高三立体几何复习.ppt
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相交；
其中不正确的命题的序号是 ___②__④__⑤_______．
例12．如图，已知PA⊥正方形ABCD所在 的平面，垂足为A，连结PB，PC，PD， AC，BD，则图中互相垂直的平面有 ____7____对．
平面PAB⊥平面ABCD 平面PAC⊥平面ABCD
平面PAD⊥平面ABCD 平面PAB⊥平面PAD 平面PAB⊥平面PBC 平面PAD⊥平面PDC 平面PAC⊥平面PBD
P
D
C
A
B
例13．已知直线PQ，RT分别与两个平行平
面，相交于P，Q和R，T，线段PQ，RT
的中点分别为M，N.求证：MN∥. ．
P R
M
N
Q
T
证法一：
过N作AB ∥PQ分别与 两 个 平 面 交 于 A ， B. 连
S正棱锥侧＝
1 2
ch
S圆锥侧＝12 cl=rl
S正棱台侧＝
1 2
(c＋c)h
S圆台侧＝=(12r(＋c＋rc)l)l
S球＝4 R2
（3）柱、锥、台、球的表面积和 体积 （A）
V柱＝Sh
V锥＝
1 3
Sh
V台=
1 3
h(S
SS S)
V球＝
4 3
R3
2.空间点、线、面的位置关系 （1）平面及其基本性质（A）
①正方体 ②正四棱锥 ③正三棱台 ④圆锥 ⑤球
解：
①正方体 ⑤球
正方体和球的三个视图都相同.
②正四棱锥 ④圆锥
正四锥棱和圆锥的主视图和左视图 相同，但俯视图与它们不同.
③正三棱台
主视图
左视图
俯视图 所以符合要求的是② ④
例3．下列几何体各自的三视图中，有且 仅有两个视图相同的几何体的序号是 ___②___④_____．（填上所有符合要求的）
解：经过正四棱柱相对两条侧棱作截面，得
出球的直径与棱柱的对角线长相等。因此可
求出棱柱的高为 2 ，
从而正四棱柱的表面积为(2+4 2 )cm2
A1
C1
O
A
C
例9．Hale Waihona Puke Baidu件p：三个平面两两相交，且三条 交线互相平行，条件q：三个平面把空间分 成7部分，那么条件p是条件q的 _____充__要______条件．
例10．设a，b为两条直线，，为两个平
面，下列四个命题中，其中所有正确的命 题的序号是___②__④_____.
①若a，b与所成的角相等，则a∥b. ②若a，b，a∥b，则∥. ③若a，b，ab，则. ④若a，b，，则ab.
例11．已知，，是平面，m，n是直线．
给出下列命题：
①若m∥n，m⊥，则n⊥； ②若m∥，∩＝n，则m∥n； ③若m⊥，m∥，则⊥； ④若，⊥，则∥； ⑤若m与n为异面直线，且m∥，则n与
A
DA
D
A
B
CB
C
B
解: AB2 BC 2 52 ( 5 )2 5 4 2 (cm).
2
2
例 6 ． 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， AB ＝ 3 ，
AD＝2，AA1＝1，则三棱锥A-CB1D1的体积为
___2_____．
D1
C1
A1
B1
V V V ACB1D1
ABCD A1B1C1D1
A1 AB1D1
D
C
V V V C1CB1D1
B ACB1
A D ACD1
B
1 23 4 1 1 2 3 6
2
例7.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在
它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
_9___R．2
4 解：如图，设内接圆柱的底面半径为r，高为h，则由相
似形得 r 3R h , h 3R 3r
高三《立体几何》复习 南京市第十三中学 周德
一.立体几何的主要内容
1.空间几何体 （1）柱、锥、台、球及简单组合 体 （A）
棱柱 棱锥 棱台 多面体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转体
简单组合题
（2）三视图与直观图（A）
（3）柱、锥、台、球的表面积和 体积 （A）
S正棱柱侧＝ch
S圆柱侧＝cl=2rl
①正方体 ②正四棱锥 ③正三棱台 ④圆锥 ⑤球
例4．用一块边长为2的正三角形纸片，剪
拼成一个正三棱锥型，使它的全面积与原
来三角形面积相等，则剪拼成的三棱锥的
体积是
2
____1_2_____． A
B
D
O
C
E
解:V 1 ( 3 12 ) 12 ( 2 3 1)2 2 .
34
32
12
例5．边长为5cm的正方形ABCD是圆柱的 轴截面，则从A到C绕圆柱侧面的最短路 程是___52__4____2 c_m__．
2.空间点、线、面的位置关系
（2）直线与平面平行、垂直的判 定与性质（B）
2.空间点、线、面的位置关系 （3）两平面平行、垂直的判定 与性质（B）
二、应用举例
例1．正四棱柱的对角线长为3cm，它 的 全 面 积 是 16cm2 ， 则 它 的 体 积 是
____________．
解 ： 设 正 四 棱 柱 的 底 面 边 长 为 acm ， 高 为 hcm，则由条件可得
例2．如图，一个空间几何体的主视图、左 视图、俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边长为1，那么这个 几何体的表面积是___________．
主视图 左视图
俯视图
解：根据三视图，可得这 A 个几何体为三棱锥P-ABC.
三条侧棱长都为1，且两两
垂直.三个侧面的面积和为
3，
P
C
2
底面积为 3 ，
2a2 4ah 16, 两式相加得2a+h=5,
2a
2
h2
9.
a 2,
代入消元，解得 h 1.
或
a h
4 3 7
, .
3
它的体积是：4cm3 或 112 cm3.
27
例1．正四棱柱的对角线长为3cm，它 的全面积是16cm2，则它的体积是
_4_c_m__3_或____1_21_72__c_m__3．
R 3R
P
S柱全 2 r2 2 rh 2 r(r h) 2 r(3R 2r)
(2r
)(3R
2r
)
2r
3R 2
2r
2
A1
r h
O1
A BO
9 R2.
4
例8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径 为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长
为1cm，那么该棱柱的表面积为(_2__4__2_)cm2
2
B
故表面积为 3 3 .
2
例2．如图，一个空间几何体的主视图、左
视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，
如果直角三角形的直角边长为1，那么这个
几何体的表面积是
3 3
______2_____．
主视图 左视图
俯视图
例3．下列几何体各自的三视图中，有且 仅有两个视图相同的几何体的序号是 ___________．（填上所有符合要求的）
其中不正确的命题的序号是 ___②__④__⑤_______．
例12．如图，已知PA⊥正方形ABCD所在 的平面，垂足为A，连结PB，PC，PD， AC，BD，则图中互相垂直的平面有 ____7____对．
平面PAB⊥平面ABCD 平面PAC⊥平面ABCD
平面PAD⊥平面ABCD 平面PAB⊥平面PAD 平面PAB⊥平面PBC 平面PAD⊥平面PDC 平面PAC⊥平面PBD
P
D
C
A
B
例13．已知直线PQ，RT分别与两个平行平
面，相交于P，Q和R，T，线段PQ，RT
的中点分别为M，N.求证：MN∥. ．
P R
M
N
Q
T
证法一：
过N作AB ∥PQ分别与 两 个 平 面 交 于 A ， B. 连
S正棱锥侧＝
1 2
ch
S圆锥侧＝12 cl=rl
S正棱台侧＝
1 2
(c＋c)h
S圆台侧＝=(12r(＋c＋rc)l)l
S球＝4 R2
（3）柱、锥、台、球的表面积和 体积 （A）
V柱＝Sh
V锥＝
1 3
Sh
V台=
1 3
h(S
SS S)
V球＝
4 3
R3
2.空间点、线、面的位置关系 （1）平面及其基本性质（A）
①正方体 ②正四棱锥 ③正三棱台 ④圆锥 ⑤球
解：
①正方体 ⑤球
正方体和球的三个视图都相同.
②正四棱锥 ④圆锥
正四锥棱和圆锥的主视图和左视图 相同，但俯视图与它们不同.
③正三棱台
主视图
左视图
俯视图 所以符合要求的是② ④
例3．下列几何体各自的三视图中，有且 仅有两个视图相同的几何体的序号是 ___②___④_____．（填上所有符合要求的）
解：经过正四棱柱相对两条侧棱作截面，得
出球的直径与棱柱的对角线长相等。因此可
求出棱柱的高为 2 ，
从而正四棱柱的表面积为(2+4 2 )cm2
A1
C1
O
A
C
例9．Hale Waihona Puke Baidu件p：三个平面两两相交，且三条 交线互相平行，条件q：三个平面把空间分 成7部分，那么条件p是条件q的 _____充__要______条件．
例10．设a，b为两条直线，，为两个平
面，下列四个命题中，其中所有正确的命 题的序号是___②__④_____.
①若a，b与所成的角相等，则a∥b. ②若a，b，a∥b，则∥. ③若a，b，ab，则. ④若a，b，，则ab.
例11．已知，，是平面，m，n是直线．
给出下列命题：
①若m∥n，m⊥，则n⊥； ②若m∥，∩＝n，则m∥n； ③若m⊥，m∥，则⊥； ④若，⊥，则∥； ⑤若m与n为异面直线，且m∥，则n与
A
DA
D
A
B
CB
C
B
解: AB2 BC 2 52 ( 5 )2 5 4 2 (cm).
2
2
例 6 ． 在 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1 中 ， AB ＝ 3 ，
AD＝2，AA1＝1，则三棱锥A-CB1D1的体积为
___2_____．
D1
C1
A1
B1
V V V ACB1D1
ABCD A1B1C1D1
A1 AB1D1
D
C
V V V C1CB1D1
B ACB1
A D ACD1
B
1 23 4 1 1 2 3 6
2
例7.已知圆锥的底面半径为R，高为3R，在
它的所有内接圆柱中，全面积的最大值是
_9___R．2
4 解：如图，设内接圆柱的底面半径为r，高为h，则由相
似形得 r 3R h , h 3R 3r
高三《立体几何》复习 南京市第十三中学 周德
一.立体几何的主要内容
1.空间几何体 （1）柱、锥、台、球及简单组合 体 （A）
棱柱 棱锥 棱台 多面体 圆柱 圆锥 圆台 球 旋转体
简单组合题
（2）三视图与直观图（A）
（3）柱、锥、台、球的表面积和 体积 （A）
S正棱柱侧＝ch
S圆柱侧＝cl=2rl
①正方体 ②正四棱锥 ③正三棱台 ④圆锥 ⑤球
例4．用一块边长为2的正三角形纸片，剪
拼成一个正三棱锥型，使它的全面积与原
来三角形面积相等，则剪拼成的三棱锥的
体积是
2
____1_2_____． A
B
D
O
C
E
解:V 1 ( 3 12 ) 12 ( 2 3 1)2 2 .
34
32
12
例5．边长为5cm的正方形ABCD是圆柱的 轴截面，则从A到C绕圆柱侧面的最短路 程是___52__4____2 c_m__．
2.空间点、线、面的位置关系
（2）直线与平面平行、垂直的判 定与性质（B）
2.空间点、线、面的位置关系 （3）两平面平行、垂直的判定 与性质（B）
二、应用举例
例1．正四棱柱的对角线长为3cm，它 的 全 面 积 是 16cm2 ， 则 它 的 体 积 是
____________．
解 ： 设 正 四 棱 柱 的 底 面 边 长 为 acm ， 高 为 hcm，则由条件可得
例2．如图，一个空间几何体的主视图、左 视图、俯视图为全等的等腰直角三角形， 如果直角三角形的直角边长为1，那么这个 几何体的表面积是___________．
主视图 左视图
俯视图
解：根据三视图，可得这 A 个几何体为三棱锥P-ABC.
三条侧棱长都为1，且两两
垂直.三个侧面的面积和为
3，
P
C
2
底面积为 3 ，
2a2 4ah 16, 两式相加得2a+h=5,
2a
2
h2
9.
a 2,
代入消元，解得 h 1.
或
a h
4 3 7
, .
3
它的体积是：4cm3 或 112 cm3.
27
例1．正四棱柱的对角线长为3cm，它 的全面积是16cm2，则它的体积是
_4_c_m__3_或____1_21_72__c_m__3．
R 3R
P
S柱全 2 r2 2 rh 2 r(r h) 2 r(3R 2r)
(2r
)(3R
2r
)
2r
3R 2
2r
2
A1
r h
O1
A BO
9 R2.
4
例8.一个正四棱柱的各个顶点都在一个直径 为2cm的球面上．如果正四棱柱的底面边长
为1cm，那么该棱柱的表面积为(_2__4__2_)cm2
2
B
故表面积为 3 3 .
2
例2．如图，一个空间几何体的主视图、左
视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，
如果直角三角形的直角边长为1，那么这个
几何体的表面积是
3 3
______2_____．
主视图 左视图
俯视图
例3．下列几何体各自的三视图中，有且 仅有两个视图相同的几何体的序号是 ___________．（填上所有符合要求的）