毕达哥拉斯及其学派

毕达哥拉斯对数学的成就
• 毕氏派将抽象的数作为万物的本源，研究数的目 的不是为了实际应用，而是揭露数的奥秘来探索 宇宙的永恒真理 • 它们对数做过深入研究，并得到很多结果：将学 问分为四类，即算数、音乐﹝数的应用﹞、几何 ﹝精致的量﹞、天文﹝运动的量﹞ • 根据简单的整数比原理创造一套音乐理论；将自 然数进行分类，如奇数、偶数、完全数、亲和数、 三角数、平方数、五角数、六角数等等 • 勾股定理﹝西方称为毕达哥拉斯定理﹞和勾股数 （西方成为毕达哥拉斯数）；发现五种正多面体； 发现不可通约量 。
规矩
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1．禁食豆子。 2．东西落下了，不要用手拣起来。 3．不要去碰白公鸡。 4．不要擘开面包。 5．不要迈过门闩。 6．不要用铁拨火。 7．不要吃整个的面包。 8．不要招花环。 9．不要坐在斗上。 10．不要吃心。 11．不要在大路上行走。 12．房里不许有燕子。 13．锅从火上拿下来的时候，不要把锅的印迹留在灰上，而要把 它抹掉。 14．不要在光亮的旁边照镜子。 15．当你脱下睡衣的时候，要把它卷起，把身上的印迹摩平。 所有这些诫命都属于原始的禁忌观念。
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定义
所谓正多面体，是指多面体的各个面都是全 等的正多边形，并且各个多面角都是全等 的多面角。例如，正四面体（即正棱锥体） 的四个面都是全等的三角形，每个顶点有 一个三面角，共有四个三面角，可以完全 重合，也就是说它们是全等的。
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种类
• 正多面体的种数很少。多面体可以有无数， 但正多面体只有正四面体、正六面体（正 方体）、正八面体、正十二面体、正二十 面体五种。其中面数最少的是正四面体， 面数最多的是正二十面体。有些化学元素 的结晶体呈正多面体的形状，如食盐的结 晶体是正六面体，明矾的结晶体是正八面 体。
证明
• 所以有以下几种情况：
n m 类型 3 3 正四面体 4 3 正六面体 3 4 正八面体 5 3 正十二面体 3 5 正二十面体 由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出，而不可能有其他种类的正多面体
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猜一猜！！！
食盐的结构是正几面体？ 金字塔是正几面体？ 硫化铁结晶体是正几面体？ 明矾是正几面体？ 疱疹病毒是正几面体？
32=2x4+1
42=2x8
数形结合思想的应用
一、解决集合问题 二、解决函数问题 三、解决方程与不等式的问题 四、解决三角函数问题 五、解决线性规划问题
学习目标
• • • • • • 正多面体的历史 正多面体的含义 正多面体的分类 正多面体的图形 证明 正多面体的实例
历史
这个学派在几何方面还发现了5种正多面 体．关于这一点，有几种不同的说法，一种 说毕达哥拉斯本人原先只知道4种：四面体、 六面体、八面体、二十面体．另一方面，他 主张一切物质都由土、水、气、火四大元素 构成．土是固体、水是液体、气是气体、火 是比气体更稀薄的东西．他把这四大元素和 四种正多面体联系起来，说土生于正六面体， 水生于正二十面体，气生于正八面体，火生 于正四面体．后来发现还有正十二面体，但 没有第五种元素，只好同整个宇宙对应．
数形结合思想的形成
毕达哥拉斯的数
“形数”的研究
古希腊人既探索宇宙的奥秘，也研究人生的奥秘．毕达 哥拉斯学派对自然数作了多方面、系统的和深入的考察，他 们不仅把数字看成记数的工具，而且看成神圣、完善、友好、 幸运及邪恶的符号． 例如，他们认为大于1的奇数象征男性，偶数象征女性．5 是第一个男性数与女性数之和，因此象征结婚与结合． 他们还发现了完全数，完全数就是等于它的真因子之和的 数．如 6 的真因子数是1，2，3，而6=1+2+3 ．数 6 就变为完 美的象征，下一个完全数是28 ． 毕达哥拉斯学派还发现了亲和数． 称两个自然数 A , B 为 亲和数，若 A 的真因子之和等于 B ，而B 的真因子之和等于 A ． 如220与284是一对亲和数： 220的真因子：1,2,4,5,10,11,20,22,44,55,110．其和为284 ． 284的真因子：1,2,4,71,142 ．其和为220 ．
三角形数示意图
N=1+3+5+7+…+(2n-1)=n2
正方形数示意图
N=1+4+7+…(3n-2)=n(3n-1)/2
五边形数示意图
乘法的运算法则
例如1
4x3
4+4+4
axb=b个a相加的和
乘法分配律
例二
4x(3+2)=4x3+4x2 a(b+c)=ab+ac
奇数的平方是奇数，偶数的平方是偶数
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实例
金字塔是正四面体,食盐的结晶体是正 六面体，明矾的结晶体是正八面体,硫化铁 结晶体有时会出现接近正十二面体的形状, 疱疹病毒拥有正二十面体的衣壳。
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定义 在我国，把直角三角形的两 直角边的平方和等于斜边的平方这一 特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又 称毕达哥拉斯定理或毕氏定理。数学 公式中常写作a2+b2=c2
历史
1885年，在意大利帕多瓦(Padua)附近 的欧加内丘陵(ColliEuganei)发现用皂石制 造的正十二面体，是公元前500年以前的遗 物，源出于意大利西北部的伊特拉斯坎 (Etruscan)．此外，在别处也发现类似的正 十二面体，不下二十六个．可以推想当时毕 达哥拉斯学派的人见过这种东西，以后便作 为数学研究的对象．
毕达哥拉斯说“数支配着宇宙”
他相信，所有的数学和科学都可以建立在自 然数{1，2,3，…}的基础上。由于规律是客 观的，几何学又是主要感兴趣的东西，因 而毕达哥拉斯建立了垛积数，并将它们设 计成多边形的形式，分别有三角形数、正 方形数、长方形数、五边形数、六边形数。
畢達哥拉斯和三角形數
N=1+2+3+…+n=n(n+1)/2
国家之一。早在三千多年前， 我国是最早了解勾股定理的
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图形
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公式
顶点数
面数
V+F-E=2
棱数
图片
类型
正4面 体 正6面 体 正8面 体 正12面 体 正20面
面数
4 6
棱数
6 12
顶点数 每面边 每顶点 数 棱数 4 3 3
8 4 3
8ຫໍສະໝຸດ Baidu
12 20
12
30 30
6
20 12
3
5 3
4
3 5
证明
顶点数V，面数F，棱数E 设正多面体的每个面是正n边形，每个顶点有m 条棱。棱数E应是面数F与n的积的一半（每两面 共用一条棱），即 nF=2E -------------- ① 同时，E应是顶点数V与m的积的一半，即 mV=2E -------------- ② 由①、②，得 F=2E/n, V=2E/m, 代入欧拉公式V+F-E=2，
1. 数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以 数辅 形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是 借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以 形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直
观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范
严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作 为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何 性质.
历史
不管是正五边形或是正十二面体，都 和希帕索斯(Hippasus．约公元前470年， 是梅塔蓬图姆地方的人)这个人物有关．他 原先是学派的成员，后来被开除或被投入 大海中淹死，也有的说是船只出事沉没， 因而丧生．关于原因，至少有三种传说： 1．是政治问题，他违反教规，参与反贵族 的民主运动；2．自夸发现了正十二面体或 不可通约量；3．泄漏了这些秘密．
历史
另一种意见认为毕达哥拉斯早就知道 正十二面体，还有正四面体和正六面 体．理由是正十二面体的每一个面都是正 五边形，而这个学派对正五边形的作图法 深有所知，并且用五角星来作他们秘密组 织的徽章或联络的标志，称之为“健 康”．有一则故事说这个组织的一个成员 流落异乡，贫病交迫，无力酬谢房主的款 待，临终前要求房主在门前画一个五角 星．若干年后，有同派的人看到这个标志， 询问事情的经过，厚报房主而去
毕达哥拉斯学派对数学的主要贡献
⑴ 证明了勾股定理及其逆定理．
⑵ 给出了平均数的概念．
⑶ 完全数的概念．
⑷ 形数．
数形结合思想 发展简史
什么是数形结合？
数形结合，主要指的是数与形之间的一一对 应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、 数量关系与直观的几何图形、位置关系结 合起来，通过“以形助数”或“以数解形” 即通过抽象思维与形象思维的结合，可以 使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从 而起到优化解题途径的目的.
毕达哥拉斯及其学派
10数一
毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 形与数的联系 各种正方体 数学与音乐 毕达哥拉斯定理 毕达哥拉斯的数学观、哲学观、宇宙观 第一次数学危机
• 毕达哥拉斯简介 • 毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯居住的地方
爱琴海
简介
毕达哥拉斯(Pythagoras,572 BC?—497 BC?)古希腊数学家、哲学家。无论是解说 外在物质世界，还是描写内在精神世界， 都不能没有数学！最早悟出万事万物背后 都有数的法则在起作用的，是生活在2500 年前的毕达哥拉斯。 毕达哥拉斯出生在爱 琴海中的萨摩斯岛（今希腊东部小岛）， 自幼聪明好学，曾在名师门下学习几何学、 自然科学和哲学。以后因为向往东方的智 慧，经过万水千山来到巴比伦、印度和埃 及（有争议），吸收了阿拉伯文明和印度 文明（公元前480年）。
毕达哥拉斯学派
毕达哥拉斯学派亦称 “南意大利学派”，是一 个集政治、学术、宗教三 位于一体的组织。古希腊 哲学家毕达哥拉斯所创立。 产生于公元前6世纪末， 公元前5世纪被迫解散， 其成员大多是数学家、天 文学家、音乐家。它是西 方美学史上最早探讨美的 本质的学派。
主要观点
• 1.人类幸福只能是人格社会的产物；是新人格，是新生态 和谐共进的结果； • 2.幸福不是宗派神学的禁欲体验，也不是礼教理学的享乐 感受，更不是金钱地位的无限欲望，而是信念和向往实现 的人格满足； • 3.重视人的价值，要求提高人的思维能力及创造性潜力， 鼓励积极作为的人生态度，提倡积极开拓的精神； • 4.人人能够信仰真理； • 5.以真诚的民主来反映现代社会人高智慧的社会存在； • 6.提高人在群体公共事物中的智慧能力，在个人、家庭、 团体、组织、国家、乃至联合国的制度中，让人与人相互 之间的关系和谐发展。 • 7.宗教改革、文艺复兴和法制复兴的终极目标是人的归正。
毕达哥拉斯是死在 意大利科多拿城里， 在一场城市暴力中， 他被人暗杀掉。他的 坟墓现仍在意大利的 这个古山城中，这个 就像中国的馒头式。 二千多年过去了，这 里还保留下来，可见 人们对这学者的重视。
•发展起源 •主要观点 • 规矩 •伟大成就
发展起源
毕达哥拉斯曾旅居埃及，后来又到各 地漫游，很可能还曾去过印度。在他的游 历生活中，他受到当地文化的影响，了解 到许多神秘的宗教仪式，还熟悉了它们与 数的知识及几何规则之间的联系。旅行结 束后，他才返回家乡撒摩斯岛。由于政治 的原因。他后来迁往位于南意大利的希腊 港口克罗内居住。在这里创办了一个研究 哲学、数学和自然科学的团体，后来便发 展成为一个有秘密仪式和严格戒律的宗教 性学派组织。
勾 股 世 界
两千多年前，古希腊有个哥拉 两千多年前，古希腊有个毕达哥拉斯 斯学派，他们首先发现了勾股定理，因此 学派，他们首先发现了勾股定理，因此在 在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯 国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯定 定理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955 理。为了纪念毕达哥拉斯学派，1955年 年希腊曾经发行了一枚纪念票。 希腊曾经发行了一枚纪念邮票。
证明
• 有 • 2E/m+2E/n-E=2 • 整理后，得1/m+1/n=1/2+1/E. • 由于E是正整数，所以1/E>0。因此 • 1/m+1/n>1/2 -------------- ③ • 说明m,n不能同时大于3，否则1/m+1/n<1/2，即 • ③不成立。另一方面，由于m和n的意义（正多面体 一个顶点处的棱数与多边形的边数）知，m≥3且n≥3。因 此m和n至少有一个等于3 • 当m=3时，因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数，所以 n只能是3，4，5 • 同理n=3，m也只能是3，4，5