工程力学：第2章 力系的简化
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力系的简化
作用线：通过由分布载荷组成的几何图形的形心。
F
1 2
ql
要求掌握
q
ql
xC
2 3
均布载荷的合力。 载荷集度为q。
l
A
l 2
B
l
方向：与分布力q 相同。
大小：等于载荷集度q乘以分布长度，即 ql。 作用线：通过分布长度的中点。
P29
其他不作要求
17
2.4.2 物体的重心、质心和形心 1、重心
xc
zc
zi Fi FR
x i Fi FR
yc
yi Fi FR
zc
zi Fi FR
15
2.4 平行力系的中心 重 心
【例2.2】水平梁AB长为l，受三角形分布载荷的作用，分布载荷的最大
值为q(N/m），试求合力的大小及作用线的位置。
解：合力F的方向向下。
求合力的大小：建立坐标系Axy。 y 在任意截面 x 处
xC
S
y
y
xdA
A
0
A
yC
ydA
A
A
C 形心 x O
22
反之，若图形对某轴静矩为零，该轴一定过形心。 2、平面图形若有对称轴，则形心在对称轴上。 （因为图形关于对称轴的静矩为 0。）
5、确定物体重心的方法
（1）简单几何形状的物体的重心
均质物体有对称面、对称轴、对称中心，物体的重心一定在对称 面、对称轴、对称中心上。
MA
MA FAy
FA
FAx
也可按前面所讲的确定约束力的原则，固定端所限制的运动：水 平移动、竖直移动、转动。因此，约束力为正交分力和一个力偶。
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
第二章 力系的等效与简化
rB
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
F F
F A O d
F
F
M O
A
O
d
A
三、平面任意力系向一点简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个
力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这 种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化 中心。
FR
F1
F2 A2
A1 O A3
=
F3
F2
M1 M2 O
F1
M3
=
MO
O
F3
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。
F1 F2 F3 FR F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这 力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
R x
F cos( F , j )
R
FR
y
FR
说明
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位
置无关。
F1 F2 Fn F 主矢： FR
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作 用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。
M M O ( F ) M O ( F ) F rA F rB F rA F rB ( F ) (rA rB ) F M rBA F
O
M称为力偶矩矢，用以衡量力偶对刚体的转动效应。
F F
F A O d
F
F
M O
A
O
d
A
三、平面任意力系向一点简化
应用力线平移定理，可将刚体上平面任意力系中各个
力的作用线全部平行移到作用面内某一给定点O 。 从而这力系被分解为平面共点力系和平面力偶系。这 种变换的方法称为力系向给定点O 的简化。点O 称为简化 中心。
FR
F1
F2 A2
A1 O A3
=
F3
F2
M1 M2 O
F1
M3
=
MO
O
F3
共点力系F1、 F2、 F3的合成结果为一作用点在点O 的力FR 。这个力矢FR 称为原平面任意力系的主矢。
F1 F2 F3 FR F1 F2 F3
附加力偶系的合成结果是作用在同平面内的力偶，这 力偶的矩用MO 代表，称为原平面任意力系对简化中心 O 的主矩。
R x
F cos( F , j )
R
FR
y
FR
说明
1、平面任意力系的主矢的大小和方向与简化中心的位
置无关。
F1 F2 Fn F 主矢： FR
2、平面任意力系的主矩与简化中心O 的位置有关。因 此，在说到力系的主矩时，一定要指明简化中心。
结论： 平面任意力系向平面内任一点的简化结果，是一个作 用在简化中心的主矢和一个对简化中心的主矩。
工程力学第2章(汇交力系)
2.力在平面上的投影
FM F cos
⑴ 力在平面上的投影是矢量。 ⑵ α：力与投影平面的夹角。
3. 力在直角坐标轴上的投影 · 一次投影法 Fx F cos
Fy F cos
Fz F cos
·二次投影法
Fx Fxy cos F cos cos Fy Fxy sin F cos sin
合力FR 的大小
FR ( Fx )2 ( Fy )2 ( Fz )2
合力FR 的方向
R
F cos( F ，i )
x
cos( FR，j )
R
F Fy
F
z
F cos( F ，k ) F
二、汇交力系平衡的解析条件
汇交力系平衡的充分且必要条件是力系的合力等于零。
角为60o ，若接触面光滑，试分别求出圆柱给墙面和夹板的压 力。
解:
FA Gtan30o 500 tan30o 288.7N
G 500 FB 577.4N o o cos 30 cos 30
几何法求解汇交力系简化与平衡问题总结：
⑴ 选择研究对象，分析受力情况，画出全部的 已知力和未知力，利用二力平衡、三力平衡汇交等定 律确定某些力作用方向（必须明确力的方向，否则容 易出错）。
Fx 0 : Fy 0 : F
z
FA FC cos 30o sin 0
FB FC cos 30o cos 0 FC sin30o P 0
0:
由几何关系可得 cos 0.8 sin 0.6 解得： FA 10.39kN
FB 13.85kN FC 20kN
F2 = 4kN，F3 = 5kN，求三个力的合力。 解:
工程力学 第2章 力系的等效与简化
第2章 力系的等效与简化 作用在实际物体上的力系各式各样，但是，都可用归纳为两大类：一类是力系中的所有力的作用线都位于同一平面内，这类力系称为平面力系；另一类是力系中的所有力的作用线位于不同的平面内，称为空间力系。
这两类力系对物体所产生的运动效应是不同的。
同一类力系，虽然其中所包含的力不会相同，却可能对同一物体产生相同的作用效应。
在就是前一章中提到的力系等效的概念。
本章将在物理学的基础上，对力系的基本特征量加以扩展，引入力系主矢与主矩的概念；以此为基础，导出力系等效定理；进而应用力向一点平移定理以及力偶的概念对力系进行简化。
力系简化理论与方法将作为分析所有静力学和动力学问题的基础。
§2-1 力系等效定理 ２－１－１ 力系的主矢和主矩 ２－１－２ 力系等效定理 §2-2 力偶与力偶系 ２－２－１ 力偶与力偶系 ２－２－２ 力偶的性质 ２－２－３ 力偶系的合成 §2-3 力系的简化 ２－３－１ 力向一点平移定理 ２－３－２ 空间一般力系的简化 ２－３－３ 力系简化在固定端约束力分析中的应用 §2-4 结论和讨论 ２－４－１ 关于力矢、主矢、力矩矢、力偶矩矢以及 主矩矢的矢量性质 ２－４－２ 关于合力之矩定理及其应用 ２－４－３ 关于力系简化的最后结果 ２－４－４ 关于实际约束的简化模型 ２－４－５ 关于力偶性质推论的应用限制 习 题 本章正文 返回总目录第2章 力系的等效与简化 §２－１ 力系等效定理 物理学中，关于质点系运动特征量已有明确论述，这就是：质点系的线动量和对某一点的角动量。
物理学中还指明线动量对时间的变化率等于作用在质点系上的合外力；角动量对时间的变化率等于作用在质点系上外力对同一点的合力矩。
这里的合外力，实际上只有大小和方向，并未涉及作用点或作用线。
因而，需要将其中的合外力与外力的合力矩扩展为力系的主矢和主矩。
２－１－１ 力系的主矢和主矩 主矢：一般力系（F 1，F 2，…，F n ）中所有力的矢量和（图2—1），称为力系的主矢量，简称为主矢（principal vector ），即∑=ni i1R FF ＝(2－1)图2－1力系的主矢其中F R 为力系主矢；F i 为力系中的各个力。
《工程力学》力系的简化
24/48
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
i1
z 5/48
2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
10/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
11/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
14/48
2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
F
F
My
F
15/48
2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
16/48
2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
2.3 平面力系的简化----平面力系的简化结果
➢主矢、主矩与简化中心的关系： ✓主矢与简化中心的选择无关； ✓主矩与简化中心的选择有关。
➢注意： ✓主矢只有大小和方向两个要素，并不涉及作用点，可 在任意点画出； ✓合力有三要素，大小、方向和作用点。
M Oy
n i 1
M O (Fi ) y
M Oz
n
M O (Fi )
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2.1 力系等效与简化的概念----力系的主矢和主矩
力系主矢的特点： ✓对于给定的力系，主矢唯一； ✓主矢只有大小和方向，未涉及作用点。
力系主矩的特点： ✓力系主矩与矩心的位置有关； ✓对于给定的力系，主矩不唯一，同一力系 对不同的点，主矩一般不相同。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
r F
F F
➢根据加减平衡力系原理，加上平衡力系后，力对刚 体的作用效应不会发生改变； ➢施加平衡力系后，由3个力组成的新力系对刚体的 作用与原来的一个力等效。
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
－F
F
M=Fd
F
F
✓增加平衡力系后，作用在A点的力与作用在B的力组成一
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2.2 力系简化的基础——力向一点平移
z
M -F
F F
Mx
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My
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2.3 平面力系的简化
➢平面汇交力系与平面力偶系的合成结果 ➢平面一般力系向一点简化 ➢平面力系的简化结果
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2.3 平面力系的简化
----平面汇交力系与平面力偶系的合成结果
➢汇交力系：力系中所有力的作用线都会交于一点； ➢平面汇交力系：力系中所有力的作用线处于同一平面并且 汇交于一点。 ➢平面汇交力系的合力等于力系中所有力的矢量和。
工程力学课后习题答案_范钦珊(合订版)
Fw
习题 1—9 图
FT1
F Fw
T2
FN
习题 1—9 解图
7
1 一 10 图示压路机的碾子可以在推力或拉力作用下滚过 100mm 高的台阶。假定力 F 都是沿着杆 AB 的方向，杆与水平面的夹角为 30°，碾子重量为 250 N。试比较这两种情形 下，碾子越过台阶所需力 F 的大小。
习题 1－10 图
即 (d + 3) sinθ = 2(4.5 − d ) sinθ 2 d +3=9−d
d =3
（2）
y
4 G
C
E
θ2
Dθ d −4.5 F O
FR
3
Ax
2
习题 2－2 解图
∴ F 点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图所示，作用线过 B、F 点；
tan θ = 4 3
AG = 6 sinθ = 6 × 4 = 4.8 5
nb2返回总目录下一章11ebook工程力学静力学与材料力学习题详细解答教师用书第2章范钦珊唐静静200612181第2章力系的简化21由作用线处于同一平面内的两个力f和2f所组成平行力系如图所示
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工程力学
（静力学与材料力学）
习题详细解答
（教师用书） (第 1 章)
范钦珊 唐静静
2006-12-18
FC C
A FA
习题 1－3e 解 1 图
C
BF
FB
FAx A
FAy
习题 1－3b 解 1 图
A FA
FB
α C
B
D
FD 习题 1－3d 解 1 图
D
F
C
F'c
B
工程力学02-力系的简化
《工程力学》
Bengbu college . The Department of Mechanical and Electronical Engineering .w.p_chen
力系的等效
力系的基本特征
力的平移 力系的简化
《工程力学》
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O Mo x
《工程力学》
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举
求此三力的合力 解： 建立直角坐标系
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示
《工程力学》
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举
求此三力的合力
例
y x F1=732N
30° F3=2000N
例： 吊钩受有三个力，其数值和方向如图所示 Fx = -1000N Fy = - 1732N 求合力和方向 F = Fx2+Fy2 = (-1000)2+(-1732)2 = 2000N = 2kN Fy tana= F = -1732 = 1.732 -1000 x
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工程力学第二章(力系的平衡)
{
平衡方程其他形式： 平衡方程其他形式：
Σ Fx = 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MA（F）= 0 Σ MB（F）= 0 Σ MC（F）= 0
A
B
x
A、B 连线不垂直于x 轴 连线不垂直于x
（两矩式） 两矩式）
{
C B A C
（三矩式） 三矩式）
A、B、C三点不 在同一条直线上
l FC C B F
∑F x
y
∑M ( F) = 0,
A
F cos 45 ⋅l − F ⋅ 2l = 0 C
y FAy AF
Ax
l C FC
l x
45
B F
3、解平衡方程，可得 解平衡方程，
FC = 2 F cos 45 = 28.28 kN
FAx = − FC ⋅ cos 45 = −2 F = −20 kN
平面任意力系平衡方程讨论： 平面任意系平衡方程讨论：
{
x
Σ Fx = 0 Σ Fy = 0 Σ MO= 0
请思考：x , y 的选择是否有一定任意性？ 请思考： 的选择是否有一定任意性？
x y y x
y
例4 支架的横梁AB与斜杆DC彼此以铰链C连 支架的横梁AB与斜杆 彼此以铰链 与斜杆DC彼此以铰链C
FBC cos 60 − G − Fcos 30 = 0
FBC = 74.5 kN
联立求解得 FAB = −5.45 kN
约束力F 为负值， 约束力FAB为负值，说明该力实际指向与 图上假定指向相反，即杆AB实际上受 实际上受拉 图上假定指向相反，即杆AB实际上受拉力。
解析法的符号法则： 解析法的符号法则：
平面任意力系平衡的充分必要条件： 平面任意力系平衡的充分必要条件：
第2章—力系的简化—工程力学(静力学和材料力学)课后习题答案
工程力学（静力学与材料力学）习题详细解答(第2章)习题2－2图第2章 力系的简化2－1 由作用线处于同一平面内的两个力F 和2F 所组成平行力系如图所示。
二力作用线之间的距离为d 。
试问：这一力系向哪一点简化，所得结果只有合力，而没有合力偶；确定这一合力的大小和方向；说明这一合力矢量属于哪一类矢量。
解：由习题2－1解图，假设力系向C 点简化所得结果只有合力，而没有合力偶，于是，有∑=0)(F C M ，02)(=⋅++−x F x d F ，dx =∴，F F F F =−=∴2R ，方向如图示。
合力矢量属于滑动矢量。
2－2 已知一平面力系对A (3，0)，B (0，4)和C (－4.5，2)三点的主矩分别为：M A 、M B 和M C 。
若已知：M A ＝20 kN·m 、M B ＝0和M C ＝－10kN·m ，求：这一力系最后简化所得合力的大小、方向和作用线。
解：由已知M B = 0知合力F R 过B 点；由M A = 20kN ·m ，M C = -10kN ·m 知F R 位于A 、C 间，且CD AG 2=（习题2－2解图）在图中设OF = d ，则θcot 4=dCD AG d 2)sin 3(==+θ （1） θθsin )25.4(sin d CE CD −== （2）即θθsin )25.4(2sin )3(dd −=+ d d −=+93 3=d习题2－1图习题2－1解图R∴ F 点的坐标为（-3, 0）合力方向如图所示，作用线过B 、F 点； 34tan =θ 8.4546sin 6=×==θAG 8.4R R ×=×=F AG F M A kN 6258.420R ==F 即 )kN 310,25(R=F 作用线方程：434+=x y 讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G 点与E 点重合。
2－3三个小拖船拖着一条大船，如图所示。
第2章 力系的简化
第2章 力系的简化2-1 三力作用在正方形上，各力的大小、方向及位置如图示，试求合力的大小、方向及位置。
分别以O 点和A 点为简化中心，讨论选不同的简化中心对结果是否有影响。
答： 45,N 66.5N 24===x R θ︒，合力作用线过A 点。
题2-1图 题2-2图 2-2 图示等边三角形ABC ，边长为l ，现在其三顶点沿三边作用三个大小相等的力F ，试求此力系的简化结果。
答：力偶，Fl m 23=，逆时针。
2-3 沿着直棱边作用五个力，如图示。
已知F 1＝F 3＝F 4＝F 5＝F ，F 2＝2P ，OA ＝OC ＝a ，OB ＝2a 。
试将此力系简化。
答：力偶，191),cos(,193),(cos ),cos(,19-=-===k M j M i M P a M 。
题2-3图 题2-4图2-4 图示力系中，已知F 1＝F 4＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 5＝200N ，a ＝2m ，试将此力系简化。
答：力，R ＝200 N ，与y 轴平行。
2-5 图示力系中F 1＝100N ，F 2＝F 3＝1002N ，F 4＝300N ，a ＝2m ，试求此力系简化结果。
答：力螺旋，R ＝200 N ，平行于 z 轴向下，M ＝200 N ⋅m题2-5图 题2-7图 2-6 化简力系F 1（P ，2P ，3P ）、F 1（3P ，2P ，P ），此二力分别作用在点A 1（a ，0，0）、A 2（0，a ，0）。
答： 力螺旋，3,34aP M P R ==。
2-7 求图示平行力系合力的大小和方向，并求平行力系中心。
图中每格代表1m 。
答：力，R ＝25 kN ，向下，平行力系中心（4.2, 5.4, 0）。
2-8 将题2-8中15kN 的力改为 40kN ，其余条件不变。
力系合成结果及平行力系中心将如何变化？答：力偶。
无平行力系中心。
2-9 用积分法求图示正圆锥曲面的重心。
答：h z y x C C C 31,0===。
第2章 空间力系的简化与物体的受力分析
FR
FR
o
MO
o
FR
d
o’
o
d
o’
MO 平移距离： d FR
平移方向： F 的方向 M R O
（2）
MO F R
M0 FR
力螺旋
与M F O R 与M F O R
方向一致 右手力螺旋 方向相反
左手力螺旋
0 , M 0 , F M (3) F R O R O
方向：沿着柔索的中心线且背离被约束物体
作用点：接触点 未知量：1个
二、光滑面约束
(1)光滑接触点约束
P
FN
P
F2
F1
F3
物体之间的接触缩小为一 点接触。此时的约束力是一 集中力，这力的作用线必定 通过接触点，且同时通过两 个曲面对应接触点的曲率中 心，也就是力的作用线为接 触点的公法线方向。 方向：接触面的公法线并指向被约束物体 作用点：接触点
（2）平面柱铰
F
o B
Fox Foy o
销钉
A A
约束力分布在一部分圆弧上，且均通过销钉中心，构成位于 销钉中心截面上的平面汇交力系，可简化为一个通过销钉中心 的合力 FR 未知量：2 个 约束力的大小和方向都随主动力而改变 表示为两个互相垂直的未知力，其指向可以假定
当形成平面柱铰中 的一个带圆孔部件与基 础或静止的结构物固连， 就成为铰链支座，也称 固定铰支座
6 7 0 . 1 x 2 3 2 . 9 y 2 3 5 5 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
自由体 非自由体 P
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的 约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力 确定约束力指向的原则： 约束力的方向总是与约束所能阻止物体的运动或运 动趋势方向相反。
第2章空间力系的简化与物体的受力分析
设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销
钉。若不计滑轮与支架的自重，画出各构件的受力图。
FCB 0.6 m C
解：
FAB A
B FBA
FBy
FCB
H
45
B F FBx C
[ AB] [ BC ]
0.8 m
FT1
[轮B]
FAB A
H BF
45
I
FDxE
D FBC
D
G FBA
FFDy
FR
FR
F1
sin 60
F2
cos 30
F3
F
FR FRy j Fj
MA
主矩： M A M A F F3a M F2h 1.133Fa
合力大小和方向： FR FR Fj
合力作用点D至A点距离：d M A / FR 1.133 F a / F 1.133a
y
3m
C
例3 重力坝受力情况如图所示。设
在径向轴承的受力基础上，再加上一个指向轴的压力。
FAz
FAy
A
FAx
未知量：3 个
四、辊轴支座
在铰链支座的下 部，安装若干刚性滚 子，构成辊轴支座， 也可称为可动铰支座
A`
A
A
FA
由于辊轴支座沿滚动方向无约束功能， 约束力只能沿支承平面的法线方向，形成平 面平行力系，可简化为一个通过铰链中心的 合力
670.1x 232.9 y 2 355 0
第二节 约束与约束力
自由体与非自由体
P
自由体
非自由体
约束：阻碍物体运动的限制物体，是通过力来实现的
约束力：约束施加于被约束物体的力。约束力是被动力
工程力学-力系的简化
A xC
q(x)
xB
FR q(x)dx
Bx
xA
合力作用线：
xB
q(x)xdx
x xA
C
xB
对面分布载荷，积分元改为dA
q(x)dx
xA
32
工程上常见的分布载荷：
qF
xC
l
F
xC l
q1
F
xC l
（1）均布载荷q(x)=q=常数
F=ql , xC=l/2 （2）三角形载荷
F=ql /2 , xC=2l/3
FRx FRy FRz
(力的作用线)方程: x xB y yB z zB
B(xB , yB , zB )
为合力的作用点 15
小结 力系简化的步骤：
（1）任选矩心O，求出力系 的主矢和主矩。
FR Fi MO MO (Fi )
若主矢和主矩全为零
平衡力系(零力系)
若主矢和主矩不全为零，则进一步计算(2)：
FRO
原一般力系简化为一个作用于O点的合力 FR
——最简力系
9
4.
FR 0, MO
MO 0,
FR
FR MO 0
即 FR MO
MO
FR
O
O
原力系简化为过O点的合力
FR
及合力偶，且 FR MO
B (xB,yB,zB) 合力作用线
——不是最简力系
根于据B点力的的合平力移逆FB定 理FR，，二B者点可位进置一为步简OB化为F一R F个R2M 作O 用
简化后的合力作用点B的位置为
OB
F1 M
F12
即将即F1力O平B行于F1其,O作B用线M移, 动OBO距B 离 成MF1为F
工程力学
力系简化的基础是力向一点平移定理。
工程力学
第2章 力系的简化
§2–2 力向一点平移定理
力向一点平移定理 作用于刚体上的力可从原来的作用点 平行移动任一点而不改变对刚体的作用效应，但须附加一 个力偶，附加力偶的矩等于原力对新作用点的矩。
F B h
F
F = B h
F
F
A
A
=
M=Fh B A
第2章 力系的简化
求如图所示平面共点力系的合力。其中：F1 = 200 N， y F2 = 300 N，F3 = 100 N，F4 = 250 N。 F2
解： 根据合力投影定理，得合力在轴
x，y上的投影分别为：
FRx F1 cos 30 F2 cos 60 F3 cos 45 F4 cos 45 129 .3 N
FR=FR，但其作用线不过简化中心O。
FR
MO O
FR
= O
d
FR
FR
A
= O
d
FR
A
M 0 m0 ( FR ) d FR ' FR '
把各力矢首尾相接，连接第一个力的始端与最后一个力的终 端的矢量就是合力FR，力系中各力称为合力FR的分力。 F2 F1 F3 F2 F3 F
O
4
F1
FR
F4 • 得到的多边形，称为力多边形，合力就是力多边形的封闭边。
• 用力多边形求解合力的方法称为力的多边形法则。
工程力学 c F3 d F4 c F1 a
加减平衡力系原理
力偶
[证明]
力F
M o M o ( F ) Fh
力系F，F'，F''
工程力学02
作用于 点O 的 F R’
力偶
MO
主 矢
RO＝F1′+ F2′+…+Fn′ ＝F1 +F2 +…+Fn＝ΣF＝ FR′ FR′称为该力系的主矢，它等于原力 称为该力系的主矢， 该力系的主矢
系各力的矢量和， 系各力的矢量和，与简化中心的位 置无关。 置无关。
主 矩
各附加力偶的力偶矩分别等于原力系中各力对 简化中心O 之矩， 简化中心 之矩，即 m1＝mo(F1)，m2＝mo(F2) ，…， mn ＝mo( Fn) 则： ， ， MO＝m1+m2+…+mn＝mo(F1)+mo（F2）+…mo (Fn ) ＝ΣmO（F） ） 原力系中各力对简化中心之矩的代数和称为原 力系对简化中心的主矩 主矩。 力系对简化中心的主矩。 可见在选取不同的简化中心时， 可见在选取不同的简化中心时，每个附加力偶 的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简 的力偶臂一般都要发生变化，所以主矩一般都与简 化中心的位置有关。 化中心的位置有关。
第2章 力系的等效和简化 章
平面力系 空间力系 等效力系
l平平力力力 平平平平 空空平平
平平平平平平 平平平平平平 平平平平平平 平平平平平 空空平平平平 空空平平平平 空空平平平平 空空平平平
2.1 力系等效和简化的概念
2.1.1 力系的主矢与主矩 主矢的概念： 由任意多个力所组成的力系 F1 , F 2 , ..., F n 中所有力的矢量和，称为力系的主矢量，简称 为主矢，用 F R 表示，即：
力偶的作用效果取决于三个因素：构成力 偶的力、力偶臂的大小、力偶的转向。 故在平面问题中用一带箭头的弧线来表示如 图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示力 偶矩的大小。
考研复习—工程力学——第2章 平面力系
解：M= m1+ m2+ m3+m4 =4×(－15 N·m)= －60 N·m
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
负号表示合力偶为顺时针转向。
图2-10
第2章
2.3 平面任意力系的简化
2.3.1 力的平移定理
平移定理：作用在刚体上的力，可以平移至刚体内任一指定点，若不改变该力对于 刚体的作用则必须附加一力偶，其力偶矩等于原力对新作用点的矩。
Fx 0
RAx R By P 0
RAx P RBx 20 kN 10 kN 10 kN
M A (F) 0 RBy a P a F 2a 0
RBy 2F P 20 kN 20 kN 0
（2）画ACD杆及CEB杆受力图,如图(b)、图(c)所示。
(3)研究CEB杆，如图（c）所示，则有
例2-16：图所示梯子，AB一端靠在铅垂的墙壁上，另一端搁置 在水平地面上。假设梯子与墙壁间为光滑约束，而梯子与地面之间存 在摩擦。已知：摩擦因数为 ，梯子长度AB=L,梯子重力为W。求：（ 1）若梯子在倾角 的位置保持平衡，求梯子与地面之间的摩擦力 和其 余约束力；（2）为使梯子不致滑倒，求倾角α的取值范围。
2 3 Fp
Fs1
Fs 2
1 3
Fp
(拉)
2 3
Fp (压)
（3）考察节点B的平衡： Fs3 0
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.1 工程中的摩擦问题
1、摩擦平衡问题： 工程中有一类问题摩擦力不能忽略。例如车辆的制动、螺旋连接与锁 紧装置、楔紧装置、缆索滑动和传动系统等。这类平衡问题统称为摩擦平衡问题。
Fd fFN
第2章
2.7 考虑摩擦时的平衡问题
2.7.3 摩擦角与自锁现象
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第2章 平面一般力系
§2–1 力线平移定理 §2–2-1 平面一般力系向一点简化 §2–2-2 平面一般力系的简化结果 §2–2-3 分布力系的简化 §2–3-1 空间力系的简化 §2-3–2 空间力系简化结果 §2-4–1 重心概念和计算公式
§2-1 力线平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
§2–2-1 平面一般力系向一点简化
F1
F1 F1
FR
m1
O
F2 m3 O
m FR
2
F2
OM
F3
F3
F3
F2
O为任意点
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系 力 ， FR (主矢) ， (作用在简化中心)
力 偶 系 偶 ， MO (主矩) ， (作用在该平面上)
z
F’R
Mo M’’o
x
M’o
O
y
O’
x
z
F’R
M’o FR
y
O
O’
F’’R
x
FR=F’R=－ F’’R
z
FR
M’o
y
O
O’
返回
2-4–1 重心概念和计算公式
重心：物体受到地心引力所成力系的合力
（1）求合力的大小
G Gi
（2）求合力作用线的位置
GyC (G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
GxC (G1x1 G2 x2 Gn xn ) Gi xi
xC
Gi xi G
,
yC
Gi yi , G
zC
Gi zi G
xdG
ydG
xC
V
G
，
yC
V
G
,
zdG
zC
V
G
对于均质物体，密度 常量，重心坐标表达式可表示为
xC
xiVi V
xdV
V
V
,
yC
yiVi V
2–3-1 空间一般力系向一点简化
F1
M1 F1 F1
O
F2
O
F3
F3M 3 F3
O为任意点
n
FR Fi
i1
n
n
n
MO Mi MO Fi Mi r Fi
i1
i1
i1
MO
FR
M2
F2
O
F2
返回
2-3-2 空间一般力系简化结果分析
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
1、若 FR 0,MO 0, 则该力系平衡（下节专门讨论）。 2、若FR 0,MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力 系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。
3、若FR 0,MO 0 则力系可合成为一个合力，主矢FR 等
于原力系合力矢FR ，合力FR 通过简化中心O点。 （此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
F
F
F
F
M
B
A
F
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FR FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端 约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
§2–2-2 平面一般力系的简化结果
简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。
① FR=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
l
dF
0
l
q(x)dx
0
l q x dx 1 ql
0l
2
（2）求合力作用线的位置
由合力矩定理
M A (FR ) M A (F)
或：
FRh
l
xdF
0
l x q x dx 1 ql 2
0l
3
所以 ：
h
1 ql 2 3
2l
FR 3
工程上常见的线分布力有均布力、三角形 分布力、梯形分布力、一般线分布力
主矢FR (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： FR FRx2 FRy2 ( Fx )2 ( Fy )2
主矢 FR
方向：
tan FR , i
（移动效应）
FRy FRx
Fy Fx
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
4、若FR 0,MO 0 此时分两种情况讨论。即：①FR M O
①若F R
M
时
O
② FR // MO
可进一步简化，将MO变成 FR,FR 使FR与FR 抵消只剩下 FR 。
(MO FR d )
由于做MO
FR d,d
MO FR
MO FR
,
合力FR
Fi
②若 FR // M O时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）
ydV
V
V
, zC
ziVi V
合力FR 的大小等于原力系的主
矢 FR
合力 的作用线位置
d
MO FR
F R
O MO A
F R
MO O
A
MA FRO
O
A
MA MO MA FRO
F R
MA
返回
§2–2-1 分布力系的简化
求三角形荷载合力的大 小和作用线的位置
（1）求合力的大小
q( x )
x l
q,
dF q(x)dx
FR
[例] ①拧螺丝
②炮弹出膛时炮弹螺线
③FR′不平行也不垂直MO，最一般的成任意角
在此种情况下，<1>首先把MO 分解为M//和M <2>将M//和M 分别按①、②处理。
M
使主矢FR′搬家，搬家的矩离O：O '
M FR
MO sin
FR
，M//不变
所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M// 是自由矢量， 可将M//搬到O'处
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
主矩是附加力偶，为何与简化点有关？能否任意移动
固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
固定端（插入端）约束
FA FAy
FAx
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
§2–1 力线平移定理 §2–2-1 平面一般力系向一点简化 §2–2-2 平面一般力系的简化结果 §2–2-3 分布力系的简化 §2–3-1 空间力系的简化 §2-3–2 空间力系简化结果 §2-4–1 重心概念和计算公式
§2-1 力线平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
§2–2-1 平面一般力系向一点简化
F1
F1 F1
FR
m1
O
F2 m3 O
m FR
2
F2
OM
F3
F3
F3
F2
O为任意点
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系 力 ， FR (主矢) ， (作用在简化中心)
力 偶 系 偶 ， MO (主矩) ， (作用在该平面上)
z
F’R
Mo M’’o
x
M’o
O
y
O’
x
z
F’R
M’o FR
y
O
O’
F’’R
x
FR=F’R=－ F’’R
z
FR
M’o
y
O
O’
返回
2-4–1 重心概念和计算公式
重心：物体受到地心引力所成力系的合力
（1）求合力的大小
G Gi
（2）求合力作用线的位置
GyC (G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
GxC (G1x1 G2 x2 Gn xn ) Gi xi
xC
Gi xi G
,
yC
Gi yi , G
zC
Gi zi G
xdG
ydG
xC
V
G
，
yC
V
G
,
zdG
zC
V
G
对于均质物体，密度 常量，重心坐标表达式可表示为
xC
xiVi V
xdV
V
V
,
yC
yiVi V
2–3-1 空间一般力系向一点简化
F1
M1 F1 F1
O
F2
O
F3
F3M 3 F3
O为任意点
n
FR Fi
i1
n
n
n
MO Mi MO Fi Mi r Fi
i1
i1
i1
MO
FR
M2
F2
O
F2
返回
2-3-2 空间一般力系简化结果分析
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
1、若 FR 0,MO 0, 则该力系平衡（下节专门讨论）。 2、若FR 0,MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力 系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。
3、若FR 0,MO 0 则力系可合成为一个合力，主矢FR 等
于原力系合力矢FR ，合力FR 通过简化中心O点。 （此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
F
F
F
F
M
B
A
F
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FR FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端 约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
§2–2-2 平面一般力系的简化结果
简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。
① FR=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
l
dF
0
l
q(x)dx
0
l q x dx 1 ql
0l
2
（2）求合力作用线的位置
由合力矩定理
M A (FR ) M A (F)
或：
FRh
l
xdF
0
l x q x dx 1 ql 2
0l
3
所以 ：
h
1 ql 2 3
2l
FR 3
工程上常见的线分布力有均布力、三角形 分布力、梯形分布力、一般线分布力
主矢FR (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： FR FRx2 FRy2 ( Fx )2 ( Fy )2
主矢 FR
方向：
tan FR , i
（移动效应）
FRy FRx
Fy Fx
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
4、若FR 0,MO 0 此时分两种情况讨论。即：①FR M O
①若F R
M
时
O
② FR // MO
可进一步简化，将MO变成 FR,FR 使FR与FR 抵消只剩下 FR 。
(MO FR d )
由于做MO
FR d,d
MO FR
MO FR
,
合力FR
Fi
②若 FR // M O时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）
ydV
V
V
, zC
ziVi V
合力FR 的大小等于原力系的主
矢 FR
合力 的作用线位置
d
MO FR
F R
O MO A
F R
MO O
A
MA FRO
O
A
MA MO MA FRO
F R
MA
返回
§2–2-1 分布力系的简化
求三角形荷载合力的大 小和作用线的位置
（1）求合力的大小
q( x )
x l
q,
dF q(x)dx
FR
[例] ①拧螺丝
②炮弹出膛时炮弹螺线
③FR′不平行也不垂直MO，最一般的成任意角
在此种情况下，<1>首先把MO 分解为M//和M <2>将M//和M 分别按①、②处理。
M
使主矢FR′搬家，搬家的矩离O：O '
M FR
MO sin
FR
，M//不变
所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M// 是自由矢量， 可将M//搬到O'处
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
主矩是附加力偶，为何与简化点有关？能否任意移动
固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
固定端（插入端）约束
FA FAy
FAx
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;