沉降_时间曲线呈_S_型的证明_从一维固结理论角度

m =1, 3, 5
∑
∞
1 ð2 = （见附录） ，故： m2 8
∑
n =1
∞
1 ð2 = 的数学证明 2 ( 2n − 1) 8 ð2 (−1) n cos n x +4 3 n2 n =1
∞ ð 2 m 2 p dS t 1 8 = mV h 0 1 − 2 exp − 4 TV t 0 ð m =1,3, 5 m 2 dt 2 p 8 ð > mV h 0 1− 2 ⋅ =0 t0 ð 8 (19) d(S t ) 即 >0 dt
第 25 卷第 1 期 2004 年 1 月
文章编号： 1000－7598－(2004) 01―0020―03
岩 土 力 学 Rock and Soil Mechanics
Vol.25 No.1 Jan. 2004
沉降-时间曲线呈“S”型的证明
——从一维固结理论角度 梅国雄 1, 3, 4，宰金珉 1，殷宗泽 2，赵维炳 3，殷建华 4
p u = (1 − ) S ∞ = mV h 0 t − umV h t0 u0 故： dS t p du = mV h 0 − mV h dt t0 dt d 2 St d2u = − m h V dt 2 dt 2
(12)
孔压定义的固结度 U u 相等，有： (6)
(13)
(14)
∫
H 0
σ dz = H
∑
∞
2.1 数学模型的建立 假定荷载在施工期荷载呈直线上升，完工后便
ð 2 m2 exp − (TV − TV 0 ) 4 (2)
收稿日期：2002-9-26. 基金项目：国家自然科学基金（50279021、50278042） 作者简介：梅国雄：男，1975 年出生，博士后，主要从事固结理论，土压力理论，土与结构物共同作用方面的研究和教学工作。
(17) 因− ð m ð m TV TV < 0 ， 故 exp − 从而有： <1， 4 4
2 2 2 2
m =1, 3, 5
∑
∞
ð m 1 1 exp < − TV 2 2 4 m m =1,3,5 m
2 2
∑
∞
(18)
附 录：
可证明：
2
性加载或近似线性加载情况下，沉降- 时间曲线呈 (16) “S”型，为文献[1]建立新的沉降-时间预测模型奠 定了坚实的理论基础。
ð 2 m2 exp − 4 TV <0 有： dS t p 8 = mV h 0 1 − 2 dt t0 ð
参 考 文 献
m =1, 3, 5
∑
ð 2m2 1 1 − exp − TV0 4 m 4
m =1, 3, 5
∑
∞
1 m4
2
ð 2 m2 1 − exp − 4 TV 0 ⋅
ð 2 m2 exp − (TV − TV0 ) 4 (5) 需指出的是，Das B. M. 对上述线性加载的固 结问题作出了杰出的贡献，给出了解析表达式[2]， 但未讨论表达式的数学属性，笔者以下对此进行探 讨，证明了 S-t 曲线呈“S”形。
由： d(u ) 32 p0 = d t ð 4 TV 0 = 8 p0 ð 2 t0
p0 亦为一常数，故对时间 t 求导，可得： =− 1 ⋅du u0 d t
m =1, 3, 5
∑
∞
ð 2 m2 1 ð 2 m 2 CV exp − 4 TV m4 4 H 2
∑
将 f ( x) = x 2 按余弦展开成傅立叶级数有： f ( x) = x 2 =
2
∑
∞
(－π≤x≤π)
(1) 将 f ( x) = x 在区间（0, 2π）内展开成傅立叶级数 有： f ( x) = x 2 = 4ð 2 cos( nx) +4 − 4ð 3 n2 n =1 （0≤x≤2π）
（1.College of Civil Engineering, Nanjing University of Technolgy, Nanjing 210009, China; 2.Research Institute of Geotechnical Engineering, Hohai University, Nanjing 210098，China; 3. Geotechnical Engineering Department, Nanjing Hydraulic Research Institute, Nanjing 210024, China; 4. Department of Civil & Structural Engineering, The Hong Kong Polytechnic University, Hong Kong, China）
Abstract: Based on one-dimensional consolidation theory, that the settlement-time curve appears “S” shape under linear loading or nearly linear loading is proved strictly. Key words: consolidation theory; linear loading; S-t curve
m =1, 3, 5
∑
∞
ð m 1 exp − T V m2 4
2 2
[1] [2] [3]
宰金珉, 梅国雄. 全过程的沉降量预测方法研究[J]. 岩 土力学, 2000, 20(4): 322－325. 殷宗泽. 土体沉降与固结[M]. 北京: 中国电力出版社, 1998. Das B M. Advanced Soil Mechanics[M]. New York: McGraw-Hill Book Company, 1983.
(2) 当 t > t0 时： u= 16 p0 ð 3 TV0 ð 2 m2 1 mð z sin 1 − exp − TV0 3 ⋅ m 4 2H m =1, 3, 5
2
从一维固结角度证明线性加载下 沉降-时间曲线呈“S”型
p po
ð 2 m2 ð 2 m 2 CV exp (TV − TV0 ) > 0 − − 2 4 H 4 (10) 因−
S∞ < 0 为一负值，故： p0
d(S t ) d 2 (S t ) >0和 <0 dt d t2
(2) 当 0 < t ≤ ≤ t 0 时：
（1. 南京工业大学土木工程学院，江苏 南京 210009；2. 河海大学岩土工程研究所，江苏 南京 210098； 3. 南京水利科学研究院土工所，江苏 南京 210024；4. 香港理工大学土木结构工程系，香港）
摘 关
要：从一维固结理论出发，严格证明了在线性加载或近似线性加载情况下（这和工程实际加载相类似） ，沉降-时间曲线 键 词：固结理论；线性加载；沉降-时间曲线 文献标识码：A
≤ t0 范围内，
（0≤x≤2π） 从而有：
(2) (3)
∑
∞
1 m4
ð 2 m2 1 − exp − 4 TV 0 ⋅ ห้องสมุดไป่ตู้
(2) 当 t > t 0 时： u= 32 p0 ð 4 TV 0
ð 2 m2 ð 2 m 2 CV exp (TV − TV0 ) < 0 − − 2 4 H 4 (9) d 2 (u ) 32 p0 = 4 d t2 ð TV0
保持不变，如图 1 所示。按一维固结理论可以求得 任一时刻的孔隙水压力[2]： (1) 当 0 < t ≤ ≤ t0 时： u= 16 p0 ð 3 TV 0
∞
m =1, 3, 5
∑m
1
3
ð 2 m2 mð z sin TV ) 1 − exp( − 2 4 H (1)
∑
∞
∑
n =1
∞
d 2 (S t ) 32 p d 2 (u ) = − m h = mV h 4 0 ⋅ V 2 2 dt dt ð TV0
sin( nx) n
m =1, 3, 5
∑
∞
1 m4
ð 2 m 2 CV ð 2 m2 ⋅ exp 4 − 4 TV >0 H2
∫
H
0
u dz H
(3)
≤ t 时： (1) 当 0 < t ≤ 0
32 p u= 4 0 ð TV 0
m =1, 3, 5
∑
∞
∞
ð 2 m 2 1 − 1 exp − 4 TV m4
(4)
d(u ) 32 p0 = 4 dt ð TV 0
m =1, 3, 5
呈“S”型。 中图分类号：TU433
Proof of s-t curve appearing “S” shape based on one-dimensinal consolidation theory
MEI Guo-xiong1, 3, 4, ZAI Jin-min1, YIN Zong-ze2, ZHAO Wei-bing3, YIN Jin-hua4
()
(7)
m =1, 3, 5
∑
∞
ð 2 m2 1 exp − 4 TV m2 (15)
22
岩
土
力
学
2004 年
32 p d2 u =− 4 0 2 dt ð TV0
()
1 m4 m =1, 3, 5
∑
∞
ð 2 m 2 CV 4 H2 ⋅
第1期
梅国雄等：沉降-时间曲线呈“S”型的证明
21
式中 TV 0 = 力：
CVt0 C t ， TV = V2 。 2 H H 由上两式可推得土层深度内平均的孔隙水压 u=
从而有： d(S t ) S d (u ) =− ∞ ⋅ dt p0 d t 以下讨论 d(u ) d 2 (u ) 和 ： dt d t2 (8)
S ∞ = mV hp = mV h p0 t ， u0 = t0
∫
H
0
p σ dz = 0 t t0 H
K 第一章 t0 t
(11) 有： S t = U S S∞ = U u S∞ = S∞ ( u0 − u ) u0
图 1 加荷与时间关系曲线 Fig.1 Load-time curve
2.2
沉降-时间曲线呈“S”型的证明 对于均质地基， 由按位移定义的固结度 U S 和按 St u −u u = US = U u = 0 =1− S∞ u0 u0 (1) 当 t > t0 时 S ∞ = mV hp = mV hp0 为 一 常 数 ， u0 = St d S ∞ dt u d 1 d(S ) u = t =− 0 S∞ d t dt
1
引 言
目前， 大多数的沉降-时间关系的预测模型都是 基于瞬时加载的情形， 为了模拟实际的工程情况 （线 性加载或近似线性加载过程） ，通常需进行时间修 正。 笔者曾建立了一个考虑施工全过程的沉降-时间 预测新方法[1]，但对曲线的性状，仅进行了机理上 的探讨，没有详细的数学力学证明。本文将从一维 固结理论出发，严格地证明在线性加载或近似线性 加载情况下，沉降-时间曲线呈“S”型。
2
(20)
在式(1)中令 x = ð ，有： ð2 = ð2 (−1) n ð2 1 n +4 ( − 1 ) = +4 2 3 n 3 n2 n =1 n =1
d(S t ) d 2 (S t ) 故 >0和 >0 dt d t2
∑
∞
∑
∞
d(S t ) >0和 dt d 2 (S t ) d(S t ) d 2 (S t ) > 0 ； 在 t > t 范围内， > 0 和 < 0。 0 d t2 dt d t2 沉降量 S t 在整个过程中，不断地增长，但在前期 综上所述： St 在 0 < t