北航 矩阵论 课件 2.1

3
,
,
n
)
T
再对T12x 构造Givens矩阵T13(c,s)：
c
12
2 2
,s
3
12
2 2
2 3
12
2 2
2 3
则
T13 (T12 x)
12
2 2
2 3
,0,0,
4
,
,
n
T
如此继续下去，最后对 T1,n1 T12 x 构造矩阵 T1n
c
12 12
2 n1
2 n
,
s
n
12
2 n
则
T1n T1,n1 T12 x
其中
kij
(ai ,bj ) ( (bj ,bj )
j
i).
将上式改写为
则有
其中
a1 b1 a2 b2 k21b1 an bn k b n,n1 n1 kn1b1
(a1, a2 , , an ) (b1, b2 , , bn )C.
1
C
k21 1
kn1 kn2
1
再对 b1,b2 , ,bn. 单位化可得
qi
1 bi
bi
(i 1,2,, n)
于是有
(a1, a2 ,, an ) (b1,b2 ,,bn )C
(
q1
,
q2
,,
qn
)
b1
C
bn
令 Q (q1, q2 , , qn ), R diag ( b1 , b2 , , bn )C
则有 A QR
唯一性. 设A 有两个分解式 A QR Q1R1
H ，使得 Hx x z.
证 当 x x z 时，取单位列向量u 满足 uT x 0, 则有
Hx (I 2uuT )x x 2u(uT x) x x z 当 x x z 时，取 u x x z
x xz
则有
x x zx x zT
Hx I 2
x xz2
x
x
2x
x
1
Householder 方法：
定理 任何实非奇异矩阵 A (aij )nn 可
通过左乘有限个Householder 矩阵化为上三角矩
阵. 证 只需证
Ini
H
i
是Householder矩阵.
因为 Ini
Hi
I n i
o o
Ii
2
o
uuT
O
In
2
u
OT
uT In 2vvT
性质1 Givens矩阵是正交矩阵，且有
Tij (c, s) 1 Tij (c, s) T Tij (c,s), det Tij (c, s) 1
性质2 设
x (1, 2 , , n )T , y Tij x 1, 2 , , n T 则有
i ci s j , j si c j , k k (k i, j)
解 令 a1 (1,2,1)T , a2 (2,1,2)T , a3 (2,2,1)T
正交化可得
b1 a1 (1,2,1)T b2 a2 b1 (1,1,1)T
b3
a3
1 3
b2
7 6
b1
(1 ,0, 2
1)T 2
构造矩阵
Q
1
6 2
1
3 1
1 2
0
6 3
1 6
1 3
1 2
其中 v R n , vT v uT u 1.
所以是Householder矩阵. 证毕
例4.8 用Householder变换求矩阵
的QR分解.
3 14 9 A 6 43 3
6 22 15
解 对A的第1列，构造Householder矩阵
3
1
1
b(1)
6
,
b(1)
b(1) e1
6
z, x
x xz x xz2
x x x z x z
（因为 x x z 2 2(x x z, x) )
证毕
例 设 x (1,2,2)T , 用Householder变换化
x为与 e1 同方向的向量. 解 计算 x 3, x x e1 2(1,1,1)T .
取 u 1 (1,1,1)T , 构造Householder 矩阵 3
1
, u
6
1
1
3
1 1
1 2 2
H1
I
2uuT
1 3
2 2
1 2
2 1
9 48 15
H1A 0 9 3
0 12 9
对 A(1) 的第1列，构造Householder矩阵
b(2) 9 , 12
b(2)
b(2)
e1
6
1 , 2
u
1 1 5 2
H2
当
2 i
2 j
0
时，选取
c i ,s j
i2
2 j
2 i
2 j
则有
i
2 i
2 j
,
j
0
定理 设 x (1,2 , ,n )T O ，则存在
有限个Givens矩阵的乘积，记作T ，使得
Tx x e1
证 若 1 0 ，取 c
1
,s
12
2 2
2
12
2 2
则
T12 x (
12
2 2
,0,
证 第1步：由 det A 0 知，A 的第1列 b(1) (a11, a21,, an1)T 0 存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 T1 ，使得
T1b (1) b (1) e1 (e1 R n )
令
a (1) 11
b (1)
,
则有
(1)
(1)
a a 11
12
a (1) 1n
T1
(e1 R 2 )
令
a ( n1) n 1,n 1
b ( n1) ,
则有
T A(n2) n1
a (n1) n1,n1 0
( n1)
a n1,n ( n 1)
a nn
最后，令 T In2 O
O I2 Tn1 O
O 1
T3 O
O T2
T1
则T 是有限个Givens矩阵的乘积，使得
b(1) (0,1,1)T
0 1 0
1
T12 1
0
0 ,
T12b(1)
0
0 0 1
1
T13
1
2 0 1
2
0 1 0
1
2 0 1
2
,
T13 (T12b(1) )
2 0 0
0
T1
T13T12
1
0
1
2 0 1
2
1
2 0 1
2
第2步：对
1
A(1)
（2） H 2 I (对 合 矩 阵 ） ；H 1 H （3） detH=1
| I H ||| ( 1)I 2uuT | ( 1)n 1 | ( 1) 2uTu | ( 1)n 1( 1)
定理 任意给定非零列向量 x R n (n 1)
及单位列向量 z R n，则存在Householder矩阵
第二章 矩阵分解
2.1 矩阵的QR分解 2.2 正规矩阵及Schur分解 2.3 矩阵的满秩分解 2.4 矩阵的奇异值分解 2.5 单纯性矩阵的谱分解
2. 1 矩阵的QR分解
一. 矩阵的QR分解
定理 设A 是n 阶实（复）非奇异矩阵，则
存在正交（酉）矩阵Q 和正线上三角矩阵R 使A 有QR分解，且分解是唯一的.
证 设A 的n 个列向量依次为 a1, a2 , , an. 因为A 非奇异，所以n 个列向量线性无关，按 Schmidt 正交化方法正交化，得到n 个标准正交 列向量 q1, q2 , , qn.
对 a1, a2 , , an. 的正交化可得
b1 a1 b2 a2 k21b1 bn an k b n,n1 n1 kn1b1
1 2
1 6
1 3
1 2
1
6
1
3
则有
0
Q
TT
1
2
1
2
2 6
1 6
1 6
1 3 1
3
1
3
A=QR
2
R
1 2
1 2
3
1
6
6
2
3
三 . Householder矩阵和Householder变换
定义 设单位列向量 u Rn , 称
H I 2uuT 为Householder矩阵（初等反射矩阵），由 Householder矩阵确定的线性变换称为 Householder变换. 性质：（1） H T H ； H T H I
a (1) 11
TA
a (1) 12
a (2) 22
a (1) 1n
a(2) 2n
R
a ( n1) nn
所以 A=QR，其中Q= T 1 T T
证毕
例 用初等旋转变换求矩阵 0 1 1
A 1 1 0 1 0 1
的QR分解. 解 第1步：对A 的第1列
构造 T1 ，使 T1b(1) b(1) e1.
A
0
0
A(1)
Leabharlann Baidu
第2步：由 det A(1) 0 知，A(1) 的第1列
b(2)
(a(1) 22
,
a(1) 32
,,
a(1) n2
)T
0
存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 T2 ，使得
T2b (2) b (2) e1 (e1 R n1 )
令
a(2) 22
b(2)
,
则有
(2)
(2)
a a 22
对 T12 x 构造
T13 (c, s) : c
1 ,s 2
1, 2
T13 (T12 x) 5 2,0,0 T
于是
1 2
0
1
2
3 5
4 5
0
T
T13T12
0 1
2
1 0
0 1
2
4 5
0
3 5 0
0
1
5
1 2
3 4 3
2
4 32 4
5 0 5
Tx 5 2e1
定理 任何n 阶实非奇异矩阵 可通过左乘有限个初等旋转矩阵化为上三角矩阵.
(
2 1
2 n
,0, ,0)T
令 T T T 1n 1,n1 T12 ，则有
Tx x e1.
若 1 0, 不妨设
1 k1 0, k 0 (1 k n)
此时
x
2 k
2 n
上面的步骤由 T1,k 开
始进行即得结论 .
证毕
推论 设非零列向量 x Rn 及单位列向量
z Rn, 则存在有限个Givens矩阵的乘积T，使
1
cos
2
sin
2
sin
cos
2
2
1
再取单位向量
v (0,,0, sin 3 ,0,,0, cos 3 ,0,0)T
4
4
得Householder矩阵
Hv I 2vvT
1
cos 3
sin 3
2
2
sin 3
cos 3
2
2
直接计算可得
Tij H u H v
由此得 Q Q1R1R 1 Q1D 其中 因此，D为正线上三角阵。又因为
D R1R 1
I Q T Q (Q1D )T (Q1D ) D T D
所以，D 为单位阵，从而
R1 R , Q1 Q
证毕
例 试用Schmidt 正交化方法求矩阵
1 2 2 A 2 1 2
2 2 1
QR 分解.
1 H
1
1
2 3
111
1
1
1
1 3
1 2 2
2 1 2
2
2
1
则
Hx 3e1
定理 Givens矩阵是两个Householder矩阵 的乘积.
证 对Givens矩阵 Tij , 取单位向量
u (0,,0,sin ,0,,0,cos ,0,0)T
4
4
i
j
得Householder矩阵 H u I 2uuT
所以
T T T (T T T ) T (2) 1 (1)
(2) (2) 1n 1,n1
( 2 ) T (1) 12
是有限个Givens矩阵的乘积.
证毕
例设 x (3,4,5)T , 用Givens变换化x 与 e1
同方向的向量.
解 对x 构造
T12
(c,
s)
:
c
3 5
,
s
4 5
,
T12 x (5,0,5)T
6
R
6
则有 A=QR
3
1 2
1
1 1
7
6 1
3
1
6 3
7
6 1
3
1 2
定理 设A 是 m n 实（复）矩阵，且
其n 个列线性无关，则A 有分解 A=QR，其中
Q 是 m m 实（复）矩阵，且满足 QT Q I
(Q H Q I )
R
=
R1 0
，其中
R1
为n阶
正线上三
1
1 1
的第1列
2 2
b(2) (1, 1 )T 2
构造 T2 ，使
T2b(2) b(2) e1.
2
T12
3 1
3
1
3
3 , 2
T12b ( 2 )
2 0
3
3 T2 T12 , T2 A(1) 2
0
1
6 2
3
最后，令
T 1
0
T2
T1
2 1
6 3
23
a(2) 2n
T2 A(1)
0
0
A( 2 )
第n-1步：由 det A(n2) 0 知， A(n2) 的第1列
b (a , a ) 0 (n1)
(n2)
(n2) T
n1,n1 n,n1
存在有限个Givens
矩阵的乘积，记作 Tn1，使得
T b b e (n1) n 1
( n1) 1
得 Tx x z.
证
对于向量x
，存在
T
(1)
T T T (1) (1)
(1)
1n 1,n1
12
使得 T x (1) x e1; 对于向量z ，存在
T T T T (2)
(2) (2)
(2)
1n 1,n1
12
使得 T z (2) e1 ，于是有 T x (1) x e1 x T (2) z
角阵。
二. Givens矩阵和Givens变换
定义 设实数c 与s 满足 c 2 s 2 1 ，称
1
1
c
s
i
1
Tij
1
s
c 1
j
i
j
1
为Givens矩阵（初等旋转矩阵），亦可记作 Tij Tij (c, s) 由Givens矩阵确定的变换称为
Givens变换（初等旋转变换）.