几何(六年级奥数题及答案)
高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合
高斯小学奥数六年级上册含答案第09讲几何综合第九讲几何综合问题这一讲我们学习几何综合题，题型是复杂而巧妙的．这种问题往往需要我们有点武侠小说中“借力打力”的能力，不要硬碰硬，而是借巧劲．比如已知一个面积为2的正方形，求边长为其两倍的正方形的面积．把边长具体数值求出来，用边长的关系来计算面积的想法是不可行的．而且事实上也是没必要的，我们可以把面积为2的正方形边长设为a ，它的两倍为2a ，则22a =，以2a 为边长的正方形面积为2224428a a a ?=?=?=．我们再来看几个用类似想法解决的问题．本讲知识点汇总：一、巧用面积公式，利用图形面积之间的和差关系来求解图形面积．1. 圆与直角三角形中利用勾股定理．2. 同底三角形利用“2?÷公共底高的和”求面积和，“2?÷公共底高的差”求面积差．3. 不去考虑每块图形的面积，而是将若干块图形放在一起，考虑其面积之间的和差关系．二、辅助线与几何变换．1. 通过割、补，将图形的变为规则图形，以便于分析．2. 通过几何变换（翻转、对称）等，将图形变得易于求解．三、图形运动．能够正确地画出简单几何图形（如圆等）在运动过程中所扫过区域的边界，并求解相关的长度和面积．例1．如图，阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．（取3.14）「分析」阴影部分等于大等腰直角三角形减去小等腰直角三角形，而圆环等于大圆减去小圆．那么阴影部分面积与圆环面积之间有什么联系呢？练习1、下图中阴影部分的面积是40平方厘米，求圆环的面积．（π取3.14）B例2．如图，在长方形ABCD 中，30AB =厘米，40BC =厘米，P 为BC 上一点，PQ 垂直于AC ，PR 垂直于BD ．求PQ 与PR 的长度之和．「分析」如果这道题只是要尝试出一个结果的话，我们只要让P 取特殊点，例如取成B 点，所求的长度之和就是B 点到AC 边的距离．但PQ 与PR 的长度之和是否是一个固定的值呢？练习2、如图，在面积为72的正方形中，P 为CD 边上一点，PQ 与BD 垂直，PR 与AC 垂直．求PQ 与PR 的和．例3．如图，P 为长方形ABCD 内的一点．三角形P AB 的面积为5，三角形PBC 的面积为13．请问：三角形PBD 的面积是多少？「分析」直接用面积公式或者比例关系来求三角形PBD 面积，显然不可行．那么还有什么方法可以用来求三角形PBD 面积呢？BCAPDPC AQBDRO练习3、如图，P 为长方形ABCD 外的一点．三角形P AB 的面积为7，三角形PBC 的面积为20，三角形PCD 的面积为4．请问：三角形P AD 的面积是多少？三角形P AC 的面积又是多少？中国古代的几何学形的研究属于几何学的范畴．古代民族都具有形的简单概念，并往往以图画来表示，而图形之所以成为数学对象，便是由工具的制作与测量的要求所促成的．规矩以作圆方，中国古代夏禹泊水时即已有规、矩、准、绳等测量工具．《史记》“夏本纪”记载说：夏禹治水，“左规矩，右准绳”．“规”是圆规，“矩”是直角尺，“准绳”则是确定铅垂方向的器械．这些都说明了早期几何学的应用．从战国时代的著作《考工记》中也可以看到与手工业制作有关的实用几何知识．战国时期墨子所写的《墨经》中，对一系列的几何概念进行抽象概括，作出了科学的定义．《周髀算经》与刘徽的《海岛算经》则给出了用矩观测天地的一般方法与具体公式．在《九章算术》及刘徽注解的《九章算术》中，除勾股定理外，还提出了若干一般原理以解决多种问题．例如求任意多边形面积的出入相补原理；求多面体体积的刘徽原理；5世纪祖暅提出的用以求曲形体积特别是球的体积的“幂势既同则积不容异”的原理；以内接正多边形逼近圆周长的极限方法（割圆术）等．PA B例4．如图，一个六边形的6个内角都是120?，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米．求这个六边形的周长．「分析」所给六边形各内角都是120°，这使我们联想到正六边形．在求解与正六边形有关的题目时，最常用的方法有两种：一种是“割”，一种是“补”．“割”是指把六边形分割干个边长或面积为1的正三角形；“补”是指在正六边形中取出三条互不相邻的边来延长，补成一个正三角形．这两种方法对本题适用吗？练习4、一个六边形的6个内角都是120?，并有连续的三边长均为6厘米．如果这个六边形的周长是32厘米，那么该六边形最长的边有多长？例5．如图，在四边形ABCD 中，30AB =，48AD =，14BC =，且90AB D BDC ∠+∠=?，90ADB DBC ∠+∠=?．请问：四边形ABCD 的面积是多少？「分析」本题的条件让人感觉很别扭，虽然90ABD BDC ∠+∠=?，但它们并不是紧挨着的；虽然90ADB DBC ∠+∠=?，但它们也不是紧挨着的．那究竟对这个图形做怎样的变换，才B 1995能让那些应该紧挨着的角真正挨在一起呢？例6．如图，一块半径为2厘米的圆板，从位置①开始，依次沿线段AB、BC、CD滚到位置②．如果AB、BC、CD的长都是20厘米，那么圆板扫过区域的面积是多少平方厘米？（π取3.14，答案保留两位小数．）C「分析」这道题关键是把想清楚圆板经过的区域是怎样的图形，并画出对应的轨迹图．作业1.如果图1中的圆环面积为12.56，阴影部分的内外两侧都是正方形，那么阴影部分的面积是多少？（π取3.14）2.如图2，等腰三角形ABC中，5AB AC==，6BC=．D为BC边上的一点，DE与AB垂直，DF与AC垂直，那么DE与DF的和是多少？3.如图3，P为长方形ABCD外的一点．三角形P AB的面积为5，三角形PBC的面积为30，三角形PCD的面积为24．那么三角形P AD 的面积是多少；三角形P AC的面积是多少？4.一个六边形的6个内角都是120?，并有四边长为5、6、5、5厘米，如图4所示．现在用一条线段把六边形分成两部分，则上、下两部分图形的面积比是多少？5.右图中有一个上下、左右都对称的“十字型”，其各边长度如图所示（单位：厘米），一个半径为1厘米的小圆沿其外周滚动一周，那么小圆经过区域的面积等于多少？（答案保留圆周率π）第九讲几何综合问题图1图2图3图4例题：例题1. 答案：157平方厘米详解：记大圆半径为R ，小圆半径为r ，那么圆环的面积为()22πR r -，我们只要能够求出22R r -即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于()2212R r -，所以2222550R r -=?=．由此可得圆环面积等于50 3.14157?=．例题2. 答案：24厘米详解：利用勾股定理可得50AC =厘米，所以25OB OC ==厘米．长方形ABCD的面积等于30401200?=平方厘米，所以△BOC 的面积等于112003004=平方厘米．连接OP ，观察△OPB与△OPC ，它们分别以OB 和OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR 和PQ ，因此面积和就等于()()()225212.5OB PR OC PQ PR PQ PR PQ ?+?÷=?+÷=?+，而这个面积和就是△BOC 的面积，等于300，所以()12.5300PR PQ ?+=，由此可得30012.524PR PQ +=÷=厘米．例题3. 答案：8详解：图1阴影部分的面积是整个长方形的一半，而图2阴影部分的面积也是整个长方形的一半．两个阴影部分有一块公共部分，那就是△AP D ．去掉这块公共部分之后，剩下的阴影部分仍然应该相等，因此就有123S S S =+．由题意，113S =，25S =，所以31358S =-=．例题4. 答案：42厘米详解：为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a 厘米和b 厘米．如右图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为19919++=厘米．这样19955a =--=，而19113b a =--=．六边形边长就等于995151342+++++=厘米．例题5. 答案：936详解：如图所示，我们可以将图形中的△BCD 左右翻转一下，变成了△BED ，这样就和为90°的角就能拼到一起，构成完整的直角．例如∠ABE 与∠ADE 就都是直角．接着连结AE ，△ABE 与△ADE 都是直角三角形，AE 是它们公共的斜边．根据勾股定理，2222AB BE AD DE +=+，由此可得40BE =．这样就可以分别求解△ABE 与△ADE 这两个直角三角形的面积．将其相加，即可得总面积为3040481493622+=．例题6. 答案：228.07详解：小圆滚动时所经过的区域如右图所示．接着我们分块求解每一部分的面积．半圆FEQ 、半圆JKL 的面积之和是；长方4π C AQ BDPROCDC D8图1图2919 5 9 91 a baa1CB E形FGBQ 、BHIP 、IJLM 的面积之和是()1816144192++?=；60°的扇形BGH 的面积为218π4π63??=；PIMNO 部分的面积为12π+；所以总面积为8π234π19212π204π228.0733++++=+≈．练习：1. 答案：125.6平方厘米简答：如右图所示，将图形从中间切开分为左、右两部分，每一部分都和例题1一模一样． 2. 答案：6简答：正方形面积等于“对角线平方的一半”，所以正方形对角线的平方就等于722144?=，由此可得正方形ABCD 的对角线AC 等于12，所以OC 、OD 长均为6．与例题2类似，连结OP ，然后利用△OCD 的面积等于72418÷=可得18218266PQ PR OC +=?÷=?÷=．3. 答案：9；16简答：如右侧左图所示，△P AB 与△PDC 是一对同底三角形（分别以AB 和CD 为底），他们的面积和等于“2AB ?÷高的和”．不难看出它们“高的和”就等于AD ，所以它们的面积和就等于长方形ABCD 面积的一半，由此可得长方形ABCD 的面积为()74222+?=．△P AD 的面积等于△P AB 、△PBC 及△PCD 的面积之和减去长方形ABCD 的面积，即7204229++-=．至于△P AC 的面积，只要用总面积减去△ABC 与△PCD 的面积即可，等于720411416++--=． 4. 答案：10厘米简答：如图所示，将图形补成一个完整的正三角形，其边长为66618++=．记原六边形的最短边为a ，最长边为b ．那么18612a b +=-=．而由于正六边形周长为32，所以2321814a b +=-=．由此可得b 为1221410?-=厘米．作业：1.答案：8简答：圆环面积为：()22π12.56R r -=，所以224R r -=，阴影部分面积等于()2228R r -=．2.答案：4.8简答：作BC 边上的高，可得高为4（利用勾3股4弦5）．这样三角形ABC 的面积就等于12．接着就和例题2做法类似，连接AD 并利用等底三角形的面积和即可．3.答案：11；6简答：△PCD 与△P AB 的面积差（即24519-=）等于长方形ABCD 面积的一半，△PBC 与△P AD 的面积差等于长方形ABCD 面积的一半．所以△P AD 的面积为301911-=．△P AC 的面积等于△PBC 的面积减去△P AB 及△ABC 的面积，所以面积为305196--=．4.答案：85:96 简答：如图，在六边形的上方、左下和右下各补一个边长为6厘米的等边三角形，将图形补成一个完整的等边三角形．由此可求出六边形的中间分割线长为5611+=厘米．接着利用线段的份数关系求面积比．位于上方的梯形，其上底为6份，下底为11份，高为5份；而位于下方的梯形，其上底为5份，下底为11份，高则为6份．接着利用这些线段的份数关系，得到面积比为()()611585511696+?=+?．5.答案：1089π+简答：如图所示，利用图形的对称性，只要分析小圆经过区域的四分之一即可．图中阴影部分就是小圆经过区域面积的四分之一，只要求出图中阴影部分的面积，然后再乘以4即可得最后答案．5 6 6。
六年级奥数题及答案.
六年级奥数题及答案.题目一：数字问题小明在计算一个数加上5，再减去3，最后乘以4的结果时，得到了48。
请问这个数是多少？解答：设这个数为x。
根据题意，我们有：4x = 48x = 48 ÷ 4x = 12所以这个数是12。
题目二：几何问题一个长方形的长是宽的两倍，如果将这个长方形的长和宽都增加5厘米，那么面积增加了85平方厘米。
求原来长方形的长和宽。
解答：设原来长方形的宽为w，那么长为2w。
根据题意，我们有：(2w + 5)(w + 5) - 2w * w = 852w^2 + 5w + 10w + 25 - 2w^2 = 8515w + 25 = 8515w = 60w = 4所以原来的宽是4厘米，长是2 * 4 = 8厘米。
题目三：逻辑问题有5个盒子，每个盒子里分别装有1个、2个、3个、8个和13个乒乓球。
现在需要将这些盒子重新组合，使得每个盒子里的乒乓球数都是奇数，且每个盒子里的乒乓球数都不相同。
请问如何组合？解答：首先，我们知道奇数加奇数等于偶数，奇数加偶数等于奇数。
由于1、3、8、13都是奇数，2是偶数，我们需要将2个乒乓球与另一个奇数组合，以保持总数为奇数。
我们可以尝试以下组合：- 第一个盒子：1个乒乓球（奇数）- 第二个盒子：2 + 3 = 5个乒乓球（奇数）- 第三个盒子：8个乒乓球（奇数）- 第四个盒子：13个乒乓球（奇数）这样每个盒子里的乒乓球数都是奇数，并且各不相同。
题目四：时间问题小华从家到学校需要30分钟，如果他加快速度，每分钟走的距离增加25%，那么他需要多少时间到达学校？解答：设原来每分钟走的距离为d，那么30分钟内走的总距离为30d。
加快速度后，每分钟走的距离为1.25d。
由于总距离不变，我们有：30d = 时间 * 1.25d解这个方程，我们得到：时间 = 30 / 1.25时间 = 24分钟所以，加快速度后，小华需要24分钟到达学校。
题目五：比例问题一个班级有男生和女生，男生人数是女生人数的1.5倍。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
小学奥数题库《几何》-直线型-燕尾模型-4星题(含解析)
几何-直线型几何-燕尾模型-4星题课程目标知识提要燕尾模型•燕尾模型•结论一〔1〕S1S2=AECE〔2〕S2S3=BFAF〔3〕S3S1=CDBD•结论二S2+S3S1=COOF精选例题燕尾模型1. 如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是AB、BC上的点，且AE=13AB，CF=14BC，AF与CE相交于G，假设矩形ABCD的面积为120，那么ΔAEG与ΔCGF的面积之和为．【答案】15【分析】方法1：如图，连接AC、BG．根据燕尾模型，SΔABG:SΔACG=BF:CF=3:1，SΔBCG:SΔACG=BE:AE=2:1，而SΔABC=1 2S▭ABCD=60，所以SΔABG=33+2+1SΔABC=12×60=30，SΔBCG=23+2+1SΔABC=13×60=20，那么SΔAEG=13SΔABG=10，SΔCFG=14SΔBCG=5，所以两个三角形的面积之和为15．方法2：如图，过F做CE的平行线交AB于H，那么EH:HB=CF:FB=1:3，所以AE=12EB=2EH，AG:GF=AE:EH=2，即AG=2GF，所以SΔAEG=12×23×23×SΔABF=29×34×12S▭ABCD=10．且EG=23HF=23×34EC=12EC，故CG=GE，那么SΔCGF=1×12×SΔAEG=5．所以两三角形面积之和为10+5=15．2. 如图，三角形ABC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F．那么阴影局部面积等于．【答案】712【分析】方法一：连接CF ， 根据燕尾定理，S △ABF S △ACF =BD DC =12, S △ABF S △CBF =AEEC=1, 设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标．所以S DCEF =512S △ABC =512, 易得，阴影局部面积为712．方法二：连接DE ， 由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =13,S △ADE=12S △ADC =12×23S △ABC =13, 所以BF FE =S △ABD S △ADE =11, S △DEF =12×S △DEB=12×13×S △BEC =12×13×12×S △ABC =112, 而S △CDE =23×12×S △ABC =13. 所以那么四边形DFEC 的面积等于512．易得，阴影局部面积为712．3. ABCD 是边长为12厘米的正方形，E 、F 分别是AB 、BC 边的中点，AF 与CE 交于G ，那么四边形AGCD 的面积是平方厘米．【答案】96【分析】连结AC 、GB ．设S △AGC =1份，根据燕尾模型得S △AGB =1份，S △BGC =1份，S 正方形=(1+1+1)×2=6份，S ADCG =3+1=4份，所以S ADCG =122×46=96 (cm 2)4. 如图，在△ABC 中，点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，假设△ABC 的面积为1，那么四边形CDMF 的面积是． 【答案】730【分析】由于点D 是边AC 的中点，点E 、F 是边BC 的三等分点，如果能求出BN 、NM 、MD 三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF 的面积． 连接CM 、CN ．根据燕尾模型，S △ABM :S △ACM =BF:CF =2:1,S △ACM =2S △ADM ,S △ABM =2S △ACM =4S △ADM ,那么BM =4DM ，即BM =45BD.那么S △BMF =BM BD ×BF BC ×S △BCD =45×23×12=415, S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730. 5. 如下图，在四边形ABCD 中，AB =3BE ，AD =3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为． 【答案】24【分析】连接AO,BD ， 根据燕尾定理S △ABO :S △BDO =AF:FD =1:2, S △AOD :S △BOD =AE:BE =2:1,设S △BEO =1，那么其他图形面积，如图所标，所以S BODC =2S AEOF =2×12=24.6. 如图，△ABC 中BD =2DA ，CE =2EB ，AF =2FC ，那么△ABC 的面积是阴影三角形面积的倍．【答案】7【分析】如图，连接AI ．根据燕尾定理，S △BCI :S △ACI =BD:AD =2:1，S △BCI :S △ABI =CF:AF =1:2， 所以，S △ACI :S △BCI :S △ABI =1:2:4，那么，S △BCI =21+2+4S △ABC =27S △ABC ．同理可知△ACG 和△ABH 的面积也都等于△ABC 面积的27，所以阴影三角形的面积等于△ABC 面积的1−27×3=17，所以△ABC 的面积是阴影三角形面积的7倍． 7. 在ΔABC 中，BD:DC =3:2，AE:EC =3:1，求OB:OE =．【答案】2:1【分析】连接OC ．因为BD:DC =3:2，根据燕尾模型，S ΔAOB :S ΔAOC =BD:BC =3:2，即S ΔAOB =32S ΔAOC ；又AE:EC =3:1，所以S ΔAOC =43S ΔAOE ．S ΔAOB =32S ΔAOC =32×43S ΔAOE =2S ΔAOE ，所以OB:OE =S ΔAOB :S ΔAOE =2:1．8. 如图，三角形ABC 的面积是1，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．那么四边形DFEC 的面积等于．【答案】512【分析】方法一：如下图，根据燕尾模型，S △ABF S △ACF=BD DC =12，S △ABF S △CBF=AEEC =1．设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，如图所标所以S DCEF =512S △ABC =512． 方法二：如下图，连接DE ，由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =13， S △ADE =12S △ADC =12×23S △ABC =13， 所以BFFE =S △ABDS△ADE=11，S △DEF =12×S △DEB =12×13×S △BEC =12×13×12×S △ABC =112，而S △CDE =23×12×S △ABC =13．所以那么四边形DFEC 的面积等于512． 9. 如图，正方形ABCD 中，F 是BC 边的中点，GC =2DG ，E 是DF 与BG 的交点．四边形ABED的面积与正方形ABCD 的比是． 【答案】5:8【分析】连接BD 、EC ， 可得S △BDE S △BEC =12,S △BDE S △CDE =11, S △BDE :S △CDE :S △BEC =1:1:2,S △BDE =14S △BDC =18S ABCD ,S ABED =(12+18)S ABCD =58S ABCD ,四边形ABED 的面积与正方形ABCD 的比是5:8．10. 如下列图所示，△ABC 中，D 是AB 边的中点，E 是AC 边上的一点，且AE =3EC ，O 为DC 与BE 的交点．假设△CEO 的面积为a 平方厘米，△BDO 的面积为b 平方厘米．且b −a 是2.5平方厘米，那么△ABC 的面积是平方厘米．【答案】10【分析】连接AO ，可以看到这是个非常典型的燕尾模型．根据三角形等积变换：由AD =BD ，有S △ADO =b ；由AE =3EC ，有S △ABO =3a ．再根据燕尾模型：由AD =BD ，有S △BCO =S △ACO =4a ；由AE =3EC ，有S △BCO =13S △ABO =23b ．所以有4a =23b ，又b −a =2.5，所以有a =0.5,b =3．那么S △ABC =2b +4a +4a =10(平方厘米)．11. 如下列图，三角形ABC 中，AF:FB =BD:DC =CE:AE =3:2，且三角形ABC 的面积是1，那么三角形ABE 的面积为，三角形AGE 的面积为，三角形GHI 的面积为． 【答案】25，895，119【分析】连接AH 、BI 、CG ．由于CE:AE =3:2，所以AE =25AC ，故S △ABE =25S △ABC =25;根据燕尾模型，S △ACG :S △ABG =CD:BD =2:3,S△BCG:S△ABG=CE:EA=3:2,所以S△ACG:S△ABG:S△BCG=4:6:9,那么S△ACG=4 19 ,S△BCG=9 19;那么S△AGE=25S△AGC=25×419=895;同样分析可得S△ACH=919，那么EG:EH=S△ACG:S△ACH=4:9,EG:EB=S△ACG:S△ACB=4:19,所以EG:GH:HB=4:5:10,同样分析可得AG:GI:ID=10:5:4.所以S△BIE=510S△BAE=510×25=15,S△GHI=519S△BIE=519×15=119.12. 如下列图所示，三角形BAC的面积是1，E是AC的中点，点D在BC上，且BD:DC=1:2，AD与BE交于点F，那么四边形DFEC的面积等于．【答案】512【分析】如下列图所示，连接CF，因为AE=EC,DC=2BD，三角形ABC的面积是1，所以S△ABD=13S△ABC=13,S△ABE=12S△ABC=12.根据燕尾模型，S△ABF S△ACF =BDDC=12,S△ABFS△CBF=AEEC=1,所以S△ABF=14S△ABC=14,S△AFE=12−14=14,所以四边形DFEC的面积是1−13−14=512．13. 如图，BD:DC=2:3，AE:CE=5:3，那么AF:BF=【答案】5:2【分析】根据燕尾模型有S△ABG:S△ACG=2:3=10:15，S△ABG:S△BCG=5:3=10:6，所以S△ACG:S△BCG=15:6=5:2=AF:BF．14. 如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF 的面积是平方厘米．【答案】14【分析】连接BH，根据沙漏模型得BG:GD=1:2，设SΔBHC=1份，根据燕尾模型SΔCHD=2份，SΔBHD=2份，因此S正方形=(1+2+2)×2=10份，S四边形BFHG=12+23=76份，所以S四边形BFHG=120÷10×76=14〔平方厘米〕．15. 如下图在ΔABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=．【答案】8:1【分析】连接OC．因为BD:DC=2:1，根据燕尾模型，SΔAOB:SΔAOC=BD:BC=2:1，即SΔAOB=2SΔAOC；又AE:EC=1:3，所以SΔAOC=4SΔAOE．那么SΔAOB=2SΔAOC=2×4SΔAOE=8SΔAOE，所以OB:OE=SΔAOB:SΔAOE=8:1．16. 如下列图所示，△ABC中，BD=2DA,CE=2EB,AF=2FC，那么△ABC的面积是阴影三角形面积的倍．【答案】7【分析】如下列图所示，连接AI．根据燕尾模型，S△BCI:S△ACI=BD:AD=2:1,S△BCI:S△ABI=CF:AF=1:2，所以S△ACI:S△BCI:S△ABI=1:2:4,那么S△BCI=21+2+4S△ABC=27S△ABC.同理可知△ACG和△ABH的面积也都等于△ABC面积的27，所以阴影三角形的面积等于△ABC面积的1−27×3=17，所以△ABC的面积是阴影三角形面积的7倍．17. 如图，E在AC上，D在BC上，且AE:EC=2:3，BD:DC=1:2，AD与BE交于点F．四边形DFEC的面积等于22 cm2，那么三角形ABC的面积．【答案】45cm2【分析】连接CF，根据燕尾模型，SΔABFSΔACF =BDDC=12，SΔABFSΔCBF=AEEC=23，设SΔBDF=1份，那么SΔDCF=2份，SΔABF=2份，SΔAFC=4份，SΔAEF=4×22+3=1.6份，SΔEFC=4×32+3=2.4份，如图所标，所以S平行四边形EFDC=2+2.4=4.4份，SΔABC=2+3+4=9份．所以SΔABC=22÷4.4×9=45 (cm2)．18. 如下图，在△ABC中，BE:EC=3:1，D是AE的中点，那么AF:FC=．【答案】3:4【分析】连接CD．由于S△ABD:S△BED=1:1，S△BED:S△BCD=3:4，所以S△ABD:S△BCD=3:4，根据燕尾定理，AF:FC=S△ABD:S△BCD=3:4．19. 如图，三角形ABC的面积是200 cm2，E在AC上，点D在BC上，且AE:EC=3:5，BD:DC= 2:3，AD与BE交于点F．那么四边形DFEC的面积等于．【答案】93cm2【分析】连接CF，根据燕尾定理，S△ABFS△ACF =BDDC=23=69，S△ABFS△CBF=AEEC=35=610，设S△ABF=6份，那么S△ACF=9份，S△BCF=10份，S△EFC=9×53+5=458份，S△CDF=10×32+3=6份，所以S DCFE=200÷(6+9+10)×(458+6)=8×(458+6)=93 cm220. 如图，三角形ABC的面积为60平方厘米，D、E、F分别为各边的中点，那么阴影局部的面积是平方厘米．【答案】12.5【分析】阴影局部是一个不规那么的四边形，不方便直接求面积，可以将其转化为两个三角形的面积之差．而从图中来看，既可以转化为△BEF与△EMN的面积之差，又可以转化为△BCM 与△CFN的面积之差．〔法一〕如图，连接DE．由于D、E、F分别为各边的中点，那么BDEF为平行四边形，且面积为三角形ABC面积的一半，即30平方厘米；那么△BEF的面积为平行四边形BDEF面积的一半，为15平方厘米．根据几何五大模型中的相似模型，由于DE为三角形ABC的中位线，长度为BC的一半，那么EM:BM=DE:BC=1:2,所以EM=13 EB;EN:FN=DE:FC=1:1,所以EN=12 EF.那么△EMN的面积占△BEF面积的12×13=16，所以阴影局部面积为15×(1−16)=12.5(平方厘米).〔法二〕如图，连接AM．根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:EC=1:1,S△ACM:S△BCM=AD:DB=1:1,所以S△BCO=13S△ABC=13×60=20(平方厘米),而S△BDC=12S△ABC=12×60=30(平方厘米),所以S△FCN=14S△BDC=7.5(平方厘米),那么阴影局部面积为20−7.5=12.5(平方厘米).【总结】求三角形的面积，一般有三种方法：〔1〕利用面积公式：底×高÷2；〔2〕利用整体减去局部；〔3〕利用比例和模型．21. 下列图中，ABCD是平行四边形，E为CD的中点，AE和BD的交点为F，AC和BE的交点为H，AC和BD的交点为G，四边形EHGF的面积是15平方厘米，那么ABCD的面积是平方厘米．【答案】180【分析】解法一：蝴蝶模型与一半模型．〔1〕E 是CD 的中点，DE:AB =1:2，所以S △DEF :S △DAF :S △BEF :S △ABF =1:2:2:4.〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是CD 的中点，所以S △ABG 、S △ADG 、S △BEC 占平行四边形面积的14，梯形S ABED 占平行四边形面积的34； 〔3〕所以S △DAF =34×21+2+2+4=16,S △GAF =14−16=112,同理可知S △GHB =112．〔4〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔5〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法二：相似模型、等积变形与一半模型．〔1〕E 是CD 的中点，DE:AB =1:2，所以DF:FB =1:2，而DG =GB ，DF:FG =11+2:(12−11+2)=2:1;〔2〕设平行四边形面积为“1〞．E 是CD 的中点，所以S △ABG 、S △ADG 占平行四边形面积的14，所以S △GAF =14×12+1=112,同理可知S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法三：燕尾模型与一半模型．〔1〕设平行四边形面积为“1〞．S △ADC =12．〔2〕E 是CD 的中点，G 为AC 的中点，连接FC ，设S △DEF 为1份，S △ECF 也为1份，根据燕尾S △ADF 为2份，再根据燕尾S △ACF 也为2份，根据按比例分配，S △AGF 、S △GCF 都为1份，所以S △GAF =12÷(2+1+1+1+1)=112,同理可知S △GHB =112．〔3〕根据一半模型，S △ABE =12，S 四边形EHGF =12−14−112−112=112; 〔4〕ABCD 的面积是15÷112=180(cm 2). 解法四：风筝模型与一半模型． 连接EG 同样可解．22. 正六边形A1,A2,A3,A4,A5,A6的面积是2009平方厘米，B1,B2,B3,B4,B5,B6分别是正六边形各边的中点．请问下列图中阴影六边形的面积是平方厘米．【答案】1148【分析】方法一：如下左图，连接A1A3,A1G,A6A3，过B6做A6A3的平行线B6E，交A1A3于E．因为空白的面积等于△A2A3G面积的6倍，所以关键求△A2A3G的面积，在△A1A2A3中用燕尾模型时，需要知道A1D,A3D的长度比，根据沙漏模型得A1D=DE，再根据金字塔模型得A1E=A3E，因此A1D:A3D=1:3，在△A1A2A3中，设S△A1A2G =1份，那么S△A2A3G=3份，S△A3A1G =3份，所以S△A2A3G=37S△A1A2A3=37×13×12S正六边形=114S正六边形，因此S阴影=(1−114×6)S正六边形=47×2009=1148(平方厘米)．方法二：既然给的图形是特殊的正六边形，且阴影也是正六边形，我们可以用上图的割补思路，把正六边形分割成14个大小形状相同的梯形，其中阴影有8个梯形，所以阴影面积为8 14×2009=1148(平方厘米)．23. 如图，长方形ABCD的面积是2平方厘米，EC=2DE，F是DG的中点．阴影局部的面积是多少平方厘米？【答案】512【分析】连结FC，设S△FED=1份，那么S△FEC=2份，因为FD:FG=1:1，S△FGC=3份．设S△DEF=1份，那么根据燕尾模型其他面积如下图S阴影=512S△BCD=512×12S▫ABCD=512平方厘米．24. 如图，三角形ABC中，BD:DC=3:4，AE:CE=5:6，求AF:FB．【答案】10:9【分析】方法1：根据燕尾模型得SΔAOB:SΔAOC=BD:CD=3:4=15:20S△AOB:S△BOC=AE:CE=5:6=15:18〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC= 20:18=10:9=AF:FB．方法2：如果你能记住赛瓦定理的内容，那么BDDC ×CEEA=34×65=910．由赛瓦定理：BDDC ×CEEA×AFFB=1，那么AFFB=1÷910=10925. 三角形ABC的面积为15平方厘米，D为AB中点，E为AC中点，F为BC中点，求阴影局部的面积．【答案】3.125【分析】令BE与CD的交点为M，CD与EF的交点为N，连接AM，BN．在△ABC中，根据燕尾定理，S△ABM:S△BCM=AE:CE=1:1，S△ACM:S△BCM=AD:BD=1:1，所以S△ABM=S△ACM=S△BCN=13S△ABC由于S△AEM=12S△AMC=12S△ABM S，所以BM:ME=2:1在△EBC中，根据燕尾定理，S△BEN:S△CEN=BF:CF=1:1S△CEN:S△CBN=ME:MB=1:2设S△CEN=1(份)，那么S△BEN=1(份)，S△BCN=2(份)，S△BCE=4(份)，所以S△BCN=12S△BCE=14S△ABC，S△BNE=14S△BCE=18S△ABC，因为BM:ME=2:1，F为BC中点，所以S△BMN=23S△BNE=23×18S△ABC=112S△ABC，S△BFN=12S△BNC=12×14=18S△ABC，所以S阴影=(112+18)S△ABC=524S△ABC=524×15=3.125(平方厘米)26. 在△ABC中，BD:DC=2:1，AE:EC=1:3，求OB:OE=？【答案】8:1【分析】题目求的是边的比值，一般来说可以通过分别求出每条边的值再作比值，也可以通过三角形的面积比来做桥梁，但题目没告诉我们边的长度，所以应该通过面积比而得到边长的比．此题的图形一看就联想到燕尾定理，但两个燕尾似乎少了一个，因此应该补全，所以第一步要连接OC．连接OC．因为BD:DC=2:1，根据燕尾定理，S△AOB:S△AOC=BD:BC=2:1，即S△AOB=2S△AOC；又AE:EC=1:3，所以S△AOC=4S△AOE．那么S△AOB=2S△AOC=2×4S△AOE=8S△AOE，所以OB:OE=S△AOB:S△AOE=8:1．27. 如图在△ABC中，DCDB =EAEC=FBFA=13，求△GHI的面积△ABC的面积的值．【答案】413【分析】连接BG．设S△BGC=1，根据燕尾模型，S△AGC:S△BGC=AF:FB=3:1,S△ABG:S△ACG=BD:DC=3:1,得S△AGC=3(份),S△ABG=9(份),那么S△ABC=13(份),所以S△AGC S△ABC =3 13,同理连接AI、CH得S△ABH S△ABC =3 13,S△BIC S△ABC =3 13,所以S△GHI S△ABC =13−3−3−313=413.28. 如下图，在三角形ABC中，AE=ED，D点是BC的四等分点，请问：阴影局部的面积占三角形ABC面积的几分之几？【答案】37【分析】连结四边形CDEF的对角线CE，将其分为△EFC和△ECD，如下列图所示．由题意，D点是BC的四等分点，不妨就设△CDE的面积是“1〞，而△BDE的面积那么是“3〞．再根据E是AD的中点，那么△ABE的面积就是“3〞，△ACE的面积是“1〞．根据燕尾模型得AFFC =S△CDFS△CDB=34，所以△AEF的面积就是“37〞份，△ECF的面积就是“47〞份，如下列图所示．由此可得阴影局部的面积和是“337〞，而△ABC的总面积是“8〞，所以阴影局部占总面积的33 7÷8=37．29. 如图，在四边形ABCD中，AB=3BE，AD=3AF，四边形AEOF的面积是12，BCDE是平行四边形．那么四边形ABCD的面积是多少？【答案】56【分析】详解：连结BD和AO，利用燕尾模型中的比例关系，可以标出△ABD中每一块的份数．因为BCDE是平行四边形，可知△BCD的面积也是7份．12÷6×(2+4+8+6+1+7)=56,四边形ABCD的面积是56．30. 如右图，三角形ABC中，BD:DC=2:3，EA:CE=5:4，求AF:FB．【答案】15:8【分析】根据燕尾模型得S△AOB:S△AOC=BD:CD=2:3=10:15S△AOB:S△BOC=AE:CE=5:4=10:8〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC=15:8= AF:FB．31. 如图，ΔABC中，BD:DC=4:9，CE:EA=4:3，求AF:FB．【答案】27:16【分析】根据燕尾模型得S△AOB:S△AOC=BD:CD=4:9=12:27S△AOB:S△BOC=AE:CE=3:4=12:16〔都有△AOB的面积要统一，所以找最小公倍数〕，所以S△AOC:S△BOC=27:16= AF:FB．事实上此题的结论即是平面几何中的一个著名的定理即赛瓦定理：BD DC ×CEEA×AFFB=132. 如下列图，D是BC中点，E是CD的中点，F是AC的中点，△ABC由这6局部组成，其中⑵比⑸大6平方厘米，那么△ABC的面积是多少平方厘米？【答案】48【分析】解法一：因为E是DC中点，F为AC中点，有AD=2FE且FE平行于AD，那么四边形ADEF为梯形．在梯形ADEF中有▫=▫，▫×▫=▫×▫，▫:▫=AD2:FE2=4．又▫−▫=6，所以▫=6÷(4−1)=2,▫=▫×4=8;所以▫×▫=▫×▫=2×8=16,而▫=▫，所以▫=▫=4，梯形ADEF的面积为⑵、⑶、⑷、⑸四块图形的面积和，为8+4+4+2=18.有△CEF与△DEF的面积相等，为2+4=6．所以△ADC面积为18+6=24．因为D是BC中点，所以△ABC的面积是：S△ABC=2S△ACD=2×24=48(平方厘米).解法二：如下列图所示：题上给出了S△ADG=S△EFG+6,所以S△ADE=S△DEF+6;因为E是CD的中点，F是AC的中点，由共边定理得：S△ADE=S△AEC=2×S△ECF=2×S△DEF;所以由上面的分析得到：S△DEF+6=2×S△DEF,S△DEF=6;进一步共边原理可得：S △ABC=2×S △ADC =4×S △AEC =8×S △DEF =8×6=48(平方厘米).同样这个题目可以用相似模型也能解．33. 如图，D 是BC 上的中点，E 是AC 上的中点，F 是AB 上的点，且如下列图，AF:FB =3:4，BD:DC =8:3，求CE:EA ．【答案】1:2【分析】连接AD 、BE ．根据燕尾定理，S △ABE S △ADE=BC DC =53，S △ADE S △BDE=AF BF =34，所以S △ADE =312×S △ABD =14S △ABD . 因为S △ACD =38S △ABD ,所以S △ECD =18S △ABD ,所以CE:EA =1:2．34. 如下列图所示，点G 为三角形内一点，连接AG,BG,CG 分别交BC,AC,AB 边于点D,E,F ．假设三角形AFG,CEG,BDG,CDG 之面积分别为126平方厘米，280平方厘米，270平方厘米，360平方厘米．请问三角形ABC 的面积为多少平方厘米？【答案】1365平方厘米【分析】设S △AEG 为x ，S △BFG 为y ．根据燕尾模型可以得到(126+y):(x +280)=270:360=3:4; (126+y):(270+360)=x:280,转化为二元一次方程组．如下： {(126+y)×4=(x +280)×3(126+y)×280=630×x，解得{x =140y =189，那么三角形ABC 的面积为126+189+270+140+280+360=1365(平方厘米).35. 三角形ABC 中AE =12EC ，CF =3DF ，四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的几分之几？ 【答案】16【分析】设S △AEF ＝1，那么S △EFC ＝2，那么S △ADF ＝1，那么S △ADF ＝S △AEF ，说明AD =DE ，三角形ABC 是等腰三角形，那么S △DBF ＝2，进而推出S △CBF =6，那么四边形ADFE 的面积是三角形ABC 的16．36. 在下列图中，三角形ABC 是直角三角形，AB =BC =14且BE =BD =6．请问图中阴影局部的面积是多少？【答案】39.2【分析】如下列图所示，连接BF ，根据燕尾模型．S △AFB :S △AFC =BD:DC =6:8=3:4，S △AFC :S △BFC =AE:EB =8:6=4:3，设△AFB 的面积为3份，那么△AFC 的面积为4份，△BFC的面积也为3份，那么△AFC 占整个图形面积的44+3+3=410=25，阴影局部的面积为25×12×14×14=39.2．37. 如下图，三角形ABC 的面积为1，D 、E 、F 分别是三条边上的三等分点，求阴影三角形的面积？ 【答案】17【分析】给中间三角形的3个顶点标上字母，如下图1．由于D 、E 、F 分别是3条边上的三等分点，而△ABC 的面积为1，所以△ABE 、△BCF 、△CAD的面积都是13，这3个三角形的面积之和就等于大△ABC 的面积，它们的重叠局部是3个小三角形：△AME 、△BNF 、△CPD ．因此阴影△MNP 的面积就等于这3个小三角形的面积之和． 假设S △CPD =“1”，由于D 是BC 上的三等分点，可知S △BPD =“2”〔如下图2〕．由燕尾模型可得S △APC S △BPC=AF FB=2，所以S △APC =“6”；而S △ABP S △ACP=BDDC=2，所以S △ABP =“12”〔如下图3〕．因此，整个△ABC 的面积是“12”+“6”+“2”+“1”=“21”，那么“1”=121，即S △CPD =121． 类似地，小△BNF 和小△AME 的面积都是121，那么阴影局部的面积就是121×3=17．38. 三角形ABC 中，C 是直角，AC =2，CD =2，CB =3，AM =BM ，那么三角形AMN 〔阴影局部〕的面积为多少？【答案】0.3【分析】连接BN ．△ABC 的面积为3×2÷2=3根据燕尾定理，△ACN:△ABN =CD:BD =2:1； 同理△CBN:△CAN =BM:AM =1:1设△AMN 面积为1份，那么△MNB 的面积也是1份，所以△ANB 的面积是1+1=2份，而△ACN 的面积就是2×2=4份，△CBN 也是4份，这样△ABC 的面积为4+4+1+1=10份，所以△AMN 的面积为3÷10×1=0.3．39. 如图，三角形ABD 的面积都是15，三角形ACD 的面积都是20，三角形CDE 的面积是8，求三角形BDE 的面积． 【答案】6；6． 【分析】对于左图S △BDE :S △CDE=BD:CD=S △ABD :S △ADC=15:20=3:4,所以，S △BDE =8×34=6． 而右图是典型的燕尾模型，S △BDE :S △CDE=S △ABD :S △ACD =BE:CE=15:20=3:4,计算同样得6．40. 如图，在四边形ABCD 中，AB =3BE ，AD =3AF ，四边形AEOF 的面积是12，那么平行四边形BODC 的面积为________． 【答案】24【分析】连接AO,BD ， 根据燕尾模型S △ABO :S △BDO =AF:FD =1:2, S △AOD :S △BOD =AE:BE =2:1, S ΔABO :S △BDO :S △AOD =1:2:4,设S △BEO =1份，那么其他图形面积，如图所标，所以S BODC =2S AEOF =2×12=24.41. 如图，等腰直角三角形DEF 的斜边在等腰直角三角形ABC 的斜边上，连接AE 、AD 、AF ，于是整个图形被分成五块小三角形．图中已标出其中三块的面积，那么三角形ABC 的面积是． 【答案】36【分析】方法一：延长AD 交BC 于点M ，连接BD 、CD ，应用燕尾模型， 得S 1=25, S 2=35,再由蝴蝶模型，S △BDE =S △ADE ，所以S △BDM =2+25=125,同理S △CDM =185，而MD:DA =25:2=1:5,所以S △ABD =5S △BDM ，同理S △ACD =5S △CDM ，所以S △ABC =6S △BDC =6×(125+185)=36.方法二：由于等腰直角三角形DEF 的面积是1，所以EF ＝2，而S △AEF =1+2+3=6,所以等腰直角△ABC 的高为6×2÷2=6,所以△ABC 的面积是6×6÷2×2=36.42. 一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪．一看到小灵通，王师傅热情地打招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四局部〔如图〕．修剪西部、东部、南部各需10分钟、16分钟、20分钟，请你想一想修剪北部需要多少分钟？〞【答案】44【分析】如上图所示，将北局部分成两个三角形，并标上字母． 即有{(10+x):20=y:16(16+y):x =20:10, 即有{5y =40+4x 2x =16+y, 解得{x =20y =24. 所以修剪北部草坪需要20+24=44(分钟).43. 三角形ABC 中，三角形ABF 的面积是60，三角形AFC 的面积是20，三角形BFC 的面积是56，求三角形BDF 和三角形CDF 的面积．【答案】△BDF 的面积是42，△CDF 的面积是14【分析】BD DC =S △ABF S △ACF=3，所以△BDF 的面积是△BFC 的34，△CDF 的面积是△BFC 的14，面积分别是42和14．44. 如图，面积为1的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积． 【答案】1370【分析】三角形在开会，那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM 、BN 、CP〔1〕求S 四边形ADMI ：在△ABC 中，根据燕尾定理，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2设S △ABM =1(份)，那么S △CBM =2(份)，S △ACM =1(份)，S △ABC =4(份)，所以S △ABM =S △ACM =14S △ABC ，所以S △ADM =13S △ABM =112S △ABC ，S △AIM =112S △ABC ， 所以S 四边形ADMI =(112+112)S △ABC =16S △ABC ，同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是△ABC 面积的16〔2〕求S 五边形DNPQE ：在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABN :S △ACN =BF:CF =1:2S △ACN :S △BCN =AD:BD =1:2，所以S △ADN =13S △ABN =13×17S △ABC =121S △ABC ，同理S △BEQ =121S △ABC在△ABC 中，根据燕尾定理S △ABP :S △ACP =BF:CF =1:2，S △ABP :S △CBP =AI:CI =1:2所以S △ABP =15S △ABC所以S 五边形DNPQE =S △ABP −S △ADN −S △BEP =(15−121−121)S △ABC =11105S △ABC 同理另外两个五边形面积是△ABC 面积的11105所以S 阴影=1−16×3−11105×3=137045. 如图，三角形ABC 的面积是120，E 是AC 的中点，点D 在BC 上，且BD:DC =1:2，AD 与BE 交于点F ．那么四边形DEFC 的面积是多少？ 【答案】50【分析】方法一：连接CF ． 根据燕尾模型，S △ABF S △ACF =BD DC =12, S △ABF S △CBF =AEEC=1, 设S △BDF =1份，那么S △DCF =2份，S △ABF =3份，S △AEF =S △EFC =3份，所以S DCEF =512S △ABC=50.方法二：连接DE ． 由题目条件可得到S △ABD =13S △ABC =40,S△ADE=12S△ADC=12×23S△ABC=40,所以BF FE =S△ABDS△ADE=11,S△DEF=12×S△DEB=12×13×S△BEC=12×13×12×S△ABC=10,而S△CDE=23×12×S△ABC=40.所以四边形DFEC的面积等于5 12S△ABC=50.46. 如图，△ABC的面积为1，点D、E是BC边的三等分点，点F、G是AC边的三等分点，那么四边形JKIH的面积是多少？【答案】970【分析】连接CK、CI、CJ．根据燕尾定理，S△ACK:S△ABK=CD:BD=1:2，S△ABK:S△CBK=AG:CG=1:2，所以S△ACK:S△ABK:S△CBK=1:2:4，那么S△ACK=11+2+4=17，S△AGK=13S△ACK=121．类似分析可得S△AGI=215．又S△ABJ:S△CBJ=AF:CF=2:1，S△ABJ:S△ACJ=BD:CD=2:1，可得S△ACJ=14．那么，S CGKJ=14−121=1784．根据对称性，可知四边形CEHJ的面积也为1784，那么四边形JKIH周围的图形的面积之和为S CGKJ×2+S△AGI+S△ABE=1784×2+215+13=6170，所以四边形JKIH的面积为1−6170=970．47. 如图，BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，求阴影局部面积．【答案】12.5【分析】题中条件只有三角形面积给出具体数值，其他条件给出的实际上是比例的关系，由此步判断这道题不应该通过面积公式求面积．又因为阴影局部是一个不规那么四边形，所以我们需要对它进行改造，那么我们需要连一条辅助线，方法一：连接CF，因为BD=DC，EC=2AE，三角形ABC的面积是30，所以S△ABE=13S△ABC=10,S△ABD=12S△ABC=15.根据燕尾模型，S△ABF S△CBF =AEEC=12,S△ABF S△ACF =BDCD=1,SΔABF:SΔBFC:SΔAFC=1:2:1.所以S△ABF=14S△ABC=7.5,S△BFD=15−7.5=7.5,所以阴影局部面积是30−10−7.5=12.5．方法二：连接DE，由题目条件可得到S△ABE=13S△ABC=10,S△BDE=12S△BEC=12×23S△ABC=10,所以AF FD =S△ABES△BDE=11,S△DEF=12×S△DEA=12×13×S△ADC=12×13×12×S△ABC=2.5,而S△CDE=12×23×S△ABC=10.所以阴影局部的面积为12.5．48. 如图，正方形ABCD的边长是6，E、F分别是DC和AD边的中点，阴影局部的面积是多少？【答案】24【分析】设AE和CF的交点为O，连结OD，连结AC，设△AFO的面积为1，标出份数．可看出三角形AOC的面积是三角形ACD的13，那么三角形AOC的面积是正方形ABCD的12×13=16．所以阴影局部的面积是正方形ABCD的16+12=23，面积是62×23=24．49. 如右图，三角形ABC中，AF:FB=BD:DC=CE:AE=3:2，且三角形GHI的面积是1，求三角形ABC的面积．【答案】19【分析】连接BG．S△AGC=6份．根据燕尾模型，S△AGC:S△BGC=AF:FB=3:2=6:4,S△ABG:S△AGC=BD:DC=3:2=9:6.得S△BGC=4(份),S△ABG=9(份),那么S△ABC=19〔份〕，因此S△AGC S△ABC =6 19.同理连接AI、CH．得S△ABH S△ABC =619,S△BICS△ABC=619,所以S△GHI S△ABC =19−6−6−619=119.三角形GHI的面积是1，所以三角形ABC的面积是19．50. 如图，在三角形ABC 中，AE =ED ，D 点是BC 的四等分点，阴影局部的面积占三角形ABC 面积的几分之几？ 【答案】37【分析】设S △CDE =1，那么S △BDE =S △ABE =3，根据燕尾模型有S △AEC =1，AFCF =S△ABE S △BCE=34，所以S △AEF =37，因此S 阴影S △ABC =3+373+3+1+1=37.51. 如下列图所示，三角形ABC 的面积为1，点D 、E 是BC 边的三等分点，点F 、G 是AC 边的三等分点．请问阴影局部的面积是多少？ 【答案】542【分析】如下列图所示，连接CM ，设S △CMG =a,S △CME =b ，那么S △AMG =2a,S △BME =2b ， 从而有{3a +b =133b +a =13，易得a +b =16． 说明S 四边形EMGC =16，所以S △AMG =13−16=16．S △BAM =23−16=12． 所以BM:MG =S △ABM :S △AMG =12:16=3:1．再连接GN ，根据燕尾模型，可以得到S △ABN :S △ANG =BM:MG =3:1, S △ABN :S △BNG =AF:FG =1:1,那么求出S △BNG =37S △ABG =37×23=27,S △ANG =17S △ABG =17×23=221.图中阴影局部面积为S △MNG +S △NFG =14S △BNG +12S △ANG=14×27+12×221=542. 52. 如图，面积为l 的三角形ABC 中，D 、E 、F 、G 、H 、I 分别是AB 、BC 、CA 的三等分点，求阴影局部面积．〔如果结果是分数，将结果化成最简分数．〕 【答案】1370【分析】令BI 与CD 的交点为M ，AF 与CD 的交点为N ，BI 与AF 的交点为P ，BI 与CE 的交点为Q ，连接AM ，BN ，CP ．求四边形ADMI 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABM :S △CBM =AI:CI =1:2, S △ACM :S △CBM =AD:BD =1:2,所以S △ABM =14S △ABC ,S △ADM =13S △ABM =112S △ABC,S △AIM =112S △ABC,因而四边形ADMI 的面积为112S △ABC +112S △ABC =16S △ABC , 同理可得另外两个顶点的四边形面积也是△ABC 的16．求五边形DNPQE 的面积：在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABN :S △ACN =BF:CF =1:2,所以S △ADN =13S △ABN =121S △ABC,同理可得S △BEQ =121S △ABC.在△ABC 中，根据燕尾模型，S △ABP :S △ACP =BF:CF =1:2, S △ABP :S △CBP =AI:CI =1:2,所以S △ABP =15S △ABC ,因此五边形DNPQE 的面积为15S △ABC −121S △ABC −121S △ABC =11105S △ABC, 同理另外两个五边形的面积也是11105S △ABC. 所以阴影局部的面积为S △ABC −3×16S △ABC −3×11105S △ABC =1370S △ABC =1370.53. 在三角形ABC 中，AE =2EC ，BF:FE =1:1，阴影局部面积占△ABC 的几分之几？ 【答案】25【分析】如下图，设S △CEF 为1份，那么S △AEF 为2份，S △ABF 是2份，根据燕尾定理可知，S △ABF :S △BCF =2:1,那么S △BCF 是1份，且BD:BC =2:3,可以求出S △BDF 为0.4份，所以阴影局部的面积占S △ABC 的25． 54. 三角形ABC 中，C 是直角，AC =CD ，CD =2BD ，AM =BM ，三角形AMN 〔阴影局部〕的面积为1，求三角形ABC 的面积． 【答案】10．【分析】连接BN ． 根据燕尾模型，△ACN:△ABN =CD:BD =2:1;同理△CBN:△CAN =BM:AM =1:1, S △ACN :S △ABN :S △CBN =2:1:2.设△AMN 面积为1份，那么△MNB 的面积也是1份，所以△ANB 的面积是1+1=2份，而△ACN 的面积就是2×2=4份，△CBN 也是4份，这样△ABC 的面积为4+4+1+1=10份，所以△ABC 的面积为1×10÷1=10．55. 如图，三角形ABC 中，EC =2AE ，BD:DC =2:1，请在图上标出各个小三角形的面积份数．〔即三角形COE 、BOD 、AOB 、的面积份数〕 【答案】见解析．【分析】根据燕尾模型可知：S △ABO :S △BOC ＝1:2 S △ABO :S △AOC ＝2:1设S △AOE 为1份，那么其他三角形份数如下图：56. 如图，正方形ABCD 的面积是120平方厘米，E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，四边形BGHF 的面积是________平方厘米．【答案】14【分析】EG:GC =EB:CD =1:2，所以EG =13EC ，S △EBG =12×12AB ×13BC =112×120=10连接BH ，设S △BGH ="1"，那么S △AGH ="2"，由燕尾模型知S △DHC ="3"，所以S △DGC ="5"，又因为S △DGC =4S △EBG =40，所以S △BGH =8，S BGHF =S △DBF −S △DGH =14S ▫ABCD −"2"=30−16=1457. 如图，三角形ABC 中，BD:DC =4:9，CE:EA =4:3，求AF:FB ． 【答案】27:16【分析】根据燕尾定理得S △AOB :S △AOC =BD:CD =4:9=12:27 S △AOB :S △BOC =AE:CE =3:4=12:16所以S △AOC :S △BOC =27:16=AF:FB58. 在三角形ABC 中，BD:DC =2:1，AE:EC =1:3，求BO:OE ． 【答案】8:1【分析】解法一：连接OC ． AE:EC =1:3，可得 S △AOE :S △COE =1:3, 设S △AOE =x ，那么S △COE =3x 、 S △AOC =4x,再根据燕尾定理， S △AOB :S △AOC =BD:DC =2:1,所以 S △AOB =8x,所以BO:OE =S △AOB :S △AOE =8:1.解法二：可以用梯形蝴蝶定理来．连接DE ，把三角形ABC 的面积看做“1〞，S ABD =23，而AE 的长占AC 的14，CD 的长占CB 的13，14×13=112来表示△AED 的面积，所以BO:OE =S △ABD :S △AED =8:1.59. 如图，三角形ABC被线段AD、BE分成4个局部，AE:EC=1:2，CD:DB=1:2，三角形AOE的面积是1，请问三角形ABC的面积是多少？【答案】21【分析】连接线段OC，S△COE:S△AOE=CE:AE=2:1,所以S△COE=2，根据燕尾模型，S△AOB:S△AOC=BD:CD=2:1,所以S△AOB=6，又因为S△COB:S△COE=OB:OE=S△AOB:S△AOE=6:1,所以S△COB=12，所以S△ABC=1+6+2+12=21.60. 如图，面积为1的三角形ABC中，D、E、F、G、H、I分别是AB、BC、CA的三等分点，求中心六边形面积．【答案】110【分析】设深黑色六个三角形的顶点分别为N、R、P、S、M、Q，连接CR在△ABC中根据燕尾定理，S△ABR:S△ACR=BG:CG.=2:1，S△ABR:S△CBR=AI:CI=1:2所以S△ABR=27S△ABC，同理S△ACS=27S△ABC，S△CQB=27S△ABC所以S△RQS=1−27−27−27=17同理S△MNP=17根据容斥原理，和上题结果S六边形=17+17−1370=110。
小学六年级奥数题及答案(全面)
小学六年级奥数题及答案(全面)【注意】本文仅供参考学习使用，严禁用于商业目的。
小学六年级奥数题及答案(全面)第一题：计算题1. 求100以内所有偶数的和。
解答：要求100以内所有偶数的和，我们可以从2开始，每次递增2，直到100。
然后将这些偶数相加即可。
2 + 4 + 6 + 8 + ... + 98 + 100 = 2550因此，100以内所有偶数的和为2550。
第二题：几何题2. 在平面直角坐标系内，A(2, 3)和B(-1, -5)为两个点，求线段AB 的长度。
解答：根据两点间距离公式，可以计算出线段AB的长度。
线段AB的长度= √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)代入点的坐标：线段AB的长度= √((-1 - 2)² + (-5 - 3)²)= √((-3)² + (-8)²)= √(9 + 64)= √73因此，线段AB的长度为√73。
第三题：代数题3. 若x² + 5x + 6 的值为15，求x。
解答：根据题意，我们可以列出方程：x² + 5x + 6 = 15将方程转化为标准形式：x² + 5x + 6 - 15 = 0x² + 5x - 9 = 0然后，我们可以使用因式分解或配方法求解此方程。
通过因式分解，可以得到：(x + 3)(x - 2) = 0根据零乘法，我们可以得到两个解：x + 3 = 0 或 x - 2 = 0解方程得到：x = -3 或 x = 2因此，方程的解为x = -3 或 x = 2。
第四题：逻辑题4. 小明、小李、小张三人坐在一个长凳上，从左到右依次是：小明、小李、小张。
已知：- 小明比旁边坐的人大一岁；- 小李比小张大两岁；- 小明的年龄是10岁。
问：小张的年龄是多少岁？解答：根据题意，我们可以列出以下等式：小明的年龄 = 小明旁边坐的人的年龄 + 1小李的年龄 = 小张的年龄 + 2小明的年龄 = 10带入已知条件，我们可以得到以下等式：10 = 小明旁边坐的人的年龄 + 1小李的年龄 = 小张的年龄 + 2根据第一个等式，可以得到：小明旁边坐的人的年龄 = 10 - 1= 9根据第二个等式，可以得到：小张的年龄 = 小李的年龄 - 2此时，我们需要知道小李的年龄。
6年级奥数几何综合问题(中)例题解析
【内容概述】本讲将涉及到图形的对称、平移、旋转、割补及其他等积变换，下面我们就这些变换的预备知识及变换本身进行学习和探讨．反之，如果知道上面某种情况的成立，则那两条直线平行．3．两个相似三角形的面积比值为相似系数的平方．【例题】题1．如下图，六边形ABCDEF中，AB＝ED，AF＝CD，BC＝EF，且有AB平行ED，AF平行CD，BC平行EF，对角线FD垂直与BD．已知FD＝24厘米，BD＝18厘米，试求六边形ABCDEF的面积是多少平方厘米？「分析与解」如图，我们将BCD平移使得CD与AF重合，DEF平移使得ED与AB 重合．这样就组成一个长方形，显然有面积为24×18＝432平方厘米，即ABCDEF 的面积为432平方厘米．题2．四边形ABCD中，AB＝30，AD＝48，BC＝14，CD＝40．又已知∠ABD+∠BDC ＝90°，求四边形ABCD的面积．「分析与解」如下图，以BD的垂直平分线为对称轴，做△ABD关于l的对称图形△A′BD．连接A′C．因为∠ABD+∠BDC＝90°，而∠ABD＝∠A′DB＝90°，所以有∠A′DB+∠BDC＝90°．那么△A′CD为直角三角形，由勾股定理知A′C2＝AB2+CD2＝2500，所以A′C＝50．而在△A′BC中，有A′B＝AD＝48，有482+142＝2500，即A′B2+BC2＝A′C2，即△A′BC为直角三角形．有S △A ′CD +S △A ′BC ＝30×40×+14×48×＝936．而S 四边形ABCD ＝S △A ′CD +S △A ′BC ＝936．评注：Ⅰ．本题以∠ABD+∠BDC ＝90°为突破口，通过对称变换构造出与原图形相关的直角三角形．这样面积就很好解决．Ⅱ．对于这道题我们还可以将△BCD 作l 的对称图形，如下：题3．如下图所示，梯形ABCD 中，AB 平行与CD ，又BD ＝3，AC ＝4，AB+CD ＝5，试求梯形ABCD 的面积．「分析与解」如下图，将AB 沿AC 平移至CE ，连接BE ．在三角形BDE 中，有BD ＝3，BE ＝4，DE ＝5，有BD 2+BE 2＝DE 2，所以三角形BDE 为直角三角形．有S梯形ABCD ＝S△BDE＝×3×4＝6．题4．如图，在三角形ABD中，当AB和CD的长度相等时，请求出“？”所示的角是多少度，给出过程．「分析与解」因为AB＝CD，于是可以将三角形ABC的边BA边与CD对齐，如右图．在右图中有∠BCA＝110°，所以∠ACD＝70°于是∠ACC′＝∠ACD＋∠DCC′＝∠ACD＋∠ACB＝70°＋40°＝110°；于是∠ACC′＝110°＝∠CC′D；又因为C′A′只是CA移动的变化，所以C′A′＝CA；则AB′C′A′是一等腰梯形．于是，∠ADC′＝180°－110°＝70°；又∠CDC′＝30°，所以∠ADC＝70°－30°＝40°．题5．如下图所示，有六边ABCDEF，已知∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝120°，AB＝BC＝CD；AF＝DE；∠ECF＝60°；已知FEC的面积为6，求六边形ABCDEF的面积为多少？「分析与解」如下图，因为BC＝CE，所以我们可以将△CDE绕C点转到E′点，使E′B平行CD．连接E′、F；E′、B，设E′F、AB交于Q点．有△E′BC≌△EDC．而在△E′BQ、△FAQ中，∠E′BQ＝∠FAQ＝120°，∠E′QB＝∠AQF(对顶角相等)，E′B＝AF＝ED，所以有△E′BQ≌△FAQ．所以△E′FC即为六边形ABCDEF除△CEF所剩下的部分的等积图形；而在△E′FC、△EFC中，E′C＝EC，FC＝FC，∠E′CF＝∠ECF，所以△E′FC≌△EFC．所以S六边形ABCDEF ＝2×S△CEF；于是，S六边形ABCDEF＝6×2＝12．题6．如下图，△ABC为边长为1的等边三角形，△BCD是等腰三角形，BD＝CD，顶角∠BDC＝120°，∠MDN＝60°，求△AMN的周长．「分析与解」如下图，延长AC至P，使CP＝MB，连接DP．则有∠MBD＝60°＋＝∠PCD；CP＝BM；BD＝CD，所以有△MBD≌△PCD．于是∠MDB＝∠PDC；又因为∠MDB＋∠NDC＝60°，所以∠PDC＋∠NDC＝∠NDP＝60°；MD＝PD．在△MND、△PND中，∠NDM＝∠NDP，ND＝ND，MD＝PD，于是△MND≌△PND．有MN＝PN．因为MN＝NP＝NC+CP，而AM＝AB－MB＝AB－CP，所以AM＋AN＋MN＝(AB－CP)+AN+(NC+CP)＝AB+AN+NC＝2．即△AMN的周长为2．题7．如下图，三角形ADC，是AC边与AD边长度相等的等腰三角形．求出下图中？的角度．「分析与解」作△ADB关于AB的对称图形，为△AD′B，在BC上选择E点使EA=CA;△BD′A≌△BCA，∠BD′A＝∠BDA，注意到∠BED′似直角，D′EA似为等边三角形．如果解决，则，显然就有∠BDA＝∠BD′A＝？，答案显然为105°．注意到∠AEC＝30°，则∠EAC＝120°，于是∠D′AE＝60°，又因为D′A＝DA＝AC＝AE，所以三角形D′AE为等边三角形．∠D′EC＝∠D′EA＋∠AEC＝60°＋30°＝90°；于是∠D′EB＝180°－90°＝90°．又知道∠BEA＝90°＋60°＝150°；所以∠BAE＝180°－150°－15°＝15°；所以BEA为等腰三角形；于是BE＝EA＝ED′；BED′为等腰直角三角形．综合以上分析知∠BDA＝105°．题8．下图为半径20厘米、圆心角为144°的扇形图．点C、D、E、F、G、H、J 是将扇形的B、K弧线分为8等份的点．求阴影部分面积之和．「分析与解」如下图，做出辅助线△KMA与△ANG形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△KMA≌△ANG，S△KMA ＝S△ANG，而△KMA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，GNMK与扇形KGA的面积相等，那么KGEB的面积为2倍扇形KGA的面积．扇形KGA的圆心角为×3＝54°，所以扇形面积为×202×π＝60π平方厘米．那么KGEB的面积为60π×2＝120π平方厘米．如右图，做出另一组辅助线．△JQA与△ARH形状相同(对应角相等)，大小相等(对应边相等)，有△JQA≌△ARH，S△JQA ＝S△ARH，而△PQA是两个三角形的公共部分，所以上图中的阴影部分面积相等．所以，JHPQ与扇形JHA的面积相等，那么JHDC的面积为2倍扇形JHA的面积．扇形JHA的圆心角为＝18°，所以扇形面积为×202×π＝20π平方厘米．那么JHDC的面积为10π×2＝40π平方厘米．所以，原题图中阴影部分面积为SKGEB －SJHDC＝120π－40π＝80π≈80×3.14＝251.2平方厘米．题9．如下图，三角形ABC中AB＝AC，∠BAC＝120°，三角形ADE为正三角形，点D在BC边上．并且有BD：DC＝2：3．三角形ABC的面积为50平方厘米，试求三角形ADE的面积？「分析与解」以点A为中心，使三角形ABC旋转120°，240°使其与原图形形成一个正三角形，并使QC：PQ＝RP：BR＝2：3．在正三角形PBC的内部连接成一个正六边形图，再连接正六角形的顶点得到正三角形DQR．有S△PBC ＝S△ABC×3＝150，S△DCQ＝S△PBC××＝36，S△DQR＝S△PBC－3S△DCQ＝42，S△ADE ＝S正六边形DQR＝S△DQR＝14平方厘米．。
六年级下册奥数试题-几何专题 全国通用(含答案)
小学奥数几何专题1、（★★）如图，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形的面积等于多少？[思 路]：显然四边形ABCD 的面积将由三角形ABD 与三角形BCD 的面积求和得到．三角形ABD 是直角三角形，底AD 已知，高BD 是未知的，但可以通过勾股定理求出，进而可以判定三角形BCD 的形状，然后求其面积．这样看来，BD 的长度是求解本题的关键．解：由于BD 垂直于AD ，所以三角形ABD 是直角三角形．而AB=13，DA=12，由勾股定理，BD 2=AB 2－AD 2=132—122=25=52，所以BD=5．三角形BCD 中BD=5，BC=3，CD=4，又32十42=52，故三角形BCD 是以BD 为斜边的直角三角形，BC 与CD 垂直．那么：ABCD S 四边形=ABD S ∆+BCD S∆=12×5÷2+4×3÷2=36．． 即四边形ABCD 的面积是36． 2、（★★）如图四边形土地的总面积是48平方米，三条线把它分成了4个小三角形，其中2个小三角形的面积分别是7平方米和9平方米．那么最大的一个三角形的面积是________平方米；[分析]:剩下两个三角形的面积和是 48-7-9=32 ，是右侧两个三角形面积和的2 倍，故左侧三角形面积是右侧对应三角形面积的2倍，最大三角形面积是 9×2=18。
3．（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。
已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？[思 路]：小升初中常把分数，百分数，比例问题处理成份数问题，这个思想一定要养成。
解：粗线面积：黄面积=2：3绿色面积是折叠后的重叠部分，减少的部分就是因为重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变2份，减少的绿色部分为1份，所以阴影部分为2-1=1份，7 94、（★★）求下图中阴影部分的面积：【解】如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
六年级奥数几何专题
几何专题例1 从一个棱长为10厘米的正方体木块中挖去一个长10厘米、宽2 厘米、高2厘米的小长方体，剩下部分的表面积是多少？(写出符合要求的全部答案)例1图【拓展】一个圆柱体高是4厘米，底面半径是2厘米。
将它的底面平均分成若干个扇形后，再截开拼成一个和它等底等高的长方体，表面积增加了多少平方厘米？拓展图例2 把11块相同的长方体的砖拼成如图所示的大长方体，已知每块砖的体积是 ，则大长方体的表面积为多少？3288cm例3 如图，用高都是1米，底面半径分别为1.5 米、 1米和0.5米的 3个圆柱组成一个物体。
问这个物体的表面积是多少平方米？例3图例4 现有一个棱长为1厘米的正方体，一个长宽为1厘米，高为2厘米的长方体，三个长宽为1厘米高为3厘米的长方体。
下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。
试利用下面三个图形把合并成的立体图形的样子画出来，并求出其表面积。
【巩固】用棱长是1厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？巩固图1110.511.5侧面所看到的图形前面所看到的图形上面所看到的图形例5如图所示，一个 的立方体，在一个方向上开有 的孔，在另一个方向上开有 的孔，在第三个方向上开有 的孔，剩余部分的体积是多少？表面积为多少？例5图例6 如图，底面积为50平方厘米的圆柱形容器中装有水，水面上漂浮着一块棱长为5厘米的正方体木块，木块浮出水面的高度是2厘米。
若将木块从容器中取出，水面将下降________厘米。
【巩固】一只装有水的圆柱形玻璃杯，底面积是80平方厘米，高是15厘米，水深8厘米。
现将一个底面积是16平方厘米，高为12厘米的长方体铁块竖放在水中后。
现在水深多少厘米？例7 （第五届走进美妙数学花园六年级初赛试题）如图，把正方体用两个与它的底面平行的平面切开，分成三个长方体。
这三个长方体的表面积比是 时，用最简单的整数比表示这三个长方体的体积比：_______：_______：_______例8 已知直角三角形的三条边长分别为3，4，5，分别以这三边轴，旋转一周，所形成的立体图形中，体积最小的是多少立方厘米？555⨯⨯115⨯⨯215⨯⨯315⨯⨯3:4:5【巩固】 如图，直角三角形如果以BC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，以AC 边为轴旋转一周，那么所形成的圆锥的体积为 ，那么如果以AB 为轴旋转一周，那么所形成的几何体的体积是多少？例9 有6个相同的棱长分别是3厘米、4厘米、5厘米的长方体，把它们的某些面染上红色，使得有的长方体只有1个面是红色的，有的长方体恰有2个面是红色的，有的长方体恰有3个面是红色的，有的长方体恰有4个面是红色的，有的长方体恰有5个面是红色的，还有一个长方体6个面都是红色的，染色后把所有长方体分割成棱长为1厘米的小正方体。
小学奥数题库《几何》-曲线型-弓形-1星题(含解析)
几何-曲线型几何-弓形-1星题课程目标知识提要弓形•概念由弦及其所对的弧所组成的图形叫做弓形。
•一般公式弓形面积=扇形面积−三角形面积精选例题弓形1. 如下图所示的半圆的直径BC=8厘米，AB=AC，D是AC的中点，则阴影部分的面积是．（π取3.14）【答案】12.56【分析】S△ABD=12S△ABC，所以阴影部分的面积为14圆=14π(82)2=4π=12.56(平方厘米).2. 求图中阴影部分的面积（单位：cm）．【答案】9cm2【分析】从图中可以看出，两部分阴影的面积之和恰好是梯形的面积，所以阴影部分面积为12×(2+4)×3=9\rm cm2.3. 如图，4个圆的圆心是正方形的4个顶点，它们的公共点是该正方形的中心．如果每个圆的半径都是1厘米，那么阴影部分的总面积是多少平方厘米？【答案】8【分析】如下图所示：可以将每个圆内的阴影部分拼成一个正方形，每个正方形的面积为：(1×1÷2)×4=0.5×4=2(平方厘米),所以阴影部分的总面积为2×4=8(平方厘米).4. 如图，四分之一大圆的半径为7，求阴影部分的面积，其中圆周率π取近似值227．【答案】14【分析】原题图中的左边部分可以割补至如右上图位置，这样只用先求出四分之一大圆的面积，再减去其内的等腰直角三角形面积即为所求．因为四分之一大圆的半径为7，所以其面积为：1 4×72×π≈14×72×227=38.5．四分之一大圆内的等腰直角三角形ABC的面积为12×7×7=24.5，所以阴影部分的面积为38.5−24.5=14．5. 请按照图中尺寸求出两图中阴影部分的面积分别为多少．（π取3.14）【答案】 4.56；28.5【分析】（1）4×(14×π×22−12×2×2)=4π−8=4.56；（2）1 2×π×(102)2−[12×10×10−45360×π×102]=25π−50 =28.5.。
6年级奥数几何综合问题(上)例题解析
【内容概述】勾股定理，多边形的内角和，两直线平行的判别准则，由平行线形成的相似三角形中对应线段和面积所满足的比例关系．与上述知识相关的几何计算问题．各种具有相当难度的几何综合题． 【例题】1．如图16-1，已知四边形ABCD 中，AB=13，BC=3，CD=4，DA=12，并且BD 与AD 垂直，则四边形ABCD 的面积等于多少?[分析与解] 因为∠ADB ＝90°，所以在△ABD 中有AB 2＝AD 2+BD 2，即BD 2＝AB 2－AD 2＝132－122＝25，所以BD ＝5．△ABD 的面积为12×BD ×AD ＝30．而在△BCD 中有32+42＝52，即BC 2+CD 2＝BD 2，所以有△BCD 为直角三角形．△BCD 的面积为12×BC ×CD ＝6．而四边形ABCD 的面积为△ABD 、△BCD 的面积和，即为30+6＝36．2．如图16-2，已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形，且正方形ABCD 的边长为10厘米，那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米?[分析与解] 因为CEFG 的边长题中未给出，那么显然阴影部分的面积与其无关． 设正方形CEFG 的边长为x ，有：S 正方形ABCD ＝10×10＝100，S 正方形CEFG ＝x 2，S △BGF ＝12DG ×GF ＝12(10－x)x ＝．又S △ABD ＝12×10×10＝50，S △BEF ＝12(10+x)x ＝．阴影部分的面积为：S 正方形ABCD +S 正方形CEFG +S △BGF －S △ABD －S △BEF ＝100+x 2+－50－＝50(平方厘米)．解法二：连接FC ，有FC 平行与DB ，则四边形BCFD 为梯形．有△DFB 、△DBC 共底DB ，等高，所以这两个三角形的面积相等，显然△DBC 的面积为12×10×10＝50(平方厘米)．阴影部分△DFB 的面积为50平方厘米．3．如图16-3，在平行四边形ABCD 中，AB=16，AD=10，BE=4，那么FC 的长度是多少?[分析与解]因为有CB平行与DA，有＝，有FB＝×DA＝×10＝2，所以CF＝CB－FB＝10－2＝8．解法二：如下图所示，连接DB，CE，有DC：BE＝4：1，所以△DFC与△FBE的面积比为16：1，有S△DCF ×S△FBE＝S△DBF×S△CEF ，又S△DFB＝S△CFE．所以△DCF，△FBE，△DBF，△CEF的面积比为16：1：4：1，即S△DCF ：S△DFB＝16：4＝4：1．有△DCF，△DFB同高，面积比为底的比，即CF：BF＝4：1，而CF，BF的长度和为10，有FC＝×BC＝8．4．如图16-4，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I等于多少度?[分析与解]为了方便所述，如下图所示，标上数字，有∠I＝180°－(∠1+∠2)，而∠1＝180°－∠3，∠2＝180°－∠4，有∠I＝∠3+∠4－180°．同理有∠H＝∠4+∠5－180°，∠G＝∠5+∠6－180°，∠F＝∠6+∠7－180°，∠E＝∠7+∠8－180°，∠D＝∠8+∠9－180°，∠C＝∠9+∠10－180°，∠B＝∠10+∠11－180°，∠A＝∠11+∠3－180°．则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝2×(∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11)－9×180°．而∠3+∠4+∠5+∠6+∠7+∠8+∠9+∠10+∠11正是9边形的内角和为(9－2)×180°＝1260°．所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝2×1260°－9×180°＝900°．5．如图16-5，设正方形ABCD的面积为l，E，F分别为边AB，AD的中点，FC=3GC，则阴影部分的面积是多少?[分析与解]过G作线段PQ垂直于AB，分别交AB、DC于P、Q两点：有G为FC三等分点，且GQ平行与FD，所以GQ＝FD＝．＝×EB×PG＝××＝．则PG＝PQ－GQ＝，有S△EBG6．长边和短边的比例是2：1的长方形称为基本长方形．考虑用短边互不相同的基本长方形拼图，要求任意两个基本长方形之间既没有重叠，也没有空隙．现在要用短边互不相同且最小短边长为1的5个基本长方形拼接成一个更大的长方形．例如，短边长分别是1，2，5，6，12的基本长方形能拼接成大长方形，具体方案如图16-6所示．请给出这5个基本长方形所有可能的选择方式．设a1=1<a2<a3<a4<a5分别为5条短边的长度，则我们将这种选择方式记为(al，a2，a3，a4，a5)，这里无需考虑5个基本长方形的拼图方案是否惟一．共有16组解，它们是：(1，2，2.5，5，7.25)，(1，2，2.5，5，14.5)，(1，2，2.25，2.5，3.625)，(1，2，2.25，2.5，7.25)，(1，2，5，5．5，6)，(1，2，5，6，11)，(1，2，2．5，4.5，7)，(1，2，2．5，4．5，14)，(1，2，5，12，14.5)，(1，2，5，12，29)，(1，2，2.25，2.5，4.5)，(1，2，5，6，12)，(1，，2，，)，(1，2，2.4，4.8，5)，(1，，，，)，(1，，，，)．7．如图16-7，ABCG是4×7的长方形，DEFG是2×10的长方形．那么，三角形BCM的面积与三角形DEM的面积之差是多少?[分析与解]如下图所示，连接BD，CE．四边形BCED的面积为△BCD与△CDE的面积和，S△BCD＝×BC×CD＝×4×(10－7)＝6，S△CDE＝×CD×DE＝×(10－7)×2＝3．所以S四边形BCED ＝S△BCD+S△CDE＝6+3＝9．有BC平行与DE，所以四边形BCED为梯形，有BC＝4，DE＝2，则BC：DE＝4：2＝2：1．则S△BCM ：S△EDM＝BC2：DE2＝4：1，S△BCM×S△EDM＝S△BMD×S△EMC，又有S△BMD＝S△EMC，所以S△BMD ＝2S△EDM．即△BCM，△EDM，△BMD，△EMC的面积比为4：1：2：2，且这四个三角形组成梯形BCED．8．如图16-8，ABCD是平行四边形，面积为72平方厘米，E，F分别为边AB，BC的中点．则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米?[分析与解]如下图所示，连接EC，并在某些点处标上字母，因为AE平行与DC，所以四边形AECD为梯形，有AE：DC＝1：2，所以S△AEG ：S△DCG ＝1：4，S△AGD×S△ECG＝S△AEG×S△DCG，且有S△AGD＝S△ECG，所以S△AEG：S△ADG＝1：2，而这两个三角形高相同，面积比为底的比，即EG：GD＝1：2，同理FH：HD＝1：2．有S△AED ＝S△AEG+S△AGD，而S△AED＝×S平行四边形ABCD＝18(平方厘米)．有EG：GD＝S△AEG ：S△AGB，所以S△AEG＝×S△AED＝6(平方厘米)，S△AGD＝×S△AED＝12(平方厘米)．同理可得S△HFC ＝6(平方厘米)，S△DCH＝12(平方厘米)．而S△DCG ＝4S△AEG＝4×6＝24(平方厘米)，又S△GHD＝S△DCG－S△DCH＝24－12＝12(平方厘米)，所以原题平行四边形中空白部分的面积为6+6+12＝24(平方厘米)，所以剩下的阴影部分面积为72－24＝48(平方厘米)．9．在图16-9中，AE：EC=l：2，CD：DB=l：4，BF：FA=1：3，三角形ABC的面积等于1．那么四边形AFHG的面积是多少?[分析与解]如下图所示，我们分别求出BFH、CDI的面积问题也就解决．①如上左图，我们设S△BFH ＝x，则S△AFH＝3x；设S△AHE＝y，则S△CEH＝2y．10．图16-10是一个正方形，其中所标数值的单位是厘米．问：阴影部分的面积是多少平方厘米?[分析与解]如下图所示，为了方便所叙，将某些点标上字母，并连接BG．设△AEG 的面积为x ，显然△EBG 、△BFG 、△FCG 的面积均为x ，则△ABF 的面积为3x ，S △ABF ＝12×20×10＝100，即x ＝1003，那么正方形内空白部分的面积为4x＝4003．所以原题中阴影部分面积为20×20－4003＝8003(平方厘米)．11．如图16-11，ABCD 是一个长方形，AC 是对角线．试比较两块阴影区域的面积与是的大小．[分析与解] 在长方形AEOH 中，被对角线AO 平分的两块三角形面积相等，有S △AHO ＝S △AEO ．同理在长方形OGCF 中，S △OGC ＝S △OFC ；在长方形ABCD 中，S △ADC ＝S △ABC ． 所以有S △ADC －S △AHO －S △OGC ＝S △ABC －S △AEO －S △OFC ，即S HDGO ＝S EOFB ． 将PJCI 视为ABCD ，同理有S KJGO ＝S LOFI ．有S HDGO －S KJGO ＝S LOFI －S EOFB ，即S 1＝S 2．12．如图16-12，若图中的圆和半圆都两两相切，两个小圆和三个半圆的半径长都是1．求阴影部分的面积．[分析与解]如下图所示，左图中的3个阴影部分面积相等，右图中的3个阴影部分的面积也相等．我们把下左图中的阴影称为A，下右图中的阴影称为B．13．如图16-13所示，一块半径为2厘米的圆板，从平面上标有1号位置起始，沿线段AB，BC，CD滚到2号位置．如果AB，BC，CD的长都是20厘米，那么圆板经过区域的面积是多少平方厘米?(π取3.14，答案保留两位小数．)[分析与解]如下图所示，我们将小圆板经过的区域分成4个部分，其中第1部分是半径为2厘米的半圆；其中第2部分是长为(20－2＝)18厘米，宽4厘米的长方形；其中第3部分是半径为2×2＝4厘米，圆心角为(360°－90°－90°－120°)＝60°的扇形；其中第4部分是半径为(20－2＝)18厘米，宽4厘米的长方形；其中第5部分是半径为(20－2－2＝)16厘米，宽4厘米的长方形；注意第4、5部分有重叠，为边长是2的正方形；其中第6部分是半径为2厘米的14圆；其中第7部分是半径为2厘米的半圆．这4部分的面积和为+18×4++18×4+16×4－2×2+ +＝204+≈208.07(平方厘米)．14．如图16-14，将长方形ABCD绕顶点C顺时针旋转90度，若AB=4，BC=3，AC=5，求AD边扫过部分的面积．(π取3.14．)[分析与解]如下图所示，如上中图所示，端点A扫过的轨迹为AA″A′，端点D扫过轨迹为DD″D′，而AD之间的点，扫过的轨迹在以A、D轨迹，AD，A′D′所形成的封闭图形内，且这个封闭图形的每一点都有线段AD上某点扫过，所以AD边扫过的图形为阴影部分．显然有阴影部分面积为S直角△A′D′C +S扇形ACA′－S直角△ACD－S扇形CD′D，而直角三角形A′D′C、ACD面积相等．所以S直角△A′D′C +S扇形ACA′－S直角△ACD－S扇形CD′D＝S扇形ACA′－S扇形CD′D＝－＝(52－42)＝＝7.065(平方厘米)．即AD边扫过部分的面积为7.065平方厘米．15．在图16-15中有分别标记为①，②，③，④的4个平面图形．(1)数一数每个图中有多少个顶点、多少条边，这些边围出了多少块区域，将结果填入图16-16的表中．这里①号图形的有关数据已经填好．(2)观察上表，推断一个平面图的顶点数、边数、区域数之间存在的关系．(3)已知某一平面图有999个顶点，且围成了999块区域．试根据上一小题中推断出的关系，确定出这个图有多少条边?[分析与解](1)如下表，将题中各个图形中的顶点数、边数、区域数一一标在下表．(2)由上表不难得知顶点数+区域数＝边数+1．(3)当顶点数＝999，区域数＝999时，有边数＝999+999－1＝1997．。
高思奥数导引小学六年级含详解答案第7讲 几何综合一
第7讲几何综合一兴趣篇1. 图中八条边的长度正好分别是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。
已知a=2厘米，b=4厘米，c=5厘米，求图形的面积。
【分析】2S=⨯+⨯+⨯=++=2716531461535(cm)2. 如图所示，∠+∠+∠+∠+∠+∠123456等于多少度？【分析】将这六个角用中心六边形的六个内角代换，利用六边形内角和为720，列方程得(1801)(1802)(1803)(1804)(1805)(1806)720-∠+-∠+-∠+-∠+-∠+-∠=，所以12345)6360∠+∠+∠+∠+∠+∠=3. 如图，平行四边形ABCD 的周长为75厘米。
以BC 为底时高是14厘米，以CD 为底时高是16厘米。
求平行四边形ABCD 的面积。
【分析】 75237.5BC CD +=÷=,根据面积相等，底的比与高的比成反比例，所以:16:148:7BC CD ==,因此37.5(87)820BC =÷+⨯=,平行四边形ABCD 的面积是2014280⨯=平方厘米4. 如图所示，一个边长为1米的正方形被分成4个小长方形，它们的面积分别是310平方米、25平方米、15平方米和110平方米。
已知图中的阴影部分是正方形，那么它的面积是多少平方米？【分析】 1251110CH HD ==,因此23CH =,13HD =,3310245AE EB ==,所以37AE =,47EB =,因此2353721FG =-=,那么它的面积是252521441⎛⎫= ⎪⎝⎭平方米5. 如图，红、黄、绿三块大小一样的正方形纸片，放在一个正方体盒内，它们之间相互重叠。
已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10。
那么，正方体盒子的底面积是多少？绿黄红【分析】 将黄色纸片推到左边，则每块纸片露出的形状如右上图.黄、绿两色的面积之和保持14+10=24不变，则在右图中这两块面积相等，均为24212÷=.根据公式可知，空白处面积=黄⨯绿÷红=1212207.2⨯÷=，则正方形盒底面积是7.212122051.2+++=.6. 如图，在三角形ABC 中，IF 和BC 平行，GD 和AB 平行，HE 和AC 平行。
几何(六年级奥数题及答案)
几何(六年级奥数题及答案)
几何
王母娘娘的蟠桃宴结束后，由于猪八戒吃的太多了，走不动了，第二天王母娘娘对猪八戒说只有完成一项任务才能让他走，任务是这样的，现有24米漂亮的小围栏，用这段围栏靠墙作一个长方形的小花圃(当然靠墙的一面就不用围栏了)，为了种更多的花草，王母娘娘要求猪八戒围出的长方形花圃面积最大，同学们你能帮猪八戒想出最佳方案吗,
【分析】我们探索的结论是指封闭图形，但现在的长方形只有三条边，如何把它转化为封闭图形求解呢
我们可以以墙面做对称轴，把周长乘二((如左下图)
这时，矩形的周长为48米，那么，根据上面的定理，周长一定，正方形的面积最大(所以当这个长方形为正方形时，即边长为12米时，面积最大(而小花圃的面积是正方形面积的一半，则花圃的长为12米，宽为12?2=6(米)那么，小花圃的面积为:12×6=72(平方米)。
几何六年级奥数题
几何六年级奥数题
下面是一道六年级奥数几何题：
题目：在正方形ABCD 中，点 E 是AD 的中点，连接BE 交AC 的延长线于点F，如果AF = 6 cm，BD = 12 cm，则求DF 的长度。
解题思路：
1. 由题意可知，AF = 6 cm，BD = 12 cm，我们需要求得DF 的长度。
2. 由于E 是AD 的中点，所以AE = ED = 1/2 * AD。
根据正方形的特性，可得AE = ED = 1/2 * BC。
3. 由于AF 是BE 的延长线，所以AF = BE。
4. 由正方形的性质可知，BE = BC + CE。
代入前面得到的关系式，可得AF = BC + CE。
5. 根据正方形的对角线相互垂直且相等的特性，可知AFC 和DEB 是直角三角形。
6. 利用勾股定理，可得AFC 的斜边AC 的平方等于AF 的平方加上FC 的平方。
7. 利用勾股定理，可得DEB 的斜边DB 的平方等于DE 的平方加上EB 的平方。
8. 由于AFC 和DEB 相似，可得到相似比：AC:DB = AF:DE = 6:BC。
9. 将AC 和DB 的长度代入相似比，即可得到BC 的长度。
10. 利用BC 的长度和BE 的关系，可得到CE 的长度。
11. 利用BE 和CE 的长度，可得到DF 的长度。
答案和解析：
根据上述步骤计算，DF 的长度为：DF = 3 cm。
小学奥数题库《几何》-直线型-鸟头模型-3星题(含解析)
几何-直线型几何-鸟头模型-3星题课程目标知识提要鸟头模型•概念两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。
•特征共角三角形的面积比等于共角〔相等角或者互补角〕两夹边的乘积之比。
$S_{\triangle ABC}\mathbin{:}S_{\triangle ADE}=(AB\times AC)\mathbin{:}(AD\times AE)$精选例题鸟头模型1. 如下列图所示，点Qʹ和Rʹ三等分XʹX，Rʹ和Pʹ三等分YʹY，Qʹ和Pʹ三等分ZʹZ．△PQR 面积是△PʹQʹRʹ面积的倍．【答案】25【分析】连接ZYʹ,XʹY,XZʹ，根据鸟头模型，可以得到△PʹYʹZ,△XʹYRʹ,△XQʹZʹ都是△PʹQʹRʹ的4倍，那么可以得到平行四边形PZPʹYʹ、XʹRʹYR、XQʹZʹQ均为△PʹQʹRʹ的8倍，图中的三个小三角形的面积都与△PʹQʹRʹ的面积相等，那么△PQR面积是△PʹQʹRʹ面积的8×3+1= 25(倍)．2. 如下图，正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC，CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】由题意知AE=13AC、CF=13BC,可得CE=23 AC.根据〞共角定理〞可得，S△CEF:S△ABC=(CF×CE):(CB×AC)=(1×2):(3×3)=2:9;而S△ABC=6×6÷2=18;所以S△CEF=4;同理得，S△CDE:S△ACD=2:3,S△CDE=18÷3×2=12,S△CDF=6故S△DEF=S△CEF+S△DEC−S△DFC=4+12−6=10(平方厘米).3. 如下列图所示，三角形ABC的面积为1，且AD=13AB,BE=14BC,CF=15CA，那么三角形DEF的面积是．【答案】512【分析】先分别求出△ADF、△BDE、△CEF的面积，再用△ABC的面积减去这三个三角形的面积即为△DEF的面积．因为，AD=13AB,CF=15CA，所以，AF=45AC，根据“鸟头定理〞，S△ADF=45×13S△ABC=415，同理可得，S△BDE=23×14×1=16，S△CEF=34×15×1=320，所以S△DEF=1−415−16−320=512．4. 如图，三角形ABC中，延长BA到D，使DA＝AB，延长CA到E，使EA＝2AC，延长CB 到F，使FB＝3BC．如果三角形ABC的面积是1，那么三角形DEF的面积是．【答案】7【分析】S△CAB:S△CEF=(1×1):(3×4)=1:12，所以S△CEF=12，S△ABC:S△ADE=(1×1):(1×2)=1:2，所以S△ADE=2，S△BAC:S△BDF=(1×1):(2×3)=1:6，所以S△BDF=6，所以S△DEF=S△CEF−S△ABC+S△ADE−S△BDF=12−1+2−6=7.5. 如图．将三角形ABC的AB边延长1倍到D，BC边延长2倍到E，CA边延长3倍到F．如果三角形ABC的面积等于1，那么三角形DEF的面积是．【答案】18【分析】〔法1〕连接AE、CD．因为S△ABCS△DBC =11，S△ABC=1，所以S△DBC=1．同理可得其它，最后三角形DEF的面积=18．〔法2〕用共角定理因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=1×14×2=18.又S△ABC=1，所以S△FCE=8．同理可得S△ADF=6，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△FCE+S△ADF+S△BDE=1+8+6+3=18.6. 如图，将四边形ABCD的四条边AB、CB、CD、AD分别延长两倍至点E、F、G、H，假设四边形ABCD的面积为5，那么四边形EFGH的面积是．【答案】60【分析】连接AC、BD．由于BE=2AB,BF=2BC,于是S△BEF=4S△ABC,同理S△HDG=4S△ADC,于是S△BEF+S△HDG=4S△ABC+4S△ADC=4S ABCD,再由于AE=3AB,AH=3AD,于是S△AEH=9S△ABD,同理S△CFG=9S△CBD,于是S△AEH+S△CFG=9S△ABD+9S△CBD=9S ABCD,那么S EFGH=S△BEF+S△HDG+S△AEH+S△CFG−S ABCD=4S ABCD+9S ABCD−S ABCD=12S ABCD=60.7. 正方形ABCD边长为6厘米，AE=13AC,CF=13BC．三角形DEF的面积为平方厘米．【答案】10【分析】正方形的面积为6×6=36(平方厘米)，那么根据鸟头模型可以得出S△ADE=13×S△ACD=13×12×36=6(平方厘米),S△CDF=13×S△BCD=13×12×36=6(平方厘米),S ABFE=S△ABC−S△CEF=18−18×13×23=14(平方厘米),阴影局部面积为36−6−6−14=10(平方厘米)．8. 如图，在△ABC中，点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，假设△ABC的面积为1，那么四边形CDMF的面积是．【答案】730【分析】由于点D是边AC的中点，点E、F是边BC的三等分点，如果能求出BN、NM、MD三段的比，那么说分成的六小块的面积可以求出来，其中当然也包括四边形CDMF的面积．连接CM、CN．根据燕尾模型，S△ABM:S△ACM=BF:CF=2:1,S△ACM=2S△ADM,S△ABM=2S△ACM=4S△ADM,那么BM=4DM，即BM=45 BD.那么S△BMF=BMBD×BFBC×S△BCD=45×23×12=415,S 四边形CDMF =12 − ４15=730.另解：得出 S △ABM =2S △ACM =4S △ADM 后，可得S △ADM =15S △ABD =15×12=110,那么S 四边形CDMF =S △ACF −S △ADM =13−110=730.9. 如图，P 为四边形 ABCD 内部的点，AB:BC:DA =3:1:2，∠DAB =∠CBA =60°．图中所有三角形的面积都是整数．如果三角形 PAD 和 三角形 PBC 的面积分别为 20 和 17，那么四边形 ABCD 的面积最大是 ．【答案】 147【分析】 延长 AD ，BC 交于点 Q ，连接 PQ ．∠DAB =∠CBA =60°，所以三角形 ABQ 为正三角形． 由于AB:BC:DA =3:1:2,所以 PCQD 的面积为20÷2+17×2=44;而三角形QCD面积占QAB面积的1 3×23=29,ABCD面积是QCD面积的(1−29)÷29=72.注意到ABCD中各三角形面积均为整数，所以QAB面积为9的倍数．QCD面积是2的倍数，所以QCD面积最大为42，ABCD面积最大为42×72=147.10. 如图，AD=DB，AE=EF=FC，阴影局部面积为5平方厘米，△ABC的面积是平方厘米．【答案】30平方厘米【分析】S△ADE=S△DEF，S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(1×1):(2×3)=1:6,所以S△ABC=5×6=30(平方厘米).11. 如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，AF=2CF，三角形AFE〔图中阴影局部〕的面积为8平方厘米．平行四边形ABCD的面积是多少平方厘米？【答案】48平方厘米【分析】S△AEF:S△ABC=(AE×AF):(AB×AC)=(1×2):(2×3)=1:3,S△ABC=3S△AEF=3×8=24,S四边形ABCD=2×24=48(平方厘米)．12. △CEF的面积为9平方厘米，BE=CE,AD=2BD，CF=3AF，求△DEF的面积．【答案】7平方厘米．【分析】S△CEF:S△ABC=(CE×CF):(CB×CA)=(1×3):(2×4)=3:8=9:24,所以三角形ABC的面积为24平方厘米S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BA×BC)=(1×1):(2×3)=1:6=4:24,S△ADF:S△ABC=(AD×AF):(AB×AC)=(2×1):(3×4)=1:6=4:24,所以S△DEF=24−4−4−9=7(平方厘米).13. 如图，把三角形DEF的各边向外延长1倍后得到三角形ABC，三角形ABC的面积为1．三角形DEF的面积是多少？【答案】17【分析】令三角形DEF为1份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=12.所以三角形AFC的面积为2份，同理，三角形ABD的面积为2份，三角形BEF的面积为2份．那么三角形ABC的面积为7份，对应面积为1，所以S三角形DEF =17．14. 如图，三角形ABC的面积为3，其中AB:BE＝2:5，BC:CD＝3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5【分析】BC:BD=3:(3+2)=3:5，S△ABC :S△BDE=(2×3):(5×5)=6:25，S△ABC=25 6S△BDE=256×3=12.5．15. ，AC:AE＝5:1，BC:CD＝4:1，BA:BF＝6:1，那么，△DEF的面积是△ABC的几分之几？【答案】61120【分析】S△AEFS△ABC =AE×AFAC×AB=1×55×6=16，S△BDF S△ABC =BD×BFBC×BA=3×14×6=18，S△CDE S△ABC =CD×CECB×CA=1×44×5=15，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△AEF−S△BDF−S△CDES△ABC=1−16−18−15=61120.16. 如下列图所示，在三角形ABC中，BC=6BD、AC=5EC、DG=GH=HE、AF= FG．请问三角形FGH与三角形ABC的面积比为何？【答案】19【分析】根据鸟头模型，S△ADC=56S△ABC,S△AED=45S△ADC,S△AGE=23S△AED,S△GHF=12×12×S△AGE,最后可以得出S△GHF=56×45×23×12×12×S△ABC=19S△ABC.17. 如图， AE =13AC ，CD =14BC ，BF =15AB ，试求 $\dfrac{\text{三角形$ DEF $的面积}}{\text{三角形$ ABC $的面积}}$ 的值？【答案】 512【分析】 S △AEF S △ABC=AE×AF AC×AB =1×43×5=415，S △BDF S △ABC=BD×BF BC×BA=1×35×4=320，S △CDES △ABC=CD×CE CB×CA=1×24×3=16，所以S △DEF S △ABC=S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △CDES △ABC=1−415−320−16=512.18. 如图，把三角形 DEF 的各边向外延长 2 倍后得到三角形 ABC ，三角形 ABC 的面积为 1. 三角形 DEF 的面积是多少？【答案】 119【分析】 令三角形 DEF 为 1 份，那么根据共角模型，有：S△DEF S△AFC =EF×DFCF×FA=16.所以三角形AFC的面积为6份，同理，三角形ABD的面积为6份，三角形BEF的面积为6份．那么三角形ABC的面积为1+6+6+6=19份，对应面积为1，所以S三角形DEF =119．19. 如图，四边形EFGH的面积是75平方米，EA=AB，CB=BF，DC=CG，HD=DA，求四边形ABCD的面积．【答案】15平方米．【分析】连接BD，由鸟头知：S△BCD S△FCG =BC⋅DCFC⋅CG=1×12×1=12S△ABD S△AEH =AD⋅ABAH⋅AE=1×12×1=12,所以S△FCG+S△AEH=2S四边形ABCD 连接AC，同理可得：S△BEF+S△DHG=2S四边形ABCD,S四边形EFGH =5S四边形ABCD又因为四边形EFGH的面积是75平方米所以四边形ABCD的面积是75÷5=15(平方米).20. 如图，△ABC的面积是36，并且AE=13AC，CD=14BC，BF=15AB，试求△DEF的面积．【答案】15【分析】详解：由鸟头模型可得，S△AEF=36×45×13=485,S△BED=36×15×34=275,S△CDE=36×14×23=6,S△DEF=36−485−275−6=15.21. 分别延长四边形ABCD的四个边，使得AB=BAʹ,BC=CBʹ,CD=DCʹ,DA=ADʹ〔如下列图所示〕．如果四边形ABCD的面积是1平方厘米，请问四边形AʹBʹCʹDʹ的面积为多少平方厘米？【答案】5【分析】连接BD，根据鸟头模型，可得S△AAʹDʹ=1×2×S△ABD=2S△ABD,S△CCʹBʹ=1×2×S△BCD=2S△BCD,那么可得S△AAʹDʹ+S△CCʹBʹ=2S四边形ABCD连接AC，同理可得：S△DDʹCʹ+S△BBʹAʹ=2S四边形ABCD所以整个图形的面积是2+2+1=5(平方厘米).22. 如图，平行四边形ABCD，BE＝AB，CF＝2CB，GD＝3DC，HA＝4AD，平行四边形ABCD的面积是2，求平行四边形ABCD与四边形EFGH的面积比．【答案】1:18【分析】连接AC，根据共角定理：S△ABC S△FBE =BA×BCBE×BF=1×11×3=13,又因为S△ABC=1，所以，S△FBE=3，同理可得：S△GCF=8,连接BD，S△DHG=15,S△AEH=8．所以S EFGH=S△AEH+S△CFG+S△DHG+S△BEF=8+8+15+3+2=36,S ABCD:S EFGH=2:36=1:18．23. 如图，三角形ABC面积为1，延长BA至D，使得DA=AB；延长CA至E，使得EA=2AC；延长CB至F，使得FB=3BC，求三角形DEF的面积？【答案】7【分析】S△ADE S△ABC =AD×AEAB×AC=2,S△CEF S△ABC =CE×CFCA×CB=3×4=12,S△DBF S△ABC =DB×BFBA×CB=2×3=6,S△DEF=S△ADE+S△CEF−S△DBF−S△ABC =2+12−6−1=7.24. 三角形ABC中，BD的长度是的AB的14，AE的长度是AC的13．三角形AED的面积是8，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】32【分析】简答：8÷(34×13)=32．25. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:AD＝5:2，AE:EC＝3:2，S△ADE＝12平方厘米，求△ABC的面积．【答案】50平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(3×2):(5×5)=6:25,因为S△ADE=12(平方厘米)，所以S△ABC=12÷6×25=50(平方厘米)．26. 如图，在三角形ABC中，AD的长度是BD的3倍，AC的长度是EC的3倍．三角形AED 的面积是10，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】20【分析】 详解：AD 是 AB 的 34，AE 是 AC 的 23，根据鸟头模型，有 △ADE 的面积是 △ABC 面积的 34×23=12．那么 △ABC 的面积是 20．27. 如图， AE =15AC ，CD =14BC ，BF =16AB ，那么 S△DEF S △ABC 等于多少？【答案】 61120【分析】 设 S △ABC =1，那么根据 悬空=整体−空白,S △DEF =S △ABC −S △AEF −S △BDF −S △DEC现在分别去求 S △AEF 、S △BDF 、S △DEC ，由鸟头定理知道：S △AEF =(AF AB ×AE AC )S △ABC =(56×15)S △ABC =16S △ABC同理：S △BDF =(BF AB ×BD BC )S △ABC =16×34S △ABC =18S △ABC S △DEC =(EC AC ×DC BC )S △ABC =45×14S △ABC =15S △ABC所以： S △DEF =(1−16−18−15)S △ABC =61120S △ABC,S △DEF S △ABC =61120.28. 如图，在三角形 ABC 中，D 为 BC 的中点，E 为 AB 上的一点，且 BE =13AB ，四边形 ACDE 的面积是 35，求三角形 ABC 的面积．【答案】42【分析】S△BDE:S△ABC=(BD×BE):(BC×BA)=(1×1):(2×3)=1:6,那么S△BDE=16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，所以：S△ABC=35÷56=42．29. 边长为8厘米和12厘米的两个正方形并放在一起，那么图中阴影三角形的面积是多少平方厘米？【答案】16.2【分析】给图形标注字母，按顺时针方向标注，大正方形为ABCD，小正方形为MNDE，EB分别交AC,AD于O,H两点，AO:OC=AB:EC=12:20=3:5,AH:BC=AO:OC=3:5,所以AO:AC=3:8,AH:AD=3:5,S△AHO:S△ADC=9:40.因为S△ADC=12×122=72,所以S△AHO=940S△ADC=940×72=16.2.30. 如图，三角形ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】15【分析】S△ADE :S△ABC=(1×1):(5×3)=1:15，S△ABC=15S△ADE=15×1=15．31. 如下图，正方形ABCD边长为8厘米，E是AD的中点，F是CE的中点，G是BF的中点，三角形ABG的面积是多少平方厘米？【答案】12【分析】连接AF、EG．因为S△CDE=14×82=16，根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，S△AEF=8，S△EFG=8，再根据“当两个三角形有一个角相等或互补时，这两个三角形的面积比等于夹这个角的两边长度的乘积比〞，得到S△BFC=16，S ABFE=32，S△ABF=24，所以S△ABG=12(平方厘米).32. 如图，AD:DB=1:4，AE:EC=1:5，如果△ABC的面积是120，那么△ADE的面积是多少？【答案】4【分析】简答：由条件得AD:AB=1:5,AE:AC=1:6,利用“共角三角形〞性质得三角形AED的面积是120×15×16=4.33. 如图，三角形ABC被分成了甲、乙两局部BD=DC=4,BE=3,AE=6，乙局部面积是甲局部面积的几倍？【答案】5【分析】BD:BC=4:(4+4)=1:2,BE:BA=3:(3+6)=1:3，S△BDE :S△ABC=(1×1):(3×2)=1:6，S△BDE =16S△ABC，S四边形ACDE=S△ABC−16S△ABC=56S△ABC，S△BDE:S四边形ACDE =16:56=1:5．34. 如图，三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积．【答案】18【分析】S△ADFS△ABC =AD×AFAB×AC=2×31×1=6，S△BDE S△ABC =BD×BEAB×BC=1×31×1=3，S△CEF S△ABC =CE×CFBC×AC=2×41×1=8．所以S△DEF S△ABC =S△ADFS△ABC+S△BDES△ABC+S△CEFS△ABC+S△ABCS△ABC =6+3+8+1=18,S△DEF=18S△ABC=18．35. 如图，三角形ABC的面积为3平方厘米，其中AB:BE=2:5，BC:CD=3:2，三角形BDE的面积是多少？【答案】12.5平方厘米．【分析】由于∠ABC+∠DBE=180∘，所以可以用共角定理，设AB=2份，BC=3份，那么BE=5份，BD=3+2=5份，由共角定理S△ABC:S△BDE=(AB×BC):(BE×BD)=(2×3):(5×5)=6:25,设S△ABC=6份，恰好是3平方厘米，所以1份是0.5平方厘米，25份就是25×0.5=12.5(平方厘米),三角形BDE的面积是12.5平方厘米．36. 如图，长方形的面积是16，BE=3BD，CE=CF．请问：三角形BEC的面积是多少？【答案】3【分析】详解：连结DF，根据鸟头模型，可知△BCE面积是△DEF面积的3 4×12=38.那么△BCE的面积是16×12×38=3.37. 如图，长方形ABCD的面积是1，M是AD边的中点，N在AB边上，且2AN=BN．那么，阴影局部的面积是多少？【答案】512【分析】S△ABD=12，S△AMN:S△ABD=(AM×AN):(AB×AD)=1:6，S△AMN=112，所以阴影局部的面积为S阴=12−112=512．38. 如图，在△ABC中，延长AB至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=12BC，F是AC 的中点，假设△ABC的面积是2，那么△DEF的面积是多少？【答案】 3.5【分析】因为在△ABC和△CFE中，∠ACB与∠FCE互补，所以S△ABC S△FCE =AC⋅BCFC⋅CE=2×21×1=41.又因为S△ABC=2，所以S△FCE=0.5．同理可得S△ADF=2，S△BDE=3．所以S△DEF=S△ABC+S△CEF+S△DEB−S△ADF=2+0.5+3−2=3.5.39. 如图在△ABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB:BD=5:7，AE:EC=3:2，S△ADE=36平方厘米，求△ABC的面积．【答案】150平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=[3×(7−5)]:[5×(3+2)]=6:25,因为S△ADE=36(平方厘米)，所以S△ABC=36÷6×25=150(平方厘米)．40. △DEF的面积为7平方厘米，BE＝CE，AD＝2BD，CF＝3AF，求△ABC的面积．【答案】24平方厘米【分析】S△BDES△ABC =BD×BEBA×BC=1×13×2=16，S△CEF S△ABC =CE×CFCB×CA=1×32×4=38，S△ADF S△ABC =AD×AFAB×AC=2×13×4=16，S△DEFS△ABC=S△ABC−S△BDE−S△CEF−S△ADFS△ABC=1−16−38−16=724,又△DEF的面积为7平方厘米，所以S△ABC=7÷724=24(平方厘米).41. 鸟和大虾在武林大会上相遇，争夺武林盟主的地位．三百回合大战后，两人不分胜负．突然，菜鸟向对手发出一枚飞镖．说时迟，那时快，飞镖已经接近大虾的胸口，只见大虾迅速抽身向左闪开，同时用手中的宝剑向飞镖劈去，只听见“嘡〞的一声，飞镖被劈成了两半．如下列图所示，菜鸟的飞镖是正六角星的形状，边长为5．被大虾劈开的刀口如虚线所示，那么较小的那局部残片占到整体面积的几分之几？【答案】107300【分析】对图形进行分割，分割过程如下：即所给我我们的图形共有12个小正三角形组成，令每一个小正三角形的面积为1，那么根据共角模型有：S三角形BDE S三角形BAC =BD×BEAB×AC=11×1315×15=143225.所以四边形ACDE的面积为：(1−143225)×9=8225.所以较小的残片的面积为：82 25+1=10725.所以较小残片占整个面积的：10725 12= 107 300.42. 如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积为4.6平方厘米，BE=EF=FD，求三角形ABF、CDF、ABD、ACD的面积．【答案】9.2平方厘米；9.2平方厘米；13.8平方厘米；13.8平方厘米．【分析】S△ABF:S△ABE=(AB×FB):(AB×EB)=2,所以S△ABF=2×S△ABE=9.2(平方厘米);因为△ABD和△ACD同底等高，所以S△ABD=S△ACD,因而S△CDF=S△ACD−S△AFD=S△ABD−S△AFD=S△ABF=9.2(平方厘米);S△ABD:S△ABE=(AB×DB):(AB×EB)=3,所以S△ABD=3×S△ABE=13.8;所以S△ACD=S△ABD=13.8(平方厘米).43. 如图，三角形ABC中，AB是AD的6倍，EC是AE的3倍，如果三角形ADE的面积等于1，那么三角形ABC的面积是多少？【答案】24【分析】S△ADE:S△ABC=(1×1):(6×4)=1:24，S△ABC=24S△ADE=24×1=24．44. 把四边形ABCD的各边都延长2倍，得到一个新的四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少？【答案】65平方厘米【分析】连接BD，由共角定理知：S△ABD S△AEH =AB×ADAE×AH=1×12×3=16,S△BCD S△CFG =BC×CDCF×CG=1×13×2=16,S△AEH+S△CFG=6S ABCD,同理连接AC，可得：S△BEF+S△DGH=6S ABCD,所以S EFGH=(6+6+1)S ABCD=13×5=65cm2．45. 如图，把四边形ABCD的各边都延长1倍，得到一个新四边形EFGH．如果ABCD的面积是5平方厘米，那么EFGH的面积是多少平方厘米？【答案】25平方厘米【分析】连接BD，有△ABD中∠EAD+∠BAD=180∘，又夹成两角的边EA、AH、AB、AD的乘积比，EA×AHAB×AD=2，所以S△EAH=2S△EAD．类似的，还可得S△FCG=2S△BCD，有S△EAH+S△FCG=2(S△ABD+S△BCD)=10,同理可证：S△EBF+S△DHG=2(S△ABD+S△BCD)=10,所以四边形EFGH的面积是10+10+5=25(立方厘米)．46. 下列图中的三角形ABC被分成了甲〔阴影局部〕、乙两局部，BD=DC=4,BE=3,AE= 6．求甲局部面积占乙局部面积的几分之几．【答案】15【分析】BEBA =33+6=13,BDBC=44+4=12，根据鸟头模型，甲局部占整个图形面积的13×12=16，那么甲局部占乙局部的15．47. 如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，且AD:AB＝2:5，AE:AC＝4:7，S△ADE＝16平方厘米，求△ABC的面积．【答案】70平方厘米【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(7×5)=8:35,因为S△ADE=16(平方厘米)，所以S△ABC=16÷8×35=70(平方厘米)．48. 长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】13.5平方厘米【分析】解法一：寻找可利用的条件，连接BH、HC，如下列图：可得：S△EHB=12S△AHB、S△FHB=12S△CHB、S△DHG=12S△DHC,而S ABCD=S△AHB+S△CHB+S△CHD=36(平方厘米).即S△EHB+S△BHF+S△DHG=12(S△AHB+S△CHB+S△CHD)=12×36=18.而S△EHB+S△BHF+S△DHG=S阴影+S△EBFS△EBF=12×BE×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5.所以阴影局部的面积是：S阴影=18−S△EBF=18−4.5=13.5(平方厘米).解法二：特殊点法．找H的特殊点，把H点与D点重合，那么图形就可变成下列图：这样阴影局部的面积就是△DEF的面积，根据鸟头定理，那么有：S阴影7=S ABCD−S△AED−S△BEF−S△CFD=36−12×12×36−12×12×12×36−12×12×36=13.549. 如下图，平行四边形ABCD的面积是1，E、F是AB、AD的中点，BF交EC于M，求△BMG的面积．【答案】130【分析】解法一：由题意可得，E、F是AB、AD的中点，得EF∥BD，而FD:BC=FH:HC=1:2,EB:CD=BG:GD=1:2.所以CH:CF=GH:EF=2:3,并得G、H是BD的三等分点，可得BG=GH，所以BG:EF=BM:MF=2:3,所以BM=25 BF,S△BFD=12S△ABD=12×12S平行四边形ABCD=14;又因为BG=13 BD,所以S△BMG=13×25×S△BFD=13×25×14=130.解法二：延长CE交DA于I，如下列图，可得，AI:BC=AE:EB=1:1,从而可以确定M的点的位置，BM:MF=BC:IF=2:3,BM=25 BF,BG=13 BD可得S△BMG=25×13S△BDF=25×13×14S平行四边形ABCD=130.50. 如下图，在长方形ABCD中，DE=CE，CF=2BF，如果长方形ABCD的面积为18，那么阴影局部的面积是多少？【答案】6【分析】简答：由于长方形ABCD的面积为18，可知三角形BCD的面积为9，三角形CEF 的面积为三角形BCD的面积的1 2×23=13,那么阴影局部的面积是9×(1−13)=6.51. 如图，△ABC中，AD:AB＝2:3，AE:AC＝4:5，求：△AED的面积是△ABC面积的几分之几？【答案】815【分析】S△ADE:S△ABC=(AD×AE):(AB×AC)=(2×4):(3×5)=8:15,所以△AED的面积是△ABC面积的815．52. 如图，长方形ABCD的面积是48，BE:CE=3:5，DF:CF=1:2．三角形CFE面积是多少？【答案】10【分析】简答：48×12×58×23=10．53. 如下图，∠A=∠B=60∘，且AB=24，BD=16，AC=8，而且三角形CDE的面积等于四边形ABEC的面积．请问：DE的长度是多少？【答案】14【分析】如下列图所示，延长AC和BD交于点F．由于∠A=∠B=60∘，因此△ABF为等边三角形，那么AF=BF=AB=24.而BD=16，AC=8，由此可得CF=16，DF=8，所以△CDF是△ABF的16×8 24×24= 2 9.又知△CDE的面积等于四边形ABEC的面积，△CDE的面积是△ABF的(1−29)×12=718,那么DF:DE=29:718=4:7,因此DE=14．54. 如下图，在直角三角形ABC中，AC的长3厘米，CB的长4厘米，AB的长5厘米，有一只小虫从C点出发，沿CB以1厘米/秒的速度向B爬行；另一只小虫从B点出发，沿BA以1厘米/秒的速度向A爬行．请问经过多少秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形？〔请写出所有答案〕【答案】2秒、2013秒或3213秒．【分析】设经过了x秒，那么BE=x厘米，CD=x厘米，两只小虫所在的位置D、E与B 组成的三角形DBE是等腰三角形的情况有三种：〔1〕以B为等腰三角形顶角所在的顶点，即BD=BE〔如图1〕．这个最好算，BD=4−x，BE=x，故x=4−x，解得x=2；〔2〕以E为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=EB，如图2，从E向BD作垂线，垂足为F，在金字塔BEFAC种，BEBA =BFBC，即x5=BF4，所以BF=45x．利用CD+DF+FB=4列出方程x+45x+45x=4，解得x=2013；〔或者利用△BEF和△BAC相似，得BEBF=54，即xBF=54，所以BF=45x〕〔3〕以D为等腰三角形顶角所在的顶点，即ED=DB，如图3，从D向AB作垂线，垂足为F，利用△BFD和△BCA相似得BFBD =45，即BF4−x=45，所以BF=45(4−x)．利用BE=2BF列出方程x=45(4−x)×2，解得x=3213．综上，经过2秒或2013秒或3213秒后，两只小虫所在的位置D、E与B组成的三角形DBE是等腰三角形．55. 长方形ABCD的面积为36cm2，E、F、G为各边中点，H为AD边上任意一点，问阴影局部面积是多少？【答案】 13.5【分析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、HC ，如下列图：可得：S △EHB =12S △AHB 、S △FHB =12S △CHB 、S △DHG =12S △DHC ，而 S ABCD =S △AHB +S △CHB +S △CHD =36． 即S △EHB +S △BHF +S △DHG=12(S △AHB +S △CHB +S △CHD )=12×36=18;而 S △EHB +S △BHF +S △DHG =S 阴影+S △EBF ，S △EBF =12×BE ×BF=12×(12×AB)×(12×BC)=18×36=4.5. 所以阴影局部的面积是：S 阴影=18−S △EBF =18−4.5=13.5． 解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合， 那么图形就可变成下列图：。
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几何(六年级奥数题及答案)
几何
王母娘娘的蟠桃宴结束后，由于猪八戒吃的太多了，走不动了，第二天王母娘娘对猪八戒说只有完成一项任务才能让他走，任务是这样的，现有24米漂亮的小围栏，用这段围栏靠墙作一个长方形的小花圃（当然靠墙的一面就不用围栏了），为了种更多的花草，王母娘娘要求猪八戒围出的长方形花圃面积最大，同学们你能帮猪八戒想出最佳方案吗？
【分析】我们探索的结论是指封闭图形，但现在的长方形只有三条边，如何把它转化为封闭图形求解呢
我们可以以墙面做对称轴，把周长乘二．（如左下图）
这时，矩形的周长为48米，那么，根据上面的定理，周长一定，正方形的面积最大．所以当这个长方形为正方形时，即边长为12米时，面积最大．而小花圃的面积是正方形面积的一半，则花圃的长为12米，宽为12÷2=6（米）那么，小花圃的面积为：12×6=72（平方米）。