计算方法第四章(逼近法)

最后结果如图
最小二乘拟合多项式： 设有变量 x 和 y 的一组数据： ( xi , yi ), , i 1, 2,, m 对多项式 P( x) a0 a1x an xn ，选择适当系数 后，使
1 S [ P( xi ) yi ]2 i 1 m
m
达到最小的多项式, 称为数据的最小二乘(平方)拟合
S (a, b) (a b e xi yi ) 2 ，可求 min S ( a, b)
i 1 5
x
a ,b
5 S xi 2 ( a b e yi ) 0 a i 1 5 S 2 (a b e xi y )e xi 0 i b i 1
性无关，一组测量数据为 ( x1i , x2i , xni , yi ), ( i 1, 2,, m)
求拟合函数
m
P( x1 , x2 , xn ) a j j ( x1 , x2 , xn )
j 0
l
使 S i[ P( x1i , x2i , xni ) yi ]2 最小。
多项式，或称为变量x 和 y 之间的经验公式.
一、最优平方逼近
例1：
距离 0.5 1 1.98 1.5 2.45 2 2.5 3 4.12 3.5 4.96 4 5.32 水深 1.55 3.15 3.21
例2：化学反应 分子扩散
时间 0.1 浓度 2.8
0.5 2
1 1.6
1.5 1.3
2 1.2
对于例2，设逼近函数形为：y a b e ， 该函数应该与已知点的某种差距最小。记：
设拟合函数为
y ae ，引入变换 Y lg( y) ，拟合函数
bx
为 Y lg(a) b lg(e) x a0 a1x ，数据变为：
1 0.58 2 0.81 3 1.01 4 1.32 5 1.49 6 1.67 7 1.93 8 2.18 9 2.395
得正规方程组：
9a0 45a1 5.811 45a0 285a1 34.962 a0 0.15342, a1 0.09845 a 1.424, b 0.2267 y 1.424e0.2267 x
同样，对于例1，由于已知点几乎分布在一直线上，所以，设 拟合函数为 y a b x
a 0.998 b 1.01
1. 最小二乘拟合
通常情况下，我们会遇到这样的问题：在研究某种客观
现象的时候，需要建立所描述对象的量之间的函数关系式。
此时，我们对要研究的函数进行一系列观测，得到若干 组观测值，然后利用这些观测值构造函数表达式。
P( x) 为基于函数列的对已知观测点的一个最小二乘逼近。
注意到 S 实际上是关于 ai (i 0,1,, n) 的一个函数，欲取最 S 小值，则 0 (i 0,1, , n) ai 如此得到一组方程，从中即可求出系数 ai (i 0,1,, n) 。 引入记号：
( f , g ) i f ( xi ) g ( xi )
5a 2.238b 8.9 2.238a 1.39b 4.789 a 0.856 , b 0.924 y 0.856 0.924 e x
如果取逼近函数形为：
min S (a b e
a ,b ,c i 1 5 xi
y a Байду номын сангаас e x ce2 x
2 xi
ce
yi )
2
a 1.01 , b 0.987 c 0.998
5 S xi 2 xi 2 ( a b e c e yi ) 0 a i 1 5 S xi 2 xi xi 2 ( a b e c e y ) e 0 i i 1 b 5 S xi 2 xi 2 xi 2 ( a b e c e y ) e 0 i c i 1
i 1
则拟合系数 {a j } 同样满足上页蓝色的方程。只不过
( j , k ) i j ( x1i , x2i , xni )k ( x1i , x2i , xni )
i 1 m
例3：观测得到某函数一组数据，求其近似表达式：
1 1.78 2 2.24 3 2.74 4 3.74 5 4.45 6 5.31 7 6.92 8 8.85 9 10.97
n
组合 P( x) aii ( x) ，使之在加权最小二乘的意义下最佳逼
近这些点，即求系数 ai (i 0,1,, n) ，使下面的和取最小：
S (a1 ,, an ) i[ P( xi ) yi ]2
i 1 m
i 0
这里，求和中加了数 i 0 (i 1,, m) ，代表求和的权重。称
显然，由于观测误差等原因，构造出的函数不可能严格
过这些观测值的点。对此，我们要求构造出的函数在观测点 上的值与观测值差的平方和达到最小。这称为最小二乘拟合。
线性最小二乘问题的一般提法：
已知函数列 0 ( x),1( x),,n ( x) 线性无关，对于一组已
知点（观测值）( x1 , y1 ),( x2 , y2 ),,( xm , ym )，求函数列的一个
i 1
m
则得方程组：
( , )a
j 0 k j
m i 1
n
j
(k , y), k 0,1, 2, , n
(k , y ) ik ( xi ) yi
称为正规方程组，从中即可求出系数。
类似，可以得到多元函数的线性最小二乘拟合：设多
元函数列 0 ( x1, x2 ,xn ),1 ( x1, x2 ,xn ),, j ( x1, x2 ,xn ),线