浙江省数学学考试题及答案

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浙江学考数学试题及答案

浙江学考数学试题及答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母填入题后的括号内。

）1. 下列函数中，为奇函数的是（）A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 若a，b，c为实数，且a + b + c = 1，求下列哪个表达式的值恒为正？A. ab + bc + acB. a^2 + b^2 + c^2C. (a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2D. a^3 + b^3 + c^3 - 3abc（以下选择题依此类推，共10题）二、填空题（本题共5小题，每小题4分，共20分。

请将答案直接填写在题后的横线上。

）1. 若函数f(x) = 2x - 3，求f(5)的值为______。

2. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值为______。

（以下填空题依此类推，共5题）三、解答题（本题共3小题，每小题10分，共30分。

请在答题卡上作答，并写出必要的计算步骤。

）1. 解不等式：|x - 1| + |x - 3| ≥ 5。

2. 已知三角形ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a^2 + b^2 =c^2，求证三角形ABC为直角三角形。

3. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x) = 100 + 50x，销售价格为P(x) = 200 - 2x，其中x为生产数量。

求该工厂的最优生产数量，使得利润最大化。

四、证明题（本题共2小题，每小题5分，共10分。

请在答题卡上作答，并写出证明过程。

）1. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

2. 证明：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点c ∈ (a, b)，使得f(c) = 0。

（以下为参考答案部分）一、选择题答案：1. C2. C （以下答案依此类推，共10题）二、填空题答案：1. 72. 37 （以下答案依此类推，共5题）三、解答题答案：1. 解：当x ≥ 3时，不等式化为x - 1 + x - 3 ≥ 5，解得x ≥ 5；当1 ≤ x < 3时，不等式化为x - 1 + 3 - x ≥ 5，此时不等式无解；当x < 1时，不等式化为1 - x + 3 - x ≥ 5，解得x ≤ -1/2。

浙江省普通高校招生学考科目考试2021年高考数学高考数学压轴题立体几何多选题分类精编附答案

对于C选项，取靠近点的三等分点，靠近点的三等分点，易知，，由于，故平面平面，故的轨迹为线段，其长度为，故C选项正确；
对于D选项，过点做的平行线交于，交于，连接，则过，，的平面截正方体所得截面即为平行四边形，易知当位于点时，平行四边形边最小，且为，此时截面平行四边形的面积最小，为四边形的面积，且面积为，故D选项正确；
【答案】CD
【分析】
利用反证法可得A、B错误，取为的中点，取的中点为，连接，可证明平面，当平面平面时，四棱锥体积最大值，利用公式可求得此时体积为 .
【详解】
如图（1），取的中点为，连接，
则，，故，
故即．
若，因为，故，而，
故平面，因为平面，故，矛盾，故A错．
【详解】
如图所示，作AM⊥DE，交DE于M,延长AM交BC于N,连接A'M,A'N.
则A'M⊥DE,MN⊥DE, ,
∵ ∩MN=M,∴CD⊥平面A'MN,
又∵CD⊂平面ABDC,∴平面A'MN⊥平面ABDC,
在平面A'MN中作A'H⊥MN,则A'H⊥平面BCED,
∵二面角A'-DE-B为60°，∴∠A'EF=60°，
对于C，若，，则，即，即，故C正确；
对于D，
，又，，故D错误.
故选：BC
【点睛】
关键点睛：本题考查向量的运算，用已知向量表示某一向量的三个关键点：
(1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．

2020年3月浙江省学考选考超级全能生2020届高三全国卷第一次在线联考文科数学试题及参考答案

“超级全能生”2020届高三全国卷第一次在线联考数学文科答案及评分标准二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．714．π615．2416.28π3三、解答题评分标准：1.具体步骤分参照答案解析，没有步骤只有答案均不给分。

2.试题有不同解法时，解法正确可酌情给分。

17．解：(Ⅰ)根据S 4＝2a 5，a 3＋a 4＝7列方程组求出首项和公差即可求解；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的条件求出b n ，进而求出数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n －1b n ＋14的通项公式，再利用裂项相消法求和即可求证．解：(Ⅰ)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.由S 4＝2a 5，a 3＋a 4＝7，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ＝2（a 1＋4d ），2a 1＋5d ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1，(2分) ∴a n ＝1＋(n －1)×1＝n ，(4分)S n ＝n （n ＋1）2.(6分) (Ⅱ)证明：由(Ⅰ)得b n ＝a n S n ＝n n （n ＋1）2＝2n ＋1，∴b n －1b n ＋14＝4n （n ＋2）4＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，(9分) ∴T n ＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2＝121＋12－1n ＋1－1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2≤34.(12分) 18．解：(Ⅰ)由频数分布表计算平均数及中位数，即可求解；(Ⅱ)根据已知条件，分别求出“青少年”和“老年人”的人数，完成列联表，代入公式可判断．解：(Ⅰ)根据频数分布表可知样本年龄的平均数x ＝20×30200＋30×60200＋40×70200＋50×20200＋60×10200＋70×10200＝37.50.(3分) 设样本年龄的中位数为x ，由题知组距为10，因为30＋60200＝0.45，所以(x －35)×70200÷10＝0.5－0.45，即x ＝35＋107≈36.43，(5分) 所以样本年龄的中位数为36.43.(6分)(Ⅱ)由题意知，抽取的“青少年”的人数共有200×(0.015＋0.030)×10＝90(人)，则“中老年”的人数共有200－90＝110(人)．(7分)完成列联表(8分)则K 2＝200×（20×70－40×70）290×110×60×140≈4.714>3.841，(11分) 所以有95%的把握认为肥胖与年龄段有关．(12分)19．解：(Ⅰ)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，平面ABCD ，所以PA ⊥CD.(1分)因为四边形ABCD 为平行四边形，△ABC 是边长为6的正三角形，所以底面ABCD 为菱形，△ACD 为等边三角形．又点E 为CD 的中点，所以AE ⊥CD.(2分)因为PA ∩AE ＝A ，所以CD ⊥平面PAE.(4分)又平面PCD ，(5分)所以平面PCD ⊥平面PAE.(6分)(Ⅱ)如图，连接FG ，FC ，FA ，GE ，过点A 作AH ⊥GE 交GE 于点H.因为点F ，G 分别是PB ，PA 的中点，所以FG ∥AB.又GA ⊥平面ABC ，所以GA ＝12PA ＝2，且为三棱锥F －ABC 的高，所以V F －ABC ＝13×12AB·ACsin60°×GA ＝13×12×6×6×32×2＝6 3.(8分)由(Ⅰ)知CE ⊥平面PAE ，所以CE ⊥平面GAE ，CE ⊥AH.因为CE ∩GE ＝E ，所以AH ⊥平面CEGF ，所以AH 为四棱锥A －CEGF 的高．由题可得AE ＝33，GE ＝GA 2＋AE 2＝31，所以AH ＝GA·AE GE ＝69331， V A －CEGF ＝13CE·GE·AH ＝13×3×31×69331＝63，(11分)故V BCF －AEG ＝V F －ABC ＋V A －CEGF ＝12 3.(12分)20．解：(Ⅰ)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a>b>0)的右焦点为F(c ，0)，右焦点到直线y ＝2x 的距离为2，即|2c|1＋2＝2，所以c ＝3，则c ＝a 2－b 2＝3，即b 2＝a 2－3.(2分)又椭圆C 过点P ⎝⎛⎭⎫12，154，可得14a 2＋1516a 2－3＝1，解得a 2＝4，所以b 2＝1，故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2＝1.(4分) (Ⅱ)解法一：显然点M(1，t)在椭圆C 的内部，故－32<t<32，且直线l 的斜率不为0，当直线l 的斜率存在且不为0时，t ≠0，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)＋t ，代入椭圆C 的方程并化简得(1＋4k 2)x 2＋(8kt －8k 2)x ＋4k 2－8kt ＋4t 2－4＝0.设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－8kt －8k 21＋4k 2＝2，解得k ＝－14t.(8分) 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，所以直线m 的方程为y －t ＝4t(x －1)，即y ＝t(4x －3)．将点P ⎝⎛⎭⎫12，154代入y ＝t(4x －3)得， t ＝－154<－32，所以不存在这样的直线m ；(10分)当直线l 的斜率不存在时，t ＝0，所以直线m 的方程为y ＝0，故直线m 不过点P ，综上所述，直线m 不存在．(12分)解法二：显然点M(1，t)在椭圆C 的内部，故－32<t<32，且直线l 的斜率不为0. 当直线l 的斜率存在且不为0时，t ≠0，设点A(x 1，y 1)，点B(x 2，y 2)，所以x 214＋y 21＝1，x 224＋y 22＝1，两式相减得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）4＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 因为线段AB 的中点为M(1，t)，所以x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2t ，故直线l 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－14t .(8分) 因为直线m 是线段AB 的垂直平分线，故直线m 的方程为y －t ＝4t(x －1)，即y ＝t(4x －3)．将点P ⎝⎛⎭⎫12，154代入y ＝t(4x －3)得， t ＝－154<－32，所以不存在这样的直线m ；(10分)当直线l 的斜率不存在时，t ＝0，所以直线m 的方程为y ＝0，故直线m 不过点P ，综上所述，直线m 不存在．(12分)21．解：(Ⅰ)∵函数f(x)＝lnx －x 2－x ＋1，x ∈(0，＋∞)，∴f′(x)＝1x －2x －1＝－（2x －1）（x ＋1）x. 令f′(x)>0，解得0<x<12；令f′(x)<0，解得x>12，(2分)∴函数f(x)在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递增；在⎝⎛⎭⎫12，＋∞上单调递减，(3分) ∴f(x)极大值＝f ⎝⎛⎭⎫12＝14－ln2，无极小值．(4分)(Ⅱ)解法一：由题意得f(x)＋(1－m)(x 2＋2x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，∴m ≥lnx ＋x ＋1x 2＋2x在(0，＋∞)上恒成立. 设函数h(x)＝lnx ＋x ＋1x 2＋2x，则h′(x)＝－（x ＋1）（x ＋2lnx ）（x 2＋2x ）2，显然x ＋1>0，(x 2＋2x)2>0.(5分)设函数t(x)＝－(x ＋2lnx)，则t′(x)＝－⎝⎛⎭⎫1＋2x <0，故函数t(x)在(0，＋∞)上单调递减．∵t(1)＝－1<0，t ⎝⎛⎭⎫12＝－⎝⎛⎭⎫12＋2ln 12 ＝2ln2－12>0，由零点存在性定理得0∈⎝⎛⎭⎫12，1，使得t(x 0)＝0，即x 0＋2lnx 0＝0，(8分)且当x ∈(0，x 0)时，t(x)>0，则h′(x)>0；当x ∈(x 0，＋∞)时，t(x)<0，则h′(x)<0，∴函数h(x)在(0，x 0)上单调递增；在(x 0，＋∞)上单调递减，(10分)∴h(x)max ＝h(x 0)＝lnx 0＋x 0＋1x 02＋2x 0. 又∵x 0＋2lnx 0＝0，x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，则h(x 0)＝lnx 0＋x 0＋1x 20＋2x 0＝12x 0∈⎝⎛⎭⎫12，1，(11分) ∴由m ≥h(x)恒成立，且m 为整数，可得m 的最小整数值为1.(12分)解法二：由题意得f(x)＋(1－m)(x 2＋2x)≤0在(0，＋∞)上恒成立，设函数h(x)＝lnx －mx 2＋(1－2m)x ＋1，则h′(x)＝1x ＋1－2m －2mx ＝－（x ＋1）（2mx －1）x，x>0.(6分) 当m ≤0时，x ＋1>0，2mx －1<0，则h′(x)>0，则函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增．由h(1)＝2－3m>0可得，当x>1时，h(x)>0，与h(x)≤0矛盾，故舍去；(8分)当m>0时，h′(x)＝－2m （x ＋1）⎝⎛⎭⎫x －12m x，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，12m 时，h′(x)>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞时，h′(x)<0，故函数h(x)在⎝⎛⎭⎫0，12m 上单调递增；在⎝⎛⎭⎫12m ，＋∞上单调递减，(10分) ∴h(x)max ＝h ⎝⎛⎭⎫12m ＝14m －ln2m ，故14m－ln2m ≤0. 设函数t(m)＝14m －ln2m ，显然函数t(m)在(0，＋∞)上单调递减，且t ⎝⎛⎭⎫12＝12>0，t(1)＝14－ln2<0，则当14m－ln2m ≤0时，m 的最小整数值为1.(12分) 22．解：(Ⅰ)当α＝π2时，直线l 的方程为x ＝1；当α≠π2时，将直线l 的参数方程消去t ，得直线l 的普通方程为y ＝tanα(x －1)．(3分) 因为ρ＝2，所以ρ2＝4，将ρ2＝x 2＋y 2代入，得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.(5分)(Ⅱ)点P(1，0)在直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋tcosα，y ＝tsinα(t 为参数)上，将上式代入x 2＋y 2＝4，得t 2＋2tcosα－3＝0.(6分)设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－2cosα，t 1t 2＝－3，(8分)所以1|PA|＋1|PB|＝1|t 1|＋1|t 2|＝⎪⎪⎪⎪t 1－t 2t 1t 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪（t 1＋t 2）2－4t 1t 2t 1t 2＝4cos 2α＋123≤43，所以1|PA|＋1|PB|的最大值为43.(10分) 23．解：(Ⅰ)由f(x)<3得|2x －1|－|x|<3，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，2x －1－x<3或⎩⎪⎨⎪⎧0<x<12，1－2x －x<3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，1－2x ＋x<3，(3分) 解得－2<x<4，所以不等式f(x)<3的解集为{x|－2<x<4}．(6分)(Ⅱ)由题知|x －3y ＋1|≤13，|2y －1|≤16，且f(x)≤a －|x|恒成立，即a ≥[f(x)＋|x|]max ，所以f(x)＋|x|＝|2x －1|＝|2(x －3y ＋1)＋3(2y －1)|≤2|x －3y ＋1|＋3|2y －1|≤23＋12＝76. 所以实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫76，＋∞.(10分)。

浙江省普通高校招生学考数学试卷解析版

普通高校招生学考数学试卷一、选择题（本大题共18小题，共54.0分）1.函数y=log3（x-2）的定义域为（）A. {x|x＞2}B. {x|x＞0}C. {x|x＜2}D. R2.直线y=-2x+6的斜率为（）A. 2B. -2C.D.3.下列点中，在不等式3x+2y-6＞0表示的平面区域内的是（）A. （0，0）B. （1，0）C. （1，1）D. （1，2）4.设{a n}为等差数列，若a2=2，a3=3，则a5=（）A. 4B. 5C. 6D. 75.若α为锐角，，则cosα=（）A. B. C. D.6.椭圆右焦点的坐标为（）A. （1，0）B. （，0）C. （，0）D. （2，0）7.已知函数f（x）=-x3，则（）A. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是增函数B. f（x）是偶函数，且在（-∞，+∞）上是减函数C. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是增函数D. f（x）是奇函数，且在（-∞，+∞）上是减函数8.在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，且PD=DB．若M为线段PB的中点，则直线DM与平面ABCD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°9.若向量=（x，4）与=（2，1）垂直，则实数x的值为（）A. 2B. -2C. 8D. -810.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=1，A=30°，B=45°，则b的值为（）A. B. C. D. 211.已知m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件12.若双曲线（a＞0，b＞0）的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为（）A. B. 1 C. D. 213.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.B. 2πC.D.14.已知函数f（x）=，若f（x）=4，则x的值为（）A. 2或-2B. 2或3C. 3D. 515.设{a n}为等比数列，给出四个数列：①{2a n}；②{a n2}；③；④{log2|a n|}，其中一定为等比数列的是（）A. ①②B. ①③C. ②③D. ②④16.函数f（x）=（3ax-b）2的图象如图所示，则（）A. a＞0且b＞1B. a＞0且0＜b＜1C. a＜0且b＞1D. a＜0且0＜b＜117.已知a，b，c，d是四个互不相等的正实数，满足a+b＞c+d，且|a-b|＜|c-d|，则下列选项正确的是（）A. a2+b2 ＞c2 +d2B. |a2-b2|＜|c2-d2|C. +＜+D. |-|＜|-|18.已知正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，且∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为（）A. 直线B. 圆C. 椭圆D. 抛物线二、填空题（本大题共4小题，共15.0分）19.已知集合A={1，2}，集合B={2，3}，则A∩B=______；A∪B=______．20.已知实数x，y满足x2+4y2=2，则xy的最大值为______．21.已知A，B为圆C上两点，若AB=2，则的值为______．22.正项数列{a n}的前n项和S n满足S n=．若对于任意的n∈N*，都有a n＞k成立，则整数k的最大值为______．三、解答题（本大题共3小题，共31.0分）23.已知函数f（x）=2sin x sin（x+）（x∈R）．（Ⅰ）求f（0）的值；（Ⅱ）求f（x）的最小正周期；（Ⅲ）若y=f（x+φ）（0＜φ＜）为偶函数，求φ的值．24.如图，不垂直于坐标轴的直线l与抛物线y2=2px（p＞0）有且只有一个公共点M．（Ⅰ）当M的坐标为（2，2）时，求p的值及直线l的方程；（Ⅱ）若直线l与圆x2+y2=1相切于点N，求|MN|的最小值．25.如果一个函数的值域与其定义域相同，则称该函数为“同域函数”．已知函数的定义域为{x|ax2+bx+a+1≥0，且x≥0}．（Ⅰ）若a=-1，b=2，求f（x）的定义域；（Ⅱ）当a=1时，若f（x）为“同域函数”，求实数b的值；（Ⅲ）若存在实数a＜0且a≠-1，使得f（x）为“同域函数”，求实数b的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，即函数的定义域为：，故选：A．由函数定义域的求法得：要使函数有意义，则需x-2＞0，解得：x＞2，得解本题考查了函数定义域的求法及解一元一次不等式，属简单题2.【答案】B【解析】解：根据题意，直线的方程为y=-2x+6，则其斜率为-2；故选：B．根据题意，由直线的斜截式方程直接分析可得答案．本题考查直线的斜截式方程的应用，涉及直线的斜率，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：当x=1，y=2时，3+4-6=1＞0，即点D（1，2）位于不等式对应的平面区域内，故选：D．将点的坐标代入不等式进行验证即可．本题主要考查点与平面区域的关系，利用代入法是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查等差数列的项的计算，属基础题．【解答】解：{a n}为等差数列，因为所以d=1，a3-a2=1，所以a5=a3+2d=5，故选B．5.【答案】D【解析】解：∵α为锐角，且，∴cosα=．故选：D．直接利用同角三角函数基本关系式求解．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵椭圆，∴a2=2，b2=1∴c2=a2-b2=1，∴c=1∴椭圆的右焦点坐标为（1，0）故选：A．利用椭圆的标准方程确定几何量，即可得到双曲线的右焦点的坐标．本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查学生的计算能力，属于基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f（x）=-x3，有f（-x）=-（-x）3=x3=-f（x），则函数f（x）为奇函数；又由f′（x）=-3x2，则f′（x）≤0在R上恒成立，则f（x）在（-∞，+∞）上是减函数，故选：D．根据题意，由函数的解析式分析可得f（-x）=-f（x），即可得函数f（x）为奇函数，求出其导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的单调性，综合即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的判断，关键是掌握常见函数单调性的判断方法，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：取BD的中点N，连接MN，∵M，N分别是PB，BD的中点，∴MN∥PD，∵PD⊥平面ABCD，∴MN⊥平面ABCD，∴∠MDB为直线DM与平面ABCD所成的角，∵tan∠MDB====1，∴∠MDB=45°．故选：B．取BD的中点N，连接MN，可证MN⊥平面ABCD，在Rt△MND中计算tan∠MDB即可得出结论．本题考查了直线与平面所成的角的计算，作出线面角是关键．9.【答案】B【解析】解：∵；∴；∴x=-2．故选：B．根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x的值．考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．10.【答案】C【解析】解：∵在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=1，A=30°，B=45°，∴由正弦定理：，得：b===，故选：C．由sin A，sin B，以及a的值，利用正弦定理即可求出b的长．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．11.【答案】A【解析】解：m，n是空间两条直线，α是一个平面，则“m⊥α，n⊥α”则能推出“m∥n，但是由m∥n不能m⊥α，n⊥α，也可能m∥α，n∥α，故“m⊥α，n⊥α”是“m∥n”的充分不必要条件，故选：A．根据充分条件和必要条件的定义结合线面垂直的性质进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用线面垂直的性质是解决本题的关键．12.【答案】C【解析】解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线方程为y=±x，由两条渐近线互相垂直，可得-•=-1，可得a=b，即有c==a，可得离心率e==．故选：C．求出双曲线的渐近线方程，由两直线垂直的条件：斜率之积为-1，可得a=b，由a，b，c的关系和离心率公式计算即可得到所求值．本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查运算能力，属于基础题．13.【答案】A【解析】解：由三视图得到几何体是半个球与倒放圆锥的组合体，其中球的半径为1，圆锥的高为2，所以体积为××π×13+×12π×2=；故选：A．由三视图得到几何体是半个球与倒放的圆锥的组合体．本题考查了由几何体的三视图求几何体的体积；关键是正确还原几何体．14.【答案】C【解析】解：根据题意，函数f（x）=，当|x|≤1时，f（x）=x2=4，解可得x=±2，不符合题意，当|x|＞1时，f（x）=x+1=4，解可得x=3，符合题意，故x=3；故选：C．根据题意，由函数的解析式分2种情况讨论：当|x|≤1时，f（x）=x2=4，当|x|＞1时，f （x）=x+1=4，求出x的值，验证是否符合题意，综合即可得答案．本题考查分段函数的应用以及函数值的计算，注意分析函数解析式的形式，属于基础题．15.【答案】A【解析】解：{a n}为等比数列，设其公比为q，则通项为，所以对于①，2a n是以2a1为首项，以q为公比的等比数列，对于②，为常数，又因为≠0，故②为等比数列，对于③，=，不一定为常数，对于④，=，不一定为常数，故选：A．根据等比数列的通项公式，分别验证即可．本题查了等比数列的判断，属于基础题．16.【答案】C【解析】解：当a=1时，b=2时，f（x）=（3x-2）2，当x=log32时，f（x）=0，故A不符合，当a=1时，b=-0.5时，f（x）=（3x-0.5）2，当x→+∞时，f（x）→+∞，故B不符合，当a=-1时，b=2时，f（x）=（（）x-2）2，当x=-log32时，f（x）=0，此时符合，当a=-1时，b=0.5时，f（x）=（（）x-0.5）2，当x=log32时，f（x）=0，此时不符合，故选：C．分别取特殊值，根据函数的零点和函数值的变化趋势即可判断本题考查了函数图象的识别，考查了指数对数函数和指数函数的性质，属于基础题17.【答案】D【解析】【分析】本题考查了不等式的基本性质，排除法，属基础题．取特值排除．【解答】解：取a=6，b=5，c=2，d=8可排除A，C；取a=7，b=4，c=2．d=6可排除B；故选：D．18.【答案】B【解析】解：正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，则点P在对角面A1BCD1内，∵∠APB1=∠ADB1，则点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．因此点P的轨迹为圆．故选：B．正方体ABCD-A1B1C1D1，空间一动点P满足A1P⊥AB1，可得点P在对角面A1BCD1内，根据∠APB1=∠ADB1，可得点P的轨迹为以PB1为母线，AB1所在直线为高对圆锥对底面圆上．本题考查了空间位置关系、圆锥与圆的定义、数形结合方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】{2} {1，2，3}【解析】解：∵集合A={1，2}，集合B={2，3}，∴A∩B={2}，A∪B={1，2，3}．故答案为：{2}，{1，2，3}．利用交集、并集定义直接求解．本题考查交集、并集的求法，考查交集、并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．20.【答案】【解析】解：实数x，y满足x2+4y2=2，则2=x2+4y2≥4|xy|，当且仅当|x|=2|y|时取等号即|xy|≤，∴-≤xy≤故xy的最大值为，故答案为：利用基本不等式即可求出结果．本题考查了基本不等式的性质，属于基础题．21.【答案】2【解析】解：如图所示：在直角三角形ACD中，cos∠CAD==，而•=AB×AC×cos∠CAD=2×AC×=2．故答案为：2由圆的性质得出cos∠CAD==，由数量积的定义可得答案．本题考查数量积的求解，涉及圆的知识和数量积的定义，属基础题．22.【答案】1【解析】解：当n=1时，，解得，当n≥2且n∈N*时，由得：，即，整理得：⇒，即=，∴a n=S n-S n-1===，因为满足，∴，则，∴===，∵，∴，即，∴a n+1-a n＜0，即数列{a n}为递减数列，又==1，∴a n＞1，则整数k的最大值为1．故答案为：1．根据可求得，进而得到a n的通项公式，根据通项公式可证得数列{a n}为递减数列，可求得，由此得到k的最大值为1．本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用S n求得a n的通项公式，进一步证明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，对计算能力要求较高．23.【答案】解：（Ⅰ）由，得f（0）=2sin0sin；（Ⅱ）∵=2sin x cosx=sin2x，∴f（x）的最小正周期为π；（Ⅲ）∵y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，∴对任意x∈R都有sin（-2x+2φ）=sin（2x+2φ），即-sin2x cos2φ+cos2x si n2φ=sin2x cos2φ+cos2x sin2φ，即sin2x cos2φ=0，∴cos2φ=0，∵0＜φ＜，∴φ=．【解析】（Ⅰ）直接在函数解析式中取x=0求解；（Ⅱ）利用诱导公式及倍角公式变形，再由周期公式求周期；（Ⅲ）由y=f（x+φ）=sin（2x+2φ）为偶函数，可得对任意实数x都有sin2x cos2φ=0，即cos2φ=0，再结合φ的范围求解．本题考查三角函数的恒等变换应用，考查y=A sin（ωx+φ）型函数的图象与性质，是中档题．24.【答案】解：（1）点M（2，2）在抛物线y2=2px（p＞0）上，故有22=4p，所以p=1，从而抛物线的方程为y2=2x，设直线l的方程为x=m（y-2）+2，代入y2=2x，得y2-2my+4m-4=0．由l与抛物线相切可知，△=4m2-4（4m-4）=0，解得m=2，所以直线l的方程为x=2（y-2）+2，即y=．（2）设直线l的方程为x=my+t（m≠0），代入y2=2px得y2-2pmy-2pt=0．由直线l与抛物线相切可知△=y2-2pmy+8pt=0，所以t=-①又因为直线l与圆x2+y2=1相切，所以，即t=1+m2②将①式代入②式得，所以．设M的坐标为（x0，y0），则y0=pm，从而x0=my0+t=．所以|MN|2=|OM|2-|ON|2===1+-1=≥8，因此当|m|=时．|MN|的长度有最小值，最小值为2．【解析】（1）将M点坐标代入抛物线方程，可得到p的值已以及抛物线的方程，设出直线方程，根据直线与抛物线相切，联立直线和抛物线的方程，消去x，令△=0可得直线方程．（2）设出直线方程，根据直线和抛物线相切，直线与圆相切，将参数减少的一个，再根据|MN|2=|OM|2-|ON|2将|MN|表示成参数的函数，求最值即可．本题考查了直线与抛物线，直线与圆的位置关系，综合性较强，属于难题．25.【答案】解：（Ⅰ）当a=-1，b=2时，由题意知，解得0≤x≤2，所以f（x）的定义域为[0，2]．（Ⅱ）当a=1时，，（i）当，即b≥0时，f（x）定义域为[0，+∞），值域为[，+∞），所以b≥0时，f（x）不是“同域函数”；（ii）当时，即b＜0，当且仅当△=b2-8=0时，f（x）为“同域函数”，所以，综上可知，b的值为．（Ⅲ）设f（x）定义域为A，值域为B；（i）当a＜-1时，a+1＜0，此时0∉A，0∈B，从而A≠B，所以f（x）不是“同域函数”；（ii）当-1＜a＜0时，a+1＞0，设，则f（x）定义域为[0，x0]，①当时，即b≤0时，f（x）值域为B=[0，]，若f（x）为“同域函数”，则x0 =，从而，又因为-1＜a＜0，所以b的取值范围为（-1，0）．当时，即b＞0，f（x）值域为B=．若f（x）为“同域函数”，则，从而，．（*）此时，由可知（*）式不能成立；综上可知，b的取值范围为（-1，0）．【解析】（Ⅰ）建立不等式组求解即可；（Ⅱ）对分类讨论，结合新定义进行分析、求解；（Ⅲ）对a分两种情况讨论，紧扣“同域函数”的概念，建立方程进行求解．本题主要考查函数的定义域与值域，掌握新概念的本质是解题的关键，属于中档题目．。

2024年浙江初中毕业生学业模拟考试(台州卷)数学试题+答案+答题卡

2024年浙江省初中毕业生学业模拟考试（台州卷）数学试题卷亲爱的考生：欢迎参加考试！请你认真审题，仔细答题，发挥最佳水平. 答题时，请注意以下几点：1. 全卷共4页，满分120分，考试时间120分钟.2. 答案必须写在答题纸相应的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效.3. 答题前，请认真阅读答题纸上的“注意事项”，按规定答题.4. 本次考试不得使用计算器.一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）1. “中国空间站”入选了2023年全球十大工程成就．空间站离地球的距离约为380 000米，数据380 000用科学计数法可表示为（ ▲ ）.A. 38×104B.3.8×106C.3.8×105D.0.38×106 2.下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ▲ ）.A. B. C. D.3. 下列计算正确的是（ ▲ ）.A ．32x x xB ．523)(x xC ．33)x x （D ．326x x x4. 如图，直线AB ∥CD ，BC 平分∠ABD ，若∠1＝55°，则∠2＝（ ▲ ）.A ．70°B ．65°C ．60°D ．55°5. 对于平面图形上的任意两点P ，Q ，如果经过某种变换得到新图形上的对应点P ′，Q ′，保持PQ ＝P ′Q ′，我们把这种变换称为“保距变换”，下列变换中不一定是“保距变换”的是（ ▲ ）. A . 平移 B. 旋转 C. 轴对称 D. 位似 6. 小明的期中与期末测试成绩如下表：A.小明期末与期中总分相同B.小明英语期末名次一定在中等以上C.小明数学期末成绩比期中有进步D.小明语文期末成绩比期中有退步(第4题) (第7题) （第10题）DC B AG FE D C B A 2 1 D C B A7. 如图，Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝2，以点C 为圆心，BC 长为半径作圆弧交AC 于点D ，则AD 长在（ ▲ ）.A. 0与1之间 B . 1与2之间 C. 2与3之间 D. 3与4之间8. 有如下数列：a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，...，a n-2，a n-1，a n ，...，满足a n -2·a n ＝2a n -1，已知a 1＝1，a 3＝4，则a 2024＝（▲）.A.8B.6C.4D.29. 学校要制作一块广告牌，请来两名工人，已知甲单独完成需4天，乙单独完成需6天，若先由乙做1天，再两人合作，完成任务后共得到报酬900元，若按各人的工作量计算报酬，则分配方案为（ ▲ ）. A ．甲360元，乙540元B ．甲450元，乙450元C ．甲300元，乙600元D ．甲540元，乙360元10. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以AB 为边向三角形外作正方形ABDE ，作EF ⊥BC 于点F ，交对角线AD 于点G ，连接BG. 要求△BFG 的周长，只需要知道（ ▲ ）. A.线段BF 的长度 B.线段AC 的长度 C.线段FG 的长度 D.线段BC 的长度二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分） 11. 分解因式：x 2 xy ＝ ▲ ．12. 一个不透明的口袋中有3个质地相同的小球，其中2个红色，1个蓝色. 随机摸取一个小球是红色小球的概率是 ▲ ．13. 小明用刻度尺（单位：cm ）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB=90°，D 是AB 的中点，点A ，B 对应的刻度分别是1，8，则CD ＝ ▲ cm ．14. 某绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a 天用水m 吨，现改用喷灌方式，可使这些水所用的天数为2a 天，现在比原来每天节约用水 ▲ 吨．（用含a ，m 的代数式表示）15. 在平行四边形ABCD 中，点E ，F 在BC 边上，把△ABE 沿直线AE 折叠，△CDF 沿直线DF 折叠，使点B ，C 落在对角线AC 上的点G 处，若∠AGD ＝110°，则∠B 的度数为 ▲ ．(第13题) (第15题)16. 已知抛物线k x a y +=2)2(－上有A （－2，y 1），B （1，y 2），C （4，y 3），D （5，y 4）四个点，某数学兴趣小组研究后得到三个命题：①若y 1＋y 3 > y 2＋y 4，则a > 0；②若y 2－y 3 > 0，则y 1－y 4 > 0； ③若y 2 y 3 = 0，则y 1 y 4 > 0. 属于真命题是 ▲ ．（填写序号）三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分） 17.π0(2)2 .18. 解不等式组：14,23.x x xEGFDCBAA BC D19. 图1是太阳能路灯的实物图，图2是其示意图，AB 垂直于地面l ，AB ＝800 cm ，BC ＝105 cm ，∠ABC＝108°，求点C 离地面的高度. (结果精确到1cm ，参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95 ，tan18°≈0.31 )20. 如图，一次函数b kx y 与反比例函数xcy的图象相交于A ，B 两点，A ，B 的坐标分别为(2，n )，(－4，－2).（1）分别求出一次函数和反比例函数的解析式；（2）已知点M (m ，c )，B (m ，d )，分别在一次函数和反比例函数上，当c ＞d 时，直接写出m 的取值范围．（第20题）（第21题）21. 如图，在△ABC 中，∠ABC 的平分线BD 交AC 边于点D ，已知∠ADB ＝2∠ABD ．（1）求证：AB ²＝AD AC ；（2）若DC ＝2AD ＝2，求∠A 的度数．22. 某中学开展专家讲座，帮助学生合理规划周末使用手机的时间，并在讲座前后对本校学生周末手机使用时间情况进行随机抽样调查，制成如下统计图表（数据分组包含左端值不包含右端值）．（1）在讲座开展前抽取的学生中周末使用时长在哪个区间的人数最多？占抽取人数的百分之几？（2）该校共有学生1500人，请估计讲座开展后全校周末使用手机8小时以上的学生人数；（3）小军认为，活动开展后的样本中周末使用手机6小时以上的人数与讲座前相比变化不大，所以讲座并没有起到效果．请结合统计图表，对小军分析数据的方法及讲座宣传活动的效果谈谈你的看法．DCBAlD BCA图1 图223. 图1是某校园的紫藤花架，图2是其示意图，它是以直线AB 为对称轴的轴对称图形，其中曲线AC ，AD ，BE ，BF 均是抛物线的一部分.图1 图2 图3素材1：某综合实践小组测量得到点A ，B 到地面距离分别为5米和4米.曲线AD 的最低点到地面的距离是4米，与点A 的水平距离是3米；曲线BF 的最低点到地面的距离是289米，与点B 的水平距离是4米．素材2：按图3的方式布置装饰灯带GH ，GI ，KL ，MN ，HJ ，布置好后成轴对称分布，其中GI ，KL ，MN ，HJ 垂直于地面， GI 与HJ 之间的距离比KL 与MN 之间的距离多2米．任务一：（1）在图２中建立适当的平面直角坐标系，求曲线AD 的函数解析式；任务二：（2）若灯带GH 长度为d 米，求 MN 的长度．（用含ｄ的代数式表示）；任务三：（3）求灯带总长度的最小值．24. 如图，半圆O 的直径AB ＝6.点C 在半圆O 上，连结AC ，BC ，过点O 作OD ∥AC 分别交BC ， AB于点E ，D ，连结AD 交BC 于点F . （1）求证：点D 是 BC的中点；（2）将点O 绕点F 顺时针旋转90 °到点G .①当点G 在线段AD 上，求AC 的长；②当点G 在线段AC 上，求sin ∠ABC 的值.(第24题)FBOA E CDBO备用图A数学答案第1页共5页2024年浙江省初中毕业生学业模拟考试（台州卷）数学参考答案和评分细则一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分）题号12345678910答案CACADBBDBD二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)11．x (x -y )12．2313．3.514．2m a15．75°16．①③三、解答题(本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分)17.（6分）解：原式=3+1－4…3分=0…6分18．（6分）解：由①得：5x <-…2分由②得：1x <…4分∴不等式组的解集为：5x <-.…6分19.（6分）解：过点C 作CE ⊥AD ，垂足为E∵CE ⊥AD ，∴∠CEB ＝90°∴∠C ＝∠ABC －∠AEC ＝18°…2分∵BE ＝BC sin ∠C ，∴BE ＝105×0.31＝32.55≈33（cm ）…4分AE ＝AB ＋BE ＝833cm…6分答：点C 距离地面的高度是833cm20.（8分）解：（1）将B （－4，－2）代入xcy =42-=-c 得解得c=8…2分∴反比例函数的解析式：xy 8=令x=2代入得y=4∴A(2,4)将点A （2，4），点B （-4，-2）代入y =kx +b 得⎩⎨⎧+-=-+=bk b k 4224…4分数学答案第2页共5页解得⎩⎨⎧==21b k ∴一次函数的解析式为y =x +2…6分（2）-4<m <0或m >2（写对一个一分共2分）21.（8分）解证明：（1）∵BD 平分∠ABC ∴∠ABC ＝2∠ABD ＝2∠DBC∵∠ADB ＝2∠ABD ∴∠ABC ＝2∠ADB ……………1分∵∠ADB ＝∠DBC ＋∠C ∴∠ABD ＝∠C………………2分∴△ABD ∽△ACB ………………3分∴ACABAB AD =即AB ²＝AD ⋅AC ………………4分（2）由（1）得∠DBC ＝∠C ∴BD ＝CD ＝2……………1分∵2AD =2∴AD =1∴AC ＝3∵AB ²＝AD ⋅AC ∴AB=3……………2分∴AB ²＋AD ²＝BD ²……………3分∴∠A =90°……………4分22.（10分）（1）在开展前周末手机使用时长为4～6小时的同学最多．……2分5＋8＋15＋12＋10＝50（人）15÷50×100％＝30％……4分（2）16＋24＋40＋16＋4＝100（人）4÷100×100％＝4％1500×4％＝60（人）……2分由样本估计总体，全校讲座开展后周末使用手机8小时以上大约有60人……3分（3）因为忽略了两次样本容量的差异，所以小军分析的方法不合理……1分样本中周末使用手机时长6小时以上的人数由44％下降为20％，所以此次讲座宣传活动是有效果的．……2分（未运用统计量说明的给1分）23.（10分）（1）如图，以地面所在直线为x 轴，AB 所在直线为y 轴，建立如图所示的直角坐标系.设()234y a x =-+，代入()05A ,得：()25034a =-+，解得:19a =，()21349y x =-+ (3)分数学答案第3页共5页（2）2H d x =,12M d x =-,2113492M d y ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭214523699d d =-+214523699MN d d =-+…4分(3)设曲线BF 的函数解析式为：()22849y a x =-+，代入()04B ,得：()2284049a =-+解得：118a =，()21284189y x =-+设灯带总长度为w ,GH d =,22w MN HJ GH=++22145212822436991829d d d d⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-++-++⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦2111761239d d =-+,当2x =时，1739w =最小值.…3分24．（12分）解：（1）解法一：∵AB 是半圆O 直径∴∠C ＝90°……………………2分∵OD ∥AC∴∠OEB ＝∠C ＝90°，即OD ⊥BC……………………3分∴ BD＝ CD ，即点D 是 BC 的中点……………………4分解法二：∵OD ∥AC ∴∠D ＝∠CAD ……………………1分∵OA ＝OD ∴∠D ＝∠OAD …………………2分∴∠OAD ＝∠CAD……………………3分∴ BD＝ CD ，即点D 是 BC 的中点……………………4分解法三：连结CO ∵AB 是半圆O 直径∴∠ACB ＝90°……………………2分∵OD ∥AC ∴∠OEB ＝∠ACB ＝90°，即OD ⊥BC……………………3分∵OB ＝OC ，OE ＝OE ∴Rt △BOE ≌Rt △COE （HL ）∴∠BOD ＝∠COD ∴ BD ＝ CD ，即点D 是 BC的中点……………………4分（说明：各种方法合理均可.）（2）①解法一：连结OF ，作FG ＝OF∵点O 绕点F 顺时针旋转90°到点G ∴∠OFG ＝90°∴AF ＝DF……………………1分FBOAE CDF OAEC D G数学答案第4页共5页又∵OD ∥AC∴∠D ＝∠CAD ，∠C ＝∠DEC ∴△ACF ≌△DEF （AAS ）……………………2分（由平行线直接得△ACF ∽△DEF 也给分.）∴AC ＝DE ∵O 是AB 中点，OD ∥AC ∴AC ＝2OE ……………………3分∵直径AB ＝6∴OE ＋DE ＝OD ＝3∴AC ＝2……………………4分解法二：连结OF ，BD ，作FG ＝OF ∵点O 绕点F 顺时针旋转90°到点G ∴∠OFG ＝90°∴AF ＝DF……………………1分又∵AB 是半圆O 直径∴∠ADB ＝90°∴OF ∥BD∴△OEF ∽△DEB ，OF :BD ＝1:2……………………2分∴DE ＝2OE ∵直径AB ＝6∴OE ＝1……………………3分∵O 是AB 中点，OD ∥AC ∴AC ＝2OE ＝2……………………4分（2）②解法一：如图，构造对应图形易证△CFG ≌△EOF………………1分∴OE ＝CF 由①得，AC ＝2OE ，△ACF ∽△DEF .设OE ＝CF ＝x ，则AC ＝2x ，DE ＝3－x ∴CF :AC ＝EF :DE ＝1:2∴EF ＝……………………2分∴CE ＝BE ＝CF ＋EF ＝∴在Rt △BOE 中，解得：x ＝1.8……………………3分∴sin ∠ABC ＝＝0.6……………………4分（说明：各种方法合理均可.如：连结BD，通过比例和勾股定理求BD 的长等也可解决问题）解法二：如图，构造对应图形，作FH ⊥AB 于点H 易证△CFG ≌△EOF……………………1分∴OE ＝CF ，EF ＝CG ，∠OFE ＝∠CGF 易证△CFG ≌△HFO ，△CFA ≌△HFA ∴AC ＝AH ＝3，∠OFE ＝∠CGF ＝∠BOF ∴AG ＝AO ＝BO ＝BF ＝3……………………2分F B OAEC DGFBO AECD GF B O AE C DGH由①得，AC＝2OE.设OE＝CF＝x，EF＝CG＝y，则AC＝2x ∴2x－y＝AG＝3，x＋y＋y＝BF＝3（BC＝2CE＝2x＋2y，再由AC2＋BC2＝AB2也可）解得：x＝1.8……………………3分∴sin∠ABC＝＝0.6……………………4分数学答案第5页共5页19．（本题满分6分）(第19题)21．（本题满分8分）（1）（4分）(第21题)（2）（4分）考号[0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9][0][1][2][3][4][5][6][7][8][9]20．（本题满分8分）（1）（6分）（2）（2分）.(第20题)一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分，请选出各题中一个符合题意的正确选项，不选、多选、错选，均不给分）18．（本题满分6分）解不等式组：1423.x x x ⎧⎨⎩＋＜－，＜＋2024年中考模拟考试（一）数学答题卷学校班级姓名说明1、准考证号和选择题请用2B 铅笔填涂；2、除选择题外请用0.5mm 黑色中性笔答题；3、保持答题卷整洁，请勿折叠.缺考标记：[](考生不得填涂)二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）11．．12．．13．．14．．15．．16．．.17．（本题满分6分）计算：9＋（π-2）0＋|－2|．三、解答题（本题有8小题，第17～19题每题6分，第20，21题每小题8分，第22，23题每题10分，第24题12分，共66分）◤□■◤◥24．（本题满分12分）（1）（4分）(第24题)（2）①（4分）②（4分）22．（本题满分10分）（1）（4分）（2）（3分）（3）（3分）23．（本题满分10分）（1）（3分）（图2）（2）（4分）（图3）（3）（3分）模拟（一）数学答题卷第3页共4页模拟（一）数学答题卷第4页共4页。

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题(含详细答案)

2022年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试题卷（时间80分钟，总分100分）选择题部分一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.已知集合{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，则A B =（）A.∅B.{}1 C.{}2 D.{}1,2【答案】D【解析】∵{}0,1,2A =，{}1,2,3,4B =，∴{}1,2A B = .2.复数2i -（i 为虚数单位）的实部是（）A.1B.1-C.2D.2-【答案】C【解析】显然复数2i -的实部是2.3.函数()f x =的定义域是（）A.(),1-∞ B.[)1,+∞ C.(),1-∞- D.[)1,-+∞【答案】D【解析】∵10x +≥，∴1x ≥-，即函数()f x =的定义域为[)1,-+∞.4.已知tan 1α=，ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，则α=（）A.4π B.π4-C.π3D.π3-【答案】A【解析】∵tan 1α=，∴ππ4k α=+，又ππ,22⎛⎫∈- ⎪⎝⎭α，∴π4α=.5.袋子中有5个大小质地完全相同的球，其中2个红球，3个黄球，从中随机摸出1个球，则摸到黄球的概率是（）A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】5个大小质地完全相同的球，黄球有3个，则随机摸出1个球，有5种方法，摸到黄球有3种方法，所以摸到黄球的概率为35.6.已知平面向量()2,4a =r ，(),6b x = .若//a b r r，则实数x =（）A.3-B.3C.12-D.12【答案】B【解析】由a b ∥，可得2640x ⨯-=，解得3x =.7.已知球的半径是2，则该球的表面积是（）A.2π B.4π C.8π D.16π【答案】D【解析】224π4π216πS R ==⨯=，8.设0a >，下列选项中正确的是（）A.313a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭B.2233a a-= C.2332a a a= D.2332a a a÷=【答案】A【解析】对于A ，311333a a a ⨯⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，2223023331a aa a--===，故B 错误；对于C ，23213332362a a aa ==，故C 错误；对于D ，221133332a a a a a a-÷===，故D 错误.9.中国茶文化博大精深，茶水口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某种绿茶用85℃的水泡制，再等到茶水的温度降至60℃时饮用，可以产生最佳口感.已知在25℃的室温下，函数()600.9227250ty t =⨯+≥近似刻画了茶水温度y （单位：℃）随时间t （单位：min ）的变化规律.为达到最佳饮用口感，刚泡好的茶水大约需要放置（参考数据： 6.70.92270.5833≈，8.70.92270.4966≈）（）A.5min B.7min C.9min D.11min 【答案】B【解析】由题可知，函数()600.9227250ty t =⨯+≥，当 6.7t =，59.998y ≈，已经接近60，又函数()600.9227250ty t =⨯+≥在()0,∞+上单调递减，则大约在7min 时口感最佳.故A ，C ，D 错误.10.设a ，b 是实数，则“a b >”是“a b >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】对于a b >，比如3a ==-，显然13a b =<=，不能推出a b >；反之，如果a b >，则必有0,a a a b b >∴=>≥；所以“a b >”是“a b >”的必要不充分条件；11.在ABC 中，设2AD DB = ，2BE EC =，CF FA λ= ，其中R λ∈.若DEF 和ABC 的重心重合，则λ=（）A.12B.1C.32D.2【答案】D【解析】设O 为DEF 和ABC 的重心，连接DO 延长交EF 与N ，连接AO 延长交BC 与M ，所以N 是EF 的中点，M 是BC 的中点，所以()2211133233AO AM AB AC AB AC==+=+，2111133333DO DA AO AB AB AC AB AC=+=-++=-+，()()22113323DO DN DE DF DB BE DA AF==+=+++()112211121333313331AB BC AB AC AB AC AB AC λλ=+-+=-+-+++11213331AB AC λ=-+++，可得21131λ=++，解得2λ=.12.如图，棱长均相等的三棱锥-P ABC 中，点D 是棱PC 上的动点（不含端点），设CD x =，锐二面角A BD C --的大小为θ.当x 增大时，（）A.θ增大 B.θ先增大后减小 C.θ减小 D.θ先减小后增大【答案】C【解析】由题意，三棱锥-P ABC 是正四面体，以PBC 的重心为原点，BC 边的中线PG 为x 轴，OA 为z 轴，过O 点平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系如图：设三棱锥P -ABC的棱长为，则有：22221228OA AP PO =-=-=，()(()()1,,0,0,,1,,2,0,0B A C P --，3231,,022x D x ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，(1,,1,,22x AB AD x ⎛-=--=-- ⎝ ，设(),,m t y z = 是平面ABD 的一个法向量，则有·0·0m AB m AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即01022t x x t y ⎧--=⎪⎛⎫⎛⎫⎨--+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，令y =，解得(,,,t x z m x =-=-=-，显然()0,0,1n =是平面PBC 的一个法向量，cos m nm n θ∴===；显然当x =x 的取值范围是0x <<），πcos 0,2θθ==最大，当x >或x <时，cos θ都变大，即θ变小；二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分.每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13.图象经过第三象限的函数是（）A.2y x= B.3y x= C.23y x= D.1y x -=【答案】BD【解析】由幂函数的图象可知，A 中，2y x =过第一、二象限；B 中，3y x =过第一、三象限；C 中，320y x ==≥且定义域为R ，过第一、二象限；D 中，1y x -=过第一、三象限.14.下列命题正确的是（）A.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面垂直B.过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行C .过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线垂直D.过直线外一点，有且只有一个平面与这个直线平行【答案】AC【解析】对于A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作已知平面的垂线，有且仅有一条，故A 正确；对于B ，过平面外一点可以作一个平面与已知平面平行，在这个平行平面内的经过已知点作直线，它就和已经平面平行，故过平面外一点有无数条直线与这个平面平行，故B 不正确；对于C ，由直线与平面垂直的性质知：过直线外一点只能作一个平面与这条直线垂直，故C 正确；对于D ，过直线外一点，有无数个平面与这条直线平行，故D 不正确．15.在锐角ABC 中，有（）A.sin sin sin A B C +> B.222sin sin sin A B C +>C.cos cos sin A B C +> D.222cos cos sin A B C +>【答案】ABC【解析】对于A ，根据正弦定理，因为a b c +>可得sin sin sin A B C +>，故A 正确；对于B ，因为222cos 02a b c C ab+-=>可得222a b c +>，再由正弦定理可得222sin sin sin A B C +>，故B 正确；对于C ，因为π0,2A B <<中，所以0sin ,sin 1A B <<，所以()cos cos cos sin cos sin sin sin A B A B B A A B C +>+=+=，故C 正确；对于D ，当222π13cos cos sin 324A B C A B C ===⇒+=<=，故D 错误16.已知a ∈R ，设()11,A x y ，()22,B x y 是函数()2y x a =-与1sin y x =-图象的两个公共点，记()12f a x x =-.则（）A.函数()f a 是周期函数，最小正周期是πB.函数()f a 在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C.函数()f a 的图象是轴对称图形D.函数()f a 的图象是中心对称图形【答案】BC【解析】分别作出()2y x a =-与1sin y x =-（周期为2π）的图象（如图）.对于B ，由图可知，当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，故B 正确；对于C 、D ，对于任意a ∈R ，此时作()2y x a =-关于2x π=-的对称函数()2πy x a =---⎡⎤⎣⎦，且1sin y x =-也关于2x π=-对称，故()()πf a f a --=，即()f a 关于2x π=-对称，即()f a 关于2x π=-对称，故C 正确，D 错误.错误.对于A ，由于当3ππ,22a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递增；当ππ,22a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()f a 单调递减，()f a 关于π2x =-对称，由于1sin y x =-是最小正周期为2π的函数，其图象呈周期性变换，而()2y x a =-在平移过程中大小与形状不变，所以()12f a x x =-呈周期性变换，根据函数的对称性作出()f a 的大致图像（如图），可知其为周期函数，且最小正周期为2πT =，故A错误；非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空分3分，共15分）17.已知函数()25,1,log ,1,x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩则()1f -=______，()1f f -=⎡⎤⎣⎦______.【答案】①.4②.2【解析】()1154f -=-+=；()()214log 42f f f ⎡⎤-===⎣⎦.故答案为：4；2.18.某广场设置了一些石凳供大家休息，每个石凳都是由正方体截去八个一样的四面体得到的（如图，从棱的中点截）.如果被截正方体的棱长是4（单位：dm ），那么一个石凳的体积是______（单位：3dm ）.【答案】1603【解析】正方体的体积为3464=，正方体截去的八个四面体是全等的正三棱锥，截去的一个正三棱锥的体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，则石凳的体积为416064833-⨯=.19.已知实数0x >，0y >，则2x yx y x++的最小值是______.【答案】1-【解析】211x y x y xx y x x y x ++=+-≥-++，当且仅当2x y xx y x+==+.20.已知平面向量a ，b 是非零向量.若a 在b上的投影向量的模为1，21a b -= ，则()4a b b -⋅ 的取值范围是______.【答案】[]3,4【解析】解：由题意，令(),0b b = ，()1,a y =±，则()()2221221a b b y -=⇒±-+= ，所以[]240,1y ∈，由21a b -= ，得22441a a b b -⋅+= ，所以()2441a b b a -⋅=- .()[]222411433,4y y ⎡⎤=±+-=+∈⎣⎦.四、解答题（本大题共3小题，共33分）21.在某市的一次数学测试中，为了解学生的测试情况，从中随机抽取100名学生的测试成绩，被抽取成绩全部介于40分到100分之间（满分100分），将统计结果按如下方式分成六组：第一组[)40,50，第二组[)50,60，L ，第六组[]90,100，画出频率分布直方图如图所示.（1）求第三组[)60,70的频率；（2）估计该市学生这次测试成绩的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）和第25百分位数.解：（1）由频率分布直方图知，第三组的频率为0.020100.2⨯=.（2）平均值450.00410550.01210650.02010750.03010850.02410x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯950.0101073.8+⨯⨯=，因为()0.0040.012100.16+⨯=，()0.0040.0120.020100.36++⨯=，所以第25百分位数为0.250.16601064.50.2-+⨯=.22.已知函数()222cos f x x x =+.（1）求π4f ⎛⎫⎪⎝⎭的值；（2）求函数()f x 的最小正周期；（3）当[],2x t t ∈（[][],20,2πt t ⊆）时，()1f x ≤恒成立，求实数t 的最大值.解：（1）22πππππ22cos 2cos 144424f ⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）()2π22cos 2cos 212sin 216f x x x x x x ⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以函数()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（3）当[],2x t t ∈，()1f x ≤恒成立，即π2sin 2116x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以π1sin 206x ⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，因为[],2x t t ∈，[][],20,2πt t ⊆，所以πππ242π66t t ≤+<+≤，解得5π11π1224t ≤≤，即实数t 的最大值为11π24.综上，π14f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，最小正周期为π，实数t 的最大值为11π24.23.已知函数()()20xa f x a x x x=+->，其中1a >.（1）若()24f ≤，求实数a 的取值范围；（2）证明：函数()f x 存在唯一零点；（3）设()00f x =，证明：()22021222a a f x a a -+<+<-+.解：（1）因为()()20xaf x a x x x=+->，由()2224f a a =+-≤，可得220a a --≤，所以()()210a a -+≤，即12a -≤≤，又1a >，所以12a <≤；（2）证明：因为函数()()20xaf x a x x x=->，其中1a >，所以()f x 在()0,∞+上单调递增，且()11210f a a a =+-=-<，()221722024f a a a ⎛⎫=+-=-+> ⎪⎝⎭，所以由零点存在定理，得()f x 在()1,2内有唯一零点，即函数()f x 存在唯一零点；（3）证明：若()00f x =，则()()001,212,3x x ∈⇒+∈，所以()()20221f a a f x =+-<+，又()000020xa f x a x x =+-=，0002x a a x x =-，所以()()()021000000022211111x a a af x ax ax x x x x ++=++-=-++-++()200002211a x a x x x ⎛⎫=-+++ ⎪+⎝⎭，令()()22000002222212211g a a a f x a x a x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-+-++- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，又0220x ->，所以()g a 的图象开口向上，对称轴()()200020000000221104141222x x x x x x a x x x x ⎛⎫--+ ⎪++⎝⎭=-=-=--+⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭，所以()g a 在()1,+∞上单调递增，所以()()20000002222121211111g a g x x x x x x ⎛⎫⎛⎫>=-⋅+-+⋅+-=-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()()()()()22000000000000002122120111x x x x x x x x x x x x x x +-+++-+-===>+++，即()201222f x a a +<-+，所以()22021222a a f x a a -+<+<-+.。

2014年7月浙江省普通高中学业水平考试数学试卷(完整版,含参答案)

2014年7月浙江省普通高中学业水平测试数学试题一、选择题1.已知集合A={2,3,4}，B={3,4,5},则A∩B=( )A. {3}B. {3,4}C. {2,3,4}D. {2,3,4,5}2.函数xx f 1)(=的定义域为（）A. ),(+∞-∞B. ),0()0,(+∞⋃-∞C. ),0[+∞D. ),0(+∞3.已知等比数列}{n a 的通项公式为)(3*2N n a n n ∈=+，则该数列的公比是（）A.91B. 9C.31D. 34.下列直线中倾斜角为45°的是（）A. y=xB. y=－xC. x=1D. y=1 5.下列算式正确的是（）A.lg8+lg2=lg10B. lg8+lg2=lg6C. lg8+lg2=lg16D. lg8+lg2=lg46.某圆台如图所示放置，则该圆台的俯视图是（）7.cos(π+α) =（）A. cos αB. －cos αC. sin αD. －sin α 8.若函数f(x)=(a －1)x －1为R 上的增函数，则实数a 的取值范围为（）A. a<1B. a>1C. a<0D. a>0 9.18cos22-π=（）A.21B. 21-C.22D. 22-10.直线y=a(a ∈R )与抛物线y 2=x 交点的个数是（）A. 0B.1C.2D. 0或111.将函数)4sin()(π-=x x f 图象上的所有点向左平移4π个单位长度，则所得图象的函数解析式是（）A. y=sinxB. y=cosxC. y=－sinxD. y=－cosx 12.命题p: ∃x 0∈R ,x 02+2x 0－2=0，则命题p 的否定是（）A. ∀ x ∈R ,x 2+2x －2≠0B. ∀ x ∈R ,x 2+2x －2>0C. ∃x 0∈R ,x 02+2x 0－2≠0D. ∃x 0∈R ,x 02+2x 0－2>013.如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米），已测得隧道两端点A,B 到某一点C 的距离分别为5和8， ∠ACB=60°，则A,B 之间的距离为（）A. 7B. 12910C. 6D. 814.若),2(,53sin ππαα∈=，则)3sin(πα-=（） A.10433- B.10433+ C.10343- D.10343+ 15.设函数),23,23(,tan )(ππ-∈=x x x x f 且2π±≠x ，则该函数的图像大致是（）16.设R b a ∈,，则“0>>b a ”是“ba 11<”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分又不必要条件17.设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为F 1、F 2，上顶点为B.若|BF 2|=|F 1F 2|=2，则该椭圆的方程为（）A. 13422=+y xB. 1322=+y xC. 1222=+y xD. 1422=+y x 18.设P(a,b)是函数f(x)=x 3图象上的任意一点，则下列各点中一定．．在该图象上的是（） A. P 1(a,－b) B. P 2(－a,－b) C. P 3(－|a|,b) D. P 4(|a|,－b)19.在空间中，设m,n 是不同的直线，α，β是不同的平面，且m ⊂α,n ⊂β，则下列命题正确的是（） A. 若m ∥n ，则α∥β B. 若m,n 异面，则α, β异面 C. 若m ⊥n ，则α⊥β D. 若m,n 相交，则α, β相交20.若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥--≤-+033012032y x y x y x ，则x y -的最大值为（）A. 1B.0C.－1D. －321.如图，在三棱锥S －ABC 中，E 为棱SC 的中点，若2,32======BC AB SC SB SA AC ，则异面直线AC 与BE 所成的角为（） A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°22.在平面直角坐标系xOy 中，设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点为F ，圆M 的圆心M 在y 轴正半轴上，半径为双曲线的实轴长2a ，若圆M 与双曲线的两渐近线均相切，且直线MF 与双曲线的一条渐近线垂直，则该双曲线的离心率为（） A.25 B. 332 C. 2 D. 523.两直立矮墙成135°二面角，现利用这两面矮墙和篱笆围成一个面积为54m 2的直角梯形菜园（墙足够长），则所用篱笆总长度的最小值为（） A. m 16 B. m 18 C. m 5.22 D. m 31524.已知ABC Rt ∆的斜边AB 的长为4，设P 是以C 为圆心1为半径的圆上的任意一点，则⋅的取值范围是（） A. ]25,23[-B. ]25,25[- C. ]5,3[- D. ]321,321[+- 25.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E,F 分别是棱A 1D 1,C 1D 1的中点，N 为线段B 1C 的中点，若点P,M 分别为线段D 1B,EF 上的动点，则PM+PN 的最小值为（）A. 1B. 423C. 4262+ D.213+1D二、填空题 26.设函数⎩⎨⎧≥<-=1,21,22)(x x x x f x，则)1(-f 的值为 .27.已知直线l 1: x －y+1=0,l 2: x －y －3=0，则两平行直线l 1, l 2间的距离为 . 28.已知函数)0)(3sin(2)(>+=ωπωx x f 的最小正周期为π，则=ω .29.如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，AB=1,BC=2，分别以A,D 为圆心，1为半径作圆弧EB,EC ，若由两圆弧EB,EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的表面积为 . 30.设P(a,b)是直线y=－x 上的点，若对曲线)0(1>=x xy 上的任意一点Q 恒有|PQ|≥3，则实数a 的取值范围是 . E三、解答题31.（本题7分）已知等差数列{})(*N n a n ∈满足6,231==a a （1）求该数列的公差d 和通项公式n a ；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若122+≥n S n ，求n 的取值范围.32.（本题7分）如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中， ∠CAA 1=∠A 1AB=∠BAC=90°，AB=AA 1=1,AC=2 （1）求证：A 1B ⊥平面AB 1C ；（2）求直线B 1C 与平面ACC 1A 1所成角的正弦值.133.（本题8分）在平面直角坐标系xOy 中，点A,B 的坐标分别为(－1,0),(1,0).设曲线C 上任意一点P(x,y)满足|PA|=λ|PB|(λ>0, 且λ≠1).（1）求曲线C 的方程，并指出此曲线的形状；（2）对λ的两个不同取值λ1, λ2，记对应的曲线为C 1,C 2. 1°）若曲线C 1,C 2.关于某直线对称，求λ1, λ2的积； 2°）若λ2>λ1>1，判断两曲线的位置关系，并说明理由.34.（本题8分）设函数0,1)(,2)(2>--=-=a x ax x g a x x x f （1）当a=8时，求f(x)在区间[3,5]上的值域；（2）若21),2,1](5,3[],5,3[x x i x t i ≠=∈∃∈∀且，使f(x i )=g(t)，求实数a 的取值范围.参考答案：。

(完整word版)2018年6月浙江省数学学考试卷及答案

2018年6月浙江省数学学考试卷及答案选择题答案：AA. {1}B. {2} C.{1,2} D.{1,2,3}答案 :B 由集合丿A {1,2}，集合B {2,3},得 AI B {2}.2.函数yIog 2(x 1）的定义域是（ )A. (1, )B.[1,)C. (0,)D .[0,)答案:A••• yIog 2(x 1)，二 x 10, x1，二函数y log 2（x 1）的定义域是（1,3. 设 R ，则 sin（5 ）（）A.sin B.sinC .cosD.cos答案:C 根据诱导公式可以得出sin （— )cos .4. 将一个球的半径扩大到原来的 2倍, 则它的体积扩大到原来的（）A.2倍B. 4倍6倍D.8倍答案:D设球原来的半径为r , 则扩大后的半径为2r , 球原来的体积为，球后来的体积为).因为a 4，b 3，所以c5，所以焦点坐标为（ 5,0)，(5,0).6.已知向量a （x,1）， b（2, 3），若a//b ，则实数x 的值是（）1.已知集合A {1,2},B {2,3},则AI B()34 (2r)332 r 3球后来的体积与球原来的体积之比为32 r 3 W & 4 r 3 35.双曲线 2 2x y_16 91的焦点坐标是（）A.(5,0)，(5,0)B. (0, 5)，(0,5)C.」7,0)，0.7,0)D.（0,、、7），（0八A.23 B. C. D.答案: （X,1）, b (2, 3)，利用a / /b 的坐标运算公式得到3x 20,所以解得x7. 设实数x , y 满足 x y 02x y 3 0，则xy 的最大值为(A. 1B. 2 c.3 D. 4答案：B 1- 作出可行域，如图:当z x y 经过点A(1,1)时，有z max2.8.在ABC 中, C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知45o ，C 30o ，cB. 答案：C 由正弦定理 b sin B 贏可得 sinC1 sin 45 sin 30 J2 1 2 “I 2. 9. 已知直线l ，m 和平面 A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 D. 答案：B 因为"直线和平面垂直，垂直与平面上所有直线” ，但是"直线垂直于平面上一条直线不能判断垂直于整个平面”所以是必要不充分条件。

2025届浙江省九年级数学第一学期期末学业水平测试试题含解析

2025届浙江省九年级数学第一学期期末学业水平测试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题(每小题3分,共30分)1．直角三角形两直角边之和为定值,其面积与一直角边之间的函数关系大致图象是下列中的（）A ．B ．C ．D ．2．如图，菱形ABCD 中，EF ⊥AC ，垂足为点H ，分别交AD 、AB 及CB 的延长线交于点E 、M 、F ，且AE ：FB ＝1：2，则AH ：AC 的值为（）A ．14 B ．16 C ．25 D ．153．不透明袋子中有3个红球和2个白球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机取出1个球，是红球的概率是( ) A ．16B ．15C ．25D ．354．如果关于x 的方程220--=x x k 没有实数根，那么k 的最大整数值是（） A ．-3B ．-2C ．-1D ．05．反比例函数y ＝1k x-的图象，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大，则k 可以为（） A ．0B ．1C ．2D ．36．若ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，则ABC ∆与DEF ∆的周长比为（） A ．1：2B ．1：3C ．1：4D ．1：167．两个相似三角形的面积比是9:16，则这两个三角形的相似比是（）A．9︰16 B．3︰4 C．9︰4 D．3︰168．如图所示，在边长为1的小正方形网格中，两个三角形是位似图形，则它们的位似中心是（）A．点O B．点P C．点M D．点N9．运动会的领奖台可以近似的看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）A．B．C．D．10．已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2﹣4x+3=0的根，则该三角形的周长可以是（）A．5B．7C．5或7D．10二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点为（﹣5，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集为_____．12．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB＝35º，则∠OAB＝º．13．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____． 14．如图，把直角三角形ABC 的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针方向在l 上转动两次，使它转到A B C ''''''△的位置.设1BC =，3AC =，则顶点A 运动到点A ''的位置时，点A 经过的路线长为_________．15．二次函数2(12)12y x m x =-+-+，当2x >时，y 随x 的增大而减小，则m 的取值范围是__________． 16．已知二次函数2(3)21y k x x =-++的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是__________17．某公司生产一种饮料是由A ，B 两种原料液按一定比例配成，其中A 原料液的原成本价为10元/千克，B 原料液的原成本价为5元/千克，按原售价销售可以获得50%的利润率，由于物价上涨，现在A 原料液每千克上涨20%，B 原料液每千克上涨40%，配制后的饮料成本增加了13，公司为了拓展市场，打算再投入现在成本的25%做广告宣传，如果要保证该种饮料的利润率不变，则这种饮料现在的售价应比原来的售价高_____元/千克． 18．如图，在△ABC 中，∠B ＝45°，AB ＝4，BC ＝6，则△ABC 的面积是__________．三、解答题(共66分)19．（10分）已知△OAB 在平面直角坐标系中的位置如图所示．请解答以下问题：（1）按要求作图：先将△ABO 绕原点O 逆时针旋转90°得△OA 1B 1，再以原点O 为位似中心，将△OA 1B 1在原点异侧按位似比2：1进行放大得到△OA 2B 2；（2）直接写出点A 1的坐标，点A 2的坐标．20．（6分）如图,在△ABC中,D为BC边上的一点,且∠CAD=∠B,CD=4，BD=2,求AC的长21．（6分）已知：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，sin B=35，点D、E分别在边AB、BC上，且AD∶DB=2∶3，DE⊥BC．（1）求∠DCE的正切值；（2）如果设AB a=，CD b=，试用a、b表示AC.22．（8分）如图，已知在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，点A（2，5）在反比例函数kyx=的图象上，过点A的直线y=x+b交x轴于点B．（1）求k和b的值；（2）求△OAB的面积．23．（8分）为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这A B C D E F G H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．8名学生分别标记为,,,,,,,学生A B C D E F G H垃圾类别厨余垃圾√√√√√√√√可回收垃圾√×√××√√√有害垃圾×√×√√××√其他垃圾×√√××√√√（1）求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；（2）为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．24．（8分）如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系内，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，4），B（1，1），C（3，1）．（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；（2）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A2B2C2；（3）在（2）的条件下，求线段BC扫过的面积（结果保留π）．25．（10分）三个小球上分别标有数字﹣2，﹣1，3，它们除数字外其余全部相同，现将它们放在一个不透明的袋子里，从袋子中随机地摸出一球，将球上的数字记录，记为m，然后放回；再随机地摸取一球，将球上的数字记录，记为n，这样确定了点(m，n)．（1）请列表或画出树状图，并根据列表或树状图写出点(m，n)所有可能的结果；（2）求点(m，n)在函数y＝x的图象上的概率．26．（10分）如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，1．（1）小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为；（2）小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是1的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【解析】设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式即可得到关系式,观察形式即可解答.【详解】解:设直角三角形两直角边之和为a,其中一直角边为x,则另一直角边为(a-x).根据三角形面积公式则有:y = ，以上是二次函数的表达式,图象是一条抛物线,所以A选项是正确的.【点睛】考查了现实中的二次函数问题,考查了学生的分析、解决实际问题的能力.2、B【分析】连接BD，如图，利用菱形的性质得AC⊥BD，AD＝BC，AD∥BC，再证明EF∥BD，接着判断四边形BDEF 为平行四边形得到DE＝BF，设AE＝x，FB＝DE＝2x，BC＝3x，所以AE：CF＝1：5，然后证明△AEH∽△CFH得到AH：HC＝AE：CF＝1：5，最后利用比例的性质得到AH：AC的值．【详解】解：连接BD，如图，∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，AD ＝BC ，AD ∥BC ， ∵EF ⊥AC ， ∴EF ∥BD ，而DE ∥BF ，∴四边形BDEF 为平行四边形， ∴DE ＝BF ，由AE ：FB ＝1：2，设AE ＝x ，FB ＝DE ＝2x ，BC ＝3x ， ∴AE ：CF ＝x ：5x ＝1：5， ∵AE ∥CF ， ∴△AEH ∽△CFH ，∴AH ：HC ＝AE ：CF ＝1：5， ∴AH ：AC ＝1：1．故选：B ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟知菱形的性质及相似三角形的性质. 3、D【分析】利用概率公式直接求解即可. 【详解】解：袋子装有5个球，其中3个红球，2个白球,∴从中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率是:35故选:D ．【点睛】本题考查的是利用概率的定义求事件的概率. 4、B【分析】先根据根的判别式求出k 的取值范围，再从中找到最大整数即可．【详解】224(2)41()440b ac k k -=--⨯⨯-=+< 解得1k <-∴k 的最大整数值是-2 故选：B ．【点睛】本题主要考查根的判别式，掌握根的判别式与根的个数的关系是解题的关键． 5、A【解析】试题分析：因为y=1k x-的图象，在每个象限内，y 的值随x 值的增大而增大，所以k-1＜0，k ＜1．故选A ．考点：反比例函数的性质． 6、C【分析】根据相似三角形的性质解答即可.【详解】解：∵ABC ∆与DEF ∆的相似比为1：4，∴ABC ∆与DEF ∆的周长比为：1：4. 故选：C. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，属于应知应会题型，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键. 7、B【解析】试题分析：根据相似三角形中，面积比等于相似比的平方，即可得到结果．因为面积比是9:16，则相似比是3︰4，故选B. 考点：本题主要考查了相似三角形的性质点评：解答本题的关键是掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方 8、B【分析】根据位似变换的定义：对应点的连线交于一点，交点就是位似中心．即位似中心一定在对应点的连线上．【详解】解：位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M 、N 为对应点，所以位似中心(如图)在M 、N 所在的直线上，点P 在直线MN 上，所以点P 为位似中心．故选：B ．【点睛】此题主要考查了位似变换的性质，利用位似图形的位似中心位于对应点连线所在的直线上，点M、N为对应点，得出位似中心在M、N所在的直线上是解题关键．9、D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：由左视图的定义知该领奖台的左视图如下：故选D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到的线用虚线表示．10、B【解析】先通过解方程求出等腰三角形两边的长，然后利用三角形三边关系确定等腰三角形的腰和底的长，进而求出三角形的周长．本题解析：x ²-4x+3=0(x−3)(x−1)=0，x−3=0或x−1=0，所以x ₁=3,x ₂=1，当三角形的腰为3，底为1时，三角形的周长为3+3+1=7，当三角形的腰为1，底为3时不符合三角形三边的关系，舍去，所以三角形的周长为7.故答案为7.考点：解一元二次方程-因式分解法, 三角形三边关系, 等腰三角形的性质二、填空题(每小题3分,共24分)11、﹣5＜x＜1【分析】先根据抛物线的对称性得到A点坐标（1，0），由y＝ax2+bx+c＞0得函数值为正数，即抛物线在x轴上方，然后找出对应的自变量的取值范围即可得到不等式ax2+bx+c＞0的解集．【详解】解：根据图示知，抛物线y＝ax2+bx+c图象的对称轴是x＝﹣1，与x轴的一个交点坐标为（﹣5，0），根据抛物线的对称性知，抛物线y ＝ax 2+bx +c 图象与x 轴的两个交点关于直线x ＝﹣1对称，即抛物线y ＝ax 2+bx +c 图象与x 轴的另一个交点与（﹣5，0）关于直线x ＝﹣1对称， ∴另一个交点的坐标为（1，0），∵不等式ax 2+bx +c ＞0，即y ＝ax 2+bx +c ＞0， ∴抛物线y ＝ax 2+bx +c 的图形在x 轴上方， ∴不等式ax 2+bx +c ＞0的解集是﹣5＜x ＜1．故答案为﹣5＜x ＜1．【点睛】此题主要考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x 轴的交点，然后由图象找出当y ＞0时，自变量x 的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法． 12、55【解析】分析：∵∠ACB 与∠AOB 是AB所对的圆周角和圆心角，∠ACB ＝35º，∴∠AOB=2∠ACB=70°． ∵OA=OB ，∴∠OAB=∠OBA=18070255︒-︒=︒．13、14【分析】根据题意列举出所有4种等可能的结果数，再根据题意得出能够构成三角形的结果数，最后根据概率公式即可求解．【详解】从中任取3根共有4种等可能的结果数，它们为2、4、6；2、4、8；2、6、8；、4、6、8，其中恰好能搭成一个三角形为4、6、8，所以恰好能搭成一个三角形的概率＝14．故答案为14．【点睛】本题考查列表法或树状图法和三角形三边关系，解题的关键是通过列表法或树状图法展示出所有等可能的结果数及求出构成三角形的结果数．14、43π⎛+ ⎝⎭【分析】根据题意得到直角三角形在直线l 上转动两次点A 分别绕点B 旋转120°和绕C ″旋转90°，将两条弧长求出来加在一起即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∵BC=1，AC =∴AB=2，∠CBA=60°，∴弧AA′=120241803ππ⨯=；弧=；∴点A 经过的路线的长是44(33ππ=；故答案为：4(3π+. 【点睛】本题考查了弧长的计算方法及勾股定理，解题的关键是根据直角三角形的转动过程判断点A 是以那一点为圆心转动多大的角度．15、8m ≥【分析】先根据二次函数的解析式判断出函数的开口方向，再由当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小可知二次函数的对称轴22b x a=-≤，故可得出关于m 的不等式，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵二次函数2(12)12y x m x =-+-+，a =−1<0，∴抛物线开口向下，∵当2x >时，函数值y 随x 的增大而减小， ∴二次函数的对称轴22b x a=-≤，即1222-≤m ，解得8m ≥，故答案为：8m ≥．【点睛】本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的增减性是解答此题的关键．16、k≤4且k≠1【分析】根据二次函数的定义和图象与x 轴有交点则△≥0，可得关于k 的不等式组，然后求出不等式组的解集即可．【详解】解：根据题意得k−1≠0且△＝22−4×（k−1）×1≥0，解得k≤4且k≠1．故答案为：k≤4且k≠1.【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点问题：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0），△＝b2−4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＜0时，抛物线与x 轴没有交点．17、1【分析】设配制比例为1：x，则A原液上涨后的成本是10（1+20%）元，B原液上涨后的成本是5（1+40%）x元，配制后的总成本是（10+5x）（1+13），根据题意可得方程10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+13），解可得配制比例，然后计算出原来每千克的成本和售价，然后表示出此时每千克成本和售价，即可算出此时售价与原售价之差．【详解】解：设配制比例为1：x，由题意得：10（1+20%）+5（1+40%）x＝（10+5x）（1+13），解得x＝4，则原来每千克成本为：1015414⨯+⨯+＝1（元），原来每千克售价为：1×（1+50%）＝9（元），此时每千克成本为：1×（1+13）（1+25%）＝10（元），此时每千克售价为：10×（1+50%）＝15（元），则此时售价与原售价之差为：15﹣9＝1（元）．故答案为：1．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，仔细阅读题目，找到关系式是解题的关键．18、62【分析】作辅助线AD⊥BC构造直角三角形ABD，利用锐角∠B的正弦函数的定义求出三角形ABC底边BC上的高AD的长度，然后根据三角形的面积公式来求△ABC的面积即可．【详解】过A作AD垂直BC于D，在Rt△ABD中，∵sinB＝AD AB，∴AD＝AB•sinB＝4•sin45°＝4×22＝22，∴S△ABC＝12BC•AD＝12×6×22＝62，故答案为：62【点睛】本题考查了解直角三角形．解答该题时，通过作辅助线△ABC底边BC上的高线AD构造直角三角形，利用锐角三角函数的定义在直角三角形中求得AD的长度的．三、解答题(共66分)19、(1)见解析；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【解析】（1）直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案；（2）利用（1）中所画图形进而得出答案．【详解】（1）如图所示：△OA1B1，△OA2B2，即为所求；（2）点A1的坐标为：（﹣1，3），点A2的坐标为：（2，﹣6）．【点睛】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．20、6AC=【分析】根据相似三角形的判定定理可得△CAD∽△CBA，列出比例式即可求出AC.【详解】解：∵CD=4，BD=2,∴BC=CD＋BD=6∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△CAD∽△CBA∴AC DC BC AC=∴26424AC BC CD =•=⨯=解得：AC =或-即AC =【点睛】此题考查的是相似三角形的判定及性质，掌握有两组对应角相等的两个三角形相似和相似三角形的对应边成比例是解决此题的关键.21、（1）98；（2）25AC a b =-．【解析】试题分析：()1在Rt ABC △中，根据3sin 5B =，设35AC a AB a ==，．则4BC a =．根据:2:3AD DB =，得出： 23AD a DB a ==，．根据平行线分线段成比例定理，用a 表示出,.DE CE 即可求得. ()2先把AD 用a 表示出来，根据向量加法的三角形法则即可求出.试题解析：（1）390sin 5ACB B ∠=︒=，， ∴35AC AB =，∴设35AC a AB a ==，．则4BC a =． :2:3?23AD DB AD a DB a ，，．=∴== 90ACB ∠=︒ 即AC BC ⊥，又DE BC ⊥，∴AC //DE ． ∴DE BD AC AB =，CE AD CB AB =，∴335DE a a a =，245CE a a a=． ∴95DE a =，85CE a =． DE BC ⊥， ∴9tan 8DE DCE CE ∠==．（2）:2:3:2:5AD DB AD AB =∴=，．∵AB a =，CD b =，∴25AD a =．DC b =-． ∵AC AD DC =+，∴25AC a b =-． 22、（1）k=10，b=3；（2）152. 【解析】试题分析：(1)、将A 点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式分别求出k 和b 的值；(2)、首先根据一次函数求出点B 的坐标，然后计算面积.试题解析：(1)、把x=2，y=5代入y=k x，得k==2×5=10把x=2，y=5代入y=x+b ，得b=3(2)、∵y=x+3 ∴当y=0时，x=-3， ∴OB=3 ∴S=12×3×5=7.5 考点：一次函数与反比例函数的综合问题.23、（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为58；（2）列表见解析. 【解析】()1直接利用概率公式求解可得； ()2 抽取两人接受采访，故利用列表法可得所有等可能结果．【详解】解：（1）8名学生中至少有三类垃圾投放正确有5人，故至少有三类垃圾投放正确的概率为58；（2）列表如下：【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24、（1）作图见解析；（2）作图见解析；（3）2π.【分析】（1）利用轴对称的性质画出图形即可；（2）利用旋转变换的性质画出图形即可；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形，由此计算即可；【详解】（1）△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1如图所示；（2）△ABC 绕点O 逆时针旋转90°后的△A 2B 2C 2如图所示；（3）BC 扫过的面积=22OCC OBB S S -扇形扇形=()()22222290139011360360ππ++-=2π．【点睛】本题考查了利用轴对称和旋转变换作图，扇形面积公式等知识，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．25、（1）见解析；（2）1 3【分析】（1）根据题意列表，然后写出点（m，n）所有可能的结果即可；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种，由概率公式即可得出答案．【详解】解：（1）列表如下：点（m，n）所有可能的结果为：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣2），（3，﹣2），（﹣2，﹣1），（﹣1，﹣1），（3，﹣1），（﹣2，3），（﹣1，3）（3，3）；（2）点（m，n）所有可能的结果共有9种，符合n＝m的有3种：（﹣2，﹣2），（﹣1，﹣1），（3，3），∴点（m，n）在函数y＝x的图象上的概率为：31 93 ．【点睛】本题考查了列表法与树状图法、概率公式以及一次函数的性质等知识；列表得出所有结果是解题的关键．26、（1）23；（2）见解析，13【分析】（1）由标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，利用概率公式计算可得；（2）根据题意列表得出所有等可能的情况数，得出这两个数字之和是1的倍数的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】（1）∵在标有数字1、2、1的1个转盘中，奇数的有1、1这2个，∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为23．故答案为：23；（2）列表如下：由表可知，所有等可能的情况数为9种，其中这两个数字之和是1的倍数的有1种，所以这两个数字之和是1的倍数的概率为31 93 ．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。

2018年11月浙江数学学考试题(含答案)x3

2018年11月浙江省高中学业水平考试数学试题一、选择题1.已知集合{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，则A B =（）A.{1,2,3,4,5}B.{1,3,5}C.{1,4}D.{1,3}【答案】D【解析】因为{1,2,3,4}A =，{1,3,5}B =，所以{1,3}AB =.2.函数()cos 2f x x =的最小正周期是（） A.4π B.2π C.π D.2π 【答案】C【解析】()cos 2f x x =，因为2ω=，所以22T ππ==. 3.计算129()4=（） A.8116 B.32 C.98 D.23【答案】B【解析】1293()42==. 4.直线210x y +-=经过点（）A.(1,0)B.(0,1)C.11(,)22D.1(1,)2【答案】A【解析】把四个选项的横纵坐标代入直线方程210x y +-=中，可知选项A 可使等式成立.5.函数2()log f x x 的定义域是（）A.(0,2]B.[0,2)C.[0,2]D.(0,2)【答案】A【解析】20020x x x -≥⎧⇒<≤⎨>⎩，故函数()f x 的定义域为(0,2].6.对于空间向量(1,2,3)a =，(,4,6)b λ=，若//a b ，则实数λ=（）A.2-B.1-C.1D.2【答案】D【解析】因为//a b ，所以12346λ==，即112λ=，所以2λ=. 7.渐近线方程为43y x =±的双曲线方程是（） A.221169x y -= B.221916x y -= C.22134x y -= D.22143x y -= 【答案】B 【解析】依题可设双曲线方程为22221x y a b -=，因为渐进线方程为43y x =±，所以43b a =，即22169b a =，只有B 选项221916x y -=符合. 8.若实数x ，y 满足101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，则y 的最大值是（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】由约束条件101010x x y x y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪-+≥⎩，作出可行域如图，由图易知y 的最大值为2.9.某简单几何体的三视图（俯视图为等边三角形）如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）为（）A.18B.【答案】C【解析】该几何体为正三棱柱，其底面积为24S ===3h =，所以体积V Sh ==10.关于x 的不等式13x x +-≥的解集是（）A.(,1]-∞-B.[2,)+∞C.(,1][2,)-∞-+∞D.[1,2]-【答案】C【解析】当1x ≥时，1132x x x x x +-=+-≥⇒≥；当11x -<<时，1113x x x x x +-=+-=≥⇒无解；当1x ≤时，1131x x x x x +-=--+≥⇒≤-；综上可得，2x ≥或1x ≤-.11.下列命题为假命题的是（）A.垂直于同一直线的两个平面平行B.垂直于同一平面的两条直线平行C.平行于同一直线的两条直线平行D.平行于同一平面的两条直线平行【答案】D【解析】平行于同一平面的两条直线除了平行外，还可以异面，可以相交.12.等差数列{}()n a n N *∈的公差为d ，前n 项和为n S ，若10a >，0d <，39S S =，则当n S 取得最大值时，n =（）A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】∵10a >，0d <，∴n a 是递减数列.又∵3993987654763()0S S S S a a a a a a a a =⇒-=+++++=+=，∴760a a +=，67a a >，∴60a >，70a <，∴max 6()n S S =.13.对于实数a 、b ，则“0a b <<”是“1ba <”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】充分性：由0a b <<，得01ba <<，故充分性成立；必要性：由1ba <，得0ab a >⎧⎨<⎩或0a b a <⎧⎨>⎩，故必要性不成立.所以“0a b <<”是“1ba <”的充分不必要条件.14.已知函数()y f x =的定义域是R ，值域为[1,2]-，则值域也为[1,2]-的函数是（）A.2()1y f x =+B.(21)y f x =+C.()y f x =-D.()y f x =【答案】B【解析】分析四个选项可知只有(21)y f x =+是由()y f x =的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的12之后再将图像向左平移12个单位得到，故(21)y f x =+和()y f x =的值域是相同的. 15.函数2()()a f x x a R x=+∈的图象不可能是（） A. B.C.D.【答案】A 【解析】当0a =时，函数22()(0)a f x x x x x=+=≠，函数图象可以是B. 当1a =时，函数221()a f x x x x x=+=+，函数可以类似于D. 当1a =-时，221()a f x x x x x =+=-，0x >时，210x x-=只有一个实数根1x =，图象可以是C.所以函数图象不可能是A. 16.若实数a ，b 满足0ab >，则2214a b ab ++的最小值为（） A.8 B.6 C.4 D.2【答案】C【解析】因为0ab >，所以2211444a b ab ab ab ++≥+≥=，当且仅当214a b ab ab =⎧⎪⎨=⎪⎩，即1a =，12b =时取等号，所以最小值为4. 17.如图，在同一平面内，A ，B 是两个不同的定点，圆A 和圆B 的半径为r ，射线AB 交圆于点P ，过P 作圆A 的切线l ，当1()2r r AB ≥变化时，l 与圆B 的公共的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【答案】D【解析】设直线l 与圆B 的交点为M ，过点M 作与过点A 平行于l 的直线的垂线，垂足为N ，易知MN PA MB r ===，即点M 到定直线AN 的距离等于其到定点B 的距离，所以点M 的轨迹是抛物线.18.如图，四边形ABCD 是矩形，沿AC 将ADC ∆翻折成AD C '∆，设二面角D AB C '--的平面角为θ，直线AD '与直线BC 所成角为1θ，直线AD '与平面ABC 所成的角为2θ，当θ为锐角时，有（）A.21θθθ≤≤B.21θθθ≤≤C.12θθθ≤≤D.21θθθ≤≤【答案】B【解析】由二面角的最大性与最小角定理可知，答案在A ，B 选项中产生.下面比较1θ和θ的大小关系即可.过D '作平面ABC 垂线，垂足为O ，过O 作OE AB ⊥，垂足为E ，连结D E '，则 D EO θ'=∠可以认为是OE 与平面AD E '所成的线面角，1θ可以认为是OE 与平面AD E '内的AD '所成的线线角，所以1θθ≤，综上，21θθθ≤≤.二、填空题19.已知函数2,0()1,0x f x x x ≥⎧=⎨+<⎩，则(1)f -= ，(1)f = . 【答案】0,2【解析】因为10-<，故(1)110f -=-+=；又10>，故(1)2f =. 20.已知O 为坐标原点，B 与F 分别为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点与右焦点，若OB OF =，则该椭圆的离心率是 .【解析】因为B ，F 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的上顶点和右焦点，故设OB b =，OF c =，又OB OF =，所以b c =，因为a a ==，所以椭圆的离心率2c b e a a ====. 21.已知数列{}()n a n N *∈满足：11a =，12n n n a a +⋅=，则2018a = .【答案】10092【解析】1122n n n a a +++=，12n n n a a +=，22n na a +=，数列21{}n a -和2{}n a 均为等比数列，且公比均为2，首项分别是121,2a a ==，所以数列{}n a 的通项为，故100920182a =.22.如图，O 是坐标原点，圆O 的半径为1，点(1,0)A -，(1,0)B ，点P ，Q 分别从点A ，B 同时出发，在圆O 上按逆时针方向运动，若点P 的速度大小是点Q 的两倍，则在点P 运动一周的过程中，AP AQ ⋅的最大值为 .【答案】2【解析】设(cos ,sin )([0,])Q θθθπ∈，由P 点的速度是点Q 的两倍，即(cos 2,sin 2)P θθ--，(cos 21,sin 2)(cos 1,sin )AP AQ θθθθ⋅=-+-⋅+(cos 21)(cos 1)(sin 2)sin θθθθ=-+++-cos2cos cos cos21sin 2sin θθθθθθ=-+-+-cos(2)cos cos21θθθθ=--+-+cos 21θ=-+22sin 2θ=≤.三、解答题23.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且222b a c ac =+-. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若2a c ==，求ABC ∆的面积；（Ⅲ）求sin sin A C +的取值范围.【答案】（Ⅰ）60︒; ; （Ⅲ）. 【解析】（Ⅰ）由222cos 2a c b B ac +-=，可知1cos 2B =，所以60B =︒. （Ⅱ）由（Ⅰ）得60B ∠=︒，又2a c ==，所以11sin 22sin 6022ABC S ac B ∆==⨯⨯⨯︒=（Ⅲ）由题意得3sin sin sin sin(120)sin 30)2A C A A A A A +=+︒-=+=+︒，因为0120A ︒<<︒，所以3030150A ︒<+︒<︒30)A <+︒≤值范围是2. 24.已知抛物线2:4C y x =的焦点是F ，准线是l .（Ⅰ）写出F 的坐标和l 的方程；（Ⅱ）已知点(9,6)P ，若过F 的直线交抛物线C 于不同的两点A ，B （均与P 不重合），直线PA ，PB 分别交l 于点M ，N .求证：MF NF ⊥.【答案】（Ⅰ）(1,0)F ，1x =-; （Ⅱ）略.【解析】（Ⅰ）因为抛物线24y x =是焦点在x 轴正半轴的标准方程，所以2p =，所以焦点为(1,0)F .准线方程为1x =-.（Ⅱ）设11(,)A x y ，22(,)B x y （16y ≠±且26y ≠±），AB 直线方程为1x my =+（m 是实数），代入24y x =，得2440y m y --=，于是124y y m +=，124y y ⋅=-.由(9,6)P ，得146PA k y =+，直线PA 的方程为146(9)6y x y -=-+，令1x =-，得1164(1,)6y M y --+，同理可得2264(1,)6y N y --+，所以12121296()41(6)(6)F N F M MF NF F M F N y y y y y y y y k k x x x x y y ---++⋅=⋅==---++，故MF NF ⊥. 25.已知函数()()a f x x a R x =+∈. （Ⅰ）当1a =时，写出()f x 的单调递增区间（不需写出推证过程）；（Ⅱ）当0x >时，若直线4y =与函数()f x 的图象相交于A ，B 两点，记()AB g a =，求()g a 的最大值；（Ⅲ）若关于x 的方程()4f x ax =+在区间(1,2)上有两个不同的实数根，求实数a 的取值范围.【答案】（Ⅰ）[1,0)-，[1,)+∞; （Ⅱ）4;（Ⅲ）15()22--. 【解析】（Ⅰ）()f x 的单调递增区间为[1,0)-，[1,)+∞（Ⅱ）因为0x >，所以（ⅰ）当4a >时，()y f x =的图象与直线4y =没有交点；（ⅱ）当4a =或0a =时，()y f x =的图象与直线4y =只有一个交点；（ⅲ）当04a <<时，0()4g a <<；（ⅳ）当0a <时，由4a x x +=，得240x x a -+=，解得2A x =由4a x x+=-，得240x x a ++=，解得2B x =-所以()4A B g a x x =-=，故()g a 的最大值是4.（Ⅲ）要使关于方程4(12)()a x ax x x +=+<<*有两个不同的实数根1x ，2x ，则0a ≠，且1a ≠±.（ⅰ）当1a >时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，所以1201a x x a =-<-，不符合题意；（ⅱ）当01a <<时，由()*得2(1)40a x x a -+-=，其对称轴221x a =>-，不符合题意；（ⅲ）当0a <，且1a ≠-时，由()*得2(1)40a x x a +++=，又因为1201a x x a =>+，所以1a <-.所以函数a y x x=+在(0,)+∞是增函数. 要使直线4y ax =+与函数a y x x =+图象在(1,2)内有两个交点，则(1)11f a a =+=--，只需14164(1)0a a a a -->+⎧⎨-+>⎩，解得1522a --<<-.综上所述，实数a 的取值的范围为15()22--.。

2023年7月浙江高中学业水平考试数学试卷试题真题(含答案详解)

2023年7月浙江省普通高中学业水平考试数学本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟.考生注意：1. 答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上.2. 答题时，请按照答题纸上“注意事项〃的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效.3. 非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内,作图时可先使用2B 铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.选择题部分（共52分）一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.每小题列出的四个备选项中，只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1.己知集合，= {-1,0,1,2}, 3 = {x|x 〉0},则下列结论不正确的是（）B. 0^A(^B A.leAC\BC.D.2.函数*的定义域是（）A.-00,——2B.C.D.1■00,—2#3—,+ oo{、 x > 0} - A\JB3.复数z = i （2 + i ）在复平面内对应的点位于)A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知平面向量U = （L —1）, 5 = （2,4）,若则实数4 =2A. B. -2 C. D.-115.已知sin[ 0 + -^= cos 。

，贝\\ tan20 =)AMC.2^3丁D.2^36.上、下底面圆的半径分别为尸、2r,高为3尸的圆台的体积为A.771丫3B.217ir3C.（5+27!）兀尹D.（5+7^）*7.从集合｛123,4,5｝中任取两个数，则这两个数的和不小于5的概率是（）3749A.—B.—C.—D.—5105108.大西洋畦鱼每年都要逆游而上，游回产地产卵.研究畦鱼的科学家发现鲤鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v=klog3盐，其中。

表示畦鱼的耗氧量的单位数.若一条畦鱼游速为2m/s时耗氧量的单位数为8100,则游速为lm/s的畦鱼耗氧量是静止状态下畦鱼耗氧量的（）A.3倍B.6倍C.9倍D.12倍9.不等式（x-e）（e^-l）<0（其中e为自然对数的底数）的解集是（）A.{x|0<x<1}B.(x0<x<e}C.{x|xv0或x>l}D.{x|xvO或x>e}10.已知。

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学质量检测模拟试题(含答案)

2023-2024学年浙江省杭州市普通高中学业水平合格考试数学模拟试题A ．()e ln xf x x =⋅C ．()e ln xf x x=+()0,πα∈A ．．．．．已知函数()e 2x f x ⎧⎪=⎨⎪⎩的方程()f x a =有两解，．1ea =B ea =D ．如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱C D ''的中点，过,,A D BC '''分别交于点A ．存在点H ，使得AE ⊥B ．线段D G '的长度的最大值是C ．当点F 与点C 重合时，多面体D ．点D 到截面AEF 的距离的最大值是19．在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为20．已知函数()12e2x f x x x -=+-，则使得四、解答题（本大题共3小题，共21．已知函数()22cos sin 2f x x x ⎛=+ ⎝(1)求AA '的长；(2)若D 为线段AC 的中点，求二面角23．已知函数()(2f x x x =+(1)当0a =时，求()f x 的单调区间；16．BD【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量求解【详解】为原点，DC 为y 轴，DA 为x 轴，DD )()()('2,0,0,0,1,2,0,0,0,0,0,2E D D ()()'2,1,2,,2,2,AE D H p =-=- 点不在线段BC 上，错误；平面//ABCD 平面''''A B C D ，GE AH 、GE ，此时1m =，88,5489x DO ==-+梯形AFEG 的高()22252⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭四棱锥D AFEG -的体积D AFEG V -由②③式可知，当42255m ==⨯时，故选：BD.23．(1)单调递减区间为10,⎛ ⎝(2)(][),31,-∞-⋃+∞【分析】（1）将函数写成分段函数，结合二次函数的性质得到函数的单调区间；（2）不妨令12x x <，则(f。

浙江省数学学考试题及答案

浙江省数学学考试题及答案Modified by JACK on the afternoon of December 26, 20202018年6月浙江省数学学考试题一选择题(每小题３分，共５４分)1. 已知集合{1,2}A =，{2,3}B =，则A B =（）A ．{1} B.{2} C.{1,2} D.{1,2,3}2. 函数2log (1)y x =+的定义域是（）A.(1,)-+∞B.[1,)-+∞C.(0,)+∞D.[0,)+∞3. 设R α∈，则sin()2πα-=（） A.sin α B.sin α- C.cos α D.cos α-4. 将一个球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的（）A.2倍B.4倍C.6倍D.8倍5. 双曲线221169x y -=的焦点坐标是（）A.(5,0)-，(5,0)B.(0,5)-，(0,5)C.(0)，D.(0,，6. 已知向量(,1)a x =，(2,3)b =-，若//a b ，则实数x 的值是（） A.23- B.23 C.32- D.327. 设实数x ，y 满足0230x y x y -≥⎧⎨+-≤⎩，则x y +的最大值为（） A.1 B.2 C.3 D.48. 在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知45B =，30C =，1c =，则b =（）A. B. C. 9. 已知直线l ，m 和平面α，m α⊂，则“l m ⊥”是“l α⊥”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 要得到函数()sin(2)4f x x π=-的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（） A.向右平移8π个单位 B.向左平移8π个单位 C.向右平移4π个单位 D.向左平移4π个单位 11. 若关于x 的不等式2x m n -<的解集为(,)αβ，则βα-的值（）A.与m 有关，且与n 有关B.与m 有关，但与n 无关C.与m 无关，且与n 无关D.与m 无关，但与n 有关12. 在如图所示的几何体中，正方形DCEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂直，N ，6AB =，2AD DC ==，23BC =，则该几何体的正视图为（）A B C D13. 在第12题的几何体中，二面角E AB C --的正切值为（）A.3B.3C.1D.23 14. 如图，A ，B 分别为椭圆22:1(0)x y C a b a b+=>>的右顶点和上顶点，O 为坐标原点，E 为线段AB 的中点，H 为O 在AB 上的射影，若OE 平分HOA ∠，则该椭圆的离心率为（）A. 13B.3C.23D.615. 三棱柱各面所在平面将空间分为（）A.14部分B.18部分C.21部分D.24部分16. 函数2()()x n m f x e -=（其中e 为自然对数的底数）的图象如图所示，则（）A. 0m >，01n <<B.0m >，10n -<<C.0m <，01n <<D.0m <，10n -<<17. 数列{}n a 是公差不为0的等差数列，n S 为其前n 项和.若对任意的n N *∈，有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（） A.43 B.32 C.53D.2 18. 已知x ，y 是正实数，则下列式子中能使x y >恒成立的是（）A.21x y y x +>+ B.112x y y x +>+ C.21x y y x ->- D.112x y y x ->- 二填空题(每空3分)19. 圆22(3)1x y -+=的圆心坐标是_______，半径长为_______.20. 如图，设边长为4的正方形为第1个正方形，将其各边相邻的中点相连，得到第2个正方形，再将第2个正方形各边相邻的中点相连，得到第3个正方形，依此类推，则第6个正方形的面积为____ __.21.已知lg lg lg()a b a b -=-，则实数a 的取值范围是_______. 22. 已知动点P 在直线:22l x y +=上，过点P 作互相垂直的直线PA ，PB 分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，O 为坐标原点，则OM OP ⋅的最小值为_______.三解答题23. （本题10分）已知函数13()sin cos 2f x x x =+，x R ∈. （Ⅰ）求()6f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值，并求出取到最大值时x 的集合.24.（10分）如图，直线l 不与坐标轴垂直，且与抛物线2:C y x =有且只有一个公共点P .（Ⅰ）当点P 的坐标为(1,1)时，求直线l 的方程；（Ⅱ）设直线l 与y 轴的交点为R ，过点R 且与直线l 垂直的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点.当2RA RB RP ⋅=时，求点P 的坐标.24. (11分)设函数2()3()f x ax x a =-+，其中a R ∈.（Ⅰ）当1a =时，求函数()f x 的值域；（Ⅱ）若对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，求实数a 的取值范围.2018年6月浙江省数学学考试卷答案一选择题二填空题 19.(3,0)；1. 20, 12. 21. [4,)+∞. 22. 25. 三解答题 23解答：（Ⅰ）1313()sin cos 16262644f πππ=+=+=.（Ⅱ）因为()cossin sin cos sin()333f x x x x πππ=+=+，所以，函数()f x 的最大值为1，当232x k πππ+=+，即2()6x k k Z ππ=+∈时，()f x 取到最大值，所以，取到最大值时x 的集合为{|2,}6x x k k Z ππ=+∈.24.答案：（Ⅰ）210x y -+=；（Ⅱ）11(,)42±. 解答：（Ⅰ）设直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为1(1)y k x -=-，联立方程组21(1)y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得210ky y k -+-=，由已知可得14(1)0k k ∆=--=，解得12k =，故，所求直线l 的方程为210x y -+=. （Ⅱ）设点P 的坐标为2(,)t t ，直线l 的斜率为(0)k k ≠，则l 的方程为2()y t k x t -=-，联立方程组22()y t k x t y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消去x ，得220ky y t kt -+-=，由已知可得214()0k t kt ∆=--=，得1(0)2k t t =≠，所以，点R 的纵坐标22t t kt -=，从而，点R 的纵坐标为(0,)2t ，由m l ⊥可知，直线m 的斜率为2t -，所以，直线m 的方程为22t y tx =-+.设11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线m 的方程代入2y x =，得22224(21)04t t x t x -++=，所以2242(21)4410t t t ∆=+-=+>，12116x x =，又1RA =，2RB =，24214RP t t =+，由2RA RB RP ⋅=，得242121(14)4t x x t t +=+，即24211(14)164t t t +=+，解得12t =±，所以，点P 的坐标为11(,)42±. 25.解答：（Ⅰ）当1a =时，2251,0()1,0x x x f x x x x ⎧---≤⎪=⎨-+->⎪⎩，（ⅰ）当0x ≤时，2521()()24f x x =-++，此时21()(,]4f x ∈-∞；（ⅱ）当0x >时，213()()24f x x =---，此时3()(,]4f x ∈-∞-，由（ⅰ）（ⅱ），得()f x 的值域为21(,]4-∞.（Ⅱ）因为对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，所以()1(1)1f a f a ≥-⎧⎨+≥-⎩，即2223413(1)(21)1a a a a a ⎧-≥-⎪⎨+-+≥-⎪⎩，解得10a -≤≤. 下面证明，当[1,0]a ∈-，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-，（ⅰ）当0a x ≤≤时，22()f x x ax a =-+-，2()(0)1f a f a ==-≥-，故()min{(),(0)}1f x f a f ≥≥-成立；（ⅱ）当01x a ≤≤+时，22()5f x x ax a =---，(1)1f a +≥-，(0)1f ≥-，故()min{(1),(0)}1f x f a f ≥+≥-成立.由此，对任意[,1]x a a ∈+，恒有()1f x ≥-. 所以，实数a 的取值范围为[1,0]-.。

浙江省强基(培优)联盟2024年高二下学期7月学考联考(期末)数学试题及答案

浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学试题卷一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有（时间80分钟总分100分）选择题部分一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1．函数()f x = ）A ．[)1,+∞B ．[)1,−+∞C ．(],1−∞D ．(],1−∞−2．已知集合{}{}21,2,3,4,20AB x xx ==−−=，则A B = （）A ．{}1,1,2,3,4−B ．{}1,2,3,4C ．{}1,0,1,2,3,4−D ．{}2,1,2,3,4−3．在ABC △中，D 为边AB 的中点，则（）A ．0AD BD −=B ．0AD DB +=C ．CB CD BD −=D ．2CA CB CD +=4．数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.55．从第4题所给的数据中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（） A ．14B ．38C ．12D ．586．已知空间中两个不重合的平面α和平面β，直线l ⊂平面α，则“l β∥”是“αβ∥”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 7．不等式1101x +≤−的解集是（） A ．[)0,1B ．(]0,1C ．[]1,2D ．(]1,28．近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为181425G L=×，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率，G 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg20.301≈）（） A ．16B ．72C ．74D ．909．在ABC △中，已知角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知45,75a B C ==°=°，则b 等于（）A ．2B ．CD ．10．已知函数()222x x f x =−，则其图象一定不过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限11．已知α为锐角，且22sin cos cos sin 55ππαα=，则sin2α的值为（） A ．45 B ．513C ．2425D ．91612．已知正方体1111ABCD A B C D −，点M 在1B C 上运动（不含端点），点N 在11B D 上运动（不含端点），直线MN 与直线AC 所成的角为α，直线MN 与平面1ACB 所成的角为β，则下列关于,αβ的取值可能正确的是（） A ．30α=°B ．45α=°C ．60β=°D ．75β=°二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13．民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）A ．样本数据落在区间[)300,500内的频率为0.45B ．若规定年收人在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有55%的当地中小型民营企业能享受到减免税政策C ．若该调查机构调查了100家民营企业，则年收人不少于400万元的有80家D ．估计样本的中位数为480万元14．已知复数12,z z ，则下列结论正确的有（） A ．2211z z = B ．1212z z z z +=+ C ．1212z z z z =⋅D ．1212z z z z +=+15．已知平面向量12,e e 的夹角为π3，且121e e == ，若12122,a e e b e e =−=+ ，则下列结论正确的是（）A ．a b ⊥B ．a =C ．a b a +=D ．a 在b 上的投影向量为12b −16．我们知道，函数()y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数()y f x =为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+−为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）A ．函数()211x f x x +=−的图象关于点()1,2成中心对称图形 B ．若定义在R 上的函数()f x 对任意的x 都有()()22f x f x ++−=，则函数()f x 图象的对称中心为()2,2C ．若()yf x a =+是偶函数，则()f x 的图象关于直线x a =成轴对称D ．若函数()f x 满足()11y f x =+−为奇函数，且其图象与函数()422x g x =+的图象有2024个交点，记为()(),1,2,,2024i i i A x y i = ，则()202414048ii i xy =+=∑非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为________；体积为________． 18．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖懦是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角ABC △中，AD 为斜边BC 上的高，3,4AB AC ==，现将ABD △沿AD 翻折成AB D ′△，使得四面体AB CD ′为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为________19．设,A B 是一个随机试验中的两个事件，且()()()121,,234P A P B P AB ===，则()P A B = ________． 20．若函数()20(1)f x x ax b a =++=>的值域为[)0,+∞，则11a b a ++−的最小值为________．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．已知函数()πsin2sin 23f x x x=−+．（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）已知锐角ABC △三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2,3b c ==，若()f A =，求ABC △的面积．22．如图，在三棱台111ABC A B C −中，1111124,AA AC AC BC CC AA =====⊥平面,,ABC AB BC D ⊥为AB 的中点．（1）证明：111A B DC ⊥．（2）过11,,A D C 的平面把三棱台111ABC A B C −分成两部分，体积分别是1V 和()212V V V <，求12V V 的值．（3）求平面1CC D 和平面1ABB 所成锐二面角的正切值．23．已知函数()()21,0,2,0,x x f x g x x x −≥== −< ．（1）若()()f x g x ≤，求x 的取值范围．（2）记{}(),max ,(),a ab a b b a b ≥=< 已知函数()(){}max ,2yf xg x ax −−有k 个不同的零点．（ⅰ）若2k =，求a 的取值范围；（ⅱ）若3k =，且,αβ是其中两个非零的零点，求11αβ+的取值范围．浙江强基（培优）联盟2024年7月学考联考高二数学参考答案一、单项选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C A D B D B A C A BDC1．解：要使函数有意义，则10x −≥，得1x ≤，所以函数的定义域为(],1−∞．故选C ． 2．解：因为{}{}1,2,3,4,1,2A B ==−，所以{}1,1,2,3,4A B− ．故选A ．3．解：由平行四边形法则可知2CA CB CE CD +==．故选D ．4．解：因为825%2×=，所以第25百分位数为2和3的平均数，即为2.5．故选B ．5．解：样本空间的样本点总数为8，事件A （这个数平方的个位数是6或9）的样本点为4，6，3，7，7，共5个，所以概率58P =．故选D ． 6．解：当l β∥时，α与β可能相交也可能平行，故l β∥不能推出αβ∥；反之，αβ∥可以推出l β∥．故“l β∥”是“αβ∥”的必要不充分条件．故选B ．7．解：不等式可化为1101x +=≤−，等价于()10,10,x x x−≤ −≠ 解得01x ≤<，所以不等式的解集为[)0,1．故选A ．8．解：由题意知，只要解不等式18141255G×≤ ，化简得42lg lg 1855G ≤．因为4lg 05<，所以lg2lg52lg214.118lg4lg53lg21G −−≥=≈−−，所以18 4.173.8G ≥×=．故选C ． 9．解：由三角形内角和定理得60A =°sin 45b =°，解得2b =．故选A ． 10．解：因为1x ≠，取2x =，得()22f =，所以()f x 在第一象限有图象，取12x =，得102f=<，所以()f x 在第四象限有图象，取1x =−，得()21(1)1022f −−−=<−，所以()f x 在第三象限有图象．由排除法知图象不过第二象限．故选B ．11．解：因为α是锐角，所以2π2ππ2π2ππ0cos ,0sin 552552αα<<<<<<，所以2ππ2πcos sin 525αα=−，化简得5cos sin 4αα+=，平方得251sin216α+=，所以9sin216α=．故选D ．12．解：由题意可知，四面体11D AB C 为正四面体，设直线AC 与平面11B D C 所成的角为1θ，易知1cos θ=由最小角定理得11,cos cos αθαθ><，故A ，B 错误．再设平面11B D C 与平面1ACB 所成的角为2θ，易知21cos 3θ=，由最大角定理得22,cos cos θβθβ><，代入选项得C 可能正确．故选C ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．每小题列出的四个备选项中有多个是符合题目要求的，全部选对得4分，部分选对且没有错选得2分，不选、错选得0分）13141516ABD BC BCD ACD13．解：由()0.0010.00150.0020.000521001a ++++×=，得0.0025a =，所以数据落在区间[)300,500内的频率为()0.0020.00251000.45+×=，A 正确；数据落在区间[)200,500内的频率为()0.0010.0020.00251000.55++×=，B 正确；100n =，年收入大于或等于400万元的有四组，其频率和是()1000.00250.00250.00150.7×+++=，所以符合条件的民营企业有0.710070×=家，C 错误；数据落在区间[)200,400内的频率为0.3，数据落在区间[)200,500内的频率为0.55，估计中位数为0.50.34001004800.25−+×=，D 正确．故选ABD ．14．解：对于A ，若1i z =，则22111,1z z =−=，故A 错误；对于B，设12i,iz a b z c d =+=+，则()()()()1212i,i i i z z a c b d z z a b c d a c b d +=+−++=−+−=+−+，故B 正确；对于C ，设12i,i z a b z c d =+=+，则()()12i z z ac bd ad bc =−++==，2212z z ⋅=故C 正确；对于D ，若121i,i z z =+=，则121z z +=+，故D 错误．故选BC ．15．解：由题意得22121211,2e e e e ==⋅= ．对于A ，()()2212121122132212022a b e e e e e e e e ⋅=−⋅+=−⋅−=−−=−≠ ，故A 错误；对于B，a =B 正确；对于C ，方法同B ，故C 正确；对于D，易得b = a 在b 上的投影向量为31232a bb b b b b⋅⋅=−⋅=−，故D 正确．故选BCD ． 16．解：对于A ，因为()312f x x+−=为奇函数，所以()f x 的图象关于点()1,2成中心对称图形，故A 正确；对于B，设()()g x f x a b=+−，若()g x 是奇函数，则()()()()0g x g x f x a b f x a b +−=+−+−+−=，所以()()2f x a f x a b ++−+=，因为()()22f x f x ++−=，所以()1f x +−1为奇函数，所以()f x 图象的对称中心为()1,1，故B 错误；对于C ，设()()g x f x a =+，因为()g x 是偶函数，所以()()g x g x =−，则()()f x a f x a +=−+，所以()f x 的图象关于直线x a =成轴对称，故C 正确；对于D ，显然()f x 的图象关于点()1,1成中心对称图形，再考虑()422x g x =+的对称性， ()422x g x =+可化为()()()4,22x a h x g x a b b h x +=+−=−+为奇函数，则()()()00,11,h h h = −=− 即1140,2244,2222a a ab b −+ − + −=−+ ++即11448222222a a a−++=+++，令2at =，则2124222t t t +=+++，即220t t −=，解得2t =或0t =（舍去），所以22a =，则1,1a b ==，因为()h x 为奇函数，所以()422xg x =+图象的对称中心为()1,1． ()f x 与()g x 有相同的对称中心，所以2024个交点每两个一组关于点()1,1中心对称，()()()2024123202412320241202420244048iii x y xx x x y y y y =+=+++++++++=+=∑ ，故D 正确．故选ACD ．三、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分）17．2π 18．16π19．71220．317．解：由题意得圆锥的高h =，所以21π2π,π3S rl V r h ====侧． 18．解：由题意得AC 的中点是外接球的球心，所以22,4π16πR S R ===． 19．解：由概率的性质得()()()P A P AB AB P =+，所以()()()111244P AB P A P AB =−=−=，所以()()()()1217123412P A B P A P B P AB =+−=+−= ． 20．解：由题意得2Δ40a b =−=，所以()()2221144(2)4114141a a a b a a a a a a a +++++++====−−−−()()()22(1)6191(13)119116634141414a a a a a a a −+−+−+ ⋅=⋅=−++≥+= −−− ，当且仅当4a =时，等号成立，则最小值为3．四、解答题（本大题共3小题，共33分）21．解：（1）()πππsin 2sin 2sin 2sin 2cos cos2sin 333f x x x x x x=−+=−−1πsin 2sin 223x x x==−，所以2ππ2T ==．（2）因为()πsin 23f x x =−，所以()πsin 23f A A=−=．因为A 是锐角三角形的内角，所以ππ233A −=或π2π233A −=（舍去），所以π3A =．又2,3b c ==，所以ABC △的面积1π23sin 23S =×××=． 22．（1）证明：如图1，连接1AC，得1AC =1BC ．因为1AA ⊥平面ABC ，所以1AA BC ⊥．又BC AB ⊥，所以BC ⊥平面11ABB A ，所以在直角梯形11BCC B中，1111BC B C BB A D====所以1BC =，即1ABC 是以AB 为底边的等腰三角形，D 是AB 的中点，所以1AB DC ⊥．又11AB A B ∥，所以111A B DC ⊥．（2）解：如图2，取BC 的中点E ，连接1,DE C E ，可得11AC DE ∥．所以过11,,A C D 的平面把棱台分成斜棱柱111DBE A B C −和几何体11ADECC A 由题意得()111128414233ABCA B C V =××++=棱台，111DBE-1442A B C V =××=棱柱．因为1128164433ADECA C V =−=>几何体，所以12164,3V V ==，故12431643V V ==．（3）解：如图3，取11A B 的中点F ，连接1,C F DF ，则DF 是平面1DCC 和平面11ABB A 所成二面角的棱，由于BC ⊥平面11ABB A ，过B 作FD 延长线的垂线，垂足为G ，连接CG ，易证得BGC ∠为所求的角．延长1AA 和1BB 交于点O ，过A 作FD 的垂线，垂足为H （如图4），易得8,AO AD ==，GBAH ==，所以tan BGC ∠==．即平面1CC D 和平面11ABB A．23．解：（1）由题意得函数()g x 的定义域为[]1,1−．当[]0,1x ∈时，不等式()()f x g x ≤等价于21x −≤当[)1,0x ∈−时，不等式())f x g x ≤等价于2x −≤，即221x ≤，解得0x ≤<．综上，()()f x g x ≤的解集为，即当x的取值范围为时，()()f x g x ≤成立．（2）（ⅰ）令()()(){}()(),1max ,,1,f x x h x f x g x g x x −≤< ==≤≤ 原题可转化为()2h x ax =+的实根个数问题（二重根为一个零点）．当1x −≤≤时，即为()2f x ax =+，所以22x ax −=+至多一个实根①；当1x ≤≤时，即为()2g x ax =+，所以2ax =+至多两个实根②．由①知，21,2x a −=∈− + ，所以02a ≤<−，由②知，2ax =+，所以0x =或244a x a =−∈ +，所以2a ≤−或2a ≥+，且0a ≠．当2k =时，若0a =，则有两个零点0和-1，符合题意．当0a <时，①无实根，对于②，只要2414a x a =−≤+，化简得2(2)0a +≥，则20a −≤<，符合题意．当0a >时，若02a <<−，则有三个不等实根，不符合题意．若2a =−，则有两个零点0和，符合题意．若2a >−，则仅有一个零点0，不符合题意．综上所述，当2k =时，a 的取值范围为[]{}2,02−∪−．7分（ⅱ）由（ⅰ）得当3k =时，02a <<−，且三个零点分别为224,,024a a a −−++，显然,0αβ≠，所以()11311,24a a a αβ+=++∈−．9分易得函数3114y a a =++在()2−上单调递减，所以3114y a a =++>所以()11αβ+∈+∞．。

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