第九章目标规划——多目标线性规划
目标规划
这时:
(、 )
()
()要求不超过目标值,即允许达不到目标值,但 尽量不超过目标
值,也就是正偏差尽量小。这时:
()
()
()要求超过目标值,即超过量不限,必须是 负偏差变量要尽可能 地小。这时:
()
()
对每一个具体目标规划问题,可根据决策者的要 求和赋予各目 标的优先因子来构造目标函数,以下用 例子说明。
第三优先级:装配电视机的数量尽量满足市场的需要 。又因彩色电视机的利润高,我们取其权系数为。
试建立该问题的目标规划模型,并求解黑白和彩 色两种电视机的产量。 解:设 、 分别表示彩色和黑白电视机的产量。 这个问题的目标规划问题的数学模型为:
Min
Z
P1d1
P2d
2
P3 (2d3
d4 )
+≤
+≤
()非负约束
≥ 、- ≥
第一:完成或超额完成利润指标
第二:产品甲不能超过件
钢材
产品乙不能超过件
煤
第三:现有钢材刚好用完
、达成函数 (- -)
设备台时
利润
-
(利润完成,若小于, -↓)
+
(甲不超过, +↓ )
-
(乙不能超过件, -↓)
- (钢材刚好用完)
若-= =, 说明钢材用了+,
即、-可不满足这就是目标规划的好处)
x1
x2
d1
d1
0
x1
2 x2
d
2
d
2
10
8 x1 10 x2
d
3
d
3
线性规划的定义及解题方法
线性规划的定义及解题方法线性规划是一种数学建模技术,旨在解决在约束条件下,寻求最优解的问题。
它的实际应用十分广泛,例如管理学、经济学、物流学等领域。
线性规划可以分为单目标和多目标两种,但其中比较常见的是单目标线性规划。
本文将从线性规划的定义、模型建立、求解方法等方面阐述其原理与应用。
一、线性规划的定义线性规划的定义是:在有限约束条件下,目标函数为线性的最优化问题。
它通过数学模型的建立,将涉及到的变量、约束条件与目标函数转化为线性等式或不等式的形式,从而寻找最优解。
通常,线性规划的目标是最大化或最小化某个变量,可以用以下的形式去表示:$$Z=C_1X_1+C_2X_2+……+C_nX_n $$其中,$Z$为目标函数值,$X_1, X_2,……,X_n$为待求变量,$C_1, C_2,……,C_n$为相应的系数。
在线性规划中,会涉及到许多变量,这些变量需要受到一些限制。
这些限制可以用不等式或等式来表示,这些方程式被称为约束条件。
例如:$$A_1X_1+A_2X_2+……+A_nX_n≤B$$$$X_i≥0, i=1,2,……, n $$这两个方程就代表了一些约束条件,例如目标函数系数的和不能超过某个值,若$X_i$为生产的产品数量,则需保证产量不能小于零等。
这些约束条件用于限制变量的取值范围,而目标函数则用于求解最优解。
二、线性规划的模型建立在建立线性规划模型时,需要考虑几个要素:1. 决策变量:它是模型求解的关键。
决策变量是指在模型中未知的数量,也就是需要我们寻找最优解的那些变量。
2. 目标函数:确定目标函数,既要知道最大化还是最小化,还要知道哪些变量是影响目标函数的。
3. 约束条件:约束条件通常是一组等式或不等式,代表问题的限制。
例如在一个工厂中最大的生产量、原材料的数量限制、人工的数量等等,这些都是约束条件。
4. 模型的参数:模型参数是指约束条件的系数和模型中的常数。
它们是从现实问题中提取出来的,由于模型的解法通常是数学的,因此需要具体的数值。
第9章目标规划
d
2
400 560
(1) (2)
2x1
2x2
d
3
d
3
120
(3)
x1
2.5x2
d
4
d
4
100
(4)
x1、x2
,
d
j 、d
j
0,
j
1,,4
满意解是线段 BC 上任意点,端点的
解是 B(100/3,80/3),C(60,0). 决策者根据实际情形进行二次选择.
原材料供应严格限制 2x1+x2≤11
考虑级别: 第一级: (1)产品乙的产量不低于产品甲的产量
∵ x1≤x2
∴ x1- x2 ≤0
∴ x1-x2+ d1- - d1+=0
第二级:(2)充分利用设备有效台时,不加班 x1+2x2+ d2- - d2+=10
第三级: (3充)分利利润用不设小于56元
(6)
x1, x2 di , di 0 (i 1, , 4)
C
(3) d1
d1 2
A
min d3 d3
满意解 C(3,3)
min d1
x1
o
2
4
6
图2-1
满意解X=(3,3)
问题1:最后的利润是多少?
20x1+40x2+d1—d1+=80 x1=3, x2=3 得到d1+=100 利润=180
目标约束: ①在绝对约束中加入正负偏差量就变为目
标约束; ②线性规划问题的目标函数,在给定目标
韩伯棠管理运筹学(第三版)_第九章_目标规划
• step • • • • • • • • • • • • •
3 目标函数值为 : 1100 变量 解 相差值 --------------------x1 166.667 0 x2 250 0 d10 0 d1+ 36666.667 0 d233.333 0 d2+ 0 15.167 d30 26 d3+ 0 26 d41100 0 d4+ 0 2
练习:某厂生产Ⅰ、Ⅱ 两种产品,有关数据如 表所示。试求获利最大 的生产方案?
Ⅰ 原材料 设备(台时) 2 1
Ⅱ 1 2
拥有量 11 10
单件利润
8
10
在此基础上考虑: 1、产品Ⅱ的产量不低于产品Ⅰ的产量; 2、充分利用设备有效台时,不加班; 3、利润不小于 56 元。 解: 分析 第一目标:P1d1 即产品Ⅰ的产量不大于Ⅱ的产量。 第二目标: P2 ( d2 d2 )
运筹学
运筹谋划
一石多鸟
第九章 目标规划
1
第七章
目标规划
• §1 目标规划问题举例 • §2 目标规划的图解法
• §3 复杂情况下的目标规划
• §4.加权目标规划
2
§1 目标规划问题举例
例1.企业生产 • 不同企业的生产目标是不同的。多数企业 追求最大的经济效益。但随着环境问题的 日益突出,可持续发展已经成为全社会所 必须考虑的问题。因此,企业生产就不能 再如以往那样只考虑企业利润,必须承担 起社会责任,要考虑环境污染、社会效益、 公众形象等多个方面。兼顾好这几者关系, 企业才可能过引入目标值和偏差变量,可 以将目标函数转化为目标约束。 目标值:是指预先给定的某个目标的一个 期望值。 实现值或决策值:是指当决策变量xj 选定 以后,目标函数的对应值。 偏差变量(事先无法确定的未知数):是 指实现值和目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量:表示实现值超过目标值的部 分,记为 d+。 负偏差变量:表示实现值未达到目标值的 部分,记为 d-。
多目标线性规划图解法满意解条件
多目标线性规划图解法满意解条件线性规划的图解法对于两个决策变量的线性规划可用作图方法来求解。
图解法求解线性规划问题的步骤如下:分别取决策变量x1,x2为坐标向量建立直角坐标系。
画出线性规划的约束区域;画出目标函数等值线;平行移动目标函数等值线,找到最优解。
*线性规划的图解法例1:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备,生产甲、乙两种产品。
每件产品在生产中需要占用的设备机时数,每件产品可以获得的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示:?产品甲产品乙设备能力(h)设备A3265设备B2140设备C0375利润(元/件)15002500?*线性规划的图解法问题:工厂应如何安排生产可获得最大的总利润?用图解法求解。
解:设变量xi为第i 种(甲、乙)产品的生产件数(i=1,2)。
根据前面分析,可以建立如下的线性规划模型:Maxz=1500x1+2500x2s。
t.3x1+2x2≤65(A)2x1+x2≤40(B)3x2≤75(C)x1,x2≥0(D,E)*线性规划的图解法以决策变量x1,x2为坐标轴建立平面直角坐标系。
考虑约束条件3x1+2x2≤653x1+2x2=65是一个直线方程画出这条直线。
约束3x1+2x2≤65是半个平面同理约束条件2x1+x2≤40也是半个平面。
线性规划的图解法整个约束区域是由直线3x1+2x2=65;2x1+x2=40;3x2=75;x1=0;x2=0所围在约束区域中寻找一点使目标函数最大。
约束区域*线性规划的图解法作出目标函数的等值线:1500x1+2500x2=7500将目标函数等值线沿增大方向平行移动。
*线性规划的图解法图解法求解线性规划最优解是3x1+2x2=65(A线)和3x2=75(C线)两直线的交点。
*线性规划的图解法任意给定目标函数一个值作一条目标函数的等值线,并确定该等值线平移后值增加的方向,平移此目标函数的等值线,使其达到既与可行域有交点又不可能使值再增加的位置,得到交点(5,25)T,此目标函数的值为70000。
目标规划和线性规划的区别]
(Goal programming)
目标规划概述 目标规划的数学模型
目标规划的图解法 目标规划的单纯形法
一、目标规划概述
目标规划是在线性规划的基础上,为适应经济管理 中多目标决策的需要而逐步发展起来的一个分支。
(一)、目标规划与线性规划的比较
1、线性规划只讨论一个线性目标函数在一组线性约束 条件下的极值问题;而目标规划是多个目标决策,可求 得更切合实际的解。
(二)、目标规划的基本概念
例题4—1
线性规划模型为:
maxZ = 8x1 + 10 x2 2x1 + x2 ≤11 ①
x1 +2x2 ≤10 ②
x1, x2≥0 X*=(4,3)T Z*=62
目标函数的地位突出,约束条件是必须严 格满足的等式或不等式,是绝对化的“硬约 束”,此种问题若要求太多时,很容易相互矛 盾,得不到可行解。如根据市场情况再加以下 要求:
目标值之间的差异,记为 d 。 正偏差变量:表示实现值超过目标值的部分,记为 d
+。 负偏差变量:表示实现值未达到目标值的部分,记为
d-。
在一次决策中,实现值不可能既超过目标值又未达到 目标值,故有 d+× d- =0,并规定d+≥0, d-≥0
当完成或超额完成规定的指标则表示:d+≥0, d-=0 当未完成规定的指标则表示: d+=0, d-≥0 当恰好完成指标时则表示: d+=0, d-=0 ∴ d+× d- =0 成立。
后面乘任意大的数还是小。必须“满足”第一级才能 “满足”第二级,依次类推。
权系数ωlk :区别具有相同优先因子的两个目标的 重要性差别,决策者可视具体情况而定。 (优先因子和权系数的大小具有主观性和模糊性,它 不是运筹学本身的问题,主要是决策人自身的经验, 可用专家评定法给以量化。)
线性规划的十种类型
线性规划的十种类型线性规划是一种优化问题的数学方法,其目标是找到一组决策变量的最佳值,以使目标函数在一组约束条件下达到最大(最小)值。
线性规划问题可以分为以下十种类型。
1.单目标线性规划:在单目标线性规划中,只有一个目标函数需要最大化或最小化。
例如,最大化营销利润或最小化生产成本。
2.多目标线性规划:多目标线性规划包含两个或更多个目标函数,需要在多个目标之间进行权衡。
例如,同时最大化销售额和最小化生产成本。
3.约束线性规划:在约束线性规划中,问题除了目标函数外,还有一些约束条件需要满足。
例如,生产项产品所需的原材料数量不能超过供应商的可用数量。
4.混合整数线性规划:在混合整数线性规划中,决策变量可以为实数或整数。
该问题既包含线性约束条件,又包含整数约束条件。
例如,在生产计划中考虑到机器的整数需求。
5.二次线性规划:在二次线性规划中,目标函数为二次函数,但约束条件为线性函数。
例如,在市场分析中,为了最大化利润,需要考虑产品价格和销售量之间的二次关系。
6.敏感性分析:敏感性分析用于确定目标函数和约束条件的变化情况下,最优解如何随之变化。
例如,在成本或需求变化时,优化生产或库存计划。
8.资源分配:资源分配问题涉及到如何最优地分配有限资源,以满足不同的需求。
例如,在项目管理中,如何分配时间、金钱和人力资源以最大化项目成功。
9.增益线性规划:增益线性规划是在优化问题中引入风险和不确定性的一种方法。
例如,在金融领域,如何在市场波动和风险条件下最大化回报。
10.竞争性线性规划:竞争性线性规划涉及到多个参与者之间的竞争和博弈。
例如,在拍卖和竞标过程中,如何确定最佳投标策略以赢取项目并最大化利润。
以上是线性规划的十种类型,每种类型都涉及不同的问题和应用领域。
线性规划的方法可以帮助企业、组织和个人做出最佳的决策,以实现其目标并最大化效益。
第九章的最终目的标规划
§9.1 目标规划问题的提出
一.原问题为单一目标最优化问题。 但是,一个计划问题往往要满足多方面的要求。
财务部门: 希望尽可能大的利润,以实现其年度利润目标
物资部门: 希望有尽可能小的物资消耗,以节约储备资金占用
销售部门: 希望产品品种多样,适销对路
计划部门: 希望尽可能多大的产品批量,便于安排生产
例如: 0.5 x1 + 0.2 x2 - d1+ + d1- =700 对投资组合 ( x1= 4500 、 x2 = 0 ) 0.5 × 4500 + 0.2 × 0 - d1+ + d1-=700 d1+ = 1550, d1- = 0 超过目标值700的部分记 d+ = 1550
§9.2 目标规划的图解法
产品
Ⅰ
Ⅱ
限量
原材料(kg/件)
5
10
60
设备工时(h/件)
4
4
40
利润(元/件)
6
8
解:设x1、x2分别表示工厂生产产品Ⅰ和 Ⅱ数 量,其模型为:
max z = 6x1 + 8x2 s.t. 5x1 + 10x2 ≤ 60
4x1 + 4x2 ≤ 40 x1 , x2 ≥0
其最优解为: x1=8 x2=2 Max z = 64
用图解法解目标规划模型:
Min
d1+
s.t.
20x1+50x2≤90000 0.5x1 +0.2x2 -d1+ +d1- =700 3x1 + 4x2 -d2+ +d2- =10000 x1, x2, d1+, d1-, d2+, d2- ≥0
多目标规划
指标往往相互矛盾(诸如资源可供 量与利润,利润与污染程度等), 使得多目标规划问题往往没有线性 规划意义下的最优解,只能给出统 筹兼顾各方面要求的一个满意解。
在上例中,如果利润指标与污染指标的重 要程度不同,比如:利润指标比污染指标 重要10 倍, 那么,目标函数就将写成min(10 + ) 如果利润指标和污染指标的重要程度是不 能通过数值来比较的,比如我们要求在尽 量降低污染指标的前提下去追求最大利润, 则目标函数可以形式化地写成min(k1 +k2 )。式中的k1k2,不代表具体的数值, k1>>>k2,表示远远地大于k2。
多目标规划的特点是:引人正、负偏差变 量, 以及优先因子和权系数∀正偏差变量d+ 表示考察变量值超过目标值的部分;而负偏 差变量d-则表示考察变量值少于目标值的 部分,并且d+ ·d-恒等于0。 并且规划问题常常有多个考察目标, 而达到 这些目标的优先次序又有所不同, 用P 表示 优先程度, 且P >P (i= 1 , 2 ,…,n)。当同一 优先级有多个考察目标时, 以权系数区别不 同目标之间的差别。
应用领域
多目标规划在资源分配、计划编制、生产调 度等方面有一定的应用。
通过建立多目标规划模型,可以 解决供应商的选择问题(1、分析各供应商评价
标准的优先次序;2、建立多目标规划模型)
优化供应链的绩效 开发供应链的渠道 拓展市场需求 ……
多目标规划的研究趋势
( 1) 长期以来, 多目标规划的算法一直受到特 别重视, 目前尚未出现可以用来解决所有多目 标规划问题的统一算法, 算法及其收敛性的研 究将是一个长期的研究方向。
存在,当约束方程中有矛盾方程时, 线性规划问题就无可行解,为了防止 出现这种现象,可以设想将约束“放 松” 引入偏差变量的概念: 正偏差 是超出现有资源的部分, 负偏差 是现有资源使用后剩余部分。
多目标规划
5、多目标规划解的概念
1、若多目标规划问题的解能使所有的目标都 达到,就称该解为多目标规划的最优解;
2、若解只能满足部分目标,就称该解为多目 标规划的次优解;
3、若找不到满足任何一个目标的解,就称该 问题为无解。
5、多目标规划解的概念举例
一个企业需要同一种原材料生产甲乙 两种产品,它们的单位产品所需要的 原材料的数量及所耗费的加工时间各 不相同,从而获得的利润也不相同 (如下表)。那么,该企业应如何安 排生产计划,才能使获得的利润达到 最大?
初始单纯形表
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 2 3 1 0 100 50
0 X4 4 2 0 1 120 30
640 0 0
C
64 00
CB XB X1 X2 X3 X4 b
0 X3 0 2 1 -1/2 40
6 X1 1 1/2 0 1/4 30
0 1 0 -3/2
费用确定);
4、多目标规划优先级的概念
1、目标等级化:将目标按重要性的程度不同 依次分成一级目标、二级目标…..。最次要 的目标放在次要的等级中。
2、对同一个目标而言,若有几个决策方案都 能使其达到,可认为这些方案就这个目标 而言都是最优方案;若达不到,则与目标 差距越小的越好。
4、多目标规划优先级的概念
建立多目标规划数学模型: 目标函数:Min S=P1d1-+P2(5d2++d3+) 约束方程:
6X1+4X2+ d1-- d1+=280 2X1+3X2+ d2-- d2+=100 4X1+2X2+ d3-- d3+=120
线性规划课件ppt
详细描述
在选择线性规划模型时,应根据实际问题的特点进行选择。例如,对于简单的最优化问题,可以使用标准型线性规划模型;对于需要约束条件或特殊处理的问题,可以选择扩展型线性规划模型。在建立模型后,还可以使用优化软件对模型进行优化,以提高求解效率和准确性。
CHAPTER
线性规划的求解方法
总结词
最常用的方法
要点一
要点二
详细描述
单纯形法是一种迭代算法,用于求解线性规划问题。它通过不断地在可行解域内寻找新的解,直到找到最优解或确定无解为止。单纯形法的主要步骤包括建立初始单纯形、确定主元、进行基变换和更新单纯形等。该方法具有简单易行、适用范围广等优点,但在某些情况下可能会出现迭代次数较多、计算量大等问题。
在选择变量时,应考虑其物理意义、数据的可靠性和敏感性等因素。
选择变量时,首先要考虑变量的物理意义和实际背景,以便更好地理解模型和求解结果。同时,要重视数据的可靠性,避免使用不可靠的数据导致模型失真或错误。敏感度分析可以帮助我们了解变量对目标函数的影响程度,从而更好地选择变量。
总结词
详细描述
总结词
线性规划在工业生产中的应用已经非常广泛,未来将会进一步拓展其应用领域。
工业生产
线性规划在物流运输领域中的应用也将会有更广阔的前景,例如货物的合理配载、车辆路径规划等。
物流运输
线性规划在金融管理中的应用也将逐渐增多,例如投资组合优化、风险控制等。
金融管理
非线性优化
将线性规划拓展到非线性优化领域是一个具有挑战性的研究方向,但也为线性规划的应用提供了更广阔的发展空间。
软件特点
Lingo具有强大的求解能力,可以高效地解决大规模线性规划问题,同时具有友好的用户界面,方便用户进行模型输入和结果输出。
线性规划与目标规划的异同和作用
线性规划与目标规划的异同和作用一、线性规划与目标规划(1)线性规划线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支,它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法。
一般地,求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题,统称为线性规划问题。
线性规划模型的一般形式如下:在线性规划的数学模型中,方程(1)称为目标函数;(2)称为约束条件。
满足线性约束条件的解叫做可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的三要素。
在生产管理和经营活动中经常提出一类问题,即如何合理利用有限的人力、物力、财力等资源,以便达到最好的经济效果。
例. [生产计划安排问题]某工厂在计划期内要安排Ⅰ、Ⅱ两种产品的生产,已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制,单位产品的获利,如下表所示:产品Ⅰ产品Ⅱ资源限制设备 1 1 300台时原料A 2 1 400千克原料B 0 1 250千克单位产品获利50元100元问题:计划期内工厂应分别生产多少单位Ⅰ、Ⅱ产品才能使工厂获利最多?解:设工厂在计划期内应安排生产产品ⅠX1件, 产品ⅡX2件。
所获利润为z元。
由题意得:Max z = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 ≤ 300s.t. 2 x1 + x2 ≤ 400x2 ≤ 250x1 , x2 ≥ 0上例有这样的特征:(1)用一组变量表示某个方案,一般这些变量取值是非负的;(2)存在一定的约束条件,可以用线性等式或线性不等式来表示;(3)都有一个要达到的目标,可以用决策变量的线性函数来表示。
(2)目标规划目标规划(Goal programming)目标规划是线性规划的一种特殊应用,能够处理单个主目标与多个目标并存,以及多个主目标与多个次目标并存的问题。
目标规划的模型分为以下两大类: 1.多目标并列模型。
2.优先顺序模型。
目标规划在企业人力资源需求预测中的应用企业人力资源需求预测是人力资源管理是的一项重要工作,它可以帮助企业明确未来人力需求趋势,做好人才储备工作;同时也可以帮助企业合理预测未来各部门、各类职位人员的需求情况,做好企业的定岗定编工作。
管理运筹学教学内容
管理运筹学Ⅰ一.教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程,是管理专业一门重要的方法论课程。
通过本课程的学习,使学生获得线性规划、动态规划、网络规划、系统决策等方面的基本技能和方法,为解决实际问题和进行更高层次的学习奠定必要的方法论基础。
二.教学内容第一章线性规划基础第一节运筹学发展简史及其现代社会中的应用第二节线性规划问题的一般模型第三节线性规划问题的标准型第四节线性规划问题的图解法第二章单纯形法第一节线性规划问题的几何意义第二节单纯形法第三节对单纯形法的进一步讨论第四节对线性问题解的讨论第五节改进单纯形法及计算机程序设计第三章线性规划模型的建立第一节线性规划问题建模技巧第二节用线性规划方法求解的实际问题的类型第四章对偶问题及应用第一节对偶问题第二节对偶问题的建立第三节对偶问题的基本性质第四节对偶性质的应用第五节对偶单纯形法第六节对偶单纯形法的应用第五章线性规划问题的灵敏度分析第一节边际值及其应用第二节对C值的灵敏度分析j值的灵敏度分析第三节对aij第四节对 b 值的的灵敏度分析第五节灵敏度分析的应用示例第六章运输问题第一节运输问题的线性规划模型第二节初始基本可行解的求法第三节求检验数的方法第四节方案的调整第五节表上作业法应用举例第六节指派问题第七章整数规划第一节基本概念第二节整数规划问题的图解法第三节整数规划建模第四节割平面算法第五节分枝定界算法第六节 0—1 规划算法第八章动态规划第一节引例第二节动态规划的基本概念和基本原理第三节背包问题第四节生产计划问题第五节购销量计划问题第六节复合系统可靠性问题第七节设备更新问题第八节投资问题第九节计算机算法设计第九章线性多目标规划规划第一节例子第二节建模方法第三节求解方法第四节在决策中的应用三.教学课时安排章名称主要内容课时安排备注1线性规划基础介绍一般线性规划问题的特征、标准形及简单规划问题的图解法6课时包括习题课时间2单纯形法单纯形法的思想与求解过程、线性规划解的讨论63线性规划建模从三个方面讲述建立线性规划模型的方法34对偶问题及应用对偶问题的一般理论及应用65灵敏度分析灵敏度分析方法与应用56运输问题运输问题表上作业法的建模、求解方法、应用,指派问题的求解67整数规划求解整数规划的方法——割平面、分支定界、隐枚举法58动态规划动态规划的概念、基本原理与应用59线性多目标规划多目标规划及其在决策中的应用3总复习3总课时4855运筹学Ⅱ一.教学目的运筹学是一门应用数学理论和方法研究社会经济问题的课程,是管理专业一门重要的方法论课程。
多目标线性规划
多目标线性规划多目标线性规划(MOLP)是一种数学规划方法,旨在解决多个目标之间存在冲突或相互关联的问题。
在MOLP中,同时考虑了多个目标函数,并通过设定不同的权重或约束来对这些目标进行优化。
MOLP的目标函数可以是线性函数,即目标函数可以用一组线性等式或不等式表示。
例如,假设我们有两个目标函数f1(x)和f2(x),其中x是决策变量。
我们的目标是在给定一组约束条件的情况下找到一个最优解,使得f1(x)最小化并且f2(x)最小化。
这样的问题可以表示为:minimize f1(x)minimize f2(x)subject to:g(x) <= 0h(x) = 0其中g(x)和h(x)分别是一组不等式约束和等式约束。
在解决MOLP问题时,我们必须明确指定目标函数之间的优先级关系。
这可以通过设定不同的权重来实现。
例如,如果我们认为f1(x)的重要性更高,我们可以将其权重设置为更大的值,以便在优化过程中更加侧重于最小化f1(x)。
另一种方法是使用约束来定义目标之间的关系。
例如,我们可以将一个目标函数作为主目标,并将其他目标函数作为线性等式约束加入到问题中。
这样,在优化过程中,系统将尽量满足主目标,并同时满足其他目标的约束条件。
MOLP的解决方法通常是使用线性规划的方法,如单纯形法等。
然而,在多目标优化中,由于目标之间的冲突和相互关联,可能不存在一个单一的最优解,而是存在一组最优解,称为非支配解(non-dominated solutions)或帕累托最优解(Pareto optimal solutions)。
这些解构成了一个称为帕累托前沿(Pareto frontier)或帕累托集合(Pareto set)的曲线或体。
总结来说,多目标线性规划是一种用于解决多个目标之间冲突和相互关联的数学规划方法。
通过设定不同的权重或约束,可以在给定一组约束条件下找到一组最优解,这些解构成了一个称为帕累托前沿的曲线或体。
笔记--多目标规划
处理多目标规划的方法1.约束法 1.1原理约束法又称主要目标法,它根据问题的实际情况.确定一个目标为主要目标,而把其余目标作为次要目标,并根据决策者的经验给次要的目标选取一定的界限值,这样就可以把次要目标作为约束来处理,从而就将原有多目标规划问题转化为一个在新的约束下,求主要目标的单目标最优化问题。
假设在p 个目标中,()1f x 为主要目标,而对应于其余(p-1)个目标函数()i f x 均可以确定其允许的边界值:(),2,3,...,ii i af b i p ≤≤=x 。
这样我们就可以将这()1p -个目标函数当做最优化问题的约束来处理,于是多目标规划问题转化称为单目标规划问题SP 问题:公式1()()()1min s.t.0(1,2,...,)(2,3,...,)i j j j f g i m a f b j p ⎧⎪≥=⎨⎪≤≤=⎩x x x上述问题的可行域为()(){}|0,1,2,...,;,2,3,...,i j j j R g i m a f b j p '=≥=≤≤=x x x2.评价函数法其基本思想就是将多目标规划问题转化为一个单目标规划问题来求解,而且该单目标规划问题的目标函数是用多目标问题的各个目标函数构造出来的,称为评价函数,例如若原多目标规划问题的目标函数为F(x),则我们可以通过各种不同的方式构造评价函数h(F(x)),然后求解如下问题:()()min s.t.h R⎧⎪⎨∈⎪⎩F x x 求解上述问题之后,可以用上述问题的最优解x *作为多目标规划问题的最优解,正是由于可以用不同的方法来构造评价函数,因此有各种不同的评价函数方法,下面介绍几种常用的方法。
评价函数法中主要有:理想点法、平方和加权法、线性加权和法、乘除法、最大最小法2.1理想点法考虑多目标规划问题:()()V-mins.t.0(1,2,...,)i g i m ⎧⎨≥=⎩F x x ,首先分别求解p 个单目标规划问题:()()min(1,2,...,)s.t.0(1,2,...,)i j f i p g j m ⎧=⎪⎨≥=⎪⎩x x令各个问题的最优解为*(1,2,...,)ii p =x ,而其目标函数值可以表示为:()*min ,1,2,...,i i Rf f i p ∈==x x其中:(){}|0(1,2,...,)jR g j m =≥=x x一般来说,不可能所有的*(1,2,...,)ii p =x 均相同,故其最优值*(1,2,...,)i f i p =组成的向量0***12[]T pfff =F 并不属于多目标规划的象集,所以0F 是一个几乎不可能达到理想点。
第9章线性规划方法及其应用讲解
【例9.2】 某钢铁厂熔炼一种新型不锈钢,需要4种合金 T1,T2,T3,T4 为原料经测定这4种原料关于元素铬(Cr)、锰(Mn)和镍(Ni) 的质量分数(%)、单价以及这种新型不锈钢所需铬、锰和镍的最 低质量分数,情况如表9.3所示. 假设熔炼时质量没有损耗,问: 要熔炼100吨这样的不锈钢,应选用原料T1,T2,T3,T4 各多少吨,能 够使成本最小?
max f 4x1 3x2 7x3 s.t. x1 2x2 2x3 100,
3x1 x2 3x3 100, xj 0 ( j 1, 2,3).
其中s.t. 为英文“subject to”的缩写,表示决策变量xj ( j 1, 2,3) 受 它后面的条件约束. 最优解为x1 0, x2 25, x3 25 (具体解法后面 介绍),代入总利润的表达式f 4x1 3x2 7x3 得对应的目标函 数最大值为250.由此得到该企业在现有资源条件下,日生产的最 优安排是:产品A1 不生产A,2 生产25吨A,3 生产25吨,可实现最大 利润250千元/日.
前的技术水平),情况如表9.2所示. 现在的问题是:如果该企
业生产的这 n 种产品 A1, A2 ,..., An 都可以卖出,如何合理充分地 利用现有的资源,给出一个使总利润达到最大的产品生产计划?
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9.1 线性规划是什么
有了解决上述问题的经验,我们可以假设产品 A1, A2 , , An
的计划产量分别为 x1, x2 , , xn 单位,则问题的数学模型
为
max f c1x1 c2 x2 cn xn s.t. a11x1 a12 x2 a1n xn b1,
a21x1 a22 x2 a2n xn b2 , ........................................... am1x1 am2 x2 amn xn bm , x j 0 ( j 1, 2, , n).
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目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
(1) 要求恰好达到目标值,即正、负偏差变量都要尽可能地小 min Z = f( d ++ d - )
(2) 要求不超过目标值,即允许达不到目标值,即正偏差变量 要尽可能地小
min Z = f( d +) (3) 要求超过目标值,即超过量不限,但必须是即负偏差变量要 尽可能地小
目标规划 Goal Programming(GP)
第九章
目标规划
——多目标线性规划
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming(GP)
目标规划问题及其数学模型
目标规划( Goal Programming )方法是Charnes和Cooper于 1961年提出的,目前已成为一种简单、实用的处理多目标决策问题 的 方法,是多目标决策中应用最为广泛的一种方法。
木工 油漆工 1 10
资源总量(小时) 11 10
求解此问题可以得到王老板的最优生产方案: 每天生产椅子 4 把,桌子 3 张,获最大利润 62 元。
第九章目标规划——多目 标线性规划
目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板过去一直以如何计划两种家具的生产量才能获得最大总利 润为其生产、经营的唯一目标。然而,市场经济环境下新的问题不断 出现,它迫使王老板不得不考虑…... 1. 首先,根据市场信息,椅子的销售量已有下降的趋势,故应果断 决策减少椅子的产量,其产量最好不超过桌子的产量。 2. 其次,劳动力市场上已招不到符合生产质量要求的木工了,因此 不可能考虑增加木工这种劳动力资源来增加产量,并且由于某种原因 现有木工已不可能再加班。 3. 再次,应尽可能充分利用油漆工的现有的有效工作时间,可以通 过加班使油漆工资源增加,但应考虑油漆工希望最好不加班。 4. 最后,王老板考虑最好达到并超过预计利润指标 56元。
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家具制造问题——王老板遇到的新问题
分析—— 1、王老板现在的生产、经营问题——多个目标的生产问题 2、决策变量——椅子、桌子的生产量x1,x2
引入一种新的变量——正、负偏差变量d +,d d +,d - ≥0 ,且 d +×d - = 0。
min Z = f( d -)
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目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
归纳上面的分析——新王老板应在木工每天的有效工作时间 受到严格限制的基础上按顺序考虑其他目标的实现。 目标优先等级: (1)P1——椅子的产量最好不大于桌子的产量。 (2)P2——充分利用油漆工的有效工作时间,但希望不加班。 (3)P3——总利润不小于 56元。
min Z = P1 d1++ P2( d2-+ d2+)+ P3 d3-
s.t.
2x1+ x2
≤ 11
x1 - x2 + d1- - d1+= 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+= 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+= 56
目标函数:
( P1 ) ( P2 ) ( P3 )
min Z = P1 d1++ P2( d2-+ d2+)+ P3 d3-
综上分析,有:
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目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
王老板的多目标线性规划问题——目标规划问题:
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家具制造问题——王老板遇到的新问题
约束条件:
(1)绝对约束—— 2x1+ x2
≤ 11
(2)目标约束—— x1 - x2 + d1- - d1+ = 0
x1 + 2x2 + d2- - d2+ = 10
8x1 +10x2 + d3- - d3+ = 56
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家具制造问题——王老板遇到的新问题
目标规划独特的目标函数(准则函数)是按各目标约束的正、 负偏差变量和赋予相应的优先因子而构造的。当每一目标值确定后, 决策者的要求是尽可能缩小偏离目标值。
因此,目标规划的目标函数只能是min Z = f( d +,d - )。其 基本形式有三种:
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目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
决策变量: (1) x1——椅子的产量,x2——桌子的产量。 (2) P1等级正、负偏差变量——d1+、d1- ,( d1+× d1- = 0)
P2等级正、负偏差变量——d2+、d2- ,( d2+× d2- = 0) P3等级正、负偏差变量——d3+、d3- ,( d3+ ×d3- = 0) x1 、x2 、d1+、d1-、d2+、d2- 、d3+、d3- ≥ 0
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家具制造问题——王老板遇到的新问题
分析—— 3、约束条件——
绝对约束——硬约束,表示各种客观的,必须满足的环境限制。 目标约束——软约束,表示各种非客观的,决策者的某种预期制
约。 4、目标函数——
优先因子(优先等级)P1,P2,…,规定 Pk>> Pk+1,k=1, 2,…。表示Pk比Pk+1有更大的优先权。这意味着当目标与目标之间 发生冲突时应按其优先等级来实现。
为了学习和初步掌握目标规划与线性规划在处理问题的方法上的 区别,我们分析如下案例——
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目标规划 Goal Programming(GP)
家具制造问题——王老板遇到的新问题
背景材料:
王老板一直从事专业家具制造,主要生产桌子、椅子两种家具, 王老板的经营环境主要受到两种资源——木工和油漆工每天的有效 工作时间的限制。王老板过去的经营环境条件如下: