2016届中考数学(通用版)复习专题学案：代数几何综合题

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中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案

中考数学专题复习《代数应用性问题复习》的教案一、教学目标：1. 让学生掌握代数应用性问题的基本类型及解题方法。

2. 提高学生将实际问题转化为代数问题的能力。

3. 培养学生运用代数知识解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 代数应用性问题的基本类型：方程问题、不等式问题、函数问题。

2. 解题方法：列方程、列不等式、列函数关系式。

3. 实际问题转化为代数问题的步骤：（1）理解实际问题的背景，找出关键信息。

（2）设未知数，找出已知数。

（3）根据实际问题建立代数模型。

（4）解代数方程（不等式、函数）。

（5）检验解的合理性，解释实际意义。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：代数应用性问题的基本类型及解题方法。

2. 教学难点：实际问题转化为代数问题的步骤，解题方法的灵活运用。

四、教学过程：1. 导入：通过一个简单的实际问题，引发学生对代数应用性问题的思考。

2. 讲解：介绍代数应用性问题的基本类型及解题方法，结合实际问题引导学生转化为一元一次方程、一元一次不等式、函数关系式。

3. 案例分析：分析几个典型代数应用性问题，引导学生掌握解题思路。

4. 练习：布置一些代数应用性问题，让学生独立解答，巩固所学知识。

五、课后作业：1. 总结代数应用性问题的解题步骤。

2. 完成课后练习题，巩固所学知识。

3. 收集一些实际问题，尝试将其转化为代数问题，提高解决实际问题的能力。

六、教学策略：1. 案例教学：通过分析具体案例，让学生了解代数应用性问题的特点和解题方法。

2. 问题驱动：引导学生从实际问题中发现问题、提出问题，激发学生解决问题的兴趣。

3. 分组讨论：组织学生分组讨论，促进学生之间的交流与合作，提高解决问题的能力。

4. 反馈与评价：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与，提高课堂效果。

七、教学评价：1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对代数应用性问题的理解和掌握程度。

中考数学总复习专题六代数几何综合题(课堂本)课件新人教版

（2）设点E（x，y）是抛物线上一动点，且位于第一象
限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行
四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式；
（3）当（2）中的平行四边形OEAF的面积为24时，请判
断平行四边形OEAF是否为菱形．
（3）平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF 不能为菱形，理由如下：当平行四边形OEAF的面积为24时，即 ﹣4x2+28x﹣24=24，化简，得 x2﹣7x+12=0，解得x=3或4，当x=3时，EO=EA，平行四边形OEAF为菱形．当x=4时，EO≠EA，平行四边形OEAF不为菱形． ∴平行四边形OEAF的面积为24时，平行四边形OEAF可能为菱形．
3．（2016•赤峰）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣2 ，0），B（2，0），C（3，5）．（1）求过点A，C的直线解析式和过点A，B，C的抛物线的解析式；（2）求过点A，B及抛物线的顶点D的⊙P的圆心P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点Q，使AQ与⊙P相切，若存在请求出Q点坐标．
∴∠GAE=∠ADG，
∴∠AEG=∠ADG，
∴AE=AD=15．
综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段
AE的长为 2 5 或15；
2
（3）作DH⊥AB于H，如图2，则AH=9HE=AE﹣AH=x﹣9，
在Rt△HDE中，DE= 122 (x 9)2 ，
∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，
解：（1）四边形APQD为平行四边形；（2）OA=OP，OA⊥OP，理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°， ∵OQ⊥BD， ∴∠PQO=45°， ∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°， ∴OB=OQ， ∴△AOB≌△OPQ（SAS）， ∴OA=OP，∠AOB=∠PQO， ∴∠AOP=∠BOQ=90°， ∴OA⊥OP；

2016年中考数学二轮复习讲(原卷版)：专题2.8+综合问题

第二篇热点难点篇专题08 综合问题（讲案）一讲考点——考点梳理1、数学综合题的重点都放在高中继续学习必须的函数问题上。

此类题在有起点不高、但要求较全面的特点。

常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角比相结合的综合性试题。

2、考查初中数学中最重要的数学思想方法如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。

3、融入了动态几何的变和不变，对给定的图形（或其一部分）施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

4、考查学生的实验、猜想、证明的探索能力，分析问题和解决问题的能力。

二讲题型——题型解析（一）函数型综合题例1、（2015·辽宁营口）如图，边长为n 的正方形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴和y 轴的正半轴上，A 1、A 2、A 3、…、A n-1为OA 的n 等分点，B 1、B 2、B 3、…、B n-1为CB 的n 等分点，连接A 1B 1、A 2B 2、A 3B 3、…、A n-1B n-1，分别交21y x n=（0x ≥）于点C 1、C 2、C 3、…、C n-1，当252525258B C C A =时，则n= ．例2、（2015·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 的顶点O 是坐标原点，点A 在第一象限，点C 在第四象限，点B 的坐标为（60，0），OA =AB ，∠OAB =90°，OC =50．点P 是线段OB 上的一个动点（点P 不与点O 、B 重合），过点P 与y 轴平行的直线l 交边OA 或边AB 于点Q ，交边OC 或边BC 于点R ，设点P 横坐标为t ，线段QR 的长度为m ．已知t =40时，直线l 恰好经过点C ．（1）求点A 和点C 的坐标；（2）当0＜t ＜30时，求m 关于t 的函数关系式；（3）当m =35时，请直接写出t 的值；（4）直线l 上有一点M ，当∠PMB +∠POC =90°，且△PMB 的周长为60时，请直接写出满足条件的点M 的坐标．例3、（2015·辽宁沈阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线224233y x x =--+与x 轴交于B 、C 两点（点B 在点C 的左侧），与y 轴交于点A ，抛物线的顶点为D ．（1）填空：点A 的坐标为（，），点B 的坐标为（，），点C 的坐标为（，），点D 的坐标为（，）；（2）点P 是线段BC 上的动点（点P 不与点B 、C 重合）①过点P 作x 轴的垂线交抛物线于点E ，若PE =PC ，求点E 的坐标；②在①的条件下，点F 是坐标轴上的点，且点F 到EA 和ED 的距离相等，请直接写出线段EF 的长；③若点Q 是线段AB 上的动点（点Q 不与点A 、B 重合），点R 是线段AC 上的动点（点R 不与点A 、C 重合），请直接写出△PQR 周长的最小值．（二）几何型综合题例4、(2015·辽宁盘锦）如图，边长为1的正方形ABCD，点M从点A出发以每秒1个单位长度的速度向点B运动，点N从点A出发以每秒3个单位长度的速度沿A→D→C→B的路径向点B运动，当一个点到达点B时，另一个点也随之停止运动，设△AMN的面积为s，运动时间为t秒，则能大致反映s与t的函数关系的图象是（）A． B． C． D．例5、（2015·黑龙江绥化）如图，在矩形ABCD中，AB=10 , BC=5 . 若点M、N分别是线段ACAB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A. 10B. 8C. 53D. 6例6、.( 2015·湖北孝感）如图，四边形ABCD是矩形纸片，2AB．对折矩形纸片ABCD，使AD 与BC 重合，折痕为EF ；展平后再过点B 折叠矩形纸片，使点A 落在EF 上的点N ，折痕BM 与EF 相交于点Q ；再次展平，连接BN ，MN ，延长MN 交BC 于点G ．有如下结论：① ︒=∠60ABN ； ②1=AM ； ③33=QN ；④△BMG 是等边三角形； ⑤P 为线段BM 上一动点，H 是BN 的中点，则PH PN +的最小值是3.其中正确结论的序号是 ☆ ．例7、(2015·辽宁葫芦岛）在△ABC 中，AB =AC ，点F 是BC 延长线上一点，以CF 为边，作菱形CDEF ，使菱形CDEF 与点A 在BC 的同侧，连接BE ，点G 是BE 的中点，连接AG 、DG ．（1）如图①，当∠BAC =∠DCF =90°时，直接写出AG 与DG 的位置和数量关系；（2）如图②，当∠BAC =∠DCF =60°时，试探究AG 与DG 的位置和数量关系，（3）当∠BAC =∠DCF =α时，直接写出AG 与DG 的数量关系．)16(题第三讲方法——方法点睛1、解题一般可以分为三个步骤：认真审题，理解题意、探究解题思路、正确解答。

中考数学复习专题代数与几何综合(含答案)

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5. 如图 2－5-16，在矩形 ABCD 中，AB=10。cm，BC=8cm．点 P 从 A 出发，沿 A→B→C→D 路线运动，到 D 停止；点 Q 从 D 出发，沿 D→C→B→A 路线运动，到 A 停止，若点 P、点 Q 同时出发，点 P 的速度为 1cm/s，点 Q 的速度为 2cm/s，a s 时点 P、点 Q 同时改变速度，点 P 的速度变为 bcm/s，点 Q 的速度变为 d cm/s，图 2－5－17 是点 P 出发 x 秒后△APD 的面积 S1（cm2）与 x（s）的函数关系图象；图 2－5－18 是点 Q 出发 xs 后面 AQD 的面积 S2（cm2）与 x（s）的函数关系图象． ⑴ 参照图 2－5－17，求 a、b 及图中 c 的值； ⑵ 求 d 的值； ⑶ 设点 P 离开点 A 的路程为 y1(cm)，点 Q 到点 A 还需走的路程为 y2(cm)，请分别写出动点 P、Q 改变速度后，y1、y2 与出发后的运动时间 x（s）的函数解析式，并求出 P、 Q 相遇时 x 的值． ⑷ 当点 Q 出发_______s 时，点 P、点 Q 在运动路线上相距的路程为 25cm．
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答案一、ABDCB DAACD
二、1、 3 2、 2 -1
三、1、（1）y=- 1 x2+x 2
3、 11
6
4、（-502，502）
（2）x 取最大整数为-1，∴ y=- 1 ×(-1)2-1=– 3 ∴AC= 3
2
2
2
由△BOQ∽△CAQ,可得 BO = OQ
AC AQ
C． y x
D． y 3 x 2
７．如图，反比例函数 y 4 的图象与直线 y 1 x 的

2016中考数学代数综合题专题复习学案

2016中考数学代数综合题专题复习学案代数综合题【题型特征】综合题是指涉及的知识面较宽、解题过程较复杂、解题方法较灵活的有一定难度的题目.数学综合题大致可分为以代数知识为主体的综合题;以几何知识为主体的综合题;代数、几何知识相结合的综合题.以代数知识为主体的综合题,简称代数综合题,是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.“分析探求思路,优化实施解答,反思验证结论”是解代数综合题的基本过程,在这个过程中要善于运用转化思想、数形结合思想、分类讨论思想和方程思想.代数综合题涉及的知识类别常是“你中有我,我中有你”,因此不易将它们作十分明显的分类.为了复习方便,我们将其分为:方程不等式型、函数型.【解题策略】代数综合题主要以方程或函数为基础进行综合.解题时一般用分析综合法解,认真读题找准突破口,仔细分析各个已知条件,进行转化,发挥条件整体作用进行解题.解题时,计算不能出差错,思维要宽,考虑问题要全面.类型一方程不等式型∵x2-x-1=0,∴x2=x+1.则原式【提醒】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,由已知一元二次方程解出x的值,再把x的值代入进行计算即可.举一反三类型一(2013新疆乌鲁木齐)已知m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+n=1,则代数式2k2-8k+6的最小值为( ).A. -2B. 02D. 2.52. (2015湖北荆门)若-2xm-ny2与3x4y2m+n是同类项,则m-3n的立方根是.类型二函数型典例2 (2015广东珠海)如图,矩形OABC的顶点A(2,0),C(0,2 ).将矩形OABC绕点O逆时针旋转30°,得矩形OEFG,线段GE,FO相交于点H,平行于y轴的直线MN分别交线段GF,GH,GO和x轴于点M,P,N,D,连接MH.(1)若抛物线l:y=ax2+bx+c经过G,O,E三点,则它的表达式为: ;(2)如果四边形OHMN为平行四边形,求点D的坐标;(3)在(1)(2)的条件下,直线MN与抛物线l交于点R,动点Q在抛物线l上且在R,E两点之间(不含点R,E)运动,设△PQH的面积为S,当时,确定点Q的横坐标的取值范围.【全解】 (1)如图(1),过点G作GI⊥CO于点I,过点E作EJ⊥CO于点J,(1)∵A(2,0),C(0,2 ),∴OE=OA=2,OG=OC=2 .∵∠GOI=30°,∠JOE=90°-∠GOI=90°-30°=60°, ∴G(- ,3),E( ,1).设抛物线表达式为y=ax2+bx+c,∵经过G,O,E三点,【技法梳理】 (1)求表达式一般采用待定系数法,通过函数上的点满足方程求出.(2)平行四边形对边平行且相等,恰得MN为OF,即为中位线,进而横坐标易得,D为x轴上的点,所以纵坐标为0.(3)已知S范围求横坐标的范围,那么表示S是关键.由PH不为平行于x轴或y轴的线段,所以考虑利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来解题,此法底为两点纵坐标得差,高为横坐标的差,进而可表示出S,但要注意,当Q在O点右边时,所求三角形为两三角形的差.得表达式再代入 ,求解不等式即可.另要注意求解出结果后要考虑Q本身在R,E之间的限制.举一反三类型二(2015福建福州)现有A,B两种商品,买2件A 商品和1件B商品用了90元,买3件A商品和2件B商品用了160元.(1)求A,B两种商品每件各是多少元?(2)如果小亮准备购买A,B两种商品共10件,总费用不超过350元,但不低于300元,问有几种购买方案,哪种方案费用最低?(2015福建福州)如图,抛物线与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,顶点为D.(1)求点A,B,D的坐标;(2)连接CD,过原点O作OE⊥CD,垂足为点H,OE与抛物线的对称轴交于点E,连接AE,AD,求证:∠AEO=∠ADC; (3)以(2)中的点E为圆心,1为半径画圆,在对称轴右侧的抛物线上有一动点P,过点P作☉E的切线,切点为Q,当PQ的长最小时,求点P的坐标,并直接写出点Q的坐标【小结】本类题考查了一次函数、二次函数性质与图象,直角三角形及坐标系中三角形面积的表示等知识点.注意其中“利用过动点的平行于y轴的直线切三角形为2个三角形的常规方法来表示面积”是近几年中考的考查热点,需要加强理解运用.类型一(2015湖南张家界)若 ,则(x+y)2015等于( ).A. -1B2015D. -320152. (2015贵州遵义)若a+b=2 ,ab=2,则的值为( ).A. 6BD. 2(2015贵州毕节)若-2amb4与5an+2 可以合并成一项,则mn的值是( ).A. 2B. 0-1D(2015湖南娄底)先化简 ,再从不等式2x-37的正整数解中选一个使原式有意义的数代入求值(2015四川巴中)先化简,再求值:,其中x满足x2-4x+3=0.类型二(2015江苏连云港)如图,△ABC的三个顶点分别为A(1,2),B(2,5),C(6,1).若函数在第一象限内的图象与△ABC有交点,则k的取值范围是( ).(第6题)③当∠AOC=90°时,|k1|=|k2|;④若OABC是菱形,则两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称.其中正确的结论是(把所有正确的结论的序号都填上).(第8题)0. (2015甘肃白银)如图,在平面直角坐标系xOy 中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.(1)求点M,A,B坐标;(2)联结AB,AM,BM,求∠ABM的正切值;(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P 点坐标.(第10题)参考答案【真题精讲】D 解析:∵m,n,k为非负实数,且m-k+1=2k+∴m,n,k最小为0,当n=0时,k最大为由☉E的半径为1,根据切线性质及勾股定理,得PQ2=EP2-1,要使切线长PQ最小,只需EP长最小,即EP2最小.设点P坐标为(x,y),由勾股定理得EP2=(x-3)2+(y-2)2.又点P在对称轴右侧的抛物线上,∴x1=1舍去.∴P(5,1).【课后精练】B 2. B 3. D原式= ÷不等式2x-37, 解得x5,其正整数解为1,2当x=1时,原式原式= ÷ = =- ,解方程x2-4x+3=0,得x1=1,x2当x=1时,原式无意义;当x=3时,原式=-B 7. a-①④解析:作AE⊥y轴于E,CF⊥y轴于F,(第8题)∵四边形OABC是平行四边形,∴S△AOB=S△COB.∴AE=CF.∴OM=ON.当∠AOC=90°,∴四边形OABC是矩形.∴不能确定OA与OC相等.而OM=ON,∴不能判断△AOM≌△CNO.∴不能判断AM=CN.∴不能确定|k1|=|k2|,所以③错误.若OABC是菱形,则OA而OM=ON,∴Rt△AOM≌Rt△CNO.∴AM=CN.∴|k1|=|k2|.∴k1=-k2.∴两双曲线既关于x轴对称,也关于y轴对称,所以④正确.故答案为①④∴(2)如图,过点D作DM⊥x轴于点M,过点B作BN⊥x轴于点N.(第9题)则∠DMA=∠ANB=90°.∵B(3,3),∴BN=ON设MD=a,OM=b.∴△ADM≌△BAN(AAS).∴BN=AM=3,MD=AN=a.∴OA=3-a,即AM=b+3-a=3,得a=b,∵ab∴a=b=2.∴OA=3-2即点A的坐标是(1,0).10. (1)抛物线y=x2-3向右平移一个单位后得到的函数表达式为y=(x-1)2-3,顶点M(1,-3),令x=0,则y=(0-1)2-3=-2,点A(0,-2),x=3时,y=(3-1)2-3=4-点B(3,1).(2)如图,过点B作BE⊥AO于点E,过点M作MF⊥AO 于点M,(第10题)∵EB=EA∴∠EAB=∠EBA=45°.同理可求∠FAM=∠FMA=45°, ∴△ABE∽△AMF.。

2016届中考数学第一轮复习导学案30

几何图形综合题几何图形综合题是四川各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．题型1与三角形、四边形有关的几何综合题类型1操作探究题(2015·南充)如图，点P是正方形ABCD内一点，点P到点A，B和D的距离分别为1，22，10.△ADP沿点A旋转至△ABP ′，连PP′，并延长AP与BC相交于点Q.(1)求证：△APP′是等腰直角三角形；(2)求∠BPQ的大小；(3)求CQ的长．【思路点拨】(1)利用旋转相等的线段、相等的角 △APP′是等腰直角三角形；(2)利用勾股定理逆定理证△BPP′是直角三角形，再利用(1)的结论，得∠BPQ的大小；(3)过点B作BM⊥AQ于M，充分利用等腰直角三角形、直角三角形的性质，特别是锐角三角函数，先求得正方形的边长和BQ的长，进而求得CQ的长度．【解答】(1)证明：由旋转可得：AP＝AP′，∠BAP′＝∠DAP. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°.∴∠PAP ′＝∠PAB ＋∠BAP ′＝∠PAB ＋∠DAP ＝∠BAD ＝90°. ∴△APP ′是等腰直角三角形．(2)由(1)知∠PAP ′＝90°，AP ＝AP ′＝1，∴PP ′＝ 2.∵P ′B ＝PD ＝10，PB ＝22，∴P ′B 2＝PP ′2＋PB 2.∴∠P ′PB ＝90°.∵△APP ′是等腰直角三角形，∴∠APP ′＝45°.∴∠BPQ ＝180°－90°－45°＝45°.(3)过点B 作BM ⊥AQ 于M.∵∠BPQ ＝45°，∴△PMB 为等腰直角三角形．由已知，BP ＝22，∴BM ＝PM ＝2.∴AM ＝AP ＋PM ＝3.在Rt △ABM 中，AB ＝AM 2＋BM 2＝32＋22＝13.∵cos ∠QAB ＝AM AB ＝AB AQ ，即313＝13AQ， ∴AQ ＝133.在Rt △ABQ 中，BQ ＝AQ 2－AB 2＝2313. ∴QC ＝BC －BQ ＝13－2313＝133.1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．1．(2015·自贡)在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，cos ∠ABC ＝35，将△ABC绕点C 顺时针旋转，得到△A 1B 1C.图1 图2(1)如图1，当点B 1在线段BA 延长线上时．①求证：BB 1∥CA 1；②求△AB 1C 的面积；(2)如图2，点E是BC上的中点，点F为线段AB上的动点，在△ABC 绕点C顺时针旋转过程中，点F的对应点是F1，求线段EF1长度的最大值与最小值的差．2．(2013·自贡)将两块全等的三角板如图1摆放，其中∠A1CB1＝∠ACB＝90°，∠A1＝∠A＝30°.(1)将图1中的△A1B1C顺时针旋转45°得图2，点P1是A1C与AB 的交点，点Q是A1B1与BC的交点，求证：CP1＝CQ；(2)在图2中，若AP1＝2，则CQ等于多少？(3)如图3，在B1C上取一点E，连接BE、P1E，设BC＝1，当BE⊥P1B 时，求△P1BE面积的最大值．3．(2013·内江)如图，在等边△ABC中，AB＝3，D，E分别是AB，AC上的点，且DE∥BC，将△ADE沿DE翻折，与梯形BCED重叠的部分为图形L.(1)求△ABC的面积；(2)设AD＝x，图形L的面积为y，求y关于x的函数解析式；(3)已知图形L的顶点均在⊙O上，当图形L的面积最大时，求⊙O 的面积．类型2动态探究题(2015·乐山)如图1，四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，AB＝3，BC＝2，tanA＝43.(1)求CD边的长；(2)如图2，将直线CD边沿箭头方向平移，交DA于点P，交CB于点Q(点Q运动到点B停止)，设DP＝x，四边形PQCD的面积为y，求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．【思路点拨】(1)分别延长AD、BC相交于E，通过构造的Rt△ABE、Rt△DCE求解；(2)利用△EDC∽△EPQ及S四边形PQCD＝S△EPQ－S△EDC求解．【解答】(1)分别延长AD、BC相交于E.在Rt △ABE 中，∵tanA ＝43，AB ＝3，∴BE ＝4.∵BC ＝2，∴EC ＝2.在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝32＋42＝5.∴sinE ＝35＝DC EC .∴CD ＝65.(2)∵∠B ＝∠ADC ＝90°，∠E ＝∠E ，∴∠ECD ＝∠A.∴tan ∠ECD ＝tanA ＝43.∴ED CD ＝ED 65＝43，解得ED ＝85.如图4，由PQ ∥DC ，可知△EDC ∽△EPQ ，∴ED EP ＝DC PQ .∴8585＋x＝65PQ ，即PQ ＝65＋34x.∵S 四边形PQCD ＝S △EPQ －S △EDC ，∴y ＝12PQ ·EP －12DC ·ED＝12(65＋34x)(85＋x)－12×65×85＝38x 2＋65x.如图5，当Q 点到达B 点时，EC ＝BC ，DC ∥PQ ，可证明△DCE ≌△HQC ，从而得CH ＝ED ＝85，∴自变量x 的取值方范围为：0＜x≤85.动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．1．(2013·成都)如图，点B 在线段AC 上，点D ，E 在AC 的同侧，∠A ＝∠C ＝90°，BD ⊥BE ，AD ＝BC.(1)求证：AC ＝AD ＋CE ；(2)若AD ＝3，AB ＝5，点P 为线段AB 上的动点，连接DP ，作PQ ⊥DP ，交直线BE 于点Q.①当点P 与A ，B 两点不重合时，求DP PQ 的值；②当点P 从A 点运动到AC 的中点时，求线段DQ 的中点所经过的路径(线段)长．(直接写出结果，不必写出解答过程)2．(2015·攀枝花)如图1，矩形ABCD的两条边在坐标轴上，点D与坐标原点O重合，且AD＝8，AB＝6，如图2，矩形ABCD沿OB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，同时点P从A点出发也以每秒1个单位长度的速度沿矩形ABCD的边AB经过点B向点C运动，当点P到达C时，矩形ABCD和点P同时停止运动，设点P的运动时间为t秒．(1)当t＝5时，请直接写出点D、点P的坐标；(2)当点P在线段AB或线段BC上运动时，求出△PBD的面积S关于t的函数关系式，并写出相应t的取值范围；(3)点P在线段AB或线段BC上运动时，作PE⊥x轴，垂足为点E，当△PEO与△BCD相似时，求出相应的t值．3．(2015·绵阳)如图，在边长为2的正方形ABCD中，G是AD延长线上的一点，且DG＝AD，动点M从A点出发，以每秒1个单位的速度沿着A、C、G的路线向G点匀速运动(M不与A、G重合)，设运动时间为t秒，连接BM并延长交AG于N.(1)是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若存在，分析点M的位置；若不存在，请说明理由；(2)当点N在AD边上时，若BN⊥HN，NH交∠CDG的平分线于H，求证：BN＝NH；(3)过点M分别作AB、AD的垂线，垂足分别为E、F，矩形AEMF 与△ACG重叠部分的面积为S，求S的最大值．类型3类比探究题(2015·成都)已知AC，EC分别为四边形ABCD和EFCG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE＋∠CBE＝90°.(1)如图1，当四边形ABCD 和EFCG 均为正方形时，连接BF. ①求证：△CAE ∽△CBF ；②若BE ＝1，AE ＝2，求CE 的长．(2)如图2，当四边形ABCD 和EFCG 均为矩形，且AB BC ＝EF FC ＝k 时，若BE ＝1，AE ＝2，CE ＝3，求k 的值；(3)如图3，当四边形ABCD 和EFCG 均为菱形，且∠DAB ＝∠GEF ＝45°时，设BE ＝m ，AE ＝n ，CE ＝p ，试探究m ，n ，p 三者之间满足的等量关系．(直接写出结果，不必写出解答过程)【思路点拨】 (1)利用“夹这个角的两边对应成比例”得△CAE ∽△CBF ，进而证明∠EBF ＝90°，利用勾股定理求EF ，进而求CE ；(2)类比(1)解题思路以及相似三角形性质得到对应边成比例，进而用含有k 的式子表示出CE ，BF ，并建立CE 2，BF 2的等量关系，从而求出k ；(3)类比(1)、(2)的思路及菱形的性质找m ，n ，p 的关系．【解答】 (1)①∵∠ACE ＋∠ECB ＝45°，∠BCF ＋∠ECB ＝45°， ∴∠ACE ＝∠BCF.又∵AC BC ＝CE CF ＝2，∴△CAE ∽△CBF.②∵AE BF ＝AC BC ＝2，AE ＝2，∴BF ＝ 2.由△CAE ∽△CBF 可得∠CAE ＝∠CBF.又∠CAE ＋∠CBE ＝90°，∴∠CBF ＋∠CBE ＝90°，即∠EBF ＝90°.∴EF ＝BE 2＋BF 2＝ 3.∴CE ＝2EF ＝ 6.(2)连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°，由AB BC ＝EF FC ＝k ，可得BC ∶AB ∶AC ＝1∶k ∶k 2＋1，CF ∶EF ∶EC ＝1∶k ∶k 2＋1.∴AC BC ＝AE BF ＝k 2＋1.∴BF ＝AE k 2＋1，BF 2＝AE 2k 2＋1. ∴CE 2＝k 2＋1k 2×EF 2＝k 2＋1k 2(BE 2＋BF 2)，即32＝k 2＋1k 2(12＋22k 2＋1)，解得k ＝104. (3)p 2－n 2＝(2＋2)m 2.提示：连接BF ，同理可得∠EBF ＝90°，过C 作CH ⊥AB ，交AB 延长线于H ，可解得AB 2∶BC 2∶AC 2＝1∶1∶(2＋2)，EF 2∶FC 2∶EC 2＝1∶1∶(2＋2)，∴p 2＝(2＋2)EF 2＝(2＋2)(BE 2＋BF 2)＝(2＋2)(m 2＋n 22＋2)＝(2＋2)m 2＋n 2. ∴p 2－n 2＝(2＋2)m 2.本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．1．(2013·乐山)阅读下列材料：如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，点M，N分别在边AB，DC上，且MN∥AD，记AD＝a，BC＝b.若AMMB＝mn，则有结论：MN＝bm＋anm＋n.请根据以上结论，解答下列问题：如图2，图3，BE，CF是△ABC的两条角平分线，过EF上一点P 分别作△ABC三边的垂线段PP1，PP2，PP3，交BC于点P1，交AB 于点P2，交AC于点P3.(1)若点P为线段EF的中点．求证：PP1＝PP2＋PP3；(2)若点P为线段EF上的任意位置时，试探究PP1，PP2，PP3的数量关系，并给出证明．2．(2015·随州)问题：如图1，点E、E分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．[发现证明]小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE ＋FD，请你利用图1证明上述结论．[类比引申]如图2，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足______关系时，仍有EF＝BE＋FD.[探究应用]如图3，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且AE⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F之间修一条笔直道路，求这条道路EF的长(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)．参考答案类型1操作探究题1．(1)①证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵B1C＝BC，∴∠CB1B＝∠B.又由旋转性质得∠A1CB1＝∠ACB，∴∠CB1B＝∠A1CB1.∴BB 1∥CA 1.②过A 作AG ⊥BC 于G ，过C 作CH ⊥AB 于H.∵AB ＝AC ，AG ⊥BC ，∴BG ＝CG .∵在Rt △AGB 中，cos ∠ABC ＝BG AB ＝35，AB ＝5，∴BG ＝3.∴BC ＝6.∴B 1C ＝BC ＝6.∵B 1C ＝BC ，CH ⊥AB ，∴BH ＝B 1H.∴B 1B ＝2BH.∵在Rt △BHC 中，cos ∠ABC ＝BH BC ＝35，∴BH ＝185.∴BB 1＝365.∴AB 1＝BB 1－AB ＝365－5＝115，CH ＝BC 2－BH 2＝62－（185）2＝245.∴S △AB 1C ＝12AB 1·CH ＝12×115×245＝13225.(2)过点C 作CF ⊥AB 于F ，以点C 为圆心，CF 为半径画圆交BC 于F 1，此时EF 1最小．此时在Rt △BFC 中，CF ＝245. ∴CF 1＝245.∴EF 1的最小值为CF －CE ＝245－3＝95.以点C 为圆心，BC 为半径画圆交BC 的延长线于F ′1，此时EF′1有最大值．此时EF′1＝EC ＋CF′1＝3＋6＝9.∴线段EF 1的最大值与最小值的差9－95＝365.2.(1)证明：∵∠B 1CB ＝45°，∠B 1CA 1＝90°， ∴∠B 1CQ ＝∠BCP 1＝45°.在△B 1CQ 和△BCP 1中，⎩⎪⎨⎪⎧∠B 1CQ ＝∠BCP 1，B 1C ＝BC ，∠B 1＝∠B ，∴△B 1CQ ≌△BCP 1.∴CQ ＝CP 1.(2)作P 1D ⊥CA 于D ，∵∠A ＝30°，∴P 1D ＝12AP 1＝1.∵∠P 1CD ＝45°，∴CP 1＝2P 1D ＝ 2.∵CP 1＝CQ ，∴CQ ＝ 2.(3)∵∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，∴AC ＝3BC.∵BE ⊥P 1B ，∠ABC ＝60°， ∴∠CBE ＝30°.∴∠CBE ＝∠A.由旋转的性质可得：∠ACP 1＝∠BCE ，∴△AP 1C ∽△BEC.∴AP 1∶BE ＝AC ∶BC ＝3∶1.设AP 1＝x ，则BE ＝33x ，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°， ∴AB ＝2BC ＝2.∴BP 1＝2－x.∴S △P 1BE ＝12×33x(2－x)＝－36x 2＋33x ＝－36(x －1)2＋36， ∵－36<0，∴当x ＝1时，△P 1BE 面积的最大值为36. 3.(1)作AH ⊥BC 于H ，∴∠AHB ＝90°.在Rt △AHB 中，AH ＝AB·sinB ＝3×sin60°＝3×32＝332.∴S △ABC ＝3×3232＝934.(2)如图1，当0＜x≤1.5时，y ＝S △ADE .图1作AG ⊥DE 于G ，∴∠AGD ＝90°，∠DAG ＝30°. ∴DE ＝x ，AG ＝32x. ∴y ＝x×32x2＝34x 2.如图2，当1.5＜x ＜3时，作MG ⊥DE于G ，图2∵AD ＝x ，∴DE ＝AD ＝x ，BD ＝DM ＝3－x. ∴DG ＝12(3－x)，MF ＝MN ＝2x －3. ∴MG ＝32(3－x)．∴y ＝（2x －3＋x ）32（3－x ）2＝－334x 2＋33x －934. ∴y ＝⎩⎨⎧34x 2（0＜x≤1.5），－334x 2＋33x －934（1.5＜x ＜3）.(3)当0＜x≤1.5时，y ＝34x 2，∵a ＝34＞0，开口向上，在对称轴的右侧y 随x 的增大而增大，∴x ＝1.5时，y 最大＝9316，如图3，当1.5＜x ＜3时，y ＝－334x 2＋33x －934，∴y ＝－334(x 2－4x)－934＝334(x －2)2＋334.∵a ＝－334＜0，开口向下，∴x ＝2时，y 最大＝334.∵334＞9316， ∴y 最大时，x ＝2.图3∴DE ＝AD ＝2，BD ＝DM ＝1. 作FO ⊥DE 于O ，连接MO ，ME. ∴DO ＝OE ＝1.∴DM ＝DO. ∵∠MDO ＝60°， ∴△MDO 是等边三角形．∴∠DMO ＝∠DOM ＝60°，MO ＝DO ＝1. ∴MO ＝OE ，∠MOE ＝120°. ∴∠OME ＝30°. ∴∠DME ＝90°.∴DE 是直径，S ⊙O ＝π×12＝π. 类型2 动态探究题1．(1)证明：∵BD ⊥BE ，A ，B ，C 三点共线， ∴∠ABD ＋∠CBE ＝90°.∵∠C ＝90°， ∴∠CBE ＋∠E ＝90°. ∴∠ABD ＝∠E.又∵∠A ＝∠C ，AD ＝BC ，∴△DAB ≌△BCE(AAS)．∴AB ＝CE. ∴AC ＝AB ＋BC ＝AD ＋CE.(2)①连接DQ ，设BD 与PQ 交于点F.∵∠DPF ＝∠QBF ＝90°，∠DFP ＝∠QFB ，∴△DFP ∽△QFB.∴DF QF ＝PFBF . 又∵∠DFQ ＝∠PFB ，∴△DFQ ∽△PFB.∴∠DQP ＝∠DBA. ∴tan ∠DQP ＝tan ∠DBA.即在Rt △DPQ 和Rt △DAB 中，DP PQ ＝DAAB . ∵AD ＝3，AB ＝CE ＝5， ∴DP PQ ＝35.②过Q 作QH ⊥BC 于点H.∵PQ ⊥DP ，∠A ＝∠H ＝90°，∴△APD ∽△HQP.∴DP PQ ＝DA PH ＝35.∵DA ＝3，∴PH ＝5. ∵AP ＝PC ＝4，AB ＝PH ＝5，∴PB ＝CH ＝1.∵EC ⊥BH ，QH ⊥BH ，∴EC QH ＝BC BH .∴5QH ＝34.∴QH ＝203. 在Rt △BHQ 中，BQ ＝BH 2＋QH 2＝（203）2＋（123）2＝4343.∵MN 是△BDQ 的中位线，∴MN ＝2343. 2.(1)D(－4，3)，P(－12，8)．(2)当点P 在边AB 上时，BP ＝6－t.∴S ＝12BP ·AD ＝12(6－t)·8＝－4t ＋24.当点P 在边BC 上时，BP ＝t －6. ∴S ＝12BP ·AB ＝12(t －6)·6＝3t －18.∴S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－4t ＋24（0≤t≤6），3t －18（6＜t≤14）.(3)∵D(－45t ，35t)，当点P 在边AB 上时，P(－45t －8，85t)．若PE OE ＝CD CB 时，85t45t ＋8＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝CB CD 时，85t45t ＋8＝86，解得t＝20.∵0≤t≤6，∴t ＝20时，点P 不在边AB 上，不合题意．当点P 在边BC 上时，P(－14＋15t ，35t ＋6)．若PE OE ＝CDBC 时，35t ＋614－15t ＝68，解得t ＝6.若PE OE ＝BC CD 时，35t ＋614－15t＝86，解得t ＝19013.∵6≤t ≤14，∴t ＝19013时，点P 不在边BC 上，不合题意． ∴当t ＝6时，△PEO 与△BCD 相似．3.(1)当点M 为AC 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 与点C 的重合时，BA ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 在AC 上且AM ＝2时，AM ＝AB ，则△ABM 为等腰三角形；当点M 为CG 的中点时，有AM ＝BM ，则△ABM 为等腰三角形． (2)证明：在AB 上取点K ，使AK ＝AN ，连接KN. ∵AB ＝AD ，BK ＝AB －AK ，ND ＝AD －AN ， ∴BK ＝DN.又DH 平分直角∠CDG ， ∴∠CDH ＝45°.∴∠NDH ＝90°＋45°＝135°. ∵∠BKN ＝180°－∠AKN ＝135°，∴∠BKN ＝∠NDH.∵在Rt △ABN 中，∠ABN ＋∠ANB ＝90°，又BN ⊥NH ，即∠BNH ＝90°，∴∠ANB ＋∠DNH ＝180°－∠BNH ＝90°.∴∠ABN ＝∠DNH.∴△BNK ≌△NHD(ASA)， ∴BN ＝NH.(3)①当M 在AC 上时，即0＜t≤22时，易知：△AMF 为等腰直角三角形．∵AM ＝t ，∴AF ＝FM ＝22t.∴S ＝12AF ·FM ＝12·22t ·22t ＝14t 2. 当M 在CG 上时，即22＜t ＜42时，CM ＝t －AC ＝t －22，MG ＝42－t.∵AD ＝DC ，∠ADC ＝∠CDG ，CD ＝CD ，∴△ACD ≌△GCD(SAS)．∴∠ACD ＝∠GCD ＝45°.∴∠ACM ＝∠ACD ＋∠GCD ＝90°.∴∠G ＝90°－∠GCD ＝90°－45°＝45°.∴△MFG 为等腰直角三角形．∴FG ＝MG·cos45°＝(42－t)·22＝4－22t.∴S ＝S △ACG －S △MCJ －S △FMG ＝12×4×2－12·CM ·CM －12·FG ·FM ＝4－12·(t －22)2－12·(4－22t)2＝－34t 2＋42t －8.∴S ＝⎩⎨⎧14t 2（0＜t≤22），－34t 2＋42t －8（22＜t ＜42）. ②在0＜t≤22范围内，当t ＝22时，S 的最大值为14×(22)2＝2；在22＜t ＜42范围内，S ＝－34(t －823)2＋83.当t ＝823时，S 的最大值为83.∵83>2，∴当t ＝823秒时，S 的最大值为83. 类型3 类比探究题1．(1)证明：过点E 作ER ⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S. ∵BE 为角平分线，∴ER ＝ES.过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，同理FM ＝FN.∵ES ⊥BA ，PP 2⊥AB ，∴PP 2∥ES.同理得PP 3∥FN ，FM ∥PP 1∥ER. ∵点P 为EF 中点，PP 2∥ES ， ∴△FPP 2∽△FES.∴ES ＝2PP 2，同理FN ＝2PP 3. ∴FM ＝2PP 3，ER ＝2PP 2.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，FP PE ＝11，∴根据题设结论可知：PP 1＝ER×1＋FM×11＋1＝ER ＋FM 2＝2PP 2＋2PP 32＝PP 2＋PP 3.(2)探究结论：PP 1＝PP 2＋PP 3.证明：过点E 作ER ⊥BC 于点R ，ES ⊥AB 于点S ，则有ER ＝ES. 过点F 作FM ⊥BC 于点M ，FN ⊥AC 于点N ，则有FM ＝FN.点P 为EF 上任意一点，不妨设FP PE ＝m n ，则PF EF ＝m m ＋n ，PE EF ＝nm ＋n .∵PP 2∥ES ，∴PP 2ES ＝PF EF ＝n m ＋n .∴ES ＝m ＋nm PP 2.∵PP 3∥FN ，∴PP 3FN ＝PE EF ＝nm ＋n .∴FN ＝m ＋n n PP 3.∴ER ＝m ＋n m PP 2，FM＝m ＋n n PP 3.在梯形FMRE 中，FM ∥PP 1∥ER ，PF PE ＝mn ，∴根据题设结论可知：PP 1＝mER ＋nFMm ＋n ＝m·m ＋n m PP 2＋n·m ＋n n PP 3m ＋n ＝（m ＋n ）PP 2＋（m ＋n ）PP 3m ＋n＝PP 2＋PP 3.2.[发现证明]：将△ABE 绕点A 逆时针旋转90°至△ADG ，使AB 与AD 重合．∴△ABE ≌△ADG .∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG .∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°. 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADF ＝90°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF 和△GAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF.∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF. ∴EF ＝BE ＋FD.[类比引申]：∠EAF ＝12∠BAD ，理由如下：将△ABE 绕点A 逆时针方向旋转∠DAB 至△ADG ，使AB 与AD 重合． ∴△ABE ≌△ADG .∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，AE ＝AG ，BE ＝DG . ∴∠GAF ＝∠GAD ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝12∠BAD. ∵在四边形ABCD 中，∠B ＋∠ADF ＝180°.∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即点G 、D 、F 在一条直线上．在△EAF和△GAF 中，⎩⎨⎧AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝12∠BAD ，AF ＝AF ，∴△EAF ≌△GAF. ∴EF ＝GF.又GF ＝DG ＋DF ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋FD.[探究应用]：连接AF ，延长BA 、CD 交于点O.则∠BOC ＝180°－∠B －∠C ＝90°.∴△AOD 为直角三角形．在Rt △AOD 中，∠ODA ＝60°，∠OAD ＝30°，AD ＝80米． ∴AO ＝403米，OD ＝40米．∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403(米)，∴AO ＝OF.∴∠OAF ＝45°.∴∠DAF ＝45°－30°＝15°.∴∠EAF ＝90°－15°＝75°.∴∠EAF ＝12∠BAD.∵∠BAE ＝180°－∠OAF －∠EAF ＝60°，∠B ＝60°，∴△BAE 为等边三角形．∴BE ＝AB ＝80米．由[类比引申]的结论可得EF ＝BE ＋DF ＝40(3＋1)≈109(米)．。

中考数学复习专题7几何综合题、几何与代数综合题 (2)

≥0的解集． 9.阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
）×（ + + ）．令 + + =t，则原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t =t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2 = 问题：（1）计算（1﹣
﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣
的代数式表示）；（2）设该格点多边形外的格点数为，则 =
二、应用题 3.定义运算max{a， b}：当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a， b}=b．如max{﹣3，2}=2．（1）max{ ， 3}= 3 ；（2）已知y1= 和y2=k2x+b在同一坐标系中的图象如图所示，若max{ ，k2x+b}= ，结合图象，直接写出x的取值范围；（3）用分类讨论的方法，求max{2x+1，x﹣2}的值．
归纳证明 (2)请你观察(1)中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，请利用图3证明你发现的关系式；拓展应用 (3)如图4，在□ABCD中，点E，F，G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD＝，AB＝3．求AF的长．
5.阅读理解材料一：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫梯形，其中平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的底边，不平行的两边叫梯形的腰，连接梯形两腰中点的线段叫梯形的中位线．梯形的中位线具有以下性质：梯形的中位线平行于两底和，并且等于两底和的一半．如图（1）：在梯形ABCD中：AD∥BC ∵E、F是AB、CD的中点 ∴EF∥AD∥BC EF=

《在代数几何综合题中构造直角三形求线段长度》教学设计

教学重点：掌握构造直角三角形求出线段长度方法。

教学难点：如何将实际问题转化为求线段长度问题，如何通过辅助线构造直角三角形。

五、教学方法根据学生的实际和教材具体内容，选择启发性教学，使学生掌握、建构和内化所学的知识，从而使学生进行更高水平的认识活动。

让学生自主思考，合作学习，进行探索、讨论，建立自己的一套解题方法，提高综合分析问题的能力。

六、教学流程图拓展训练提高训练合作学习变式训练中考题目课堂归纳提升回忆引入问题提出练习（自编）请同学们完成以下题目，并说说它用什么数学原理戒方法解题？1、如图1，在Rt△ABC中，∠A=900，AB=6，AC=8，求点 A 到 BC 的距离。

答案：A 到 BC 的距离为 4.8。

2、如图2 ，在△ ABC 中， AB=BC=5,sin A 4，求点 B 到 AC 的距离。

5答案：B 到AC 的距离为 4 。

3、如图 3，在Rt△ABC中,∠ACB=90°，CD⊥AB于D 点，AD=6，BD=2，求 CD 的长度。

答案：CD= 2 3 。

图 1 图 2图 3小组讨论“这些题目的问题都围绕什么目的来求？在求解过程中用到哪些数学原理或方法？”，问题 1：我们刚才看到练习里面的题目都是一种静态下求线段的长度，如果老师把这些题目中的点或者是线段换成动点或者动线段，这些数学原理或方法还是适用吗？你们还会求线段的长度吗？例 1 如图2，在△ABC 中，AB=BC=x,sin A =4，求请你含x 的关系5式表示点 B 到 AC 的距离。

解:过B 点作BD⊥AC,所以点 B 到AC 的距离为 BD，∴BD=A B •sin A =x •4=4x 5 5例2 （16 年广东中考第 25 题第3 问，改编）如右图 3，BD 是正方形 ABCD 的对角线，BC=2，边 BC 在其所在的直线上向右平移，将通过平移得到的线段记为 PQ，连接PA、QD，并过点 Q 作QO⊥BD，垂足为O，连接 OA、OP。

【初中数学】2016年中考数学专题复习学案(共7份) 通用1

中考数学专题复习学案七——几何图形综合题【专题思路剖析】几何图形的综合题,着重考查学生对几何知识的理解与掌握、状及其数量关系成为数学研究重要内容.中考数学几何重要数学思想和解决实际问题的能力,是"图形与几何"知识内容的重要代表,所考查的内容及方法都是初中几何学习的核心内容及重要方法,是课程学习效果及评价重要体现.几何图形综合题是各地中考的必考题，难度较大，分值也较大，要想在中考中取得较高的分数，必须强化这类题目的训练．【典型例题赏析】题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题类型1 操作探究题1．图形的旋转涉及三角形的全等，会出现相等的线段或者角．若旋转角是直角，则会出现等腰直角三角形，若旋转角是60度，则会出现等边三角形．2．旋转的题目中若出现三条线段的长度，则不妨考虑通过旋转将条件集中，看是否存在直角三角形．例题1：（2015•福建第15题 12分）在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．考点：四边形综合题．.分析：（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，NF=DF，然后证明∠G ME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．解答：（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，∴AF=AG，∠FAG=90°，∵∠EAF=45°，∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；（3）解：EF=BE+DF．点评：本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．【变式练习】（2015•内蒙古赤峰25，12分）如图，四边形ABCD是边长为2，一个锐角等于60°的菱形纸片，小芳同学将一个三角形纸片的一个顶点与该菱形顶点D重合，按顺时针方向旋转三角形纸片，使它的两边分别交CB、BA（或它们的延长线）于点E、F，∠EDF=60°，当CE=AF 时，如图1小芳同学得出的结论是DE=DF．（1）继续旋转三角形纸片，当CE≠AF时，如图2小芳的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（2）再次旋转三角形纸片，当点E、F分别在CB、BA的延长线上时，如图3请直接写出DE 与DF的数量关系；（3）连EF，若△DEF的面积为y，CE=x，求y与x的关系式，并指出当x为何值时，y有最小值，最小值是多少？考点：几何变换综合题．分析：（1）如答图1，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；（2）如答图2，连接BD．根据题干条件首先证明∠ADF=∠BDE，然后证明△ADF≌△BDE（ASA），得DF=DE；（3）根据（2）中的△ADF≌△BDE得到：S△ADF=S△BDE，AF=BE．所以△DEF的面积转化为：y=S△BEF+S△ABD．据此列出y关于x的二次函数，通过求二次函数的最值来求y的最小值．解答：解：（1）DF=DE．理由如下：如答图1，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（2）DF=DE．理由如下：如答图2，连接BD．∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB．又∵∠A=60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD=BD，∠ADB=60°，∴∠DBE=∠A=60°∵∠EDF=60°，∴∠ADF=∠BDE．∵在△ADF与△BDE中，，∴△ADF≌△BDE（ASA），∴DF=DE；（3）由（2）知，△ADF≌△BDE．则S△ADF=S△BDE，AF=BE=x．依题意得：y=S△BEF+S△ABD=（2+x）xsin60°+×2×2sin60°=（x+1）2+．即y=（x+1）2+．∵＞0，∴该抛物线的开口方向向上，∴当x=0即点E、B重合时，y最小值=．点评：本题考查了几何变换综合题，解题过程中，利用了三角形全等的判定与性质，菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，对于促进角与角（边与边）相互转换，将未知角转化为已知角（未知边转化为已知边）是关键．类型2 动态探究题动态型问题包括动点、动线、动形问题，解动态问题的关键就是：从特殊情形入手，变中求不变，动中求静，抓住静的瞬间，以静制动，把动态的问题转化为静态的问题来解决．本题化动为静后利用三角形相似列比例式，表示出相关线段的长，求出函数关系．例题1：（2015•聊城，第25题12分）如图，在直角坐标系中，Rt△OAB的直角顶点A在x 轴上，OA=4，AB=3．动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度，沿AO向终点O移动；同时点N从点O出发，以每秒1.25个单位长度的速度，沿OB向终点B移动．当两个动点运动了x秒（0＜x＜4）时，解答下列问题：（1）求点N的坐标（用含x的代数式表示）；（2）设△OMN的面积是S，求S与x之间的函数表达式；当x为何值时，S有最大值？最大值是多少？（3）在两个动点运动过程中，是否存在某一时刻，使△OMN是直角三角形？若存在，求出x 的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）由勾股定理求出OB，作NP⊥OA于P，则NP∥AB，得出△OPN∽△OAB，得出比例式，求出OP、PN，即可得出点N的坐标；（2）由三角形的面积公式得出S是x的二次函数，即可得出S的最大值；（3）分两种情况：①若∠OMN=90°，则MN∥AB，由平行线得出△OMN∽△OAB，得出比例式，即可求出x的值；②若∠ONM=90°，则∠ONM=∠OAB，证出△OMN∽△OBA，得出比例式，求出x的值即可．解答：（1）根据题意得：MA=x，ON=1.25x，在Rt△OAB中，由勾股定理得：OB===5，作NP⊥OA于P，如图1所示：则NP∥AB，∴△OPN∽△OAB，∴，即，解得：OP=x，PN=，∴点N的坐标是（x，）；（2）在△OM N中，OM=4﹣x，OM边上的高PN=，∴S=OM•PN=（4﹣x）•=﹣x2+x，∴S与x之间的函数表达式为S=﹣x2+x（0＜x＜4），配方得：S=﹣（x﹣2）2+，∵﹣＜0，∴S有最大值，当x=2时，S有最大值，最大值是；（3）存在某一时刻，使△OMN是直角三角形，理由如下：分两种情况：①若∠OMN=90°，如图2所示：则MN∥AB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵MN∥AB，∴△OMN∽△OAB，∴，即，解得：x=2；②若∠ONM=90°，如图3所示：则∠ONM=∠OAB，此时OM=4﹣x，ON=1.25x，∵∠ONM=∠OAB，∠MON=∠BOA，∴△OMN∽△OBA，∴，即，解得：x=；综上所述：x的值是2秒或秒．点评：本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、坐标与图形特征、直角三角形的性质、三角形面积的计算、求二次函数的解析式以及最值等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过证明三角形相似才能得出结果．【变式练习】（2015•山东德州,第23题10分）（1）问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，∠DPC=∠A=∠B=90°，求证：AD•BC=AP•BP．（2）探究如图2，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由．（3）应用请利用（1）（2）获得的经验解决问题：如图3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，点P以每秒1个单位长度的速度，由点A出了，沿边AB向点B运动，且满足∠DPC=∠A，设点P的运动时间为t（秒），当以D为圆心，以DC为半径的圆与AB相切时，求t的值．考点：相似形综合题；切线的性质．.专题：探究型．分析：（1）如图1，由∠DPC=∠A=∠B=90°可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（2）如图2，由∠DPC=∠A=∠B=θ可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADP∽△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E，根据等腰三角形的性质可得AE=BE=3，根据勾股定理可得DE=4，由题可得DC=DE=4，则有BC=5﹣4=1．易证∠DPC=∠A=∠B．根据AD•BC=AP•BP，就可求出t的值．解答：解：（1）如图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（2）结论AD•BC=AP•BP仍然成立．理由：如图2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD•BC=AP•BP；（3）如图3，过点D作DE⊥AB于点E．∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．由勾股定理可得DE=4．∵以点D为圆心，DC为半径的圆与AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．由（1）、（2）的经验可知AD•BC=AP•BP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值为1秒或5秒．点评：本题是对K型相似模型的探究和应用，考查了相似三角形的判定与性质、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、等角的余角相等、三角形外角的性质、解一元二次方程等知识，以及运用已有经验解决问题的能力，渗透了特殊到一般的思想．类型3 类比探究题本例是将某一问题的解决方法，运用到解决不同情境下的类似问题，这类题充分体现了实践性、探究性，其解答思路的突破点是紧扣题中交代的思想方法，结合不同情境中对应知识来解决问题．例题1：（2015•辽宁铁岭）（第25题）已知：点D是等腰直角三角形ABC斜边BC所在直线上一点（不与点B重合），连接AD．（1）如图1，当点D在线段BC上时，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．求证：BD=CE，BD⊥CE．（2）如图2，当点D在线段BC延长线上时，探究AD、BD、CD三条线段之间的数量关系，写出结论并说明理由；（3）若BD=CD，直接写出∠BAD的度数．考点：几何变换综合题．.分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据旋转性质可得AD=AE，∠DAE=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAE，然后利用“边角边”证明△BAD和△CEF全等，从而得证；（2）将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可得CE=BD，CE⊥BD，根据勾股定理即可求得2AD2=BD2+CD2；（3）分两种情况分别讨论即可求得．解答：（1）证明：如图1，∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=90°，∴∠DAE=∠CAE+∠DAC=90°，∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS），∴BD=CE，∠ACE=∠ABC=45°．∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，∴BD⊥CE；（2）2AD2=BD2+CD2，理由：如图2，将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AE，连接CE．与（1）同理可证CE=BD，CE⊥BD，∵∠EAD=90°AE=AD，∴ED=AD，在RT△ECD中，ED2=CE2+CD2，∴2AD2=BD2+CD2．（3）如图3，①当D在BC边上时，将线段AD1绕点A顺时针方向旋转90°得到线段AE，连接BE，与（1）同理可证△ABE≌△ACD1，∴BE=CD1，BE⊥BC，∵BD=CD，∴BD1=BE，∴tan∠BD1E==，∴∠BD1E=30°，∵∠EAD1=EBD1=90°，∴四边形A、D1、B、E四点共圆，∴∠EAB=∠BD1E=30°，∴∠BAD1=90°﹣30°=60°；②将线段AD绕点A逆时针方向旋转90°得到线段AF，连接CF．同理可证：∠CFD2=30°，∵∠FAD2=FCD2=90°，∴四边形A、F、D2、C四点共圆，∴∠CAD2=∠CFD2=30°，∴∠BAD2=90°+30°=120°，综上，∠BAD的度数为60°或120°．点评：本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，四点共圆的判定，圆周角定理等，通过旋转得出全等三角形是本题的关键．【变式练习】（2015•江苏盐城，第26题10分）如图，把△EFP按图示方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上，已知EP=FP=4，EF=4，∠BAD=60°，且AB＞4．（1）求∠EPF的大小；（2）若AP=6，求AE+AF的值；（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值．考点：四边形综合题．分析：（1）过点P作PG⊥EF于G，解直角三角形即可得到结论；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，证明△ABC≌△ADC，R t△PME≌R t△PNF，问题即可得证；（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值解直角三角形即可解决问题．解答：解：（1）如图1，过点P作PG⊥EF于G，∵PE=PF，∴FG=EG=EF=，∠FPG=，在△FPG中，sin∠FPG===，∴∠FPG=60°，∴∠EPF=2∠FPG=120°；（2）如图2，过点P作PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=AB，DC=BC，在△ABC与△ADC中，，∴△ABC≌△ADC，∴∠DAC=∠BAC，∴PM=PN，在R t△PME于R t△PNF中，，∴R t△PME≌R t△PNF，∴FN=EM，在R t△PMA中，∠PMA=90°，∠PAM=∠DAB=30°，∴AM=AP•cos30°=3，同理AN=3，∴AE+AF=（AM﹣EM）+（AN+NF）=6；（3）如图3，当EF⊥AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF⊥AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值，设AC与EF交于点O，∵PE=PF，∴OF=EF=2，∵∠FPA=60°，∴OP=2，∵∠BAD=60°，∴∠FAO=30°，∴AO=6，∴AP=AO+PO=8，同理AP′=AO﹣OP=4，∴AP的最大值是8，最小值是4．点评：本题考查了菱形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，最值问题，等腰三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键题型2 与圆有关的几何综合题类型1 操作探究题一般分成三个问题，三个问题由易到难，由一般到特殊或由特殊到一般层层递进的方式设置问题；一般三个问题涉及到圆的切线的证明，线段相等、角相等、线段与角的计算、图形面积的计算、几何变量之间的函数关系探究、线段关系式的证明、角的关系式的证明等；常见的知识点有：垂径定理及其推论、圆心角定理及其推论、圆周角定理及其推论、切线的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、解直角三角形、全等三角形与相似三角形的性质与判定、锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值等；常见的数学思想方法有：方程思想、函数思想、由特殊到一般或由一般到特殊的探究思想等；例题1：（2015福建龙岩25，14分）如图，已知点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），与x轴交于A，B两点，抛物线y=ax2+bx+c经过A，B，C三点，点P是抛物线上的动点，且线段AP与BC所在直线有交点Q．（1）写出点D的坐标并求出抛物线的解析式；（2）证明∠ACO=∠OBC；（3）探究是否存在点P，使点Q为线段AP的四等分点？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）根据切线的性质得到点D的纵坐标是4，所以由反比例函数图象上点的坐标特征可以求得点D的坐标；过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，易得出A，B的坐标，即可求出抛物线的解析式；（2）连接AC，tan∠ACO==，tan∠CBO==，即可得出∠ACO=∠CBO．（3）分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t， t2﹣t+4），分三种情况①AQ：AP=1：4，②AQ：AP=2：4，③AQ：AP=3：4，分别求解即可．解答：解：（1）∵以D为圆心的⊙D与y轴相切于点C（0，4），∴点D的纵坐标是4，又∵点D在双曲线y=（x＞0）的图象上，∴4=，解得x=5，故点D的坐标是（5，4）．如图1，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接AD，BD，在RT△DAE中，DA=5，DE=4，∴AE==3，∴OA=OE﹣AE=2，OB=OA+2AE=8，∴A（2，0），B（8，0），设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）（x﹣8），由于它过点C（0，4），∴a（0﹣2）（0﹣8）=4，解得a=12，∴抛物线的解析式为y=12x2﹣x+4．（2）如图2，连接AC，在RT△AOC中，OA=2，CO=4，∴tan∠ACO==12，在RT△BOC中，OB=8，CO=4，∴tan∠CBO==12，∴∠ACO=∠CBO．（3）∵B（8，0），C（0，4），∴直线BC的解析式为y=﹣x+4，如图3，分别过点Q，P作QF⊥x轴，PG⊥x轴，垂足分别为F，G，设P（t，12t2﹣t+4），①AQ：AP=1：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣12x+4上，∴﹣+4=，整理得t2﹣8t﹣36=0，解得t1=4+2，t2=4﹣2，∴P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），②AQ：AP=2：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣x+4上，∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣12=0，解得P3=4+2，P4=4﹣2，∴P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；③AQ：AP=3：4，则易得Q（，），∵点Q在直线y=﹣x+4上，∴﹣•+4=，整理得t2﹣8t﹣4=0，解得t5=4+2，t6=4﹣2，∴P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+），综上所述，抛物线上存在六个点P，使Q为线段AP的三等分点，其坐标分别为P1（4+2，11﹣），P2（4﹣2，11+），P3（4+2，5﹣），P4（4﹣2，5+）；P5（4+2，3﹣），P6（4﹣2，3+）．点评：本题主要考查了二次函数的综合题，涉及双曲线，一次函数，三角函数及二次函数的知识，解题的关键是分三种情况讨论求解．【变式练习】（2015•河北,第26题14分）平面上，矩形ABCD与直径为QP的半圆K如图1摆放，分别延长DA和QP交于点O，且∠DOQ=60°，OQ=0D=3，OP=2，OA=AB=1．让线段OD及矩形ABCD位置固定，将线段OQ连带着半圆K一起绕着点O按逆时针方向开始旋转，设旋转角为α（0°≤α≤60°）．发现：（1）当α=0°，即初始位置时，点P 在直线AB上．（填“在”或“不在”）求当α是多少时，OQ经过点B．（2）在OQ旋转过程中，简要说明α是多少时，点P，A间的距离最小？并指出这个最小值；（3）如图2，当点P恰好落在BC边上时，求a及S阴影拓展：如图3，当线段OQ与CB边交于点M，与BA边交于点N时，设BM=x（x＞0），用含x的代数式表示BN的长，并求x的取值范围．探究：当半圆K与矩形ABCD的边相切时，求sinα的值．考点：圆的综合题．分析：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，得到∠DOQ=∠ABO=45°，求得α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，由OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，于是有AP≥OP ﹣OA=2﹣1=1，当α=60°时，P、A之间的距离最小，即可求得结果（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，得到∠POH=30°，求得α=60°﹣30°=30°，由于AD∥BC，得到∠RPO=∠POH=30°，求出∠RKQ=2×30°=60°，于是得到结果；拓展：如图5，由∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，得到△AON∽△BMN求出BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，求出x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，求出OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣在R t△KGO′中，∠O′=30°，求得KG=KO′=﹣，在R t△OGK中，求得结果；②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα的值③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，得到α=60°于是结论可求．解答：解：发现：（1）在，当OQ过点B时，在R t△OAB中，AO=AB，∴∠DOQ=∠ABO=45°，∴α=60°﹣45°=15°；（2）如图2，连接AP，∵OA+AP≥OP，当OP过点A，即α=60°时，等号成立，∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，∴当α=60°时，P、A之间的距离最小，∴PA的最小值=1；（3）如图2，设半圆K与PC交点为R，连接RK，过点P作PH⊥AD于点H，过点R作RE⊥KQ于点E，在R t△OPH中，PH=AB=1，OP=2，∴∠POH=30°，∴α=60°﹣30°=30°，∵AD∥BC，∴∠RPO=∠POH=30°，∴∠RKQ=2×30°=60°，∴S扇形KRQ==，在R t△RKE中，RE=RK•sin60°=，∴S△PRK=•RE=，∴S阴影=+；拓展：如图5，∵∠OAN=∠MBN=90°，∠ANO=∠BNM，∴△AON∽△BMN，∴，即，∴BN=，如图4，当点Q落在BC上时，x取最大值，作QF⊥AD于点F，BQ=AF=﹣AO=2﹣1，∴x的取值范围是0＜x≤﹣1；探究：半圆K与矩形ABCD的边相切，分三种情况；①如图5，半圆K与BC相切于点T，设直线KT与AD，OQ的初始位置所在的直线分别交于点S，O′，则∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，在R t△OSK中，OS==2，在R t△OSO′中，SO′=OS•tan60°=2，KO′=2﹣，在R t△KGO′中，∠O′=30°，∴KG=KO′=﹣，∴在R t△OGK中，sinα===，②当半圆K与AD相切于T，如图6，同理可得sinα====；③当半圆K与CD切线时，点Q与点D重合，且为切点，∴α=60°，∴sinα=sin60，综上所述sinα的值为：或或．点评：本题考查了矩形的性质，直线与圆的位置关系，勾股定理，锐角三角函数，根据题意正确的画出图形是解题的关键．类型2 动态研究题题动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题．解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．例题1：（2015•曲靖24题12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l⊥y轴于点B（0，﹣2），A为OB的中点，以A为顶点的抛物线y=ax2+c与x轴交于C、D两点，且CD=4，点P 为抛物线上的一个动点，以P为圆心，PO为半径画圆．（1）求抛物线的解析式；（2）若⊙P与y轴的另一交点为E，且OE=2，求点P的坐标；（3）判断直线l与⊙P的位置关系，并说明理由．考点：二次函数综合题．.分析：（1）根据题意可知A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0），从而可求得抛物线的解析式；（2）根据OE=2可知点E的坐标为（0，2）或（0，﹣2），从而可确定出点P的纵坐标为1或﹣1；（3）设点P的坐标为（m，），然后求得圆P的半径OP和点P到直线l的距离，根据d=r，可知直线和圆相切．解答：解：（1）∵点A为OB的中点，∴点A的坐标为（0，﹣1）．∵CD=4，由抛物线的对称性可知：点C（﹣2，0），D（2，0），将点A（0，﹣1），C（﹣2，0），D（2，0）代入抛物线的解析式得：，解得：，∴抛物线得解析式为y=．（2）如下图：过点P1作P1F⊥OE．∵OE=2，∴点E的坐标为（0，2）．∵P1F⊥OE．∴EF=OF．∴点P1的纵坐标为1．同理点P2的纵坐标为1．将y=1代入抛物线的解析式得：x1=，x2=2．∴点P1（﹣2，1），P2（﹣2，1）．如下图：当点E与点B重合时，点P3与点A重合，∴点P3的坐标为（0，﹣1）．综上所述点P的坐标为（﹣2，1）或（2，1）或（0，﹣1）．（3）设点P的坐标为（m，），∴圆的半径OP==，点P到直线l的距离=﹣（﹣2）=+1．∴d=r．∴直线l与圆P相切．点评：本题主要考查的是二次函数与圆的综合应用，根据题意确定出点E的坐标，然后再得出点P的纵坐标是解题的关键．【变式练习】（2015•温州第24题14分）如图，点A和动点P在直线l上，点P关于点A的对称点为Q，以AQ为边作Rt△ABQ，使∠BAQ=90°，AQ：AB=3：4，作△ABQ的外接圆O．点C在点P右侧，PC=4，过点C作直线m⊥l，过点O作OD⊥m于点D，交AB右侧的圆弧于点E．在射线CD上取点F，使DF=CD，以DE，DF为邻边作矩形DEGF．设AQ=3x．（1）用关于x的代数式表示BQ，DF．（2）当点P在点A右侧时，若矩形DEGF的面积等于90，求AP的长．（3）在点P的整个运动过程中，①当AP为何值时，矩形DEGF是正方形？②作直线BG交⊙O于点N，若BN的弦心距为1，求AP的长（直接写出答案）．考点：圆的综合题．.分析：（1）由AQ：AB=3：4，AQ=3x，易得AB=4x，由勾股定理得BQ，再由中位线的性质得AH=BH=AB，求得CD，FD；（2）利用（1）的结论，易得CQ的长，作OM⊥AQ于点M（如图1），则OM∥AB，由垂径定理得QM=AM=x，由矩形性质得OD=MC，利用矩形面积，求得x，得出结论；（3）①点P在A点的右侧时（如图1），利用（1）（2）的结论和正方形的性质得2x+4=3x，得AP；点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），4﹣7x=3x，解得x，易得AP；当时（如图3），7﹣4x=3x，得AP；当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），同理得AP；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B 作BM⊥EG于点M，GM=x，BM=x，易得∠GBM=45°，BM∥AQ，易得AI=AB，求得IQ，由NQ得AP；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，由GJ=x，BJ=4x得tan∠GBJ=，利用（1）（2）中结论得AI=16x，QI=19x，解得x，得AP．解答：解：（1）在Rt△ABQ中，∵AQ：AB=3：4，AQ=3x，∴AB=4x，∴BQ=5x，∵OD⊥m，m⊥l，∴OD∥l，∵OB=OQ，∴=2x，∴CD=2x，∴FD==3x；（2）∵AP=AQ=3x，PC=4，∴CQ=6x+4，作OM⊥AQ于点M（如图1），∴OM∥AB，∵⊙O是△ABQ的外接圆，∠BAQ=90°，∴点O是BQ的中点，∴QM=AM=x∴OD=MC=，∴OE=BQ=，∴ED=2x+4，S矩形DEGF=DF•DE=3x（2x+4）=90，解得：x1=﹣5（舍去），x2=3，∴AP=3x=9；（3）①若矩形DEGF是正方形，则ED=DF，I．点P在A点的右侧时（如图1），∴2x+4=3x，解得：x=4，∴AP=3x=12；II．点P在A点的左侧时，当点C在Q右侧，0＜x＜时（如图2），∵ED=4﹣7x，DF=3x，∴4﹣7x=3x，解得：x=，∴AP=；当≤x＜时（如图3），∵ED=7﹣4x，DF=3x，∴7﹣4x=3x，解得：x=1（舍去），当点C在Q的左侧时，即x≥（如图4），DE=7x﹣4，DF=3x，∴7x﹣4=3x，解得：x=1，∴AP=3，综上所述：当AP为12或或3时，矩形DEGF是正方形；②连接NQ，由点O到BN的弦心距为l，得NQ=2，当点N在AB的左侧时（如图5），过点B作BM⊥EG于点M，∵GM=x，BM=x，∴∠GBM=45°，∴BM∥AQ，∴AI=AB=4x，∴IQ=x，∴NQ==2，∴x=2，∴AP=6；当点N在AB的右侧时（如图6），过点B作BJ⊥GE于点J，∵GJ=x，BJ=4x，∴tan∠GBJ=，∴AI=16x，∴QI=19x，∴NQ==2，∴x=，∴AP=，综上所述：AP的长为6或．点评：本题主要考查了勾股定理，垂径定理，正方形的性质，中位线的性质等，结合图形，分类讨论是解答此题的关键．【拓展演练】1.（2015•贵州省贵阳,第25题9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）2. （2015，广西玉林，25，10分）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，点P是AB边上一点（不与A，B重合），连接CP，过点P作PQ⊥CP交AD边于点Q，连接CQ．（1）当△CDQ≌△CPQ时，求AQ的长；（2）取CQ的中点M，连接MD，MP，若MD⊥MP，求AQ的长．3.（2015•丹东，第25题12分）在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O；在Rt△PMN 中，∠MPN=90°．（1）如图1，若点P与点O重合且PM⊥AD、PN⊥AB，分别交AD、AB于点E、F，请直接写出PE与PF的数量关系；（2）将图1中的Rt△PMN绕点O顺时针旋转角度α（0°＜α＜45°）．①如图2，在旋转过程中（1）中的结论依然成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；②如图2，在旋转过程中，当∠DOM=15°时，连接EF，若正方形的边长为2，请直接写出线段EF的长；③如图3，旋转后，若Rt△PMN的顶点P在线段OB上移动（不与点O、B重合），当BD=3BP 时，猜想此时PE与PF的数量关系，并给出证明；当BD=m•BP时，请直接写出PE与PF的数量关系．4．（2015·湖北省潜江市、天门市、仙桃市、江汉油田第24 题10分）已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是MN=BM+DN ；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD 交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．5.（2015•黄石第24题，9分）在△AOB中，C，D分别是OA，OB边上的点，将△OCD绕点O顺时针旋转到△OC′D′．（1）如图1，若∠AOB=90°，OA=OB，C，D分别为OA，OB的中点，证明：①AC′=BD′；②AC′⊥BD′；（2）如图2，若△AOB为任意三角形且∠AOB=θ，CD∥AB，AC′与BD′交于点E，猜想∠AEB=θ是否成立？请说明理由．6.（2015•内蒙古呼伦贝尔兴安盟，第24题8分）（2015•呼伦贝尔）如图，已知直线l与⊙O相离．OA⊥l于点A，交⊙O于点P，OA=5，AB与⊙O相切于点B，BP的延长线交直线l 于点C．（1）求证：AB=AC；（2）若PC=2，求⊙O的半径．7.（2015•天津,第21题10分）（2015•天津）已知A、B、C是⊙O上的三个点．四边形OABC 是平行四边形，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．（Ⅰ）如图①，求∠ADC的大小．（Ⅱ）如图②，经过点O作CD的平行线，与AB交于点E，与交于点F，连接AF，求∠FAB 的大小．8.（2015•辽宁省盘锦,第23题12分）如图1，AB为⊙O的直径，点P是直径AB上任意一点，过点P作弦CD⊥AB，垂足为P，过点B的直线与线段AD的延长线交于点F，且∠F=∠ABC．（1）若CD=2，BP=4，求⊙O的半径；（2）求证：直线BF是⊙O的切线；（3）当点P与点O重合时，过点A作⊙O的切线交线段BC的延长线于点E，在其它条件不变的情况下，判断四边形AEBF是什么特殊的四边形？请在图2中补全图象并证明你的结论．【拓展演练】参考答案1.（2015•贵州省贵阳,第25题9分）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=4，AD=12，将矩形纸片折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，此时PD=3．（1）求MP的值；（2）在AB边上有一个动点F，且不与点A，B重合．当AF等于多少时，△MEF的周长最小？（3）若点G，Q是AB边上的两个动点，且不与点A，B重合，GQ=2．当四边形MEQG的周长最小时，求最小周长值．（计算结果保留根号）考点：几何变换综合题．专题：综合题．分析：（1）根据折叠的性质和矩形性质以得PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，然后利用勾股定理可计算出MP=5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，利用两点之间线段最短可得点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，则AM=AD﹣MP﹣PD=4，所以AM=AM′=4，再证明ME=MP=5，接着利用勾股定理计算出MN=3，所以NM′=11，然后证明△AFM′∽△NEM′，则可利用相似比计算出AF；（3）如图2，由（2）知点M′是点M关于AB的对称点，在EN上截取ER=2，连接M′R交AB于点G，再过点E作EQ∥RG，交AB于点Q，易得QE=GR，而GM=GM′，于是MG+QE=M′R，利用两点之间线段最短可得此时MG+EQ最小，于是四边形MEQG的周长最小，在Rt△M′RN 中，利用勾股定理计算出M′R=5，易得四边形MEQG的最小周长值是7+5．解答：解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=4，∠D=90°，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴PD=PH=3，CD=MH=4，∠H=∠D=90°，∴MP==5；（2）如图1，作点M关于AB的对称点M′，连接M′E交AB于点F，则点F即为所求，过点E作EN⊥AD，垂足为N，∵AM=AD﹣MP﹣PD=12﹣5﹣3=4，∴AM=AM′=4，∵矩形ABCD折叠，使点C落在AD边上的点M处，折痕为PE，∴∠CEP=∠MEP，。

【中考复习方案】2016中考数学专题突破八代数综合作业手册

代数综合方程与函数是初中代数学习中极为重要的内容，在北京中考试卷中，2015年代数综合题出现在第27题，分值为7分．代数综合题主要以方程、函数这两部分为考查重点，用到的数1．[2015·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，过点(0，2)且平行于x 轴的直线与直线y ＝x－1交于点A ，点A 关于直线x ＝1的对称点为B ，抛物线C 1：y ＝x 2＋bx ＋c 经过点A ，B. (1)求点A ，B 的坐标；(2)求抛物线C 1的函数解析式及顶点坐标； (3)若抛物线C 2：y ＝ax 2(a ≠0)与线段AB 恰有一个公共点，结合函数的图象求a 的取值范围．2．[2014·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)．(1)求抛物线的函数解析式及对称轴；(2)设点B 关于原点的对称点为C ，点D 是抛物线对称轴上的一动点，记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G (包含A ，B 两点)．若直线CD 与图象G 有公共点，结合函数图象，求点D 纵坐标t 的取值范围．3．[2013·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B.(1)求点A ，B 的坐标；(2)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线l 的函数解析式； (3)若该抛物线在－2<x <－1这一段位于直线l 的上方，并且在2<x <3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的函数解析式．4．[2012·北京] 已知二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等．(1)求二次函数的解析式；(2)若一次函数y ＝kx ＋6的图象与二次函数的图象都经过点A (－3，m )，求m 和k 的值； (3)设二次函数的图象与x 轴交于点B ，C (点B 在点C 的左侧)，将二次函数的图象在点B ，C 间的部分(含点B 和点C )向左平移n (n ＞0)个单位长度后得到的图象记为G ，同时将(2)中得到的直线y ＝kx ＋6向上平移n 个单位长度．请结合图象回答：当平移后的直线与图象G 有公共点时，求n 的取值范围．图Z8－15．[2011·北京] 在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y 轴交于点C . (1)求点A 的坐标；(2)当∠ABC ＝45°时，求m 的值；(3)已知一次函数y ＝kx ＋b ，点P ()n ，0是x 轴上的一个动点，在(2)的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数y ＝mx 2＋()m －3x －3()m >0的图象于点N .若只有当－2<n <2时，点M 位于点N 的上方，求这个一次函数的解析式．图Z8－21．[2015·海淀一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ，顶点为B ，点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称． (1)求直线BC 的函数解析式；(2)点D 在抛物线上，且点D 的横坐标为4.将抛物线在点A ，D 之间的部分(包含点A ，D )记为图象G ，若图象G 向下平移t (t >0)个单位后与直线BC 只有一个公共点，求t 的取值范围．图Z8－32．[2015·朝阳一模] 如图Z8－4，将抛物线M 1：y ＝ax 2＋4x 向右平移3个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到抛物线M 2，直线y ＝x 与M 1的一个交点记为A ，与M 2的一个交点记为B ，点A 的横坐标是－3. (1)求a 的值及M 2的函数解析式．(2)点C 是线段AB 上的一个动点，过点C 作x 轴的垂线，垂足为D ，在CD 的右侧作正方形CDEF .①当点C 的横坐标为2时，直线y ＝x ＋n 恰好经过正方形CDEF 的顶点F ，求此时n 的值； ②在点C 的运动过程中，若直线y ＝x ＋n 与正方形CDEF 始终没有公共点，求n 的取值范围(直接写出结果)．图Z8－43．[2015·西城一模] 已知二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点． (1)求C 1对应的函数解析式；(2)将C 1先向左平移1个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到抛物线C 2，将C 2对应的函数解析式记为y 2＝x 2＋mx ＋n ，求C 2对应的函数解析式；(3)设y 3＝2x ＋3，在(2)的条件下，如果在－2≤x ≤a 内存在．．某一个x 的值，使得y 2≤y 3成立，利用函数图象直接写出a 的取值范围．图Z8－54．[2015·东城一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1，与y 轴交于点C.(1)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的函数解析式．(2)若点D 在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上，当△ACD 的周长最小时，求点D 的坐标．(3)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0的对称轴上是否存在点P ，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．图Z8－65．[2015·石景山一模] 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －3(m ≠0)与x 轴交于A (3，0)，B 两点．(1)求抛物线的函数解析式及点B 的坐标；(2)将－2<x <3时的函数图象记为G ，求此时函数y 的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象G 在x 轴上方的部分沿x 轴翻折，图象G 的其余部分保持不变，得到一个新图象M.若经过点C(4，2)的直线y＝kx＋b(k≠0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．6．[2015·通州一模] 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与一次函数y1＝x＋k的图象交于A(0，1)，B两点，C(1，0)为二次函数图象的顶点．(1)求二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的解析式；(2)在平面直角坐标系中画出二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象和一次函数y1＝x＋k的图象；(3)把(1)中的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象平移后得到新的二次函数y2＝ax2＋bx＋c＋m(a≠0，m为常数)的图象，定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1，y2中的较小值；如果y1＝y2，函数f 的函数值等于y1(或y2)．”当新函数f的图象与x轴有三个交点时，直接写出m的取值范围．7．[2015·海淀二模] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2－2mx＋m＋4与y轴交于点A(0，3)，与x轴交于点B，C(点B在点C左侧)．(1)求该抛物线的函数解析式及点B，C的坐标；(2)抛物线的对称轴与x轴交于点D，若直线y＝kx＋b经过点D和点E(－1，－2)，求直线DE的函数解析式；(3)在(2)的条件下，已知点P(t，0)，过点P作垂直于x轴的直线交抛物线于点M，交直线DE于点N，若点M和点N中至少有一个点在x轴下方，直接写出t的取值范围．图Z8－78．[2014·海淀期中] 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－(m－1)x－m(m>0)与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)求点A的坐标；(2)当S△ABC＝15时，求该抛物线的函数解析式；(3)在(2)的条件下，经过点C的直线l：y＝kx＋b(k<0)与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象．请结合图象回答：若新函数的最小值大于－8，求k的取值范围．图Z8－89．[2015·平谷一模] 已知抛物线y＝ax2＋x＋c(a≠0)经过A(－1，0)，B(2，0)两点，与y 轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．(1)求该抛物线的函数解析式及点D的坐标；(2)点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为22时，求点E的坐标；(3)在(2)的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO＋∠EPO＝∠α，当tanα＝2时，求点P 的坐标．图Z8－910．[2015·怀柔一模] 在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象与x轴有交点，a为正整数．(1)求a的值；(2)将二次函数y＝(a－1)x2＋2x＋1的图象向右平移m个单位长度，再向下平移(m2＋1)个单位长度，当－2≤x≤1时，二次函数有最小值－3，求实数m的值．图Z8－10参考答案1.解：(1)当＝2时，2＝－1，＝3. ∴A(3，2)．∵点A ，B 关于直线x ＝1对称， ∴B (－1，2)．(2)把(3，2)，(－1，2)代入y ＝x 2＋bx ＋c ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝9＋3b ＋c ，2＝1－b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－1.∴抛物线C 1的解析式为y ＝x 2－2x －1，顶点坐标为(1，－2)． (3)如图，当C 2过点A ，点B 时为临界状态，将A (3，2)代入y ＝ax 2，则9a ＝2，a ＝29，将B (－1，2)代入y ＝ax 2，则a ＝2， ∴29≤a ＜2. 2．解：(1)∵y ＝2x 2＋mx ＋n 经过点A (0，－2)，B (3，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，18＋3m ＋n ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ＝－2.∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2. ∴对称轴为直线x ＝1.(2)由题意可知C (－3，－4)．二次函数y ＝2x 2－4x －2的最小值为－4. 如图，由图象可以看出点D 纵坐标的最小值即为－4，最大值为直线BC 与抛物线对称轴的交点的纵坐标．由B (3，4)，C (－3，－4)可知直线BC 的函数解析式为y ＝43x .当x ＝1时，y ＝43.∴－4≤t ≤43.3．解：(1)当x ＝0时，y ＝－2， ∴A (0，－2)，抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m2m＝1，∴B (1，0)．(2)易得点A 关于对称轴直线x ＝1的对称点为A ′(2，－2)，点B 关于对称轴对称的点仍为点B ，∴直线l 经过点A ′，B.设直线l 的函数解析式为y ＝kx ＋b (k ≠0)．则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2，k ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝2，故直线l 的函数解析式为y ＝－2x ＋2. (3)∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称．如图，结合图象可以观察到抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方，∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1. 当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4， ∴抛物线与直线l 的一个交点为(－1，4)．当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4，解得m ＝2，∴抛物线的函数解析式为y ＝2x 2－4x －2.4．解：(1)∵二次函数y ＝(t ＋1)x 2＋2(t ＋2)x ＋32在x ＝0和x ＝2时的函数值相等，∴0＋0＋32＝4(t ＋1)＋4(t ＋2)＋32，解得t ＝－32，∴二次函数的解析式是y ＝－12x 2＋x ＋32.(2)把A (－3，m )代入y ＝－12x 2＋x ＋32得m ＝－12×(－3)2－3＋32＝－6，即A (－3，－6)．将A (－3，－6)代入y ＝kx ＋6，得－6＝－3k ＋6，解得k ＝4，故m ＝－6，k ＝4.(3)由题意可知，点B ，C 间的部分图象的函数解析式是y ＝－12(x －3)(x ＋1)(－1≤x ≤3)，则抛物线平移后得到图象G 的函数解析式是y ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )(－n －1≤x ≤3－n )，此时直线平移后的解析式是y ＝4x ＋6＋n .如果平移后的直线与平移后的二次函数图象相切，则方程4x ＋6＋n ＝－12(x －3＋n )(x ＋1＋n )有两个相等的实数解，即－12x 2－(n ＋3)x －12n 2－92＝0有两个相等的实数解，Δ＝[－(n ＋3)]2－4×(－12)×(－12n 2－92)＝6n ＝0，解得n ＝0.∵与已知n ＞0相矛盾，∴平移后的直线与平移后的抛物线不相切，∴结合图象可知，如果平移后的直线与抛物线有公共点，则两个临界的交点为(－n －1，0)，(3－n ，0)， ∴0＝4(－n －1)＋6＋n ，解得n ＝23.0＝4(3－n )＋6＋n ，解得n ＝6.故n 的取值范围是23≤n ≤6.5．解：(1)∵点A ，B 是二次函数y ＝mx 2＋(m －3)x －3(m ＞0)的图象与x 轴的交点，∴令y ＝0，即mx 2＋(m －3)x －3＝0，解得x 1＝－1，x 2＝3m.又∵点A 在点B 左侧且m ＞0， ∴点A 的坐标为(－1，0)． (2)由(1)可知点B 的坐标为(3m ，0)．∵二次函数的图象与y 轴交于点C ， ∴点C 的坐标为(0，－3)．∵∠ABC ＝45°，∴3m＝3，解得m ＝1.(3)由(2)得，二次函数的解析式为y ＝x 2－2x －3.依题意并结合图象(如图)可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为－2和2，由此可得交点坐标为(－2，5)和(2，－3)．将交点坐标分别代入一次函数解析式y ＝kx ＋b 中，得⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝5，2k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1. ∴一次函数的解析式为y ＝－2x ＋1.1.解：(1)∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2与y 轴交于点A ， ∴点A 的坐标为(0，2)．∵y ＝12x 2－x ＋2＝12(x －1)2＋32， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点B 的坐标为(1，32)．又∵点C 与点A 关于抛物线的对称轴对称，∴点C 的坐标为(2，2)，且点C 在抛物线上．设直线BC 的函数解析式为y ＝kx ＋b .∵直线BC 经过点B (1，32)和点C (2，2)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝32，2k ＋b ＝2.解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝1.∴直线BC 的函数解析式为y ＝12x ＋1. (2)如图所示，∵抛物线y ＝12x 2－x ＋2中，当x ＝4时，y ＝6， ∴点D 的坐标为(4，6)．∵直线y ＝12x ＋1中，当x ＝0时，y ＝1，当x ＝4时，y ＝3，∴点E 的坐标为(0，1)，点F 的坐标为(4，3)．设点A 平移后的对应点为点A ′，点D 平移后的对应点为点D ′.当图象G 向下平移至点A ′与点E 重合时，点D ′在直线BC 上方，此时t ＝1；当图象G 向下平移至点D ′与点F 重合时，点A ′在直线BC 下方，此时t ＝3.结合图象可知，符合题意的t 的取值范围是1＜t ≤3.2．解：(1)∵点A 在直线y ＝x 上，且点A 的横坐标是－3，∴A (－3，－3)．把A (－3，－3)代入y ＝ax 2＋4x ，解得a ＝1.∴M 1：y ＝x 2＋4x ，顶点坐标为(－2，－4)，∴抛物线M 2的顶点坐标为(1，－1)．∴抛物线M 2的函数解析式为y ＝x 2－2x .(2)①如图，由题意，知C (2，2)，∴F (4，2)．∵直线y ＝x ＋n 经过点F ，∴2＝4＋n .解得n ＝－2.②n ＞3或n ＜－6.3．解：(1)∵二次函数y 1＝x 2＋bx ＋c 的图象C 1经过(－1，0)，(0，－3)两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－b ＋c ＝0，c ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3. ∴抛物线C 1的函数解析式为y 1＝x 2－2x －3.(2)∵y 1＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线C 1的顶点坐标为(1，－4)．∴平移后抛物线C 2的顶点坐标为(0，0)，∴C 2对应的函数解析式为y 2＝x 2.(3)a ≥－1(如图)．4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋1()a ≠0过点A ()－1，0，B ()1，1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1＝0，a ＋b ＋1＝1. ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝12.∴抛物线的函数解析式为y ＝－12x 2＋12x ＋1. (2)∵x ＝－b 2a ＝12， ∴抛物线y ＝－12x 2＋12x ＋1的对称轴为直线x ＝12. 设点E 为点A 关于直线x ＝12的对称点，则点E 的坐标为()2，0. 连接EC 交直线x ＝12于点D ，此时△ACD 的周长最小．设直线EC 的函数解析式为y ＝kx ＋m ，代入点E ，C 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋m ＝0，m ＝1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，m ＝1.∴直线EC 的函数解析式为y ＝－12x ＋1. 当x ＝12时，y ＝34. ∴点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34. (3)存在．①当点A 为直角顶点时，过点A 作AC 的垂线交y 轴于点M ，交对称轴于点P 1.∵AO ⊥OC ，AC ⊥AP 1，∴∠AOM ＝∠CAM ＝90°.∵C ()0，1，A ()－1，0，∴OA ＝OC ＝1.∴∠CAO ＝45°，∴∠OAM ＝∠OMA ＝45°，∴OA ＝OM ＝1.∴点M 的坐标为()0，－1.设直线AM 对应的一次函数的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，代入点A ，M 的坐标，则⎩⎪⎨⎪⎧－k 1＋b 1＝0，b 1＝－1. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－1，b 1＝－1. ∴直线AM 的函数解析式为y ＝－x －1.令x ＝12，则y ＝－32. ∴点P 1的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32. ②当点C 为直角顶点时，过点C 作AC 的垂线交对称轴于点P 2，交x 轴于点N .与①同理可得Rt △CON 是等腰直角三角形，∴OC ＝ON ＝1，∴点N 的坐标为()1，0.∵CP 2⊥AC ，AP 1⊥AC ，∴CP 2∥AP 1，∴直线CP 2的函数解析式为y ＝－x ＋1.令x ＝12，则y ＝12. ∴点P 2的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12.综上所述，在对称轴上存在点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12，使△ACP 成为以AC 为直角边的直角三角形．5．解：(1)将A ()3，0代入y ＝mx 2－2mx －3，解得m ＝1.∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－2x －3.令y ＝0，则x 2－2x －3＝0，解得x 1＝3，x 2＝－1，∴点B 的坐标为()－1，0. (2)y ＝x 2－2x －3＝()x －12－4. ∵当－2<x <1时，y 随x 增大而减小；当1≤x <3时，y 随x 增大而增大，∴当x ＝1，y min ＝－4；当x ＝－2，y ma x ＝5.∴y 的取值范围是－4≤y <5.(3)如图，当直线y ＝kx ＋b 经过点B ()－1，0，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝25x ＋25. 当直线y ＝kx ＋b 经过点()－2，－5，C ()4，2时，其函数解析式为y ＝76x －83. 结合图象可得b 的取值范围是－83<b <25.6．解：(1)设抛物线的函数解析式为y ＝a (x －1)2.由抛物线过点A (0，1)，可得y ＝x 2－2x ＋1.(2)如图①：(3)如图②③，由图可知－4<m <0.7．解：(1)∵抛物线y ＝mx 2－2mx ＋m ＋4与y 轴交于点A (0，3)，∴m ＋4＝3，解得m ＝－1，∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与x 轴交于点B ，C ，∴令y ＝0，即－x 2＋2x ＋3＝0.解得x 1＝－1，x 2＝3.又∵点B 在点C 左侧，∴点B 的坐标为(－1，0)，点C 的坐标为(3，0)．(2)∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1.∵抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，∴点D 的坐标为(1，0)．∵直线y ＝kx ＋b 经过点D (1，0)和点E (－1，－2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，－k ＋b ＝－2. 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，b ＝－1. ∴直线DE 的函数解析式为y ＝x －1.(3)t <1或t >3.8．解：(1)∵抛物线y ＝x 2－(m －1)x －m (m >0)与x 轴交于A ，B 两点，∴令y ＝0，即x 2－(m －1)x －m ＝0.解得x 1＝－1，x 2＝m .又∵点A 在点B 左侧，且m >0，∴点A 的坐标为(－1，0)．(2)由(1)可知点B 的坐标为(m ，0)．∵抛物线与y 轴交于点C ，∴点C 的坐标为(0，－m )．∵m >0，∴AB ＝m ＋1，OC ＝m .∵S △ABC ＝15，∴12(m ＋1)m ＝15. 解得m ＝－6或m ＝5.∵m >0，∴m ＝5，∴抛物线的函数解析式为y ＝x 2－4x －5.(3)由(2)可知点C 的坐标为(0，－5)．∵直线l ：y ＝kx ＋b (k <0)经过点C ，∴b ＝－5，∴直线l 的解析式为y ＝kx －5(k <0)．∵y ＝x 2－4x －5＝(x －2)2－9，∴当点D 在抛物线顶点处或对称轴左侧时，新函数的最小值均为－9，不符合题意．当点D 在抛物线对称轴右侧时，新函数的最小值有可能大于－8(如图)．令y ＝－8，即x 2－4x －5＝－8.解得x 1＝1(不合题意，舍去)，x 2＝3.∴抛物线经过点(3，－8)．当直线y ＝kx －5(k <0)经过点(3，－8)时，可求得k ＝－1.由图象可知，当－1<k <0时新函数的最小值大于－8.9．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2＋x ＋c (a ≠0)经过A (－1，0)，B (2，0)两点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋c ＝0，4a ＋2＋c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，c ＝2. ∴抛物线的函数解析式为y ＝－x 2＋x ＋2，∴点D 的坐标为(12，94)． (2)如图①，作EN ∥BC ，交y 轴于点N ，过点C 作 CM ⊥EN 于点M .令x ＝0，得y ＝2，∴OC ＝OB ＝2，∴∠OCB ＝45°.∵EN ∥BC ，∴∠CNM ＝∠OCB ＝45°.∵CM ⊥EN 于点M ，∴∠CNM ＝∠MCN ＝45°，∴MN ＝CM ＝22， ∴CN ＝1.∴直线NE 的函数解析式为y ＝－x ＋3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－x 2＋x ＋2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点E 的坐标为(1，2)．(3)如图②，过点E 作EF ⊥AB 于点F .由(2)知tan ∠EOF ＝2，又∵tan α＝2，∴∠EOF ＝∠α.∵∠EOF ＝∠EAO ＋∠AEO ＝∠α，∠EAO ＋∠EPO ＝∠α，∴∠EPO ＝∠AEO .∵∠EAO ＝∠PAE ，∴△AEP ∽△AOE ， ∴AP AE ＝AE AO.∵AE ＝22＋22＝2 2，AO ＝1，∴AP ＝8，∴OP ＝7，∴P ()7，0，由对称性可得P ′()－5，0.∴点P 的坐标为()7，0或()－5，0.10．解：(1)∵二次函数y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1的图象与x 轴有交点，令y ＝0，则(a －1)x 2＋2x ＋1＝0，∴4－4(a －1)≥0，解得a ≤2.∵a 为正整数，∴a 为1或2.又∵y ＝(a －1)x 2＋2x ＋1是二次函数，∴a －1≠0，∴a ≠1，∴a 的值为2.(2)∵a ＝2，∴二次函数的解析式为y ＝x 2＋2x ＋1.将二次函数y ＝x 2＋2x ＋1化成顶点式为y ＝(x ＋1)2，二次函数图象向右平移m 个单位长度，再向下平移(m 2＋1)个单位长度后的函数解析式为y＝(x ＋1－m )2－(m 2＋1)．此时函数图象的顶点坐标为(m －1，－m 2－1)．当m －1＜－2，即m ＜－1时，在x ＝－2处二次函数有最小值－3，∴－3＝(－1－m )2－(m 2＋1)，解得m ＝－32，符合题目要求．当－2≤m －1≤1，即－1≤m ≤2时，在x ＝m －1处二次函数有最小值－3，即－m 2－1＝－3，解得m ＝± 2.∵m ＝－2不符合－1≤m ≤2的条件，舍去．∴m ＝ 2.当m －1＞1，即m ＞2时，在x ＝1处二次函数有最小值－3，∴－3＝(2－m )2－(m 2＋1)，解得m ＝32，不符合m ＞2的条件，舍去．综上所述，m 的值为－32或 2.。

【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案

【12份】2016年中考数学总复习专题提升测试及答案目录专题提升(一)数形结合与实数的运算 (1)专题提升(二)代数式的化简与求值 (4)专题提升(三)列方程(组)解应用题 (8)专题提升(四)一次函数图象与性质的综合应用 (11)专题提升(五)反比例函数图象与性质的综合应用 (19)专题提升(六)二次函数图象与性质的综合应用 (26)专题提升(七)统计与概率的综合运用 (35)专题提升(八)以特殊三角形为背景的计算与证明 (45)专题提升(九)以特殊四边形为背景的计算与证明 (50)专题提升(十)与圆有关的计算与证明 (60)专题提升(十一)巧用图形变换进行计算与证明 (65)专题提升(十二)以圆为背景的相似三角形的计算与证明 (70)专题提升(一)数形结合与实数的运算1．如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是(D)(第1题图)A. 2.5B. 2 2C. 3D. 5 2．计算8³12＋(2)0的结果为(C ) A. 2＋ 2 B. 2＋1 C. 3 D. 53．已知实数m ，n 在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(C )(第3题图)A. m >0B. n <0C. mn <0D. m －n >04．定义一种运算☆，其规则为a ☆b ＝1a ＋1b ，根据这个规则，计算2☆3的值是(A )A. 56B. 15C. 5D. 65．如图，数轴上的A ，B ，C ，D 四点中，与表示数－3的点最接近的是(B )(第5题图)A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D6．实数a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，则|a |＞|b |(填“＞”“＜”或“＝”)．(第6题图)7．计算：|3－23|＋(π－2016)0＋⎝⎛⎭⎫12－18．已知a －1＋|a ＋b ＋1|＝0，则a b ＝__1__．9．按下面程序计算：输入x ＝3，则输出的答案是__12__．10．定义运算a ⊗b ＝a (1－b )，下面给出了关于这种运算的几个结论：①2⊗(－2)＝6；②a ⊗b ＝b ⊗a ；③若a ＋b ＝0，则(a ⊗a )＋(b ⊗b )＝2ab ；④若a ⊗b ＝0，则a ＝0.其中正确结论的序号是__①③__(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)． 11．设S 1＝1＋112＋122，S 2＝1＋122＋132，S 3＝1＋132＋142，…，S n ＝1＋1n 2＋1（n ＋1）2.设S ＝S 1＋S 2＋…＋S n ，则S ＝n 2＋2nn ＋1(用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)．12．下面两个多位数1248624……，6248624……都是按照如下方法得到的：将第一位数字乘2，若积为一位数，将其写在第2位上；若积为两位数，则将其个位数字写在第2位．对第2位数字再进行如上操作得到第3位数字……后面的每一位数字都是由前一位数字进行如上操作得到的．当第1位数字是3时，仍按如上操作得到一个多位数，则这个多位数前100位的所有数字之和是495．13．有一数值转换器，原理如图所示，若开始输入x 的值是5，可发现第1次输出的结果是8，第2次输出的结果是4……则第2015次输出的结果是__4__．(第13题图)解：由已知可得：第1次输出的结果为8，第2次输出的结果为4，第3次输出的结果为2，第4次输出的结果为1，第5次输出的结果为4……所以规律为从第2次开始每三次一个循环，(2015－1)÷3＝671……1，所以第2015次输出的结果是4.14．计算：(π－5)0＋38＋(－1)2015－3tan60°. 解：原式＝1＋2－1－3³3＝－1.15．计算：(3－2)0＋⎝⎛⎭⎫13－1＋4cos 30°－|3－27|.解：原式＝1＋3＋4³32－23＝4. 16．我们曾经研究过n ³n 的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12＋22＋32＋…＋n 2.但n 为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来探究并解决这个问题．首先，通过探究我们已经知道0³1＋1³2＋2³3＋…＋(n —1)³n ＝13n (n ＋1)(n －1)时，我们可以这样做：(1)观察并猜想：12＋22＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＝1＋0³1＋2＋1³2＝(1＋2)＋(0³1＋1³2) 12＋22＋32＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3 ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3 ＝(1＋2＋3)＋(0³1＋1³2＋2³3)12＋22＋32＋42＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3＋________________ ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3＋________________________________________________________________________＝(1＋2＋3＋4)＋(__________________________) ……(2)归纳结论：12＋22＋32＋…＋n 2＝(1＋0)³1＋(1＋1)³2＋(1＋2)³3＋…＋(1＋n －1)³n ＝1＋0³1＋2＋1³2＋3＋2³3＋…＋n ＋(n －1)³n＝(________________)＋(______________) ＝__________________＋________________＝16³__________________ (3)实践应用：通过以上探究过程，我们就可以算出当n 为100时，正方形网格中正方形的总个数是______________．解：(1)依次填：(1＋3)³4；4＋3³4；0³1＋1³2＋2³3＋3³4.(2)依次填：1＋2＋3＋…＋n ；0³1＋1³2＋2³3＋＋…＋(n －1)³n ；12n (n ＋1)；13n (n＋1)(n—1)；n(n＋1)(2n＋1)．(3)338350.17．如图，点A，B在数轴上分别表示有理数a，b，且A，B两点之间的距离表示为AB，在数轴上A，B两点之间的距离AB＝|a－b|.(第17题图)回答下列问题：(1)在数轴上表示2和5的两点之间的距离是__3__，在数轴上表示1和－3的两点之间的距离是__4__．(2)在数轴上表示x和－5的两点之间的距离是|x＋5|．(3)若x表示一个有理数，则|x－1|＋|x＋3|有最小值吗？若有，请求出最小值；若没有，请说明理由．解：(1)数轴上表示2和5的两点之间的距离是|5－2|＝3，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是|1－(－3)|＝4.(2)根据绝对值的定义知：数轴上表示x和－5的两点之间的距离是|x－(－5)|＝|x＋5|或|－5－x|＝|x＋5|.(3)根据绝对值的定义知：|x－1|＋|x＋3|可表示点x到表示1与－3的两点的距离之和．根据几何意义分析可知：当x在－3与1之间时，|x－1|＋|x＋3|有最小值4.18．我们知道，一元二次方程x2＝－1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于－1.若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝－1(即方程x2＝－1有一个根为i)，并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝－1，i3＝i2²i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n＋1＝i4n²i＝(i4)n²i＝i，同理可得i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1.求i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2015＋i2016的值．解：由题意得，i1＝i，i2＝－1，i3＝i2·i＝(－1)·i＝－i，i4＝(i2)2＝(－1)2＝1，i5＝i4·i ＝i，i6＝i5·i＝－1，故可发现4次一循环，一个循环内的和为0.∵2016÷4＝504，即2016是4的整数倍．∴i＋i2＋i3＋i4＋…＋i2015＋i2016＝0.专题提升(二)代数式的化简与求值1．下列计算正确的是(C)A. －3x2y²5x2y＝2x2yB. －2x2y3²2x3y＝－2x5y4C. 35x3y2÷(5x2y)＝7xyD. (－2x－y)(2x＋y)＝4x2－y22．下列各式的变形中，正确的是(A)A. (－x－y)(－x＋y)＝x2－y2B. 1x －x ＝1－x xC. x 2－4x ＋3＝(x －2)2＋1D. x ÷(x 2＋x )＝1x＋13．已知1a －1b ＝13，则2aba －b 的值是(D )A. 16B. －16 C. 6 D. －64．实数a 在数轴上的位置如图所示，则（a －4）2＋（a －11）2化简后为(A )(第4题图)A. 7B. －7C. 2a －15D. 无法确定5．已知m ＝1＋2，n ＝1－2，则代数式m 2＋n 2－3mn 的值为(C ) A. 9 B. ±3 C. 3 D. 56．化简⎝⎛⎭⎫2x x ＋2－x x －2÷xx 2－4的结果为x －6．7．已知x ，y 为实数，且满足1＋x －(y －1)1－y ＝0，那么x 2016＋y 2016＝__2__．8．若1（2n －1）（2n ＋1）＝a 2n －1＋b 2n ＋1，对任意自然数n 都成立，则a ＝__12__，b＝__12__；计算：m ＝11³3＋13³5＋15³7＋…＋119³21＝__1021__．解：∵1（2n －1）（2n ＋1）＝12（2n －1）－12（2n ＋1）＝a 2n －1＋b 2n ＋1，∴a ＝12，b ＝12.∴m ＝11³3＋13³5＋15³7＋…＋119³21＝⎝⎛⎭⎫12－16＋⎝⎛⎭⎫16－110＋…＋⎝⎛⎭⎫138－142＝12－142＝1021. 9．已知|6－3m |＋(n －5)2＝3m －6－（m －3）n 2，则m －n __－2__．10．观察下列等式：第一个等式：a 1＝31³2³22＝11³2－12³22；第二个等式：a 2＝42³3³23＝12³22－13³23；第三个等式：a 3＝53³4³24＝13³23－14³24；第四个等式：a 4＝64³5³25＝14³24－15³25. 按上述规律，回答以下问题：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式： a n ＝n ＋2n （n ＋1）·2n 1＝1n ·2n －1（n ＋1）·2n ＋1； (2)计算：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20.解：(1)用含n 的代数式表示第n 个等式： a n ＝n ＋2n （n ＋1）·2n ＋1＝1n ³2n －1（n ＋1）·2（n ＋1）.(2)a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝11³2－12³22＋12³22－13³23＋13³23－14³24＋…＋120³220－121³221＝12－121³221. 11．先化简，再求值：(a ＋b )(a －b )＋b (a ＋2b )－b 2，其中a ＝1，b ＝－2. 解：原式＝a 2－b 2＋ab ＋2b 2－b 2＝a 2＋ab .当a ＝1，b ＝－2时，原式＝12＋1³(－2)＝1－2＝－1.12．先化简，再求值：m 2－2m ＋1m 2－1÷⎝ ⎛⎭⎪⎫m －1－m －1m ＋1，其中m ＝ 3. 解：原式＝m 2－2m ＋1m 2－1÷（m －1）（m ＋1）－（m －1）m ＋1＝（m －1）2（m －1）（m ＋1）·m ＋1m 2－1－m ＋1 ＝m －1m ＋1·m ＋1m 2－m ＝m －1m 2－m ＝m －1m （m －1）＝1m. 当m ＝3时，原式＝1m ＝13＝33.13．先化简，再求值：⎝⎛⎭⎫1x －1－1x ＋1÷x ＋2x 2－1，其中x 满足2x －6＝0.解：原式＝x ＋1－x ＋1（x －1）（x ＋1）÷x ＋2x 2－1＝2（x －1）（x ＋1）·（x ＋1）（x －1）x ＋2＝2x ＋2. ∵2x －6＝0，∴x ＝3. 当x ＝3时，原式＝2x ＋2＝25.14．已知A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－xx －1.(1)化简A .(2)当x 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0且x 为整数时，求A 的值．解：(1)A ＝x 2＋2x ＋1x 2－1－x x －1＝（x ＋1）2（x ＋1）（x －1）－x x －1＝x ＋1x －1－x x －1＝1x －1.(2)解x －1≥0，得x ≥1；解x －3<0，得x <3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x －3<0的解为1≤x <3. ∵x 为整数，∴x ＝1，2. 当x ＝1时，分式无意义．当x ＝2时，A ＝12－1＝1.15．先化简，再求值：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－b 2a 2－2ab ＋b 2＋a b －a ÷b 2a 2－ab ，其中a ，b 满足a ＋1＋|b －3|＝0.解：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤（a ＋b ）（a －b ）（a －b ）2－a a －b ·a （a －b ）b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a －b －a a －b ·a （a －b ）b 2＝ba －b·a （a －b ）b 2＝ab. ∵a ＋1＋|b －3|＝0， ∴a ＋1＝0，b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝ 3.当a ＝－1，b ＝3时，原式＝－13＝－33.16．为鼓励学生努力学习，某校拿出了b 元资金作为奖学金，其中一部分作为奖学金发给了n 个学生．奖金分配方案如下：首先将n 个学生按学习成绩、思想道德评价(假设n 个学生的综合评分均不相同)从高到低，由1到n 排序，第1位学生得奖金bn 元，然后再将余额除以n 发给第2位学生，按此方法将奖金逐一发给了n 个学生．(1)假设第k 个学生得到的奖金为a k 元(1≤k ≤n )，试用k ，n 和b 表示a k .(2)比较a k 和a k ＋1的大小(k ＝1，2，…，n －1)，并解释此结果就奖学金设置原则的合理性．解：(1)a k ＝b n⎝⎛⎭⎫1－1n k －1.(2)∵a k ＝b n ⎝⎛⎭⎫1－1n k －1，a k ＋1＝b n ⎝⎛⎭⎫1－1n k，∴a k ＋1＝⎝⎛⎭⎫1－1n a k ＜a k ，说明排名越靠前获得的奖学金越多．专题提升(三) 列方程(组)解应用题一、一元一次方程的应用1．某商品连续两次降价10%后的价格是81元，则该商品原来的价格是(A ) A. 100元 B. 90元 C. 810元 D. 819元2．某品牌电动车经销商一月份销售该品牌电动车100辆，二月份的销售量比一月份增加10%，二月份每辆电动车的售价比一月份每辆电动车的售价低80元，二月份的销售总额比一月份销售总额多12200元，问：一月份每辆电动车的售价是多少元？解：设一月份每辆电动车的售价是x 元，根据题意，得 100x ＋12200＝(x －80)³100³(1＋10%)，解得x ＝2100.答：一月份每辆电动车的售价是2100元．3．现有甲、乙两种金属的合金10 kg ，如果加入甲种金属若干，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占2份，甲种金属占3份，如果加入的甲种金属是第一次加入的2倍，那么重新熔炼后的合金中乙种金属占3份，甲种金属占7份，第一次加入的甲种金属多少？原来这块合金中甲种金属的百分比是多少？解：设原来这块合金中甲种金属的百分比是x ，则甲种金属有10x (kg)，乙种金属有(10－10x )kg ，根据题意，得(10－10x )÷310－10＝2³[(10－10x )÷25－10]，解得x ＝40%.则(10－10³40%)÷25－10＝5(kg)．答：第一次加入的甲种金属是5 kg ，原来这块合金中甲种金属的百分比是40%. 二、二元一次方程(组)的应用4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)，已知加密规则为：明文a ，b ，c ，d 对应密文a ＋2b ，2b ＋c ，2c ＋3d ，4d .例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16.当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为(B )A. 7，6，1，4B. 6，4，1，7C. 4，6，1，7D. 1，6，4，7 5某校七年级(1)、(2)两班计划去游览该景点，其中(1)班人数少于50人，(2)班人数多于50人且少于100人，如果两班都以班为单位单独购票，那么一共支付1118元；如果两班联合起来作为一个团体购票，那么只需花费816元．(1)两个班各有多少名学生？(2)团体购票与单独购票相比较，两个班各节约了多少钱？解：(1)设七年级(1)班有x 人、七年级(2)班有y 人，由题意，得①⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1118，8（x ＋y ）＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝49，y ＝53. ②⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋10y ＝1118，10（x ＋y ）＝816，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝151，y ＝－69.4.(不合题意舍去) 答：七年级(1)班有49人、七年级(2)班有53人． (2)七年级(1)班节省的费用为(12－8)³49＝196(元)，七年级(2)班节省的费用为(10－8)³53＝106(元)．6．由大小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨．请根据以上信息，提出一个能用方程(组)解决的问题，并写出这个问题的解答过程．解：本题的答案不唯一．问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨？解：设1辆大车一次运货x 吨，1辆小车一次运货y 吨．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝22，2x ＋6y ＝23，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2.5.则x ＋y ＝4＋2.5＝6.5(吨)．答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨．三、一元二次方程的应用7．股票每天的涨、跌幅均不超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是(B )A. (1＋x )2＝1110B. (1＋x )2＝109C. 1＋2x ＝1110D. 1＋2x ＝1098．如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12 m 的住房墙，另外三边用25 m 长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1 m 宽的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80 m 2?(第8题图)解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为x (m)，则平行于墙的一边的长为(25－2x ＋1)m ，由题意，得x (25－2x ＋1)＝80，化简，得x 2－13x ＋40＝0，解得x 1＝5，x 2＝8.当x ＝5时，26－2x ＝16＞12(舍去)；当x ＝8时，26－2x ＝10＜12，答：所围矩形猪舍的长为10 m 、宽为8 m.9．某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元． (1)求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率．(2)根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．解：(1)设增长率为x ，根据题意，得 2500(1＋x )2＝3025，解得x ＝0.1＝10%或x ＝－2.1(不合题意，舍去)．答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%. (2)3025³(1＋10%)＝3327.5(万元)．答：根据(1)所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元．四、分式方程的应用10．现有纯农药一桶，倒出20升后用水补满，然后又倒出10升，再用水补满，这时，桶中纯农药与水的体积之比为3∶5，则桶的容积为40升．11．扬州建城2500年之际，为了继续美化城市，计划在路旁栽树1200棵，由于志愿者的参加，实际每天栽树的棵数比原计划多20%，结果提前2天完成，则原计划每天栽树多少棵？解：设原计划每天种树x 棵，则实际每天栽树的棵数为(1＋20%)棵．由题意，得1200x －1200（1＋20%）x＝2，解得x ＝100.经检验，x ＝100是原分式方程的解，且符合题意．答：原计划每天种树100棵．12．某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600 m 道路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10 h 完成任务．(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路_________________m.(2)问：原计划每小时抢修道路多少米？解：(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路3600³13＝1200(m)，故答案为1200.(2)设原计划每小时抢修道路x (m)，根据题意，得1200x ＋3600－1200[（1＋50%）x ]＝10，解得x ＝280.经检验，x ＝280是原方程的解，且符合题意．答：原计划每小时抢修道路280 m.专题提升(四) 一次函数图象与性质的综合应用1．在同一平面直角坐标系中，函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝bx ＋a 的图象可能是(C )2．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1 cm ，BC ＝2 cm ，点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿折线AC →CB →BA 运动，最终回到点A ，设点P 的运动时间为x (s)，线段AP 的长度为y (cm)，则能够反映y 与x 之间函数关系的图象大致是(A ),(第2题图))(第14题图)3．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，△OAB 沿x 轴向右平移后得到△O ′A ′B ′，点A 的对应为点为直线y ＝34x 上一点，则点B 与其对应点B ′间的距离为 (C )A. 94B. 3C. 4D. 54．汽车以60 km/h 的速度在公路上匀速行驶，1 h 后进入高速路，继续以100 km/h 的速度匀速行驶，则汽车行驶的路程s (km)与行驶的时间t (h)的函数关系的大致图象是(C )5．把直线y ＝－x ＋3向上平移m 个单位后，与直线y ＝2x ＋4的交点在第一象限，则m 的取值范围是(C )A. 1＜m ＜7B. 3＜m ＜4C. m ＞1D. m ＜46．如图，已知一条直线经过点A (0，2)，B (1，0)，将这条直线向左平移，使其与x 轴、y 轴分别交与点C ，D .若DB ＝DC ，则直线CD 的函数表达式为y ＝－2x －2．,(第6题图))7．已知直线y ＝－（n ＋1）n ＋2x ＋1n ＋2(n 为正整数)与坐标轴围成的三角形的面积为S n ，则S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2012＝__5032014__．解：令x ＝0，则y ＝1n ＋2；令y ＝0，则－n ＋1n ＋2x ＋1n ＋2＝0，解得x ＝1n ＋1.∴S n ＝12·1n ＋1·1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，∴S 1＋S 2＋S 3＋…＋S 2012＝12³⎝⎛12－13＋13－14＋14－15＋…＋12013－⎭⎫12014＝12³⎝⎛⎭⎫12－12014＝5032014. 8．已知直线y ＝kx ＋b ，若k ＋b ＝5，kb ＝6，那么该直线不经过第__四__象限．9．如图，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(3，4)，点P 为x 轴上的一点．若点B 关于直线AP 的对称点B ′恰好落在x 轴上，则点P 的坐标为__(43，0)__．(第9题图)10．已知水银体温计的读数y (℃)与水银柱的长度x (cm)之间是一次函数关系．现有一支水银体温计，其部分刻度线不清晰(如图)，表中记录的是该体温计部分清晰刻度线及其对应水银柱的长度．(第10(1)求y 关于x 的函数关系式(不需要写出函数自变量的取值范围)．(2)用该体温计测体温时，水银柱的长度为6.2 cm ，求此时体温计的读数．解：(1)设y 关于x 的函数关系式为y ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧35＝4.2k ＋b ，40＝8.2k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝54，b ＝29.75.∴y ＝54x ＋29.75.∴y 关于x 的函数关系式为y ＝54x ＋29.75.(2)当x ＝6.2时，y ＝³6.2＋29.75＝37.5.答：此时体温计的读数为37.5 ℃.(第11题图)11．如图，一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝kx 的图象交于A ，B 两点，点A 坐标为(m ，2)，点B 坐标为(－4，n )，OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为13，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴的垂线，交反比例函数图象于点D ，连结OD ，BD .(1)求一次函数与反比例函数的表达式． (2)求四边形OCBD 的面积．解：(1)如解图，过点A 作AE ⊥x 轴于点E .(第11题图解)∵点A (m ，2)，tan ∠AOE ＝13，∴tan ∠AOE ＝AE OE ＝2m ＝13，∴m ＝6，∴点A (6，2)．∵y ＝kx 的图象过点A (6，2)，∴2＝k6，∴k ＝12，∴反比例函数的表达式为 y ＝12x .∵点B (－4，n )在 y ＝12x 的图象上，∴n ＝12－4＝－3，∴点B (－4，－3)．∵一次函数y ＝ax ＋b 过A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧6k ＋b ＝2，－4k ＋b ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝12，b ＝－1. ∴一次函数的表达式为y ＝12x －1.(2)对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，∴点C (0，－1)．当y ＝－1时，－1＝12x ，∴x ＝－12，∴点D (－12，－1)， ∴S 四边形OCDB ＝S △ODC ＋S △BDC＝12³|－12|³|－1|＋12³|－12|³|(－3)－(－1)| ＝6＋12 ＝18.12．甲、乙两车从A 地驶向B 地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早行驶2 h ，并且甲车途中休息了0.5 h ，如图是甲、乙两车行驶的距离y (km)与时间x (h)的函数图象．(第12题图)(1)求出图中m ，a 的值．(2)求出甲车行驶路程y (km)与时间x (h)的函数表达式，并写出相应的x 的取值范围． (3)当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50 km? 解：(1)由题意，得 m ＝1.5－0.5＝1.120÷(3.5－0.5)＝40， ∴a ＝40³1＝40. ∴a ＝40，m ＝1. (2)∵260÷40＝6.5，6.5＋0.5＝7，∴0≤x ≤7.当0≤x ≤1时，设y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 1x ，由题意，得 40＝k 1， ∴y ＝40x ；当1＜x ≤1.5时， y ＝40；当1.5＜x ≤7时，设y 与x 之间的函数表达式为y ＝k 2x ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧40＝1.5k 2＋b ，120＝3.5k 2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝40，b ＝－20.∴y ＝40x －20.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧40x （0≤x ≤1），40（1<x ≤1.5），40x －20（1.5<x ≤7）.(3)设乙车行驶的路程y 与时间x 之间的函数表达式为y ＝k 3x ＋b 3，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝2k 3＋b 3，120＝3.5k 3＋b 3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝80，b 3＝－160.∴y ＝80x －160.当40x －20－50＝80x －160时，解得x ＝94.当40x －20＋50＝80x －160时，解得x ＝194.94－2＝14，194－2＝114. 答：乙车行驶14 h 或114h ，两车恰好相距50 km.13．经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度v (千米/小时)是车流密度x (辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表明：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度．(2)在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？(3)车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数(即：车流量＝车流速度³车流密度)．求大桥上车流量y 的最大值．解：(1)设车流速度v 与车流密度x 的函数关系式为v ＝kx ＋b ，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧80＝20k ＋b ，0＝220k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－25，b ＝88.∴当20≤x ≤220时，v ＝－25x ＋88，当x ＝100时，v ＝－25³100＋88＝48(千米/小时)．(2)由题意，得⎩⎨⎧－25x ＋88>40，－25x ＋88<60，解得70＜x ＜120.∴应控制大桥上的车流密度在70～120辆/千米范围内． (3)设车流量y 与x 之间的关系式为y ＝v x ，当0≤x ≤20时， y ＝80x .∵k ＝80＞0，∴y 随x 的增大而增大， ∴x ＝20时，y 最大＝1600；当20≤x ≤220时y ＝(－25x ＋88)x ＝－25(x －110)2＋4840，∴当x ＝110时，y 最大＝4840. ∵4840＞1600，∴当车流密度是110辆/千米，车流量y 取得最大值，是每小时4840辆． 14．某市政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居民医疗保险制度，设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为x 元，按上述标准报销的金额为y 元． (1)直接写出x ≤50000时，y 关于x 的函数表达式，并注明自变量x 的取值范围． (2)若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，则他住院医疗费用是多少元？解：(1)由题意得：①当x ≤8000时，y ＝0；②当8000＜x ≤30000时，y ＝(x －8000)³50%＝0.5x －4000；③当30000＜x ≤50000时，y ＝(30000－8000)³50%＋(x －30000)³60%＝0.6x －7000. (2)当花费30000元时，报销钱数为y ＝0.5³30000－4000＝11000， ∵20000＞11000，∴他的住院医疗费用超过30000元，当花费是50000元时，报销钱数为y ＝11000＋20000³0.6＝23000(元)，故住院医疗费用小于50000元．故把y ＝20000代入y ＝0.6x －7000中，得 20000＝0.6x －7000，解得x ＝45000.答：他住院医疗费用是45000元．15．某农户计划购买甲、乙两种油茶树苗共1000株．已知乙种树苗比甲种树苗每株贵3元，且用100元钱购买甲种树苗的株数与用160元钱购买乙种树苗的株数刚好相同．(1)求甲、乙两种油茶树苗每株的价格．(2)如果购买两种树苗共用5600元，那么甲、乙两种树苗各买了多少株？(3)调查统计得，甲、乙两种树苗的成活率分别为90%，95%.要使这批树苗的成活率不低于92%，且使购买树苗的费用最低，应如何选购树苗？最低费用是多少？解：(1)设甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为x 元，y 元，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋3，100x ＝160y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝8.答：甲、乙两种油茶树苗每株的价格分别为5元，8元．(2)设购买甲种树苗a 株，则购买乙种树苗(1000－a )株，由题意，得 5a ＋8(1000－a )＝5600，解得a ＝800，∴乙种树苗购买株数为1000－800＝200株．答：购买甲种树苗800株，购买乙种树苗200株．(3)设购买甲种树苗b 株，则购买乙种树苗(1000－b )株，设购买的总费用为W 元，由题意，得90%b ＋95%(1000－b )≥1000³92%，解得b ≤600.易得W ＝5b ＋8(1000－b )＝－3b ＋8000， ∵k ＝－3＜0，∴W 随b 的增大而减小，∴当b ＝600时，W 最低＝6200元．答：购买甲种树苗600株，购买乙种树苗400株时，费用最低，最低费用是6200元． 16．某动车站在原有的普通售票窗口外新增了无人售票窗口，普通售票窗口从上午8点开放，而无人售票窗口从上午7点开放．某日从上午7点到10点，每个普通售票窗口售出的车票数y 1(张)与售票时间x (小时)的变化趋势如图①，每个无人售票窗口售出的车票数y 2(张)与售票时间x (h)的变化趋势是以原点为顶点的抛物线的一部分，如图②.若该日截至上午9点，每个普通售票窗口与每个无人售票窗口售出的车票数恰好相同．(1)求图②中所确定抛物线的表达式．(2)若该日共开放5个无人售票窗口，截至上午10点，两种窗口共售出的车票数不少于900张，则至少需要开放多少个普通售票窗口？(第16题图)解：(1)设y 2＝ax 2，当x ＝2时，y 1＝y 2＝40，把点(2，40)的坐标代入y 2＝ax 2，得 4a ＝40，解得a ＝10， ∴y 2＝10x 2.(2)设y 1＝kx ＋b (1≤x ≤3)，把点(1，0)，(2，40)的坐标分别代入y 1＝kx ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋b ＝0，2k ＋b ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝40，b ＝－40. ∴y 1＝40x －40.∴当x ＝3时，y 1＝80，y 2＝90.设需要开放m 个普通售票窗口，由题意，得 80m ＋90³5≥900，∴m ≥558.∵m 取整数， ∴m ≥6.答：至少需要开放6个普通售票窗口．专题提升(五) 反比例函数图象与性质的综合应用(第1题图)1．反比例函数y ＝mx 的图象如图所示，有以下结论：①常数m ＜－1；②在每个象限内，y 随x 的增大而增大；③若点A (－1，h )，B (2，k )在图象上，则h ＜k ；④若点P (x ，y )在图象上，则点P ′(－x ，－y )也在图象上．其中正确的是(C ) A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④2．下列函数中，当x >0时，y 随x 的增大而增大的是(B ) A. y ＝－x ＋1 B. y ＝x 2－1 C. y ＝1xD. y ＝－x 2＋13．已知圆柱的侧面积是20π cm 2，若圆柱底面半径为r (cm)，高为h (cm)，则h 关于r 的函数图象大致是(A )(第4题图)4．如图，△AOB 是直角三角形，∠AOB ＝90°，OB ＝2OA ，点A 在反比例函数y ＝1x 的图象上．若点B 在反比例函数y ＝kx的图象上，则k 的值为(A )A. －4B. 4C. －2D. 2(第5题图)5．如图，在反比例函数y ＝－6x (x <0)的图象上任取一点P ，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，那么四边形PMON 的面积为__6__．6．反比例函数y ＝2a －1x 的图象有一支位于第一象限，则常数a 的取值范围是__a >12__．(第7题图)7．如图，在平面直角坐标系中，菱形OBCD 的边OB 在x 轴正半轴上，反比例函数y ＝kx (x >0)的图象经过该菱形对角线的交点A ，且与边BC 交于点F .若点D 的坐标为(6，8)，则点F 的坐标是⎝⎛⎭⎫12，83．(第8题图)8．如图，反比例函数y ＝kx 的图象经过点(－1，－22)，点A 是该图象第一象限分支上的动点，连结AO 并延长交另一支于点B ，以AB 为斜边作等腰直角三角形ABC ，顶点C 在第四象限，AC 与x 轴交于点P ，连结BP .(1)k(2)在点A 运动过程中，当BP 平分∠ABC 时，点C(第9题图)9．如图，在直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝k 1x ＋b 的图象与反比例函数y ＝k 2x 的图象交于A (1，4)，B (3，m )两点．(1)求一次函数的表达式． (2)求△AOB 的面积．解：(1)把点A (1，4)代入y ＝k 2x 得，k 2＝4.∴反比例函数的表达式为y ＝4x .把点B (3，m )代入y ＝4x 得，m ＝43∴点B 的坐标为(3，43)．把点A (1，4)，B (3，43)的坐标代入y ＝k 1x ＋b 得，⎩⎪⎨⎪⎧k 1＋b ＝4，3k 1＋b ＝43，解得⎩⎨⎧k 1＝－43，b ＝163. ∴一次函数的表达式为y ＝－43x ＋163.(2)∵直线y ＝－43x ＋163与x 轴的交点坐标为(4，0)，∴S △AOB ＝12³4³4－12³4³43＝163.10．人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体时是动态的，车速增加，视野变窄．当车速为50 km/h 时，视野为80度．如果视野f (度)是车速v (km/h)的反比例函数，求f ，v 之间的关系式，并计算当车速为100 km/h 时视野的度数．解：设f ，v 之间的关系式为f ＝kv (k ≠0)． ∵v ＝50时，f ＝80，∴80＝k 50. 解得k ＝4000. ∴f ＝4000v .当v ＝100时，f ＝4000100＝40(度)．答：f ＝4000v ，当车速为100 km/h 时视野为40度．11．某地计划用120～180天(含120与180天)的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万m 3.(1)写出运输公司完成任务所需的时间y (天)与平均每天的工作量x (万m 3)之间的函数表达式，并给出自变量x 的取值范围．(2)由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000 m 3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3?解：(1)由题意，得y ＝360x .把y ＝120代入y ＝360x ，得x ＝3；把y ＝180代入y ＝360x ，得x ＝2.∴自变量x 的取值范围是2≤x ≤3. ∴y ＝360x(2≤x ≤3)．(2)设原计划平均每天运送土石方x (万m 3)，则实际平均每天运送土石方(x ＋0.5)万m 3，由题意，得360x －360x ＋0.5＝24化简，得x 2＋0.5x －7.5＝0.解得x 1＝2.5，x 2＝－3，经检验，x 1＝2.5，x 2＝－3均为原方程的根，但x 2＝－3不符合实际意义，故舍去．又∵2≤x ≤3，∴x 1＝2.5满足条件，即原计划平均每天运送土石方2.5万m 3，实际平均每天运送土石方3万m 3.(第12题图)12．工匠制作某种金属工具需要进行材料煅烧和锻造两道工序，即需要将材料烧到800 ℃，然后停止煅烧进行锻造操作，经过8 min 时，材料温度降为600 ℃.煅烧时温度y (℃)与时间x (min)成一次函数关系；锻造时，温度y (℃)与时间x (min)成反比例函数关系(如图)．已知该材料初始温度是32 ℃.(1)分别求出材料煅烧和锻造时y 关于x 的函数表达式，并且写出自变量x 的取值范围． (2)根据工艺要求，当材料温度低于480 ℃时，须停止操作．那么锻造的操作时间有多长？解：(1)停止加热时，设y ＝kx(k ≠0)，由题意，得600＝k8，解得k ＝4800，∴y ＝4800x.当y ＝800时，4800x＝800，解得x ＝6，∴点B 的坐标为(6，800)．材料加热时，设y ＝ax ＋32(a ≠0)，由题意，得800＝6a ＋32，解得a ＝128.∴材料加热时，y 关于x 的函数表达式为y ＝128x ＋32(0≤x ≤6)．停止加热进行操作时，y 关于x 的函数表达式为y ＝4800x (6＜x ≤20)．(2)把y ＝480代入y ＝4800x ，得x ＝10，10－6＝4(min)．答：锻造的操作时间为4 min.(第13题图)13．如图，已知点A ，P 在反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象上，点B ，Q 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1，AB ⊥x 轴(点A 在点B 下方)，且S △OAB ＝4.若P ，Q 两点关于y 轴对称，设点P 的坐标为(m ，n )．(1)求点A 的坐标和k 的值．(2)求n m ＋mn的值．解：(1)∵点B 在直线y ＝x －3上，点B 的纵坐标为－1， ∴当y ＝－1时，x －3＝－1，解得x ＝2， ∴点B (2，－1)．设点A 的坐标为(2，t )，则t ＜－1，AB ＝－1－t . ∵S △OAB ＝4， ∴12(－1－t )³2＝4，解得t ＝－5，∴点A 的坐标为(2，－5)．∵点A 在反比例函数y ＝kx (k ＜0)的图象上，∴－5＝k2，解得k ＝－10.(2)∵P ，Q 两点关于y 轴对称，点P 的坐标为(m ，n )， ∴点Q (－m ，n )， ∵点P 在反比例函数y ＝－10x的图象上，点Q 在直线y ＝x －3上， ∴n ＝－10m ，n ＝－m －3，∴mn ＝－10，m ＋n ＝－3，∴n m ＋m n ＝m 2＋n 2mn ＝（m ＋n ）2－2mn mn ＝（－3）2－2³（－10）－10＝－2910.(第14题图)14．我市某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18 ℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (时)变化的函数图象，其中BC 段是反比例函数y ＝kx 图象的一部分．请根据图中信息解答下列问题：(1)恒温系统在这天保持大棚内温度为18 ℃的时间有多少小时？ (2)求k 的值．(3)当x ＝16时，大棚内的温度约为多少度？解：(1)恒温系统在这天保持大棚温度18 ℃的时间为10 h.(2)∵点B (12，18)在反比例函数y ＝kx 的图象上，∴18＝k12，∴解得k ＝216.(3)当x ＝16时，y ＝21616＝13.5，∴当x ＝16时，大棚内的温度约为13.5 ℃.15．已知双曲线y ＝1x (x ＞0)，直线l 1：y －2＝k (x －2)(k ＜0)过定点F 且与双曲线交于A ，B 两点，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1＜x 2)，直线l 2：y ＝－x ＋ 2.(1)若k ＝－1，求△OAB 的面积S .(2)若AB ＝522，求k 的值．(第15题图)(3)设N (0，22)，P 在双曲线上，M 在直线l 2上且PM ∥x 轴，求PM ＋PN 最小值，并求PM ＋PN 取得最小值时点P 的坐标．(参考公式：在平面直角坐标系中，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)则A ，B 两点间的距离为AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2.解：(1)当k ＝－1时，l 1：y ＝－x ＋22，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋22，y ＝1x ，化简，得x 2－22x ＋1＝0，解得x 1＝2－1，x 2＝2＋1.设直线l 1与y 轴交于点C ，则C (0，22)． S △OAB ＝S △BOC －S △AOC ＝12³22(x 2－x 1)＝2 2.(2)根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k （x －2），y ＝1x，整理，得kx 2＋2(1－k )x －1＝0(k ＜0)，∵Δ＝[2(1－k )]2－4³k ³(－1)＝2(1＋k 2)＞0， ∴x 1，x 2 是方程的两个根，∴⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2（k －1）k ①，x 1·x 2＝－1k ，∴AB ＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2 ＝（x 1－x 2）2＋⎝⎛⎭⎫1x 1－1x 22＝（x 1－x 2）2⎝⎛⎭⎫1＋1x 12·x 22 ＝[（x 1＋x 2）2－4x 1·x 2]⎝⎛⎭⎫1＋1x 12·x 22将①代入，得AB ＝2（k 2＋1）2k 4＝2（k 2＋1）k 2(k ＜0)， ∴2（k 2＋1）k 2＝522，解得k ＝63(舍去)，或 k ＝－63.(第15题图解)(3)易得点F (2，2)，如解图：设点P ⎝⎛⎭⎫x ，1x ，则点M ⎝⎛⎭⎫－1x ＋2，1x ，则PM ＝x ＋1x － 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x －22＝x 2＋1x2－22⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋4. ∵PF ＝（x －2）2＋⎝⎛⎭⎫1x －22＝x 2＋1x2－22⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋4， ∴PM ＝PF .∴PM ＋PN ＝PF ＋PN ≥NF ＝2，当点P 在NF 上时等号成立，此时NF 对应的函数表达式为y ＝－x ＋22，由(1)知此时点P (2－1，2＋1)，∴当点P 的坐标是(2－1，2＋1)时，PM ＋PN 的值最小，最小值是2.专题提升(六) 二次函数图象与性质的综合应用(第1题图)1．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象，下列结论： ①二次三项式ax 2＋bx ＋c 的最大值为4；②4a ＋2b ＋c ＜0；③一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝1的两根之和为－1； ④使y ≤3成立的x 的取值范围是x ≥0. 其中正确的个数有(B ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个(第2题图)2．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝OC .则下列结论：①abc <0；②b 2－4ac 4a >0；③ac －b ＋1＝0；④OA ·OB ＝－ca .其中正确结论的个数是(B )A. 4B. 3C. 2D. 13．对于抛物线y ＝－12(x ＋1)2＋3，有下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x ＝1；③顶点坐标为(－1，3)；④x ＞1时，y 随x 的增大而减小．其中正确结论的个数为(C )A. 1B. 2C. 3D. 4(第4题图)4．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的图象如图所示，若点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在此函数图象上，且x 1<x 2<1，则y 1与y 2的大小关系是(B )A. y 1 ≤y 2B. y 1 ＜y 2C. y 1 ≥y 2D. y 1 ＞y 25．已知A (－2，y 1)，B (1，y 2)，C (2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为(A )A. y 1>y 2>y 3B. y 1>y 3>y 2C. y 3>y 2>y 1D. y 3>y 1>y 26．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是(A )。

2016届中学考试数学通用版复习专题学案几何综合题

实用文档几何综合题【题型特征】以几何知识为主体的综合题,简称几何综合题,主要研究图形中点与.一般以相似为中心,以圆为线之间的位置关系、数量关系,以及特定图形的判定和性质. ,常常是圆与三角形、四边形、相似三角形、锐角三角函数等知识的综合运用重点【解题策略】解答几何综合题应注意:(1)注意观察、分析图形,把复杂的图形分.(2)通过添加辅助线补全或构造基本图形掌握常规的证题方法和思解成几个基本图形,.还要灵运用方程的思想解决几何计算问题,路;(3)运用转化的思想解决几何证明问题.活运用其他的数学思想方法等.这类问是以计算为主线综合各种几何知识的问题几何计算型综合问题,【小结】.解题时必须在充题的主要特点是包含知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活分利用几何图形的性质及题设的基础上挖掘几何图形中隐含的数量关系和位置关系,在复杂的“背景”下辨认、分解基本图形,或通过添加辅助线补全或构造基本图形,并善.合理运用方程等各种数学思想才能解决突破思维障碍,于联想所学知识,.值得一提的是,在近年各【提醒】几何论证型综合题以知识上的综合性引人注目地的中考试题中,几何论证型综合题的难度普遍下降,出现了一大批探索性试题,根据新课标的要求,减少几何中推理论证的难度,加强探索性训练,将成为几何论证型综合题命.题的新趋势为了复习方便,我们将几何综合题分为:以三角形为背景的综合题;以四边形为背景. ;的综合题以圆为背景的综合题以三角形为背景的综合题类型一实用文档BDABCEFBCABDE且,,,)(2015·江苏泰州如图,分别在是△上的角平分线,点典例1ABEF AC. ,∥∥BE=AF;:(1)求证ABC=BD=ADEF.求四边形°,的面积(2)若∠6,60DEABEF ACADEF ABD=∠,由,∥可证得四边形,∠∥是平行四边形(1)【技法梳理】BDEBDABCBDE是等腰三角形,即可证得结论,,又由易得△是△;的角平分线DDGABGEEHBDHDGDE的长,与作于点⊥,于点,过点易求得作继⊥首先过点(2).而求得答案∵DEABEF AC,∥∥,【解析】(1)∴ADEF ABD=BDE.∠是平行四边形,四边形∠∴AF=DE.∵BDABC的角平分线, 是△∴ABD=DBE.∠∠∴DBE=BDE.∠∠∴BE=DE.∴BE=AF.DDGABGEEHBDH,过点(2)过点作⊥于点,作⊥于点实用文档ABCBD∵ABC=, 是∠60°,∠的平分线.ABD=EBD=∴∠°30∠.DE=BE=∴2.DG=∴ADEFDE四边形·的面积为6 举一反三BP ACB=AC=BC=ABC.,6cm,从点8cm,动点·湖北武汉)如图,Rt△中,∠出发90°,1(2015CBQACBA边上以每秒从点在在出发边上以每秒5cm的速度向点,匀速运动同时动点,PQ.<t<tB 2),的速度向点连接匀速运动,运动时间为秒(04cm tABCBPQ; 求与△的值相似,(1)若△tCP AQAQCP;求,,若的值⊥,连接(2).ABCPQ的一条中位线上:(3)试证明的中点在△(1)实用文档(2))1题(第此类题考查了平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及【小结】..注意掌握数形结合思想的应用注意掌握辅助线的作法,三角函数等知识以四边形为背景的综合题类型二PBCABCDEFaP 过的边长为边上一动点,,典例2(1),(2015·安徽)如图正六边形是N.CDPNDEPMABAFM作交∥交∥于于点,作①MPN= ; (1)∠aPM+PN=②; :3求证OM=ONOMADONO;,:,(2)如图(2),点是,的中点连接求证OMGNOGMONADO?判断四边形是否为特殊四边形,(3),(3)如图点是的中点平分∠,.并说明理由实用文档(1)(2)(3)ABCDEF①∵,(1)是正六边形四边形【全解】.F=C=D=E=B=∴A=∠120∠°∠∠∠∠CDPN∵PMAB, ∥∥,.NPC=∴BPM= 60°,∠°∠60NPC-BPM-∴MPN=∠°∠∠180.=-=- 60°60°°60°180. 60°故答案为KDKPNHBHMP AG②MPGMPCLLPN,(1),如图作⊥交于点,⊥于点,⊥于点,⊥于点实用文档(1)OE.连接(2)如图(2),(2)DCPNABCDEF ABMP∵, ∥,∥,四边形是正六边形AM=BP=EN.∴OA=OEMAO=NOE=, 60°又∠,∠OMAONE,中在△和△.OMA∴ONE△≌△(SAS)实用文档∴OM=ON.OE. (3),连接(3)如图(3)ONEOMA,,△≌△由(2)得EON.MOA=∴∠∠OEAF∵EF AO,,∥∥.AOEF∴是平行四边形四边形.AOE=∴AFE=∠120∠°.∴MON=∠°120.∴GON=∠°60EON--EONDON=GON=∵, ∠,∠60∠°60°∠DON.∴GOE=∠∠OEGOD=OEODN=∵,∠∠,DONGOE,中在△和∠.GOE∴NOD△≌△(ASA)实用文档∴ON=OG.GON=60°,又∠∴ONG.是等边三角形△∴ON=NG.∵OM=ONMOG=60°, ,∠∴MOG.是等边三角形△∴MG=GO=MO.∴MO=ON=NG=MG.∴MONG.是菱形四边形①MPN=-BPM-NPC②AGMPMP于点∠⊥(1)【技法梳理】求解运用∠,180°交∠作GBHMPHCLPNLDKPNKMP+PN=MG+GH+HP+PL+LK+KN求解;⊥⊥于点,,于点⊥于点利用,,OEOMAONE证明;(2)连接≌△,由△OEOMAONEGOENODONGMOG是等边三角形和△≌△(3)连接由△,由△,≌△再证出△,MONG.是菱形是等边三角形求出四边形举一反三.ABCDEFDC两点同时出发,分别从中,动点,,2以相同的速(2015·山东烟台)在正方形DCCB. ,上移动度在直线EDCFCBAEDFP AE请你写出连接向和,点自,向交于点移动时(1)如图(1),当点自,DF. ,与并说明理由的位置关系EFDCCBAEDF,(1)中的结论还成和,的延长线上时,(2),(2)如图当连接,分别移动到边立吗?(请你直接回答“是”或“否”,不需证明)EFCDBCAEDF,(1)连接,中的结论还成立,当如图(3)(3),,分别在边,的延长线上移动时.请说明理由吗?实用文档EFDCCBAEDFPEF的移动由于点连接和,交于点当(4)如图(4),,,分别在边,,上移动时,PP.AD=CP.若的最小值2,使得点也随之运动,请你画出点运动路径的草图试求出线段(1)(2)(3)(4)(第2题)实用文档【小结】主要考查了四边形的综合题,解题的关键是恰当的作出辅助线,根据三角.形全等找出相等的线段以圆为背景的综合题类型三llOllO的半径为2cm,☉,如图,已知矩形⊥都相切,☉与3典例,(2015·江苏苏州)2121ABCDADABllAB=AD=OABCDl同时向右移4cm,,若☉重合,沿4cm,的边,与矩形分别与112OABCD/t(s),设移动时间为的移动速度为,☉4cm的移动速度为3cm,矩形s,动OAACOAC °,则∠; 连接(1)如图,的度数为,OOABCDABCD的矩形如图,两个图形移动一段时间后,☉到达到达☉的位置,(2)11111OACOOO的长即);恰好在同一直线上,求圆心(位置,此时点,,移动的距离1111OAC所在直线的距离在不断变化,到矩形对角线设该距离为,(3)在移动过程中圆心dd<t. )(,当(cm),2时求的取值范围解答时可以利用备用图画出相关示意图实用文档【全解】lllO∵l,☉(1),与⊥都相切,2121.∴OAD=∠°45AD=AB=∵4cm,cm,4.AD=∴CD= 4cm,4cm.∴DAC=∠°60.DAC=∴OACOAD+∠105的度数为∠°∠ElCOOA, ,设☉如图位置二(2),当与,,的切点为点恰好在同一直线上时11111lEOOEOE=, ,可得连接2,⊥1111CDA,Rt在△中111=CAD=D∵,4,41111.=∴DAC tan∠111实用文档∴CAD=.∠°60111+.OO=t=∴2361①ACOt,设移动时间为(3)第一次相切时当直线与☉,1OOABCDABCD的位置移动到矩形如图,此时☉, 移动到☉,的位置22222OlACFGOFOGOA,,,分别相切于点,设☉与直线连接,,22222221∴OFlOGAG. ,⊥⊥21222CAD=60得(2),∠°,由222∴GAF=. 120∠°2∴OAF=. 60∠°22AOFOF=2,在Rt△中,222②ACOt,,与☉设移动时间为第二次相切时当直线2OAC共线时为位置二,,,第二次相切时为位置三, 点记第一次相切时为位置一,111由题意知,从位置一到位置二所用时间与位置二到位置三所用时间相等, 实用文档利用分类讨论,【提醒】本题主要考查了切线的性质以及锐角三角函数关系等知识.t以及数形结合的值是解题关键OAD=∠,45°【技法梳理】(1)利用切线的性质以及锐角三角函数关系分别求出∠DAC=;进而得出答案60°,t=tOOE=AA-OO-=t-ACAD=3的值,2,再利用(2)首先得出,∠进而得出2,求出60°1111111;得出答案即可O②AC①ACOt第二次相当直线与☉与☉第一次相切时,设移动时间为,(3)当直线1.t设移动时间为分别求出即可,切时,2举一反三BC=AB=.的矩形木板做一个尽可能大的圆形3,宽(2015·浙江宁波)木匠黄师傅用长23:他设计了四种方案桌面,;直接锯一个半径最大的圆方案一:ACOCDOOABO; ,分别在,,上,半径分别是锯两个外切的半圆拼成一个圆:方案二圆心,2211AC; 适当平移三角形并锯一个最大的圆将矩形锯成两个三角形,方案三:沿对角线.AFEDBCEF锯一块小矩形,拼到矩形利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆下面方案四:.写出方案一中圆的半径(1)? 哪个圆的半径较大通过计算说明方案二和方案三中(2),y.CE=x<x<设(0圆的半径为1),,(3)在方案四中xy①;求关于的函数表达式实用文档②x取何值时圆的半径最大,最大半径为多少?当并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半.径最大方案一方案二方案三方案四方案备用图实用文档方案备用图)3题(第本题考查了圆的基本性质及通过勾股定理、三角形相似等性质求解边长【小结】但仔细观察每一题目虽看似新颖不易找到思路,及分段函数的表示与性质讨论等内容,.所以总体来说是一道质量很高的题目,值得认真练习小问都是常规的基础考点,类型一DCBA=AB.CAB=在线段,,点8,∠°,2(2015 ·浙江嘉兴)如图点30在以为直径的半圆上F.ECDFDACDEDEAB: ⊥下列结论于点,并交的延长线于点点上运动,与点关于对称,CE=CF①;EF②;线段的最小值为2实用文档③AD=EF与半圆相切,当; 2时AD=F④2;上,若点则恰好落在.BEF⑤DA扫过的面积是从点16运动到点时,当点线段. 其中正确结论的序号是(第2题)类型二.ABCDEADFBC的延长线上,,点中,点在边在边上在正方形3·广东珠海(2015)如图,EFCDGBEACHAE=CFBE=EG.与对角线,连接相交于点与边相交于点,,连接EF AC; :(1)求证∥BEF大小;(2)求∠.(第3题)实用文档.AB-.动,3,0),(0,6)的坐标分别为·浙江温州)如图,在平面直角坐标系中,点4( (2015POxCB出发,同时动点沿射,沿从轴正方向以每秒1个单位的速度运动点从点,出发BOCPCOPCODOP延长线上,为邻边构造个单位的速度运动,以?,线在线段方向以每秒2EPE=AOPt.运动的时间为,使秒,设点取点COBtE.的值及点运动到线段的坐标的中点时,(1)当点求COBADEC.四边形为平行四边形上时,求证:(2)当点在线段PEFPF=FMNPEFM=FN=MN分别在一,过点2,作1,⊥且点,(3)在线段截取上取点,使,1,PCODS.的面积为四象限,在运动过程中?①MNADECt的值求出所有满足条件的; 当点的边上时,,中有一点落在四边形②MNADECS的取直接写出)时,中恰好只有一个点落在四边形,的内部(若点不包括边界.值范围(第4题)类型三.EABCDABEFDEBCF. ,⊥是长方形于点的边上的点,交5) (2015·湖南怀化如图ADEBEF;:△∽△(1)求证HEDEHODFOGDH=OH=3,求图中阴影,上一点以,为直径作☉,若与☉相切于点(2)设是... 14)3结果保留到小数点后面第一位部分的面积(,π≈73,1≈实用文档)题(第5CDAB.ABCDS∠48,面积为∥,6如图(2015·黑龙江大庆)(1),已知等腰梯形,的周长为x.AB=ADC=°60,设3CDxAD;表示和用(1)SSx;,用(2)并求表示的最大值FOEABCDS分别是,点当(3)如图(2),等腰梯形取最大值时,和点的四个顶点都在☉上.OABCDR ,的半径求☉的值和的中点(1)(2)实用文档(第6题)实用文档参考答案【真题精讲】PPMBCMAQCPNPB=tPM=tMC=-t,于点,,8,3交于点,则有,5如图(2)(1),过作4⊥(第1题(1))∵NAC+NCA=PCM+NCA=90°,∠∠, ∠∠90°∴NAC=PCMACQ=PMC=.∠∠∠°且∠90∴ACQCMP.△∽△PMBCMPQDPEACEDF AC于点⊥再作(2), (3)如图仍有⊥于点,的中点设为点,⊥于点,F,实用文档(2))1题(第ACB=∵,°∠90.PECQ∴DF为梯形的中位线ACR∵BC=BC, 过8,作直线平行于的中点.RC=DF=∴4成立.R∴D的中位线上在过.PQABC ∴的中点在△的一条中位线上DF.AE=DF AE.:,2⊥(1)理由ABCD∵, 四边形是正方形.C=AD=DCADC=∴∠°∠90,DE=CF∵,DCF.ADE∴△≌△CDF.DAE=∴AE=DF ,∠∠.ADF=CDF+由于∠∠90°实用文档∴DAE+ADF=.∠°∠90∴AEDF;⊥.是(2).理由如下:(3)成立AE=DFDAE=CDF, ∠(1)同理可证,∠由FDAEG,延长于点交(1),如图(第2题(1))CDF+ADG=90°∠则∠,∴ADG+DAE=.∠90∠°∴AEDF;⊥(4)如图(2):(第2题(2))P APD=90°由于点在运动中保持∠,实用文档∴P AD为直径的弧点,的路径是一段以ADOOCPCP的长度最小, ,连接,设交弧于点的中点为此时=OC=ODC=,中在Rt△,CP=OC-OP=-∴. 1..方案一中的最大半径为31 (1)分析如下:.则半径最大为1因为长方形的长宽分别为3,2,那么直接取圆直径最大为2,OOOOEABEOABBF 的分别作,(1),(2)如图方案二中连接,,过,方案三中作,过点⊥于1112MNMNOABBF.与,交于,的切点,此时,,恰为☉垂线方案二方案三(第3题)r.设半径为方案二:OOE中,在Rt△21∵OO=rOE=BC=OE=AB-AO-CO=-r,2,2,32211221实用文档∴+=-,222rr(2)(3)22.方案三半径较大比较知,①∵EC=x,(3)∴-x+x. 2,新拼图形水平方向跨度为3竖直方向跨度为-x+x. 2或较小的所截出圆的直径最大为类似题(1),3∴.方案四时可取的圆桌面积最大【课后精练】.①②③④①∵AB=AC,1 解析:实用文档∴B=C.∠∠∵ADE=B, ∠∠∴ADE=C.∠∠∴ADEACD.△∽△①.结论正确故③.故正确④CDEBAD②BC=16,,由可知易证得△∽△BD=yCE=x,设,实用文档2x=y--y+, 整理,646416得102x=y--,64即(8)10.④.<y<<x<.∴8,0故6正确40.CD①③⑤①. (1):所示连接2 ,如图解析(1))题第2(ACE∵D, 点与点对称关于CE=CD.∴CDE.∴E=∠∠DEDF∵, ⊥.EDF=∴90°∠.CDE+CDF=F=∴E+∠90∠∠∠90°,°CDF.F=∴∠∠CD=CF.∴CE=CD=CF.∴.∴CE=CF结论“”正确实用文档②CDAB. (2)所示时,当如图⊥(第2题(2))∵AB是半圆的直径,∴ACB=.∠°90∵AB=CBA=30°8,∠,.BC=∴CAB=AC= 60°,4∠4,CBA=CDAB∵,°,∠30⊥根据“点到直线之间,垂线段最短”可得:.ABCDD的最小值为点2在线段上运动时,∵CE=CD=CF,∴EF=CD. 2.∴EF线段4的最小值为.EF∴的最小值为”错误结论“线段2③AD=OC.所示如图,当2时连接,(3)实用文档(3))2题(第CAB=∵OA=OC, 60,∠°.∴OAC△是等边三角形.CA=COACO=∴∠°60,AD=∵AO=2, 4,.DO=∴2AD=DO.∴.OCD=∴ACD= 30∠°∠ACD∵E, 点关于与点对称DCA.ECA=∴∠∠.∴ECA=∠°30.∴ECO=∠°90EF.OC∴⊥EFOC∵EFOC, 经过半径⊥的外端,且.∴EF与半圆相切.∴EF结论“与半圆相切”正确FBAF.④F所示(4)当点如图恰好落在,,连接,上时实用文档(4))题第2(ACD∵E, 点对称与点关于AC.∴ED⊥.∴AGD=∠°90ACB.AGD=∴∠∠BC.ED∴∥FDE.FHC∴∽△△.∴DB= 4.AD=AB-DB=∴4.∴AD=结论“”错误2ACE⑤∵D,点与点关于对称实用文档DFBC对称关于与点,点∴DAB时从点,当点运动到点EAMABAC对称与点,的运动路径关于FNBABBC.的运动路径关于与对称点∴EF. (5)中阴影部分扫过的图形就是图(第2题(5)).EF∴扫过的面积为16.EF∴”正确结论“16扫过的面积为.∵ABCD是正方形3四边形(1),∴ADBF.∥∵AE=CF,∴ACFE.是平行四边形四边形∴EF AC.∥BG,连接(2)实用文档)题(第3ACEF∵, ∥.ACB=∴F=∠45∠°GCF=∵, °90∠.CGF=F=∴∠°45∠CG=CF.∴AE=CF∵,AE=CG.∴BCGBAE,与△中在△.BCG∴BAE△(SAS)≌△BE=BG.∴BE=EG∵,.BEG∴△是等边三角形.∴BEF=∠°60BCG∵BAE,(3)△≌△实用文档∴ABE=CBG.∠∠∵BAC=F=45°∠, ∠∴AHBFGB.∽△△CDOPG,交(2)如图(1),连接于点(第4题(1))PCODCG=DGOG=PG,,,在?中∵AO=PO,∴AG=EG.∴ADEC.四边形是平行四边形实用文档①ⅠCBO上时,(在)当点(3)MCE边上时在如图:(2),当点,第一种情况(第4题(2))∵MFOC, ∥∴EMFECO.△∽△∴t=. 1NDE边(3),当点在如图第二种情况: (第4题(3))∵NFPD, ∥∴EFNEPD.△∽△实用文档BOCⅡ, 在)当点的延长线上时(DEM,(4),当点边上时在第一种情况:如图(4))题第(4PDMF∵, ∥EDP.EMF∴∽△CEN,当点边上时在(5),第二种情况:如图(5))题第4(OC∵NF, ∥EOC.∴EFN△∽△实用文档ABCD∵.,四边形5 (1)是矩形.B=∴A=∠90∠°DEEF∵, ⊥.∴DEF=∠°90EFB.BEF=-∴AED=∠∠∠90°EFBAED=∵A=B, ∠∠∠,∠BEF.∴ADE△∽△GO∵DF,与☉(2)相切于点DG.OG∴⊥.DGO=∴90°∠DH=OH=OG∵,实用文档∴..∴62图中阴影部分的面积约为GCDCDHBG.AH(1),,,⊥6作(1)如图⊥于点于点(1))6题(第AHGB,则四边形为矩形x.HG=AB=∴3ABCD∵, 四边形为等腰梯形DH=CG.∴AD=BC ,实用文档ADHDH=t,设中在Rt△,∵ADC=60°, ∠∴DAH=. 30∠°AH=tt.∴AD= 2,∴BC=tCG=t. ,2∵ABCD的周长为等腰梯形48,∴x+t+t+x+t+t=t=-x. 248,3解得238∴AD=-x=-x , 2(816)2CD=-x+x+-x=+x. 83168OAOD ,如图连接(2),, (3)(第6题(2))=-CD=x=AB=+=6,2)6,16(8218,,等腰梯形的高为时当2DF=AE=9,则3,∵EF ABCD 的中点,点和点分别是和实用文档∴EF ABCD. 为等腰梯形直线的对称轴 .ABCDEFEF=∴EF ABCD 的高垂直平分,和即,为等腰梯形6.EF ∴ABCDO 上等腰梯形在的外接圆的圆心 -a.OE=aOF= 设6,则AOE , 中在Rt △222=OAOE+AE ∵,222.+=R ∴a 3ODF 中,Rt △在222=OD+DF ∵OF ,222.-a=R+∴ (69) 2222.++=-aa=∴a 39解得(6,)5 222=.+∴R= (584)3 .R=∴ 2。

2016届中考数学复习学案：专题复习七+几何图形综合题+题型2+与圆有关的几何综合题(人教版含答案)

与圆有关的几何综合题(2015·德阳)如图，已知BC是⊙O的弦，△ABC为正三角形，D为BC的中点，M是⊙O上一点，并且∠BMC＝60°.(1)求证：AB为⊙O的切线；(2)若E、F分别是AB、AC上的两个动点，且∠EDF＝120°，⊙O的半径为2，试问BE＋CF 的值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．【思路点拨】(1)连接OB，证OB⊥AB即可；(2)取AB的中点G，连接DG，易证得△EGD≌△FCD，从而猜测出BE＋DF的值是个定值，这个定值应该等于AB长的一半．【解答】(1)证明：∵△ABC为正三角形，D为BC的中点，∴OD⊥BC，AO平分∠BAC.∴∠BAD＝30°.∵∠BMC＝60°，∴∠BOA＝∠BMC＝60°.∴∠BAD＋∠BOA＝90°.∴∠ABO＝90°.∴OB⊥AB.∵OB是⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．(2)∵∠BAD＝30°，OB⊥AB，OB＝2，∴AB＝2 3.取AB的中点G，连接DG，∴AG＝BG＝ 3.∵∠ABD＝60°，∴△BDG是等边三角形．∴∠DGE＝60°，GD＝BD.∵∠FCD＝60°，CD＝BD，∴∠FCD＝∠EGD，GD＝CD.∵∠EDF＝120°，∴∠FDC＋∠BDE＝60°.∵∠BDG＝60°，∴∠EDG＋∠BDE＝60°.∴∠EDG＝∠FDC.∴△EGD≌△FCD.∴FC＝EG.∴BG＝BE＋EG＝BE＋CF＝ 3.即BE＋CF的值是定值，这个值是 3.动态问题常见有两大类：动态问题中的定值和动态问题中的变值．动态问题中的定值往往包含关于角度、线段、面积等定值问题．解决这类问题时，要搞清图形的变化过程，正确分析变量与其他量之间的内在联系，建立它们之间的关系．要善于探索动点运动的特点和规律，抓住图形在变化过程中不变的元素．必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法．1．(2015·内江)如图，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O经过点C，且圆的直径AB 在线段AE上．(1)试说明CE 是⊙O 的切线；(2)若△ACE 中AE 边上的高为h ，试用含h 的代数式表示⊙O 的直径AB ；(3)设点D 是线段AC 上任意一点(不含端点)，连接OD ，当12CD ＋OD 的最小值为6时，求⊙O 的直径AB 的长．2．(2015·乐山)已知Rt△ABC 中，AB 是⊙O 的弦，斜边AC 交⊙O 于点D ，且AD ＝DC ，延长CB 交⊙O 于点E.(1)图1的A 、B 、C 、D 、E 五个点中，是否存在某两点间的距离等于线段CE 的长？请说明理由；(2)如图2，过点E 作⊙O 的切线，交AC 的延长线于点F.①若CF ＝CD 时，求sin ∠CAB 的值；②若CF＝aCD(a＞0)时，试猜想sin∠CAB的值．(用含a的代数式表示，直接写出结果)3．(2014·南充)如图，已知AB是⊙O的直径，BP是⊙O的弦，弦CD⊥AB于点F，交BP于点G，E在DC的延长线上，EP＝EG.(1)求证：直线EP为⊙O的切线；(2)点P在劣弧AC上运动，其他条件不变，若BG2＝BF·BO.试证明BG＝PG；(3)在满足(2)的条件下，已知⊙O的半径为3，sinB＝33.求弦CD的长．4．(2014·攀枝花)如图，以点P(－1，0)为圆心的圆，交x轴于B、C两点(B在C的左侧)，交y轴于A、D两点(A在D的下方)，AD＝23，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB.(1)求B、C两点的坐标；(2)请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状(不必证明)，求出点M的坐标；(3)动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG.请问在旋转过程中∠MQG 的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．参考答案 1．(1)连接OC.∵CA＝CE ，∠CAE ＝30°，∴∠E ＝∠CAE＝30°，∠COE ＝2∠A＝60°.∴∠OCE ＝90°.∴CE 是⊙O 的切线．(2)过点C 作CH⊥AB 于H.由题可得CH ＝h.在Rt△OHC 中，CH ＝OC·sin ∠COH ，∴h ＝OC·sin60°＝32OC. ∴OC ＝2h 3＝233h. ∴AB ＝2OC ＝433h.(3)作OF 平分∠AOC，交⊙O 于F ，连接AF 、CF 、DF ，则∠AOF＝∠COF＝12∠AOC ＝12(180°－60°)＝60°.∵OA ＝OF ＝OC ，∴△AOF 、△COF 是等边三角形．∴AF＝AO ＝OC ＝FC.∴四边形AOCF 是菱形．∴根据对称性可得DF ＝DO.过点D 作DM⊥OC 于M ，∵OA ＝OC ，∴∠OCA ＝∠OAC＝30°.∴DM ＝DC·sin ∠DCM ＝DC·sin30°＝12DC. ∴12CD ＋OD ＝DM ＋FD. 根据两点之间线段最短可得：当F 、D 、M 三点共线时，DM ＋FD(即12CD ＋OD)最小．此时FM ＝OF·sin ∠FOM ＝32OF ＝6，则OF ＝4 3.∴AB ＝2OF ＝8 3. ∴当12CD ＋OD 的最小值为6时，⊙O 的直径AB 的长为8 3. 2.(1)存在．AE ＝CE.连接AE ，∵∠ABC ＝90°，∴AE 为⊙O 的直径．连接ED ，∴∠ADE ＝90°.又∵AD＝DC.∴ED 为AC 的中垂线．∴AE＝CE.(2)①连接AE 、DE.∵EF 是⊙O 的切线，∴∠AEF ＝90°.由(1)可知∠ADE＝90°，∴∠AED ＋∠EAD＝90°，∠AED ＋∠DEF＝90°.∴∠EAD ＝∠DEF.∴△AED∽△EFD.∴AD ED ＝ED DF.∴ED 2＝AD·DF. 又AD ＝DC ＝CF ，∴ED 2＝2AD·AD＝2AD 2.在Rt△AED 中，∵AE 2＝AD 2＋ED 2＝3AD 2，∴sin ∠CAB ＝sin∠CED＝sin∠AED＝AD AE ＝13＝33. ②sin ∠CAB ＝a ＋2a ＋2. 3.(1)证明：连接OP.∵EP＝EG ，∴∠EPG ＝∠EGP.又∵∠EGP＝∠BGF，∴∠EPG ＝∠BGF.∵OP＝OB ，∴∠OPB ＝∠OBP.∵CD⊥AB，∴∠BFG ＝∠BGF＋∠OBP＝90°.∴∠EPG ＋∠OPB＝90°.∴直线EP 为⊙O 的切线．(2)证明：连接OG.∵BG 2＝BF ·BO ，∴BG BO ＝BF BG. 又∵∠OBG＝∠GBF，∴△BFG ∽△BGO.∴∠BGO ＝∠BFG＝90°.∴BG ＝PG.(3)连接AC 、BC.∵sinB ＝33，∴OG OB ＝33.∵OB ＝r ＝3，∴OG ＝3，由(2)得∠GBF＋∠FGB＝90°，∠OGF ＋∠FGB＝90°，∴∠GBF ＝∠OGF. ∴sin∠OGF＝33＝OF OG . ∴OF ＝33·OG ＝33·3＝1. ∴BF＝BO －OF ＝3－1＝2，FA ＝OF ＋OA ＝1＋3＝4，∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝∠ACF＋∠BCF＝90°.∵∠ACF ＋∠A＝90°，∴∠BCF ＝∠A.∴△BCF∽△CAF.∴CF AF ＝BF CF.∴CF 2＝BF·FA. ∴CF＝BF·FA＝2×4＝2 2.∴CD ＝2CF ＝4 2.4.(1)连接PA.∵PO⊥AD，AD ＝23，∴OA ＝12AD ＝ 3. ∵点P 坐标为(－1，0)，∴OP ＝1.∴PA＝OP 2＋OA 2＝12＋（3）2＝2.∴BP＝CP ＝2.∴B(－3，0)，C(1，0)．(2)延长AP 交⊙P 于点M ，连接MB 、MC.线段MB 、MC 即为所求．四边形ACMB 是矩形．理由如下：∵△MCB 由△ABC 绕点P 旋转180°所得，∴四边形ACMB 是平行四边形．∵BC 是⊙P 的直径，∴∠CAB ＝90°.∴平行四边形ACMB 是矩形．过点M 作MH⊥BC，垂足为H.在△MHP 和△AOP 中，∵∠MHP ＝∠AOP，∠HPM ＝∠OPA，MP ＝AP ，∴△MHP ≌△AOP.∴MH ＝OA ＝3，PH ＝PO ＝1.∴OH＝2.∴点M 的坐标为(－2，3)．(3)在旋转过程中∠MQG 的大小不变．∵四边形ACMB 是矩形，∴∠BMC ＝90°. ∵EG ⊥BO ，∴∠BGE ＝90°.∴∠BMC ＝∠BGE＝90°.∵点Q 是BE 的中点，∴QM ＝QE ＝QB ＝QG.∴点E 、M 、B 、G 在以点Q 为圆心，QB 为半径的圆上，如图所示．∴∠MQG＝2∠MBG .∵∠COA＝90°，OC ＝1，OA ＝3，∴tan ∠OCA ＝OA OC＝ 3. ∴∠OCA ＝60°.∴∠MBC ＝∠BCA＝60°.∴∠MQG ＝120°.∴在旋转过程中∠MQG 的大小不变，始终等于120°.。