培优易错试卷二次函数辅导专题训练附答案解析

一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．

（1）求点B ，C 的坐标；

（2）判断△CDB 的形状并说明理由；

（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．

【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；

(Ⅲ)22333(0)221933(3)2

22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩. 【解析】

【分析】

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段：

①当0＜t≤

32时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当32

＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】

解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2

1y x c =--+上， ∴()2

011c =---+，得4c = ∴抛物线解析式为：()2

14y x =--+， 令0x =，得3y =，∴()0,3C ；

令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B .

(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下：

由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4.

如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，

则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.

过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=；

在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=；

在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =

+=+=.

∵222BC CD BD +=，

∴CDB ∆为直角三角形.

(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+，

∵()()3,0,0,3B C ，

∴303k b b +=⎧⎨=⎩

， 解得1,3k b =-=，

∴3y x =-+，

直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，

∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++；

设直线BD 的解析式为y mx n =+，

∵()()3,0,1,4B D ，

∴304

m n m n +=⎧⎨+=⎩，解得：2,6m n =-=， ∴26y x =-+.

连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 在COB ∆向右平移的过程中：

(1)当302

t <≤时，如答图2所示：

设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-.

设QE 与BD 的交点为F ，则：263y x y x t

=-+⎧⎨=-++⎩. 解得32x t y t =-⎧⎨=⎩

， ∴()3,2F t t -.

111222

QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=⋅-⋅-⋅ ()221113333232222

t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当332

t <<时，如答图3所示：

设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J .

∵CQ t =，

∴KQ t =，3PK PB t ==-.

直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-，

∴(),62J t t -.

1122PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=

⋅-⋅ ()()()211362322

t t t =---- 219322

t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：2233302219333222t t t S t t t ⎧⎛⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩

.

2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（2k +1）x +k 2＝0有两个实数根．

（1）求k 的取值范围；

（2）设x 1，x 2是方程两根，且121111

x x k +=-，求k 的值． 【答案】（1）k ≥﹣

14；（2）k

【解析】

【分析】 （1）根据方程有两个实数根可以得到△≥0，从而求得k 的取值范围；（2）利用根与系数的关系将两根之和和两根之积代入代数式求k 的值即可.

【详解】

解：（1）△＝（2k +1）2﹣4k 2＝4k 2+4k +1﹣4k 2＝4k +1

∵△≥0

∴4k +1≥0

∴k ≥﹣14

； （2）∵x 1，x 2是方程两根，

∴x 1+x 2＝2k +1

x 1x 2＝k 2，

又∵121111

x x k +=-， ∴121211

x x x x k +=⋅-，