常微分方程期末试题复习资料

件是线性无关

10.微分方程 yin ydx (x In y)dy 0是(B )

(C )全微分方程

(D )贝努利方程

11.方程x(y

2

— 1)dx+y(x 2

— 1)dy=0的所有常数解是(

C

(A) x 1 (C) y 1, x 1

( D) y 1, x 1

12. n 阶线性非齐次微分方程的所有解( D ).

一、填空题(每空 2分，共16分)。 1、 方程 巴 x 2 y 2

满足解的存在唯一性定理条件的区域是 dx dY 2. 方程组—— F (x,Y),x dx

空间中的一条积分曲线. xoy 平面 R, Y R n 的任何一个解的图象是

n+1

3. f y (x, y)连续是保证方程 9丫 f (x, y)初值唯一的 充分 条件.

dx

4.方程组

dx dT

dy d?

5•方程y xy 6•变量可分离方程 y 的奇点(0,0)的类型是

中心

^(y )2的通解是y Cx 丄C 2 2 2 M x N y dx

q y dy 0的积分因子是

N y P X

7.二阶线性齐次微分方程的两个解 1

(x),y

2

(X)成为其基本解组的充要条

(A )可分离变量方程

(B )线性方程 &方程y 4y 4y 0的基本解组是

e 2x

, xe

2x

二、选择题(每小题

3分，共15分)。

9 .一阶线性微分方程矽 p(x)y q(x)的积分因子是( dx

A ).

p(x)dx

e (B )

q(x)dx

e (C )

P(X)dx

(D )

q(x)dx

e

).

(B) y 1

(A )构成一个线性空间 (C )构成一个n 1维线性空间 (B )构成一个n 1维线性空间 (D )不能构成一个线性空间

13.方程 y J y 2

2 x 2 ( D )奇解. (A )有一个 三、计算题 (每小题 (B )有无数个 8分，共48分)。 (C ) 只有两个 (D )无

14.求方程 dy 2xy y dx x 2

2

-的通解 解：令上

x u

，则 dy dx

xdx ，于是， du

dx Cx

所以原方程的通解为

---- x 1 Cx 2 ,y 15.求方程y dx x

(y 3 In x)dy 0的通解 解：取

M x,y

3 ,

x, y y ln x 则 M y x,y N x x, y 所以原方程的通解为 1 -，于是原方程为全微分方程 x

如

x

y 3

1

y 3dy 即 yl nx 1 4 4y 16.求方程 y (y)2

xy

的通解

xp

(*)

，两端同时关于求

导,

整

理

里得 2p

x dp

dx

取 2p x 0,得 p

取 dp 1 0,得p dx

x

—,代入(*)得解

2

0，则 x 2

x c ,代入(*)得原方程得通解为

x 2

2

Cx Cx 2

或 3B A cosx B 3A sinx cosx

7 sin x

17•求方程y 3y

e 5x 的通解

解对应的齐次方程的特征方程为 特征根为

1

0,

2

3

3x

故齐次方程的通解为 y C 1 C 2e

因为

5不是特征根。所以，设非齐次方程的特解为

y i (x) Ae 5x

代入原方程,

• _ - 5x . " - 5x

25Ae 15 Ae

x

18.求方程 y y 2y e (cosx 7sin x)的通解 解：先求解对应的其次方程：

y y 2y 0,则有, 2 0, 1

1, 2

2;y ca C 2e 2x

因为数 i 1 i 不是特征根，故原方程具有形如

y i X

e Acosx Bsinx

的特

解。

将上式代入原方程, 由于 y j e x

Acosx Bsin y i e A B cosx B A sin x y i

X

e 2BC0SX 2Asinx 故 y y 2y e x 2Bcosx 2A S in X B cosx B A sin X 2e x Acosx Bsin x

e x cosx 7sin x 5x

e

3x

故原方程的通解为

y C 1 C 2e

1 5x 一e 10

比较上述等式两端的cosx,si nx的系数，可得 A 3B 1 , 3A B 7 因此，A 2 ,B 1.故y1 e x 2cosx 1sin x

所求通解为y e x X

2cosx 1sin X C1e C2e

x

19.求方程组dY

dx

Y的实基本解组

解：方程组的特征多项式为属于1的特征向量

属于2的特征向量则方程的基本解组为

其实基本解组为

其特征根是1,2 35i，那么

・ 3 5i x

ie

3 5i x

3 5i x

e

.3

ie 5i

而11 0

因此所求实基本解组为

. -3 5i x

1ie

o 3 5i x 2 e

5i x

3

e

・ 3 5i x ie

四、应用题(每小题11分, 共11分)。e3t cos5x

e3t sin

5x

3t . I-

e sin 5x

e3t cos5x

20. (1)求函数f(t)

at

e的拉普拉斯变换

(2)求初值问题

3x 2x 2e3t的解

x(0) 0, x (0) 0

x