工程力学：第2章 力系的简化

第2章 平面一般力系
§2–1 力线平移定理 §2–2-1 平面一般力系向一点简化 §2–2-2 平面一般力系的简化结果 §2–2-3 分布力系的简化 §2–3-1 空间力系的简化 §2-3–2 空间力系简化结果 §2-4–1 重心概念和计算公式
§2-1 力线平移定理
力的平移定理：可以把作用在刚体上点A的力 F平行移到任一
ydV
V
V
, zC
ziVi V
l
dF
0
l
q(x)dx
0
l q x dx 1 ql
0l
2
（2）求合力作用线的位置
由合力矩定理
M A (FR ) M A (F)
或：
FRh
l
xdF
0
l x q x dx 1 ql 2
0l
3
所以 ：
h
1 ql 2 3
2l
FR 3
工程上常见的线分布力有均布力、三角形 分布力、梯形分布力、一般线分布力
点B，但必须同时附加一个力偶。这个力偶
的矩等于原来的力F 对新作用点B的矩。
[证] 力F
力系 F ,F , F 力F 力偶（F，F ）
F
F
F
F
M
B
A
F
说明：
①力线平移定理揭示了力与力偶的关系：力
力+力偶
（例断丝锥）
②力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有关，m=F•d
③力线平移定理是力系简化的理论基础。
主矢FR F1 F2 F3 Fi
主矩 MO m1 m2 m3
mO (F1)mO (F2 )mO (Fi )
大小： FR FRx2 FRy2 ( Fx )2 ( Fy )2
主矢 FR
方向：
tan FR , i
（移动效应）
FRy FRx
Fy Fx
简化中心 (与简化中心位置无关) [因主矢等于各力的矢量和]
[例] ①拧螺丝
②炮弹出膛时炮弹螺线
③FR′不平行也不垂直MO，最一般的成任意角
在此种情况下，<1>首先把MO 分解为M//和M <2>将M//和M 分别按①、②处理。
M
使主矢FR′搬家，搬家的矩离O：O '
M FR
MO sin
FR
，M//不变
所以在O'点处形成一个力螺旋。因为M// 是自由矢量， 可将M//搬到O'处
z
F’R
Mo M’’o
x
M’o
O
y
O’
x
z
F’R
M’o FR
y
O
O’
F’’R
x
FR=F’R=－ F’’R
z
FR
M’o
y
O
O’
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2-4–1 重心概念和计算公式
重心：物体受到地心引力所成力系的合力
（1）求合力的大小
G Gi
（2）求合力作用线的位置
GyC (G1 y1 G2 y2 Gn yn ) Gi yi
合力FR 的大小等于原力系的主
矢 FR
合力 的作用线位置
d
ຫໍສະໝຸດ Baidu
MO FR
F R
O MO A
F R
MO O
A
MA FRO
O
A
MA MO MA FRO
F R
MA
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§2–2-1 分布力系的简化
求三角形荷载合力的大 小和作用线的位置
（1）求合力的大小
q( x )
x l
q,
dF q(x)dx
FR
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③FR FA方向不定可用正交 分力FAx, FAy表示;
④ FAx, FAy, MA为固定端 约束反力;
⑤ FAx, FAy限制物体平动, MA为限制转动。
§2–2-2 平面一般力系的简化结果
简化结果： 主矢 ，主矩 MO ，下面分别讨论。
① FR=0， MO =0，则力系平衡,下节专门讨论。 ② FR=0,MO≠0 即简化结果为一合力偶, MO=M 此时刚
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
大小： M O mO (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
（转动效应） 简化中心： (与简化中心有关)
（因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和）
主矩是附加力偶，为何与简化点有关？能否任意移动
固定端（插入端）约束
在工程中常见的
雨搭
车刀
固定端（插入端）约束
FA FAy
FAx
说明
①认为Fi这群力在同一 平面内;
§2–2-1 平面一般力系向一点简化
F1
F1 F1
FR
m1
O
F2 m3 O
m FR
2
F2
OM
F3
F3
F3
F2
O为任意点
一般力系（任意力系）向一点简化汇交力系+力偶系
（未知力系）
（已知力系）
汇交力系 力 ， FR (主矢) ， (作用在简化中心)
力 偶 系 偶 ， MO (主矩) ， (作用在该平面上)
GxC (G1x1 G2 x2 Gn xn ) Gi xi
xC
Gi xi G
,
yC
Gi yi , G
zC
Gi zi G
xdG
ydG
xC
V
G
，
yC
V
G
,
zdG
zC
V
G
对于均质物体，密度 常量，重心坐标表达式可表示为
xC
xiVi V
xdV
V
V
,
yC
yiVi V
4、若FR 0,MO 0 此时分两种情况讨论。即：①FR M O
①若F R
M
时
O
② FR // MO
可进一步简化，将MO变成 FR,FR 使FR与FR 抵消只剩下 FR 。
(MO FR d )
由于做MO
FR d,d
MO FR
MO FR
,
合力FR
Fi
②若 FR // M O时，——为力螺旋的情形（新概念，又移动又转动）
1、若 FR 0,MO 0, 则该力系平衡（下节专门讨论）。 2、若FR 0,MO 0 则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力 系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。
3、若FR 0,MO 0 则力系可合成为一个合力，主矢FR 等
于原力系合力矢FR ，合力FR 通过简化中心O点。 （此时 与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
2–3-1 空间一般力系向一点简化
F1
M1 F1 F1
O
F2
O
F3
F3M 3 F3
O为任意点
n
FR Fi
i1
n
n
n
MO Mi MO Fi Mi r Fi
i1
i1
i1
MO
FR
M2
F2
O
F2
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2-3-2 空间一般力系简化结果分析
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。