2020年上海徐汇初三数学一模试卷及答案
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题1．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的2．（4分）如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF B．EF C．CD D．BF3．（4分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．4．（4分）在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A B．cos A C．cot A D．tan A5．（4分）跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A．200米B．400米C．米D．米6．（4分）下列命题中，假命题是（）A．凡有内角为30°的直角三角形都相似B．凡有内角为45°的等腰三角形都相似C．凡有内角为60°的直角三角形都相似D．凡有内角为90°的等腰三角形都相似二、填空题7．（4分）计算：2sin60°﹣cot30°•tan45°＝．8．（4分）如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝厘米．9．（4分）如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是．10．（4分）四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是．11．（4分）已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而．12．（4分）同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是米．13．（4分）一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是米．14．（4分）在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB＝6，AC＝4，BC＝5，AD＝2，AE＝3，那么DE的长是．15．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是．16．（4分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，那么tan C＝．17．（4分）我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE互相垂直于点G，如果BD＝9，CE＝12，那么D、E两点间的距离是．18．（4分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．三、解答题19．（10分）已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．20．（10分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．21．（10分）如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．（参考数据： 1.414， 1.732， 2.449）22．（10分）如图，在△ABC中，AD、BE是△ABC的角平分线，BE＝CE，AB＝2，AC＝3．（1）设，，求向量（用向量、表示）（2）将△ABC沿直线AD翻折后，点B在边AC上的点F重合，联结DF，求S△CDF：S的值．△CEB23．（12分）如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE ＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．24．（12分）如图，将抛物线y x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．25．（14分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC 交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．（4分）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．2．（4分）如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF B．EF C．CD D．BF【解答】解：∵AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF，∴BF＝BD+DF，故选：D．3．（4分）已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，。
2020年上海市中考数学一模试卷及解析
2020年上海市中考一模试卷数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共24分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果BC=5，AB=13，那么sin A的值为()A. 513B. 512C. 1213D. 1252.下列函数中，是二次函数的是()A. y=2x−1B. y=2x2C. y=x2+1D. y=(x−1)2−x23.抛物线y=x2−4x+5的顶点坐标是()A. (−2,1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (2,−1)4.如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，下列各比例式不一定能推得DE//BC的是()A. ADBD =AECEB. ADAB=DEBCC. ABBD =ACCED. ADAB=AEAC5.如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为1：3，它把物体从地面点A处送到离地面3米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为()A. 3√10米B. 2√10米C. √10米D. 9米6.下列说法正确的是()A. a⃗+(−a⃗ )=0B. 如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗C. 如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗D. 如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗二、填空题（本大题共12小题，共48分）7.已知x=3y，那么x+yx+2y=______．8.已知线段AB=2cm，P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，那么线段PA的长度等于______cm．9.如果两个相似三角形对应边之比是2：3，那么它们的对应中线之比是______．10.如果二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，那么k的值是______．11.将抛物线y=−3x2向下平移4个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式为______．12.如果抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，那么这条抛物线的对称轴是直线______．13.二次函数y=−2(x+1)2的图象在对称轴左侧的部分是______.(填“上升”或“下降”)14.如图，在△ABC中，AE是BC边上的中线，点G是△ABC的重心，过点G作GF//AB交BC于点F，那么EFEB=______．15.如图，已知AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，那么线段CE的长度等于______．16.如图，将△ABC沿射线BC方向平移得到△DEF，边DE与AC相交于点G，如果BC=6cm，△ABC的面积等于9cm2，△GEC的面积等于4cm2，那么CF=______cm．17.用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出了如下的表格：x…01234…y=ax2+bx+c…−3010−3…那么当x=5时，该二次函数的值为．18.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=4，点D、E分别是边BC、AB的中点，将△BDE绕着点B旋转，点D、E旋转后的对应点分别为点、，当直线经过点A时，线段的长为______．三、计算题（本大题共1小题，共10分）19.为了测量大楼顶上(居中)避雷针BC的长度，在地面上点A处测得避雷针底部B和顶部C的仰角分别为55°58′和57°，已知点A与楼底中间部位D的距离约为80米，求避雷针BC的长度(参考数据：，，，sin57°≈0.84，tan57°≈1.54)四、解答题（本大题共6小题，共68分） 20. 计算：tan45°−cos60°2sin30∘+cot 260°21. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边AD 上，且AE =2ED ，联结BE 并延长交边CD 的延长线于点F ，设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ． (1)用a ⃗ ，b ⃗ 表示BE⃗⃗⃗⃗⃗ ，DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ； (2)先化简，在求作：(−32a⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )(不要求写作法，但要写明结论)．22. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且AD =3，AC =6，AE =4，AB =8．(1)如果BC =7，求线段DE 的长；(2)设△DEC 的面积为a ，求△BDC 的面积(用a 的代数式表示)．23.如图，已知△ABC和△ADE，点D在BC边上，DA=DC，∠ADE=∠B，边DE与AC相交于点F．(1)求证：AB⋅AD=DF⋅BC；(2)如果AE//BC，求证：BDDC =DFFE．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(−1,0)，B(3,0)，与y轴相交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)联结AC、BC，求∠ACB的正切值；(3)点P在抛物线上，且∠PAB=∠ACB，求点P的坐标．25.在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，D为AB边上一动点(点D与点A、B不重合)，联结CD，过点D作DE⊥DC交边BC于点E．(1)如图，当ED=EB时，求AD的长；(2)设AD=x，BE=y，求y关于x的函数解析式并写出函数定义域；(3)把△BCD沿直线CD翻折得，联结，当是等腰三角形时，直接写出AD的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：如图：在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，sinA=BCAB =513．故选：A．本题可画出三角形，结合图形运用三角函数定义求解．此题考查了三角函数的定义．可借助图形分析，确保正确率．2.【答案】C【解析】解：二次函数的标准形式为y=ax2+bx+c(a≠0)，∴y=x2+1是二次函数，故选：C．根据二次函数的标准形式y=ax2+bx+c(a≠0)，从选项中直接可以求解．本题考查二次函数的定义；熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．3.【答案】B【解析】解：∵y=x2−4x+5=(x−2)2+1，∴顶点坐标为(2,1)，故选：B．利用配方法化成顶点式求解即可．本题考查了二次函数的性质，化成顶点解析式是求抛物线的顶点坐标的一种方法．4.【答案】B【解析】解：∵ADBD =AECE，∴DE//BC，∵ABBD =ACEC，∴DE//BC，∵ADAB =AEAC，∴DE//BC，故选：B．根据平行线分线段成比例定理判断即可．本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5.【答案】A【解析】解：∵BC：AC=1：3，∴3：AC=1：3，∴AC=9，∴AB=√AC2+BC2=√9+81=3√10，∴物体从A到B所经过的路程为3√10，故选：A．由题意可得物体从A到B所经过的路程为AB的长，根据坡比求出AC的长，再根据勾股定理求出AB的长即可．本题考查了轨迹，解直角三角形，知道坡比的概念是解题的关键．6.【答案】D【解析】解：A、a⃗+(−a⃗ )=0，错误应该等于零向量．B、如果a⃗和b⃗ 都是单位向量，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．C、如果|a⃗|=|b⃗ |，那么a⃗=b⃗ ，错误，模相等，方向不一定相同．D、如果a⃗=−12b⃗ (b⃗ 为非零向量)，那么a⃗//b⃗ ，正确，故选：D．根据平面向量的性质一一判断即可．本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．7.【答案】45【解析】解：∵x=3y，∴x+yx+2y =3y+y3y+2y=45．故答案为：45．直接利用已知代入原式求出答案．此题主要考查了比例的性质，正确把x代入是解题关键．8.【答案】√5−1【解析】解：根据黄金分割定义，得PA2=AB⋅PB，PA2=2(2−PA)解得PA=√5−1．故答案为√5−1．根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AP和BP(PA>PB)，且使AP是AB和BP的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点．本题考查了黄金分割，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．9.【答案】2：3【解析】解：∵两个相似三角形对应边之比是2：3，∴它们的对应中线之比是2：3，故答案为：2：3．根据相似三角形对应中线的比等于相似比解答．本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10.【答案】3【解析】解：∵二次函数y=x2−2x+k−3的图象经过原点，∴k−3=0，解得k=3，故答案为：3．将原点坐标(0,0)代入二次函数解析式，列方程求k即可．此题考查了二次函数图象上的点与解析式的关系，将点的坐标代入解析式是解题的关键．11.【答案】y=3x2−4【解析】解：∵抛物线y=−3x2向下平移4个单位，∴抛物线的解析式为y=−3x2−4，故答案为：y=−3x2−4．根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．本题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．12.【答案】x=2【解析】解：∵抛物线经过点A(−1,0)和点B(5,0)，∴抛物线的对称轴为直线x=−1+52=2．故答案为：x=2．根据点A，B的坐标，利用二次函数的性质可求出抛物线的对称轴，此题得解．本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称性，找出抛物线的对称轴是解题的关键．13.【答案】上升【解析】解：∵−2<0，∴二次函数的开口向下，则图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大，故答案为上升．由函数解析式可知二次函数的开口向下，图象在对称轴左侧的部分y随x值的增大而增大．本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键．14.【答案】13【解析】解：∵点G是△ABC的重心，∴GE：AG=1：2，∴GE：AE=1：3，∵GF//AB，△EGF∽△EAB，∴EFEB =GEAE=13，故答案为13．由点G是△ABC的重心，可得GE：AG=1：2，则GE：AE=1：3，再GF//AB，得出结论．本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了相似三角形的判定与性质．15.【答案】72【解析】解：∵AB//CD//EF，AD=6，DF=3，BC=7，∴ADDF =BCCE，即63=7CE，解得：CE=72，故答案为：72根据平行线分线段所得线段对应成比例解答即可．本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵AB//DE，∴△ABC∽△GEC，∴S△GECS△ABC =(ECBC)2=49，∴EC6=23∴EC=4cm，∵EF=BC=6cm，∴CF=EF−EC=6−4=2cm．故答案是：2易证△ABC∽△GEC，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求得EC的长，则CF即可求解．本题考查了平移的性质，以及相似三角形的性质，正确理解性质求得EC的长是关键．17.【答案】−8【解析】解：从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，设y=ax2+bx+c=a(x−2)2+1，从表格可知过点(0,−3)，代入得：−3=a(0−2)2+1，解得：a=−1，即y=−(x−2)2+1，当x=5时，y=−(5−2)2+1=−8，故答案为：−8．从表格可知：抛物线的顶点坐标为(2,1)，抛物线过点(0,−3)，代入求出抛物线的解析式，再把x=5代入函数解析式，即可求出答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出函数的解析式是解此题的关键．18.【答案】2√5或65√5【解析】解：如图1，当点A在的延长线上时，∵∠C=90°，AC=2，BC=4，∴AB=√AC2+BC2=√4+16=2√5，∵点D、E分别是边BC、AB的中点，∴DE//AC，DE=12AC=1，BD=12BC=2，∴∠EDB=∠ACB=90°，∵将△BDE绕着点B旋转，，，，∵在Rt△ABC和中，，AB=BA，∴Rt△ABC≌，，且，∴四边形是平行四边形，且∠ACB=90°，∴四边形是矩形，；如图2，当点A在线段的延长线上时，，，，∵将△BDE绕着点B旋转，，∵BE′AB =12=BD′BC，∽，，，，故答案为：2√5或6√55．分两种情况：①点A在的延长线上时；②点A在线段的延长线上时；然后分类讨论，求出线段BD的长各是多少即可．本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．19.【答案】解：在Rt△ABD中，∵tan∠BAD=BDAD，∴1.48=BD80，∵AD =80米，∴BD =118.4(米)，在Rt △CAD 中，∵tan∠CAD =CDAD ， ∴1.54=CDAD ，∴CD =123.2(米)，∴BC =CD −BD =4.8(米)． 答：避雷针BC 的长度为4.8米．【解析】解直角三角形求出CD ，BD ，根据BC =CD −BD 求解即可．本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．20.【答案】解：原式=1−122×12+(√33)2=12+13=56．【解析】直接利用特殊角的三角函数值进而分别代入求出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 21.【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AB//CD ， ∵AE =2ED ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23b ⃗ ，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +23b ，∵DF ：AB =DE ：AE =1：2， ∴DF =12AB ，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =12a ⃗ ．(2)(−32a ⃗ +b ⃗ )+2(a ⃗ −b ⃗ )=−32a ⃗ +b ⃗ +2a ⃗ −2b ⃗ =12a ⃗ −b⃗ ，取AB 的中点H ，连接HC ，HC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求．【解析】(1)利用三角形的法则以及平行线分线段成比例定理求解即可．(2)先化简，取AB 的中点H ，连接HC ，HC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 即为所求． 本题考查平面向量，平行向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22.【答案】解：(1)∵AEAB =48=12，ADAC=36=12，∴AEAB =ADAC，且∠DAE=∠BAC，∴△ADE∽△ACB，∴ADAC =DEBC=12，∴DE=12BC=12×7=72；(2)∵AE=4，AC=6，∴EC=2=13AC，∴S△ACD=3S△DEC=3a，∵AD=3，AB=8，∴BD=5=53AD，∴S△BDC=53S△ADC=5a．【解析】(1)通过证明△ADE∽△ACB，可求解；(2)由线段的数量关系可求面积关系，即可求解．本题考查了相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ACB是本题的关键．23.【答案】(1)证明：∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，又∵∠ADE=∠B，∴△ABC∽△FDA，∴ABDF =BCAD，∴AB⋅AD=DF⋅BC；(2)证明：∵∠ADE+∠CDF=∠B+∠BAD，∠ADE=∠B，∴∠CDF=∠BAD，∵AE//BC，∴∠E=∠CDF，∠C=∠EAF，∴∠BAD=∠E，又∵∠ADE=∠B，∴△ABD∽△EDA，∴BDAD =ADAE，∵DA=DC，∴∠DAC=∠C，∴∠EAF=∠DAC，即AC平分∠DAE，作FM⊥AD于M，FN⊥AE于N，则FM=FM，∵△ADF的面积△AEF的面积=DFEF=12AD×FM12AE×FN=ADAE，∴BD DC =DFFE ．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出∠DAC =∠C ，由已知∠ADE =∠B ，证明△ABC∽△FDA ，得出ABDF =BCAD ，即可得出结论；(2)由三角形的外角性质得出∠CDF =∠BAD ，由平行线的性质得出∠E =∠CDF ，∠C =∠EAF ，证出∠BAD =∠E ，证明△ABD∽△EDA ，得出BDAD =ADAE ，证出∠EAF =∠DAC ，即AC 平分∠DAE ，作FM ⊥AD 于M ，FN ⊥AE 于N ，则FM =FM ，求出△ADF 的面积△AEF 的面积=DF EF=AD AE，即可得出结论．本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质、平行线的性质、角平分线的性质等知识；证明三角形相似是解题的关键．24.【答案】解：(1)将点A(−1,0)，B(3,0)代入抛物线y =−x 2+bx +c 中， 得{−1−b +c =0−9+3b +c =0， 解得，b =2，c =3，∴抛物线的表达式为y =−x 2+2x +3；(2)∵在y =−x 2+2x +3中，当x =0时，y =3， ∴C(0,3)，∴OC =OB =3，∴△OBC 为等腰直角三角形，∠OBC =45°， ∴BC =√2OC =3√2，如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ， 则∠HAB =∠HBA =45°， ∴△AHB 是等腰直角三角形， ∵AB =4， ∴AH =BH =√22AB =2√2，∴CH =BC −BH =√2， ∴在Rt △AHC 中，tan∠ACH =AH CH=2√2√2=2，即∠ACB 的正切值为2；(3)①如图2，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，则M(a,0)， 由(1)知，tan∠ACB =2， ∴tan∠PAM =2， ∴PMAM =2， ∴−a 2+2a+3a+1=2，解得，a 1=−1(舍去)，a 2=1， ∴P 1(1,4)；②取点P(1,4)关于x 轴的对称点Q(1,−4)，延长AQ 交抛物线于P 2，则此时∠P 2AB =∠PAM =∠ACB ，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，将A(−1,0)，Q(1,−4)代入， 得，{−k +b =0k +b =−4，解得，k =−2，b =−2， ∴y AQ =−2x −2， 联立，{y =−2x −2y =−x 2+2x +3，解得，{x =−1y =0或{x =5y =−12，∴P 2(5,−12)；综上所述，点P 的坐标为(1,4)或(5,−12)．【解析】(1)将点A ，B 坐标代入抛物线y =−x 2+bx +c 即可；(2)如图1，过点A 作AH ⊥BC 于H ，分别证△OBC 和△AHB 是等腰直角三角形，可求出CH ，AH 的长，可在Rt △AHC 中，直接求出∠ACB 的正切值； (3)此问需分类讨论，当∠PAB =∠ACB 时，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，设P(a,−a 2+2a +3)，由同角的三角函数值相等可求出a 的值，由对称性可求出第二种情况．本题考查了待定系数法求解析式，锐角三角函数，交点的坐标等，解题关键是第三问要注意分类讨论思想的运用．25.【答案】解：(1)∵ED =EB ， ∴∠EDB =∠B ， ∵CD ⊥DE ，∴∠CDE =∠A =90°，∵∠ACD +∠ADC =90°，∠ADC +∠EDH =90°， ∴∠ACD =∠EDB =∠B ， ∴tan∠ACD =tan∠B ， ∴AD AC =AC AB ，∴AD 3=34， ∴AD =94．(2)如图1中，作EH ⊥BD 于H ．在Rt △ACB 中，∵∠A =90°，AC =3，AB =4， ∴BC =√AC 2+BC 2=√32+42=5， ∵BE =y ，∴EH =35y ，BH =45y ，DH =AB −AD −BH =4−x −45y ， ∵∠A =∠DHE =90°，∠ACD =∠EDH ， ∴△ACD∽△HDE ， ∴ACDH =AD EH ，∴34−x−45y=x35y， ∴y =20x−5x 29+4x(0<x <4)．(3)①如图3−1中，设CB′交AB 于K ，作AE ⊥CK 于E ，DM ⊥CB′于M ，DN ⊥BC 于N∵AC =AB =3，AE ⊥CB′， ∴CE =EB′=12CB′=52，∴AE =√AC 2−CE 2=√32−(52)2=√112， 由△ACE∽△KCA ， 可得AK =3√115，CK =185，∴BK =AB −AK =4−3√115， ∵∠DCK =∠DCB ，DM ⊥CM ，DN ⊥CB ， ∴DM =DN ， ∴S △CDKS△CDB=DKDB =12⋅CK⋅DM 12⋅BC⋅DN =CKCB =1855=1825，∴BD =2543BK =10043−1543√11，∴AD =AB −BD =4−(10043−15√1143)=7243+15√1143．②如图3−2中，当CB′交BA 的延长线于K 时，同法可得BD =2543BK =10043+15√1143，∴AD =AB −BD =7243−15√1143．【解析】(1)证明∠ACD=∠EDB=∠B，推出tan∠ACD=tan∠B，可得ADAC =ACAB，由此构建方程即可解决问题．(2)如图1中，作EH⊥BD于H.证明△ACD∽△HDE，推出ACDH =ADEH，由此构建关系式即可解决问题．(3)分两种情形：①如图3−1中，设CB′交AB于K，作AE⊥CK于E，DM⊥CB′于M，DN⊥BC于N.利用角平分线的性质定理求出BD即可．②如图3−2中，当CB′交BA的延长线于K时，同法可得BD．本题属于几何变换综合题，考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。
上海市徐汇区2019-2020学年中考一诊数学试题含解析
上海市徐汇区2019-2020学年中考一诊数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若30m n +-=，则222426m mn n ++-的值为（ ）A ．12B ．2C ．3D ．02．射击训练中，甲、乙、丙、丁四人每人射击10次，平均环数均为8.7环，方差分别为 2s 0.51=甲，2s 0.62=乙，2s 0.48=丙，2s 0.45=丁，则四人中成绩最稳定的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁3．在一个不透明的口袋中装有4个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同．通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，则口袋中白球可能有( )A ．16个B ．15个C ．13个D ．12个4．某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为（ ）A ．10000x ﹣10=147000(140)0x + B ．10000x +10=147000(140)0x + C ．100000(140)0x -﹣10=14700x D ．100000(140)0x -+10=14700x 5．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( ) A ．k<5 B ．k<5，且k≠1 C ．k≤5，且k≠1 D ．k>56．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：弧①是以O 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧②是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧③是以A 为圆心，任意长为半径所画的弧；弧④是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．17．把抛物线y ＝﹣2x 2向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到的抛物线是（ ） A ．y ＝﹣2（x+1）2+1B ．y ＝﹣2（x ﹣1）2+1C ．y ＝﹣2（x ﹣1）2﹣1D ．y ＝﹣2（x+1）2﹣18．某种品牌手机经过二、三月份再次降价，每部售价由1000元降到810元，则平均每月降价的百分率为（）A．20% B．11% C．10% D．9.5%9．如图，已知二次函数y=ax2+bx的图象与正比例函数y=kx的图象相交于点A（1，2），有下面四个结论：①ab＞0；②a﹣b＞﹣23；③sinα=213；④不等式kx≤ax2+bx的解集是0≤x≤1．其中正确的是（）A．①②B．②③C．①④D．③④10．某种商品的进价为800元，出售时标价为1200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则至多可打（）A．6折B．7折C．8折D．9折11．在中国集邮总公司设计的2017年纪特邮票首日纪念截图案中，可以看作中心对称图形的是（）A．千里江山图B．京津冀协同发展C．内蒙古自治区成立七十周年D．河北雄安新区建立纪念12．方程的解为（ ）A ．x=﹣1B ．x=1C ．x=2D ．x=3二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，在平行四边ABCD 中，AD=2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论中一定成立的是（把所有正确结论的序号都填在横线上）∠DCF=∠BCD ，（2）EF=CF ；（3）S ΔBEC =2S ΔCEF ；（4）∠DFE=3∠AEF14．因式分解：（a+1）（a ﹣1）﹣2a+2＝_____．15．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，AB ＝8，∠CBA ＝30°，点D 在线段AB 上运动，点E 与点D 关于AC 对称，DF ⊥DE 于点D ，并交EC 的延长线于点F ．下列结论：①CE ＝CF ；②线段EF 的最小值为23；③当AD ＝2时，EF 与半圆相切；④若点F 恰好落在BC 上，则AD ＝25；⑤当点D 从点A 运动到点B 时，线段EF 扫过的面积是163．其中正确结论的序号是 ．16．如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2（x≥0）和抛物线C 2：y ＝24x （x≥0）交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 2交于点C 、D ，过点B 作EF ∥x 轴分别与y 轴和抛物线C 1交于点E 、F ，则OFB EADS S V V 的值为_____．17．如图所示，过y 轴正半轴上的任意一点P ，作x 轴的平行线，分别与反比例函数的图象交于点A 和点B ，若点C 是x 轴上任意一点，连接AC 、BC ，则△ABC 的面积为_________．18．计算两个两位数的积，这两个数的十位上的数字相同，个位上的数字之和等于1．53×57=3021，38×32=1216，84×86=7224，71×79=2．（1）你发现上面每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的，请写出一个符合上述规律的算式．（2）设其中一个数的十位数字为a，个位数字为b，请用含a，b的算式表示这个规律．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某工厂计划生产A、B两种产品共60件，需购买甲、乙两种材料．生产一件A产品需甲种材料4千克，乙种材料1千克；生产一件B产品需甲、乙两种材料各3千克．经测算，购买甲、乙两种材料各1千克共需资金60元；购买甲种材料2千克和乙种材料3千克共需资金155元．（1）甲、乙两种材料每千克分别是多少元？（2）现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不能超过10000元，且生产B产品要超过38件，问有哪几种符合条件的生产方案？（3）在（2）的条件下，若生产一件A产品需加工费40元，若生产一件B产品需加工费50元，应选择哪种生产方案，才能使生产这批产品的成本最低？请直接写出方案．20．（6分）一道选择题有,,,A B C D四个选项.（1）若正确答案是A，从中任意选出一项，求选中的恰好是正确答案A的概率；（2）若正确答案是,A B，从中任意选择两项，求选中的恰好是正确答案,A B的概率.21．（6分）如果a2+2a-1=0，求代数式24()2aaa a-⋅-的值.22．（8分）已知：如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在AB，CD边上，BE=DF，连接CE，AF．求证：AF=CE．23．（8分）在矩形ABCD中，两条对角线相交于O，∠AOB=60°，AB=2，求AD的长．24．（10分）某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．(1)若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？(2)设后来该商品每件降价x 元，商场一天可获利润y 元．求出y 与x 之间的函数关系式，并求当x 取何值时，商场获利润最大？25．（10分）已知抛物线y=﹣x 2﹣4x+c 经过点A （2，0）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）若点B （m ，n ）是抛物线上的一动点，点B 关于原点的对称点为C ．①若B 、C 都在抛物线上，求m 的值；②若点C 在第四象限，当AC 2的值最小时，求m 的值．26．（12分）如图，一位测量人员，要测量池塘的宽度 AB 的长，他过 A B 、 两点画两条相交于点 O 的射线，在射线上取两点 D E 、 ，使 13OD OE OB OA == ，若测得 37.2DE = 米，他能求出 A B 、 之间的距离吗？若能，请你帮他算出来；若不能，请你帮他设计一个可行方案．27．（12分）如图，△ABC 和△ADE 分别是以BC ，DE 为底边且顶角相等的等腰三角形，点D 在线段BC 上，AF 平分DE 交BC 于点F ，连接BE ，EF ．CD 与BE 相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由；若∠BAC=90°，求证：BF 1+CD 1=FD 1．参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．A【解析】【分析】先根据30m n +-=得出3m n +=，然后利用提公因式法和完全平方公式2222()a ab b a b ++=+对222426m mn n ++-进行变形，然后整体代入即可求值．【详解】∵30m n +-=，∴3m n +=，∴222224262()623612m mn n m n ++-=+-=⨯-=．故选：A ．【点睛】本题主要考查整体代入法求代数式的值，掌握完全平方公式和整体代入法是解题的关键．2．D【解析】【分析】根据方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好可得答案．【详解】∵0.45＜0.51＜0.62，∴丁成绩最稳定，故选D ．【点睛】此题主要考查了方差，关键是掌握方差越小，稳定性越大．3．D【解析】【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】解：设白球个数为：x 个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%， ∴4144x =+ ， 解得：x=12，经检验x=12是原方程的根，故白球的个数为12个．故选：D ．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题的关键．4．B【解析】【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【详解】解：设第一批购进x 件衬衫，则所列方程为：10000x +10=()1470001400x +． 故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，正确找出等量关系是解题关键．5．B【解析】试题解析：∵关于x 的一元二次方程方程()21410k x x -++=有两个不相等的实数根，∴100k -≠⎧⎨∆>⎩，即()2104410k k -≠⎧⎨-->⎩，解得：k ＜5且k≠1．故选B ． 6．C【解析】【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O 为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P 为圆心，大于点P 到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A 为圆心，大于12AB 的长为半径所画的弧，错误； （4）弧④是以P 为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C ．【点睛】此题主要考查了基本作图，解决问题的关键是掌握基本作图的方法．7．B【解析】【详解】∵函数y=-2x 2的顶点为（0，0），∴向上平移1个单位，再向右平移1个单位的顶点为（1，1），∴将函数y=-2x 2的图象向上平移1个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线的解析式为y=-2（x-1）2+1， 故选B ．【点睛】二次函数的平移不改变二次项的系数；关键是根据上下平移改变顶点的纵坐标，左右平移改变顶点的横坐标得到新抛物线的顶点．8．C【解析】【分析】设二，三月份平均每月降价的百分率为x ，则二月份为1000(1)x -，三月份为21000(1)x -，然后再依据第三个月售价为1，列出方程求解即可.【详解】解：设二，三月份平均每月降价的百分率为x ．根据题意，得21000(1)x -=1．解得10.1x =，2 1.9x =-（不合题意，舍去）．答：二，三月份平均每月降价的百分率为10%【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关于降价百分比的问题：若原数是a ，每次降价的百分率为a ，则第一次降价后为a （1-x ）；第二次降价后后为a （1-x ）2,即：原数x （1-降价的百分率）2=后两次数. 9．B【解析】【分析】根据抛物线图象性质确定a 、b 符号，把点A 代入y=ax 2+bx 得到a 与b 数量关系，代入②，不等式kx≤ax 2+bx的解集可以转化为函数图象的高低关系．【详解】解：根据图象抛物线开口向上，对称轴在y 轴右侧，则a ＞0，b ＜0，则①错误将A （1，2）代入y=ax 2+bx ，则2=9a+1b∴b=233a -， ∴a ﹣b=a ﹣（233a -）=4a ﹣23＞-23，故②正确；由正弦定义13==，则③正确； 不等式kx≤ax 2+bx 从函数图象上可视为抛物线图象不低于直线y=kx 的图象则满足条件x 范围为x≥1或x≤0，则④错误．故答案为：B ．【点睛】二次函数的图像，sinα公式，不等式的解集．10．B【解析】【详解】设可打x 折，则有1200×10x -800≥800×5%， 解得x≥1．即最多打1折．故选B ．【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解此类题目时注意利润和折数，计算折数时注意要除以2．解答本题的关键是读懂题意，求出打折之后的利润，根据利润率不低于5%，列不等式求解．11．C【解析】【分析】根据中心对称图形的概念求解．【详解】解：A 选项是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误；B 选项不是中心对称图形，故本选项错误；C 选项为中心对称图形，故本选项正确；D 选项不是中心对称图形，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题主要考查了中心对称图形的概念：关键是找到相关图形的对称中心，旋转180度后与原图重合． 12．B【解析】【分析】观察可得最简公分母是（x-3）（x+1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【详解】方程的两边同乘(x−3)(x+1)，得(x−2) (x+1)=x(x−3)，，解得x=1.检验：把x=1代入(x−3)(x+1)=-4≠0.∴原方程的解为：x=1.故选B.【点睛】本题考查的知识点是解分式方程，解题关键是注意解得的解要进行检验.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．①②④【解析】试题解析：①∵F是AD的中点，∴AF=FD，∵在▱ABCD中，AD=2AB，∴AF=FD=CD，∴∠DFC=∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC=∠FCB，∴∠DCF=∠BCF，∴∠DCF=12∠BCD，故此选项正确；延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A=∠MDF，∵F为AD中点，∴AF=FD，在△AEF和△DFM中，{A FDM AF DFAFE DFM∠=∠=∠=∠，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE=MF，∠AEF=∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC=90°，∴∠AEC=∠ECD=90°，∵FM=EF，∴FC=FM，故②正确；③∵EF=FM，∴S△EFC=S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC故S△BEC=2S△CEF错误；④设∠FEC=x，则∠FCE=x，∴∠DCF=∠DFC=90°-x，∴∠EFC=180°-2x，∴∠EFD=90°-x+180°-2x=270°-3x，∵∠AEF=90°-x，∴∠DFE=3∠AEF，故此选项正确．考点：1.平行四边形的性质；2.全等三角形的判定与性质；3.直角三角形斜边上的中线．14．（a﹣1）1．【解析】【分析】提取公因式（a−1），进而分解因式得出答案．【详解】解：（a+1）（a﹣1）﹣1a+1＝（a+1）（a﹣1）﹣1（a﹣1）＝（a﹣1）（a+1﹣1）＝（a﹣1）1．故答案为：（a﹣1）1．【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，找出公因式是解题关键．15．①③⑤.【解析】试题分析：①连接CD，如图1所示，∵点E与点D关于AC对称，∴CE=CD，∴∠E=∠CDE，∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴∠E+∠F=90°，∠CDE+∠CDF=90°，∴∠F=∠CDF，∴CD=CF，∴CE=CD=CF，∴结论“CE=CF”正确；②当CD⊥AB时，如图2所示，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵AB=8，∠CBA=30°，∴∠CAB=60°，AC=4，BC=43．∵CD⊥AB，∠CBA=30°，∴CD=12BC=23．根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点D在线段AB上运动时，CD的最小值为23．∵CE=CD=CF，∴EF=2CD．∴线段EF的最小值为43．∴结论“线段EF的最小值为23”错误；③当AD=2时，连接OC，如图3所示，∵OA=OC，∠CAB=60°，∴△OAC是等边三角形，∴CA=CO，∠ACO=60°，∵AO=4，AD=2，∴DO=2，∴AD=DO，∴∠ACD=∠OCD=30°，∵点E与点D关于AC 对称，∴∠ECA=∠DCA，∴∠ECA=30°，∴∠ECO=90°，∴OC⊥EF，∵EF经过半径OC的外端，且OC⊥EF，∴EF与半圆相切，∴结论“EF与半圆相切”正确；④当点F恰好落在»BC上时，连接FB、AF，如图4所示，∵点E与点D关于AC对称，∴ED⊥AC，∴∠AGD=90°，∴∠AGD=∠ACB，∴ED∥BC，∴△FHC∽△FDE，∴FH：FD=FC：FE，∵FC=12 EF，∴FH=12FD，∴FH=DH，∵DE∥BC，∴∠FHC=∠FDE=90°，∴BF=BD，∴∠FBH=∠DBH=30°，∴∠FBD=60°，∵AB是半圆的直径，∴∠AFB=90°，∴∠FAB=30°，∴FB=12AB=4，∴DB=4，∴AD=AB﹣DB=4，∴结论“AD=25”错误；⑤∵点D与点E关于AC对称，点D与点F关于BC对称，∴当点D从点A运动到点B时，点E的运动路径AM与AB关于AC对称，点F的运动路径NB与AB关于BC对称，∴EF扫过的图形就是图5中阴影部分，∴S阴影=2S△ABC=2×12AC•BC=AC•BC=4×43=163，∴EF扫过的面积为163，∴结论“EF扫过的面积为163”正确．故答案为①③⑤．考点：1．圆的综合题；2．等边三角形的判定与性质；3．切线的判定；4．相似三角形的判定与性质．16．1 6【解析】【分析】根据二次函数的图象和性质结合三角形面积公式求解. 【详解】解：设点A B 、横坐标为a ，则点A 纵坐标为2a ，点B 的纵坐标为24a ， ∵BE ∥x 轴，∴点F 纵坐标为24a ， ∵点F 是抛物线2y x =上的点，∴点F横坐标为12x a ==， ∵CD x P 轴，∴点D 纵坐标为2a ， ∵点D 是抛物线24x y =上的点， ∴点D横坐标为2x a ==，22131,,,244AD a BF a CE a OE a ∴==== ∴1141218362OFB EAD BF OE S S AD CE ⋅⋅==⨯=⋅⋅V V ， 故答案为16． 【点睛】此题重点考查学生对二次函数的图象和性质的应用能力，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键. 17．1．【解析】【详解】设P （0，b ），∵直线APB ∥x 轴，∴A ，B 两点的纵坐标都为b ，而点A 在反比例函数y=4x -的图象上， ∴当y=b ，x=-4b ，即A 点坐标为（-4b，b ）， 又∵点B 在反比例函数y=2x的图象上， ∴当y=b ，x=2b ，即B 点坐标为（2b，b ）， ∴AB=2b -（-4b ）=6b，∴S△ABC=12•AB•OP=12•6b•b=1．18．(1)十位和个位，44×46=2024；(2) 10a（a+1）+b（1﹣b）【解析】分析：(1)、根据题意得出其一般性的规律，从而得出答案；(2)、利用代数式表示出其一般规律得出答案．详解：（1）由已知等式知，每个数的积的规律是：十位数字乘以十位数字加一的积作为结果的千位和百位，两个个位数字相乘的积作为结果的十位和个位，例如：44×46=2024，（2）（1a+b）（1a+1﹣b）=10a（a+1）+b（1﹣b）．点睛：本题主要考查的是规律的发现与整理，属于基础题型．找出一般性的规律是解决这个问题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元．（2）共有四种方案；（3）生产A产品21件，B 产品39件成本最低．【解析】试题分析：(1)、首先设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，根据题意列出二元一次方程组得出答案；(2)、设生产B产品a件，则A产品(60－a)件，根据题意列出不等式组，然后求出a的取值范围，得出方案；得出生产成本w与a的函数关系式，根据函数的增减性得出答案.试题解析：（1）设甲种材料每千克x元，乙种材料每千克y元，依题意得：解得：答：甲种材料每千克25元，乙种材料每千克35元.（2）生产B产品a件，生产A产品（60-a）件. 依题意得：解得：∵a的值为非负整数∴a=39、40、41、42∴共有如下四种方案：A种21件，B种39件；A种20件，B种40件；A种19件，B种41件；A种18件，B种42件(3)、答：生产A产品21件，B产品39件成本最低.设生产成本为W元，则W与a的关系式为：w=(25×4+35×1+40)(60－a)+(35×+25×3+50)a=55a+10500∵k=55>0 ∴W随a增大而增大∴当a=39时，总成本最低.考点：二元一次方程组的应用、不等式组的应用、一次函数的应用.20．（1）14;（2）16【解析】【分析】（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选中的恰好是正确答案A ，B 的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：（1）选中的恰好是正确答案A 的概率为14； （2）画树状图：共有12种等可能的结果数，其中选中的恰好是正确答案A ，B 的结果数为2，所以选中的恰好是正确答案A ，B 的概率=21126=． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．21．1【解析】 221a a +=2224422a a a a a a a a -⎛⎫-⋅= ⎪--⎝⎭n =()()()()2222222a a a a a a a a a +-=+=+-=1. 故答案为1.22．证明见解析.【解析】试题分析：根据矩形的性质得出DC //,AB ,DC AB =求出,CF AE =CF //,AE 根据平行四边形的判定得出四边形AFCE 是平行四边形,即可得出答案.试题解析：∵四边形ABCD 是矩形，∴DC //,AB ,DC AB =∴CF //,AEDF BE =Q ，CF AE ，∴= ∴四边形AFCE 是平行四边形，.AF CE ∴=点睛：平行四边形的判定：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.23．【解析】试题分析：由矩形的对角线相等且互相平分可得：OA=OB=OD，再由∠AOB=60°可得△AOB是等边三角形，从而得到OB=OA=2，则BD=4，最后在Rt△ABD中，由勾股定理可解得AD的长.试题解析：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB=OD，∠BAD=90°，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等边三角形，∴OB=OA=2，∴BD=2OB=4，在Rt△ABD中∴=24．（1）商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）y=﹣10x2+100x+2000，当x=5时，商场获取最大利润为2250元．【解析】【分析】（1）根据“总利润=每件的利润×每天的销量”列方程求解可得；（2）利用（1）中的相等关系列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．【详解】解：（1）依题意得：（100﹣80﹣x）（100+10x）=2160，即x2﹣10x+16=0，解得：x1=2，x2=8，经检验：x1=2，x2=8，答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元；（2）依题意得：y=（100﹣80﹣x）（100+10x）=﹣10x2+100x+2000=﹣10（x﹣5）2+2250，∵﹣10＜0，∴当x=5时，y取得最大值为2250元．答：y=﹣10x2+100x+2000，当x=5时，商场获取最大利润为2250元．【点睛】本题考查二次函数的应用和一元二次方程的应用，解题关键是由题意确定题目蕴含的相等关系，并据此列出方程或函数解析式．25．（1）抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12，顶点坐标为（﹣2，16）；（2）①m=23或m=﹣23；②m的值为462--．【解析】分析：（1）把点A（2，0）代入抛物线y=﹣x2﹣4x+c中求得c的值，即可得抛物线的解析式，根据抛物线的解析式求得抛物线的顶点坐标即可；（2）①由B（m，n）在抛物线上可得﹣m2﹣4m+12=n，再由点B关于原点的对称点为C，可得点C的坐标为（﹣m，﹣n），又因C落在抛物线上，可得﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，所以﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，解方程求得m的值即可；②已知点C（﹣m，﹣n）在第四象限，可得﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，再由抛物线顶点坐标为（﹣2，16），即可得0＜n≤16，因为点B在抛物线上，所以﹣m2﹣4m+12=n，可得m2+4m=﹣n+12，由A（2，0），C（﹣m，﹣n），可得AC2=（﹣m﹣2）2+（﹣n）2=m2+4m+4+n2=n2﹣n+16=（n﹣）2+，所以当n=时，AC2有最小值，即﹣m2﹣4m+12=，解方程求得m的值，再由m＜0即可确定m的值．详解：（1）∵抛物线y=﹣x2﹣4x+c经过点A（2，0），∴﹣4﹣8+c=0，即c=12，∴抛物线解析式为y=﹣x2﹣4x+12=﹣（x+2）2+16，则顶点坐标为（﹣2，16）；（2）①由B（m，n）在抛物线上可得：﹣m2﹣4m+12=n，∵点B关于原点的对称点为C，∴C（﹣m，﹣n），∵C落在抛物线上，∴﹣m2+4m+12=﹣n，即m2﹣4m﹣12=n，解得：﹣m2+4m+12=m2﹣4m﹣12，解得：m=2或m=﹣2；②∵点C（﹣m，﹣n）在第四象限，∴﹣m＞0，﹣n＜0，即m＜0，n＞0，∵抛物线顶点坐标为（﹣2，16），∴0＜n≤16，∵点B在抛物线上，∴﹣m 2﹣4m+12=n ，∴m 2+4m=﹣n+12，∵A （2，0），C （﹣m ，﹣n ），∴AC 2=（﹣m ﹣2）2+（﹣n ）2=m 2+4m+4+n 2=n 2﹣n+16=（n ﹣）2+，当n=时，AC 2有最小值，∴﹣m 2﹣4m+12=，解得：m=， ∵m ＜0，∴m=不合题意，舍去， 则m 的值为． 点睛：本题是二次函数综合题，第（1）问较为简单，第（2）问根据点B （m ，n ）关于原点的对称点C （-m ，-n ）均在二次函数的图象上，代入后即可求出m 的值即可；（3）确定出AC 2与n 之间的函数关系式，利用二次函数的性质求得当n=12时，AC 2有最小值，在解方程求得m 的值即可. 26．可以求出A 、B 之间的距离为111.6米.【解析】【分析】 根据OD OE OB OA=，AOB EOD ∠=∠（对顶角相等），即可判定AOB EOD V V ∽，根据相似三角形的性质得到13DE OE AB OA ==，即可求解. 【详解】 解：∵OD OE OB OA=，AOB EOD ∠=∠（对顶角相等）， ∴AOB EOD V V ∽， ∴13DE OE AB OA ==， ∴37.213AB =， 解得111.6AB =米．所以，可以求出A 、B 之间的距离为111.6米【点睛】考查相似三角形的应用，掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键.27．（1）CD=BE ，理由见解析；（1）证明见解析.【解析】【分析】（1）由两个三角形为等腰三角形可得AB＝AC，AE＝AD，由∠BAC＝∠EAD可得∠EAB＝∠CAD，根据“SAS”可证得△EAB≌△CAD，即可得出结论；（1）根据（1）中结论和等腰直角三角形的性质得出∠EBF＝90°，在Rt△EBF中由勾股定理得出BF1＋BE1＝EF1，然后证得EF＝FD，BE＝CD，等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）CD＝BE，理由如下：∵△ABC和△ADE为等腰三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠EAD＝∠BAC，∴∠EAD﹣∠BAD＝∠BAC﹣∠BAD，即∠EAB＝∠CAD，在△EAB与△CAD中AE ADEAB CAD AB AC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△EAB≌△CAD，∴BE＝CD；（1）∵∠BAC＝90°，∴△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABF＝∠C＝45°，∵△EAB≌△CAD，∴∠EBA＝∠C，∴∠EBA＝45°，∴∠EBF＝90°，在Rt△BFE中，BF1＋BE1＝EF1，∵AF平分DE，AE＝AD，∴AF垂直平分DE，∴EF＝FD，由（1）可知，BE＝CD，∴BF1＋CD1＝FD1．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，结合题意寻找出三角形全等的条件是解决此题的关键．。
〖汇总3套试卷〗上海市徐汇区2020年中考数学联合模拟试题及答案
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，将图1中阴影部分拼成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，可以验证下列哪个计算公式（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2C．（a+b）2＝a2+2ab+b2D．（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab【答案】B【解析】根据图形确定出图1与图2中阴影部分的面积，由此即可解答．【详解】∵图1中阴影部分的面积为：（a﹣b）2；图2中阴影部分的面积为：a2﹣2ab+b2；∴（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选B．【点睛】本题考查了完全平方公式的几何背景，用不同的方法表示出阴影部分的面积是解题的关键．2．某车间需加工一批零件，车间20名工人每天加工零件数如表所示：每天加工零件数4 5 6 7 8人数 3 6 5 4 2每天加工零件数的中位数和众数为( )A．6，5 B．6，6 C．5，5 D．5，6【答案】A【解析】根据众数、中位数的定义分别进行解答即可．【详解】由表知数据5出现了6次，次数最多，所以众数为5；因为共有20个数据，所以中位数为第10、11个数据的平均数，即中位数为662=6，故选A．【点睛】本题考查了众数和中位数的定义．用到的知识点：一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 3．已知抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，顶点为（4，6），则下列说法错误的是（ ）A ．b 2＞4acB ．ax 2+bx+c≤6C ．若点（2，m ）（5，n ）在抛物线上，则m ＞nD ．8a+b=0 【答案】C【解析】观察可得，抛物线与x 轴有两个交点，可得240b ac- ，即24b ac > ，选项A 正确；抛物线开口向下且顶点为（4，6）可得抛物线的最大值为6，即26ax bx c ++≤，选项B 正确；由题意可知抛物线的对称轴为x=4，因为4-2=2，5-4=1，且1<2，所以可得m<n ，选项C 错误； 因对称轴42bx a=-= ，即可得8a+b=0，选项D 正确，故选C.点睛：本题主要考查了二次函数y=ax 2+bx+c 图象与系数的关系，解决本题的关键是从图象中获取信息，利用数形结合思想解决问题，本题难度适中．4．已知二次函数y=（x+m ）2–n 的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y=mnx的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】试题解析：观察二次函数图象可知： 00m n ，， ∴一次函数y=mx+n 的图象经过第一、二、四象限,反比例函数mny x=的图象在第二、四象限. 故选D.5．对于命题“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题的是（ ） A ．∠1＝50°，∠1＝40°B ．∠1＝40°，∠1＝50°C．∠1＝30°，∠1＝60°D．∠1＝∠1＝45°【答案】D【解析】能说明是假命题的反例就是能满足已知条件，但不满足结论的例子．【详解】“如果∠1+∠1＝90°，那么∠1≠∠1．”能说明它是假命题为∠1＝∠1＝45°．故选：D．【点睛】考查了命题与定理的知识，理解能说明它是假命题的反例的含义是解决本题的关键．6．甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）A．1101002x x=+B．1101002x x=+C．1101002x x=-D．1101002x x=-【答案】A【解析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：1102 x+=100x，故选A．7．△ABC在正方形网格中的位置如图所示，则cosB的值为( )A．5B．25C．12D．2【答案】A【解析】解：在直角△ABD中，BD=2，AD=4，则AB=22222425BD AD+=+=，则cosB=525BDAB==．故选A．8．下列计算正确的是（ ）A =B ．a a a +=222C ．(1)x y x xy +=+D ．236()mn mn =【答案】C【解析】解：A 、不是同类二次根式，不能合并，故A 错误； B ．23a a a += ，故B 错误；C ．1x y x xy +=+（） ，正确； D ．2326mn m n =（），故D 错误．故选C ．9．夏新同学上午卖废品收入13元，记为+13元，下午买旧书支出9元，记为（ ）元． A ．+4 B ．﹣9 C ．﹣4 D ．+9 【答案】B【解析】收入和支出是两个相反的概念，故两个数字分别为正数和负数. 【详解】收入13元记为＋13元，那么支出9元记作－9元 【点睛】本题主要考查了正负数的运用，熟练掌握正负数的概念是本题的关键. 10．若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋32ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为（ ） A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4【答案】C【解析】试题解析：∵x=-2是关于x 的一元二次方程22302x ax a +-=的一个根， ∴（-2）2+32a×（-2）-a 2=0，即a 2+3a-2=0， 整理，得（a+2）（a-1）=0， 解得 a 1=-2，a 2=1． 即a 的值是1或-2． 故选A ．点睛：一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．二、填空题（本题包括8个小题）11．计算：=______． 【答案】13【解析】分析：先把括号内的二次根式进行化简，然后再利用乘法分配律进行计算即可得解.详解：原式=626+6（）=12+1=13.点睛：考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．12．一名模型赛车手遥控一辆赛车，先前进1m，然后，原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)．被称为一次操作．若五次操作后，发现赛车回到出发点，则角α为【答案】7 2°或144°【解析】∵五次操作后，发现赛车回到出发点，∴正好走了一个正五边形，因为原地逆时针方向旋转角a(0°<α<180°)，那么朝左和朝右就是两个不同的结论所以∴角α=（5-2）•180°÷5=108°,则180°-108°=72°或者角α=（5-2）•180°÷5=108°，180°-72°÷2=144°13．观光塔是潍坊市区的标志性建筑.为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端Ａ点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB 约是45 m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是______m.【答案】135【解析】试题分析：根据题意可得：∠BDA=30°,∠DAC =60°,在Rt△ABD中，因为AB=45m，所以AD=453m，所以在Rt△ACD中，34533=135m．考点：解直角三角形的应用．14．△ABC中，∠A、∠B都是锐角，若sinA＝32，cosB＝12，则∠C＝_____．【答案】60°．【解析】先根据特殊角的三角函数值求出∠A、∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠C即可作出判断．【详解】∵△ABC中，∠A、∠B都是锐角3cosB=12，∴∠A=∠B=60°．∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-60°=60°．故答案为60°．【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值及三角形内角和定理，比较简单．15．分解因式：x2－9＝_ ▲．【答案】(x＋3)(x－3)【解析】x2-9=（x+3）（x-3），故答案为（x+3）（x-3）.16．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为_____度（只需写出0°～90°的角度）．【答案】1．【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=65°，因而∠PAB=90°﹣65°=25°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是1°，因而P在大量角器上对应的度数为1°．故答案为1．17．如图，在△ABC中，∠C=120°，AB=4cm，两等圆⊙A与⊙B外切，则图中两个扇形的面积之和（即阴影部分）为cm2（结果保留π）.【答案】23π.【解析】图中阴影部分的面积就是两个扇形的面积,圆A，B的半径为2cm，则根据扇形面积公式可得阴影面积．【详解】()2260423603603A Bπππ∠+∠⨯⨯==（cm2）.故答案为23π. 考点：1、扇形的面积公式；2、两圆相外切的性质. 18．27的立方根为 ． 【答案】1【解析】找到立方等于27的数即可． 解：∵11=27， ∴27的立方根是1， 故答案为1．考查了求一个数的立方根，用到的知识点为：开方与乘方互为逆运算 三、解答题（本题包括8个小题）19．2018年10月23日，港珠澳大桥正式开通，成为横亘在伶仃洋上的一道靓丽的风景线.大桥主体工程隧道的东、西两端各设置了一个海中人工岛，来衔接桥梁和海地隧道，西人工岛上的A 点和东人工岛上的B 点间的距离约为5.6千米，点C 是与西人工岛相连的大桥上的一点，A ，B ，C 在一条直线上.如图，一艘观光船沿与大桥AC 段垂直的方向航行，到达P 点时观测两个人工岛，分别测得PA ，PB 与观光船航向PD 的夹角18DPA ∠=︒，53DPB ∠=︒，求此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长（参考数据：180.31sin ︒≈，180.95cos ︒≈，180.33tan ︒≈，530.80sin ︒≈，530.60cos ︒≈，53 1.33tan ︒≈）.【答案】5.6千米【解析】设PD 的长为x 千米，DA 的长为y 千米，在Rt △PAD 中利用正切的定义得到tan18°=yx，即y=0.33x ，同样在Rt △PDB 中得到y+5.6=1.33x ，所以0.33x+5.6=1.33x ，然后解方程求出x 即可． 【详解】设PD 的长为x 千米，DA 的长为y 千米， 在Rt △PAD 中，tan ∠DPA=DADP， 即tan18°=y x， ∴y=0.33x ，在Rt △PDB 中，tan ∠DPB=64 5.6g )56x ⨯-（，即tan53°=5.6y x+， ∴y+5.6=1.33x ，∴0.33x+5.6=1.33x ，解得x=5.6，答：此时观光船到大桥AC 段的距离PD 的长为5.6千米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用：根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案．20．如图，在长方形OABC 中，O 为平面直角坐标系的原点，点A 坐标为（a ，0），点C 的坐标为（0，b ），且a 、b 满足4a -+|b ﹣6|=0，点B 在第一象限内，点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O ﹣C ﹣B ﹣A ﹣O 的线路移动．a= ，b= ，点B 的坐标为 ；当点P 移动4秒时，请指出点P 的位置，并求出点P 的坐标；在移动过程中，当点P 到x 轴的距离为5个单位长度时，求点P 移动的时间．【答案】（1）4，6，（4，6）；（2）点P 在线段CB 上，点P 的坐标是（2，6）；（3）点P 移动的时间是2.5秒或5.5秒．【解析】试题分析：（1460.a b --=可以求得,a b 的值，根据长方形的性质，可以求得点B 的坐标；（2）根据题意点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O C B A O ----的线路移动，可以得到当点P 移动4秒时，点P 的位置和点P 的坐标；（3）由题意可以得到符合要求的有两种情况，分别求出两种情况下点P 移动的时间即可． 试题解析：(1)∵a 、b 460.a b --= ∴a −4=0，b−6=0， 解得a=4，b=6， ∴点B 的坐标是(4,6)， 故答案是：4,6,(4,6)；(2)∵点P 从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O−C−B−A−O 的线路移动， ∴2×4=8， ∵OA=4，OC=6，∴当点P移动4秒时，在线段CB上，离点C的距离是：8−6=2，即当点P移动4秒时,此时点P在线段CB上,离点C的距离是2个单位长度,点P的坐标是(2,6)；(3)由题意可得，在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，存在两种情况，第一种情况，当点P在OC上时，点P移动的时间是：5÷2=2.5秒，第二种情况，当点P在BA上时,点P移动的时间是：(6+4+1)÷2=5.5秒，故在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒.21．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）．请解答下列问题：分别写出y A、y B与x之间的关系式；若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．【答案】解：（1）y A=27x+270，y B=30x+240；（2）当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算；（3）先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．【解析】（1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出y A、y B的解析式；（2）分三种情况进行讨论，当y A=y B时，当y A＞y B时，当y A＜y B时，分别求出购买划算的方案；（3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论．【详解】解:（1）由题意，得y A=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270；y B=10×30+3（10x﹣20）=30x+240；（2）当y A=y B时，27x+270=30x+240，得x=10；当y A＞y B时，27x+270＞30x+240，得x＜10；当y A＜y B时，27x+270＜30x+240，得x＞10∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．（3）由题意知x=15，15＞10，∴选择A超市，y A=27×15+270=675（元），先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球：（10×15﹣20）×3×0.9=351（元），共需要费用10×30+351=651（元）．∵651元＜675元，∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球．【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意确列出函数关系式是本题的解题关键.22．如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【答案】（1）6yx（2）(-6,0)或(-2,0).【解析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．详解：（1）把A点坐标代入y=12x+2，可得：3=12m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6x；（2）在y=12x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=12×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴12×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．23．中央电视台的“朗读者”节目激发了同学们的读书热情，为了引导学生“多读书，读好书”，某校对八年级部分学生的课外阅读量进行了随机调查，整理调查结果发现，学生课外阅读的本书最少的有5本，最多的有8本，并根据调查结果绘制了不完整的图表，如图所示：本数(本) 频数(人数) 频率5 a0.26 18 0.367 14 b8 8 0.16合计c 1(1)统计表中的a=________，b=________，c=________；请将频数分布表直方图补充完整；求所有被调查学生课外阅读的平均本数；若该校八年级共有1200名学生，请你分析该校八年级学生课外阅读7本及以上的人数.【答案】（1）10，0.28，50（2）图形见解析（3）6.4（4）528【解析】分析：（1）首先求出总人数，再根据频率，总数，频数的关系即可解决问题；（2）根据a的值画出条形图即可；（3）根据平均数的定义计算即可；（4）用样本估计总体的思想解决问题即可；详解：（1）由题意c=180.36=50，a=50×0.2=10，b=1450=0.28，c=50；故答案为10，0.28，50；（2）将频数分布表直方图补充完整，如图所示：（3）所有被调查学生课外阅读的平均本数为：（5×10+6×18+7×14+8×8）÷50=320÷50=6.4（本）．（4）该校七年级学生课外阅读7本及以上的人数为：（0.28+0.16）×1200=528（人）．点睛：本题考查频数分布直方图、扇形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．24．如图，六个完全相同的小长方形拼成了一个大长方形，AB是其中一个小长方形的对角线，请在大长方形中完成下列画图，要求：①仅用无刻度直尺，②保留必要的画图痕迹．在图1中画出一个45°角，使点A或点B是这个角的顶点，且AB为这个角的一边；在图2中画出线段AB的垂直平分线．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析．【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质即可解决问题．（2）根据正方形、长方形的性质对角线相等且互相平分，即可解决问题．试题解析：（1）如图所示，∠ABC=45°．（AB、AC是小长方形的对角线）．（2）线段AB的垂直平分线如图所示，点M是长方形AFBE是对角线交点，点N是正方形ABCD的对角线的交点，直线MN就是所求的线段AB的垂直平分线．考点：作图—应用与设计作图．25．某高中进行“选科走班”教学改革，语文、数学、英语三门为必修学科，另外还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理（分别记为A、B、C、D、E、F）六门选修学科中任选三门，现对该校某班选科情况进行调查，对调查结果进行了分析统计，并制作了两幅不完整的统计图．请根据以上信息，完成下列问题：该班共有学生人；请将条形统计图补充完整；该班某同学物理成绩特别优异，已经从选修学科中选定物理，还需从余下选修学科中任意选择两门，请用列表或画树状图的方法，求出该同学恰好选中化学、历史两科的概率．【答案】（1）50人；（2）补图见解析；（3）1 10.【解析】分析：（1）根据化学学科人数及其所占百分比可得总人数；（2）根据各学科人数之和等于总人数求得历史的人数即可；（3）列表得出所有等可能结果，从中找到恰好选中化学、历史两科的结果数，再利用概率公式计算可得．详解：（1）该班学生总数为10÷20%=50人；（2）历史学科的人数为50﹣（5+10+15+6+6）=8人，补全图形如下：（3）列表如下：化学生物政治历史地理化学生物、化学政治、化学历史、化学地理、化学生物化学、生物政治、生物历史、生物地理、生物政治化学、政治生物、政治历史、政治地理、政治历史化学、历史生物、历史政治、历史地理、历史地理化学、地理生物、地理政治、地理历史、地理由表可知，共有20种等可能结果，其中该同学恰好选中化学、历史两科的有2种结果，所以该同学恰好选中化学、历史两科的概率为21= 2010．点睛：本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式求事件A或B的概率．26．如图，在ABC∆中，D是BC的中点，过点D的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G，ED DF⊥交AB于点E，连接EG、EF．求证：BG CF =；请你判断BE CF +与EF 的大小关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)利用平行线的性质和中点的定义得到,BGD CFD BD CD ∠=∠= ,进而得到三角形全等，从而求证结论；（2）利用中垂线的性质和三角形的三边关系进行判断即可.【详解】证明：（1）∵BG ∥AC∴BGD CFD ∠=∠∵D 是BC 的中点∴BD CD =又∵BDG CDF ∠=∠∴△BDG ≌△CDF∴BG CF =（2）由（1）中△BDG ≌△CDF∴GD=FD,BG=CF又∵ED DF ⊥∴ED 垂直平分DF∴EG=EF∵在△BEG 中，BE+BG>GE,∴BE CF +>EF【点睛】本题考查平行线性质的应用、全等三角形的判定和性质的应用及三角形三边关系，熟练掌握相关知识点是解题关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值：①线段MN的长；②△PAB的周长；③△PMN的面积；④直线MN，AB之间的距离；⑤∠APB的大小．其中会随点P的移动而变化的是（）A．②③B．②⑤C．①③④D．④⑤【答案】B【解析】试题分析：①、MN=12AB，所以MN的长度不变；②、周长C△PAB=12（AB+PA+PB），变化；③、面积S△PMN=14S△PAB=14×12AB·h，其中h为直线l与AB之间的距离，不变;④、直线NM与AB之间的距离等于直线l与AB之间的距离的一半，所以不变；⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB的大小在变化．故选B考点：动点问题，平行线间的距离处处相等，三角形的中位线2．如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x（m）满足关系式y＝a（x﹣k）2+h．已知球与D点的水平距离为6m时，达到最高2.6m，球网与D点的水平距离为9m．高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m，则下列判断正确的是（）A．球不会过网B．球会过球网但不会出界C．球会过球网并会出界D．无法确定【解析】分析：（1）将点A(0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+求出a 的值；分别求出x=9和x=18时的函数值，再分别与2.43、0比较大小可得．详解：根据题意,将点A(0,2)代入2(6) 2.6y a x =-+，得：36a+2.6=2， 解得：160a ，=- ∴y 与x 的关系式为21(6) 2.660y x =--+； 当x=9时,()2196 2.6 2.45 2.4360y =--+=>， ∴球能过球网， 当x=18时,()21186 2.60.2060y =--+=>， ∴球会出界.故选C.点睛：考查二次函数的应用题，求范围的问题，可以利用临界点法求出自变量的值，根据题意确定范围. 3．一个正比例函数的图象过点（2，﹣3），它的表达式为（ ）A ．3y -2x =B ．2y 3x =C ．3y 2x =D ．2y -3x = 【答案】A【解析】利用待定系数法即可求解.【详解】设函数的解析式是y=kx ，根据题意得：2k=﹣3，解得：k=32-． ∴ 函数的解析式是：32y x =-． 故选A ．4．等腰三角形的一个外角是100°，则它的顶角的度数为（ ）A ．80°B ．80°或50°C ．20°D ．80°或20° 【答案】D【解析】根据邻补角的定义求出与外角相邻的内角，再根据等腰三角形的性质分情况解答．【详解】∵等腰三角形的一个外角是100°，∴与这个外角相邻的内角为180°−100°=80°，当80°为底角时，顶角为180°-160°=20°，∴该等腰三角形的顶角是80°或20°.故答案选：D.本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质.5．如图，下列各三角形中的三个数之间均具有相同的规律，根据此规律，最后一个三角形中y与n之间的关系是（）A．y=2n+1 B．y=2n+n C．y=2n+1+n D．y=2n+n+1【答案】B【解析】∵观察可知：左边三角形的数字规律为：1，2，…，n，右边三角形的数字规律为：2，，…，，下边三角形的数字规律为：1+2，，…，，∴最后一个三角形中y与n之间的关系式是y=2n+n.故选B．【点睛】考点：规律型：数字的变化类．6．如图，有一矩形纸片ABCD，AB=10，AD=6，将纸片折叠，使AD边落在AB边上，折痕为AE，再将AED∆以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F，则CEF∆的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解析】根据折叠易得BD，AB长，利用相似可得BF长，也就求得了CF的长度，△CEF的面积=12 CF•CE．【详解】解：由折叠的性质知，第二个图中BD=AB-AD=4，第三个图中AB=AD-BD=2，因为BC∥DE，所以BF：DE=AB：AD，所以BF=2，CF=BC-BF=4，所以△CEF的面积=12CF•CE=8；故选：C．本题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②矩形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式等知识点．7．小桐把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中90E ∠=，90C ∠=，45A ∠=，30D ∠=，则12∠+∠等于( )A ．150B ．180C ．210D ．270【答案】C 【解析】根据三角形的内角和定理和三角形外角性质进行解答即可．【详解】如图：1D DOA ∠∠∠=+，2E EPB ∠∠∠=+，DOA COP ∠∠=，EPB CPO ∠∠=，∴12D E COP CPO ∠∠∠∠∠∠+=+++=D E 180C ∠∠∠++-=309018090210++-=，故选C ．【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质、熟练掌握相关定理及性质以及一副三角板中各个角的度数是解题的关键.8．下列各曲线中表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】根据函数的意义可知：对于自变量x 的任何值，y 都有唯一的值与之相对应，故D 正确．9．关于x 的分式方程230x x a +=-解为4x =，则常数a 的值为( ) A ．1a =B ．2a =C ．4a =D ．10a = 【答案】D【解析】根据分式方程的解的定义把x=4代入原分式方程得到关于a 的一次方程，解得a 的值即可．【详解】解：把x=4代入方程230x x a+=-，得 23044a+=-， 解得a=1．经检验，a=1是原方程的解故选D ．点睛：此题考查了分式方程的解，分式方程注意分母不能为2．10．如图，C ，B 是线段AD 上的两点，若AB CD =，2BC AC =，则AC 与CD 的关系为（ ）A ．2CD AC =B ．3CD AC = C ．4CD AC = D ．不能确定 【答案】B【解析】由AB=CD ，可得AC=BD ，又BC=2AC ，所以BC=2BD ，所以CD=3AC.【详解】∵AB=CD ，∴AC+BC=BC+BD ，即AC=BD ，又∵BC=2AC ，∴BC=2BD ，∴CD=3BD=3AC.故选B ．【点睛】本题考查了线段长短的比较，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．二、填空题（本题包括8个小题）11．用半径为6cm ，圆心角为120°的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为_______cm ．【答案】1．【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r ，根据题意得1πr=0208161π⨯，即圆锥的底面圆半径为1cm．故答案为：1．【点睛】本题考查圆锥的计算，掌握公式正确计算是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形ODEF和四边形ABCD都是正方形，点F在x轴的正半轴上，点C在边DE上，反比例函数kyx=（k≠0，x＞0）的图象过点B，E．若AB=2，则k的值为________．【答案】6+25【解析】解：设E(x,x)，∴B(2,x+2)，∵反比例函数kyx=(k≠0,x>0)的图象过点B. E.∴x2=2(x+2)，115x∴=，215x=舍去)，(221565k x∴==+=+，故答案为625+13．如果关于x的方程x2+2ax﹣b2+2=0有两个相等的实数根，且常数a与b互为倒数，那么a+b=_____．【答案】±1．【解析】根据根的判别式求出△=0，求出a1+b1=1，根据完全平方公式求出即可．【详解】解：∵关于x的方程x1+1ax-b1+1=0有两个相等的实数根，∴△=（1a）1-4×1×（-b1+1）=0，即a1+b1=1，∵常数a与b互为倒数，∴ab=1，∴（a+b）1=a1+b1+1ab=1+3×1=4，∴a+b=±1，【点睛】本题考查了根的判别式和解高次方程，能得出等式a 1+b 1=1和ab=1是解此题的关键．14．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.【答案】127或2 【解析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果.【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FC AB AC =，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2. 【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.15．在我国著名的数学书《九章算术》中曾记载这样一个数学问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？设羊价为x 钱，则可列关于x 的方程为______． 【答案】x 45x 357--= 【解析】设羊价为x 钱，根据题意可得合伙的人数为455x -或37x -，由合伙人数不变可得方程． 【详解】设羊价为x 钱， 根据题意可得方程：45357x x --=， 故答案为：45357x x --=． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．16．如图，等腰△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝50°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于点D ，则∠DBC 的度数是____________．。
上海市徐汇区2020届中考数学一模试题有答案精析
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+24．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= ．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．如果2x=3y，那么下列各式中正确的是（）A． = B． =3 C． = D． =【考点】比例的性质．【专题】推理填空题．【分析】根据比例的性质逐项判断，判断出各式中正确的是哪个即可．【解答】解：∵2x=3y，∴=，∴选项A不正确；∵2x=3y，∴=，∴==3，∴选项B正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴选项C不正确；∵2x=3y，∴=，∴==，∴∴选项D不正确．故选：B．【点评】此题主要考查了比例的性质和应用，要熟练掌握．2．如果一斜坡的坡比是1：2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（）A． B． C． D．【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题．【分析】根据坡比=坡角的正切值，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，由勾股定理求出斜边，进而可求出斜坡坡角的余弦值．【解答】解：如图所示：由题意，得：tanα=i==，设竖直直角边为5x，水平直角边为12x，则斜边==13x，则cosα==．故选D．【点评】此题主要考查坡比、坡角的关系以及勾股定理；熟记坡角的正切等于坡比是解决问题的关键．3．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2各单位后所得新抛物线的表达式是y=2（x ﹣1）2，那么原抛物线的表达式是（）A．y=2（x﹣3）2﹣2 B．y=2（x﹣3）2+2 C．y=2（x+1）2﹣2 D．y=2（x+1）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据图象反向平移，可得原函数图象，根据图象左加右减，上加下减，可得答案．【解答】解：一条抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得抛物线的表达式为y=2（x ﹣1）2，抛物线的表达式为y=2（x﹣1）2，左移2个单位，下移2个单位得原函数解析式y=2（x+1）2﹣2，故选：C．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，利用了图象左加右减，上加下减的规律．4．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，联结DE，那么下列条件中不能判断△ADE和△ABC相似的是（）A．DE∥BC B．∠AED=∠B C．AE：AD=AB：AC D．AE：DE=AC：BC【考点】相似三角形的判定．【分析】根据题意画出图形，再由相似三角形的判定定理进行解答即可．【解答】解：如图，A、∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，故本选项错误；B、∵∠AED=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；C、∵AE：AD=AB：AC，∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB，故本选项错误；D、AE：DE=AC：BC不能使△ADE和△ABC相似，故本选项正确．故选D．【点评】此题考查了相似三角形的判定，属于基础题，关键是掌握相似三角形的几种判定定理．5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60°，那么此时飞机与监测点的距离是（）A．6000米B．1000米C．2000米D．3000米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．【分析】根据题意可构造直角三角形，利用所给角的正弦函数即可求解．【解答】解：如图所示：由题意得，∠CAB=60°，BC=3000米，在Rt△ABC中，∵sin∠A=，∴AC===2000米．故选C．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是借助俯角构造直角三角形，并结合三角函数解直角三角形．6．已知二次函数y=﹣2x2+4x﹣3，如果y随x的增大而减小，那么x的取值范围是（）A．x≥1 B．x≥0 C．x≥﹣1 D．x≥﹣2【考点】二次函数的性质．【分析】把抛物线化为顶点式可求得开口方向及对称轴，再利用增减性可得到关于x的不等式，可求得答案．【解答】解：∵y=﹣2x2+4x﹣3=﹣2（x﹣1）2﹣1，∴抛物线开口向下，对称轴为x=1，∴当x≥1时，y随x的增大而减小，故选A．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k 中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段a=9，c=4，如果线段b是a、c的比例中项，那么b= 6 ．【考点】比例线段．【分析】根据比例中项的定义，若b是a，c的比例中项，即b2=ac．即可求解．【解答】解：若b是a、c的比例中项，即b2=ac．则b===6．故答案为：6．【点评】本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负．8．点C是线段AB延长线的点，已知=， =，那么= ﹣．【考点】*平面向量．【分析】根据向量、的方向相反进行解答．【解答】解：如图，向量、的方向相反，且=， =，所以=+=﹣．故答案是：﹣．【点评】本题考查了平面向量，注意向量既有大小，又有方向．9．如图，AB∥CD∥EF，如果AC=2，AE=5.5，DF=3，那么BD= ．【考点】平行线分线段成比例．【分析】根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵AC=2，AE=5.5，∴CE=3.5，AB∥CD∥EF，∴，∴BD=，故答案为：．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，列出比例式．10．如果两个相似三角形的对应中线比是：2，那么它们的周长比是：2 ．【考点】相似三角形的性质．【分析】直接根据相似三角形的性质即可得出结论．【解答】解：∵两个相似三角形的对应中线比是：2，∴它们的周长比为：2．故答案为：：2．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比等于相似比是解答此题的关键．11．如果点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么请你写出一个关于线段AP、BP、AB之间的数量关系的等式，你的结论是：AP2=BP•AB．【考点】黄金分割．【分析】根据黄金分割的概念解答即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，∴AP2=BP•AB，故答案为：AP2=BP•AB．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割．12．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，如果CD=4，BD=3，那么∠A的正弦值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】求出∠A=∠BCD，根据锐角三角函数的定义求出tan∠BCD即可．【解答】解：∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∠BCD+∠B=90°，∴∠A=∠BCD，∴tanA=tan∠BCD==，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键，注意：在Rt△ACB中，∠ACB=90°，则sinA=，cosA=，tanA=．13．正方形ABCD的边长为3，点E在边CD的延长线上，连接BE交边AD于F，如果DE=1，那么AF= ．【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．【分析】由四边形ABCD为正方形即可得出∠A=∠ADC=90°、AB∥CD，根据平行线的性质以及邻补角即可得出∠EDF=∠A、∠ABF=∠DEF，从而得出△ABF∽△DEF，再根据相似三角形的性质即可得出==3，结合AF+DF=AD=3即可求出AF的长度，此题得解．【解答】解：依照题意画出图形，如图所示．∵四边形ABCD为正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AB∥CD，∴∠EDF=180°﹣∠ADC=90°=∠A，∠ABF=∠DEF，∴△ABF∽△DEF，∴==3，∵AF+DF=AD=3，∴AF=AD=．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、平行线的性质以及邻补角，通过两组相等的角证出△ABF∽△DEF是解题的关键．14．已知抛物线y=ax2﹣4ax与x轴交于点A、B，顶点C的纵坐标是﹣2，那么a= ．【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】首先利用配方法确定函数的顶点坐标，根据顶点C的纵坐标是﹣2，即可列方程求得a的值．【解答】解：y=ax2﹣4ax=a（x2﹣4x+4）﹣4a=a（x﹣2）2﹣4a，则顶点坐标是（2，﹣4a），则﹣4a=﹣2，解得a=．故答案是：．【点评】本题考查了配方法确定函数的顶点坐标，正确进行配方是关键．15．如图，矩形ABCD的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果AB：BC=3：4，那么AB的长是．【考点】相似三角形的判定与性质；平行线之间的距离；矩形的性质．【分析】作辅助线，构建相似三角形，证明△ABE∽△BCF，列比例式求BE的长，利用勾股定理可以求AB的长．【解答】解：过A作AE⊥BM于E，过C作CF⊥BM于F，则CF=1，AE=2，∴∠AEB=∠BFC=90°，∴∠ABE+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴∠ABE+∠CBE=90°，∴∠BAE=∠CBE，∴△ABE∽△BCF，∴，∴，∴BE=，在Rt△ABE中，AB==，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、两平行线的距离以及勾股定理；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．16．在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，如果△BOC、△ACD的面积分别是9和4，那么梯形ABCD的面积是16 ．【考点】相似三角形的判定与性质；梯形．【分析】如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．由AD∥BC，推出△AOD∽△COB，可得=（）2，因为=，得到=（）2，解方程即可．【解答】解：如图，设△AOD的面积为x，则△ODC的面积为4﹣x．∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB，∴=（）2，∵=，∴=（）2，解得x=1或16（舍弃），∵S△ABD=S△ADC=1，∴S△AOB=S△DOC=3，∴梯形ABCD的面积=1+3+3+9=16，故答案为16．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、梯形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．17．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=5，BC=3，CD是∠ACB的平分线，将△ABC沿直线CD翻折，点A落在点E处，那么AE的长是 2 ．【考点】翻折变换（折叠问题）；勾股定理．【分析】由勾股定理求AB=4，再根据旋转的性持和角平分线可知：点A的对应点E在直线CB上，BE=2，利用勾股定理可求AE的长．【解答】解：∵CD是∠ACB的平分线，∴将△ABC沿直线CD翻折，点A的对应点E在直线CB上，∵∠ABC=90°，AC=5，BC=3，∴AB=4，由旋转得：EC=AC=5，∴BE=5﹣3=2，在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===2，故答案为：2．【点评】本题考查了翻折变换的性质、勾股定理，明确折叠前后的两个角相等，两边相等；在图形中确定直角三角形，如果知道了一个直角三角形的两条边，可以利用勾股定理求第三边．18．如图，在▱ABCD中，AB：BC=2：3，点E、F分别在边CD、BC上，点E是边CD的中点，CF=2BF，∠A=120°，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，那么的值为．【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．【分析】如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．根据•AP•BE=•DF•AQ，利用勾股定理求出BE、DF即可解决问题．【解答】解：如图，连接AE、AF，过点A分别作AP⊥BE、AQ⊥DF，垂足分别为P、Q，作DH⊥BC于H，EG⊥BC于G，设AB=2a．BC=3a．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD=120°，∴S△ABE=S△ADF=S平行四边形ABCD，在Rt△CDH中，∵∠H=90°，CD=AB=2a，∠DCH=60°，∴CH=a，DH=a，在Rt△DFH中，DF===2a，在Rt△ECG中，∵CE=a，∴CG=a，GE=a，在Rt△BEG中，BE===a，∴•AP•BE=•DF•AQ，∴==，故答案为．【点评】本题考查平行四边形的性质、勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是利用面积法求线段的长，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．三、解答题：（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19．计算：2sin60°﹣|cot30°﹣cot45°|+．【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．【分析】首先根据特殊角的三角函数进行代入，然后再根据绝对值的性质计算绝对值，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=2×﹣|1|+，=+1+，=﹣2﹣3．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．将抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，顶点为D．求：（1）点B、C、D坐标；（2）△BCD的面积．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数图象与几何变换．【分析】（1）首先求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式，利用配方法求得D 的坐标，令y=0求得C的横坐标，令y=0，解方程求得B的横坐标；（2）过D作DA⊥y轴于点A，然后根据S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC求解．【解答】解：（1）抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是y=x2﹣4x+4﹣9，即y=x2﹣4x﹣5．y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，则D的坐标是（2，﹣9）．在y=x2﹣4x﹣5中令x=0，则y=﹣5，则C的坐标是（0，﹣5），令y=0，则x2﹣4x﹣5=0，解得x=﹣1或5，则B的坐标是（5，0）；（2）过D作DA⊥y轴于点A．则S△BCD=S梯形AOBD﹣S△BOC﹣S△ADC=（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点评】本题考查了配方法确定二次函数的顶点坐标，以及函数与x轴、y轴的交点的求法，正确求得抛物线y=x2﹣4x+4沿y轴向下平移9个单位后解析式是关键．21．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=4，AD=3，AB⊥AC，AC平分∠DCB，过点DE∥AB，分别交AC、BC于F、E，设=， =．求：（1）向量（用向量、表示）；（2）tanB的值．【考点】*平面向量；梯形；解直角三角形．【分析】（1）首先证明四边形ABED是平行四边形，推出DE=AB，推出==， ==， =+．（2）由△DFC∽△BAC，推出==，求出BC，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，根据AC===2，由tanB=，即可解决问题．【解答】解：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴AC平分∠DCB，∴∠DCA=∠ACB，∴∠DAC=∠DCA，∴AD=DC，∵DE∥AB，AB⊥AC，∴DE⊥AC，∴AF=CF，∴BE=CE，∵AD∥BC，DE∥AB，∴四边形ABED是平行四边形，∴DE=AB，∴==， ==，∴=+．（2）∵∠DCF=∠ACB，∠DFC=∠BAC=90°，∴△DFC∽△BAC，∴==，∵CD=AD=3，∴BC=6，在Rt△BAC中，∠BAC=90°，∴AC===2，∴tanB===．【点评】本题考查平面向量、梯形、解直角三角形、平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，属于基础题．22．如图，一艘海轮位于小岛C的南偏东60°方向，距离小岛120海里的A处，该海轮从A处正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C北偏东45°方向的B处．（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离（记过保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间（结果精确到0.1小时）．（参考数据： =1.41， =1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．【分析】（1）首先过点C作CD⊥AB于D，构建直角△ACD，通过解该直角三角形得到CD的长度即可；（2）通过解直角△BCD来求BC的长度．【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意，得∠ACD=30°．在直角△ACD中，∠ADC=90°，∴cos∠ACD=，∴CD=AC•cos30°=120×=60（海里）；（2）在直角△BCD中，∠BDC=90°，∠DCA=45°，∴cos∠BCD=，∴BC===60≈60×2.44=146.4（海里），∴146.4÷20=7.32≈7.3（小时）．答：（1）求该海轮从A处到B处的航行过程中与小岛C之间的最短距离是60海里；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B处沿BC方向行驶，求它从B处到达小岛C的航行时间约为7.3小时．【点评】此题考查了方向角问题．此题难度适中，注意将方向角问题转化为解直角三角形的知识求解是解此题的关键，注意数形结合思想的应用．23．如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB=∠B，点E在边AC上，满足AE•CD=AD•CE．（1）求证：DE∥AB；（2）如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，联结AF．求证：DF=AF．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】（1）根据已知条件得到，根据等腰三角形的判定定理得到AD=BD，等量代换即可得到结论；（2）由BD是DF和AB的比例中项，得到BD2=DF•AB，等量代换得到AD2=DF•AB，推出=，根据相似三角形的性质得到==1，于是得到结论．【解答】证明：（1）∵AE•CD=AD•CE，∴，∵∠DAB=∠B，∴AD=BD，∴，∴DE∥AB；（2）∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2=DF•AB，∵AD=BD，∴AD2=DF•AB，∴=，∵DE∥AB，∴∠ADF=∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴==1，∴DF=AF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．24．如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．（1）求点D的坐标；（2）联结CD、BC，求∠DBC余切值；（3）设点M在线段CA延长线，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：（1）∵已知抛物线y=﹣x2+bx+3与y轴交于点C，∴点C的坐标为：（0，3），∵OB=OC，∴点B的坐标为：（3，0），∴﹣9+3b+3=0，解得，b=2，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2x+3，y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D的坐标为（1，4）；（2）如图1，作DH⊥y轴于H，则CH=DH=1，∴∠HCD=∠HDC=45°，∵OB=OC，∴∠OCB=∠OBC=45°，∴∠DCB=90°，∴cot∠DBC===3；（3）﹣x2+2x+3=0，解得，x1=﹣1，x2=3，∴点A的坐标为：（﹣1，0），∴=，又=，∴=，∴Rt△AOC∽Rt△DCB，∴∠ACO=∠DBC，∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，∴∠E=45°，∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，∴∠ACB=∠BME，∴BM=BC，设直线CA的解析式为：y=kx+b，则，解得，，则直线CA的解析式为：y=3x+3，设点M的坐标为（x，3x+3），则（x﹣3）2+（3x+3）2=18，解得，x1=0（舍去），x2=﹣，x2=﹣时，y=﹣，∴点M的坐标为（﹣，﹣）．【点评】本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．25．如图，已知△ABC中，AB=AC=3，BC=2，点D是边AB上的动点，过点D作DE∥BC，交边AC于点E，点Q是线段DE上的点，且QE=2DQ，连接BQ并延长，交边AC于点P．设BD=x，AP=y．（1）求y关于x的函数解析式及定义域；（2）当△PQE是等腰三角形时，求BD的长；（3）连接CQ，当∠CQB和∠CBD互补时，求x的值．【考点】三角形综合题；等腰梯形的性质；平行线分线段成比例；相似三角形的判定与性质．【专题】压轴题．【分析】（1）过点D作DF∥AC，交BP于F，根据平行线分线段成比例定理，可得EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，进而根据DF∥AC，求得y=，定义域为：0＜x＜3；（2）当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，分三种情况讨论：①当PB=BC时，②当PC=BC=2时，③当PC=PB时，分别求得BD的长即可；（3）先根据已知条件判定四边形BCED是等腰梯形，判定△BDQ∽△QEC，得出=，即2DQ2=x2，再根据DE∥BC，得出=，即=，求得x的值即可．【解答】解：（1）如图所示，过点D作DF∥AC，交BP于F，则根据QE=2DQ，可得==，又∵DE∥BC，∴==1，∴EC=BD=x，PE=3﹣x﹣y，DF=，∵DF∥AC，∴=，即=，∴y=，定义域为：0＜x＜3；（2）∵DE∥BC，∴△PEQ∽△PBC，∴当△PEQ为等腰三角形时，△PBC也为等腰三角形，①当PB=BC时，△ABC∽△BPC，∴BC2=CP•AC，即4=3（3﹣y），解得y=，∴=，解得x==BD；②当PC=BC=2时，AP=y=1，∴=1，解得x==BD；③当PC=PB时，点P与点A重合，不合题意；（3）∵DE∥BC，∴∠BDQ+∠CBD=180°，又∵∠CQB和∠CBD互补，∴∠CQB+∠CBD=180°，∴∠CQB=∠BDQ，∵BD=CE，∴四边形BCED是等腰梯形，∴∠BDE=∠CED，∴∠CQB=∠CED，又∵∠DQB+∠CQB=∠ECQ+∠CED，∴∠DQB=∠ECQ，∴△BDQ∽△QEC，∴=，即2DQ2=x2，∴DQ=，DE=，∵DE∥BC，∴=，即=，解得x=．【点评】本题属于三角形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰梯形的判定与性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，运用相似三角形的对应边成比例进行求解．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．。
2020年上海徐汇初三数学一模试卷及答案
2019 学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷2020.1（时间 100 分钟满分 150 分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共 25 题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6 题，每题 4 分，满分 24 分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数 yx 22x 3 ，那么下列关于该函数的判断正确的是（ A ）该函数图像有最高点(0, 3) ； （ B ）该函数图像有最低点(0, 3) ；（ C ）该函数图像在 x 轴的下方； （ D ）该函数图像在对称轴左侧是下降的．2．如图， AB // CD // EF ， AC2， AE5， BD 1.5 ，那么下列结论正确的是（A ） DF1515；AB ；（B ） EF4 4 CD （C ） CD1515EF；（D ） BF．44（第 2 题图）3．已知点 P 是线段 AB 上的点，且 AP 2BP AB ，那么 AP : AB 的值是（ A ）5 1 ； （B ）35；（C ）5 1 ； （D ）35 ．22224．在 Rt ABC 中，B90 ，BC 3， AC 5 ，那么下列结论正确的是（ A ） sin A3 45 4 ； （ B ） cos A ；（ C ） cot A； （ D ） tan A．45435．跳伞运动员小李在 200 米的空中测得地面上的着落点 A 的俯角为 60 ，那么此时小李离着落点 A 的距离是（ A ） 200米；（ B ） 400米；（C ）20036．下列命题中，假命题是（ A ）凡有内角为 30 的直角三角形都相似； （ B ）凡有内角为 45 的等腰三角形都相似； （ C ）凡有内角为 60 的直角三角形都相似； （ D ）凡有内角为 90 的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分）7．计算： 2sin 60cot 30 tan45__▲ ___．3 米； （D ）4003 米．3．已知线段a 4 厘米、c 9厘米，那么线段 a 、 c 的比例中项b▲ 厘米．8__ ___10．四边形 ABCD 和四边形A B C D 是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与点 A 、B 、C 、D 对应，已知 BC3， CD 2.4， BC2，那么 C D 的长是 __▲___．．已知二次函数 y 2( x 2) 2 ，如果x 2，那么y 随 x 的增大而__ ▲ ． 11___12．同一时刻，高为 12米的学校旗杆的影长为9 米，一座铁塔的影长为21 米，那么此铁塔的高是 __▲ ___米．13．一山坡的坡度i 1: 3 ，小刚从山坡脚下点 P 处上坡走了 5010 米到达点 N 处，那么他上升的高度是 _▲ _米．14．在ABC 中，点 D 、E 分别在边 AB 、 AC 上， AB 6 ，AC 4 ，BC 5，AD 2 ， AE 3 ，那么 DE 的长是 __▲ ___． 15．如图， 在 Rt ABC 中， C 90 ，AC 2 ，BC 1 ，正方形 DEFG 内接于 ABC ，点 G 、 F 分别在边 AC 、 BC 上，点 D 、E 在斜边 AB 上，那么正方形 DEFG 的边长是__▲ ___．16． 如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上， AD AC ， BAD C ，BD 2 ，CD 6 ，那么 tanC 的值是 __▲ ___．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，ABC 是“中垂三角形”，其中ABC 的中线 BD 、CE 互相垂直于点 G ，如果 BD 9，CE 12，那么D 、E 两点间的距离是 __▲___．18．如图，在矩形 ABCD 中， AB 3， AD 4 ，将矩形 ABCD 绕着点 B 顺时针旋转后得到矩形 A BC D ，点 A 的对应点 A 在对角线 AC 上，点 C 、 D 分别与点 C 、D 对 应， A D 与边 BC 交于点 E ，那么 BE 的长是 __▲___． A DCAACGFG DBEA D EB BDCC B（第 15 题图） （第 16 题图） （第 17 题图） （第 18 题图）三、（本大题共 7 题，第 19— 22 题每题 10 分；第 23、 24 题每题 12 分；第 25题 14分；满分 78 分）19．（本题满分 10 分）已知： a : b : c 2:3:5 ．（ 1）求代数式3a bc的值；2a 3b c23a b c 24，求 a 、 b、 c 的值．（ ）如果20．（本题满分 10 分）已知二次函数 yax 2 bx c( a 0) 自变量 x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：x⋯y⋯1 2 3 4⋯ 31m⋯（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和 m 的值；（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为 B ，它的顶点为 A ，该图像上点 C 的横坐标为 4 ，21．（本题满分 10 分）如图，一艘游轮在离开码头 A 处后，沿南偏西60 方向行驶到达 B 处，此时从 B 处发现灯塔 C 在游轮的东北方向，已知灯塔 C 在码头 A 的正西方向200 米处，求此时游轮与灯塔 C 的距离（精确到1米）．参考数据： 2 1.414 ， 3 1.732 ， 6 2.449 ．北C AB（第 21 题图）22．（本题满分 10 分）如图，在ABC 中， AD、BE 是 ABC 的角平分线， BE CE，AB2，AC 3．（1）设 AB a ，BC = b，求向量BE（用向量 a 、 b 表示）；（2）将ABC沿直线 AD 翻折后，点 B 与边 AC 上的点 F 重合，联结 DF ，求S CDF: S CEB的值．AEB D C（第 22 题图）23．（本题满分12 分）如图，在ACB中，点 D、E、 F 、G分别在边 AB、CE 2AE， BF FG CG，DG 与EF 交于点 H ．（1）求证：FH AC HG AB；（ 2）联结DF、EG，求证：A FDG GEF ．AC、 BC上， AB 3AD ，AD EHB F G C（第 23 题图）24．（本题满分12 分）如图，将抛物线y4x24平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点 C ，新抛物线3与 x 轴正半轴交于点 B ，联结 BC ， tan B 4 ，设新抛物线与x轴的另一交点是 A ，新抛物线的顶点是 D ．（ 1）求点D的坐标；（ 2）设点E在新抛物线上，联结AC 、 DC ，如果 CE 平分 DCA ，求点 E 的坐标；（ 3）在（2）的条件下，将抛物线y 4 x2 4 沿x轴左右平移，点 C 的对应点为 F ，3当DEF 和 ABC 相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．yDCAOB x（第 24 题图）y 4 x24325．（本题满分 14 分）如图，在 ABC 中， AB AC5， BC 6 ，点 D 是边 AB 上的动点（点 D 不与点A 、B 重合），点 G 在边 AB 的延长线上， CDE A， GBE ABC ，DE 与边 BC 交于点 F．（ 1）求cos A的值；（ 2）当 A 2 ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD : BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD : BE 的值；如果变化，请说明理由．A ADBF C B CGE（第 25 题图）（备用图）2019 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分24 分）1．C； 2．D； 3．A ； 4．B； 5．D； 6． B．二．填空题：（本大题共12 题，满分48 分）7．0；8．6；9．3:2；10．8；11．增大；12．28；513．50；14．5；15．2 5；16．1；17．5；18．25．2728三、（本大题共7 题，第19、 20、21、 22 题每题10 分，第23、 24 题每题 12 分，第 25 题14 分，满分 78 分）19. 解：（ 1）由题意，设a2k, b 3k ,c5k ．∴ 3a b c23 2k 3k 5k1．2a3b c2k33k5k（ 2）由题意和（1），得32k3k5k24 ；解得k3；∴ a 2 3 6 ， b 3 39 ， c 5 3 15 ．20．解：（ 1）该二次函数图像的开口方向向上；对称轴是直线x 2 ；顶点坐标是 ( 2, 1) ； m 的值是3．（2）由题意，得A(2, 1)、B(1,0)、C (4,3)；∵ AB22,BC218, AC 220 ；∴ AB2BC 2AC 2；∴ABC90 ；∴S ABC 12 323 ．221．解：过点B作BD AC ，垂足为 D ．由题意，得DAB30 ，DBC45 ；又 BCD 904545DBC ；∴ DB DC ；设 DB DC x ，则 DA x200．在 Rt BDA 中，BDA 90，∴ cot DAB DA x 200，即 cot 30；DB x∴ 3x x200 ，解得 x100(31) ；∴ BC 2x 100( 6 2) 100 (2.449 1.414) 386.3 386 ．答：此时游轮与灯塔C 的距离约为 386 米．22．解：（ 1）∵ BECE ，∴ CEBC ；∵ BE 平分 ABC ，∴ ABEEBC ；∴ ABEC ；又BAECAB ，∴ ABE ∽ ACB ；∴AEAB ；ABAC即 AE2；得AE4 ；∴AE 4；∴ AE4AC ；233 AC99又 ACABBCa b ；∴BE BA AEa4(a b )5 a 4b ．99 9（ 2）由题意，可得AFD ABC 2 EBC ， AF AB2 ；又 AEBEBC C ， C ABE EBC ， ∴ AEB 2 EBC AFD ；∴ DF //BE ；∴ CDF ∽ CBE ；∴S SCDF(CF )2( 1 )29 ． CBE CE525323．证明：（ 1）∵ AB 3AD ， CE 2AE ， BF FG CG ，∴ AD 1,AE 1,BF1,CG 1； AB3AC 3BC3 BC 3∴AD CG , AE BF ；AB BC AC BC∴ DG// AC ， EF // AB ； ∴ HGF C ， HFG B ；∴ HFG ∽ ABC ；∴HG FH；即 FH AC HG AB ．AC AB（2）∵ EF // AB ， DG// AC ，∴GHGF 1，HEHDFBFH∴ GHHE；∴ EG// DF ；HD FH∴ FDG HGE ； CGGF1 ；又 FHG HGE HEG ，∴ FHG FDG∵ HFG ∽ ABC ，∴ FHG A ； ∴ AFDGGEF ．24．解：（ 1）由题意，设新抛物线的表达式为y4 x 2 bx 4．43∵抛物线 yx 2 4 的顶点为 C ，∴ C(0,4) ， OC3在 Rt BOC 中， BOC 90，HEG ；4 ；∴ tanB OC4 ，得 OB 1；∴ B(1,0) ；OB由题意，得 4 b 4 0 ，解得 b 83 ；3∴新抛物线的表达式为y4 x 2 8x 4 ；∴ D( 1, 16) ．333 （2）由题意，可得A( 3,0) ；过点 D 作 DMOC ，垂足为 M ．∴ M (0,16) ；3∴ DM1, CM4, AO 3,CO4；∴DMAO 3 ；3CM CO4又 DMC AOC 90 ，∴ DMC ∽ AOC ， ∴DCMACO ；∵ CE 平分 DCA ，∴ DCE ACE ；∴ 2( DCMDCE ) 180；∴ MCE 90AOC ；∴ CE// AO ；∴点E 与点 C 关于直线x 对称；∴ E( 2,4) ．1（3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：y4 ( x 2) 2 4 或 y 4(x1 )2 4 ．3 33 12 25．解：（ 1）过点 A 、B 分别作 AH BC 、 BGAC ，垂足分别为 H 、G ．在 Rt AHC 中，AHC90，cosCH3；ACB5AC 在 Rt BGC 中，BGC 90 ， cosCG3 ；GCB5BC得 CG18；∴ AG 518 7 ；555在 Rt ABG 中，AGB 90 ，∴ cos AAG 7AB．25（2）以点 D 为圆心 DA 长为半径作弧交AC 于点 M ，过点 D 作DNAC 于N ．∴可设 DM DAx ；∴ AMD A 2 ACD ， 又 AMD MDCMCD ； ∴MCDMDC ；∴ CMDMx ；则 AM5 x ；在 Rt AND 中，AND90 ，∵ cos AAN7AD，25即5x 7 ；2x 25解得 125；即 AD125．x39395 （3）点 D 在边 AB 上运动过程中， AD : BE 的值不变， AD:BE．6联结 CE ．∵ AB AC ，∴ ABC ACB ；∴ A2ABC180 ；又 CBE ABC GBE 180 ， GBE ABC ，∴ CBE 2 ABC 180 ；∴ ACBE ；∵ CBE ACDE ， BFEDFC ；∴ BFE ∽ DFC ；∴BEFDCF ，BFEF ；DF CF又 BFD EFC ，∴ BFD ∽ EFC ；∴ BDF ECF ．又 EBG BDF BEF ， DCE DCFECF ，∴ DCE GBE ABC ACB ； ∴DCE DCFACBDCF ；即 BCEACD ；∴ ACD ∽ CBE ；∴AD AC5． BEBC6。
2019~2020学年上海市徐汇区九年级一模数学试卷及参考答案
2019~2020学年上海市徐汇区九年级一模数学试卷（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）1.已知二次函数223y x x=-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（）（A）该函数图像有最高点(0,3)-；（B）该函数图像有最低点(0,3)-；（C）该函数图像在x轴的下方；（D）该函数图像在对称轴左侧是下降的．2.如图，AB//CD//EF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是（）（A）154DF=；（B）154EF=；（C）154CD=；（D）154BF=．3.已知点P是线段AB上的点，且2AP BP AB=⋅，那么AP : AB的值是（）（A（B；（C（D．4.在Rt△ABC中，△B=90°，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是（）（A）3sin4A=；（B）4cos5A=；（C）5cot4A=；（D）4tan3A=．5.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着陆点A的距离是（）（A）200米；（B）400米；（C米；（D米．6.下列命题中，假命题的是（）（A）凡有内角为30°的直角三角形都相似；（B）凡有内角为45°的等腰三角形都相似；（C）凡有内角为60°的直角三角形都相似；（D）凡有内角为90°的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分24分）7.计算：2sin60cot30tan45︒-︒⋅︒=___________．8.已知线段a = 4厘米，c = 9厘米，那么线段a、c的比例中项b =________厘米．9.2，那么它们的相似比是___________．10. 四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′是相似图形，那么A 、B 、C 、D 分别与点A′、B′C′、D′对应，已知BC = 3，CD = 2.4，B′C′ = 2，那么C′D′的长是__________． 11. 已知二次函数22(2)y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而__________． 12. 同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高为__________米．13. 一山坡的颇高i = 1 : 3小刚从山坡脚下点P 处上坡走了N 处，那么他上升的高度是__________米．14. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AB = 6，AC = 4，BC = 5，AD = 2，AE= 3，那么DE 的长为__________．15. 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1,正方形DEFG 内接于△ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是_______． 16. 如图，在△ABC 中，点D 在边BC 上，AD ⊥AC ，∠BAD=∠C ，BD=2，CD=6，那么tan C的值是__________．17. 我们把有两条中线互相垂直的三角形叫做“中垂三角形”，如图，△ABC 是“中垂三角形”，其中△ABC 的中线BD 、CE 互相垂直于点G ，如果BD=9，CE=12，那么D 、E 两点间的距离是__________．18. 如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形A ′B ′C ′D ′，点A 的对应点A ′在对角线AC 上，点C 、D 的对应点分别与点C ′、D ′对应，A ′D ′与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__________．三、解答题（本大题共7题，满分78分） 19. （本题满分10分）已知：a : b : c = 2 : 3 : 5．（1）求代数式323a b ca b c-++-的值；（2）如果324a b c -+=，求a 、b 、c 的值．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求△ABC 的面积．21. 如图，一艘游轮在离开码头A 处后，沿南偏西60°方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）．1.414 1.7322.449】22. （本题满分10分）如图，在△ABC 中，AD 、BE 是△ABC 的角平分线，BE=CE ，AB=2，AC=3． （1）设AB a =，BC b =，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将△ABC 沿直线AD 翻折后，点B 与边AC 上的点F 重合，联结DF ，求:CDF CEBS S △△的值．如图，在△ABC 中，点D 、E 、F 、G 分别在边AB 、AC 、BC 上，AB=3AD ，CE=2AE ，BF=FG=CG ，DG 与EF 交于点H ．（1）求证：FH AC HG AB ⋅=⋅；（2）联结DF 、EG ，求证：∠A=∠FDG ＋∠GEF ．24. （本题满分12分）如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x轴正半轴交于点B ，联结BC ，tan 4B =，设新抛物线与x 轴的用另一个交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分∠DCA ，求点E 的坐标；（3）在（2）条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当△DEF 与△ABC 相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是边AB上的动点（点D不与点A、B 重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A=2∠ACD时，求AD的长；点D在边AB上运动的过程中，AD : BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求出AD : BE的值；如果变化，请说明理由．2019~2020学年上海市徐汇区九年级一模数学试卷参考答案。
2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷(含答案解析)
2023年上海市徐汇区中考一模数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，．下列四个选项，正确的是（）A ．3tan 4B =B ．4cot 3B =C ．4sin 5B =D ．4cos 5B =2．下列命题中假命题是（）A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似3．如图，a b c ∥∥，若32AD DF =，则下面结论错误的是（）A ．35AD AF =B ．32BC CE =C ．23AB EF =D ．35BC BE =4．二次函数()20y ax bx c a =++≠的图像如图所示，点P 在x 轴的正半轴上，且1OP =，下列选项中正确的是（）A ．0a >B ．0c <C ．0a b c ++>D ．0b <5．将抛物线212y x =-经过下列平移能得到抛物线()21132y x =-+-的是（）A ．向右1个单位，向下3个单位B ．向左1个单位，向下3个单位C ．向右1个单位，向上3个单位D ．向左1个单位，向上3个单位6．如图，点D 在ABC 边AB 上，ACD B ∠=∠，点F 是ABC 的角平分线AE 与CD 的交点，且2AF EF =，则下列选项中不正确的是（）A ．23AD AC =B ．23CF BE =C ．23DC BC =D ．23AD DB =二、填空题7．已知43x y =，则=x y x y-+________________．8．计算：()()3213a b a b ---=__________________．9．两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，则这两个三角形面积之比为_____________．10．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”．如图，P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，如果AB 的长度为8cm ，那么AP 的长度是_____________．11．如图，已知G 为ABC ∆的重心，过点G 作BC 的平行线交边AB 和AC 于点D 、E 设GB a = 、GC b = ．用xa yb +（x y 、为实数）的形式表示向量=DE ____________．12．小明和小杰去公园游玩，小明给站在观景台边缘的小杰拍照时，发现他的眼睛、凉亭顶端、小杰的头顶三点恰好在一条直线上（如图所示）．已知小明的眼睛离地面的距离AB 为1.6米，凉亭的高度CD 为6.6米，小明到凉亭的距离BD 为12米，凉亭与观景台底部的距离DF 为42米，小杰身高为1.8米．那么观景台的高度为________________米．13．已知点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，则m _____________n （填“>”、“=”或“<”）．三、解答题14．小球沿着坡度为1:1.5i =的坡面滚动了13m ，则在这期间小球滚动的水平距离是___________m ．四、填空题15．计算：cos60sin 60cot 30tan 45︒-︒=︒-︒_________________16．如图，在由正三角形构成的网格图中，、、A B C 三点均在格点上，则sin BAC ∠的值为___________．17．如图，点E 是矩形ABCD 纸片边CD 上一点，如果沿着AE 折叠矩形纸片，恰好使点D 落在边BC 上的点F 处，已知36cm tan 4BF BAF =∠=，，那么折痕AE 的长是_____________cm ．18．规定：如果经过三角形一个顶点的直线把这个三角形分成两个小三角形，其中一个小三角形是等腰三角形，另一个小三角形和原三角形相似，那么符合这样条件的三角形称为“和谐三角形”，这条直线称为这个三角形的“和谐分割线”．例如，如图所示，在Rt ABC △中，90,C CA CB ∠=︒=，CD 是斜边AB 上的高，其中ACD 是等腰三角形，且BCD △和ABC 相似，所以ABC 是“和谐三角形”，直线CD 为ABC 的“和谐分割线”．请依据规定求解问题：已知DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F ∠的度数是_______________（写出所有符合条件的情况）五、解答题19．如图，在ABC 中，已知590,sin 13C A ∠=︒=．点D 为边AC 上一点，45,7BDC AD ∠=︒=，求CD 的长．20．如图，点E 在平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上，且2CE BC =，AE 与CD 交于点F ．设,AB a AD b ==．(1)用向量a 、b 表示向量DE；(2)求作：向量EF 分别在向量EC 、ED方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）21．已知二次函数2369y x x =-++．(1)用配方法把二次函数2369y x x =-++化为()2y a x m k =++的形式，并指出这个函数图像的开口方向、对称轴和顶点的坐标；(2)如果将该函数图像向右平移2个单位，所得的新函数的图像与x 轴交于点A B 、（点A在点B 左侧），与y 轴交于点C ，顶点为D ，求四边形DACB 的面积．22．如图，是一个放置于水平桌面的平板支架的示意图，底座的高AB 为5cm ，宽MN 为10cm ，点A 是MN 的中点，连杆BC CD 、的长度分别为18.5cm 和15cm ，150CBA ∠=︒，且连杆BC CD 、与AB 始终在同一平面内．(1)求点C 到水平桌面的距离；(2)产品说明书提示，若点D 与A 的水平距离超过AN 的长度，则该支架会倾倒．现将DCB ∠调节为80︒，此时支架会倾倒吗？（参考数据∶tan 200.36,cot20 2.75,sin 200.34,cos 200.94︒≈︒≈︒≈︒≈）23．如图，已知ABC 是等边三角形，D E 、分别是边BC AC 、上的点，且BC CE BD DC ⋅=⋅．在DE 的延长线上取点F ，使得DF AD =，联结CF ．(1)求证：60ADE ∠=︒；(2)求证：CF AB ∥．24．已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23y ax bx =++经过点()1,0A -、()4,0B 与y 轴相交于点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P 作直线PD x ⊥轴，垂足为点D ，直线PD 与直线BC 相交于点E ．①当CP CE =时，求点P 的坐标；②联结AC ，过点P 作直线AC 的平行线，交x 轴于点F ，当BPF CBA ∠=∠时，求点P 的坐标．25．如图1，已知菱形ABCD ，点E 在边BC 上，BFE ABC ∠=∠，AE 交对角线BD 于点F ．(1)求证ABF DBA ∽△△；(2)如图2，联结CF ．①当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小；②如图3，联结DE ，当DE FC ⊥时，求cos ABD ∠的值．参考答案：1．C【分析】先利用勾股定理求出3BC =，再根据三角函数的定义求解即可．【详解】解：∵在Rt ABC △中，9054C AB AC ∠=︒==，，，∴3BC ==，∴4343tan cot sin cos 3455AC BC AC BC B B B B BC AC AB AB ========，，，故选C ．【点睛】本题主要考查了勾股定理和解直角三角形，熟知对应的三角函数的定义是解题的关键．2．B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B.任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C.等边三个角都相等，故两三角形相似；D.任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．3．C【分析】根据比例的性质与平行线分线段成比例，列出比例式，逐项判断即可【详解】 ADDF ＝32，35AD AF ∴=,故A 选项正确，不符合题意；l 1∥l 2∥l 3，且ADDF ＝32，32AD BC DF CE ∴==,故B 选项正确，不符合题意；32BC CE = 35BC BE ∴=故D 选项正确，不符合题意；根据已知条件不能求出ABEF的值，故C 选项不正确，故选C ．【点睛】本题考查了比例的性质与平行线分线段成比例，掌握比例的性质与平行线分线段成比例是解题的关键．4．D【分析】根据开口方向，即可判断A ；根据与y 轴的交点，即可判断B ；把1x =代入，即可判断C ；根据对称轴的位置，即可判断D ．【详解】解：A 、∵函数图象开口向下，∴a<0，故A 不正确，不符合题意；B 、∵函数图象与y 轴交于正半轴，∴0c >，故B 不正确，不符合题意；C 、把1x =代入得y a b c =++，∵1OP =，∴当1x =时，0y <，∴0a b c ++<，故C 不正确，不符合题意；D 、∵函数对称轴在y 轴左侧，a<0，∴0b <，故D 正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键熟练掌握二次函数的图象和性质，会根据函数的开口，对称轴，与坐标轴的交点判断各个系数的符号．5．B【分析】找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．【详解】解：∵212y x =-的顶点坐标为()0,0，()21132y x =-+-的顶点坐标为()1,3--，∴将抛物线212y x =-向左平移1个单位，再向下平移3个单位，可得抛物线()21132y x =-+-．故选：B ．【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的法则是解答此题的关键．6．D【分析】证明ACD ABC∽，得出AD DC AC AFAC BC AB AE===，利用2AF EF =判断选项A 、C ，证明ACF ABE ∽△△得出23CF AC BE AB ==判断选项B ，分别用AB 表示出AD 和BD ，判断选项D ，即可得出结论．【详解】 ACD B ∠=∠，CAB CAB ∠=∠，∴ACD ABC∽，∴AD DC AC AFAC BC AB AE ===，AF EF AE += 且2AF EF =，∴32AF AE =，23AF AE ∴=，∴23AD DC AC AF AC BC AB AE ====，故选项A 、C 正确；∴23AC AB =，23AD AC =，49AD AB ∴=，AD BD AB += ，∴4599BD AB AD AB AB AB =-=-=，449559ABAD BD AB ∴==，故选项D 错误； AE 平分BAC ∠，∴BAE CAE ∠=，ACD B ∠=∠，ACF ABE ∴△∽△，23CF AC BE AB ∴==，故选项B 正确；故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．7．17【分析】设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，代入求解即可得到答案；【详解】解：设xy的公比为k ，则4x k =，3y k =，∴431=437x y k k x y k k --=++，故答案为17．【点睛】本题考查分式的性质，解题的关键是设出公比表示出x ，y ．8．53a b- 【分析】根据加减运算及乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：原式1=223a b a b--+53a b=- 故答案为53a b -．【点睛】本题考查了向量的线性运算，熟练掌握平面的加减运算及乘法运算法则是正确计算本题的关键．9．16:25##1625【分析】根据相似三角形对应边上的中线之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方进行解答即可．【详解】 两个相似三角形的对应边上的中线之比4:5，∴两个相似三角形的相似比为4:5，∴两个相似三角形的面积之比为16:25，故答案为：16:25．【点睛】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，熟练掌握其性质是解题的关键．10．（4）cm【分析】利用黄金分割的定义计算出AP.【详解】P 为AB 的黄金分割点()AP PB >，()118422AP AB cm ∴==⨯=故答案为：（4）cm..11．2233a b -+ 【分析】由于G 是三角形ABC 的重心，根据平行线分线段成比例定理与三角形重心的性质，可得到:2:3AG AM =，再根据平面向量加减运算可求得答案．【详解】解：连接AG 并延长交BC 于点M ：∵DE BC ∥∴AG AD DE AM AB BC ==∵点G 是ABC 的重心，∴23AG AM =∴23DE BC =∴23DE BC =∵BC GC GB b a =-=- ∴()23DE b a =- ∴2233DE a b =-+ 故填：2233a b -+ ．【点睛】本题考查了三角形重心的性质和平面向量基本定理，掌握三角形重心的定义，熟练运用平面向量加减运算是解答本题的关键．12．22.3##32210##22310【分析】根据题意构造直角三角形，继而利用相似三角形的判定与性质解答．【详解】解：过点A 作AM EF ⊥于点M ，交CD 于点N ，由题意得，12AN =， 6.6 1.65CN =-=，42MN =，E CN M ∥，∴ACN AEM ∽ ，∴CN AN EM AM =，∴5121242EM =+，∴22.5EM =，∵ 1.6AB MF ==，∴22.5 1.6 1.822.3+-=（米）．故答案为：22.3．【点睛】本题考查相似三角形的应用，构造直角三角形是解题关键．13．<【分析】根据抛物线的解析式得到对称轴为直线12b x a=-=-，由抛物线开口向下，可得在对称轴左侧，y 随x 的增大而增大，即可得到答案．【详解】解： 点()3,A m -、()2,B n -在抛物线224y x x =--+上，∴对称轴为直线12b x a=-=-， 抛物线开口向下，∴当1x <-时，y 随x 的增大而增大，32-<- ，m n ∴<，故答案为：<．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象及其性质，熟练掌握知识点是解题的关键．14．【分析】设高度为x ，根据坡度比可得水平距离为1.5x ，根据勾股定理列方程即可得到答案；【详解】解：设高度为x ，∵坡度为1:1.5i =，∴水平距离为1.5x ，由勾股定理可得，222(1.5)13x x +=，解得：x =，故答案为：【点睛】本题考查坡度比及勾股定理，解题的关键是根据坡度比得到高度与水平距离的关系．15．12-##0.5-【分析】根据特殊角三角函数代入求解即可得到答案；【详解】解：原式1122=-，故答案为：12-．【点睛】本题考查特殊角三角函数混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角三角函数值．16【分析】根据等边三角形的性质可得90ACB ∠=︒，然后设正三角形构成的网格线段长为1，分别求出直角边AC ，BC ，然后根据勾股定理求出AB ，最后根据三角函数定理即可求出sin BAC ∠．【详解】解：由正三角形的性质可知16060902ACB ∠=︒+⨯︒=︒，设正三角形构成的网格线段长为1，在Rt ABC △中，2AC =，BC =，根据勾股定理，可得AB，sin 7BC BAC AB ∠==，【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角函数、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题关键．17．【分析】由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，由矩形的性质得到90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，先解Rt ABF 求出8cm 10cm AB AF ==，，进而得到10cm AD BC ==，则4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，由勾股定理得到()22248x x =+-，解方程求出5cm DE =，则AE ==．【详解】解：由折叠的性质可知AD AF DE EF ==，，∵四边形ABCD 是矩形，∴90CD AB B C D ====︒，∠∠∠，AD BC =，∵在Rt ABF 中，36cm tan 4BF BAF =∠=，，∴8cm tan BF AB BAF ==∠，∴10cm AF ==，∴10cm AD AF BC ===，∴4cm CF =，设cm DE EF x ==，则()8cm CE x =-，在Rt CEF △中，由勾股定理得：222EF CF CE =+，∴()22248x x =+-，解得5x =，∴5cm DE =，∴AE ==，故答案为：．【点睛】本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理与折叠问题，解直角三角形，正确求出AD DE ，的长是解题的关键．18．54 46 32 27︒︒︒︒、、、【分析】分类讨论，①EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =；②DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =；③DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =；④FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =；根据等腰三角形的性质，相似三角形的性质即可求解．【详解】解：DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，EG 是DEF 的“和谐分割线”，①根据题意，如图所示，EGF DEF ∽，DEG △是等腰三角形，EG EF =，∴42D DEG GEF ∠=∠=∠=︒，∴在DEG △中，180180424296DGE D DEG ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵DGE ∠是EGF △的外角，∴964254F DGE GEF ∠=∠-∠=︒-︒=︒；②如图所示，DEG DFE ∽，GEF △是等腰三角形，GE GF =，∴DEG F FEG ∠=∠=∠，设F a ∠=，则DEG F FEG a ∠=∠=∠=，1802EGF a ∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF D DEG ∠=∠+∠，即180242a a ︒-=︒+，解得，46a =︒，∴46∠=︒F ；③如图所示，DGF DEF ∽，DEF 是等腰三角形，FE FG =，∴FE FG =，F GED ∠=∠，FEG FGE ∠=∠，设F x ∠=，则F GED x ∠=∠=，1(180)2FEG FGE x ∠=∠=︒-，∵EGF ∠是DEG △的外角，∴EGF GED D ∠=∠+∠，即1(180)422x x ︒-=+︒，解得32x =︒，∴32F ∠=︒；④如图所示，FEG FDG ∽，DEG △是等腰三角形，DE DG =，∴42D GEF ∠=∠=︒，1(18042)692DEG DGE ∠=∠=︒-︒=︒，∵DGE ∠是EFG 的外角，∴DGE F GEF ∠=∠+∠，即6942F ︒=∠+︒，∴694227F ∠=︒-︒=︒；综上所述，DEF 是“和谐三角形”，42D ∠=︒，当直线EG 是DEF 的“和谐分割线”时，F∠的度数是54463227︒︒︒︒、、、，故答案为：54463227︒︒︒︒、、、．【点睛】本题主要考查等腰三角形，相似三角形的综合，掌握等腰三角形的性质，相似三角形的性质是解题的关键．19．5【分析】解直角三角形ABC ，表示出AB AC ，的长，再根据Rt BCD △是等腰直角三角形，求得CD 即可．【详解】解：在Rt ABC △中，590,sin 13BC C A AB Ð=°==，设5,13BC k AB k ==，∴12AC k ===，在Rt BCD △中，90,45C BDC ∠=︒∠=︒，∴45CBD BDC ∠=∠=︒，∴5BC CD k ==．∴7AD AC CD k =-=，∵7AD =，∴77k =，∴1k =，∴55CD k ==【点睛】本题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练进行解直角三角形是解题的关键．20．(1)2a b+ (2)见解析【分析】（1）根据平行四边形的性质AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC =，根据三角形法则得出2DE DC CE a b =+=+ ；（2）作FM AD ∥，EN FM =，根据平行四边形法则，得出向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量，即可求解．【详解】（1）解：∵ABCD Y ，∴AD BE 且AD BC =．AB DC 且AB DC=∵2CE BC =，∴2CE AD =，∴22CE AD b == ，∴=DC AB a = ，∴2DE DC CE a b =+=+ ；（2）解：如图所示，作FM AD ∥,EN FM =，根据平行四边形法则，向量,EM EN 为向量EF 分别在向量EC 、ED 方向上的分向量【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平面向量的线性计算，掌握平面向量的线性运算是解题的关键．21．(1)()23112y x =--+，开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12(2)54【分析】（1）根据二次函数的图象与性质解答即可；（2）根据二次函数图象平移规律“上加下减”求得新抛物线的解析式，求出A B C D 、、、坐标即可求解．【详解】（1）解：()()()2222369329321123112y x x x x x x x =-++=--+=--++=--+∴该二次函数的顶点式为()223693112y x x x =-++=--+，函数图像的开口方向向下，对称轴为直线1x =，顶点的坐标为()1,12；（2）解：平移后的新抛物线的解析式为()23312y x =--+，得到顶点()3,12D ，当0y =时，由()23312=0x --+得：11x =，25x =，即点()()1,05,0A B 、，即4AB =，当0x =时，由=15y -即点()0,15C -，∴四边形DACB 的面积1141241524305422ABD ABC S S =+=+创=+=【点睛】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与图形、二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答的关键．22．(1)点C 与水平桌面的距离为20cm 4+(2)支架不会倾倒【分析】（1）过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ，由题意得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，解Rt BFC △求出cm 4CF =，则20cm 4CE CF EF +=+=；（2）过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．先解Rt CDH △求出14.1cm CH FK ==，再解在Rt BFC △求出9.25cm BF =，即可得到 4.85cm BK =，由此即可得到答案．【详解】（1）解：过点C 作CE MN ⊥于E ，过点B 作BF CE ⊥于F ．由题意可得，5cm 60AB EF CBF ==∠=︒，，在Rt BFC △中，906018.5cm BFC CBF BC ∠=︒∠=︒=，，，∴sin sin 602CF CBF BC ∠==︒=，即3722CF =，∴CF =∴CE CF EF =+=，∴此时点C与水平桌面的距离为20cm 4．（2）解：过点C 作CG BF ∥，过点作DH CG ^于H ，DH 与BF 交于点K ．由题意可知，在Rt CDH △中，90CDH ∠=︒，20DCH ∠=︒，15cm CH FK CD ==，，∴cos CH DCH CD ∠=，即0.9415CH =∴14.1cm CH FK ==，在Rt BFC △中90BFC ∠=︒，60CBF ∠=︒，18.5cm BC =，∴cos BF CBF BC ∠=，即1218.5BF =，∴9.25cm BF =，∴ 4.85cmBK KF BF CH BF =-=-=∵ 4.855BK =<，∴支架不会倾倒．【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，矩形的性质与判定，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．(1)见解析(2)见解析【分析】（1）先证明ABD DCE ∽△△，得到BAD CDE ∠=∠，根据ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，即可证明60ADE B ︒∠=∠=；（2）联结AF ，先证明ADF △是等边三角形，得到60AFD ︒∠=，进而证明AEF DEC ∽△△，AED FEC △∽△，从而得到60FCA ADF ︒∠=∠=，180B FCB ︒∠+∠=，即可证明CF AB ∥．【详解】（1）证明：∵ABC 是等边三角形，∴60B ACB ︒∠=∠=，AB BC=∵BC CE BD DC = ，∴BC BD DC CE=∴AB BD DC CE =，∴ABD DCE ∽△△，∴BAD CDE ∠=∠，∵ADC ADE CDE ∠=∠+∠，ADC B BAD ∠=∠+∠，∴60ADE B ︒∠=∠=；（2）证明：如图，联结AF ，∵DF AD =，且60ADF ︒∠=，∴ADF △是等边三角形，∴60AFD ︒∠=，∵60AFD ACB ∠=∠=︒，AEF DEC ∠=∠，∴AEF DEC ∽△△，∴AE EF DE EC =，∴AE DE EF EC=，又∵AED FEC ∠=∠，∴AED FEC △∽△，∴60FCA ADF ︒∠=∠=，∵60B ︒∠=，120FCB FCA ACB ︒∠=∠+∠=，∴180B FCB ︒∠+∠=，∴CF AB ∥．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质等知识，熟知相似三角形的判定定理和性质定理，根据题意添加适当辅助线是解题关键，24．(1)239344y x x =-++(2)①922P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；②()33P ，【分析】（1）根据待定系数法求解即可；（2）①过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H ，根据三线合一的性质，得出PH HE =，再根据平行线的判定，得出CH OB ∥，再根据平行线的性质，得出HCE CBO ∠=∠，再根据正切的定义，得出34EH OC CH OB ==，然后设4CH k =，则3PH EH k ==，再根据线段之间的数量关系，得出33PD k =+，进而得出点P 坐标为()433k k +，，再把点P 的坐标代入239344y x x =-++，计算即可得出点P 的坐标；②根据相似三角形的判定，得出PFB BAC ∽，再根据两点之间的距离和勾股定理，得出5AB BC ==，再根据相似三角形的性质，得出PF PB =，再根据三线合一的性质，得出12FD BD FB ==，然后设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >，再根据正切的定义，得出tan tan CAB BFP ∠=∠，进而得出23934434x x x-++=-，解出即可得出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵抛物线23y ax bx =++经过点()()1,04,0A B -、∴可得：0301643a b a b =-+⎧⎨=++⎩，解得39,44a b =-=，∴239344y x x =-++；（2）解：①如图，过点C 作CH 垂直于PD ，垂足为点H，∵CP CE =，CH PE ⊥，∴PH HE =，∵()0,3C ，()4,0B ，∴3OC =，4OB =，∵CH PD ⊥，PD OB ⊥，∴CH OB ∥，∴HCE CBO ∠=∠，∴tan tan HCE CBO ∠=∠，∴34EH OC CH OB ==，设4CH k =，则3PH EH k ==，∴33PD HD HP OC HP k =+=+=+，∴点P 坐标为()433k k +，，又∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，∴()()2393344344k k k +=-⨯+⨯+，解得：12k =，0k =（舍去），∴14422k =⨯=，19333322k +=+⨯=，∴92,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．②如图，∵PF AC ∥，∴CAB PFB ∠=∠，又∵BPF CBA ∠=∠，∴PFB BAC ∽，∵()415AB =--=，5BC ==，∴5AB BC ==，∴PF PB =，又∵PD OB ⊥，∴12FD BD FB ==，∵点P 在抛物线239344y x x =-++上，设239,344P x x x ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，0x >．∵CAB BFP ∠=∠，∴tan tan CAB BFP ∠=∠，∴3PD CO FD AO==．即23934434x x x-++=-，解得：3x =，4x =（舍去），∴223939333334444x x -++=-⨯+⨯+=，∴()3,3P ．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、三线合一的性质、平行线的判定与性质、正切的定义、坐标与图形、解一元二次方程、两点之间的距离、勾股定理、相似三角形的判定与性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．25．(1)见解析(2)①60︒或45︒【分析】（1）由菱形的性质和平角的性质得180ABC BAD ∠+∠=︒，180BFE AFB ∠+∠=︒，已知ABC BFE ∠=∠，等量代换得AFB BAD ∠=∠，公共角ABF DBA ∠=∠，即可得证；（2）①设ABD α∠=，由菱形的性质2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，由（1）ABF ABD ∽，根据相似三角形的性质得ADB BAF α∠=∠=，故3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，根据菱形的性质易得ABF CBF ≌，再由全等三角形的性质得BCF BAF α∠=∠=，再分情况讨论当CEF △为直角三角形时，ABC ∠的大小；②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、，由菱形的性质得AC BD ⊥，根据直角三角形的性质得90BCO OBC ∠+∠=︒，由DE CF ⊥，得90DEC FCE ∠+∠=︒，根据相似三角形的性质和菱形的性质得FCE FAB OBC ∠=∠=∠，由等角的余角相等得DEC BCO ∠=∠，由等角对等边及平行线分线段成比例可得四边形AECD 为等腰梯形，易得FEC BAD ∠=∠，EF EC =，由DE FC ⊥，可得DC DF BC ==，设设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，由相似三角形的性质解得BF ，由菱形的性质求得BO ，即可求解．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是菱形，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，又 180BFE AFB ∠+∠=︒且ABC BFE ∠=∠，∴AFB BAD ∠=∠．又ABF DBA ∠=∠，∴ABF DBA ∽△△．（2）解：①设ABD α∠=，四边形ABCD 是菱形，∴AB AD =，BD 平分ABC ∠．∴ADB ABD α∠=∠=，CBD ABD α∠=∠=，∴2ABC CBD ABD α∠=∠+∠=，ABF ABD ∽，∴ADB BAF α∠=∠=，∴3AEC BAF ABC α∠=∠+∠=，BA BC =，CBD ABD ∠=∠，BF BF =，∴ABF CBF ≌，∴BCF BAF α∠=∠=，在CEF △中，BCF αÐ=，3AEC α∠=，故1804EFC α∠=︒-，CEF △是直角三角形，∴有以下三种可能的情形：一、90BCF α∠==︒，此时2180ABC α∠==︒，不符合题意，应舍去；二、390AEC α∠==︒，此时260ABC α∠==︒；三、180490EFC α∠=︒-=︒，此时490α=︒，245ABC α∠==︒；综上所述，当CEF △为直角三角形时，求ABC ∠的大小为60︒或45︒．②联结AC ，交BD 于点O ，记DE 分别交CF AC 、于点G H 、．四边形ABCD 是菱形，∴AC BD ⊥，∴90BOC ∠=︒，∴90BCO OBC ∠+∠=︒，DE CF ⊥，∴90EGC ∠=︒，∴90DEC FCE ∠+∠=︒，ABF ABD ∽，∴ADB FAB OBC ∠=∠=∠，∴FCE FAB OBC ∠=∠=∠，∴DEC BCO ∠=∠，∴HE HC =．AD BC ∥，∴HEHCDE AC =，∴DE AC =，∴四边形AECD 为等腰梯形．∴FEC ECD ∠=∠．又 BAD ECD ∠=∠，∴FEC BAD ∠=∠．又 CFE ECF ∠=∠，∴EF EC =．又 DE FC ⊥，∴DC DF BC ==，设BF x =，1DC DF BC ===，则1BD BF FD x =+=+，ABF ABD ∽，∴BF AB AB BD=，即111x x =+，解得BF =，∴11122BO OD BD ⎫===⨯=⎪⎪⎝⎭∴1cos 4BO ABD AB +∠==．【点睛】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，锐角三角函数，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．。
2020届徐汇区中考数学一模
徐汇区2019学年度第一学期期末质量调研一、选择题1、已知二次函数223y x x =-+-，那么下列关于该函数的判断正确的是（ ）A.该函数图像有最高点()0,3-；B.该函数图像有最低点()0,3-；C.该函数图像在x 轴的下方；D.该函数图像在对称轴左侧是下降的.2、如图，////AB CD EF ，2AC =，5AE =， 1.5BD =，那么下列结论正确的是（ ）A.154DF =B.154EF =C.154CD =D.154BF =3、已知，P 是线段AB 上的点，且2AP BP AB =⋅，那么:AP AB 的值是（ ）A.12B.32- C.12D.32+ 4、在Rt ABC 中，90B ∠=，3BC =，5AC =，那么下列结论正确的是（ ）A.3sin 4A =B.4cos 5A =C.5cot 4A =D.4tan 3A =5、跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为60，那么此时小李离着落点A 的距离是（ ）A.200米B.400米6、下列命题中，假命题是（ ） A.凡有内角为30的直角三角形都相似 B.凡有内角为45的等腰三角形都相似C.凡有内角为60的直角三角形都相似D.凡有内角为90的等腰三角形都相似二、填空题7、计算：2sin 60cot 30tan 45-⋅= .8、已知线段4a =厘米，9c =厘米，那么线段a 、c 的比例中项b = 厘米.92，那么它们的相似比是10、四边形ABCD 和四边形''''A B C D 是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与'A 、'B 、'C 、'D 对应，已知3BC =， 2.4CD =，''2B C =，那么''C D 的长是 .11、已知二次函数()222y x =+，如果2x >-，那么y 随x 的增大而 .12、同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高 是 米.13、一山坡的坡度1:3i =，小刚从山坡脚下点P 处上坡走了N 处，那么他上升的高度 是 米.14、在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，6AB =，4AC =，5BC =，2AD =，3AE =，那么DE 的长是 .15、如图，在Rt ABC 中，90C ∠=，2AC =，1BC =，正方形DEFG 内接于ABC ，点G 、F 分别在边AC 、BC 上，点D 、E 在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 .16、如图，在ABC 中，点D 在边BC 上，AD AC ⊥，BAD C ∠=∠，2BD =，6CD =，那么tan C = .17、我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中ABC 的中线BD 、CE 互相垂直于点G ，如果9BD =，12CE =，那么D 、E 两点间的距离是 .18、如图，在矩形ABCD 中，3AB =，4AD =，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形''''A B C D ，点A 的对应点'A 在对角线AC 上，点C 、D 分别与点'C 、'D 对应，''A D 与边BC 交于点E ，那么BE 的长是 .三、解答题19、已知：::2:3:5a b c =， （1）求代数式323a b ca b c-++-的值；（2）如果324a b c -+=，求,,a b c 的值.20、已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（1）请写出该二次函数图像的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求ABC 的面积.21、如图，一艘游艇在离开码头A 处后，沿南偏西60方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）.1.414= 1.732=2.449=）22、如图，在ABC 中，AD 、BE 是ABC 的角平分线，BE CE =，2AB =，3AC =， （1）设AB a =，BC b =，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将ABC 沿直线AD 翻折后，点B 在边AC 上的点F 重合，联结DF ，求:SCDFCEBS的值》23、如图，在ABC 中，点,,,D E F G 分别在AB 、AC 、BC 上，3AB AD =，2CE AE =，BF FG CG ==，DG 与EF 交于点H .（1）求证：FH AC HG AB ⋅=⋅；（2）联结DF EG ，求证：A FDG GEF ∠=∠+∠.24、如图，将抛物线2443y x =-+平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，tan 4B =，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D . （1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线2443y x =-+沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当D E F 和ABC 相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式；25、如图，在ABC 中，5AB AC ==，6BC =，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点,A B 重合），点G 在边AB 的延长线上，CDE A ∠=∠，GBE ABC ∠=∠，DE 与边BC 交于点F . （1）求cos A 的值；（2）当2A ACD ∠=∠时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，:AD BE 的值是否会发生变化？如果不变化，请求:AD BE 的值；如果变化，请说明理由.参考答案1-6、CDABDB7、0 8、6 92 10、1.6 11、增大 12、2813、50 14、52 15 16、12 17、5 18、25819、（1）1；（2）6,9,15a b c ===20、（1）开口向上，对称轴：2x =；顶点()2,1-，3m =；（2）3 21、386米 22、（1）4599BE b a =-；（2）92523、证明略24、（1）161,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）()2,4-；（3）242433y x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭或2414312y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭25、（1）725；（2）12539；（3）5:6。
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷-解析版
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.已知二次函数y=−x2+2x−3，那么下列关于该函数的判断正确的是()A. 该函数图象有最高点(0,−3)B. 该函数图象有最低点(0,−3)C. 该函数图象在x轴的下方D. 该函数图象在对称轴左侧是下降的2.如图，AB//CD//FF，AC=2，AE=5，BD=1.5，那么下列结论正确的是()A. DF=154B. EF=154C. CD=154D. BF=1543.已知，P是线段AB上的点，且AP2=BP⋅AB，那么AP：AB的值是()A. √5−12B. 3−√52C. √5+12D. 3+√524.在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，AC=5，那么下列结论正确的是()A. sinA=34B. cosA=45C. cotA=54D. tanA=435.跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是()A. 200米B. 400米C. 2003√3米 D. 4003√3米6.下列命题中，假命题是()A. 凡有内角为30°的直角三角形都相似B. 凡有内角为45°的等腰三角形都相似C. 凡有内角为60°的直角三角形都相似D. 凡有内角为90°的等腰三角形都相似二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2sin60°−cot30°⋅tan45°=______．8.如果线段a=4厘米，c=9厘米，那么线段a、c的比例中项b=______厘米．9.如果两个相似三角形的对应高比是√3：2，那么它们的相似比是______．10.四边形ABCD和四边形A′B′C′D′是相似图形，点A、B、C、D分别与A′、B′、C′、D′对应，已知BC=3，CD=2.4，B′C′=2，那么C′D′的长是______．11.已知二次函数y=2(x+2)2，如果x>−2，那么y随x的增大而______．12.同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是______米．13.一山坡的坡度i=1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50√10米到达点N处，那么他上升的高度是______米．14.在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB=6，AC=4，BC=5，AD=2，AE=3，那么DE的长是______．15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是______．16.如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD=∠C，BD=2，CD=6，那么tanC=______．17.我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE互相垂直于点G，如果BD=9，CE=12，那么D、E两点间的距离是______．18.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A′BC′D′，点A的对应点A′在对角线AC上，点C、D分别与点C′、D′对应，A′D′与边BC交于点E，那么BE的长是______．三、计算题（本大题共1小题，共10.0分）19.已知：a：b：c=2：3：5．(1)求代数式3a−b+c的值；2a+3b−c(2)如果3a−b+c=24，求a，b，c的值．四、解答题（本大题共6小题，共68.0分）20.2x…01234…y…30−10m…(2)设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．21. 如图，一艘游艇在离开码头A 处后，沿南偏西60°方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离(精确到1米)．(参考数据：√2=1.414，√3=1.732，√6=2.449)22. 如图，在△ABC 中，AD 、BE 是△ABC 的角平分线，BE =CE ，AB =2，AC =3．(1)设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，求向量BE ⃗⃗⃗⃗⃗ (用向量a ⃗ 、b ⃗ 表示) (2)将△ABC 沿直线AD 翻折后，点B 在边AC 上的点F重合，联结DF ，求S △CDF ：S △CEB 的值．23. 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F ，G 分别在AB 、AC 、BC上，AB =3AD ，CE =2AE ，BF =FG =CG ，DG 与EF 交于点H ．(1)求证：FH ⋅AC =HG ⋅AB ；(2)联结DF ，EG ，求证：∠A =∠FDG +∠GEF ．x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线24.如图，将抛物线y=−43与x轴正半轴交于点B，联结BC，tanB=4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．(1)求点D的坐标；(2)设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，(3)在(2)的条件下，将抛物线y=−43当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点D是边AB上的动点(点D不与点AB重合)，点G在边AB的延长线上，∠CDE=∠A，∠GBE=∠ABC，DE与边BC交于点F．(1)求cos A的值；(2)当∠A=2∠ACD时，求AD的长；(3)点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．答案和解析1.【答案】C【解析】【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【解答】解：∵二次函数y =−x 2+2x −3=−(x −1)2−2，∴该函数图象有最高点(1,−2)，故选项A 错误，选项B 错误； 该函数图象在x 轴下方，故选项C 正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D 错误； 故选C ．2.【答案】D【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理计算后判断即可． 【解答】解：∵AB//CD//FF ，AC =2，AE =5，BD =1.5， ∴AC CE =BD DF，即25−2=1.5DF ， 解得：DF =94，∴BF =BD +DF =94+32=154，故选D ．3.【答案】A【解析】【分析】本题考查了黄金分割、解决本题的关键是利用一元二次方程解决问题． 根据黄金分割定义即可求解． 【解答】解：设AB 为1，AP 为x ，则BP 为1−x ， ∵AP 2=BP ⋅AB ，∴x 2=(1−x)×1 解得x 1=√5−12，x 2=−1−√52(舍去)．∴AP：AB=√5−12．故选A．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查勾股定理及锐角三角函数的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．根据勾股定理求出AB，再根据锐角三角函数的定义解决问题即可．【解答】解：如图，∵∠B=90°，BC=3，AC=5，∴AB=√AC2−BC2=√52−32=4，∴cosA=ABAC =45，故选B．5.【答案】D【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用--仰角俯角问题，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．已知直角三角形的一个锐角和直角边求斜边，运用三角函数定义解答．【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是200sin60∘=400√33，故选D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．根据相似三角形的判定定理对各小题分析判断即可判断．【解答】解：A.凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B.凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C.凡有内角为60°的直角三角形都相似，所以C选项的命题为真命题；D.凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选B．7.【答案】0【解析】【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案．【解答】−√3×1解：原式=2×√32=√3−√3=0．故答案为0．8.【答案】6【解析】【分析】根据比例中项的定义得到a：b=b：c，然后利用比例性质计算即可．本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等，如a：b=c：d(即ad=bc)，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b=b：c，即4：b=b：9，∴b2=36，解得：b=±6(负值舍去)．故答案为：6．9.【答案】√3：2【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比是解题的关键．根据相似三角形对应高的比等于相似比解答．【解答】解：∵两个相似三角形的对应高比是√3：2，∴它们的相似比是√3：2，故答案为√3：2．10.【答案】1.6【解析】【分析】本题考查相似多边形的性质，解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质．相似多边形的对应边成比例，根据相似多边形的性质即可解决问题．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′，∴CD：C′D′=BC：B′C′，∵BC=3，CD=2.4，B′C′=2，∴C′D′=1.6，故答案为1.6．11.【答案】增大【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的增减性是解题的关键．由二次函数解析式可求得其对称轴，结合二次函数的增减性可求得答案．【解答】解：∵y=2(x+2)2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x=−2，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x>−2时，y随x的增大而增大，故答案为增大．12.【答案】28【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子长比值是相同的．根据成比例关系可知，旗杆高比上旗杆的影长等于铁塔的高比上铁塔的影长，代入数据即可得出答案．【解答】解：设铁塔高度为x，有129=x21，解得：x=28，答：铁塔的高是28米，故答案为28．13.【答案】50【解析】【分析】本题考查的是解直角三角形的应用−坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键．设坡面的铅直高度为x米，根据坡度的概念用x表示出坡面的水平宽度，根据勾股定理计算即可．【解答】解：设坡面的铅直高度为x米，∵山坡的坡度i=1：3，∴坡面的水平宽度为3x米，由勾股定理得，(3x)2+x2=(50√10)2，解得，x=50，则他上升的高度是50米，故答案为50．14.【答案】52【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．通过证明△AED∽△ABC，可得DEBC =ADAC=12，即可求解．【解答】解：∵ADAC =24=12，AEAB=36=12，∴ADAC =AEAB，且∠DAE=∠BAC，∴△AED∽△ABC，∴DEBC =ADAC=12，∴DE=12BC=52，故答案为52．15.【答案】2√57【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理等知识；正确作出辅助线、灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．作CM⊥AB于M，交GF于N，由勾股定理得出AB=√22+12=√5，由面积法求出CM=AC×BC AB =2√55，证明△CGF∽△CAB，得出CNCM=GFAB，即可得出答案．【解答】解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，∴AB=√22+12=√5，∴CM=AC×BCAB =√5=2√55，∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF=EF=MN，GF//AB，∴△CGF∽△CAB，∴CNCM =GFAB，即2√55−EF2√55=√5，解得：EF=2√57；故答案为2√57．16.【答案】12【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及锐角三角函数的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．证明△ABD∽△CBA，得出ADAC =ABBC=BDAB，求出AB=4，由三角函数定义即可得出答案．【解答】解：∵BD=2，CD=6，∴BC=BD+CD=8，∵∠B=∠B，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CBA，∴ADAC =ABBC=BDAB，∴AB2=BD×BC=2×8=16，∴AB=4，∵AD⊥AC，∴tanC=ADAC =ABBC=48=12；故答案为12．17.【答案】5 【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理是解题的关键．连接DE ，证明DE 是△ABC 的中位线，得出DE =12BC ，DE//BC ，证明△GDE∽△GBC ，得出GD GB =GE GC =DE BC =12，求出GC =8，GB =6，由勾股定理得出BC =√GC 2+GB 2=10，即可得出答案．【解答】解：连接DE ，如图所示：∵△ABC 的中线BD 、CE 互相垂直，∴DE 是△ABC 的中位线，∠BGC =90°， ∴DE =12BC ，DE//BC ，∴△GDE∽△GBC ，∴GDGB =GE GC=DE BC =12， ∴GC =23CE =23×12=8，GB =23BD =23×9=6，∴BC =√GC 2+GB 2=√82+62=10，∴DE =5；故答案为5．18.【答案】258【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，求出HC 的长是本题的关键． 如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，由勾股定理可求AC =5，由面积法可求BF =125，由勾股定理可求AF =95，由旋转的性质可得AB =BA′，∠BAD =∠BA′D′=90°，可求A′C =75，由等腰三角形的性质可求HC 的长，通过证明△EHC∽△ABC ，可得BC AC =HC EC ，可求EC 的长，即可求解．【解答】解：如图，过点B 作BF ⊥AC ，过点E 作EH ⊥AC ，∵AB=3，AD=4，∠ABC=90°，∴AC=√AB2+BC2=√9+16=5，∵S△ABC=12AB×BC=12AC×BF，∴3×4=5BF，∴BF=125，∴AF=√AB2−BF2=√9−14425=95，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A′BC′D′，∴AB=BA′，∠BAD=∠BA′D′=90°，且BF⊥AC，∴∠BAC=∠BA′A，AF=A′F=95，∠BA′A+∠EA′C=90°，∴A′C=AC−AA′=75，∵∠BA′A+∠EA′C=90°，∠BAA′+∠ACB=90°，∴∠ACB=∠EA′C，∴A′E=EC，且EH⊥AC，∴A′H=HC=12A′C=710，∵∠ACB=∠ECH，∠ABC=∠EHC=90°，∴△EHC∽△ABC，∴BCAC=HCEC∴45=710EC∴EC=78，∴BE=BC−EC=4−78=258，故答案为258．19.【答案】解：∵a：b：c=2：3：5，∴可设a=2k，b=3k，c=5k(k≠0)，(1)3a−b+c2a+3b−c =6k−3k+5k4k+9k−5k=1；(2)∵3a−b+c=24，∴6k −3k +5k =24，解得k =3．则a =2k =6，b =3k =9，c =5k =15．【解析】本题考查了比例的性质，利用“设k 法”求解更简便．(1)根据比例设a =2k ，b =3k ，c =5k(k ≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解；(2)先设a =2k ，b =3k ，c =5k(k ≠0)，然后将其代入3a −b +c =24，即可求得a 、b 、c 的值．20.【答案】解：(1)由表格可知，该函数有最小值，当x =2时，y =−1，当x =4和x =0时的函数值相等，则m =3， 即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x =2，顶点坐标为(2,−1)，m 的值是3；(2)由题意可得，点B 的坐标为(1,0)，点A 的坐标为(2,−1)，点C 的坐标为(4,3)，设直线AC 的函数解析式为y =kx +b ，{2k +b =−14k +b =3，得{k =2b =−5， 所以直线AC 的函数解析式为y =2x −5，当y =0时，0=2x −5，得x =2.5，则直线AC 与x 轴的交点为(2.5,0)，故△ABC 的面积是：(2.5−1)×32+(2.5−1)×|−1|2=3．【解析】(1)根据表格中的数据和二次函数的性质，可以得到该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m 的值；(2)根据表格中的数据和题意，可以写出点B 、点A 和点C 的坐标，再求出直线AC 和x 轴的交点，即可得到△ABC 的面积．本题考查抛物线与x 轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21.【答案】解：过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △BCD 中，∵∠D =90°，∠DBC =45°，∴∠DBC =∠DCB =45°，∴BD =CD ，在Rt △ABD 中，∵∠DAB =30°，∴AD =√3BD ，∵AC =200，∴√3BD −BD =200，∴BD =√3−1=100(√3+1)，∴BC =√2BD =100(√3+1)×√2≈386米，答：此时游轮与灯塔C 的距离为386米．【解析】过B 作BD ⊥AC 于D ，解直角三角形即可得到结论．本题考查的是解直角三角形的应用，仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．22.【答案】解：(1)∵EB =EC ，∴∠EBC =∠C ，∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE =∠EBC ，∴∠ABE =∠C ，∵∠BAE =∠CAB ，∴△BAE∽△CAB ，∴AB 2=AE ⋅AC ，∴AE =43， ∴AE =49AC ， ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ +b ⃗ ，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =49a ⃗ +49b ⃗ ， ∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a ⃗ +49a ⃗ +49b ⃗ =49b ⃗ −59a ⃗ ．(2)∵AD 平分∠BAC ，∴AB AC =BD DC =23，由翻折可知：∠ABC =∠AFD ，∵∠ABC =2∠C ，∴∠AFD =2∠C ，∵∠AFD =∠FDC +∠C ，∴∠FDC =∠C ，∵∠EBC =∠C ，∴∠FDC =∠EBC ，∴DF//BE ，∴△CFD∽△CEB ，∴S △CFD S △CEB =(CD CB )2=925．【解析】(1)利用相似三角形的性质求出AE ，求出AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，利用三角形法则即可解决问题．(2)证明DF//BE ，利用相似三角形的性质即可解决问题．本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵AB =3AD ，BF =FG =CG ，∴BD BA =BG BC =23，∠B =∠B ，∴△BDG∽△BCA ，∴∠C =∠DGB ，同理可得：∠B =∠EFC ，∴△FGH∽△BCA ，∴FH AB =HGAC ，∴FH ⋅AC =HG ⋅AB ；(2)如图所示：连接DF 、EG 、DE ，∵AD AB =AE AC =13，∠A =∠A ，∴△ADE∽△ABC ，∴DEBC =13， ∴DE =FG ，DE//BC ，∴四边形DEGF 是平行四边形，∴DF//EG ，∴∠DFE =∠GEF ，∴∠FHG =∠HDF +∠DFH =∠HDF +∠GEF ，∵△FGH∽△BCA ，∴∠BAC =∠FHG ，∴∠BAC =∠FDG +∠GEF ．【解析】(1)根据已知条件可得△BGD∽△BCA ，△CEF∽△CAB ，进而可得∠HFG =∠B ，∠HGF =∠C ，可推出△HGF∽△ACB ，即可得结论；(2)连接DE ，可证明DE//BC 且DE =FG ，可得四边形DEGF 是平行四边形，即可得结论．本题考查了相似三角形的判定与性质．解决本题的关键是掌握相似三角形的判定方法并熟练运用．24.【答案】解：(1)∵抛物线y =−43x 2+4的顶点为C ，∴点C(0,4)∴OC =4，∵tanB =4=OC OB ，∴OB =1，∴点B(1,0)设点D 坐标(a,b)∴新抛物线解析式为：y =−43(x −a)2+b ，且过点C(0,4)，点B(1,0)∴{0=−43(1−a)2+b 4=−43a 2+b 解得：{a =−1b =163∴点D坐标(−1,163)(2)如图1，过点D作DH⊥OC，∵点D坐标(−1,163)∴新抛物线解析式为：y=−43(x+1)2+163，当y=0时，0=−43(x+1)2+163，∴x1=−3，x2=1，∴点A(−3,0)，∴AO=3，∴AOCO =34，∵点D坐标(−1,163)∴DH=1，HO=163，∴CH=OH−OC=43，∴DHCH =34，∴AOCO =DHCH，且∠AOC=∠DHC=90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO=∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠DCE，∴∠ACO+∠ACE=∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE=180°∴∠ECO=∠ECH=90°=∠AOB，∴EC//AO，∴点E纵坐标为4，∴4=−43(x+1)2+163，∴x1=−2，x2=0，∴点E(−2,4)，(3)如图2，∵点E(−2,4)，点C(0,4)，点A(−3,0)，点B(1,0)，点D 坐标(−1,163)∴DE =DC =53，AC =√AO 2+CO 2=√16+9=5，AB =3+1=4，∴∠DEC =∠DCE ，∵EC//AB ，∴∠ECA =∠CAB ，∴∠DEC =∠CAB ，∵△DEF 和△ABC 相似∴DE AC =EF AB 或DE AB =EF AC ， ∴535=EF 4或534=EF 5∴EF =43或2512∴点F(−23,4)或(112,4)设平移后解析式为：y =−43(x +1−c)2+4，∴4=−43(−23+1−c)2+4或4=−43(112+1−c)2+4，∴c 1=13，c 2=1312∴平移后解析式为：y =−43(x +23)2+4或y =−43(x −112)2+4，【解析】(1)设点D 坐标(a,b)，可得新抛物线解析式为：y =−43(x −a)2+b ，先求出点C ，点B 坐标，代入解析式可求解；(2)通过证明△AOC∽△CHD ，可得∠ACO =∠DCH ，可证EC//AO ，可得点E 纵坐标为4，即可求点E 坐标；(3)分两种情况讨论，由相似三角形的性质可求点F 坐标，即可求平移后得到抛物线的表达式．本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，二次函数的应用，相似三角形的判定和性质，待定系数法求解析式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．25.【答案】解：(1)作AH ⊥BC 于H ，BM ⊥AC 于M ．∵AB =AC ，AH ⊥BC ，∴BH =CH =3， ∴AH =√AB 2−BH 2=√52−32=4， ∵S △ABC =12⋅BC ⋅AH =12⋅AC ⋅BM ， ∴BM =BC⋅AHAC =245，∴AM =√AB 2−BM 2=√52−(245)2=75，∴cosA =AMAB =725．(2)设AH 交CD 于K ．∵∠BAC =2∠ACD ，∠BAH =∠CAH ，∴∠CAK =∠ACK ，∴CK =AK ，设CK =AK =x ，在Rt △CKH 中，则有x 2=(4−x)2+32，解得x =258，∴AK =CK =258，∵∠ADK =∠ADC ，∠DAK =∠ACD ，∴△ADK∽△CDA ，∴AD CD =AKAC=DK AD =2585=58，设AD =m ，DK =n ， 则有{mn+258=58m 2=n(n +258)，解得m =12539，n =625312． ∴AD =12539．(3)结论：AD ：BE =5：6值不变．理由：∵∠GBE =∠ABC ，∠BAC +2∠ABC =180°，∠GBE +∠EBC +∠ABC =180°， ∴∠EBC =∠BAC ，∵∠EDC =∠BAC ，∴∠EBC =∠EDC ，∴D ，B ，E ，C 四点共圆，∴∠EDB =∠ECB ，∵∠EDB +∠EDC =∠ACD +∠DAC ，∠EDC =∠DAC ，∴∠EDB =∠ACD ，∴∠ECB =∠ACD ，∴△ACD∽△BCE ，∴AD BE =AC BC =56．【解析】(1)作AH ⊥BC 于H ，BM ⊥AC 于M.解直角三角形求出BM ，AM 即可解决问题． (2)设AH 交CD 于K.首先证明AK =CK ，设AK =CK =x ，在Rt △CHK 中，理由勾股定理求出x ，再证明△ADK∽△CDA ，理由相似三角形的性质构建方程组即可解决问题．(3)结论：AD：BE=5：6值不变．证明△ACD∽△BCE，可得ADBE =ACBC=56．本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷详细解析
2020年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，那么下列关于该函数的判断正确的是（）A．该函数图象有最高点（0，﹣3）B．该函数图象有最低点（0，﹣3）C．该函数图象在x轴的下方D．该函数图象在对称轴左侧是下降的【解答】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴该函数图象有最高点（1，﹣2），故选项A错误，选项B错误；该函数图象在x轴下方，故选项C正确；该函数图象在对称轴左侧是上升的，故选项D错误；故选：C．2．如图，AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，那么下列结论正确的是（）A．DF＝B．EF＝C．CD＝D．BF＝【解答】解：∵AB∥CD∥FF，AC＝2，AE＝5，BD＝1.5，∴，即，解得：DF＝，∴BF＝BD+DF＝，故选：D．3．已知，P是线段AB上的点，且AP2＝BP•AB，那么AP：AB的值是（）A．B．C．D．【解答】解：设AB为1，AP为x，则BP为1﹣x，∵AP2＝BP•AB，∴x2＝（1﹣x）×1解得x1＝，x2＝（舍去）．∴AP：AB＝．故选：A．4．在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，那么下列结论正确的是（）A．sin A＝B．cos A＝C．cot A＝D．tan A＝【解答】解：如图，∵∠B＝90°，BC＝3，AC＝5，∴AB＝＝＝4，∴cos A＝＝，故选：B．5．跳伞运动员小李在200米的空中测得地面上的着落点A的俯角为60°，那么此时小李离着落点A的距离是（）A．200米B．400米C．米D．米【解答】解：根据题意，此时小李离着落点A的距离是＝，故选：D．6．下列命题中，假命题是（）A．凡有内角为30°的直角三角形都相似B．凡有内角为45°的等腰三角形都相似C．凡有内角为60°的直角三角形都相似D．凡有内角为90°的等腰三角形都相似【解答】解：A、凡有内角为30°的直角三角形都相似，所以A选项的命题为真命题；B、凡有内角为45°的等腰三角形不一定相似，所以B选项的命题为假命题；C、凡有内角为60°的直角三角形都相似所以C选项的命题为真命题；D、凡有内角为90°的等腰三角形都相似，所以D选项的命题为真命题．故选：B．二、填空题7．计算：2sin60°﹣cot30°•tan45°＝0．【解答】解：原式＝2×﹣×1＝﹣＝0．故答案为：0．8．如果线段a＝4厘米，c＝9厘米，那么线段a、c的比例中项b＝6厘米．【解答】解：∵线段a和c的比例中项为b，∴a：b＝b：c，即4：b＝b：9，∴b＝±6（负值舍去）．故答案为：6．9．如果两个相似三角形的对应高比是：2，那么它们的相似比是：2．【解答】解：∵两个相似三角形的对应高比是：2，∴它们的相似比是：2，故答案为：：2．10．四边形ABCD和四边形A'B'C'D'是相似图形，点A、B、C、D分别与A'、B'、C'、D'对应，已知BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，那么C′D'的长是 1.6．【解答】解：∵四边形ABCD∽四边形A'B'C'D'，∴CD：C′D′＝BC：B′C′，∵BC＝3，CD＝2.4，B'C′＝2，∴C′D′＝1.6，故答案为：1.6．11．已知二次函数y＝2（x+2）2，如果x＞﹣2，那么y随x的增大而增大．【解答】解：∵y＝2（x+2）2，∴抛物线开口向上，且对称轴为x＝﹣2，∴在对称轴右侧y随x的增大而增大，∴当x＞﹣2时，y随x的增大而增大，故答案为：增大．12．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是28米．【解答】解：设铁塔高度为x，有＝，解得：x＝28，答：铁塔的高是28米，故答案为：28．13．一山坡的坡度i＝1：3，小刚从山坡脚下点P处上坡走了50米到达点N处，那么他上升的高度是50米．【解答】解：设坡面的铅直高度为x米，∵山坡的坡度i＝1：3，∴坡面的水平宽度为3x米，由勾股定理得，（3x）2+x2＝（50）2，解得，x＝50，则他上升的高度是50米，故答案为：50．14．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，AB＝6，AC＝4，BC＝5，AD＝2，AE＝3，那么DE的长是．【解答】解：∵＝，，∴，且∠DAE＝∠BAC，∴△AED∽△ABC，∴，∴DE＝BC＝，故答案为：．15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，正方形DEFG内接于△ABC，点G、F分别在边AC、BC上，点D、E在斜边AB上，那么正方形DEFG的边长是．【解答】解：作CM⊥AB于M，交GF于N，如图所示：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，∴AB＝＝，∴CM＝＝＝，∵正方形DEFG内接于△ABC，∴GF＝EF＝MN，GF∥AB，∴△CGF∽△CAB，∴＝，即＝，解得：EF＝；故答案为：．16．如图，在△ABC中，点D在边BC上，AD⊥AC，∠BAD＝∠C，BD＝2，CD＝6，那么tan C＝．【解答】解：∵BD＝2，CD＝6，∴BC＝BD+CD＝8，∵∠B＝∠B，∠BAD＝∠C，∴△ABD∽△CBA，∴＝＝，∴AB2＝BD×BC＝2×8＝16，∴AB＝4，∵AD⊥AC，∴tan C＝＝＝＝；故答案为：．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，其中△ABC的中线BD、CE 互相垂直于点G，如果BD＝9，CE＝12，那么D、E两点间的距离是5．【解答】解：连接DE，设BD、CE交于点P，如图所示：∵△ABC的中线BD、CE互相垂直，∴DE是△ABC的中位线，∠BPC＝90°，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝＝＝，∴PC＝CE＝×12＝8，PB＝BD＝×9＝6，∴BC＝＝＝10，∴DE＝5；故答案为：5．18．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，点A的对应点A'在对角线AC上，点C、D分别与点C'、D'对应，A′D'与边BC交于点E，那么BE的长是．【解答】解：如图，过点B作BF⊥AC，过点E作EH⊥AC，∵AB＝3，AD＝4，∠ABC＝90°，∴AC＝＝＝5，∵S△ABC＝AB×BC＝AC×BF，∴3×4＝5BF，∴BF＝∴AF＝＝＝，∵将矩形ABCD绕着点B顺时针旋转后得到矩形A'BC'D'，∴AB＝BA'，∠BAD＝∠BA'D'＝90°，且BF⊥AC，∴∠BAC＝∠BA'A，AF＝A'F＝，∠BA'A+∠EA'C＝90°，∴A'C＝AC﹣AA'＝，∵∠BA'A+∠EA'C＝90°，∠BAA'+∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠EA'C，∴A'E＝EC，且EH⊥AC，∴A'H＝HC＝A'C＝，∵∠ACB＝∠ECH，∠ABC＝∠EHC＝90°，∴△EHC∽△ABC，∴∴∴EC＝，∴BE＝BC﹣EC＝4﹣＝，故答案为：．三、解答题19．已知：a：b：c＝2：3：5（1）求代数式的值；（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．【解答】解：（1）∵a：b：c＝2：3：5，∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则＝＝1；（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．20．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）自变量x的值和它对应的函数值y如表所示：x…01234…y…30﹣10m…（1）请写出该二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和m的值；（2）设该二次函数图象与x轴的左交点为B，它的顶点为A，该图象上点C的横坐标为4，求△ABC的面积．【解答】解：（1）由表格可知，该函数有最小值，当x＝2时，y＝﹣1，当x＝4和x＝0时的函数值相等，则m＝3，即该二次函数图象的开口方向向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），m的值是3；（2）由题意可得，点B的坐标为（1，0），点A的坐标为（2，﹣1），点C的坐标为（4，3），设直线AC的函数解析式为y＝kx+b，，得，所以直线AC的函数解析式为y＝2x﹣5，当y＝0时，0＝2x﹣5，得x＝2.5，则直线AC与x轴的交点为（2.5，0），故△ABC的面积是：＝3．21．如图，一艘游艇在离开码头A处后，沿南偏西60°方向行驶到达B处，此时从B处发现灯塔C在游轮的东北方向，已知灯塔C在码头A的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C的距离（精确到1米）．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.449）【解答】解：过B作BD⊥AC于D，在Rt△BCD中，∵∠D＝90°，∠DBC＝45°，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴BD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠DAB＝30°，∴AD＝BD，∵AC＝200，∴BD﹣BD＝200，∴BD＝＝100（+1），∴BC＝BD＝100（+1）×≈386米，答：此时游轮与灯塔C的距离为386米．22．如图，在△ABC中，AD、BE是△ABC的角平分线，BE＝CE，AB＝2，AC＝3．（1）设＝，＝，求向量（用向量、表示）（2）将△ABC沿直线AD翻折后，点B在边AC上的点F重合，联结DF，求S△CDF：S的值．△CEB【解答】解：（1）∵EB＝EC，∴∠EBC＝∠C，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠ABE＝∠C，∵∠BAE＝∠CAB，∴△BAE∽△CAB，∴AB2＝AE•AC，∴AE＝，∴AE＝AC，∵＝+，∴＝+，∴＝+，∴＝+＝﹣++＝﹣．（2）∵AD平分∠BAC，∴＝＝，由翻折可知：∠ABC＝∠AFD，∵∠ABC＝2∠C，∴∠AFD＝2∠C，∵∠AFD＝∠FDC+∠C，∴∠FDC＝∠C，∵∠EBC＝∠C，∴∠FDC＝∠EBC，∴DF∥BE，∴△CFD∽△CEB，∴＝（）2＝．23．如图，在△ABC中，点D，E，F，G分别在AB、AC、BC上，AB＝3AD，CE＝2AE，BF＝FG＝CG，DG与EF交于点H．（1）求证：FH•AC＝HG•AB；（2）联结DF，EG，求证：∠A＝∠FDG+∠GEF．【解答】（1）证明：∵AB＝3AD，BF＝FG＝CG，∴＝＝，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BCA，∴∠C＝∠DGB，同理可得：∠B＝∠EFC，∴△FGH∽△BCA，∴＝，∴FH•AC＝HG•AB；（2）如图所示：连接DF、EG、DE，∵＝＝，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∴DE＝FG，DE∥BC，∴四边形DEGF是平行四边形，∴DF∥EG，∴∠DFE＝∠GEF，∴∠FHG＝∠HDF+∠DFH＝∠HDF+∠GEF，∵△FGH∽△BCA，∴∠BAC＝∠FHG，∴∠BAC＝∠FDG+∠GEF．24．如图，将抛物线y＝﹣x2+4平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C，新抛物线与x 轴正半轴交于点B，联结BC，tan B＝4，设新抛物线与x轴的另一交点是A，新抛物线的顶点是D．（1）求点D的坐标；（2）设点E在新抛物线上，联结AC、DC，如果CE平分∠DCA，求点E的坐标．（3）在（2）的条件下，将抛物线y＝﹣x2+4沿x轴左右平移，点C的对应点为F，当△DEF和△ABC相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+4的顶点为C，∴点C（0，4）∴OC＝4，∵tan B＝4＝，∴OB＝1，∴点B（1，0）设点D坐标（a，b）∴新抛物线解析式为：y＝﹣（x﹣a）2+b，且过点C（0，4），点B（1，0）∴解得：∴点D坐标（﹣1，）（2）如图1，过点D作DH⊥OC，∵点D坐标（﹣1，）∴新抛物线解析式为：y＝﹣（x+1）2+，当y＝0时，0＝﹣（x+1）2+，∴x1＝﹣3，x2＝1，∴点A（﹣3，0），∴AO＝3，∴，∵点D坐标（﹣1，）∴DH＝1，HO＝，∴CH＝OH﹣OC＝，∴，∴，且∠AOC＝∠DHC＝90°，∴△AOC∽△CHD，∴∠ACO＝∠DCH，∵CE平分∠ACD，∴∠ACE＝∠DCE，∴∠ACO+∠ACE＝∠DCH+∠DCE，且∠ACO+∠ACE+∠DCH+∠DCE＝180°∴∠ECO＝∠ECH＝90°＝∠AOB，∴EC∥AO，∴点E纵坐标为4，∴4＝﹣（x+1）2+，∴x1＝﹣2，x2＝0，∴点E（﹣2，4），（3）如图2，∵点E（﹣2，4），点C（0，4），点A（﹣3，0），点B（1，0），点D坐标（﹣1，）∴DE＝DC＝，AC＝＝＝5，AB＝3+1＝4，∴∠DEC＝∠DCE，∵EC∥AB，∴∠ECA＝∠CAB，∴∠DEC＝∠CAB，∵△DEF和△ABC相似∴或，∴或∴EF＝或∴点F（﹣，4）或（，4）设平移后解析式为：y＝﹣（x+1﹣c）2+4，∴4＝﹣（﹣+1﹣c）2+4或4＝﹣（+1﹣c）2+4，∴c1＝，c2＝∴平移后解析式为：y＝﹣（x+）2+4或y＝﹣（x﹣）2+4，25．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D是边AB上的动点（点D不与点AB重合），点G在边AB的延长线上，∠CDE＝∠A，∠GBE＝∠ABC，DE与边BC交于点F．（1）求cos A的值；（2）当∠A＝2∠ACD时，求AD的长；（3）点D在边AB上运动的过程中，AD：BE的值是否会发生变化？如果不变化，请求AD：BE的值；如果变化，请说明理由．【解答】解：（1）作AH⊥BC于H，BM⊥AC于M．∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH＝3，∴AH＝＝＝4，∵S△ABC＝•BC•AH＝•AC•BM，∴BM＝＝，∴AM＝＝＝，∴cos A＝＝．（2）设AH交CD于K．∵∠BAC＝2∠ACD，∠BAH＝∠CAH，∴∠CAK＝∠ACK，∴CK＝AK，设CK＝AK＝x，在Rt△CKH中，则有x2＝（4﹣x）2+32，解得x＝，∴AK＝CK＝，∵∠ADK＝∠ADC，∠DAK＝∠ACD，∴△ADK∽△CDA，∴＝＝＝＝，设AD＝m，DK＝n，则有，解得m＝，n＝．∴AD＝．（3）结论：AD：BE＝5：6值不变．理由：∵∠GBE＝∠ABC，∠BAC+2∠ABC＝180°，∠GBE+∠EBC+∠ABC＝180°，∴∠EBC＝∠BAC，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EBC＝∠EDC，∴D，B，E，C四点共圆，∴∠EDB＝∠ECB，∵∠EDB+∠EDC＝∠ACD+∠DAC，∠EDC＝∠DAC，∴∠EDB＝∠ACD，∴∠ECB＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝．。
2020年上海市中考数学一模试卷 (含解析)
2020年上海市中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列根式中，与√3是同类二次根式的是()A. 4√6B. √18C. √32 D. √122.用换元法解方程x2−12x −4xx2−12=3时，设x2−12x=y，则原方程可化为()A. y−1y −3=0 B. y−4y−3=0 C. y−1y+3=0 D. y−4y+3=03.空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是()A. 扇形统计图B. 条形统计图C. 折线统计图D. 以上都可以4.若反比例函数y=kx的图象经过点(2,3)，则k的值是()A. 2B. 3C. 6D. 15.下列命题中，正确的是()A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形B. 有一个角为90°的四边形是平行四边形C. 对角线相等的四边形是矩形D. 对角线相等的菱形是正方形6.下列图形中可由其中的部分图形经过平移得到的是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.计算：2a2⋅3ab=______．8.已知函数f(x)=1x−2，那么f(0)=______．9.若正比例函数y=kx(k是常数，k≠0)的图像经过第一、三象限，则k的值可以是____.(写出一个值即可)．10.若关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，则k值为．11.从0～9这些自然数中，任取一个，是4的倍数的概率是______ ．12. 如果将抛物线y =3(x +1)2向上平移1个单位，再向左平移2个单位，那么所得到的抛物线的表达式是______．13. 每年5月11日是由世界卫生组织确定的世界防治肥胖日，某校为了解全校2000名学生的体重情况，随机抽测了200名学生的体重，根据体质指数(BMI)标准，体重超标的有15名学生，则估计全校体重超标学生的人数为________名．14. 如图所示，为了测量一棵树AB 的高度，测量者在D 点立一高CD =2米的标杆，现测量者从E 处可以看到杆顶C 与树顶A 在同一直线上，如果测得BD =20米，FD =4米，EF =1.8米，则树的高度为__________．15. 如图，在平行四边形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，联结AE 、BD 交于点F ，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，用a ⃗ 、b ⃗ 表示DF ⃗⃗⃗⃗⃗=______．16. 波波和爸爸两人以相同路线从家出发，步行前往公园．图中OA 、BC 分别表示爸爸和波波所走的路程y(米)与爸爸步行的时间x(分)的函数图象，已知爸爸从家步行到公园所花的时间比波波的2倍还多10分钟．则在步行过程中，他们父子俩相距的最远路程是______ 米．17. 如图，在△ABC 中，∠CAB =90°，AB =6，AC =4，CD 是△ABC 的中线，将△ABC 沿直线CD 翻折，点B′是点B 的对应点，点E 是线段CD 上的点，如果∠CAE =∠BAB′，那么CE 的长是______．18. 如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD =5，AE =2，AF =4.如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O有两个公共点，那么r 的取值范围是______．三、计算题（本大题共2小题，共20.0分）19. 化简：(12)−2−|2√2−3|+3√18；20. 解不等式组{2x ≤x +4x+33−x <−1．四、解答题（本大题共5小题，共58.0分）21. 如图，在四边形ABCD 中，∠BCD 是钝角，AB =AD ，BD 平分∠ABC ，若CD =3，BD =2√6，sin∠DBC =√33，求对角线AC 的长．22.某旅游商店8月份营业额为15万元，9月份下降了20%.受“十一”黄金周以及经济利好因素的影响，10月份、11月份营业额均比上一个月有所增长，10月份增长率是11月份增长率的1.5倍，已知该旅游商店11月份营业额为24万元．(1)问：9月份的营业额是多少万元？(2)求10月份营业额的增长率．23.如图，已知四边形ABCD是菱形，点E是对角线AC上一点，连接BE并延长交AD于点F，交CD的延长线于点G，连接DE．(1)求证：△ABE≌△ADE；(2)求证：EB2=EF⋅EG；(3)若菱形ABCD的边长为4，∠ABC=60°，AE：EC=1：3，求BG的长．24.在平面直角坐标系xOy中抛物线y=−x2+bx+c经过点A、B、C，已知A(−1,0)，C(0,3)．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BCD的面积最大时，求点P的坐标；(3)如图2，抛物线顶点为E，EF⊥x轴于F点，N是线段EF上一动点，M(m,0)是x轴上一动点，若∠MNC=90°，直接写出实数m的取值范围．25.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交BC，AC于点D，E，连结EB，交OD于点F．(1)求证：OD⊥BE．(2)若DE=√6，AB=6，求AE的长．(3)若△CDE的面积是△OBF面积的2，求线段BC与AC长度之间的等量关系，并说明理由．3【答案与解析】1.答案：D解析：此题主要考查同类二次根式的定义，属于基础题，化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式．可先将各二次根式化为最简，然后根据同类二次根式的被开方数相同即可作出判断．解：A．4√6与√3不是同类二次根式，故本选项错误；B.√18=3√2与√3不是同类二次根式，故本选项错误；C.√32=√62与√3不是同类二次根式，故本选项错误；D.√12=2√3与√3是同类二次根式，故本选项正确；故选D．2.答案：B解析：【试题剖析】【试题解析】解：∵设x2−12x=y，∴x2−12x −4xx2−12=3，可转化为：y−4y=3，即y−4y−3=0．故选：B．直接利用已知将原式用y替换得出答案．此题主要考查了换元法解分式方程，正确得出y与x值间的关系是解题关键．3.答案：A解析：此题应根据条形统计图、折线统计图、扇形统计图各自的特点进行解答．条形统计图能很容易看出数量的多少；折线统计图不仅容易看出数量的多少，而且能反映数量的增减变化情况；扇形统计图能反映部分与整体的关系；由此根据情况选择即可．解：根据统计图的特点可知：空气是由多种气体混合而成的，为了简明扼要地介绍空气的组成情况，较好地描述数据，最适合使用的统计图是扇形统计图；故选A．4.答案：C解析：本题主要考查的是反比例函数的图象，求反比例函数的解析式的有关知识．把点(2,3)代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值．，解：由题意得3=k2解得k=6．故选C．5.答案：D解析：解：A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形还可能是等腰梯形，故错误；B、有一个角是90°的平行四边形是矩形，故错误；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故错误；D、对角线相等的菱形是正方形，正确；故选D．利于平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项．本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形的判定方法、矩形的判定方法及正方形的判定方法，难度不大．6.答案：A解析：根据平移的性质，平移不改变图形的形状和大小对各选项分析判断即可得解．本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．解：A、可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项正确；B、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；C、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误；D、不可由其中的部分图形经过平移得到，故本选项错误．故选：A．7.答案：6a3b解析：解：2a2⋅3ab=6a3b，故答案为：6a3b.根据单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，计算可得．本题主要考查单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则．8.答案：−12解析：本题考查了函数值的知识，将自变量的取值代入函数解析式即可求得答案．将x=0代入f(x)=1x−2求解即可．解：∵函数f(x)=1x−2，∴f(0)=10−2=−12，故答案为：−12．9.答案：2(答案不唯一)解析：本题主要考查了正比例函数的性质，关键是掌握正比例函数图象的性质：它是经过原点的一条直线．当k>0时，图象经过一、三象限，y随x的增大而增大；当k<0时，图象经过二、四象限，y 随x的增大而减小．根据正比例函数的性质可得k>0，写一个符合条件的数即可．解：∵正比例函数y=kx(k≠0)的图象经过一、三象限，∴k>0∴k的值可以是2．故答案为2．10.答案：98解析：此题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．根据关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根可得△=(−3)2−4×2k=0，求出k的值即可．解：∵关于x的方程2x2−3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=(−3)2−4×2k=0，∴9−8k=0，∴k=9．8故答案为9．811.答案：310解析：解：∵从0−9这10个自然数中任取一个数，每个数被取到的机会相同，即这10个结果出现的机会相同，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，∴P(是4的倍数)=3．10．故答案为：310首先得出从0−9有10个自然数，在这10个数中是4的倍数的有0，4，8共3个数，进而得出概率．此题主要考查了概率公式，正确理解列举法求概率应用的条件，是解题的关键．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12.答案：y=3(x+3)2+1解析：解：抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，把点(−1,0)向上平移1个单位，再向右平移2个单位得到点(−3,1)，所以所得到的抛物线的表达式为y=3(x+3)2+1．故答案为y=3(x+3)2+1．先得到抛物线y=3(x+1)2的顶点坐标为(−1,0)，再根据题意把点(−1,0)向上平移1个单位，再向左平移2个单位得到点(−3,1)，则可根据顶点式写出平移后的抛物线的解析式．本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．13.答案：150解析：本题考查用样本估计总体．用全校学生乘以样本中体重超标学生占的比例，即可求解．=150(名)解：2000×15200故答案为150．14.答案：3米解析：本题考查相似三角形的应用，属于中档题．过E作EH⊥AB于H，交CD于G，利用相似三角形的性质即可得出结论．解：如图，过E作EH⊥AB于H，交CD于G；则：CG=CD−EF=0.2米，EG=FD=4米，EH=BF=BD+DF=24米；可得CG//AH ，可知：△CEG∽△AEH ，则有：CG AH =EG EH ，即：0.2AH =424，解得：AH =1.2米；∴AB =AH +BH =AH +EF =3米，故答案为3米．15.答案：−13a ⃗ −12b ⃗解析：本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求出DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF⃗⃗⃗⃗⃗ 即可解决问题． 解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB =CD ，AB//CD ，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ， ∵DE =DC ，∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−12CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12b ⃗ ， ∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ −12b ， ∵DE//AB ，∴EF ：AF =DE ：AB =1：2，∴EF =13AE ，∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ ， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =−13a ⃗ −12b ⃗ ， 故答案为−13a ⃗ −12b ⃗ ． 16.答案：1200解析：解：波波所花的时间为(50−10)÷2=20(分钟)，爸爸的速度为3000÷50=60(米/分钟)，波波的速度为3000÷20=150(米/分钟)．根据题意得：线段OA的解析式为y=60x(0≤x≤50)；线段BC的解析式为y=150(x−10)=150x−1500(10≤x≤30)．当x=10时，60x−(150x−1500)=600；当x=30时，150x−1500−60x=1200．∵1200>600，∴他们父子俩相距的最远路程是1200米．故答案为：1200．根据父子所需时间之间的关系可算出波波所花的时间，由速度=路程÷时间即可分别算出父亲及波波的速度，再根据路程=速度×时间即可找出线段OA、BC的函数解析式，代入x=10及x=30求出y 值，比较后即可得出结论．本题考查了一次函数的应用，根据路程=速度×时间找出线段OA、BC的函数解析式是解题的关键．17.答案：165解析：解：如图，∵△CDB′是由△CDB翻折，∴∠BCD=∠DCB′，∠CBD=∠CB′D，AD=DB=DB′，∴∠DBB′=∠DB′B，∵2∠DCB+2∠CBD+2∠DBB′=180°，∴∠DCB+∠CBD+∠DBB′=90°，∵∠CDA=∠DCB+∠CBD，∠ACD+∠CDA=90°，∴∠ABB′=∠ACE，∵AD =DB =DB′=3，∴∠AB′B =90°，∵∠ACE =∠ABB′，∠CAE =∠BAB′，∴△ACE∽△ABB′，∴∠AEC =∠AB′B =90°，在Rt △ADC 中，∵AC =4，AD =3，∴CD =√AC 2+AD 2=5， ∵12AC ⋅AD =12⋅CD ⋅AE ， ∴AE =AC⋅ADCD =125，在Rt △ACE 中，CE =√AC 2−AE 2=√42−(125)2=165．故答案为165． 先证明∠AB′B =90°，再证明△ACE∽△ABB′，得到∠AEC =90°，利用面积法求出AE ，再利用勾股定理求出EC 即可．本题考查翻折变换、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用翻折不变性解决问题，学会利用相似三角形证明直角，属于中考常考题型．18.答案：√10−√5<r <√10+√5解析：解：如图，连接EF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAC =90°，则EF 是⊙O 的直径，取EF 的中点O ，连接OD ，作OG ⊥AF ，则点G 是AF 的中点，∴GF =12AF =2，∴OG 是△AEF 的中位数，∴OG=12AE=1，∴OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，∵圆D与圆O有两个公共点，∴√10−√5<r<√10+√5，故答案为：√10−√5<r<√10+√5．连接EF，知EF是⊙O的直径，取EF的中点O，连接OD，作OG⊥AF，知点G是AF的中点，据此可得GF=12AF=2，OG=12AE=1，继而求得OF=√OG2+GF2=√5，OD=√OG2+DG2=√10，最后根据两圆的位置关系可得答案．本题主要考查圆与圆的位置关系，解题的关键是掌握圆周角定理、圆心角定理、三角形中位线定理、勾股定理、矩形的性质及圆与圆的位置关系等知识点．19.答案：解：原式=4−(3−2√2)+3√2，=4−3+2√2+√22，=1+52√2．解析：这是一道考查实数的运算的题目，解题关键在于根据负整数指数幂和绝对值以及去分母，将原式进行化简，再进行合并．20.答案：解：解不等式2x≤x+4，得：x≤4，解不等式x+33−x<−1，得：x>3，则不等式组的解集为3<x≤4．解析：求得每一个不等式的解集，再进一步求得公共部分即可．此题考查一元一次不等式组的解集求法，其简单的求法就是利用口诀求解，“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到(无解)”．21.答案：解：过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，如图，则∠E=90°，∵sin∠DBC=√3，BD=2√6，3∴DE=2√2，∵CD=3，∴CE=1，BE=4，∴BC=3，∴BC=CD，∴∠CBD=∠CDB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠CDB，∴AB//CD，同理AD//BC，∴四边形ABCD是菱形，连接AC交BD于O，则AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，∴OC=√BC2−BO2=√3，∴AC=2√3．解析：本题考查了菱形的判定和性质，解直角三角形有关知识，过D作DE⊥BC交BC的延长线于E，得到∠E=90°，根据三角形函数的定义得到DE=2√2，推出四边形ABCD是菱形，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=√6，根据勾股定理得到结论．22.答案：解：(1)9月份的营业额=15×(1−20%)=12(万元)；(2)设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，, x2=−2(不合题意，舍去)，解得：x1=13=0.5．∴10月份的增长率为1.5×13答：10月份的增长率为50%．解析：本题考查了一元二次方程的应用，若原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x，经过第一次调整，就调整到a×(1±x)，再经过第二次调整就是a×(1±x)(1±x)=a(1±x)2.增长用“+”，下降用“−”．(1)用8月份的营业额×(1+增长率)计算九月份的营业额即可；(2)设设11月份的增长率为x，则10月份的增长率为1.5x，依题意，得：12(1+1.5x)(1+x)=24，解方程即可．23.答案：解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠BAC=∠DAC，又AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)；(2)∵AB//CG，∴∠ABG=∠EGD，由(1)得△ABE≌△ADE，∴ED=EB，∠ABG=∠ADE，∴∠EGD=∠ADE，∵∠FED=∠DEG，∴△EDF∽△EGD，∴EDEG =EFED，所以ED2=EF⋅EG；∴EB2=EF⋅EG；(3)∵AB=BC，∠ABC=60°，∴△ABC是等边三角形．∴AC=AB=4．连接BD交AC于O，则AC⊥BD，OA=OC=2，OB=2√3，∵AE ：EC =1：3，∴AE =OE =1．∴BE =√(2√3)2+1=√13．∵AD//BC ，∴AE EC =EF BE =13， ∴EF =13BE =√133． 由(2)得EB 2=EF ⋅EG ，∴EG =√13)2√133=3√13， ∴BG =BE +EG =4√13．解析：【试题解析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定性质菱形的性质．线段间的转化是解题的关键．(1)用SAS 证明即可；(2)先证明△EDF∽△EGD ，得到ED 2=EF ⋅EG ，代换ED =EB 即可；(3)根据已知先求出BE 和EF 值，再根据EB 2=EF ⋅EG 求出EG 值，最后用BG =BE +EG 计算即可．24.答案：解：(1)由题意得：{−1−b +c =0c =3， 解得：{b =2c =3， ∴抛物线解析式为y =−x 2+2x +3；(2)令−x 2+2x +3=0，∴x 1=−1，x 2=3，即B(3,0)，设直线BC 的解析式为y =kx +b′，∴{b′=33k +b′=0， 解得：{k =−1b′=3， ∴直线BC 的解析式为y =−x +3，设P(a,3−a)，则D(a,−a 2+2a +3)，∴PD =(−a 2+2a +3)−(3−a)=−a 2+3a ，∴S △BDC =S △PDC +S △PDB =12PD ⋅a +12PD ⋅(3−a) =12PD ⋅3 =32(−a 2+3a) =−32(a −32)2+278， ∴当a =32时，△BDC 的面积最大，此时P(32,32)；(3)由(1)，y =−x 2+2x +3=−(x −1)2+4，∴E(1,4)，设N(1,n)，则0≤n ≤4，取CM 的中点Q(m 2,32)，∵∠MNC =90°，∴NQ =12CM ，∴4NQ 2=CM 2，∵NQ 2=(1−m 2)2+(n −32)2， ∴4[(1−m 2)2+(n −32)2]=m 2+9，整理得，m =n 2−3n +1，即m =(n −32)2−54，∵0≤n ≤4，当n =32时，m 最小值=−54，n =4时，，综上，m 的取值范围为：−54≤m ≤5．解析：(1)由y =−x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A(−1,0)，C(0,3)，利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；(2)首先令−x 2+2x +3=0，求得点B 的坐标，然后设直线BC 的解析式为y =kx +b′，由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P(a,3−a)，即可得D(a,−a 2+2a +3)，即可求得PD 的长，由S △BDC =S △PDC +S △PDB ，即可得S △BDC =−32(a −32)2+278，利用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时点P 的坐标；(3)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m =(n −32)2−54，然后根据n 的取值得到最小值和最大值．此题考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的最值问题等知识．此题综合性很强，难度较大． 25.答案：(1)证明见解析；(2)4；(3)AC =√2BC ．解析：(1)连接AD.根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的性质以及平行线的性质即可证明；(2)先证△CDE∽△CAB 得CE CB =DE AB ，据此求得CE 的长，依据AE =AC −CE =AB −CE 可得答案；(3)由BD =CD 知S △CDE =S △BDE ，证△OBF∽△ABE 得，据此知S △ABE =4S △OBF ，结合S ▵CDE S ▵OBF =23知S △ABE =6S △CDE ，S △CAB =8S △CDE ，由△CDE∽△CAB 知，据此得出CDCA =2√2，结合BD =CD ，AB =AC 知BC AB =√2，从而得出答案．【详解】(1)连接AD ，∵AB 是直径，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵AB =AC ，∴∠CAD =∠BAD ，BD =CD ，∴BD ⌢=ED ⌢，∴OD ⊥BE ；(2)∵∠AEB =90°，∴∠BEC =90°，∵BD =CD ，∴BC =2DE =2√6，∵四边形ABDE内接于⊙O，∴∠BAC+∠BDE=180°，∵∠CDE+∠BDE=180°，∴∠CDE=∠BAC，∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CAB，∴CECB =DEAB，即2√6=√66，∴CE=2，∴AE=AC−CE=AB−CE=4；(3)∵BD=CD，∴S△CDE=S△BDE，∵BD=CD，AO=BO，∴OD//AC，∵△OBF∽△ABE，∴，∴S△ABE=4S△OBF，∵S▵CDES▵OBF =23，∴S△ABE=4S△OBF=6S△CDE，∴S△CAB=S△CDE+S△BDE+S△ABE=8S△CDE，∵△CDE∽△CAB，∴，∴CDCA =2√2，∵BD=CD，AB=AC，∴BCAB =√2，即AC=√2BC．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、圆内接四边形的性质、相似三角形的判定与性质及等底共高三角形的面积关系的问题．。
┃精选3套试卷┃2020年上海市徐汇区某名校中考数学第一次联考试题
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x+m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( )A ．m ＜1B ．m ＞﹣1C ．m ＞1D ．m ＜﹣1【答案】C【解析】试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()224241440b ac m m ∆=-=--⨯⨯=-<，解得： 1.m >故选C ．2．已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（ ）A ．1：2：3B ．2：3：4C ．1：3：2D ．1：2：3 【答案】D【解析】试题分析：图中内切圆半径是OD ，外接圆的半径是OC ，高是AD ，因而AD=OC+OD ； 在直角△OCD 中，∠DOC=60°，则OD ：OC=1：2，因而OD ：OC ：AD=1：2：1，所以内切圆半径，外接圆半径和高的比是1：2：1．故选D ．考点：正多边形和圆．3．如图，已知正五边形 ABCDE 内接于O ，连结BD ，则ABD ∠的度数是（ ）A ．60︒B ．70︒C ．72︒D ．144︒【答案】C 【解析】根据多边形内角和定理、正五边形的性质求出∠ABC 、CD=CB ，根据等腰三角形的性质求出∠CBD ，计算即可．【详解】∵五边形ABCDE 为正五边形∴()1552180108ABC C ∠=∠=-⨯︒=︒ ∵CD CB =∴181(83 26)010CBD∠=︒-︒=︒∴72ABD ABC CBD∠=∠-∠=︒故选：C．【点睛】本题考查的是正多边形和圆、多边形的内角和定理，掌握正多边形和圆的关系、多边形内角和等于（n-2）×180°是解题的关键．4．如图，平面直角坐标系xOy中，四边形OABC的边OA在x轴正半轴上，BC∥x轴，∠OAB＝90°，点C （3，2），连接OC．以OC为对称轴将OA翻折到OA′，反比例函数y＝kx的图象恰好经过点A′、B，则k 的值是（）A．9 B．133C．16915D．33【答案】C【解析】设B（2k，2），由翻折知OC垂直平分AA′，A′G＝2EF，AG＝2AF，由勾股定理得OC＝13，根据相似三角形或锐角三角函数可求得A′（526，613），根据反比例函数性质k＝xy建立方程求k．【详解】如图，过点C作CD⊥x轴于D，过点A′作A′G⊥x轴于G，连接AA′交射线OC于E，过E作EF⊥x 轴于F，设B（2k，2），在Rt△OCD中，OD＝3，CD＝2，∠ODC＝90°，∴OC222232OD CD++13由翻折得，AA′⊥OC，A′E＝AE，∴sin∠COD＝AE CDOA OC=，∴AE＝21321313kCD OAkOC⨯⋅==，∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠OCD+∠AOE＝90°，∴∠OAE ＝∠OCD ，∴sin ∠OAE ＝EF OD AE OC =＝sin ∠OCD ， ∴EF ＝1331313OD AE k k OC ⋅=⨯=， ∵cos ∠OAE ＝AF CD AE OC =＝cos ∠OCD ， ∴1321313CD AF AE k k OC =⋅=⨯=， ∵EF ⊥x 轴，A′G ⊥x 轴，∴EF ∥A′G ，∴12EF AF AE A G AG AA ===''， ∴6213A G EF k '==，4213AG AF k ==， ∴14521326OG OA AG k k k =-=-=， ∴A′（526k ，613k ）， ∴562613k k k ⋅=， ∵k≠0，∴169=15k ， 故选C ．【点睛】本题是反比例函数综合题，常作为考试题中选择题压轴题，考查了反比例函数点的坐标特征、相似三角形、翻折等，解题关键是通过设点B 的坐标，表示出点A′的坐标．5．在一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为（ ）A ．12B ．13C ．310D ．15【答案】D【解析】一个不透明的袋中装有10个只有颜色不同的球，其中5个红球、3个黄球和2个白球．从袋中任意摸出一个球，共有10种等可能的结果，其中摸出白球的所有等可能结果共有2种，根据概率公式即可得出答案.【详解】根据题意 ：从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为=210=15. 故答案为D【点睛】此题主要考查了概率的求法，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=m n.6．计算(ab2)3的结果是()A．ab5B．ab6C．a3b5D．a3b6【答案】D【解析】试题分析：根据积的乘方的性质进行计算，然后直接选取答案即可．试题解析：（ab2）3=a3•（b2）3=a3b1．故选D．考点：幂的乘方与积的乘方．7．如图，已知△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，将△ABC绕点A顺时针方向旋转60°到△AB′C′的位置，连接C′B，则C′B的长为（）A．2-2B．3C．3-1D．1【答案】C【解析】延长BC′交AB′于D，根据等边三角形的性质可得BD⊥AB′，利用勾股定理列式求出AB，然后根据等边三角形的性质和等腰直角三角形的性质求出BD、C′D，然后根据BC′=BD-C′D计算即可得解.【详解】解：延长BC′交AB′于D，连接BB＇，如图，在Rt△AC′B′中，2AC′=2，∵BC′垂直平分AB′，∴C′D=12AB=1，∵BD为等边三角形△ABB′的高，∴BD=3AB′=3， ∴BC′=BD -C′D=3-1．故本题选择C.【点睛】熟练掌握勾股定理以及由旋转60°得到△ABB′是等边三角形是解本题的关键.8．若关于x 的方程 ()2m 110x mx -+-= 是一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m 1≠.B ．m 1=.C ．m 1≥D ． m 0≠.【答案】A 【解析】根据一元二次方程的定义可得m ﹣1≠0，再解即可．【详解】由题意得：m ﹣1≠0，解得：m≠1，故选A ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．9．如图，等腰直角三角形ABC 位于第一象限，2AB AC ==，直角顶点A 在直线y x =上，其中点A 的横坐标为1，且两条直角边AB ，AC 分别平行于x 轴、y 轴，若反比例函数k y x=的图象与ABC △有交点，则k 的取值范围是（ ）．A ．12k <<B ．13k ≤≤C ．14k ≤<D ．14k ≤≤【答案】D 【解析】设直线y=x 与BC 交于E 点，分别过A 、E 两点作x 轴的垂线，垂足为D 、F ，则A （1，1），而AB=AC=2，则B （3，1），△ABC 为等腰直角三角形，E 为BC 的中点，由中点坐标公式求E 点坐标，当双曲线与△ABC 有唯一交点时，这个交点分别为A 、E ，由此可求出k 的取值范围.解：∵2AC BC ==，90CAB ∠=︒．()1,1A ．又∵y x =过点A ，交BC 于点E ，∴2EF ED ==， ∴()2,2E ，∴14k ≤≤．故选D.10．如图，点M 是正方形ABCD 边CD 上一点，连接MM ，作DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，连接BE ，若AF ＝1，四边形ABED 的面积为6，则∠EBF 的余弦值是（ ）A 213B 313C ．23D 13 【答案】B【解析】首先证明△ABF ≌△DEA 得到BF=AE ；设AE=x ，则BF=x ，DE=AF=1，利用四边形ABED 的面积等于△ABE 的面积与△ADE 的面积之和得到12•x•x+•x×1=6，解方程求出x 得到AE=BF=3，则EF=x-1=2，然后利用勾股定理计算出BE ，最后利用余弦的定义求解．【详解】∵四边形ABCD 为正方形，∴BA ＝AD ，∠BAD ＝90°，∵DE ⊥AM 于点E ，BF ⊥AM 于点F ，∴∠AFB ＝90°，∠DEA ＝90°，∵∠ABF+∠BAF ＝90°，∠EAD+∠BAF ＝90°，∴∠ABF ＝∠EAD ，在△ABF 和△DEA 中BFA DEA ABF EAD AB DA ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩∴△ABF ≌△DEA （AAS ），∴BF ＝AE ；设AE ＝x ，则BF ＝x ，DE ＝AF ＝1，∵四边形ABED 的面积为6， ∴111622x x x ⋅⋅+⋅⨯=，解得x 1＝3，x 2＝﹣4（舍去）， ∴EF ＝x ﹣1＝2，在Rt △BEF 中，BE∴cos13BF EBF BE ∠===． 故选B ．【点睛】本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．会运用全等三角形的知识解决线段相等的问题．也考查了解直角三角形．二、填空题（本题包括8个小题）11．A ．如果一个正多边形的一个外角是45°，那么这个正多边形对角线的条数一共有_____条．B •tan63°27′≈_____（精确到0.01）．【答案】20 5.1【解析】A 、先根据多边形外角和为360°且各外角相等求得边数，再根据多边形对角线条数的计算公式计算可得；B 、利用计算器计算可得．【详解】A 、根据题意，此正多边形的边数为360°÷45°=8， 则这个正多边形对角线的条数一共有8(83)2⨯-=20， 故答案为20；B ，故答案为5.1．【点睛】本题主要考查计算器-三角函数，解题的关键是掌握多边形的内角与外角、对角线计算公式及计算器的使用．12．某个“清涼小屋”自动售货机出售A 、B 、C 三种饮料．A 、B 、C 三种饮料的单价分別是2元/瓶、3元/瓶、5元/瓶．工作日期间，每天上货量是固定的，且能全部售出，其中，A 饮科的数量（单位：瓶）是B 饮料数量的2倍，B 饮料的数量（单位：瓶）是C 饮料数量的2倍．某个周六，A 、B 、C 三种饮料的上货量分別比一个工作日的上货量增加了50%、60%、50%，且全部售出．但是由于软件bug ，发生了一起错单（即消费者按某种饮料一瓶的价格投币，但是取得了另一种饮料1瓶），结果这个周六的销售收入比一个工作日的销售收入多了503元．则这个“清凉小屋”自动售货机一个工作日的销售收入是_____元．【答案】950【解析】设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，得到工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，和周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，再结合题意得到10.1x﹣（5﹣3）＝503，计算即可得到答案.【详解】解：设工作日期间C饮料数量为x瓶，则B饮料数量为2x瓶，A饮料数量为4x瓶，工作日期间一天的销售收入为：8x+6x+5x＝19x元，周六C饮料数量为1.5x瓶，则B饮料数量为3.2x瓶，A饮料数量为6x瓶，周六销售销售收入为：12x+9.6x+7.5x＝29.1x元，周六销售收入与工作日期间一天销售收入的差为：29.1x﹣19x＝10.1x元，由于发生一起错单，收入的差为503元，因此，503加减一瓶饮料的差价一定是10.1的整数倍，所以这起错单发生在B、C饮料上（B、C一瓶的差价为2元），且是消费者付B饮料的钱，取走的是C饮料；于是有：10.1x﹣（5﹣3）＝503解得：x＝50工作日期间一天的销售收入为：19×50＝950元，故答案为：950.【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用，解题的关键是由题意得到等量关系.13．已知一次函数y=kx+2k+3的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，且函数值y随x的增大而减小，则k所能取到的整数值为________．【答案】-2【解析】试题分析：根据题意可得2k+3＞2，k＜2，解得﹣＜k＜2．因k为整数，所以k=﹣2．考点：一次函数图象与系数的关系．14．“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为__．【答案】132013201 502 x x-= -【解析】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟列出方程即可．【详解】设“复兴号”的速度为x千米/时，则原来列车的速度为（x-50）千米/时，根据题意得132013201502x x-=-．故答案为132013201502x x-=-．【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．15．12019的相反数是_____．【答案】1 2019 -【解析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．【详解】12019的相反数是−12019.故答案为−1 2019.【点睛】本题考查的知识点是相反数，解题的关键是熟练的掌握相反数.16．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．【答案】20【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴x50＝60%，解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.17．如图，点A的坐标是（2，0），△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数kyx=的图象经过点B，则k的值是_____．3．【解析】已知△ABO是等边三角形，通过作高BC，利用等边三角形的性质可以求出OB和OC的长度；由于Rt△OBC中一条直角边和一条斜边的长度已知，根据勾股定理还可求出BC的长度，进而确定点B的坐标；将点B 的坐标代入反比例函数的解析式k y x =中，即可求出k 的值. 【详解】过点B 作BC 垂直OA 于C ，∵点A 的坐标是（2，0），∴AO=2，∵△ABO 是等边三角形，∴OC=1，BC=3，∴点B 的坐标是()1,3,把()1,3代入k y x=，得3k =． 故答案为3．【点睛】考查待定系数法确定反比例函数的解析式，只需求出反比例函数图象上一点的坐标；18．一次函数1y kx b =+与2y x a =+的图象如图，则()0kx b x a +-+>的解集是__．【答案】1x <-【解析】不等式kx+b-（x+a ）＞0的解集是一次函数y 1=kx+b 在y 2=x+a 的图象上方的部分对应的x 的取值范围，据此即可解答．【详解】解：不等式()0kx b x a +-+>的解集是1x <-．故答案为：1x <-．【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．三、解答题（本题包括8个小题）19．在锐角△ABC 中，边BC 长为18，高AD 长为12如图，矩形EFCH 的边GH 在BC 边上，其余两个顶点E 、F 分别在AB 、AC 边上，EF 交AD 于点K ，求EF AK的值；设EH ＝x ，矩形EFGH 的面积为S ，求S 与x 的函数关系式，并求S 的最大值．【答案】（1）32；（2）1． 【解析】（1）根据相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比进行计算即可；（2）根据EH ＝KD ＝x ，得出AK ＝12﹣x ，EF ＝32（12﹣x ），再根据S ＝32x （12﹣x ）＝﹣32（x ﹣6）2+1，可得当x ＝6时，S 有最大值为1．【详解】解：（1）∵△AEF ∽△ABC ， ∴EF AK BC AD=， ∵边BC 长为18，高AD 长为12，∴EF BC AK AD =＝32； （2）∵EH ＝KD ＝x ，∴AK ＝12﹣x ，EF ＝32（12﹣x ）， ∴S ＝32x （12﹣x ）＝﹣32（x ﹣6）2+1. 当x ＝6时，S 有最大值为1．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的综合应用，解题时注意：确定一个二次函数的最值，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标．20． 如图，已知正方形ABCD ，E 是AB 延长线上一点，F 是DC 延长线上一点，且满足BF ＝EF ，将线段EF 绕点F 顺时针旋转90°得FG ，过点B 作FG 的平行线，交DA 的延长线于点N ，连接NG ．求证：BE ＝2CF ；试猜想四边形BFGN 是什么特殊的四边形，并对你的猜想加以证明．【答案】（1）见解析；（2）四边形BFGN是菱形，理由见解析.【解析】（1）过F作FH⊥BE于点H，可证明四边形BCFH为矩形，可得到BH＝CF，且H为BE中点，可得BE＝2CF；（2）由条件可证明△ABN≌△HFE，可得BN＝EF，可得到BN＝GF，且BN∥FG，可证得四边形BFGN为菱形．【详解】（1）证明：过F作FH⊥BE于H点，在四边形BHFC中，∠BHF＝∠CBH＝∠BCF＝90°，所以四边形BHFC为矩形，∴CF＝BH，∵BF＝EF，FH⊥BE，∴H为BE中点，∴BE＝2BH，∴BE＝2CF；（2）四边形BFGN是菱形．证明：∵将线段EF绕点F顺时针旋转90°得FG，∴EF＝GF，∠GFE＝90°，∴∠EFH＋∠BFH＋∠GFB＝90°∵BN∥FG，∴∠NBF＋∠GFB＝180°，∴∠NBA＋∠ABC＋∠CBF＋∠GFB＝180°，∵∠ABC＝90°，∴∠NBA＋∠CBF＋∠GFB＝180°−90°＝90°，由BHFC是矩形可得BC∥HF，∴∠BFH＝∠CBF，∴∠EFH＝90°−∠GFB−∠BFH＝90°−∠GFB−∠CBF＝∠NBA，由BHFC是矩形可得HF＝BC，∵BC＝AB，∴HF＝AB，在△ABN和△HFE中，NAB EHF90AB HFNBA EFH∠∠︒⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝＝＝，∴△ABN≌△HFE，∴NB＝EF，∵EF＝GF，∴NB＝GF，又∵NB∥GF，∴NBFG是平行四边形，∵EF＝BF，∴NB＝BF，∴平行四边NBFG是菱形．点睛：本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，菱形的判定等，作出辅助线是解决（1）的关键．在（2）中证得△ABN≌△HFE是解题的关键．21．如图，直线y=12x+2与双曲线y=kx相交于点A（m，3），与x轴交于点C．求双曲线的解析式；点P在x轴上，如果△ACP的面积为3，求点P的坐标．【答案】（1）6yx=（2）(-6,0)或(-2,0).【解析】分析：（1）把A点坐标代入直线解析式可求得m的值，则可求得A点坐标，再把A点坐标代入双曲线解析式可求得k的值，可求得双曲线解析式；（2）设P（t，0），则可表示出PC的长，进一步表示出△ACP的面积，可得到关于t的方程，则可求得P点坐标．详解：（1）把A点坐标代入y=12x+2，可得：3=12m+2，解得：m=2，∴A（2，3）．∵A点也在双曲线上，∴k=2×3=6，∴双曲线解析式为y=6x；（2）在y=12x+2中，令y=0可求得：x=﹣4，∴C（﹣4，0）．∵点P在x轴上，∴可设P点坐标为（t，0），∴CP=|t+4|，且A（2，3），∴S△ACP=12×3|t+4|．∵△ACP的面积为3，∴12×3|t+4|=3，解得：t=﹣6或t=﹣2，∴P点坐标为（﹣6，0）或（﹣2，0）．点睛：本题主要考查函数图象的交点，掌握函数图象的交点坐标满足每个函数解析式是解题的关键．22．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣1，4），C（﹣3，2）画出△ABC关于点B成中心对称的图形△A1BC1；以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的左侧画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2的坐标．【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析，C2的坐标为（﹣6，4）．【解析】试题分析：()1利用关于点对称的性质得出11,A C的坐标进而得出答案；()2利用关于原点位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案．试题解析：(1)△A1BC1如图所示．(2)△A2B2C2如图所示，点C2的坐标为(－6，4)．23．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A作BC的平行线交CE的延长线与F，且AF=BD，连接BF。
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2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷 2020.1（时间100分钟 满分150分）考生注意∶1．本试卷含三个大题，共25题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】1．已知二次函数322-+-=x x y ，那么下列关于该函数的判断正确的是 （A ）该函数图像有最高点)3,0(-； （B ）该函数图像有最低点)3,0(-； （C ）该函数图像在x 轴的下方； （D ）该函数图像在对称轴左侧是下降的． 2．如图，EF CD AB ////，2=AC ，5=AE ，5.1=BD ，那么下列结论正确的是（A ）415=DF ； （B ）415=EF ； （C ）415=CD ； （D ）415=BF ．3．已知点P 是线段AB 上的点，且AB BP AP ⋅=2，那么AB AP :的值是（A ）215-； （B ）253-； （C ）215+； （D ）253+． 4．在ABC Rt ∆中，︒=∠90B ，3=BC ，5=AC ，那么下列结论正确的是（A ）43sin =A ； （B ）54cos =A ；（C ）45cot =A ； （D ）34tan =A ． 5．跳伞运动员小在200米的空中测得地面上的着落点A 的俯角为︒60，那么此时小离 着落点A 的距离是（A ）200米； （B ）400米； （C ）33200米； （D ）33400米．6．下列命题中，假命题是（A ）凡有角为︒30的直角三角形都相似；（B ）凡有角为︒45的等腰三角形都相似； （C ）凡有角为︒60的直角三角形都相似； （D ）凡有角为︒90的等腰三角形都相似．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．计算：=︒⋅︒-︒45tan 30cot 60sin 2__▲___．8．已知线段4=a 厘米、9=c 厘米，那么线段a 、c 的比例中项=b __▲___厘米． 9．如果两个相似三角形的对应高比是2:3，那么它们的相似比是__▲___．A B C DEF（第2题图）10．四边形ABCD 和四边形D C B A ''''是相似图形，点A 、B 、C 、D 分别与点A '、B '、C '、D '对应，已知3=BC ，4.2=CD ，2=''C B ，那么D C ''的长是__▲___． 11．已知二次函数2)2(2+=x y ，如果2->x ，那么y 随x 的增大而__▲___．12．同一时刻，高为12米的学校旗杆的影长为9米，一座铁塔的影长为21米，那么此铁塔的高是__▲___米． 13．一山坡的坡度3:1=i ，小刚从山坡脚下点P 处上坡走了1050米到达点N 处，那么他上升的高度是_▲_米．14．在ABC ∆中，点E D 、分别在边AC AB 、上，6=AB ，4=AC ，5=BC ，2=AD ，3=AE ，那么DE 的长是__▲___．15．如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，2=AC ，1=BC ，正方形DEFG 接于ABC ∆， 点F G 、分别在边BC AC 、上，点E D 、在斜边AB 上，那么正方形DEFG 的边长是 __▲___． 16． 如图，在ABC ∆中，点D 在边BC 上，AC AD ⊥，C BAD ∠=∠，2=BD ，6=CD ，那么C tan 的值是__▲___．17．我们把有两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图，ABC ∆是“中垂三角形”，其中ABC ∆的中线CE BD 、互相垂直于点G ，如果9=BD ，12=CE ，那么 E D 、两点间的距离是__▲___．18．如图，在矩形ABCD 中，3=AB ，4=AD ，将矩形ABCD 绕着点B 顺时针旋转后得到矩形D C B A '''，点A 的对应点A '在对角线AC 上，点C 、D 分别与点C '、D '对应，D A ''与边BC 交于点E ，那么BE 的长是__▲___．三、（本大题共7题，第19—22题每题10分；第23、24题每题12分；第25题14分；满分78分） 19．（本题满分10分）已知：5:3:2::=c b a ．（1）求代数式cb a cb a -++-323的值；（2）如果243=+-c b a ，求a 、b 、c 的值．20．（本题满分10分）已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 自变量x 的值和它对应的函数值y 如下表所示：（2）设该二次函数图像与x 轴的左交点为B ，它的顶点为A ，该图像上点C 的横坐标为4，求ABC ∆的面积．（第18题图） AB C D （第16题图） A B C D （第15题图） A B C D E F G （第17题图） ABC DE G21．（本题满分10分）如图，一艘游轮在离开码头A 处后，沿南偏西︒60方向行驶到达B 处，此时从B 处发现灯塔C 在游轮的东北方向，已知灯塔C 在码头A 的正西方向200米处，求此时游轮与灯塔C 的距离（精确到1米）． 参考数据：414.12≈，732.13≈，449.26≈．22．（本题满分10分）如图，在ABC ∆中，BE AD 、是ABC ∆的角平分线，CE BE =，2=AB ，3=AC ．（1）设AB a =，BC =b，求向量BE （用向量a 、b 表示）；（2）将ABC ∆沿直线AD 翻折后，点B 与边AC 上的点F 重合，联结DF ，求CEB CDF S S ∆∆:的值． 23．（本题满分12分）如图，在ACB ∆中，点D 、E 、F 、G 分别在边AB 、AC 、BC 上，AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==，DG 与EF 交于点H ．（1）求证： AB HG AC FH ⋅=⋅；（2）联结DF 、EG ，求证：GEF FDG A ∠+∠=∠．24．（本题满分12分）A B C D E F G H （第23题图） ABCDE（第22题图）如图，将抛物线4342+-=x y 平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点C ，新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，联结BC ，4tan =B ，设新抛物线与x 轴的另一交点是A ，新抛物线的顶点是D ．（1）求点D 的坐标；（2）设点E 在新抛物线上，联结AC 、DC ，如果CE 平分DCA ∠，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，将抛物线4342+-=x y 沿x 轴左右平移，点C 的对应点为F ，当DEF ∆和ABC ∆相似时，请直接写出平移后所得抛物线的表达式．25．（本题满分14分）如图，在ABC ∆中，5==AC AB ，6=BC ，点D 是边AB 上的动点（点D 不与点A 、B 重合），点G 在边AB 的延长线上，A CDE ∠=∠，ABC GBE ∠=∠，DE 与边BC 交于点F ．（1）求A cos 的值；（2）当ACD A ∠=∠2时，求AD 的长；（3）点D 在边AB 上运动的过程中，BE AD :的值是否会发生变化？如果不变化，请求BE AD :的值；如果变化，请说明理由．4342+x DB AC G F E（第25题图） B A C （备用图）2019学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．D ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二．填空题：（本大题共12题，满分48分） 7．0； 8．6； 9．2:3； 10．58； 11．增大； 12．28； 13．50； 14．25； 15．752； 16．21； 17．5； 18．825．三、（本大题共7题，第19、20、21、22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分）19. 解：（1）由题意，设k c k b k a 5,3,2===．∴1533225323323=-⨯+⨯+-⨯=-++-kk k k k k c b a c b a ．（2）由题意和（1），得 245323=+-⨯k k k ； 解得 3=k ；∴632=⨯=a ，933=⨯=b ，1535=⨯=c ． 20．解：（1）该二次函数图像的开口方向向上；对称轴是直线2=x ；顶点坐标是)1,2(-；m 的值是3．（2）由题意，得)1,2(-A 、)0,1(B 、)3,4(C ；∵20,18,2222===AC BC AB ； ∴222AC BC AB =+；∴︒=∠90ABC ； ∴323221=⨯⨯=∆ABC S ． 21．解：过点B 作AC BD ⊥，垂足为D ．由题意，得︒=∠30DAB ，︒=∠45DBC ；又DBC BCD ∠=︒=︒-︒=∠454590；∴DC DB =； 设x DC DB ==，则200+=x DA ． 在BDA Rt ∆中，︒=∠90BDA ，∴DB DA DAB =∠cot ，即xx 20030cot +=︒； ∴2003+=x x ，解得)13(100+=x ；∴3863.386)414.1449.2(100)26(1002≈=+⨯≈+==x BC ．答：此时游轮与灯塔C 的距离约为386米．22．解：（1）∵CE BE =，∴EBC C ∠=∠；∵BE 平分ABC ∠，∴EBC ABE ∠=∠；∴C ABE ∠=∠；又CAB BAE ∠=∠，∴ABE ∆∽ACB ∆；∴ACABAB AE =； 即322=AE ；得34=AE ；∴94=AC AE ；∴AC AE 94= ；又=AC +AB b a BC+=；∴=BE +BA b a b a a AE9495)(94+-=++-=．（2）由题意，可得EBC ABC AFD ∠=∠=∠2，2==AB AF ； 又C EBC AEB ∠+∠=∠，EBC ABE C ∠=∠=∠， ∴AFD EBC AEB ∠=∠=∠2； ∴BE DF //；∴CDF ∆∽CBE ∆；∴259)351()(22===∆∆CE CF S S CBE CDF ．23．证明：（1）∵AD AB 3=，AE CE 2=，CG FG BF ==，∴31,31,31,31====BC CG BC BF AC AE AB AD ； ∴BC BF AC AE BC CG AB AD ==,； ∴AC DG //，AB EF //；∴C HGF ∠=∠，B HFG ∠=∠； ∴HFG ∆∽ABC ∆； ∴ABFH AC HG =；即AB HG AC FH ⋅=⋅． （2）∵AB EF //，AC DG //，∴1==FB GF HD GH ，1==GFCGFH HE ；∴FHHE HD GH =；∴DF EG //； ∴HGE FDG ∠=∠；又HEG HGE FHG ∠+∠=∠，∴HEG FDG FHG ∠+∠=∠； ∵HFG ∆∽ABC ∆，∴A FHG ∠=∠； ∴GEF FDG A ∠+∠=∠．24．解：（1）由题意，设新抛物线的表达式为4342++-=bx x y ．∵抛物线4342+-=x y 的顶点为C ，∴)4,0(C ，4=OC ；在BOC Rt ∆中，︒=∠90BOC ，∴4tan ==OB OCB ，得1=OB ；∴)0,1(B ； 由题意，得0434=++-b ，解得38-=b ；∴新抛物线的表达式为438342+--=x x y ；∴)316,1(-D ．（2）由题意，可得)0,3(-A ；过点D 作OC DM ⊥，垂足为M ．∴)316,0(M ； ∴4,3,34,1====CO AO CM DM ；∴43==CO AO CM DM ；又︒=∠=∠90AOC DMC ，∴DMC ∆∽AOC ∆，∴ACO DCM ∠=∠；∵CE 平分DCA ∠，∴ACE DCE ∠=∠；∴︒=∠+∠180)(2DCE DCM ；∴AOC MCE ∠=︒=∠90； ∴AO CE //；∴点E 与点C 关于直线1-=x 对称；∴)4,2(-E ． （3）有两种情况满足要求，平移后所得抛物线的表达式为：4)32(342++-=x y 或4)121(342+--=x y ．25．解：（1）过点B A 、分别作BC AH ⊥、AC BG ⊥，垂足分别为G H 、．在AHC Rt ∆中，︒=∠90AHC ，53cos ==∠AC CH ACB ；在BGC Rt ∆中，︒=∠90BGC ，53cos ==∠BC CG GCB ；得518=CG ；∴575185=-=AG ；在ABG Rt ∆中，︒=∠90AGB ，∴257cos ==AB AG A ． （2）以点D 为圆心DA 长为半径作弧交AC 于点M ，过点D 作AC DN ⊥于N ．∴可设x DA DM ==；∴ACD A AMD ∠=∠=∠2， 又MCD MDC AMD ∠+∠=∠； ∴MDC MCD ∠=∠；∴x DM CM ==；则x AM -=5； 在AND Rt ∆中，︒=∠90AND ，∵257cos ==AD AN A ， 即25725=-x x ；解得 39125=x ；即39125=AD ． （3）点D 在边AB 上运动过程中，BE AD :的值不变，65:=BE AD ． 联结CE ．∵AC AB =，∴ACB ABC ∠=∠；∴︒=∠+∠1802ABC A ； 又︒=∠+∠+∠180GBE ABC CBE ，ABC GBE ∠=∠， ∴︒=∠+∠1802ABC CBE ；∴CBE A ∠=∠；∵CDE A CBE ∠=∠=∠，DFC BFE ∠=∠；∴BFE ∆∽DFC ∆； ∴DCF BEF ∠=∠，CFEFDF BF =； 又EFC BFD ∠=∠，∴BFD ∆∽EFC ∆；∴ECF BDF ∠=∠． 又BEF BDF EBG ∠+∠=∠，ECF DCF DCE ∠+∠=∠， ∴ACB ABC GBE DCE ∠=∠=∠=∠； ∴DCF ACB DCF DCE ∠-∠=∠-∠； 即ACD BCE ∠=∠；∴ACD ∆∽CBE ∆； ∴65==BC AC BE AD ．。