ；Ⅰ求解不等式，()0f x '>可得增区间，()0f x '<可得减区间；恒成立问题一般利用分离参数法，转化为函数最值问题求解. 6．（1）()f x 在R 上单调递增；（2）11e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，．【分析】（1）求出1(),()x x x x f x a f x e e-'''=-+=，先判断出()'f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，1()(1)0f x f a e ≥=-'>'，所以()f x 单调递增；（2）先把212()()1f x f x x x ->-转化为2211()()f x x f x x ->-，记1()()xx g x f x x ax x e +=-=+-，等价于()g x 在R 单调递增，只需()0g x '≥，利用分离参数法即可求解. 【详解】1()xx f x ax e +=+的定义域为R . （1）1(),()x xx x f x a f x e e -'''=-+=，令()0f x ''>，解得：1x >；令()0f x ''<，解得：1x <；所以()'f x 在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，则1()(1)0f x f a e ≥=-'>'，所以()f x 在R 上单调递增；（2）不妨设12x x <，则212()()1f x f x x x->-，等价于2211()()f x x f x x ->-，记1()()x x g x f x x ax x e+=-=+-，等价于()g x 在R 单调递增，即()0g x '≥，()101x xx x g x a a e e '=-+-≥⇒≥+在R 上恒成立，设1()1,()x x x xh x h x e e-'=+=，所以()h x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，所以()max 111x h x e==+，，所以11a e ≥+，即实数a 的范围为11e ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭，. 【点睛】恒成立问题Ⅰ参变分离，转化为不含参数的最值问题；Ⅰ不能参变分离，直接对参数讨论，研究()f x 的单调性及最值；Ⅰ特别地，个别情况下()()f x g x >恒成立，可转换为()()min max f x g x >（二者在同一处取得最值）.7．（1）分类讨论，答案见解析；（2）31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求导可得()()(1)2xf x x ae =+-'，由()0f x '=得，11x =-，22ln x a =，分2ln 1a=-，2ln1a <-，2ln 1a>-三种情况讨论单调性即得解；（2）参变分离可得ln 2xx x a xe+->对任意的0x >恒成立，令ln 2()x x x g x xe +-=，求导分析单调性，求出max ()g x 即可.【详解】（1）由题意知，()()(1)2(1)(1)2x xf x a x e x x ae '=+-+=+-，当0a >时，由()0f x '=得，11x =-，22ln x a=， Ⅰ若2ln1a=-，即2a e =时，()0f x '≥恒成立，故()f x 在R 上单调递增；Ⅰ若2ln1a<-，即2a e >时，令2()0lnx f x a'>∴<或1x >-；令2()0ln 1x a x f '<∴<<-故()f x 的单调递增区间为2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)-+∞，单调递减区间为2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；Ⅰ若2ln1a>-，即02e a <<时，令()01x f x '>∴<-或2ln x a >；令2()01ln f x ax '<∴-<<故()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；综上：当2a e =时，()f x 在R 上单调递增；当2a e >时，()f x 的单调递增区间为2,ln a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和(1,)-+∞，单调递减区间为2ln ,1a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；当02e a <<时，()f x 的单调递增区间为(,1)-∞-和2ln ,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间为21,ln a ⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）由题意知，ln 20x axe x x --+>对任意的0x >恒成立，即ln 2xx x a xe +->对任意的0x >恒成立，令ln 2()(0)x x x g x x xe +-=>，则()2(1)(3ln )()xxx e x x g x xe +-'-=，令()3ln h x x x =--，1()10h x x'=--<则()h x 在(0,)+∞上单调递减，又(1)20h =>，()20h e e =-<，故()0h x =在(0,)+∞上有唯一的实根，不妨设该实根为0x ，故当0(0,)x x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增；当0(,)x x ∈+∞时，()0g x '<，()g x 单调递减，故0x 为()g x 的极大值点，故()000max 00ln 2()x x x g x g x x e +-==，又003ln 0x x --=，代入上式得()000030ln 21x x x g x x e e+-==，故a 的取值范围为31,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.8．（1）曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）11(,)44.【分析】（1）利用22sin cos 1t t +=消去参数t ，求出曲线1C 的普通方程，即可得出结论；（2）当4k =时，0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为 22cos (sin tt t ==为参数），两式相加消去参数t ，得1C 普通方程，由cos ,sin x y ρθρθ==，将曲线 2C 化为直角坐标方程，联立12,C C 方程，即可求解.【详解】（1）当1k =时，曲线1C 的参数方程为cos (sin x tt y t =⎧⎨=⎩为参数），两式平方相加得221x y +=，所以曲线1C 表示以坐标原点为圆心，半径为1的圆；（2）当4k =时，曲线1C 的参数方程为44cos (sin x tt y t ⎧=⎨=⎩为参数），所以0,0x y ≥≥，曲线1C 的参数方程化为22cos (sin tt t 为参数），两式相加得曲线1C 1=，1=1,01,01y x x y =-≤≤≤≤，曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=，曲线2C 直角坐标方程为41630x y -+=，联立12,C C 方程141630y x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，整理得12130x -=12=或 136（舍去）， 11,44x y ∴==，12,C C ∴公共点的直角坐标为 11(,)44.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程与直角坐标方程互化，合理消元是解题的关键，要注意曲线坐标的范围，考查计算求解能力，属于中档题. 9．(1)相交(2)⎭【分析】（1）将曲线1C 与曲线2C 的方程化成普通方程可知，两曲线一个表示直线，一个表示圆，根据直线与圆的位置关系即可判断；（2）联立曲线1C 与曲线2C 的普通方程即可解出．（1）当1k =时，由cos sin x ty t=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的普通方程为：221x y +=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可将2sin cos 10ρθρθ--=化简得曲线2C 的普通方程为：210x y -+=，圆心()0,0到直线210x y -+=的距离为1d r =<=，所以曲线1C 与曲线2C 相交．（2）当2k =时，由2cos 212sin sin x t t y t ⎧==-⎨=⎩可得曲线1C 的普通方程为：()21211x y y =--≤≤，联立221012x y x y -+=⎧⎨=-⎩，解得2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩（舍去）所以曲线1C 与曲线2C的公共点的直角坐标为⎭． 10．（1）、28cos 10sin 160ρρθρθ--+=;（2）、4π⎫⎪⎭和2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）、将1C 的参数方程消去参数t 化为普通方程，利用cos x ρθ=，sin y ρθ=把1C 的参数方程化为极坐标方程；（2）、将曲线2C 的极坐标方程化为普通方程，与1C 的普通方程联立，求出1C 与2C 交点的直角坐标，由此求出1C 与2C 交点的极坐标.【详解】（1）、1C 的参数方程为45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩，（t 为参数）1C ∴的普通方程为()()224525x y -+-=即22810160x y x y +--+=1C ∴的极坐标方程为:28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）、2C 的极坐标方程为2sin ρθ=2C ∴的直角坐标方程为：2220x y y +-=22221810160120x x y x y y x y y =⎧+--+=⎧∴∴⎨⎨=+-=⎩⎩或02x y =⎧⎨=⎩1C ∴与2C 交点的坐标为()1,1或()02,，1C ∴与2C交点的极坐标为4π⎫⎪⎭和2,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭11．（1）点A 不在曲线C （直线）上．（2）48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．【分析】（1）把极坐标方程化为直角坐标方程，点的极坐标化为直角坐标后判断；（2）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程求解．【详解】（1）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入:(cos 2sin )4C ρθθ+=，得24x y +=，此即为曲线C 直线坐标方程，又2cos1,2sin33ππ==A ，而14+，所以点A 不在曲线C （直线）上．（2）把1224x t y t =-⎧⎨=-+⎩代入24x y +=得122(24)4t t -+-+=，得76t =，4123t -=-，8243t -+=，所以交点坐标为48,33⎛⎫- ⎪⎝⎭．12．（1）220x y +-=；（2）()3,0.【分析】（1）根据极坐标转化为直角坐标的公式求得C 的直角坐标方程. （2）求得l 的普通方程，结合图象求得P 的直角坐标.【详解】（1）由ρθ=得222sin ,0x y ρθ=+-=. （2）(22220,3x y x y +-=+=，所以圆心(C ,半径r =直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），消去参数得0l y --=，倾斜角为3π，过点(()0,,3,0-.由于过(和()3,0的直线的斜率为1=-，所以当P 到圆心C 的距离最小时，P 的直角坐标为()3,0.13．(1)()22915x y -+=；5570x y +-=； (2)1【分析】（1）消去曲线1C 参数方程中的参数即可求出曲线1C 的普通方程；根据公式cos ,sin x y ρθρθ==即可求出曲线2C 的直角坐标方程；（2）把l 的方程与1C 的方程联立即可求出点A 的坐标，把l 的方程与2C 的方程联立即可求出点B 的坐标，从而利用两点间的距离公式即可求出AB 的值． (1)由1x y ϕϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得1x y ϕϕ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，两式平方相加，得()22915x y -+=，所以曲线1C 的普通方程为()22915x y -+=；由5(cos sin )70ρθθ+-=，得5cos 5sin 70ρθρθ+-=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以5570x y +-=，所以曲线2C 的直角坐标方程为5570x y +-=. (2)由5570340x y x y +-=⎧⎨-=⎩，得4535x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以43,55B ⎛⎫ ⎪⎝⎭；由()22915340x y x y ⎧-+=⎪⎨⎪-=⎩，消x 得225840935y y --=，即52520353y y ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以625y =-(舍)或65y =，所以85x =，所以86,55A ⎛⎫⎪⎝⎭，所以1AB ==.14．(1))π和π2⎫⎪⎭(2)4,3⎛- ⎝⎭【分析】（1）将参数方程化为普通方程，进而求出交点坐标，再转化为极坐标；（2）通过参数方程设出点P 的坐标，将PA PB ⊥转化为平面向量的数量积为0，进而解得答案. (1)由题意，1C 的普通方程为：222x y +=，2C的普通方程为：y x =+为()(,，极坐标为：)ππ,2⎫⎪⎭.(2)点A 的直角坐标为()2,0-，点B的直角坐标为(，根据题意，设)Pθθ，则),AP BP θθθθ→→+==，因为PA PB ⊥，所以)20AP BP θθθθ→→=⋅⋅+=，且0BP →→≠，sin 1θθ-=-，又22cos sin 1θθ+=，解得cos 1sin 3θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所点P的直角坐标为4,3⎛- ⎝⎭. 15．（1）详解解析；（2）7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【分析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象；（2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出．【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ⎧⎪+≥⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，作出图象，如图所示：（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示：由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题．16．（1）答案见解析；（2）6a =.【分析】（1）根据绝对值的定义，化简为分段函数，结合一次函数的性质，即可求解；（2）根据图象的变换，把函数()y f x =的图象向右平移a 个单位后得到()y f x a =-的图象，结合不等式的解集和图象的交点，即可求解.【详解】（1）由题意，函数()2,2224,222,2x x f x x x x x x -≤-⎧⎪=-++=-<<⎨⎪≥⎩，则函数()f x 的图象如图所示：（2）由()y f x =的图象向右平移a 个单位后得到()y f x a =-的图象,如图所示，因为不等式()()f x f x a <-的解集为{}|3x x <，可得()y f x =与()y f x a =-的交点为(3,6)，所以()22f x a x a x a -=--+-+|过点(3,6)，故32326a a --+-+=，解得6a =或0a =(舍)，当6a =时，()(6)y f x a f x =-=-的图象为()f x 的图象向右平移6个单位，由前面的论证可知，交点(3,6)A ，故()(6)f x f x <-的解集为{}|3x x <，综上可得，实数a 的值为6.17．（1）（2）不等式的解集为(-∞,5)【详解】(1)f(x)=图象如下:(2)不等式|x-8|-|x-4|＞2,即f(x)＞2.由-2x+12=2,得x=5.由函数f(x)图象可知,原不等式的解集为(-∞,5).18．（1）见解析（2）11353x x x x⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭或或【详解】试题分析：（Ⅰ）化为分段函数作图；（Ⅰ）用零点分区间法求解.试题解析：（Ⅰ）的图像如图所示.（Ⅰ）由的表达式及图像，当时，可得或；当时，可得或，故的解集为；的解集为，所以的解集为.【考点】分段函数的图像，绝对值不等式的解法【名师点睛】不等式选讲多以绝对值不等式为载体命制试题,主要涉及图像、解不等式、由不等式恒成立求参数范围等.解决此类问题通常转换为分段函数求解,注意不等式的解集一定要写成集合的形式.19．（Ⅰ）详见解析；（Ⅰ）5.【分析】（Ⅰ）根据x的取值范围,分12x≤-,112x-<<,1≥x三种情况分别去绝对值,求出函数()f x 的解析式,根据解析式作出函数()f x 的图象,结合图象求出不等式的解集即可; （Ⅰ）结合（Ⅰ）中函数()f x 的图象,由在[)0,x ∈+∞时,直线y ax b =+的图象满足在函数()f x 的上方或重合,分别求出,a b 的最小值即可求出a b +的最小值.【详解】（Ⅰ）由题意知,当12x ≤-时,()2113f x x x x =---+=-, 当112x -<<时,()2112f x x x x =+-+=+, 当1≥x 时,()2113f x x x x =++-=,所以()13,212,123,1x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩，作出()y f x =的图象如图所示：由图知，不等式()3f x ≥解集为{}|11x x x ≥≤-或.（Ⅰ）由（Ⅰ）中的图象知，()y f x =的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且()y f x =的图象各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[)0,+∞恒成立，因此a b +的最小值为5.【点睛】本题主要考查利用图象法解绝对值不等式及求解恒成立问题;考查学生的运算求解能力和分类讨论思想、数形结合思想;正确画出函数()f x 的图象是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.20．（1）答案见解析；（2）92a ≥. 【分析】（1）将()y g x =用分段函数表示，在平面直角坐标系中分段画出图形即可；（2）在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，平移使得()y f x a =+图象在()y g x =图象上方即可，可知需要向左平移，即0a >，临界状态为过3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，解得92a =，即得解【详解】（1）由题可知14,213()212342,2234,2x g x x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+--=--≤<⎨⎪⎪≥⎪⎩，画出函数图像：（2）()|2|f x a x a +=+-，如图，在同一个坐标系里画出()(),f x g x 图像，()y f x a =+是()y f x =平移了a 个单位得到，则要使()()f x a g x +≥，需将()y f x =向左平移，即0a >，当()y f x a =+过3,42A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，3|2|42a +-=，解得92a =或72-（舍去），则数形结合可得需至少将()y f x =向左平移92个单位，92a ∴≥.21．（1）()min 52f x =；（2）()()2,,3+∞⋃-∞-. 【解析】（1）首先利用零点分段法，去绝对值，求得函数的最小值；（2）()1f x ax <-+在R 上有解，画出函数()f x 的图象，并且1y ax =-+过点()0,1，利用数形结合分析实数a 的取值范围.【详解】解：（1）()1321()3221312x x f x x x x x ⎧⎪--≤-⎪⎪⎛⎫=--<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫+≥⎪ ⎪⎝⎭⎩当2x -≤时，()[)5,f x ∈+∞，当122x -<<时，()5,52f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当12x ≥时，()5,2f x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭()min 52f x =.（2）据题意：()1f x ax <-+在R 上有解，作函数()y f x =及1y ax =-+的图象,1y ax =-+恒过点()0,1，且直线的斜率k a =-， 51220AC k -==---,且直线BC 的斜率3BC k = 由图可得：3a ->或2a -<-所以a 的范围为()()2,,3+∞⋃-∞-.【点睛】关键点点睛：本题的第二问的关键是数形结合分析问题，理解1y ax =-+表示过点()0,1的直线，并且直线的斜率k a =-，结合（1）的分段函数，画出函数的图象，分析临界斜率，求a 的取值范围.。

2022年高考数学核心考点专题训练专题21 平面向量的数量积(含解析)

2OE；③AH在AB向量上的投影向量的模为
2．
2
其中正确结论的个数为( )
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
10. 设向量 a,b,c,满足 a = b = 2,a ⋅ b = 2, a − c ⋅ b − c = 0,则 c 的最小值为
A. 3+1 2
B. 3−1 2
C. 3 − 1
11. 在给出的下列命题中，不正确的是( )
−5 10
=−
10，所以
2
B
错误：
因为a
−
b
=
(5,0)，所以
cos
<
a，a
−
b
>=
a⋅(a−b) |a|×|a−b|
=
10 5×5
=
2 5，所以
5
C
正确;
因为c
=
(
5 5
,
25 5
)，所以a
⋅
c
=2×
5 5
+
1
×
25 5
=
45 5
≠
0，所以a与c不垂直，所以 D
错误．
故选 C．
20.
已知向量m =
⋅
OB
=
OA
⋅
OC,AO
=
λ(
AB |AB|
+
AC |AC|
)则ΔABC
为等腰三角形
D. 已知平面向量OA，OB，OC满足 OA = OB = OC = r(r > 0)，且OA + OB + OC = 0，则△ ABC
是等边三角形
12. 已知不共线向量OA,OB夹角为α, OA = 1, OB = 2,OP = 1 − t OA,OQ = tOB 0 ≤ t ≤ 1), PQ 在 t = t0

押新高考第21题圆锥曲线(新高考)(解析版)

圆锥曲线圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。

圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题方法总结1.圆锥曲线中最值问题的求解方法（1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解（2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基本不等式求解2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围．(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系．(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围．(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围．(5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围．3定点、定值模板1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接3，确定与参数无关点、值，即为所求.1．（2021·湖南·高考真题）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>经过点()20A ，3（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线1y x =-与椭圆C 相交于P Q ，两点，求AP AQ ⋅的值. 【详解】（1）椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()20A ，，所以2a =， 32c ca ==，所以3c =222431b ac =-=-=，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）由22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得2580x x ，解得128,05x x ==，所以118583155x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-=⎪⎩，或110011x y =⎧⎨=-=-⎩，可得83,55P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,1Q -，或者83,55Q ⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1P -，所以()834312,02,155555AP AQ ⎛⎫⋅=-⋅--=-= ⎪⎝⎭.2．（2021·江苏·高考真题）已知函数()f x 是定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，当0x <时，()()log 2a f x x x =-+(0a >，且1a ≠).又直线():250l mx y m m R +++=∈恒过定点A ，且点A 在函数()f x 的图像上.(1) 求实数a 的值； (2) 求()()48f f -+的值； (3) 求函数()f x 的解析式. 【详解】(1) 由直线l 过定点可得：(2)5m x y +=--，由2050x y +=⎧⎨--=⎩，解得25x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线l 过定点()2,5A --.又因为0x <时，()log ()2a f x x x =-+，所以(2)log 245a f -=-=-，有log 21a =-，12a =. (2) 12(4)log 4810f -=-=-，因为()f x 为偶函数，所以12(8)(8)log 81619f f =-=-=-，所以(4)(8)29f f -+=-.(3) 由(1)知，当0x <时，12()log ()2f x x x =-+. 当0x >时，0x -<，1122()log 2()log 2f x x x x x-=+⋅-=-，又()f x 为偶函数，所以12()()log 2f x f x x x =-=-，综上可知，1212log ()20()log 20x xx f x x x x -+<⎧⎪=⎨->⎪⎩.3．（2021·全国·高考真题）已知椭圆C 的方程为22221(0)x y a b a b +=>>，右焦点为(2,0)F 6（1）求椭圆C 的方程；（2）设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线222(0)x y b x +=>相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN = 【详解】（1）由题意，椭圆半焦距2c =6c e a =，所以3a = 又2221b a c =-=，所以椭圆方程为2213x y +=；（2）由（1）得，曲线为221(0)x y x +=>，当直线MN 的斜率不存在时，直线:1MN x =，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设()()1122,,,M x y N x y ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线(:2MN y k x =即20kx y k --=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>2211k k =+，解得1k =±，联立(22213y x x y ⎧=±⎪⎨⎪+=⎩可得246230x x -+=，所以12122343x x x x +=⋅=，所以()212121143MN x x x x =++-⋅所以必要性成立；充分性：设直线():,0MN y kx b kb =+<即0kx y b -+=，由直线MN 与曲线221(0)x y x +=>211b k =+，所以221b k =+，联立2213y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()222136330k x kbx b +++-=，所以2121222633,1313kb b x x x x k k -+=-⋅=++，所以()2222212122263314141313kb b MN k x x x x kk k -⎛⎫=++-⋅=+--⋅ ⎪++⎝⎭22241k k =+3 化简得()22310k -=，所以1k =±，所以12k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或12k b =-⎧⎪⎨=⎪⎩:2MN y x =或2y x =-+所以直线MN 过点(2,0)F ，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是||3MN =4．（2021·浙江·高考真题）如图，已知F 是抛物线()220y px p =>的焦点，M 是抛物线的准线与x 轴的交点，且2MF =，（1）求抛物线的方程；（2）设过点F 的直线交抛物线与A ､B 两点，斜率为2的直线l 与直线,,MA MB AB ，x 轴依次交于点P ，Q ，R ，N ，且2RN PN QN =⋅，求直线l 在x 轴上截距的范围. 【详解】（1）因为2MF =，故2p =，故抛物线的方程为：24y x =. （2）[方法一]：通式通法设:1AB x ty =+，()()1122,,,A x y B x y ，(),0N n ，所以直线:2y l x n =+，由题设可得1n ≠且12t ≠.由214x ty y x=+⎧⎨=⎩可得2440y ty --=，故12124,4y y y y t =-+=，因为2RN PN QN =⋅，故21111+1+1+444R P Q ⎫=⎪⎪⎭，故2R P Q y y y =⋅. 又()11:11y MA y x x =++，由()11112y y x x y x n⎧=+⎪+⎪⎨⎪=+⎪⎩可得()1112122P n y y x y +=+-，同理()2222122Q n y y x y +=+-，由12x ty yx n =+⎧⎪⎨=+⎪⎩可得()2121R n y t -=-，所以()()()2212211212121=212222n n y n y t x y x y -++⎡⎤⨯⎢⎥-+-+-⎣⎦，整理得到()()()2212221112112222y y n t n x y x y -⎛⎫=- ⎪++-+-⎝⎭， ()22221214212222t y y y y -=⎛⎫⎛⎫+-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()()()2222222121212112214212134+++2+442t t t y y y y y y y y y y y y --==+--⨯-+故()222134121n t n t ++⎛⎫= ⎪-⎝⎭-，令21s t =-，则12s t +=且0s ≠，故()22222234242411331+444421t s s s s s s t +++⎛⎫==+=++≥ ⎪⎝⎭-，故213141n n n ⎧+⎛⎫≥⎪ ⎪-⎨⎝⎭⎪≠⎩即214101n n n ⎧++≥⎨≠⎩，解得73n ≤--7431n -+≤<或1n >.故直线l 在x 轴上的截距的范围为743n ≤--731n -+<或1n >. [方法二]：利用焦点弦性质设直线AB 的方程为11x k y =+，直线MA 的方程为21x k y =-，直线MB 的方程为31x k y =-，直线l 的方程为221212,,,,,(,0)244y y y x m A y B y N m ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由题设可得1m ≠且112k ≠．由121,4x k y y x=+⎧⎨=⎩得21440y k y --=，所以121124,4y y k y y +==-．因为2112231121114,44y y y k k y y y +==+=+， 12121223111212110444y y y y y y k k k k y y y y ++∴+=+++=+=-=，()21221212231121212111111441642y y y y y y k k k y y y y y y +⎛⎫⎛⎫=++=+⋅+-=-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．由21,2x k y y x m =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得2112p m y k +=-．同理3112Q m y k +=-．由11,2x k y y x m =+⎧⎪⎨=+⎪⎩得1112R m y k -=-．因为2||||||RN PN QN =⋅，所以2R P Q y y y -⋅=即222211231(1)(1)13112422m m m k k k k ⎛⎫ ⎪-++== ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪-+--- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．故22121314112k m m k ++⎛⎫=⎪-⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭．令112t k =-，则222221111113311244m t t m t t t t +++⎛⎫⎛⎫==++=++≥ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭．所以210,1410,m m m -≠⎧⎨++≥⎩，解得73m ≤--731m -+≤<或1m．故直线l 在x 轴上的截距的范围为(,743)[743,1)(1,)-∞---++∞． [方法三]【最优解】：设()()22,2(0),,2A a a a B b b >，由,,A F B 三点共线得22222221b a ab a a b a -==-+-，即1ab =-．所以直线MA 的方程为22(1)1a y x a =++，直线MB 的方程为2222(1)(1)11b ay x x b a -=+=+++，直线AB 的方程为22(1)1ay x a =--．设直线l 的方程为2(2)y x m m =+≠-，则222(2)(2)(2),,,1112P Q R N m a m a m a my y y x a a a a a a ----====--+++--．所以()()2222222222(2)(2)||||||11m a m a RN PN QN aa aa +-=⋅⇔=--+-．故()()2222222222221112(1)2140,2133111a a a m t t t a m t t a a a a ⎛⎫-- ⎪--+--+⎛⎫⎡⎤⎝⎭====∈ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎣⎦⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭（其中1t a a =-∈R ）．所以(,1483][1483,)m ∈-∞-++∞．因此直线l 在x 轴上的截距为(,743][743,1)(1,)2m-∈-∞---++∞．5．（2021·北京·高考真题）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>一个顶点(0,2)A -，以椭圆E 的四个顶点为顶点的四边形面积为45．（1）求椭圆E 的方程；（2）过点P (0，-3)的直线l 斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别与直线交y =-3交于点M ，N ，当|PM |+|PN |≤15时，求k 的取值范围．【详解】（1）因为椭圆过()0,2A -，故2b =，因为四个顶点围成的四边形的面积为45，故122452a b ⨯⨯=，即5a =，故椭圆的标准方程为：22154x y +=. （2）设()()1122,,,B x y C x y ，因为直线BC 的斜率存在，故120x x ≠，故直线112:2y AB y x x +=-，令3y =-，则112M x x y =-+，同理222N xx y =-+. 直线:3BC y kx =-，由2234520y kx x y =-⎧⎨+=⎩可得()224530250k x kx +-+=，故()22900100450k k ∆=-+>，解得1k <-或1k >.又1212223025,4545k x x x x k k +==++，故120x x >，所以0M N x x > 又1212=22M N x xPM PN x x y y +=++++ ()()2212121222212121222503024545=5253011114545k kkx x x x x x k k k k k kx kx k x x k x x k k --++++===---++-+++故515k ≤即3k ≤，综上，31k -≤<-或13k <≤.1．（2022·天津·一模）已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，离心率为2且6AB (1)求椭圆的方程；(2)过点A 的直线与椭圆相交于点24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭H ，与y 轴相交于点S ，过点S 的另一条直线l 与椭圆相交于M ，N 两点，且△ASM 的面积是△HSN 面积的32倍，求直线l 的方程.【解析】(1)根据题目列方程2222226a b c c a a b ⎧=+⎪⎪=⎨⎪+=⎪⎩ 解得24a =，22b =，所以椭圆的方程为22142x y +=. (2)由已知得12=-AH k ，所以，直线AH 的方程为()122y x =--，所以，S 点的坐标为()0,1.当直线l 的斜率不存在时，21=-ASM S △，213+=HSN S △，或21=+ASM S △，213-=HSN S △都与已知不符；当直线的斜率存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，()11,M x y ，()22,N x y ，由221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()2212420k x kx ++-=， 122412k x x k -+=+，122212x x k -=+， 1sin 2=⋅∠ASM S AS MS ASM △，1sin 2=⋅∠HSN S HS NS HSN △，由△ASM 的面积是△HSN 面积的32可得23=ASM HSN S S △△化简23⋅=⋅AS MS HS NS ，即23=AS NSHS MS，又3==-A HAS xHS x ，所以，2=NS MS ，即212=-x x ，也就是212x x =-，所以，12412--=+k x k ，12412=+k x k ，22812-=+k x k ，()2122223221212k x x k k --==++，解得，2114k =，所以，直线方程为14114=±+y x .2．（2022·福建·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右焦点为12,F F ，22.过点()2,0P 作直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点.若A 是椭圆C 的短轴端点时，23AF AP ⋅=.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)试判断是否存在直线l ，使得21F A ，2112F P ，21F B 成等差数列？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由. 【解析】(1) 由题意知：2c e a ==，即2a c =；当A 为椭圆的短轴端点时，不妨设()0,A b ，则()2,AF b c =-，(),2AP b =-，2223AF AP b c ∴⋅=+=，又22222a b c c =+=，22∴=b c ，即223c c +=，解得：1c =，2a ∴1b =， ∴椭圆C 的标准方程为2212x y +=；(2)设():2l y k x =-，由()22212y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩得：()2222218820k x k x k +-+-=， ()()42264421820k k k ∆=-+->，22k ⎛∴∈ ⎝⎭，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2122821k x x k +=+，21228221k x x k -=+，()()()42222121212224821221k k x x x x x x k -+∴+=+-=+，()11,0F -，()()2222221111111111112222F A x y x x x x ∴=++=++-=++，同理可得：221221222F B x x =++， ()()2242221211122248122244221x x k k F A F B x x k +++∴+=+++=++，又219F P =，()4222481224921k k k++∴+=+，整理得：4228830k k --=，即()()22211430k k -+=，解得：2k =，222k ⎛∈- ⎝⎭，∴不存在直线l 符合题意. 3．（2022·湖南·雅礼中学二模）已知曲线C ：22221(0)x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为C 的左､右焦点，过1F 作直线l 与C 交于A ，B 两点，满足115AF F B =，且1222AF F S =.设e 为C 的离心率. (1)求2e ； (2)若32e ≤2a =，过点P （4，1）的直线1l 与C 交于E ，F 两点，1l 上存在一点T 使111EP FP PT +=.求T 的轨迹方程. 【解析】 (1)由题直线l 斜率存在且不为0，设:l x my c =-，()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22221x my cx ya b =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22222221210m mc c y y ab a a ⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，则2222122122222222214,511mc c a a y y y y y y m m a b a b -+=-==-=++，消去2y ，得2222454a m c b =-，不妨设0m >，则()()122121212215452226AF F c y y y y c y y cSy +--====，整理可得64272176136330e e e -+-=，解得212e =3537-3537+（舍）. (2)由题知22:142x y C +=，若1l 斜率不存在，则与C 无交点，不合题意；若1l 斜率存在，设1:(4)1l y k x =-+，与22142x y +=联立，得()()222221416321620k x k k x k k ++-+--=，设()()1122,,,E x y F x y ，则2212122216432162,2121k k k k x x x x k k ---+==++，由()2Δ812810k k =-++>得2727k -+∈⎝⎭，设()00,T x y ，由题120111444x x x +=---，即()1212120811644x x x x x x x --=+-+-，则可得07424x k -=+，若07424x k -=+，则008954,2424k k x y k k +-+==++，消去k 得0042110x y +-=，若07424x k --=+，则0082394,2424k k x y k k ++==++，消去k 得0042250x y +-=，综上，T 的轨迹方程为42110x y +-=或42250x y +-=.4．（2022·广东深圳·二模）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>经过点3M ⎛ ⎝⎭，且焦距1223F F =,AB CD 分别是它的长轴和短轴．(1)求椭圆E 的方程；(2)若(,)N s t 是平面上的动点，从下面两个条件中选一个．．．．．．．．．．．，证明：直线PQ 经过定点． ①31,s t =≠,NA NB 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ； ②2,t s =∈R ，直线,NC ND 与椭圆E 的另一交点分别为P ，Q ．【解析】(1)由已知，3c =3M ⎛ ⎝⎭在椭圆上，所以221314a b +=，又因为222a c b -=，所以 224,1a b ==，所以椭圆的方程为：224,1a b ==.(2)选①，则()()(1,),2,0,2,0N t A B -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， ,,12312NA NB t t t k k t ====-+-所以()():2,:2,3NA NB tl y x l y t x =+=-- ()222314t y x x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()2222941616360t x t x t +++-=， ()()42222564941636360t t t ∆=-+-=>所以221636294P t x t --=+，所以2281894Pt x t -+=+，则21294P t y t =+，所以22281812,9494t t P t t ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭， ()22214y t x x y ⎧=--⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()222214161640t x t x t +-+-=， ()()422256414164160t t t ∆=-+-=>，所以22164214Q t x t -=+，所以228214Qt x t -=+，则2414Q t y t =+，所以 222824,1414t t Q t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，所以322224222124322429414818823664349414PQt tt t t t t k t t t t t t ---++===-+--+-++，所以直线PQ 的方程为：22224282143414t t t y x t t t ⎛⎫---=- ⎪+++⎝⎭，所以()()43216832162830y x t yt x t y +-++-+=，所以0,4y x ==，故直线PQ 恒过定点()4,0.选②，则()()(,2),0,1,0,1N s C D -，设()(),,,P P Q Q P x y Q x y ， 211213,,NC ND k k s s s s -+====所以13:1,:1,NC ND l y x l y x s s=+=- 221114y x s x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得：()22224240s y s y s +++-=， ()()4224444640s s s ∆=-+-=>所以2244P s y s -=+，所以284P s x s -=+，所以22284,44s s P s s ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 同理：223636Q s y s -=+，所以22436Q s x s =+，所以2222436,3636s s Q s s ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()()()2222222222364121212364248161612364PQs s s s s s s k s s s s s s s ---+⋅--++===-+-++所以直线PQ 的方程为：22224128+4164s s s y x s s s --⎛⎫-= ⎪++⎝⎭令0x =，则()()2222212+2841=22424s s s y s s --+==++ 故直线PQ 恒过定点10,2⎛⎫⎪⎝⎭.5．（2022·广东汕头·二模）如图所示，C 为半圆锥顶点，O 为圆锥底面圆心，BD 为底面直径，A 为弧BD 中点．BCD △是边长为2的等边三角形，弦AD 上点E 使得二面角E BC D --的大小为30°，且AE t AD =．(1)求t 的值；(2)对于平面ACD 内的动点P 总有OP //平面BEC ，请指出P 的轨迹，并说明该轨迹上任意点P 都使得OP //平面BEC 的理由．【解析】 (1)易知OC ⊥面ABD ，OA BD ⊥，以,,OD OA OC 所在直线为,,x y z 轴建立如图的空间直角坐标系，则(0,1,0),(1,0,0),(1,0,0),(0,0,3)A B D C -，(1,0,3),(1,1,0),(1,1,0)BC AD BA ==-=，()1,1,0(1,1,0)(1,1,0)BE BA AE BA t AD t t t =+=+=+-=+-，易知面BCD 的一个法向量为(0,1,0)OA =，设面BCE 的法向量为(,,)n x y z =，则30(1)(1)0n BC x z n BE t x t y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++-=⎪⎩，令1x =，则13(1,,)13t n t +=--，可得222131cos30213113t OA n t OA nt t +⋅-===⋅⎛⎫+⎛⎫++- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，解得13t =或3，又点E 在弦AD 上，故13t =. (2)P 的轨迹为过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线，证明如下：取AD 靠近D 的三等分点即DE 中点M ，CD 中点N ，连接,,MN OM ON ，由O 为BD 中点，易知ON BC ∥，又ON ⊄面BEC ，BC ⊂面BEC ，所以ON //平面BEC ，又MN EC ∥，MN ⊄面BEC ，CE ⊂面BEC ，所以MN //平面BEC ，又ON MN N ⋂=，所以面OMN //平面BEC ，即O 和MN 所在直线上任意一点连线都平行于平面BEC ，又MN ⊂面ACD ，故P 的轨迹即为MN 所在直线，即过AD 靠近D 的三等分点及CD 中点的直线.（限时：30分钟）1．已知圆C ：()22116x y -+=，点()1,0F -，P 是圆C 上一动点，若线段PF 的垂直平分线和CP 相交于点M .（1）求点M 的轨迹方程E .（2）A ，B 是M 的轨迹方程与x 轴的交点（点A 在点B 左边），直线GH 过点()4,0T 与轨迹E 交于G ，H 两点，直线AG 与1x =交于点N ，求证：动直线NH 过定点B .【详解】（1）由圆()22116x y -+=，可得圆心()1,0C ，半径4r =，因为24FC =<，所以点F 在圆C 内，又由点M 在线段PF 的垂直平分线上，所以MF MP =，所以4MC MF MP MC PC +=+==，由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以F ，C 为焦点的椭圆，其中2a =，1c =，23b =，所以点M 的轨迹方程为22143x y +=.（2）设直线GH 的方程为4x my =+，()11,G x y ，()22,H x y ，()2,0A -，()2,0B ，将4x my =+代入22143x y +=，得()223424360m y my +++=，1222434my y m -+=+，1223634y y m =+，直线AG 的方程为11(2)2y yxx ，令1x =得1132y y x =+，即1131,2y N x ⎛⎫⎪+⎝⎭，NH 的直线方程为121121323(1)12y y x y y x x x -+=-+-+， 2x =代入得()()()()121211211212133231231212y y y y x y x x y y x x x x --++-+=+=-+-+ 12112213(6)3(3)(1)(2)y y my y my x x -++--=-+12122146()(1)(2)my y y y x x ++=-+222136244634340(1)(2)mm m m x x -⨯+⨯++==-+，所以直线NH 过定点(2,0)B ．2．已知定点()22,0O ，点P 为圆1O ：()22232x y ++=(1O 为圆心)上一动点，线段2O P 的垂直平分线与直线1O P 交于点G ．(1)设点G 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(2)若过点2O 且不与x 轴重合的直线l 与(1)中曲线C 交于D ，E 两点，M 为线段DE 的中点，直线OM (O 为原点)与曲线C 交于A ，B 两点，且满足2MD MA MB =⋅，若存在这样的直线，求出直线l 的方程，若不存在请说明理由．【详解】(1)依题意有2111||42GO GO GO GP O P +=+==，所以G 点轨迹是以1O ，2O 为焦点的椭圆，长轴长242a =，焦距24c =，故点G 的轨迹C 方程为22184x y +=；(2)设存在直线l 满足2MD MA MB =⋅，因为()()22AM BM AO OMBO OM AO OM ⋅=+-=-，222MD AO OM =-，设l 方程为2x my =+，()11,D x y ，()22,E x y ，222184x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(2)440m y my ++-=，12242m y y m -+=+，12242y y m -=+． 22221222241642(1)11()222m m DE m y mm m m -+=+-=++=+++，222(1)m MD += 121228()42x x m y y m +=++=+，∴2242(,)22m M m m -++，2OM m k =-，224m OM +=，AB 方程为2m y x =-，设()00,A x y ，()00,B x y --，由222184m y x x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22162x m =+， ∴22222000224(1)42m m OA x y x m +=+=+⋅=+∴2222222228(1)4(4)4(4)(2)2(2)m m m m m m +++=-+++，解得：22m =或21m =-(舍)，2m =±，故存在符合条件的直线l ，其方程为220x y +-=或220x --=．3．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的离心率32e =，椭圆E 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C ，D 两点，四边形ACBD 的面积为4．（1）求椭圆E 的方程；（2）若P 是椭圆E 上一点（不在坐标轴上），直线PC ，PD 分别与x 轴相交于M ，N 两点，设PC ，PD ，OP 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，过点P 的直线l 的斜率为k ，且123k k kk =，直线l 与x 轴交于点Q ，求MQ NQ -的值．【详解】（1）由题：32c a =，且12242a b ⋅⋅=，又222a c b -=，所以2a =，1b =，所以椭圆的方程为2214x y +=．（2）设()00,P x y ，则220014x y +=即()220041x y =-，不妨设()0,1C ，()0,1D -，直线PC ：0011y y x x -=+，令0y =得001x x y =-，故00,01x M y ⎛⎫ ⎪-⎝⎭；同理可求00,01x N y⎛⎫ ⎪+⎝⎭．则200012200011114y y y k k x x x -+-=⋅==-，030y k x =，所以004x k y =-，所以直线l 为()00004x y y x x y -=--，令0y =得220004x y x x +=，又220014x y +=，故04x x =即04,0Q x ⎛⎫⎪⎝⎭． ()()0000000002881111x MQ NQ x x y y x y y x =+-=--++--，又220014x y +=即()220041x y =-，代入上式得，02002804x x MQ N x Q --==． 4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别是点A ，B ，直线2:3l x =与椭圆C 相交于D ，E两个不同点，直线DA 与直线DB 的斜率之积为14-，ABD △的面积为23. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 是直线2:3l x =的一个动点(不在x 轴上)，直线AP 与椭圆C 的另一个交点为Q ，过P 作BQ 的垂线，垂足为M ，在x 轴上是否存在定点N ，使得MN 为定值，若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【详解】解：（1）设02,3D y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由题意得0002022122433142223419DA DB y y k k a a a y y ab ⎧⋅=⋅=-⎪+-⎪⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪+=⎪⎪⎪⎩， 2214b a ⎧=∴⎨=⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）假设存在这样的点N ，设直线PM 与x 轴相交于点()0,0T x ，由题意得TP BQ ⊥，由（1）得()2,0B ，设2,3P t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,Q x y ，由题意可设直线AP 的方程为2x my =-，由22214x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()22440m y my +-=，1244m y m ∴=+或10y =(舍去)，212284m x m -=+， 223mt =-，83t m∴=， TP BQ ⊥，()0112203TP BQ x x ty ⎛⎫∴⋅=--+= ⎪⎝⎭， 210212284403233416ty m m x x m m +∴=+=+⋅⋅=-+-， ∴直线PM 过定点()0,0T ，∴存在定点()1,0N ，使得1MN =.5．如图，A ，B ，M ，N 为抛物线22y x =上四个不同的点，直线AB 与直线MN 相交于点()1,0，直线AN 过点()2,0.（1）记A ，B 的纵坐标分别为A y ，B y ，求A B y y 的值；（2）记直线AN ，BM 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数λ，使得21k k λ=？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【详解】解：（1）设直线AB 的方程为1x my =+，代入22y x =得2220y my --=，则2A B y y ⋅=-.（2）由（1）同理得2M N y y ⋅=-设直线AN 的方程为2x ny =+，代入22y x =得2240y ny --=，则4A N y y ⋅=- 又122222N A N A N A N A N A y y y y k y y x x y y --===-+-，同理22M B k y y =+ 则212222A N A N A NB M A N y y y y y y k k y y y y λ++=====--+-+ ∴存在实数2λ=，使得212k k =成立.。

地理高考等级复习经典知识点微专题训练21 河流阶地含详解

2023微专题训练21 河流阶地一、单选题下图示意渭河某河段南岸7个阶地的拔河高度（拔河高度是指河流阶地高出现代河床的相对高度），每个河流阶地均上覆黄土，黄土层底部为古土壤层，古土壤层下面为河床相砾石层。

河流阶地的形成主要受地壳运动和气候变化影响。

河流阶地下切形成于冰期向间冰期转换时期，河流堆积发生在冰期，湿润的气候影响河流的下切。

据此完成下列小题。

1．近870千年来，该河段地壳抬升幅度最大的时期形成的阶地是A．丁4B．T5C．T6D．T72．河流阶地形成于冰期向间冰期转换时期的主要原因是A．流量增大B．流速减慢C．含沙量增大D．水位下降3．每个阶地的黄土层A．形成于寒冷的冰期B．形成时间较同阶地的古土壤层早C．形成时砾石层裸露D．利于开挖成本较低的窑洞1．B通常，地壳抬升幅度最大时，河流下切作用最强，阶地的拔河高度变化最大。

读图可知，近870千年来，该河段由阶地T4到T5地壳抬升幅度最大，该时期最后形成的阶地是T5，故B正确。

2．A冰期时，寒冻风化作用强，河流中水量少，大量风化物被带至河流中，河流中上游发生大量堆积；间冰期时，河流水量增加，河流中上游发生下切侵蚀形成阶地，故A正确，B、C、D错误。

3．A渭河位于黄土高原的南部，黄土高原因风力堆积而成，因此这些阶地上的黄土来自于风力堆积。

由此可推测每个阶地上的黄土层应该是在降水较少、风力强劲的冰期沉积而成。

故A正确。

黄土层底部为古土壤层，因此黄土层形成时间较同阶地的古土壤层晚，故B错误。

砾石层位于古土壤层下部，而黄土层位于古土壤层上部，故C错误。

并不是每个阶地的黄土层都利于开挖成本较低的窑洞，故D错误。

【点睛】本题有一定难度，解答时需仔细阅读材料并联系外力作用对地表形态塑造的知识。

在地质作用下，原来的河谷底部超出一般洪水位，呈阶梯状分布在河谷谷坡上，这种地形称为河流阶地。

下图是青海黄河乡东南黄河堆积阶地实测剖面图。

读下图回答下列各题。

4．图示河流阶地形成的先后顺序是A．T1、T3、T2B．T2、T3、T1C．T1、T2、T3D．T3、T2、T15．如果河流阶地是由河漫滩演变而来的，河流阶地形成过程中主要的地质作用是A．地壳下沉B．流水侵蚀下切C．河流堆积D．地壳水平运动6．下列有关该地气候变化对河流水文特征、河流阶地影响的表述，正确的是A．气候变干旱，有利于河流阶地形成B．气候变湿润，有利于河岸堆积C．气候干湿交替，会形成系列阶地D．气候变暖湿，河流含沙量增大4．D由河流向下切侵蚀使河谷不断变深，使原先的河谷底部（河漫滩或河床）超出一般洪水位，呈阶梯状分布在河谷谷坡的地形称为阶地，阶地按上下层次分级，级数自下而上按顺序确定，越向高处年代越老，D正确。

高三语文高考试题21题考前复习策略

21题考前复习策略一、逻辑推断题（一）题型展示与试题解析说明1、逻辑仿写【2019届绵阳一诊】21.下面文字有三处推断存在问题，请参照口的方式．．另两处问题。

(5．．．．．．．，说明分)不少家长为了“充分利用”署假，给孩子报了各种补习班。

因为参与了补习班，孩子就可以得到更大的进步、更快的成长。

但其实让孩子上过多的补习班，除了须要家长付出金钱成本外,还势必割裂家庭的亲子关系。

只要刹住这股“歪风”，孩子的假期就会有蓝天白云.①参与了补习班，孩子也不确定得到更大的进步、更快的成长。

【参考答案】21.②让孩子上补习班也不确定会割裂家庭亲子关系③刹住补课“歪风”，孩子的假期也不确定就会有蓝天白云（写对一处给2分，写对两处给5分）【试题解析】逻辑推断题实际考查的是考生精确、严密、清楚地表达自己思想的实力，有参照推断句子方式的要求。

考生解答此题需抓住两点：辨清逻辑，辨明句式。

因此：不合理的推断不给分；未参按例句方式的句子不给分。

此外，2019届绵阳三诊与2019届成都一诊都考查了此种题型。

经过反复训练，信任你们已经驾驭了此类题型的应试技巧与方法。

2、逻辑分析【2019届绵阳二诊】21．标语是文字简练、意义显明的宣扬鼓动口号，它的逻辑性干脆影响到对人的感染力。

请分析．．．．．。

（5分）．．下列两条标语的不合理之处（1）起点高，动力大，目标大，成功大（2）要想成功，必先发疯，今日疯狂，明日辉煌【试题解析】此次命题是考查“逻辑与语文学习”的一次形式上的创新，与2019年的思维导图和2019年的逻辑推断错误命题一样，针对的都是公众表达的逻辑错误。

此次命题的要求是“分析”，不仅是“指出”，第(1)句的逻辑错误是说法确定，“起点高”“目标大”与“动力大”“成功大”并非确定关系，因为“动力大”不确定能坚持，当然不确定“成功大”。

第(2)句的逻辑错误是，动机不良、价值观不正确、过度的疯狂可能会导致自身迷失甚至毁灭，也就没有所谓的成功和辉煌了。

新高中地理高考专题21海洋地理-2021年高考地理真题与模拟题分类训练(教师版含解析)

2021年高考真题和模拟题地理分项汇编(全国通用)专题21海洋地理(2021·浙江高考真题)海草为海洋中的高等被子植物，有“海洋之肺”之称。

近年来所罗门群岛种植海草，形成了独特的生态系统。

下图为世界部分区域略图。

完成下面小题。

1．甲处海底宏观地形是( )A．海沟B．海岭C．海盆D．裂谷2．种植海草对当地海洋生态环境的有利影响有( )①净化水质②提供农副产品③改变洋流性质④为鱼类提供栖息地A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】1．A 2．C【解析】1．独特可知，图中板块边界为太平洋板块和印度洋板块的消亡边界，大洋板块俯冲到大陆板块以下，海底形成很深的海沟。

故选A。

2．海草被称为“海洋之肺”，可以吸收海水中的有毒有害物质，起到净化水质的功能，①正确；提供农副产品不属于对生态环境的影响，②错误；洋流是大规模的海水运动，种植水草无法改变洋流性质，且改变洋流性质未必是有利影响，③错误；海草可以减缓海水流动，附着、沉淀水中营养物质，从而为鱼类提供栖息地，④正确。

故选C。

3．(2021·山东高考真题)阅读图文资料，完成下列要求。

荷兰北部的马肯湖是围海造陆工程的遗留物，由人工堤坝与相邻水域隔开，水深仅2～4m，风浪较小(下图左)。

长期以来，马肯湖淤积严重，水体浑浊，生态系统受到损害。

2015年，荷兰政府决定采用人工群岛方案对湖泊进行治理。

该方案提出利用疏浚淤泥、人工抛沙等技术，构建由沙坝、沼泽、浅滩、沟渠和植物等组成的人工岛(下图右)。

其中，沙坝是抵挡盛行风引起的风浪的主要屏障，沼泽是由湖底淤泥堆积而成。

在风、波浪、地势高差和水流等自然力量驱动下，人工岛内外形成了弱环流。

(1)从右图中找出人工岛周边建造沙坝的合理位置，并在相应虚线框内填涂阴影。

(2)从抵御风浪的角度，分析与石质堤坝相比，沙坝所具有的优势。

(3)说明人工岛是如何实现马肯湖水环境质量改善的。

【答案】(1)答对1个得1分，答对2个得2分，答对3个得3分；错答、多答不得分。

高考物理选择题专题训练专题8 课标高考卷 21题针对训练与纠错(共24个专题)

专题8 课标高考卷 21题针对训练与纠错宣化一中刘爱民【真题体验】1.（2011 全国新课标卷）如图，在光滑水平面上有一质量为m 1的足够长的木板，其上叠放一质量为m 2的木块。

假定木块和木板之间的最大静摩擦力和滑动摩擦力相等。

现给木块施加一随时间t 增大的水平力F=kt （k 是常数），木板和木块加速度的大小分别为a 1和a 2，下列反映a 1和a 2变化的图线中正确的是（）A2.（2010 全国新课标卷）如图所示，两个端面半径同为R 的圆柱形铁芯同轴水平放置，相对的端面之间有一缝隙，铁芯上绕导线并与电源连接，在缝隙中形成一匀强磁场。

一铜质细直棒ab 水平置于缝隙中，且与圆柱轴线等高、垂直。

让铜棒从静止开始自由下落，铜棒下落距离为0．2R 时铜棒中电动势大小为，下落距离为0．8R 时电动势大小为E 。

忽略涡流损耗和边缘效应。

关于1E 、2E的大小和铜棒离开磁场前两端的极性，下列判断正确的是（）DA ．1E >2E ，a 端为正B ．1E >2E ，b 端为正C ．1E <2E ，a 端为正D ．1E <2E ，b 端为正3.（2009 宁夏卷）水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为(01)μμ<<。

现对木箱施加一拉力F ，使木箱做匀速直线运动。

设F 的方向与水平面夹角为θ，如图，在θ从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（）AC A.F 先减小后增大 B.F 一直增大C.F 的功率减小D.F 的功率不变4.（2008 宁夏卷）如图所示，C 为中间插有电介质的电容器，a 和b 为其两极板；a 板接地；P 和Q 为两竖直放置的平行金属板，在两板间用绝缘线悬挂一带电小球；P 板与b 板用导线相连，Q 板接地。

开始时悬线静止在竖直方向，在b 板带电后，悬线偏转了角度a 。

在以下方法中，能使悬线的偏角a 变大的是（）BCA.缩小a 、b 间的距离B.加大a 、b 间的距离C.取出a 、b 两极板间的电介质D.换一块形状大小相同、介电常数更大的电介质5.（2007 宁夏卷）匀强电场中的三点A 、B 、C 是一个三角形的三个顶点，AB 的长度为1 m ，D 为ABABC D的中点，如图所示。

2021-2023北京高考真题数学汇编：压轴解答题-新定义(第21题)

2021-2023北京高考真题数学汇编压轴解答题-新定义（第21题）一、解答题1．（2023·北京·统考高考真题）已知数列{}{},n n a b 的项数均为m (2)m >，且,{1,2,,},n n a b m ∈ {}{},n n a b 的前n 项和分别为,n n A B ，并规定000A B ==．对于{}0,1,2,,k m ∈ ，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k r i B A i m =≤∈∣ ，其中，max M 表示数集M 中最大的数. (1)若1231232,1,3,1,3,3a a a b b b ======，求0123,,,r r r r 的值； (2)若11a b ≥，且112,1,2,,1,j j j r r r jm +−≤+=− ，求n r ； (3)证明：存在{},,,0,1,2,,p q s t m ∈ ，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+．2．（2022·北京·统考高考真题）已知12:,,,k Q a a a 为有穷整数数列．给定正整数m ，若对任意的{1,2,,}n m ∈ ，在Q 中存在12,,,,(0)i i i i j a a a a j +++≥ ，使得12i i i i j a a a a n +++++++=，则称Q 为m −连续可表数列．(1)判断:2,1,4Q 是否为5−连续可表数列？是否为6−连续可表数列？说明理由； (2)若12:,,,k Q a a a 为8−连续可表数列，求证：k 的最小值为4；(3)若12:,,,k Q a a a 为20−连续可表数列，且1220k a a a +++< ，求证：7k ≥．3．（2021·北京·统考高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n −<=⋅⋅⋅()； ③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．参考答案1．(1)00r =，11r =，21r =，32r =(2),n r n n =∈N(3)证明见详解【分析】（1）先求01230123,,,,,,,A A A A B B B B ，根据题意分析求解；（2）根据题意题意分析可得11i ir r +−≥，利用反证可得11i i r r +−=，在结合等差数列运算求解；（3）讨论,m m A B 的大小，根据题意结合反证法分析证明.【详解】（1）由题意可知：012301230,2,3,6,0,1,4,7A A A A B B B B ========，当0k =时，则0000,,1,2,3i B A B A i ==>=，故00r =；当1k =时，则01111,,,2,3i B A B A B A i <<>=，故11r =；当2k =时，则22232,0,1,,,i B A i B A B A ≤=>>故21r =；当3k =时，则333,0,1,2,i B A i B A ≤=>，故32r =；综上所述：00r =，11r =，21r =，32r =. （2）由题意可知：nr m ≤，且n r ∈N ，因为1,1n n a b ≥≥，且11a b ≥，则10n A B B ≥>对任意*n ∈N 恒成立，所以010,1r r =≥，又因为112ii i r r r −+≤+，则11i i i i r r r r +−−≥−，即112101m m m m r r r r r r −−−−≥−≥⋅⋅⋅≥−≥，可得11i ir r +−≥，反证：假设满足11n nr r +−>的最小正整数为01j m ≤≤−，当i j ≥时，则12i i r r +−≥；当1i j ≤−时，则11i ir r +−=，则()()()112100m m m m m r r r r r r r r −−−=−+−+⋅⋅⋅+−+()22m j j m j ≥−+=−，又因为01j m ≤≤−，则()2211m r m j m m m m ≥−≥−−=+>，假设不成立，故11n nr r +−=，即数列{}n r 是以首项为1，公差为1的等差数列，所以01,nr n n n =+×=∈N .（3）因为,n n a b 均为正整数，则{}{},n n A B 均为递增数列，（ⅰ）若m m A B =，则可取0t q ==，满足,,p q s t >> 使得t p s q A B A B +=+；（ⅱ）若m m A B <，则k r m <，构建,1n n r n S B A n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数K ，使得K S m ≤−，则1,0K K r K r K B A m B A +−≤−−>，可得()()111K K K K K r r r r K r K b B B BA B A m +++−−−−>，这与{}11,2,,K r b m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意1,n m n ≤≤∈N ，均有1n S m ≥−.①若存在正整数N ，使得0N N r N S B A =−=，即N N r A B =，可取0,,N t q p N s r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈−−⋅⋅⋅−−，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y r X r Y B A B A −=−，可得X Y Y r X r A B A B +=+，可取,,,Y X p Y s r q X t r ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+；（ⅲ）若m m A B >，定义{}max ,{0,1,2,,}k i k R i A B i m =≤∈L ∣，则k R m <，构建,1n n R n S A B n m =−≤≤，由题意可得：0n S ≤，且n S 为整数，反证，假设存在正整数,1K K m ≤≤，使得K S m ≤−，则1,0K K R K R K A B m A B +−≤−−>，可得()()111K K K K K R R R R K R K a A A AB A B m +++−−−−>，这与{}11,2,,K R a m +∈⋅⋅⋅相矛盾，故对任意11,n m n ≤≤−∈N ，均有1n S m ≥−.①若存在正整数N ，使得0N N R N S A B =−=，即N R N A B =，可取0,,N q t s N p R ====，即满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+； ②若不存在正整数N ，使得0NS =，因为(){}1,2,,1n S m ∈−−⋅⋅⋅−−，且1n m ≤≤，所以必存在1X Y m ≤<≤，使得X Y S S =，即X Y R X R Y A B A B −=−，可得Y X R X R Y A B A B +=+，可取,,,Y X p R t X q R s Y ====，满足,p q s t >>，使得t p s q A B A B +=+.综上所述：存在0,0q p m t s m ≤<≤≤<≤使得t p s q A B A B +=+．2．(1)是5−连续可表数列；不是6−连续可表数列． (2)证明见解析． (3)证明见解析．【分析】（1）直接利用定义验证即可；（2）先考虑3k ≤不符合，再列举一个4k =合题即可；（3）5k ≤时，根据和的个数易得显然不行，再讨论6k =时，由12620a a a +++< 可知里面必然有负数，再确定负数只能是1−，然后分类讨论验证不行即可．*,,m n m n m n N b a p ++∀∈=+∈{},1m n m n a p a p a p a p +++++++{},1m n m n b b b b +++，由于11224141440,0,n n n n b a p b a p b a p a p b −−=+≥=+==+<+=，因此数列{}n b 为0ℜ数列. 由（2）可知:若444,(1,2,3),1n i n n N a n p i a n p ++∀∈=−==+−；11111402320a S S a p ×+−==−≥=，91010422(2)0S S a a p ×+−=−=−=−−≥，因此2p =，此时1210,,,0a a a …≤，()011j a j ≥≥，满足题意.【点睛】本题属于数列中的“新定义问题”，“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。

高考数学典型例题21 直线方程及其应用试题

智才艺州攀枝花市创界学校高考数学典型例题详解直线方程及其应用直线是最简单的几何图形，是解析几何最根底的局部，本章的根本概念；根本公式；直线方程的各种形式以及两直线平行、垂直、重合的断定都是解析几何重要的根底内容.应到达纯熟掌握、灵敏运用的程度，线性规划是直线方程一个方面的应用，属教材新增内容，高考中单纯的直线方程问题不难，但将直线方程与其他知识综合的问题是学生比较棘手的.●难点磁场(★★★★★)|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1,求证：abc +2＞a +b +c . ●案例探究［例1］某校一年级为配合素质教育，利用一间教室作为学生绘画成果展览室，为节约经费，他们利用课桌作为展台，将装画的镜框放置桌上，斜靠展出，镜框对桌面的倾斜角为α(90°≤α＜180°)镜框中，画的上、下边缘与镜框下边缘分别相距a m,b m,(a ＞b ).问学生间隔镜框下缘多远看画的效果最正确？★★★★★级题目.知识依托：三角函数的定义，两点连线的斜率公式，不等式法求最值.错解分析：解决此题有几处至关重要，一是建立恰当的坐标系，使问题转化成解析几何问题求解；二是把问题进一步转化成求tan ACB 的最大值.假设坐标系选择不当，或者选择求sin ACB 的最大值.都将使问题变得复杂起来.技巧与方法：欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 取最大值，欲求角的最值，又需求角的一个三角函数值.解：建立如以下图的直角坐标系，AO 为镜框边，AB 为画的宽度，O 为下边缘上的一点，在x 轴的正半轴上找一点C (x ,0)(x ＞0),欲使看画的效果最正确，应使∠ACB 获得最大值.由三角函数的定义知：A 、B 两点坐标分别为(a cos α,a sin α)、 (b cos α,b sin α),于是直线AC 、BC 的斜率分别为：k AC =tan xCA =xa a -ααcos sin ,于是tan ACB =AC BC AC BC k k k k ⋅+-1ααααcos )(sin )(cos )(sin )(2⋅+-+⋅-=++-⋅-=b a x xabb a x x b a ab x b a 由于∠ACB 为锐角，且x ＞0,那么tan ACB ≤ααcos )(2sin )(b a ab b a +-⋅-,当且仅当xab=x ，即x =ab 时，等号成立，此时∠ACB 取最大值，对应的点为C (ab ,0),因此，学生间隔镜框下缘ab cm 处时，视角最大，即看画效果最正确.［例2］预算用2000元购置单件为50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的总数尽可能的多，但椅子不少于桌子数，且不多于桌子数的倍，问桌、椅各买多少才行？★★★★★级题目.知识依托：约束条件，目的函数，可行域，最优解.错解分析：解题中应当注意到问题中的桌、椅张数应是自然数这个隐含条件，假设从图形直观上得出的最优解不满足题设时，应作出相应地调整，直至满足题设.技巧与方法：先设出桌、椅的变数后，目的函数即为这两个变数之和，再由此在可行域内求出最优解. 解：设桌椅分别买x ,y 张，把所给的条件表示成不等式组，即约束条件为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤≥≤+0,05.120002050y x x y x y y x 由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+72007200,20002050y x x y y x 解得 ∴A 点的坐标为(7200，7200) 由⎪⎩⎪⎨⎧==⎩⎨⎧==+27525,5.120002050y x x y y x 解得∴B 点的坐标为(25，275) 所以满足约束条件的可行域是以A (7200，7200)，B (25，275)，O (0，0)为顶点的三角形区域(如右图)由图形直观可知，目的函数z =x +y 在可行域内的最优解为(25，275)，但注意到x ∈N ,y ∈N *,故取y =37.故有买桌子25张，椅子37张是最好选择.［例3］抛物线有光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y 2=2px (p ＞0).一光源在点M (441,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P ，折射后又射向抛物线上的点Q ，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l ：2x －4y －17=0上的点N ，再折射后又射回点M (如以下图所示)(1)设P 、Q 两点坐标分别为(x 1,y 1)、(x 2,y 2)，证明：y 1·y 2=－p 2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M 关于PN 所在的直线对称？假设存在，恳求出此点的坐标；假设不存在，请说明理由.★★★★★★级题目.知识依托：韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程. 错解分析：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ 的斜率不存在时. 技巧与方法：点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键. (1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ 必过抛物线的焦点F (2p，0)，设直线PQ 的方程为y =k (x －2p) ①由①式得x =k 1y +2p ,将其代入抛物线方程y 2=2px 中，整理，得y 2－k p 2y －p 2=0,由韦达定理，y 1y 2=－p 2.当直线PQ 的斜率角为90°时，将x =2p代入抛物线方程，得y =±p ,同样得到y 1·y 2= －p 2.(2)解：因为光线QN 经直线l 反射后又射向M 点，所以直线MN 与直线QN 关于直线l 对称，设点M (441，4)关于l 的对称点为M ′(x ′,y ′)，那么⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+'⨯-+'⨯-=⨯-'-'017244244121214414y x x y 解得⎪⎩⎪⎨⎧-='='1451y x 直线QN 的方程为y =－1,Q 点的纵坐标y 2=－1，由题设P 点的纵坐标y 1=4，且由(1)知：y 1·y 2=－p 2,那么4·(－1)=－p 2,得p =2,故所求抛物线方程为y 2=4x .(3)解：将y =4代入y 2=4x ,得x =4，故P 点坐标为(4，4)将y =－1代入直线l 的方程为2x －4y －17=0,得x =213, 故N 点坐标为(213，－1) 由P 、N 两点坐标得直线PN 的方程为2x +y －12=0, 设M 点关于直线NP 的对称点M 1(x 1,y 1) 又M 1(41,－1)的坐标是抛物线方程y 2=4x 的解，故抛物线上存在一点(41，－1)与点M 关于直线PN 对称.●锦囊妙计1.对直线方程中的根本概念，要重点掌握好直线方程的特征值(主要指斜率、截距)等问题；直线平行和垂直的条件；与间隔有关的问题等.2.对称问题是直线方程的一个重要应用，里面所涉及到的对称一般都可转化为点关于点或者点关于直线的对称.中点坐标公式和两条直线垂直的条件是解决对称问题的重要工具.z =ax +by 的最大值或者最小值时，设t =ax +by ,那么此直线往右(或者左)平移时，t 值随之增大(或者减小)，要会在可行域中确定最优解.4.由于一次函数的图象是一条直线，因此有关函数、数列、不等式、复数等代数问题往往借助直线方程进展，考察学生的综合才能及创新才能.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★★)设M =120110,1101102002200120012000++=++N ，那么M 与N 的大小关系为()A.M ＞NB.M =NC.M ＜N2.(★★★★★)三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为() 二、填空题3.(★★★★)直线2x －y －4=0上有一点P ，它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的间隔之差最大，那么P 点坐标是_________.4.(★★★★)自点A (－3，3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0相切，那么光线l 所在直线方程为_________.5.(★★★★)函数f (θ)=2cos 1sin --θθ的最大值为_________，最小值为_________.6.(★★★★★)设不等式2x －1＞m (x 2－1)对一切满足|m |≤2的值均成立，那么x 的范围为_________.三、解答题7.(★★★★★)过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.(1)证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.8.(★★★★★)设数列{a n }的前n 项和S n =na +n (n －1)b ，(n =1,2,…),a 、b 是常数且b ≠0. (1)证明：{a n }是等差数列. (2)证明：以(a n ,nS n－1)为坐标的点P n (n =1,2,…)都落在同一条直线上，并写出此直线的方程. (3)设a =1,b =21,C 是以(r ,r )为圆心，r 为半径的圆(r ＞0)，求使得点P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围.参考答案难点磁场证明：设线段的方程为y =f (x )=(bc －1)x +2－b －c ,其中|b |＜1,|c |＜1,|x |＜1,且－1＜b ＜1. ∵f (－1)=1－bc +2－b －c =(1－bc )+(1－b )+(1－c )＞0f (1)=bc －1+2－b －c =(1－b )(1－c )＞0∴线段y =(bc －1)x +2－b －c (－1＜x ＜1)在x 轴上方，这就是说，当|a |＜1,|b |＜1,|c |＜1时，恒有abc +2＞a +b +c .歼灭难点训练一、1.解析：将问题转化为比较A (－1，－1〕与B (102021，102000〕及C (102021，102021〕连线的斜率大小，因为B 、C 两点的直线方程为y =101x ，点A 在直线的下方，∴k AB ＞k AC ,即M ＞N . 答案：A2.解析：设三角形的另外两边长为x ,y ,那么点(x ,y 〕应在如右图所示区域内当x =1时，y =11；当x =2时，y =10,11；当x =3时，y =9,10,11；当x =4时，y =8,9,10,11; 当x =5时，y =7,8,9,10,11.以上一共有15个，x ,y 对调又有15个，再加上(6，6〕，(7，7〕，(8，8〕，(9，9〕，(10，10〕、(11，11〕六组，所以一共有36个.答案：C二、3.解析：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 答案：P (5，6〕4.解析：光线l 所在的直线与圆x 2+y 2－4x －4y +7=0关于x 轴对称的圆相切.答案：3x +4y －3=0或者4x +3y +3=0 5.解析：f (θ)=2cos 1sin --θθ表示两点(cos θ,sin θ)与(2,1)连线的斜率.答案：340 6.解析：原不等式变为(x 2－1)m +(1－2x )＜0,构造线段f (m )=(x 2－1)m +1－2x ,－2≤m ≤2,那么f (－2)＜0,且f (2)＜0.答案：213217+<<-x 三、7.(1)证明：设A 、B 的横坐标分别为x 1、x 2，由题设知x 1＞1,x 2＞1, 点A (x 1,log 8x 1),B (x 2,log 8x 2).因为A 、B 在过点O 的直线上，所以228118log log x x x x =,又点C 、D 的坐标分别为(x 1,log 2x 1〕、(x 2,log 2x 2). 由于log 2x 1=3log 8x 1,log 2x 2=3log 8x 2,那么由此得k OC =k OD ,即O 、C 、D 在同一直线上.(2)解：由BC 平行于x 轴，有log 2x 1=log 8x 2,又log 2x 1=3log 8x 1 ∴x 2=x 13将其代入228118log log x x x x =,得x 13log 8x 1=3x 1log 8x 1, 由于x 1＞1知log 8x 1≠0,故x 13=3x 1x 2=3,于是A (3，log 83).9.(1)证明：由条件，得a 1=S 1=a ,当n ≥2时，有a n =S n －S n －1=［na +n (n －1)b ］－［(n －1)a +(n －1)(n －2)b ］=a +2(n －1)b . 因此，当n ≥2时，有a n －a n －1=［a +2(n －1)b ］－［a +2(n －2)b ］=2b . 所以{a n }是以a 为首项，2b 为公差的等差数列.(2)证明：∵b ≠0,对于n ≥2,有21)1(2)1()1(2)1()11()1(11=--=--+--+=----b n b n a b n a aa bn n na a a S n S n n∴所有的点P n (a n ,nS n －1)(n =1,2,…)都落在通过P 1(a ,a －1)且以21y －(a －1)=21(x －a ),即x －2y +a－2=0.(3)解：当a =1,b =21时，P n 的坐标为(n ,22-n ),使P 1(1,0)、P 2(2,21)、P 3(3,1)都落在圆C 外的条件是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-+->-+->+-222222222)1()3()21()1()1(r r r r r r r r r ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+->+->-010*******)1(222r r r r r 即由不等式①,得r ≠1 由不等式②，得r ＜25－2或者r ＞25+2 由不等式③，得r ＜4－6或者r ＞4+6再注意到r ＞0,1＜25－2＜4－6=25+2＜4+6 故使P 1、P 2、P 3都落在圆C 外时，r 的取值范围是(0，1)∪(1,25－2)∪(4+6,+∞). ①② ③。

高考数学专题三数列微专题21 等差数列、等比数列

设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，且q>0，因为 S14＝7(a10＋3)，则 14a1＋14×2 13d＝7(a1＋9d＋3)，可得 a1＋4d＝ 3，即 a5＝3，
因为b5＝b＝16，则b1q4＝(b1q)4＝16，可得q＝2，b1＝1，因为cn＝an＋bn，所以T9＝c1＋c2＋…＋c9＝(a1＋a2＋…＋a9)＋(b1＋b2＋…＋b9) ＝a1＋2 a9×9＋b111－－qq9＝a5×9＋11－－229 ＝3×9＋11－－229＝538.
①
由 a1＋S11＝67，得 12a1＋11×2 10d＝67，即 12a1＋55d＝67.
②
由①②解得a1＝1，d＝1，所以an＝n，于是a3a10＝3×10＝30，而a30＝30，故a3a10是{an}中的第30项.
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2.(2023·武汉模拟)已知等比数列{an}满足a6＝2，且a7，a5，a9成等差数列，
(2)(2023·新高考全国Ⅰ)设等差数列{an}的公差为 d，且 d>1.令 bn＝n2a＋n n，记 Sn，Tn 分别为数列{an}，{bn}的前 n 项和. ①若 3a2＝3a1＋a3，S3＋T3＝21，求{an}的通项公式；
∵3a2＝3a1＋a3， ∴3d＝a1＋2d，解得a1＝d， ∴S3＝3a2＝3(a1＋d)＝6d，
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3.记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a5－a3＝12，a6－a4＝24，则Sann等于
A.2n－1
√B.2－21－n
C.2－2n－1
D.21－n－1
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方法一设等比数列{an}的公比为q，则 q＝aa65－－aa43＝2142＝2. 由a5－a3＝a1q4－a1q2＝12a1＝12，得a1＝1. 所以 an＝a1qn－1＝2n－1，Sn＝a111－－qqn＝2n－1，所以Sann＝22n－n－11＝2－21－n.

2023北京高考数学21题

高考数学试卷一、单选题1.已知m 3=n 4，那么下列式子中一定成立的是（）A ．4m =3nB ．3m =4nC ．m =4nD ．mn =12 2.某学校党支部评选了5份优秀学习报告心得体会（其中教师2份，学生3份），现从中随机抽选2份参展，则参展的优秀学习报告心得体会中，学生、教师各一份的概率是（）A ．120B ．35C ．310D ．9103.已知集合{}3,1,0,2,3,4A =--，{|0R B x x =≤或3}x >，则A B =（）A.∅B.{}3,1,0,4--C.{}2,3D.{}0,2,34.复数满足(12)3z i i -=-，则z 在复平面内对应的点在（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线3y x =上，则sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（） A.25255 D.56.设32x y +=，则函数327x y z =+的最小值是（）A.12B.6C.27D.307.已知函数()2,01ln ,0x x f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，()()g x f x x a =--.若()g x 有2个零点，则实数a 的取值范围是（）A.[)1,0-B.[)0,∞+C.[)1,-+∞D.[)1,+∞8．若命题甲：10x -=，命题乙：2lg lg 0x x -=，则命题甲是命题乙的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分也非必要条件9.命题：00x ∃≤，20010x x -->的否定是（）A ．0x ∀>，210x x --≤B ．00x ∃>，20010x x -->C ．00x ∃≤，20010x x --≤D ．0x ∀≤，210x x --≤10．函数21x y x +=-的定义域为( )A ．{|21}x x x >-≠且B ．{|21}x x x ≥-≠且C ．)[(21,1,)-⋃+∞D ．)((21,1,)-⋃+∞11.下列函数中，既是偶函数又在区间(0),-∞上单调递增的是（）A ．2(1)f x x =B ．()21f x x =+C ．()2f x x =D ．()2x f x -=12.已知函数()11f x x x =--，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（）A ．14 ,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12 ,1⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．(1,2)D ．(2,3)二、填空题13．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，现按年级用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高三年级的学生数为15，则抽取的样本容量为_______14.已知球的体积为36π，则该球大圆的面积等于______.三、解答题15.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2c cosC b cosA acosB ⋅=⋅+(1)求角C ；(2)若9a =，1cos 3A =-，求边c 16.已知函数1()2f x x x =+-（1）用定义证明函数()f x 在(0,1]上是减函数，在[1,)+∞上是增函数；（2）当函数()lg y f x k =-有两个大于0的零点时，求实数k 的取值范围17.已知函数2()2sin cos 233(0)f x x x x ωωωω=+>的最小正周期为π.（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）将函数()f x 的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，若()y g x =在[0,](0)b b >上至少含有10个零点，求b 的最小值.18.25(0),()8(0).x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩14．正方体的棱长扩大到原来的倍，其表面积扩大到原来的多少倍？19.已知α、β是方程24420x mx m -++=的两个实根，设()22f m a β=+（1）求函数()f m 的解析式；（2）当m 为何值时，()f m 取得最小值？20.已知x+y=7,xy=-8，求：（1）x2+y2的值；（2）（x-y ）2的值.（3）若不等式f （2x ）≧m ·2x 对x ЄR 恒成立，求实数m 的取值范围。

2020年北京高考数学21题

2020年北京高考数学21题2020年北京高考数学21题是一道较为复杂的数学题目，涉及到平面向量、几何概念和空间向量的知识。

本题要求回答一个平面上的向量问题，需要运用向量的知识进行推导和计算。

首先，让我们来看一下题目的具体内容。

题目给出了一个平面上的三角形ABC，其中AB的长度为3，BC的长度为4，AC的长度为5。

另外，还给出了一个点D，使得AD的长度为2。

我们需要计算向量BD的模长。

要解决这个问题，我们可以运用向量的几何性质和运算规则。

首先，我们可以计算向量AB和向量AC的模长，根据向量的定义，向量的模长可以通过向量的坐标表示，即向量的模长等于坐标的平方和的开方。

向量AB的坐标表示为(3, 0)，向量AC的坐标表示为(-3, 4)。

根据向量的模长计算公式，我们可以得到向量AB的模长为√(3^2 + 0^2) = 3，向量AC的模长为√((-3)^2 + 4^2) = 5。

接下来，我们可以使用向量的减法运算，计算向量BD的坐标。

向量BD的坐标可以表示为向量AB减去向量AD的坐标，即向量BD = 向量AB - 向量AD。

向量AB的坐标为(3, 0)，向量AD的坐标为(2, 0)，根据向量的减法运算规则，我们可以得到向量BD的坐标为(3-2, 0-0) = (1, 0)。

最后，我们可以计算向量BD的模长，根据向量的模长计算公式，向量BD的模长为√(1^2 + 0^2) = 1。

因此，根据题目要求，向量BD的模长为1。

通过以上的计算过程，我们可以得出结论，向量BD的模长为1。

这个结果是通过向量的运算和几何知识得出的。

在解决这道题的过程中，我们运用了向量的模长计算公式、向量的减法运算规则和向量的坐标表示等知识。

这道题目不仅考察了对向量的理解和运用，还涉及到了平面几何的概念和计算。

通过解决这道题，我们不仅加深了对向量和几何的理解，还培养了分析问题和解决问题的能力。

在高考数学中，向量是一个重要的考点，掌握向量的概念、性质和运算规则，对于解决数学题目和提高数学成绩都有很大的帮助。